Vibrações mecânicas - Departamento de Engenharia Civil · Vibrações mecânicas Justificação...

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Vibrações mecânicas Justificação da ocorrência Sistema mecânico em equilíbrio estável Introduz-se uma perturbação por exemplo na forma do deslocamento Liberta-se Depois disso o sistema tende voltar à sua posição do equilíbrio estável Neste passo actuam as forças de restituição (forças elásticas das molas, forças de gravidade) O sistema em geral atinge a sua posição de equilíbrio estável com uma certa velocidade, assim o sistema “ultrapassa” a sua posição de equilíbrio, cria-se um movimento repetitivo, chamado oscilatório, a oscilação efectua- se em torno da posição de equilíbrio estável Corpos ou sistema de corpos com 1 grau de liberdade cinemática Este movimento chama-se vibração mecânica, em princípio representa sempre efeitos indesejáveis

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Vibrações mecânicas

Justificação da ocorrência

► Sistema mecânico em equilíbrio estável► Introduz-se uma perturbação por exemplo na forma do deslocamento► Liberta-se► Depois disso o sistema tende voltar à sua posição do equilíbrio estável► Neste passo actuam as forças de restituição (forças elásticas das molas, forças de gravidade)► O sistema em geral atinge a sua posição de equilíbrio estável com uma certa velocidade, assim o sistema “ultrapassa” a sua posição de equilíbrio, cria-se um movimento repetitivo, chamado oscilatório, a oscilação efectua-se em torno da posição de equilíbrio estável

Corpos ou sistema de corpos com 1 grau de liberdade cinemática

Este movimento chama-se vibração mecânica, em princípio representa sempre efeitos indesejáveis

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Vibrações amortecidas

Vibrações não-amortecidas

Vibrações livres

O movimento mantém-se apenas devido às forças de restituição, a perturbação que inicia o movimento corresponde a um deslocamento

ou uma velocidade aplicada ao sistema, não há forças exteriores aplicadas ao sistema.

Vibrações forçadas

Há forças exteriores aplicadas ao sistema (e além disso pode haver um deslocamento ou uma velocidade aplicada ao sistema).

Vamos considerar somente forças periódicas.

Devido ao atrito (interno ou externo) o movimento baixa a sua amplitude (definição a seguir), passado algum tempo cessa se for livre,

mantém-se indefinidamente se for forçado.

Efeito do atrito é desprezável, o movimento continua indefinidamente.

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Movimento periódico (repetitivo)

Período

Frequência

t

u

T T T T T

Tempo necessário para complementar um ciclo de movimento

T T T T

[ ]1sT1f −=

A unidade s-1 chama-se Hertz

O número de ciclos num segundoHeinrich Rudolf Hertz

1857-1894

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Movimento harmónico

Movimento não-periódico

Amplitude

Gráfico descrito pelas funções de seno e coseno

t

u

t

u

Deslocamento máximo no valor

absoluto

maxu

maxu−Os termos período,

frequência e amplitude usam-se também para a força de excitação harmónica, etc.

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Molas As forças de restituição são as forças elásticas

estu

Vibrações livres não-amortecidas

mola indeformada de rigidez k

+ massa m na posição

de equilíbrio estável

mg

este kuF =

kmguest =⇒

0u

+ perturbação u0, depois de “retirar” a

causa da perturbação inicia-se o movimento

oscilatório

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Equação do movimento

( ) 0uukmgma est =++−

0kuum =+&& Equação diferencial ordinária de 2ª ordem homogénea

0mkeu 2t =+λ⇒= λ Equação característica

mg

ma( )uukF este +=

na posição geral u>0

continuação do movimento

a

mki1 =λ

mki2 −=λ 0m

kω= ( ) ( )tcosCtsinCu 0201 ω+ω=

0umku =+&& vu =& avu == &&&

makuFe =

Começando doequilíbrio estático

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C1 e C2 das condições iniciais (“perturbação”), condições iniciais não podem ser homogéneas, se forem, não há movimento

( ) 200 Cuu0tu =⇒==

( ) 0v0tv ==

( ) ( ) ( ) ( )( )tsinCtcosCvtcosCtsinCu 020100201 ω−ωω=⇒ω+ω=

( ) 0100 Cvv0tv ω=⇒==

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )φ+ω=φω+φω=ω+ωω

= tsinAsintcoscostsinAtcosutsinvu 0u00u0000

0

2

0

020u

0

00

u

0

0u

0 vuA&v

utansinAu&cos

Av

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

+=ω

=φ⇒φ=φ=ω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ω=φ

0

00

vuarctan

mk

0 =ω2

0

020u

vuA ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

+=

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( )φ+ω= tsinA)v(signu 0u0

uumax Au =

maxu−

t0

u

usinA

Au: amplitude do deslocamento

Φ: ângulo de fase0

2Tωπ

=πω

=2

f 0 f20 π=ω

ω0: frequência natural (circular)

φuA

( )

0upara2

)arctan(

0upara2

)arctan(

1vsign0v

0

0

00

−=−∞=φ

=∞=φ

=⇒=

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( ) ( )φ+ωω= tcosvsignAv 000u

( ) ( )φ+ωω−= tsinvsignAa 0020u

Período e fase mantêm-se

0uv AA ω=

20ua AA ω=

1. Estabelecer a equação do movimento2. Alterar do modo que o coeficiente do termo de aceleração equivale a 13. Frequência natural equivale à raiz quadrada do coeficiente do parâmetro de deformação (deslocamento)

Simplificações: mola equivalente

Problemas sobre frequência natural de movimento

Amplitude

1. Resolução usando equações de movimento

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Molas equivalentes

Ligação em série

Ligação em paralelo

1k2k

3k

1k 2k

3ku

uk1 uk2

uk3

321eq kkkk ++=

1k

2k

u

11uk

22uk

ukukukF eq2211e ===11uk

1kk

kk

2

eq

1

eq =+⇒

21

eq

k1

k1

1k+

=

eqk

eqk

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Pêndulo

Forças de restituição são as forças de gravidade

Molas equivalentes dos elementos elásticos deformáveis

elu

P

eleqeleqe u

PkukFP =⇒==

Outros mecanismos

Forças de restituição de ambos tipos

eqk

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2. Resolução usando conservação de energia mecânica

1. Escolher posição de velocidade máxima (posição do equilíbrio estático estável) como nível zero para a energia potencial2. Máxima energia potencial ocorre quando a cinética é nula (velocidade ézero), neste caso o deslocamento é máximo3. Escrever o princípio de igualdade de energia entre estas duas posições

Nota: na posição do deslocamento máximo a velocidade muda o seu sentido, ou seja passa por zero

umax Au =

Amplitude do deslocamento corresponde ao deslocamento máximo

0max0uvmax uAAv ω=ω==

Amplitude da velocidade corresponde à velocidade máxima

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Problemas em que é possível dispensar o efeito do peso

Estes casos correspondem aos sistemas em que existem partes flexíveis (molas) cuja deformação é necessária para assegurar o equilíbrio estático estável.

Em outras palavras nestes casos a força elástica (estática) equilibra o peso.No entanto é possível desprezar apenas as componentes directamente

equilibradas.Para ter certeza quais as partes desprezar, é possível escrever:a) A equação do equilíbrio estático (na posição deformada);b) A equação do movimento com as forças elásticas “completas” e com o

efeito de peso e ver a parcela que se anule devido ao equilíbrio estático.

No caso de se fazer esta verificação usando o princípio de conservação de energia, é preciso ter cuidado, porque esta equação envolve quantidades pequenas ao quadrado. Por esta razão o coseno do argumento pequeno épreciso de substituir pelo (1-argumento2/2). A substituição do seno do argumento pequeno mantêm-se como na equação do movimento, ou seja seno do argumento pequeno equivale ao argumento.

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Vibrações livres amortecidas

0uu 20 =ω+&& Equação diferencial ordinária de 2ª ordem homogénea

Recorda-se a equação do movimento de vibração livre não-amortecida

O termo livre significa que não existe força harmónica que excitava este movimento, assim o lado direito da equação equivale a 0 (equação

homogénea)O termo não-amortecida significa que o amortecimento é desprezável, assim

falta o termo da primeira derivada da função variável

Quando se considera amortecimento, este habitualmente é viscoso, ou seja proporcional a velocidade, assim a equação em cima ganha mais um termo

0uumcu 2

0 =ω++ &&&

onde c [N.s/m] é o coeficiente do amortecimento viscoso

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Amortecimento

Externo: forças de atrito entre ou corpos

Interno: entre as moléculas que constituem o corpo

►molaindeformada de

rigidez k► amortecedor de coeficiente c

estu

maxu

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Equação do movimento

0kucvma =++

0kuucum =++ &&& Equação diferencial ordinária de 2ª ordem homogénea

0mceu 2

02t =ω+λ+λ⇒= λ Equação característica

ma

kuFe =

na posição geral u>0

continuação do movimento

a

20

2

2,1 m2c

m2c

ω−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛±−=λ

0uumcu 2

0 =ω++ &&& vu =& avu == &&&

Começando doequilíbrio estático !!!

(não há peso)

cvFa =

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0m2c 2

20 >⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−ω

Caso mais comum: amortecimento sub-crítico

Outras designações

0cr m2c ω=Coeficiente de amortecimento crítico

crcc

=ζFactor de amortecimento Damping ratio, muitas vezes em %

( ) 01m2c 22

0

220 >ζ−ω=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−ω ( ) a0

202,1 i1i ω±ζω−=ζ−±ζω−=λ

Outras formas da equação de movimento

0uumcu 2

0cr =ω+ζ+ &&& 0uu2u 2

00 =ω+ζω+ &&&

Raízes da equação característica complexas conjugadas

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20a 1 ζ−ω=ω Frequência natural (circular) amortecida

0a ω<ωSolução

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )tcosCtsinCeeDeDtu a2a1tti

2ti

10a0a0 ω+ω=+= ζω−ω−ζω−ω+ζω−

Parte periódica (harmónica)Decrescimento de amplitude, envelopes

C1 e C2 das condições iniciais

( ) 200 Cuu0tu =⇒==

( ) 0v0tv ==

( ) ( )( ) ( ) ( )( )tcosCtsinCetsinCtcosCev a2a1t

0a2a1t

a00 ω+ωζω−ω−ωω= ζω−ζω−

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( ) 001a201a00 uCCCvv0tv ζω−ω=ζω−ω=⇒==

( ) ( )φ+ω= ζω− tsinvsigneAu a0t

u0

2

a

00020u

000

a0 uvuA&uv

utan ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωζω+

+=ζω+ω

a

0001

uvCωζω+

=

( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω+ω

ωζω+

= ζω− tcosutsinuveu a0aa

000t0

( ) ( )000 vsigndevezemusignuse0v ⇒=

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tu

0eA ζω−

tu

0eA ζω−−

Amortecimento críticoAmortecimento sub-crítico

1cc

cr

==ζ 0a =ω

( ) ( ) t21

0etCCtu ω−+=Raiz dupla

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Amortecimento super-crítico

Raízes reais,distintas, ambas negativas ( )12

02,1 −ζ±ζω−=λ

( ) t1

2

t1

1

20

20 eCeCtu

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −ζ−ζω−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −ζ+ζω−

+=

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Construção da equação de movimento

► Não há método alternativo, como nas vibrações livres não-amorteciadas foi possível usar o princípio da conservação de energia, agora com o amortecimento há sempre uma perca de energia, assim épreciso construir a equação do movimento usando as forças de inércia

► Como a equação do movimento de uma vibração é de facto a equação de equilíbrio na direcção do movimento, ou seja não se escrevem as 3

equações como no caso geral, é possível fazer uma simplificação seguinte:

No caso do movimento angular é possível exprimir o momento de inércia do movimento em relação ao

centro de movimento. Ou seja não é preciso relacionar o momento de inércia ao centro de gravidade. Neste caso obviamente o momento

polar de inércia de massa tem que ser igualmente exprimido relativamente ao centro do movimento

angular.

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Vibrações forçadas

Recorda-se a equação do movimento de vibração livre amortecida

Vamos considerar somente uma excitação harmónica (existem outras), que forma o lado direito da equação. Assim a equação do movimento corresponde a uma equação diferencial ordinária de 2ª

ordem não-homogénea

Equação diferencial ordinária de 2ª ordem homogénea

0ukucum eqeqeq =++ &&&

Excitação pode ter duas formas:pela força externa harmónica ou pelo movimento de base harmónico

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Vibrações forçadas não-amortecidas

( )ffeqeq tsinFukum φ+ω=+&&

makuFe =

( )tF

Excitação pela força externa harmónica

PH uuu +=Solução da equação não-homogéneatem duas partes: homogénea e particular

habitualmente ( )tsinF0 ff ω⇒=φ

tsinFukum feqeq ω=+&&

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( ) ( )tcosCtsinCu 0201H ω+ω= Usando a solução da equação característica

( ) ( )tcosDtsinDu f2f1P ω+ω= De acordo com a forma do lado direito da equação do movimento

21 D,DCálculo das constantes

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )tsinFtcosDtsinDktcosDtsinDm ff2f1f2f12f ω=ω+ω+ω+ωω−

( ) ( )22f

20

2f

F12 1kF

mF

mkFAD,0D

Ω−=

ω−ω=

ω−===⇒

Solução homogénea chama-se também vibração natural

Solução particular chama-se também vibração forçada

( )tsinAu fFP ω=0

f

ωω

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Condições iniciais homogéneas

( ) ( ) ( )tsinAtcosCtsinCu fF0201 ω+ω+ω=

0C0u 20 =⇒=

Ω−=ωω

−=⇒=ω+ω⇒= F0

fF1Ff100 AAC0AC0v

( ) ( ) ( )tcosAtsinCtcosCv fFf020010 ωω+ωω−ωω=

( ) ( )( )tsintsinAu 0fF ωΩ−ω=Ω−= FH AA

( )( )t-cosA2A+A+Aenvelope 0fHF2H

2F ωω±=

21 C,C das condições iniciaisCálculo das constantes

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Forçada

Natural

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Forçada

Natural

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Condições iniciais não-homogéneas

( ) ( ) ( )tsinAtcosCtsinCu fF0201 ω+ω+ω=

( ) ( ) ( )tcosAtsinCtcosCv fFf020010 ωω+ωω−ωω=

( ) 020 uCu0tu =⇒==

( )0

Ff010Ff100

AvCvACv0tvωω−

=⇒=ω+ω⇒==

( ) ( ) ( ) ( )( )tsintsinAtsinAvsignu 0fF0u0 ωΩ−ω+φ+ω=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ω=φ

0

00

vuarctan

2

0

020u

vuA ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

+=Como anteriormente Au e Φ

Mantêm-se tambéma análise quando v0=0

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0kuum t =+&&

bt uuu += bumkuum &&&& −=+

2fmUF ω≈( ) ( )tsinmUumtsinUu f

2fbfb ωω=−⇒ω= &&

Excitação pelo movimento de base harmónico

Movimento total

( ) ( )ffb tsinUtu φ+ω=

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( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )tsinAtsinAtsinAvsign

tsinUAtsinAtsinAvsignuuu

fUt0U0u0

fU0U0u0bt

ω+ωΩ−φ+ω=ω++ωΩ−φ+ω=+=

2Ut 1UAΩ−

=

Assim nas equações anteriores basta substituir 2fmUF ω←

Quando se pretende resolver a componente relativa u

2

2

U 1UAΩ−Ω

=

( ) ( ) ( ) ( )( )tsintsinAtsinAvsignu 0fU0u0 ωΩ−ω+φ+ω=

No entanto quando é preciso resolver o deslocamento total

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Ressonância

( )2F 1kFAΩ−

=

( )22

U 1UAΩ−

Ω=

Ω

211Ω−

Amplitude da solução particular tende para infinito quando a frequência da excitação coincide com a frequência natural

2Ut 1UAΩ−

=

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O amortecimento elimina apenas a parte de vibração natural (regime transiente quando as duas partes actuam, ou seja

quando ainda a vibração natural não é desprezável)

A parte forçada fica (regime estacionário)

Vibrações forçadas amortecidas

Neste caso o interesse está no regime estacionário, e muitas vezes examina-se apenas a solução particular em vez de solução completa

Excitação pela força externa harmónica

( ) ( )ffFfnP tsinAsignu φ+ωω−ω=

( ) 2f

222f

2n

2F

cm

FAω+ω−ω

=( )2

n2f

ff m

carctanω−ω

ω=φ

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Excitação pelo movimento de base harmónico

22

U 1UAΩ−

Ω=( )tsinAu fUP ω=Parte relativa

( )tsinAu fUtPt ω=Parte total 2Ut 1UAΩ−

=

( ) ( ) ( )de2222

f222

f2n

2F Ru

21k

F

cm

FA =Ωζ+Ω−

=ω+ω−ω

=

( ) 22n

2f

ff 1

2arctanm

carctanΩ−Ωζ

−=ω−ω

ω=φRescrevendo

Deslocamento estático devido que causava a amplitude da força de excitaçãox posição de equilíbrio estático devido a “massa” em torno do que se efectua

a vibração eu

dR Coeficiente de amplificação dinâmica

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Ressonância

( )2F 1kFAΩ−

=

( )22

U 1UAΩ−

Ω=

Ω

211Ω−

Amplitude da solução particular tende para infinito quando a frequência da excitação coincide com a frequência natural

2Ut 1UAΩ−

=

Ocorre no regime não-amortecido