Victor - Copia

8/17/2019 Victor - Copia

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DEDICATORIA:

Con todo mi cariño y mi amor para las personasque hicieron todo en la vida para que nosotros

cumplieramos nuestros sueños, por motivarnos y

darnos su apoyo en todo momento.

A nuestros padres con mucho Amor.


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RESUMEN

En el presente trabajo desarrolla la idealización de una estructura de sección variable, en la cual generalizandoel método matricial para este tipo de elementos, definiendo y resolviendo claramente cada una de las integralesde flexibilidad, con las cuales se obtienen los coeficientes de rigidez y así definir la matriz característica paraun elemento no prismático. Además se muestra la resolución de un pórtico compuesto por elementos de secciónconstante y sección variable.Las formulaciones desarrolladas se comparan con los resultados que se obtienen al modelar los elementos en elprograma ETABS V9

.


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Índice general

I PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 70.1. El problema de la investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

0.2.1. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

0.2.2. Objetivos Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

II FUNDAMENTO TEÓRICO 9

1. ESTRUCTURAS HIPERESTATICOS DE SECCIÓN VARIABLE 101.1. Definición de Vigas acarteladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2. Usos y ventajas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3. Tipos de vigas y sus características . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1. Vigas de sección constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.2. Vigas de sección variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4. Tipos de cartelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5. Estructuras compuestas por barras de sección variable Método de hardy Cross . . . . . . . . . . . 121.5.1. Determinación de Kij y Fij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6. Modelo Matricial para el Cálculo de Pórticos de Inercia Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6.1. Matriz de rigidez de un elemento no prismatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6.2. TRANSFORMACIÓN DE RIGIDECES AL CAMBIAR DE SISTEMA DE COORDE-

NADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

III SOLUCIÓN DE UNA ESTRUCTURA REAL 21

2. DATOS BÁSICOS 222.1. Ubicación geográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2. Descripción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. IDEALIZACIÓN DE LA ESTRUCTURA 243.1. Modelamiento de la estructura a analizar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.1. Metrado de cargas de la estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.2. Metrado de cargas externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4. SOLUCIÓN DE LA ESTRUCTURA POR EL MÉTODO MATRICIAL 27

5. SOLUCIÓN DE LA ESTRUCTURA POR EL MÉTODO DE HARDY CROSS 39

6. UTILIZANDO EL PROGRAMA ETABS V9 40

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ÍNDICE GENERAL ÍNDICE GENERAL

IV CONCLUSIONES 41

V RECOMENDACIONES 43

VI BIBLIOGRAFIA 45

VII ANEXOS 47

UNSCH 4

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II


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Índice de figuras

1.1. Tipos de cartelas. Referencia (Arias Alban, 1984) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2. Diagramas de Momento Flector en Vigas Acarteladas y Prismáticas. . . . . . . . . . 131.3. Barra con Eje Sensiblemente Recto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4. Elemento Viga-Columna bidimensional no prismático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5. Elemento Viga-Columna bidimensional no prismático . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6. Elementos de sección variable más comunes: (a) Sección T; (b) Sección Rectan-gular; (c) Sección Circular; (d) Sección Cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7. Elemento Viga-Columna bidimensional no prismático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1. Ubicación estudiada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1. Estructura Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2. Estructura Idealizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3. Viga Acartelada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.1. Pórtico Acartelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2. Diagrama de Sistema de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3. Elementos de la Estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.4. Diagrama de fuerzas axiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.5. Diagrama de fuerza cortante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.6. Diagrama de momento flector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

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INTRODUCCIÓN

El siguiente estudio se enfoca en un procedimiento global de las propiedades paramétricas de las vigas acarte-ladas. Cuya función es la presentación de resultados derivados del Análisis y diseño de los elementos estructuralesmodelados. La evaluación de las propiedades paramétricas.

Los parámetros de rigidez, los momentos de empotramiento y deflexión se calcularan mediante el método delas Rigideces y también por el método de Hardy Cross para luego ser conprobados por el software Etabs v9.

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PARTE IPLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

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0.1. EL PROBLEMA DE LA INVESTIGACIÓN

0.1. El problema de la investigación

el uso de vigas acarteladas en la construcción de edificios de grandes luces, es frecuente ya que éstas ofrecenmuchas ventajas como elemento arquitectónico y/o estructural. En primer lugar, dichas vigas aumentan considera-blemente la rigidez lateral en las construcciones, de este modo se verifica el límite de la deriva; en segundo lugar,facilita la colocación de las instalaciones eléctricas, sanitarias y conductos de aire acondicionado. Otro aspecto aconsiderar es que estas son más costosas, porque se encarece el encofrado con más cantidades en acero de refuerzometálico y de concreto.

A pesar de su uso común, no existe conocimiento de diseño práctico de una relación óptima de la geometríade sus elementos que aseguren su ductilidad en cuanto a diseño, economía y construcción. Como consecuencia, eldiseño de las vigas acarteladas de concreto armado generalmente se plantea de acuerdo al criterio y experienciadel ingeniero estructural

0.2. Objetivos

0.2.1. Objetivo General

Evaluar en forma paramétrica los aspectos de diseño estructural en vigas acarteladas de concreto armado.Haciendo la comprobación en una estructura ya existente.

0.2.2. Objetivos Específicos

1. Calcular parámetros de rigideces, momento de empotramiento y deflexiones por el método de la rigideces

2. Identificar las propiedades paramétricas de las vigas acarteladas y sus dimensiones.

3. Analizar los modelos de vigas acarteladas por medio de la teoría de elementos finitos, mediante del programaETABSv9.

4. Comparar los resultados de los momentos de empotramientos y flechas según cada elemento acartelado

diseñado.

UNSCH 8



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PARTE II FUNDAMENTO TEÓRICO

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CAPÍTULO 1

ESTRUCTURAS HIPERESTATICOS DE SECCIÓN VARIABLE

1.1. Definición de Vigas acarteladas

Las vigas acarteladas se definen como elementos estructurales que varían de sección en los extremos de la unióncon las columnas con la finalidad de disminuir las deflexiones y los momentos positivos cuando se incrementanlos negativos. (San Bartolomé, 1998).

1.2. Usos y ventajas

El uso de vigas acarteladas de concreto reforzado son muy importante como alternativa estructural para eldiseño de edificios de grandes luces, ya que proporcionan algunas ventajas sobre las vigas de concreto de secciónconstante, entre las cuales se pueden mencionar las siguientes:

Aumenta la rigidez lateral.

Reduce el peso.

Reduce la altura de entrepiso.

Disminuye la cantidad de concreto.Facilita la ubicación de las diferentes instalaciones (sanitarias, eléctricas, ductos de aire acondicionado),(Tena-Colunga, 1994).

La principal desventaja de estos elementos estructurales es en la colocación del encofrado por los diferentes cortes,y el ángulo de inclinación del acero de refuerzo metálico, que son totalmente diferentes a las vigas de secciónconstantes.

1.3. Tipos de vigas y sus características

1.3.1. Vigas de sección constante

Son elementos en una dimensión, la correspondiente a su eje longitudinal, predomina sobre las otras dos, ylas cargas actúan normales con relación a dicho eje. Las vigas simples y continuas están sometidas principalmentea corte y flexión, y algunas veces a torsión. Las vigas que forman parte de pórticos están sometidas además; acargas axiales, pero en general los esfuerzos que producen son muy pequeños comparados con los de flexión ycorte (Escamilla, 2000).

1.3.2. Vigas de sección variable

Son estructuras compuestas de tramos de secciones rectas y variables que se presentan por razones de arquitec-tura entre las que destacan capillas, iglesias, etc. Y en estructuras de grandes luces y altas sobrecargas como en elcaso de los pórticos de los edificios y puentes hiperestáticos, donde se colocan elementos acartelados en los extre-mos de las vigas con la finalidad de disminuir las deflexiones y los momentos positivos con el fin de incrementar

los momentos negativos. (San Bartolomé, 1998).

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1.4. TIPOS DE CARTELAS CAPÍTULO 1

1.4. Tipos de cartelas

En términos generales si en las cartelas rectas, prismáticas o parabólicas con ancho y alturas variables, seproduce a la vez una variación de su sección en los planos horizontal y vertical, las cartelas deberán ser del mismotipo y empezar en una sección común, indicada en la Fig. 1.1. (Arias Alban, 1984).

Figura 1.1: Tipos de cartelas. Referencia (Arias Alban, 1984)

UNSCH 11



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1.5. ESTRUCTURAS COMPUESTAS POR BARRAS DE SECCIÓN VARIABLE MÉTODO DE HARDY

CROSS CAPÍTULO 1

1.5. Estructuras compuestas por barras de sección variable Método dehardy Cross

Las estructuras compuestas por barras de sección variable son poco frecuentes en nuestro medio, pero podrían

presentarse por razones de arquitectura (capillas, iglesias, etc.) y otras veces por motivos estructurales, por ejemplo,en estructuras con grandes luces o con altas sobrecargas, puede colocarse cartelas (incremento gradual del peralte)en los extremos de las vigas, con la finalidad de disminuir las deflexiones y los momentos positivos a costa deincrementar los momentos negativos.

Para estos casos se necesita trabajar con tres parámetros, los que incluso se utilizan en la solución matricial porcomputadora; estos parámetros son (Aplicando el método de Cross (o Cross Indirecto) ):

1. Las Rigideces al Giro Absolutas K i j , K ji, que permiten determinar α i j = K i j / ∑K ji.

2. Los Factores de Transporte f i j , f ji.

3. Los Momentos de Empotramiento ui j , u ji.

Debe remarcarse que esos parámetros son distintos a los calculados para las barras prismáticas; por ejemplo, en la

viga mostrada se tiene:

K i j = 4 EI / L = K ji

f i j = 1/2 = f ji

ui j = wL2/2 = u ji

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CROSS CAPÍTULO 1

1.5.1. Determinación de Kij y Fij

Figura 1.2: Diagramas de Momento Flector en Vigas Acarteladas y Prismáticas.

Para determinar la rigidez al giro (Kij) yel factor de transporte (fij) en las barras deformables por flexión, cuyomomento de inercia varía a lo largo de su longitud (Fig. 1.2), se utilizará el segundo teorema Area-Momento, quedice: "La distancia que existe entre la prolongación de la pendiente en "j" hasta tocar con la elástica en "i" (tij) esigual al momento estático del diagrama Area-Momento (DAM) con respecto al extremo "i", y viceversa".(Fig. 1.3)

Figura 1.3: Barra con Eje Sensiblemente Recto

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CROSS CAPÍTULO 1

En la Fig. 1.3 se observa:

1.- t i j = 0, ya que θ j = 0

2.- t i j = L, ya que θ i = 0

3.- Por equilibrio

v = K i j(1 + f i j)/ L

M ( x) = K i j −V x

M ( x) = K i j[( L− x)− f i j x]/ L

Aplicando el segundo teorema Area-Momento respecto a "i" (brazo de palanca = x). se obtiene:

t i j = 0 =

L̂

0

M ( x)dx

EI ( x) x =

L̂

0

K i j[( L− x)− f i j x] x

ELI ( x) dx

Donde k i j, f i j„ E Y L son constantes que pueden salir de la integral, obteniéndose finalmente:

t i j = 0 =

Ĺ 0

( L− x) x I ( x) dx

Ĺ 0

x2

I ( x)dx

xdx

El cálculo de k i j se realiza aplicando el segundo teorema Area-Momento respecto al extremo "j" (brazo depalanca = L - x):

t ji = L =

L̂

0

M ( x)dx

EI ( x) ( L− x) =

L̂

0

K i j[( L− x)− f i j x]( L− x)

ELI ( x) dx

De donde se obtiene:

Ki j = EL2

Ĺ 0

( L− x) I ( x) dx− f i j

Ĺ 0

( L− x) x I ( x) dx

NOTAS:

1. Se sobreentiende que fij ha sido calculado previamente.2. Para determinar Kji se aplica la expresión anterior, pero deberá invertirse el sentido de la integración (desde

j hacia i); asimismo, deberá intercambiarse fij por fji.

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1.6. MODELO MATRICIAL PARA EL CÁLCULO DE PÓRTICOS DE INERCIA VARIABLE CAPÍTULO 1

3. En elementos prismáticos (I(x) = I = constante), fij = 1/2, por lo que: Kij = 4 E I / L.

4. Sólo en barras que presenten simetría en forma se cumple: fij = fji Y Kij = Kji.

1.6. Modelo Matricial para el Cálculo de Pórticos de Inercia Variable

1.6.1. Matriz de rigidez de un elemento no prismatico

Utilizando el método de las flexibilidades es sencillo dar definición a un elemento tipo Viga-Columna de sec-ción variable, ya que debido al gran desarrollo que han tenido las computadoras en los últimos años, es fácilresolver las integrales que definen la matriz de rigidez La matriz básica de flexibilidad para elementos bidimen-sionales de sección variable sin considerar la deformación por cortante, tiene la siguiente forma (Tena- Colunga1996):

[ f ] =

f 11 0 0

0 f 22 f 260 f 62 f 66

(1.1)

donde:

f 11 =

ˆ l0

dz

EA( z) (1.2)

f 22 =

ˆ l0

z2dz

EI x( z) (1.3)

f 26 =

ˆ l0

zdz

EI x( z) = f 62 (1.4)

f 66 =

ˆ l

0

dz

EI x( z) (1.5)

Estos coeficientes de flexibilidad deben ser obtenidos por integración numérica, por ejemplo aplicando la reglade Simpson.

Figura 1.4: Elemento Viga-Columna bidimensional no prismático

La matriz de rigidez se obtiene invirtiendo la matriz de flexibilidad, sin embargo resulta más sencillo invertirsubmatrices de flexibilidad dada la complejidad y desacoplamiento en los coeficientes de flexibilidad. La matrizde rigidez global en coordenadas locales de un elemento viga-columna de dos nodos como los mostrados en lasfiguras 3.2 se expresan como:

[k ] =

k 11 k 12k 21 f 22

(1.6)

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Figura 1.6: Elementos de sección variable más comunes: (a) Sección T; (b) Sección Rectangular;(c) Sección Circular; (d) Sección Cuadrada

Las submatrices de rigidez se calculan de la siguiente manera (Tena-Colunga 1996):

[k 11] =

r az 0 00 r aax r abx

0 r abx r 11 x

(1.7)

[k 22] =

−r az 0 00 −r aax r bax

0 −r abx r 12 x

(1.8)

[k 22] =

r az 0 00 r aax −r bax0 −r bax r 22 x

(1.9)

[k 21] = [k 12]T (1.10)

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Donde:

r az = 1 f 11

(1.11)

Detx = f 22 f 66− f 226 (1.12)

r 11 x = f 22

Det x(1.13)

r 12 x = f 26 L− f 22

Det x(1.14)

r 22 x = f 66 L

2 −2 f 26 L + f 22 Det x

(1.15)

r aax =

r 11 x + r 22 x + 2r 12 x

L2 (1.16)

r abx = r 11 x + r 12 x

L(1.17)

r bax = r 22 x + r 12 x

L(1.18)

El sistema de ecuaciones a resolver en coordenadas locales es de la forma:

k 11 k 12k 21 f 22

u1u2

=

F 1F 2

(1.19)

Donde se tiene:

{u1} =

u1 zu1 yθ 1 x

{u2} =

u2 zu2 yθ 2 x

(1.20)

{F 1} =

F 1 zF 1 y

M 1 x

{F 2} =

F 2 zF 2 y

M 2 x

(1.21)

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1.6.2. TRANSFORMACIÓN DE RIGIDECES AL CAMBIAR DE SISTEMA DE COOR-DENADAS

Una vez obtenidas las matrices de rigidez en coordenadas locales de cada elemento es necesario transformar

esta rigideces a un sistema de coordenadas global, para luego poder obtener los esfuerzos y deformaciones de cadaelemento a partir de las deformaciones globales de la estructura transformando nuevamente al sistema local decada elemento. Por lo tanto es necesario de una matriz de transformación que permita permutar entre un sistemay otro. Comenzando con el estudio de la rotación de los ejes en el plano cartesiano, como ilustra la Fig. 1.6. Elsistema coordenado original esta dado por el plano XY, y al experimentar este sistema una rotación θ , con respectoal origen O, pasa a un nuevo sistema coordenado X’Y’. Si las coordenadas que definen la posición del punto Pen el sistema coordenado original XY (antes de la rotación) se denominan (x,y) y referidas en el nuevo sistemacoordenado X’Y’ (después de la rotación) se denomina (x’,y’) y de la figura se define como r al segmento rectoOP se tiene que a partir de las relaciones trigonométricas que:

x = OA = rcos(θ +ϕ ) (1.22)

y = AP = rsin(θ + ϕ ) (1.23)

x

= OA

= rcos(ϕ ) (1.24)

y

= AP = rsin(ϕ ) (1.25)


A partir de las relaciones trigonométricas se tiene que la ecuación también puede escribirse como (Anfosi,1974)

x = rcos(θ +ϕ ) = rcos(θ )cos(ϕ )− rsin(θ )rsin(ϕ ) (1.26)

Sustituyendo las ecuaciones 1.24 y 1.25 en la ecuación 1.26 se tiene:

x = xcos(θ )− ysin(θ ) (1.27)

De manera análoga, a partir de la ecuación 1.23 se tiene:

y = rsin(θ +ϕ ) = rsin(θ )cos(ϕ )− rcos(θ )rcos(ϕ ) (1.28)Sustituyendo las ecuaciones 1.24 y 1.25 en la ecuación 1.28 se tiene:

y = xsin(θ )− ycos(θ ) (1.29)

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Por lo tanto la transformación de coordenadas de un punto P cualquiera en el plano como consecuencia de rotarlos ejes de referencia un ángulo ; dado, es posible expresarla a partir de las ecuaciones 1.26 y 1.29 que puedenreescribirse en forma matricial como:

x y

=

cos(θ ) −sin(θ )sin(θ ) cos(θ )

x y

(1.30)

O escribiendo de manera compacta

{ A} = [τ ]−1 , donde [τ ]−1 =

cos(θ ) −sin(θ )

sin(θ ) cos(θ )

x

y

(1.31)

Para el análisis estructuras es más necesario conocer la transformación inversa, es decir, conociendo la posicióndel punto P con respecto al sistema rotado (x’,y’) poder referir ese punto al sistema global (x,y). Esto se logramultiplicando la ecuación 1.30 por la inversa de la matriz[τ ]−1

A

= [τ ]{ A} (1.32)

A partir de las propiedades para matrices de orden dos, se sabe que (Damy, 1986)

[ B] =

a d

c d

y [ B]−1 =

1ad −cb

d −b−c a

(1.33)

Por lo tanto la ecuación_ queda:

[τ ] = 1

cos(θ )2 + sin(θ )2


sin(θ ) cos(θ )a

=


sin(θ ) cos(θ )a

(1.34)

Con lo que se comprueba que la matriz de transformación en el plano es ortogonal dado que su inversa es iguala su transpuesta [τ ]−1 = [τ ]T

A continuación se referirán las propiedades del elemento viga-columna bidimensional con ejes coincidentescon el plano Y’Z’, según el sistema global de referencia XZ:

A partir del equilibrio se tiene que las fuerzas actuantes en el elemento según el sistema local 486 o según elsistema global 486 tienen las siguientes relaciones:

F

= [T ]{F } (1.35)

{F } = [T ]T

F

(1.36)

Y a partir de la ecuación de continuidad en coordenadas locales:

F

=

k

u

(1.37)

Además las relaciones entre las deformaciones en el elemento según el sistema local {u} o el golbal {u} estandadas por:

u

=

k {u} (1.38)

Por lo tanto a partir de las ecuaciones 1.37 y 1.38 se llega a:

{F } = [T ]T

k {T }{u} = [k ]{u} con [k ] = [T ]T

k {T } (1.39)

Donde: :[k ]:Matriz de rigidez del elemento según el sistema global de referencia[k ]: Matriz de rigidez del elemento en coordenadas locales[T ]:Matriz de transformación del sistema local al sistema globalDe la figura 1.7 se observa que, al rotar el plano YZ al Y’Z’, el eje X permanece en la misma posición, por lo

tanto, los giros y momentos que se aplican en ese plano no sufren transformación alguna. Entones a partir de lafigura y de lo expuesto anteriormente, se obtiene que:

F 1 z

F 1 y

M 1 x

=

cos(θ ) sin(θ ) 0−sin(θ ) cos(θ ) 0

0 0 1

F 1 zF 1 y

M 1 x

(1.40)

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F 2 z

F 2 y

M 2 x

=


0 0 1

F 2 zF 2 y

M 2 x

(1.41)

Por lo que:

F 1 z

F 1 y

M 1 x

F 2 z

F 2 y

M 2 x

=

cos(θ ) sin(θ ) 0 0 0 0−sin(θ ) cos(θ ) 0 0 0 0

0 0 1 0 0 00 0 0 cos(θ ) sin(θ ) 00 0 0 −sin(θ ) cos(θ ) 00 0 0 0 0 1

F 1 zF 1 y

M 1 xF 2 zF 2 y

M 2 x

(1.42)

Y es claro que la matriz de transformación [T] es :

{T } =

cos(θ ) sin(θ ) 0 0 0 0−sin(θ ) cos(θ ) 0 0 0 0

0 0 1 0 0 00 0 0 cos(θ ) sin(θ ) 00 0 0 −sin(θ ) cos(θ ) 00 0 0 0 0 1

(1.43)

Escribiendo en forma compacta:

[T ] =

[τ ] [0][0] [τ ]

u

: [0] =

0 0 00 0 0

0 0 0

y [τ ] =


0 0 1

(1.44)

La matriz de rigidez del elemento en coordenadas locales puede escribirse de la siguiente forma:

[T ] =

[k 11] [k 12][k 21] [k

22]

(1.45)

Donde cada una de las submatrices de rigidez del elemento viga-columna de la figura 3.33 tiene la siguienteforma:

k i j

=

A 0 00 B D

0 E C

(1.46)

Donde i y j son los subíndices correspondientes a los extremos y A, B, C, D y E son los respectivos coeficientesde rigidez de cada una de las submatrices y se han cambiado para fines prácticos. A partir de la ecuación 1.39 sepuede decir que:

[k ] = [T ]T

k i j

[T ] (1.47)

Por lo que sustituyendo las ecuaciones 1.44 y 1.46 en la ecuación se tiene que cada submatriz del elemento

expresada en coordenadas globales

k i j

esta dada por:

k i j

=

Acos

2(θ ) + Bsen2(θ ) ( A + B)cos(θ )sen(θ ) − Dsen(θ )( A− B)cos(θ )sen(θ ) Acos2(θ ) + Bsen(θ ) Dcos(θ )

− Esen(θ ) Ecos(θ ) C

(1.48)

UNSCH 20



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PARTE IIISOLUCIÓN DE UNA ESTRUCTURA REAL

21


22/47

CAPÍTULO 2

DATOS BÁSICOS

2.1. Ubicación geográfica

Figura 2.1: Ubicación estudiada

22


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2.2. DESCRIPCIÓN CAPÍTULO 2

2.2. Descripción

La Provincia de Cangallo es una de las once provincias que conforman el Departamento de Ayacucho, bajola administración del Gobierno regional de Ayacucho, en el Perú.

Limita al norte con la provincia de Huamanga, al este con la provincia de Vilcas Huamán, al sur con laprovincia de Víctor Fajardo y al oeste con el Departamento de Huancavelica.

La provincia tiene una extensión de 1 916,17 kilómetros cuadrados y se encuentra dividida en seis distritos.Cangallo, Chuschi, Los Morochucos, María Parado de Bellido, Paras, Totos

La provincia tiene una población aproximada de 34 902 habitantes. La capital de la provincia es la ciudadde Cangallo.

UNSCH 23



24/47

CAPÍTULO 3

IDEALIZACIÓN DE LA ESTRUCTURA

3.1. Modelamiento de la estructura a analizar

Figura 3.1: Estructura Real

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3.1. MODELAMIENTO DE LA ESTRUCTURA A ANALIZAR CAPÍTULO 3

Figura 3.2: Estructura Idealizada

3.1.1. Metrado de cargas de la estructura

Las cargas en el presente trabajo; caso de mirador, serán impartidas tanto por el peso propio de la estructura(carga muerta) , los peatones

3.1.2. Metrado de cargas externas

Figura 3.3: Viga Acartelada

Metrado de cargas

AT = 2 A1 + A2

A1 = 1.42395m2

A2 = 0.6Om2

AT = 3.4479m2

V T (volumen− total) = 3.4479×40 = 1.37916m3

UNSCH 25



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3.1. MODELAMIENTO DE LA ESTRUCTURA A ANALIZAR CAPÍTULO 3

total

PP(Peso− propio) = 2400 kg

m3 × 1.37916m3 = 3309.984kg

W PP =

3309.984

7.5 = 441.3312

kg

m

W D´(Carga−muerta) = 300kg

m

∑W D(Carga−muerta) = W PP +W D´ = 441.3312 + 300 = 741.3312kg

m

W L(Carga−viga) = 150kg

m

W u(Carga− última) = 1.4×W D(Carga−muerta) + 1.7×W L(Carga−viga)

W u(Carga− última) = 1.4×741.3312 + 1.7×150

W u(Carga− última) = 1292.86368kgm

UNSCH 26



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CAPÍTULO 4

SOLUCIÓN DE LA ESTRUCTURA POR EL MÉTODOMATRICIAL

Figura 4.1: Pórtico Acartelado

1. Cálculos para el elemento 1 de la sección rectangular constante

h1 = 0.45m b1 = 0.40m L1 = 5.00m

Area del elemento 1 :

A1 = b1 ×h1 = 0.45m×0.4m = 0.18m2

Momento de inercia:

I x1 = b1×h1

12 =

0.4×0.453

12 = 0.0030375m4

I x = I x1 = 0.0030375m4

2. Hallando la matriz de rigidez global:

27


28/47

CAPÍTULO 4.

L = L1 = 5.00m A = A1 = 0,18m2 E = 25×108

kg

m2

r az = EA

L

= 9×107 r 11 x = 4 EI x

L

= 6075×103

r aax = 12 EI x

L3 = 729×103 r 22 x =

r 11 x

L= 1215×103

r abx = 6 EI x

L2 = 18225×102 r 12 x =

2 EI x L

= 30375×102

r bax = r abx = 18225×102 r 21 x = r 12 x = 30375×10

2

3.- Hallando la submatrices de rigidez en coordenadas locales:

K =

K 11 K 12K 21 K 22

K 11 =


0 r abx r 11 x

K 12 =


0 −r abx r 12 x

K 21 =


0 −r abx r 12 x

K 22 =

r az 0 00 r aax −r bax

0 −r bax r 22 x

K 11 =

9×10

7 0 00 729×103 18225×102

0 18225×102 6075×103

K 12 =

−9×10

7 0 00 −729×103 18225×102

0 −18225×102 30375×102

K 21 =

−9×10

7 0 00 −729×103 −18225×102

0 18225×102 30375×103

K 22 =

−9×10

7 0 00 729×103 −18225×102

0 −18225×102 1215×103

K =

K 11 K 12K 21 K 22

K =

9×107 0 0 −9×107 0 00 729×103 −18225×102 0 −729×103 18225×102

0 18225×102 6075×103 0 −18225×102 30375×102

−9×107 0 0 9×107 0 00 −729×103 −18225×102 0 729×103 −18225×102

0 18225×102 30375×102 0 −18225×102 1215×103

4.- Hallando la matriz de rigidez en coordenadas globales:Sabemos que para el elemento 1 :

K 1 =

K 11 K 12K 21 K 22

T =

cosα senα 0−senα cosα 0

0 0 1

α = α 1 = 900

K 111 = T t K 11T =

729×10

3 0 −18225×102

0 9×107 0−18225×102 0 6075×103

K 112 = T t K 12T =

−729×103 0 −18225×1020 −9×107 0

18225×102 0 30375×102

UNSCH 28



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CAPÍTULO 4.

K 121 = T t K 21T =

−729×103 0 −18225×102

0 −9×107 0−18225×102 0 30375×102

K 122 = T

t K 22T =

729×10

3 0 18225×102

0 9×107 018225×102 0 1215×103

K 1 =

K 111 K 112K 121 K 122

=

729×103 0 −18225×102 −729×103 0 −18225×102

0 9×107 0 0 −9×107 0−18225×102 0 6075×103 18225×102 0 30375×102

−729×103 0 18225×102 729×103 0 18225×102

0 −9×107 0 0 9×107 0−18225×102 0 30375×102 18225×102 0 1215×103

1. Cálculos del elemento 2

h2 = 0.45m b2 = 0.40m L2 = 5.00m

Area del elemento 1 :

A2 = b2 ×h2 = 0.45m×0.4m = 0.18m2

Momento de inercia:

I x2 = b1×h1

12 =

0.4×0.453

12 = 0.0030375m4

I x = I x2 = 0,0030375m4

2. Hallando la matriz de rigidez global:

L = L2 = 5.00m A = A2 = 0,18m2 E = 25×108

kg

m2

r az = EA

L= 9×107 r 11 x =

4 EI x L

= 6075×103

r aax = 12 EI x

L3 = 729×103 r 22 x =

r 11 x

L= 1215×103

r abx = 6 EI x

L2 = 18225×102 r 12 x = 2 EI

x

L= 30375×102

r bax = r abx = 18225×102 r 21 x = r 12 x = 30375×10

2

3.- Hallando la submatrices de rigidez en coordenadas locales:

K =

K 11 K 12K 21 K 22

K 11 =


0 r abx r 11 x

K 12 =


0 −r abx r 12 x

K 21 =


0 −r abx r 12 x

K 22 =


0 −r bax r 22 x

UNSCH 29



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CAPÍTULO 4.

K 11 =

9×10

7 0 00 729×103 18225×102

0 18225×102 6075×103

K 12 =

−9×10

7 0 00 −729×103 18225×102

0 −18225×102 30375×102

K 21 =

−9×107 0 00 −729×103 −18225×102

0 18225×102 30375×103

K 22 =

−9×107 0 00 729×103 −18225×102

0 −18225×102 1215×103

K =

K 11 K 12K 21 K 22

K =

9×107 0 0 −9×107 0 00 729×103 −18225×102 0 −729×103 18225×102

0 18225×102 6075×103 0 −18225×102 30375×102

−9×107 0 0 9×107 0 00 −729×103 −18225×102 0 729×103 −18225×102

0 18225×102 30375×102 0 −18225×102 1215×103

4.- Hallando la matriz de rigidez en coordenadas globales:Sabemos que para el elemento 1 :

K 1 = K 11 K 12

K 21 K 22

T =

COS α SEN α 0−SEN α COS α 0

0 0 1

α = α 1 = 900

K 111 = T t K 11T =

729×10

3 0 −18225×102

0 9×107 0−18225×102 0 6075×103

K 112 = T t K 12T = −729×10

3 0 −18225×102

0 −9×107 018225×102 0 30375×102

K 121 = T t K 21T =

−729×10

3 0 −18225×102

0 −9×107 0−18225×102 0 30375×102

K 122 = T t K 22T =

729×10

3 0 18225×102

0 9×107 018225×102 0 1215×103

K 1 =

K 111 K 112K 121 K 122

=

729×103 0 −18225×102 −729×103 0 −18225×102

0 9×107

0 0 −9×107

0−18225×102 0 6075×103 18225×102 0 30375×102

−729×103 0 18225×102 729×103 0 18225×102

0 −9×107 0 0 9×107 0−18225×102 0 30375×102 18225×102 0 1215×103

1. Cálculos para el elemento “3” de la sección rectangular variable

h1 = 0.70m. h2 = 0.30m. b = 0.40m. L13 = 2.75m. L34 = 2.00m. L42 = 2.75m.

LT = L13 + L34 + L42

LT = 2.75 + 2.00 + 2.75 = 7.50m.

Para el tramo (1-3) de seccion Variable (0.70 m. x 0.30 m.)

UNSCH 30



31/47

CAPÍTULO 4.

LT = 2.75m.

h1 = 0.70m.

h2 = 0.30m.

Variación de Peralte del Alma:

h13( z) = h1−h2

L13( L13− Z ) + h2

h13( z) = 0.70−0.30

2.75 (2.75− Z ) + 0.30

h13( z) = 0.70−0.1454 Z

Variación del Area Axial:

A13( z) = b×h13( Z )

A13( z) = 0.40× (0.70−0.1454( Z ))

A13( z) = 0.28−0.0516 Z

Variación de Momentos de Inercia.

I 13( z) = bh13( z)

12

I 13( z) = 0.034 (0.70−0.1454 Z )3

Para el tramo (3-4) de seccion Rectangular Constante de (0.30 m. x 0.40 m.)

L34 = 2.00m. h2 = 0.30m. b = 0.40m. A34 = 0.12m2.

I 34 = bh32

12 =

0.40×0.303

12

I 34 = 0.0009m4

Para el tramo (4-2) de seccion Variable (0.30 m. x 0.70 m.)

L42 =

2.75m

.h1 = 0.70m.

h2 = 0.30m.

b = 0.40m.

Variación del Peralte del alma.

h42( z) = h1−h2

L42( Z − L13− L34) + h1

h42( z) = 0.30−0.70

2.75 ( Z −2.75−2.00) + 0.70

h42( z) = 0.3637 Z −1.0273

UNSCH 31



32/47

CAPÍTULO 4.

Variación del Area Axial. A42( z) = b×h42( Z )

A42( z) = 0.40× (0.3637 Z −1.0273)

A42( z) = 0.1455 Z −0.4109

Variación del Momento de Inercia

I 42( z) = bh42( z)

3

12 =

0.40 (0.3637 Z ×1.0273) 3

12

I 42( z) = 0.034× (0.3637 Z −1.0273)3

Cálculo delos coeficientes de Flexibilidad: (E= 25x10(exp8)Kg/m2).

f 11 =

ˆ L130

1 EA13( z)

dz +

ˆ L13+ L34 L13

1 EA34

dz +

ˆ L13+ L34+ L42 L13+ L34

1 EA42( z)

dz

f 11 =

ˆ 2.750

dz

2×108 (0.28−0.05816 Z ) +

ˆ 4.752.75

dz

2×108 (0.12) +

ˆ 7.504.75

dz

2×108 (0.1455 Z −0.4109)

f 11 = 1.496×10−8

f 66 =

ˆ L130

1 EI 13( z)

dz +

ˆ L13+ L34 L13

1 EI 34

dz +

ˆ L13+ L34+ L42 L13+ L34

1 EI 42( z)

dz

f 66 = 1.283×10−6

f 22 =

ˆ L130

z2

EI 13( z)dz +

ˆ L13+ L34 L13

z2

EI 34dz +

ˆ L13+ L34+ L42 L13+ L34

z2

EI 42( z)dz

f 22 = 1.519×10−5

f 26 =

ˆ L130

z

EI 13( z)dz +

ˆ L13+ L34 L13

z

EI 34dz +

ˆ L13+ L34+ L42 L13+ L34

z

EI 42( z)dz

f 26 = 4.191×10−6

Cálculo de los coeficientes de Rigidez: LT = 7.5m.

r az = 1 f 11

= 66979236.44

Det x = f 22× f 66− f 226

Det x = 1.924×10−12

r 11 x = f 22

Det x= 7895010.39

r 12 x = f 26 L− f 22

Det x= 8442047.82

r 22 x = f 66 L

2 −2 f 26 L + f 22 Det x

= 1270639.29

r aax = r 11 x + r 22 x + 2r 12 x

L2 = 463106.58

r abx = r 11 x + r 12 x

L= 2178274.43

r bax = r 22 x + r 12 x

L= 1295024.95

UNSCH 32



33/47

CAPÍTULO 4.

Ensamblaje de Submatrices de Rigidez del elemento “3” en coordenadas locales.

k 11 =


0 r abx r 11 x

=

66979236.44 0 00 463106.58 2178274.43

0 2178274.43 7895010.39

k 12 =


0 −r bax r 12 x

=

−66979236.44 0 00 −463106.58 1295024.95

0 −2178274.43 8442047.82

k 21 =


0 −r bax r 12 x

=

−66979236.44 0 00 −463106.58 −2178274.43

0 1295024.95 8442047.82

k 22 =


0 −r bax r 22 x

=

66979236.44 0 00 463106.58 −1295024.95

0 −1295024.95 1270639.58

K e3 =

69979236.44 0 0 −69979236.44 0 00 463106.58 2178274.43 0 −463106.58 1295024.950 2178274.43 7895010.39 0 −2178274.43 8442047.82

−69979236.44 0 0 69979236.44 0 00 −463106.58 −2178274.43 0 463106.58 −1295024.950 1295024.95 8442047.82 0 −1295024.95 1270639.58

Ensamblaje de Submatrices de Rigidez del elemento “3” en coordenadas Globales.

sabemos que: para.α = α 3 = 0

T = cosα senα 0−senα cosα 0

0 0 1

= 1 0 00 1 00 0 1

T T =

1 0 00 1 0

0 0 1

k 311 = T T k 11T =

66979236.44 0 00 463106.58 2178274.43

0 2178274.43 7895010.39

k 312 = T T k 12T =

−66979236.44 0 0

0 −463106.58 1295024.95

0 −2178274.43 8442047.82

k 321 = T

T k 21T =

−66979236.44 0 00 −463106.58 −2178274.43

0 1295024.95 8442047.82

k 322 = T T k 22T =

66979236.44 0 00 463106.58 −1295024.95

0 1295024.95 1270639.58

K 3 =

k 311 k 312

k 321 k 322

=

66979236.44 0 0 −66979236.44 0 00 463106.58 2178274.43 0 −463106.58 1295024.950 2178274.43 7895010.39 0 2178274.43 8442047.82

−66979236.44 0 0 66979236.44 0 0

0 −463106.58 −2178274.43 0 463106.58 −1295024.950 1295024.95 8442047.82 0 −1295024.95 1270639.58

Ensamblaje general de la matriz de rigidez:

UNSCH 33



34/47

CAPÍTULO 4.

K Global =

k 122 + k 311 k 312

k 321 k 222 + k 322

K Global =

67708236.44 0 9110010.39 −66972236.44 0 0

0 90463106.58 2178274.43 0 −463106.58 2178274.431822500.0 2178274.43 1822500.0 0 −1295024.95 8442047.82−66972236.44 0 0 67708236.44 0 1822500.0

0 −463106.58 −1295024.95 0 90463106.58 −1295024.950 2178274.43 8442047.82 1822500.0 −1295024.95 2485639.58

Calculando las fuerzas externas que actuan en los nudos

Coef : 0.095

u12 = +coef ×wl2 = 6581.4842kg/m V 12 = 4848.2388kgu12 = +coef ×wl

2 = −6581.4842kg/m V 21 = 4848.2388kg

Figura 4.2: Diagrama de Sistema de Coordenadas

F 1 =

F 1F 2F 3F 4F 5F 6

=

0−4848.2388−6581.4842

0−4848.23886581.4842

Hallando el vector de desplazamiento

= k −1gral ×F =

2.243×10−2

1.314×10−4

−2.592×10−3

2.233×10−2

−1.634×10−4

−5.123×10−3

UNSCH 34



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CAPÍTULO 4.

Desplazamiento en el nudo 1; desplazamiento en el nudo 2

1 =

2.243×10−2

1.314×10−4

−2.592×10−3

2 =

2.233×10−2

−1.634×10−4

−5.123×10−3

Desplazamiento en nudo a; desplazamiento en el nudo b

a =

000

b =

00cosα

0

Sabemos que la matriz de cambio de coordenadas es:

K α =

cosα sinα 0 0 0 0−sinα cosα 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 cosα sinα 00 0 0 −sinα cosα 00 0 0 0 0 1

K α =

0 1 0 0 0 0−1 0 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 0 1 00 0 0 −1 0 00 0 0 0 0 1

Hallando el valor de las deformaciones para cada elementopara elemento “1”

U 1 =

∆a∆1

=

000

2.243×10−2

1.314×10−4

−2.592×10−2

⇒U 1 = T (α 1)U 1 =

000

1.314×10−4

−2.243×10−2

−2.592×10−2

F e1 = K e1U 1 =

−12082.21−5468.92−13394.12

12082.215468.9213394.12

Para el elemento 2 :

U 2 =

∆b∆2

=

000

2.223×10−2

−1.634×10−4

−5.123×10−3

⇒U 2 = T (α 2)U 2 =

000

−0.0001634−0.02333−0.005123

F e2 = K e2U 2 =

12082.215468.92

13394.12−12082.21−5468.92−13394.12

UNSCH 35



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CAPÍTULO 4.

Para el elemento 3 :

U 3 = ∆1∆2

=

2.243×10−2

1.314×10−4

−2.592×10−32.223×10−2

−1.634×10−4

−5.123×10−3

⇒U 3 = T (α 3)U 3 =

0.0001314−0.02243

−0.002592−0.0001634−0.02333−0.005123

F e3 = K e3U 3 =

5458.99−11428.98−17221.99−5458.9911428.9817221.99

Figura 4.3: Elementos de la Estructura

UNSCH 36



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CAPÍTULO 4.

Figura 4.4: Diagrama de fuerzas axiales

Figura 4.5: Diagrama de fuerza cortante

UNSCH 37



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CAPÍTULO 4.

Figura 4.6: Diagrama de momento flector

UNSCH 38



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CAPÍTULO 5

SOLUCIÓN DE LA ESTRUCTURA POR EL MÉTODO DE HARDYCROSS

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CAPÍTULO 6

UTILIZANDO EL PROGRAMA ETABS V9

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PARTE IVCONCLUSIONES

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CONCLUSIONES V.

CONCLUSIONES

1 De acuerdo a los aspectos planteados se identificó y recopilo información de los parámetros de las vigas ycolumnas de la estructura según las normas.

2 Específicamente se presentaron las características generales de las vigas acarteladas, es decir, relación de laluz de la viga en términos de la longitud del miembro, la relación de la profundidad de la viga (cartela) y laviga (Ra); el momento de inercia; factor de transporte, rigidez, momento de empotramiento y deflexión.

3 Es importante considerar el caso de la viga acartelada de valor α a = 0.5 , ya que los resultados de losmomentos de empotramiento no se ajustan a los calculados por el método de análisis estructural.

4 En lo que se refiere a los resultados de las deflexiones, se observó que los obtenidos por Etabsv9 son demenor magnitud que los calculados por fórmulas, aplicando la teoría de la carga elástica.

UNSCH 42



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PARTE VRECOMENDACIONES

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RECOMENDACIONES V.

RECOMENDACIONES

1 Se sugiere la continuación del estudio del comportamiento de las vigas acarteladas, haciendo el mismoprocedimiento pero extendiendo hacia un modelo que represente vigas acarteladas de acero.

2 Se sugiere la continuación del estudio del comportamiento de las vigas acarteladas, haciendo el mismoprocedimiento pero extendiendo hacia un modelo que represente vigas acarteladas de acero.

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PARTE VIBIBLIOGRAFIA

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Bibliografía

[1] Tena-Colunga, A. (1994) Concerns regarding the seismic design of RC haunched beams. ACIStructural Jour-nal, Vol. 91, No. 3, pp. 287-293.

[2] Charon, P. (1962). El Método de Cross y el cálculo practico de las construcciones hiperestáticas. Teoría ypráctica. , Madrid. Aguilar.

[3] ARBULU, BIAGGIO, Cálculo de estructuras hiperestáticas – volumen I, II, III, Editorial Universal Nacionalde Ingeniería. Lima. 1968.

[4] SAN BARTOLOME, ANGEL. Análisis de edificios. Fondo editorial de la Pontificia Universidad Católica delPerú P.U.C.P. Lima 1999.

[5] URIBE ESCAMILLA, JAIRO .Análisis de estructuras. Editorial de la escuela colombiana. 2004

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PARTE VIIANEXOS

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