Viga Hiperistática

ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 1 / 37

MÉTODO DOS ESFORÇOS

Na resolução de estruturas hiperestáticas (aquelas que não podem ser resolvidas com as 3

equações fundamentais da estática , a saber : somatória forças verticais igual a zero , somatória

forças horizontais igual a zero , somatória momento fletor referente a um ponto igual a zero) , nós

podemos lançar mão do método dos esforços. Este processo de cálculo consiste na utilização de

uma estrutura equivalente a que desejamos calcular, na qual substituímos um vínculo entre barras

ou entre barra e apoio por um carregamento externo. Vejamos alguns exemplos de modificação

abaixo :

A estrutura equivalente deve ser isostática, caso a estrutura continue hiperestática após a

primeira modificação, executamos outra modificação e assim por diante até encontrar uma estrutura

equivalente isostática. A estrutura equivalente deve ser desdobrada em:

ISOSTÁTICA BÁSICA – corresponde a estrutura equivalente com os carregamentos externos da viga original .

CASO (1) – corresponde a estrutura equivalente com o carregamento originado pela primeira modificação.

CASO (2) – corresponde a estrutura equivalente com o carregamento originado pela segunda modificação.

CASO (n) – corresponde a estrutura equivalente com o carregamento originado pela enésima modificação.

Vale um comentário quanto a numeração da estrutura: deve-se procurar numerar os nós da

estrutura de forma que o ponto 1 coincida com a modificação 1 , o ponto 2 com a modificação 2 e

assim por diante, e, caso seja possível, desaconselha-se duas modificações no mesmo nó.

≡ X ≡

X

≡

X

≡

X X

≡

X X

≡ X

X


Para conseguirmos determinar as incógnitas que superam o número de equações

fundamentais da Estática vamos usar equações de compatibilidade de deformação (seja esta

deformação a flecha, o giro, ou o giro relativo). Ou seja , valendo a sobreposição de efeitos :

- na modificação do apoio móvel do nó “1” por uma força “X”, temos que a soma da flecha

devida ao carregamento externo original com a flecha devida a força “X” será igual a zero

(condição de apoio na estrutura original).

δ1R = δ10 + δ11 → 0 = δ10 + δ11

- na modificação do engastamento do nó “1” por um momento fletor “X” e um apoio fixo, temos

que a soma do giro devido ao carregamento externo original com o giro devido ao momento

“X” será igual a zero (condição de engastamento na estrutura original).

ϕ1R = ϕ10 + ϕ11 → 0 = ϕ10 + ϕ11

- na modificação da ligação rígida entre barras no nó “1” por uma articulação com momentos

fletores relativos “X”, diremos que a soma do giro relativo devido ao carregamento externo

original com o giro relativo devido aos momentos fletores relativos “X” será igual a zero

(condição de ligação rígida - continuidade - na estrutura original).

ϕR1R = ϕR10 + ϕR11 → 0 = ϕR10 + ϕR11

Os cálculos relativos a flecha, giro e giro relativo serão desenvolvidos com o Teorema de

Castigliano e auxílio da Tabela de Kurt Beyer. Para tanto devemos construir os diagramas de

momento fletor da Isostática Básica e dos “n” Casos. Uma vez que o Teorema de Castigliano utiliza

de um diagrama de momento gerado por um carregamento unitário, convém em cada Caso (“n”)

colocarmos em evidência Xn tornando assim cada Caso (“n”) em um carregamento unitário

multiplicado por Xn.

Cria-se a equação de compatibilidade na seguinte forma :

REAL = CASO (0) + X1 . CASO (1) + X2 . CASO (2) + ... + Xn . CASO (n)

Castigliano : dxIEMM o ⋅⋅⋅

= ∫ 1δ , dxIEMM o ⋅⋅⋅

= ∫ 1ϕ , dxIEMM o

R ⋅⋅⋅

= ∫ 1ϕ

Encontradas as deformações por Castigliano , montamos um sistema linear devido as

equações de compatibilidade com a seguinte forma :


⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++++=

++++=++++=

nnnnnnnR

nnR

nnR

XXX

XXXXXX

ϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

........... .... ..... .... ...

............

22110

2222211202

1122111101

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++++=

++++=++++=

nnnnnn

nn

nn

XXX

XXXXXX

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

......0..... .... ..... .... ...

......0......0

22110

222221120

112211110

Os valores encontrados nos fornecem os vínculos ou esforços internos aos quais se referem,

tornando possível agora a resolução da estrutura original utilizando-se as 3 equações fundamentais

da estática, seguindo o cálculo das reações de apoio e a construção dos diagramas de esforços

internos solicitantes da estrutura original, a saber N (esforço normal) , V (esforço cortante) e M

(momento fletor) .

EXERCÍCIO 01 : Na viga contínua esquematizada abaixo , calcular os diagramas de

esforços internos solicitantes : Resolução :

Definição da viga equivalente e numeração da estrutura (Caso Real) :

20 kN/m

4,0 m

1,5 m 2,0 m

3,0 m

30 kN40 kN

E , I → constantes

20 kN/m

4,0 m

1,5 m 2,0 m

3,0 m

30 kN40 kN

X X 0 1 2

ϕR1R = 0


Desmembramento da estrutura em Caso (0) – Isostática Básica e Caso (1) , com seus respectivos

gráficos de momento fletor :

Cálculo dos giros relativos ϕR10 , ϕR11 por Castigliano :

∫= dxIEMM

R ... 10

10ϕ

( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++++== ∫ βαϕ 1.

6..1.

6..

3..

3...

.1...

.1

1010kiskiskiskis

IEdxMM

IER

20 kN/m

4,0 m

1,5 m 2,0 m

3,0 m

30 kN40 kN

0 1 2

ϕR10

CASO (0)

M0 kN.m

40,0

22,5

+

M0 kN.m

30,0 30,0

4,0 m 3,0 m 0 1 2

1,0

M1 kN.m

1,0

X . CASO (1) 1,0

ϕR11


( ) ( )IEIER ..3

3855,01.6

1.30.45,01.6

1.30.33

1.40.43

1.5,22.3..1

10 +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++++=ϕ

∫= dxIEMM

R ... 11

11ϕ

IEIEkiskis

IEdxMM

IER ..37

31.1.4

31.1.3.

.1

3..

3...

.1...

.1

1110 +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +== ∫ϕ

Montagem sistema linear com equação de compatibilidade :

( R ) = ( 0 ) + X . ( 1 ) ⇒ ϕR1R = ϕR10 + X . ϕR11

IEX

IE ..37.

..33850 ++= ⇒ 00,55

7..3.

..3385

−=−=IE

IEX

∴ podemos assim afirmar que o momento fletor no apoio (1) assume o valor X . 1,0 kN.m , ou seja,

vale –55,00 kN.m . O sinal negativo indica que ele assume sentido contrário ao escolhido na

proposição do caso (1) .

Cálculo das Reações de Apoio e Diagrama de Esforços Internos Solicitantes

∑ −= 00,551esqM ⇒ 5,1.3.205,1.403.55 0 −−+=− VR ⇒ 0 31,67VR kN= +

∑ −= 00,551dirM ⇒ 2.4.202.304.55 2 −−+=− VR ⇒ 2 41,25VR kN= +

∑ = 0VF ⇒ 020.73040210 =−−−+++ VVV RRR ⇒ 1 137,08VR kN= +

∑ = 0HF ⇒ 02 =HR



esforços internos solicitantes :

20 kN/m

4,0 m

1,5 m 2,0 m

3,0 m

30 kN40 kN

0 1 2

RV 0 RV 1 RV 2

RH 2

+ –

+ –

N 0 [kN]

V +

+

– –

31,67 1,67

38,33

68,33

68,75

28,75

1,25

41,25

[kN]

+ – M

25,00

55,00

42,50

[kN.m]

40 kN/m

3,0 m

2,0 m

3,0 m

30 kN

E → constante

1,0 m

20 kN/m

I 3.I 3.I


Resolução :




X X 0 1 2

ϕR1R = 0 40 kN/m

3,0 m

2,0 m

3,0 m

30 kN

20 kN/m

I 3.I

20 kN.m

40 kN

M0 kN.m

45,0

22,5

+

CASO (0) 0 1 2

ϕR10 40 kN/m

3,0 m

2,0 m

3,0 m

30 kN

20 kN/m

I 3.I

20 kN.m

40 kN

M0 kN.m

20,0

20,0


Cálculo dos giros relativos ϕR10 , ϕR11 por Castigliano :

∫∫∫∫∫ +=+==2

110

1

010

2

1

101

0

101010 ...

..31...

.1.

..3.

...

...

dxMMIE

dxMMIE

dxIE

MMdx

IEMM

dxIEMM

Rϕ

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

6..

3...

..311.

6..

3...

.1

10kiskis

IEkiskis

IER αϕ

IEIEIER ..6305

620.1.3

31.45.3.

..31

321.

620.1.3

31.5,22.3.

.1

10 +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=ϕ

∫∫∫∫∫ +=+==2

111

1

011

2

1

111

0

111111 ...

..31...

.1.

..3..

...

.. dxMM

IEdxMM

IEdx

IEMMdx

IEMMdx

IEMM

Rϕ

IEIEIEkis

IEkis

IER ..34

31.1.3.

..31

31.1.3.

.1

3...

..31

3...

.1

10 +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=ϕ


( R ) = ( 0 ) + X . ( 1 ) ⇒ ϕR1R = ϕR10 + X . ϕR11

IEX

IE ..34.

..63050 ++= ⇒ 12,38

4..3.

..6305

−=−=IE

IEX

∴ podemos assim afirmar que o momento fletor no apoio (1) assume o valor X . 1,0 kN.m , ou seja,

vale –38,12 kN.m . O sinal negativo indica que ele assume sentido contrário ao escolhido na



3,0 m 3,0 m 0 1 2

1,0

M1 kN.m

1,0

X . CASO (1) 1,0

ϕR11


∑ −= 12,381esqM ⇒ 5,1.3.201.303.12,38 0 −−+=− VR ⇒ 0 27,29VR kN= +

∑ −= 12,381dirM ⇒ 2.4.403.12,38 2 −+=− VR ⇒ 2 93,96VR kN= +

∑ = 0VF ⇒ 040.420.330210 =−−−+++ VVV RRR ⇒ 1 128,75VR kN= +

∑ = 0HF ⇒ 00 =HR

3,0 m

0 1 2

RV 0 RV 1 RV 2

RH 0

+ –

+ –

N 0 [kN]

V + +

– –

27,29

42,71

12,71

62,71

66,04 40,00

53,96

[kN]

+ – M

18,62

38,12

16,42

[kN.m]

40 kN/m

3,0 m

2,0 m

30 kN

1,0 m

20 kN/m

I 3.I 3.I

+

1,365 1,35

20,00



esforços internos solicitantes : Resolução :




18 kN/m

4,0 m 3,0 m


3,0 m 1,0 m

24 kN/m

18 kN/m

4,0 m 3,0 m 3,0 m

24 kN/m 18 kN

9 kN.m

X1 X2X2 X3X31 2 3 4

ϕ1R = 0

ϕR2R = 0 ϕR3R = 0

M0 kN.m

20,25 48,00

+

M0 kN.m

9,00

CASO (0)

18 kN/m

4,0 m 3,0 m 3,0 m

24 kN/m 18 kN

9 kN.m

1 2 3 4

ϕ10

ϕR20 ϕR30

20,25


Cálculo dos giros relativos ϕR20 , ϕR30 , ϕR21 , ϕR22 , ϕR23 , ϕR31 , ϕR32 , ϕR33 , e dos giros ϕ10 , ϕ11 , ϕ12 ,

ϕ13, por Castigliano :

IEIEkis

IEdxMM

IEdx

IEMM

.64

31.48.4.

.1

3...

.1...

.1.

.

.10

1010 +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=== ∫∫ϕ

IEIEkis

IEdxMM

IEdx

IEMM

..34

31.1.4.

.1

3...

.1...

.1.

..

1111

11 +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=== ∫∫ϕ

M1 kN.m

1,00

X1 . CASO (1)

4,0 m 3,0 m 3,0 m

1,00 1 2 3 4

ϕ11 ϕR21 ϕR31

M2 kN.m

1,00

X2 . CASO (2)

4,0 m 3,0 m 3,0 m

1,001 2 3 4

ϕ12 ϕR22 ϕR32

1,00

M3 kN.m

1,00

X3 . CASO (3)

4,0 m 3,0 m 3,0 m

1,001 2 3 4

ϕ13 ϕR23 ϕR33

1,00


IEIEkis

IEdxMM

IEdx

IEMM

R ..32

61.1.4.

.1

6...

.1...

.1.

..

2121

2112 +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==== ∫∫ϕϕ

00..1...

.1.

..

3131

3113 ===== ∫∫ IEdxMM

IEdx

IEMM

Rϕϕ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=== ∫∫ 3

1.25,20.33

1.48.4..1

3..

3...

.1...

.1.

..

2020

20 IEkiskis

IEdxMM

IEdx

IEMM

Rϕ

IER ..4337

20 +=ϕ

IEIEkiskis

IEdxMM

IEdx

IEMM

R ..37

31.1.3

31.1.4.

.1

3..

3...

.1...

.1.

..

2222

22 +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=== ∫∫ϕ

IEIEkis

IEdxMM

IEdx

IEMM

RR ..21

61.1.3.

.1

6...

.1...

.1.

..

3232

3223 +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==== ∫∫ϕϕ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=== ∫∫ 6

..3..

3...

.1...

.1.

..

3030

30kiskiskis

IEdxMM

IEdx

IEMM

Rϕ

IEIER .36

61.9.3

31.25,20.3

31.25,20.3.

.1

30 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=ϕ

IEIEkiskis

IEdxMM

IEdx

IEMM

R .2

31.1.3

31.1.3.

.1

3..

3...

.1...

.1.

..

3333

33 +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=== ∫∫ϕ


( R ) = ( 0 ) + X1 . ( 1 ) + X2 . ( 2 ) + X3 . ( 3 ) ⇒ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

+++=+++=

+++=

33332231130

23322221120

13312211110

...0...0

...0

RRRR

RRRR

XXXXXX

XXX

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

resolvendo o sistema por forma matricial :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

30

20

10

3

2

1

333231

232221

131211

R

R

RRR

RRR

XXX

ϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

⇒ ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

00,3625,8400,64

00,250,0050,033,267,0067,033,1

3

2

1

XXX

∴ 23,1207,2347,36

3

2

1

−=−=−=

XXX

∴ podemos assim afirmar que : o momento reativo no engaste (1) assume o valor X1 . 1,0 kN.m ,

ou seja, vale –36,47 kN.m ; o momento fletor no apoio (2) assume o valor X2 . 1,0 kN.m , ou seja,


vale –23,07 kN.m ; o momento fletor no apoio (3) assume o valor X3 . 1,0 kN.m , ou seja, vale –12,23

kN.m . O sinal negativo indica que os momentos assumem sentido contrário ao escolhido na

proposição dos casos .


∑ −= 07,232esqM ⇒ 2.4.244.47,3607,23 1 −+−=− VR ⇒ 1 51,35VR kN= +

∑ −= 23,123esqM ⇒ 5,1.3.183.2.4.247.35,5147,3623,12 2 −+−+−=− VR ⇒ 2 75,26VR kN= +

∑ −= 23,123dirM ⇒ 3.2.4.1823,12 4VR+−=− ⇒ 4 43,92VR kN= +

∑ −= 07,232dirM ⇒ 3.6.92,435,3.7.1807,23 3VR++−=− ⇒ 3 51,47VR kN= +

∑ = 0HF ⇒ 01 =HR ; 04 =HR

RV 1 RV 3 RV 2

RH 4

+ –

+ –

N 0 [kN]

V + +

– –

51,35

44,65 2,14 m 23,39

30,61 18,00 28,08

25,92

[kN]

+ – M

18,48

36,47

23,07

[kN.m]

18 kN/m

4,0 m 3,0 m 3,0 m 1,0 m

24 kN/m

RV 4

RH 1

–

+ +

1,70 m 1,56 m

2,95

12,23

9,67

9,00


EXERCÍCIO 04 : Na viga hiperestática esquematizada abaixo , calcular os diagramas

de esforços internos solicitantes : Resolução :

a) utilizando a flecha do apoio (1) para montagem da equação de compatibilidade :




Cálculo das flechas δ10 , δ11 por Castigliano :

IEIEkis

IEdxMM

IEdx

IEMM

.640

44.160.4.

.1

4...

.1...

.1.

.

.10

1010 −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=== ∫∫δ

4,0 m


20 kN/m

4,0 m

X

20 kN/m

0 1 δ1R = 0

M0 kN.mCASO (0)

4,0 m

20 kN/m

0 1 δ10

M1 kN.mX . CASO (1)

4,0 m

0 1 δ11

1,0 kN 4

160


IEIEkis

IEdxMM

IEdx

IEMM

..364

34.4.4.

.1

3...

.1...

.1.

..

1111

11 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=== ∫∫δ


( R ) = ( 0 ) + X . ( 1 ) ⇒ δ1R = δ10 + X . δ11

IEX

IE ..364.

.6400 +−= ⇒ 00,30

64..3.

.640

=+=IE

IEX

∴ podemos assim afirmar que a reação vertical no apoio (1) assume o valor X . 1,0 kN , ou seja,

vale 30,00 kN . O sinal positivo indica que ela assume o mesmo sentido escolhido na proposição do

caso (1).

Cálculo das Reações de Apoio

∑ = 00M ⇒ 02.4.204.300 =+−− RM ⇒ 0 40,00RM kN= +

∑ = 0VF ⇒ 020.4300 =−++ VR ⇒ 0 50,00VR kN= +

∑ = 0HF ⇒ 00 =HR

b) utilizando o giro do engaste (1) para montagem da equação de compatibilidade :




4,0

X

20 kN/m

2 1 ϕ1R = 0

M0kN.mCASO

4,0

20 kN/m

2 1 ϕ10

M1kN.mX . CASO (1)

4,0 2 1

ϕ11

1,0 kN.m 1

40


Cálculo dos giros ϕ10 , ϕ11 por Castigliano :

IEIEkis

IEdxMM

IEdx

IEMM

..3160

31.40.4.

.1

3...

.1...

.1.

.

.10

1010 −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=== ∫∫ϕ

IEIEkis

IEdxMM

IEdx

IEMM

..34

31.1.4.

.1

3...

.1...

.1.

..

1111

11 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=== ∫∫ϕ


( R ) = ( 0 ) + X . ( 1 ) ⇒ ϕ1R = ϕ10 + X . ϕ11

IEX

IE ..34.

..31600 +−= ⇒ 00,40

4..3.

..3160

=+=IE

IEX

∴ podemos assim afirmar que o momento reativo no engaste (1) assume o valor X . 1,0 kN.m , ou

seja, vale 40,00 kN.m . O sinal positivo indica que ela assume o mesmo sentido escolhido na


Cálculo das Reações de Apoio

∑ = 00M ⇒ 02.4.204.40 1 =+−− VR ⇒ 1 30,00VR kN= +

∑ = 0VF ⇒ 020.4300 =−++ VR ⇒ 0 50,00VR kN= +

∑ = 0HF ⇒ 00 =HR

RV 0 RV 1

RH 0

+ –

+ –

N 0 [kN]

V +

–

50,0

30,0

[kN]

+ – M

22,50

40,00

2,50 m

4,0

0

20 kN/m

MR0 Diagramas de Esforços Internos Solicitantes

Nota : O exercício foi resolvido de duas

maneiras possíveis para demonstrar o método ,

no caso poderia ser utilizada a resolução a) ou

b) , que resultaram iguais como podemos

comprovar no item de cálculo das reações.


EXERCÍCIO 05 : Na estrutura esquematizada abaixo , calcular as reações de apoio e

os diagramas de esforços internos solicitantes : Resolução :

Definição da estrutura equivalente e numeração (Caso Real) :

32 kN/m

6,0 m


3,0

m

2,0

m

24 kN

X1

ϕ1R = 0

32 kN/m

6,0 m


3,0

m

2,0

m

24 kN

2

1

3 4




CASO (0)

ϕ10

32 kN/m

6,0 m

3,0

m

2,0

m

24 kN

2

1

3 4

24 kN

116 kN

76 kN

11606.3276

076

03.6.325.246.0

24024

0

1

1

2

2

1

1

1

==−+

=

==−++

=

==−+

=

∑

∑

∑

V

V

V

V

V

H

H

H

RR

FR

RM

RR

F

M0 [ kN.m ]

144,00

2

3

0

3 4

120,00

3 4

4

1

120,00


Cálculo dos giros ϕ10 , ϕ11 , por Castigliano :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=== ∫∫ 2

..3..

3...

.1...

.1.

.

.10

1010

kiskiskisIE

dxMMIE

dxIEMM

ϕ

IEIE .252

2120.1.5

3120.1.6

3144.1.6.

.1

10 −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=ϕ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=== ∫∫ kiskis

IEdxMM

IEdx

IEMM ..

3...

.1...

.1.

..

1111

11ϕ

IEIE .71.1.5

31.1.6.

.1

11 +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=ϕ

X1 . CASO (1)

1,00

ϕ11

6,0 m

3,0

m

2,0

m

2

1

3 4

0

1/6 kN 6

11

61

1

61

2

2

1

1

00

016.0

00

==+−

=

==−+

=

=

=

∑

∑

∑

V

V

V

V

V

H

H

RRF

RRM

RF

1/6 kN

M1 [ kN.m ]

2

3

0

3 4

1,00

4

1 1,00

1,00



( R ) = ( 0 ) + X1 . ( 1 ) ⇒ 11110 .0 ϕϕ X+= ⇒ 11

101 ϕ

ϕ−=X

00,367.

.252

1 =⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

IEIE

X

∴ podemos assim afirmar que o momento reativo no engaste (1) assume o valor X1 . 1,0 kN.m ,

ou seja, vale 36,00 kN.m . O sinal positivo indica que o momento assume o mesmo sentido ao

escolhido na proposição dos casos .


( )161 116,00 36,00. 110,00 VR kN= + − =

( )1 24,00 36,00. 0 24,00 HR kN= + =

( )162 76,00 36,00. 82,00 VR kN= + + =

82,00

82,00

–

–

110,00

110,00

0

N [ kN ]

82,00

–

110,00

24,00

0

V [ kN ]

+

+

24,00

2,56 m





84,00

84,00

105,06

36,00

0

M [ kN.m ]

2,56 m

36 kN/m

4,0 m


2,0

m

2,0

m

18 kN




CASO (0)

9004.3654

054

02.4.364.184.0

18018

0

1

1

2

2

1

1

1

==−+

=

==+−−

=

==+−

=

∑

∑

∑

V

V

V

V

V

H

H

H

RR

FR

RM

RR

F

X1

ϕ1R = 0

2

1

3 4

36 kN/m

4,0 m E , I → constantes

2,0

m

2,0

m

18 kN

ϕ10 18 kN

90 kN

54 kN

2

1

3 4

36 kN/m

4,0 m

2,0

m

2,0

m

18 kN


1,00

M0 [ kN.m ]

72,00

2

3

0

3 4

72,00

3 4

4

1

72,00

X1 . CASO (1)

41

1

41

1

41

2

2

1

1

00

014.0

00

==−

=

==−+

=

=

=

∑

∑

∑

V

V

V

V

V

H

H

RR

FR

RM

RF

M1 [ kN.m ]

2

3

0 3 4

1,00 4

1 1,00

1,00

1,00

ϕ11

1/4 kN

1/4 kN

0

2

1

3 4

4,0 m

2,0

m

2,0

m


Cálculo dos giros ϕ10 , ϕ11 , por Castigliano :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=== ∫∫ 2

..3..

3...

.1...

.1.

.

.10

1010

kiskiskisIE

dxMMIE

dxIEMM

ϕ

IEIE .144

272.1.4

372.1.4

372.1.4.

.1

10 +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−=ϕ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=== ∫∫ kiskis

IEdxMM

IEdx

IEMM ..

3...

.1...

.1.

..

1111

11ϕ

IEIE ..3161.1.4

31.1.4.

.1

11 +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=ϕ


( R ) = ( 0 ) + X1 . ( 1 ) ⇒ 11110 .0 ϕϕ X+= ⇒ 11

101 ϕ

ϕ−=X

00,2716

..3.

1441 −=⋅−=

IEIE

X


ou seja, vale 27,00 kN.m . O sinal negativo indica que o momento assume o sentido contrário ao

escolhido na proposição dos casos .


( )141 90,00 27,00. 83,25 VR kN= − + =

( )1 18,00 27,00. 0 18,00 HR kN= − =

( )142 54,00 27,00. 60,75 VR kN= − − =


83,25

83,25

–

–

60,75

60,75

0

N [ kN ]

83,25

60,75

V [ kN ]

+

1,69 m

18,00

18,00

–

–

0

45,00

51,26

M [ kN.m ]

1,69 m

27,00

45,00

0





13 kN/m

4,0 m E , I → constantes

2,5

m

2,5

m

17 kN

4,0

m

1,0

m

21 kN

X2

ϕ2R = 0 2 1

3 4

13 kN/m

4,0 m

2,5

m

2,5

m

17 kN

4,0

m

1,0

m

21 kN

X1

δ1R = 0


Desmembramento da estrutura em Caso (0) – Isostática Básica , Caso (1) e Caso (2) , com seus

respectivos gráficos de momento fletor :

CASO (0)

38,3604.1362,15

062,15

04.212.4.135,2.174.0

402117

0

1

1

2

2

1

2

2

==−+

=

==−++−

=

==+−+

=

∑

∑

∑

V

V

V

V

V

H

H

H

RR

FR

RM

RR

F

15,62 kN

4,00 kN

36,38 kN

ϕ20 2 1

3 4

13 kN/m

4,0 m

2,5

m

2,5

m

17 kN

4,0

m

1,0

m

21 kN

δ10

M0 [ kN.m ]

26,00

1

3

0

3 4

42,50

3 4

4

2

42,50

1,00

20,00 4

2

21,00

0


X1 . CASO (1)

000

00

04.0

101

0

1

1

2

2

1

2

2

==+

=

==+

=

==−

=

∑

∑

∑

V

V

V

V

V

H

H

H

RR

FR

RM

RRF

0

1,00 kN

0

ϕ21 2 1

3 4

4,0 m

5,0

m

δ11

1,00 kN

M1 [ kN.m ]

3 4 5,00 4

2

5,00

5,00 3

1

5,00


Cálculo dos giros ϕ20 , ϕ21 , ϕ22 , e das flechas δ10 , δ11 , δ12 , por Castigliano :

∫∫ == dxMMIE

dxIEMM ...

.1.

.

.10

1010δ

( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++−+++=

3...2.

6.

3...

2..2.

6..

.1

21212110kiskkiskiskkiskkis

IEδ

( ) ( ) ( )IEIE .02,192

35.20.545.2.

621.1

35.26.815,42.

25.45,25.2.

65,42.5,2.

.1

10 +=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++−+++=δ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=== ∫∫ 3

....3...

.1...

.1.

..

1111

11kiskiskis

IEdxMM

IEdx

IEMMδ

X2 . CASO (2)

41

1

41

1

41

2

2

1

2

00

014.0

00

==−

=

==−+

=

=

=

∑

∑

∑

V

V

V

V

V

H

H

RR

FR

RM

RF

0

1,00 kN.m

ϕ22 2 1

3 4

4,0 m

5,0

m

δ12

1/4 kN 1/4 kN

M2 [ kN.m ]

3 4

0

4

2

1,00

1,00

3

1

1,00


IEIE .33,183

35.5.55.5.4

35.5.5.

.1

11 +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=δ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−==== ∫∫ 2

..2...

.1...

.1.

..

2121

2112kiskis

IEdxMM

IEdx

IEMMϕδ

IEIE .50,22

25.1.5

21.5.4.

.1

2112 −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−== ϕδ

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+++−=== ∫∫ 2

..2..

3...2.

6..

.1...

.1.

..

212020

20kiskiskiskkis

IEdxMM

IEdx

IEMM

ϕ

( )IEIE .50,44

21.21.1

21.20.5

326.1.45,421.2.

61.4.

.1

20 +=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+++−=ϕ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=== ∫∫ kiskis

IEdxMM

IEdx

IEMM ..

3...

.1...

.1.

..

2222

22ϕ

IEIE .33,61.1.5

31.1.4.

.1

22 +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=ϕ


( R ) = ( 0 ) + X1 . ( 1 ) + X2 . ( 2 ) ⇒ ⎩⎨⎧

++=++=

222211202

122111101

....ϕϕϕϕδδδδ

XXXX

R

R

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−=

−+=

21

21

..33,6.

.50,22

.50,440

..50,22.

.33,183

.02,1920

XIE

XIEIE

XIE

XIEIE ⇒

⎩⎨⎧

+−=−−=−

21

21

.33,6.50,2250,44.50,22.33,18302,192

XXXX

⇒ ⎩⎨⎧

−=−=

074,19388,3

2

1

XX

∴ podemos assim afirmar que o momento reativo no engaste (2) assume o valor X2 . 1,0 kN.m , ou

seja, vale 19,07 kN.m ; e a reação horizontal no apoio (1) assume o valor X1 . 1,0 kN, ou seja , vale

3,39 kN. O sinais negativos indicam que o momento e a reação horizontal assumem o sentido

contrário ao escolhido na proposição dos casos .


( )141 36,38 3,388.0 19,074. 31,61 VR kN= − − + =

( )2 4,00 3,388. 1 19,074.0 7,39 HR kN= − − − =

( )142 15,62 3,388.0 19,074. 20,39 VR kN= − − − =


31,61

31,61

– –

20,39

20,39 N [ kN ]

–

13,61 13,61

31,61

–

3,39 V [ kN ]

+

+

13,61

2,43 m

–

+

3,39 13,61

13,61

7,39

20,39 13,61 7,39

–

19,07

3,14

8,48

M [ kN.m ]

25,55

1,57 m

10,49

3,14

25,55

12,86



os diagramas de esforços internos solicitantes : Resolução : Definição da estrutura equivalente e numeração (Caso Real) :

20 kN/m

4,0 m

E → constante

2,0

m

2,0

m

40 kN

6,0

m

2,0 m

I

I

I

2.I

X1

ϕ1R = 0

2

1

3 4

20 kN/m

4,0 m

2,0

m

2,0

m

40 kN

6,0

m

I

I

2.I

40 kN

40 kN.m

X2

δ2R = 0


Desmembramento da estrutura em Caso (0) – Isostática Básica , Caso (1) e Caso (2) , com seus

respectivos gráficos de momento fletor :

CASO (0)

700404.2050

050

0404.402.4.204.404.0

40040

0

1

1

2

2

1

1

1

==−−+

=

==+++−−

=

==+−

=

∑

∑

∑

V

V

V

V

V

H

H

H

RR

FR

RM

RR

F

M0 [ kN.m ]

40,00

2

4

0

4 3

240,00

4 3

3

1

240,00

50 KN

40 KN

70 KN

ϕ10

2

1

3 4

20 KN/m

4,0 m

2,0

m

2,0

m

40 kN

6,0

m

I

I

2.I

40 kN

40 kN.m

δ20

120,00

80,00


X1 . CASO (1)

41

1

41

1

41

2

2

1

1

00

014.0

00

==−

=

==−+

=

=

=

∑

∑

∑

V

V

V

V

V

H

H

RR

FR

RM

RF

M1 [ kN.m ]

2

4

0 4 3

1,00 3

1 1,00

1,00

1,00 1/4 kN

1/4 kN

0 ϕ11

2

1

3 4

4,0 m 2,

0 m

2,

0 m

6,0

m

I

I

2.I δ21


Cálculo dos giros ϕ10 , ϕ11 , ϕ12 , e das flechas δ20 , δ21 , δ22 , por Castigliano :

∫∫ +=2

310

3

11010 ...

.1...

..21 dxMM

IEdxMM

IEϕ ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

3...2.

6..

.1

2...

..21

21kiskkis

IEkis

IE

( )IEIEIE ..3

21203

1.40.4120240.2.61.4.

.1

21.240.6.

..21

10 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=ϕ

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=+= ∫∫ 3

....1...

..21...

.1...

..21 2

310

3

11011

kisIE

kisIE

dxMMIE

dxMMIE

ϕ

( )IEIEIE ..3

133

1.1.4..11.1.6.

..21

11 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=ϕ

X2 . CASO (2)

5,005,0

05,0

02.14.0

101

0

1

1

2

2

1

1

1

==+−

=

==+−

=

==−

=

∑

∑

∑

V

V

V

V

V

H

H

H

RRF

RRM

RR

F

M2 [ kN.m ]

2

4 4 3

4,00

3

1

6,00

6,00

1,00

1,00 kN

0,5 kN

0,5 kN

ϕ12

2

1

3 4

4,0 m

2,0

m

2,0

m

6,0

m

I

I

2.I δ22

4,00


( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=+== ∫∫ 21

2

321

3

1212112 .2.

6..

.1

2...

..21...

.1...

..21 kkis

IEkis

IEdxMM

IEdxMM

IEδϕ

( )IEIEIE ..3

5946.2.61.4.

.1

21.6.6.

..21

2112 −=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−== δϕ

∫∫ +=2

320

3

12020 ...

.1...

..21 dxMM

IEdxMM

IEδ

( ) ( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+++−++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= 21221221112120 .2.

6...2....2.

6.

3..

.1

3...

..21 kkiskikikikiskkis

IEkis

IEδ

( ) ( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+++−++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= 24.2.

680.2120.4.26.1204.240240.6.2.

6446.

340.4.

.1

3240.6.6.

..21

20 IEIEδ

IE..314560

20 −=δ

∫∫ +=2

322

3

12222 ...

.1...

..21 dxMM

IEdxMM

IEδ ( )⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +++++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= 22122111 ..2....2.

63...

.1

3...

..21 kikikikiskis

IEkis

IE

( )IEIEIE ..3

4764.4.26.44.66.6.2.64

34.4.4.

.1

36.6.6.

..21

22 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=δ


( R ) = ( 0 ) + X1 . ( 1 ) + X2 . ( 2 ) ⇒ ⎩⎨⎧

++=++=

222211202

122111101

....δδδδϕϕϕϕ

XXXX

R

R

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−−=

−+=

21

21

...3

476...3

59..3

145600

...3

59...3

13..3

21200

XIE

XIEIE

XIE

XIEIE ⇒

⎩⎨⎧

+−=−=−

21

21

.476.5914560.59.132120

XXXX

⇒ ⎩⎨⎧

+=−=

716,23441,55

2

1

XX


ou seja, vale 55,44 kN.m , sendo que o sinal negativo indica que o momento assume sentido

contrário ao escolhido na proposição dos casos ; e a reação horizontal no apoio (2) assume o valor

X2 . 1,0 kN, ou seja , vale 23,72 kN , o sinal positivo indica que a reação horizontal assume o sentido

o escolhido na proposição dos casos .



( )1 70,00 55,441.0,25 23,716. 0,50 44,28 VR kN= − + − =

( )1 40,00 55,441.0 23,716. 1,00 16,28 HR kN= − + − =

( )2 50,00 55,441. 0,25 23,716.0,50 75,72 VR kN= − − + =

44,28

44,28

–

–

75,72

75,72

N [ kN ]

–

16,28 16,28

0

44,28

–

16,28 V [ kN ]

+

+

23,72

2,21 m –

+

40,00

16,28

35,72 16,28

23,72

16,28 –

47,44

25,12

55,44

M [ kN.m ]

42,24

2,21 m

14,88

40,00 42,24

6,78

Viga Hiperistática

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