Vigas Mistas Exemplos

1

1

Dimensionamento de vigas mistas de aço e concreto segundo NBR 8800:2008

Especialização em Engenharia de EstruturasEspecialização em Engenharia de Estruturas

Exemplos

2

Momento fletor resistente positivoMomento fletor resistente positivo

� Plano das vigas no pavimento tipo

P1P1

P1P1 P1P1

P1P1

P2 P3

P2 P3 P2 P3

P2 P3

V1 V1

V1 V1

V2

V3

V2

V2

V3

V2

L1 L1

L1 L1

L2L2

L2 L2

V4

V5

V4

V6

V6

V7

V6

V6

V7

V6

V6

V8

V6

V6

V8

V9 V9

620 620 620

450

360

450

315

315

315

315

115 390 115

1 2 3 4

AB

CD

2

3

� DadosGeometria

Ações:Peso próprio estrutura: 0,43 kN/mPeso próprio laje: 13,19 kN/mAlvenaria: 5,8 kN/mSobrecarga de utilização: 4,44 kN/mCombinação última normal: 1,25PP+1,35(CP+alv)+1,5SC

1,25*0,43+1,35*(13,19+5,8)+1,5*4,44 Total: 32,83 kN/m

Esforços de cálculo para combinação normal:Momento fletor: MSd=157,77 kN.mEsforço cortante: VSd=101,79 kN.m


620,0 cm

4

1ª. HIPÓTESE1ª. HIPÓTESE

Viga BIAPOIADA

Construção ESCORADA

Interação TOTAL

3

5

� DadosGeometria da viga de aço

VS 250 x 33d=250 mm; bf=160 mm; tf=9,5 mm; tw=4,75 mmDistância para as vigas adjacentes:

viga esquerda (V1): L1=3150 mm

viga direita (V3): L2=3150 mm

Laje de concretohc=80 mm

Conectores tipo pino com cabeçaDiâmetro mínimo: lembrar que hco > 4dco

hco=80 – 15 = 65mm → dco < 16,2 mm

Adotado dco=12,5 mm

Materiais:Aço: fy=25 kN/cm

2; fu=40 kN/cm2 e Es=20500 kN/cm

2

Concreto da laje: fck=2 kN/cm2

Conector: fuco= 41,5kN/cm2

80

4,75250

9,5

160

Momento fletor resistente positivoMomento fletor resistente positivo Interação TOTAL

6

� Classificação da viga de açoPropriedades geométricas da viga de aço

A=41,37 cm2

Iax=4886,06 cm4

Wa=390,89 cm3

Verificar classificação da viga de açoCompacta, semi-compacta e esbelta

Alma:

Mesas:

Plastificação total da seção mista

Viga mista biapoiada →→→→ ββββvm= 1,0

80

4,75250

9,5

160


compacta seção 108f

E76,363,48

75,4

231

t

h

yw

→=<==

compacta seção 9,10f

E38,04,8

5,9x2

160

t2

b

yf

f →=<==

Viga contida lateralmente

80

4,75250

9,5

160

4

7

� Construção escorada e interação completaLargura efetiva da laje:

Viga mista biapoiada:

Menor valor entre:1/4 * L1=0,25*620= 155 cm

0,5*(L1+L2)=0,5*(315+315)=315 cm

Portanto: b=155cm

Cisalhamento na interface (Vh)Para interação completa →→→→ QRd ≥ VhRd

Linha neutra única: na viga de aço ou na laje de concreto

Como Ccd > Tad →→→→ linha neutra plástica na LAJE→→→→ QRd=940,2 kN


B

σ m a x

b

σ

( )

=⋅

==

=⋅⋅⋅

==≤

kN2,94010,1

2537,41AfT

kN7,15054,1

8155285,0

4,1

btf85,0C

V

ayad

cckcd

hRd

8

� Construção escorada e interação completaResistência dos conectores tipo pino com cabeça

Área do conector: Aco=0,25*ππππ*(dcon)2=1,23 cm2

Módulo de elasticidade do concreto: Ec=4760*(fck) ½=2128,7 kN/cm2

Resistência de um conector: qRd

Esmagamento do concretoRuptura do conector

Portanto qRd=32,1 kN

Número de conectores necessários: ηηηηco


=⋅=⋅

=⋅=⋅≤

kN 8,408,400,125,1

fAC

kN 1,321,320,125,1

EfA5,0C

qucs

red

cckcsred

Rd

viga /meiaconectores 3,291,32

2,940

q

Q

Rd

Rdco ===η

Entre pontos de Mmax e nulo

5

9

� Construção escorada e interação completaPosição da Linha neutra plástica

Linha neutra plástica localizada na altura da laje de concreto se

Resistência ao momento fletor

Força de tração no perfil →

Posição da linha neutra →

Resultante no concreto →


kN2,94010,1

2537,41

10,1

)fA(T ayad =

⋅==

( )10,1

Af

40,1

tbf85,0 aycck⋅

≥⋅⋅

Resistência da viga de açoResistência da laje

de concreto

Ccd=1505,7 kN Tad=940,2 kN LNP na laje

cm8tcm5

40,1

155285,02,940

40,1

bf85,0T

a cck

ad =≤=⋅⋅

==

kN 1,94140,1

5155285,0

40,1

abf85,0C ck

cd =⋅⋅⋅

==

10

� Construção escorada e interação completaResistência ao momento fletor

Momento fletor resistente de cálculo:

Momento fletor solicitante de cálculo:


kN2,940Tad =

kN 1,941C cd =

( ) kN.cm 169255,2805,122,9400,12

athd5,0TM cFadvmRd =−++⋅⋅=

−++β=

d

d1

tchF

tf

tw

hCG

f y/1,10

(0,85 f ck)/1,40

Ccd

Tad

LNP

a

d1

b

kN.cm 16925MRd =

kN.cm 15777MSd =

6

11

� Construção escorada e interação completa

Viga de açoTestadas:

VS 300 x 43 → não passou na flexão (MRd=10188kN.cm)

VS 350 x 58 → ok!!!! (MRd=19892kN.cm)

Para viga mistaVS 250 x 33


12

Viga BIAPOIADA

Construção ESCORADA

Interação PARCIAL

2ª. HIPÓTESE42ª. HIPÓTESE4

7

13


� Construção escorada e interação parcialMomento fletor solicitante de cálculo: MSd=15777 kN.cm

Escolha do grau de interação:valores mínimos: para perfil de aço com mesas de áreas iguais

Le=6,2m (distância entre pontos de momento nulo)

Adotado grau de interação η=0,5

Interação PARCIAL

>

≤≥−−=η

m25L se 1

m25L se 40,0)L03,075,0(f578

E1

e

eey

4,0)L03,075,0(f578

E1m20,6L e

ye ≥−−=η→=

0,4 mínimo4,02,0 =η→<=η

L=620cm

14

� Construção escorada e interação parcialCisalhamento na interface (Vh)

Para interação parcial → QRd= η * VhRd

∴ VhRd=940,2 kN

Número de conectores para interação parcialFluxo de cisalhamento a ser resistido

QRd=0,5*940,2=470,15 kNnco=QRd/qRd com qRd=32,1 kN

∴ nco=14,68 conectores para meia viga

Momento fletor resistente positivoMomento fletor resistente positivo Interação PARCIAL

( )

=⋅

==

=⋅⋅⋅

==≤

kN2,94010,1

2537,41AfT

kN7,15054,1

8155285,0

4,1

btf85,0C

V

ayad

cckcd

hRd

kN1,4702,9405,0VQ hRdRd =⋅=⋅η=

8

15

� Construção escorada e interação parcialResistência ao momento fletor

Resultante na viga de aço →

Para interação parcial →


Cad

Ccd0,85 fcd

yc

a

LNP(no perfil)

Tad

fyd

fyd

yt

tw

tchF

d

tf

h

LNP(na laje)

yp

bef

kN2,94010,1

)fA(T ayad ==

kN 15,470QC Rdcd ==

16

� Construção escorada e interação parcialResultante de compressão na viga de aço Cad:

Interação parcial → duas LN: uma na laje e outra na viga de açoa: linha neutra na laje de concreto

yp: linha neutra na viga de aço – a partir da face inferior da lajeVerificar se LNP está na mesa superior ou na almaCad=235,04 kNContribuição da mesa superior: (Afy)tf / 1,10=345,45 kNSe Cad ≤ (Afy)tf / 1,10→ linha neutra na mesa superiorCaso contrário, LNP na alma∴ LNP na mesa superior


kN 04,23515,47010,1

2537,41

2

1C

10,1

)Af(

2

1C cd

ayad =

−

⋅=

−=

cm 5,2

40,1

155285,015,470

40,1

bf85,0C

ack

cd =⋅⋅

==

9

17

� Construção escorada e interação parcialResistência ao momento fletor

∴ LNP na mesa superior

Pto de aplicação da força Tad: yt


( ) kN.cm 4,13158ydh2

atCyydCM tFccdctadvmRd =

−++−+−−β=

cm 59,0t)fA(

Cy f

tfy

adp == A partir da face da mesa superior da viga de aço

cm 29,02

yy pc ==

yt

yp

( ) ( ) ( ) ( )( ) cm91,8

ytbtbth

ytdbytt5,0tbth5,0thy

pffffw

pffpfffffwt =

−⋅+⋅+⋅

−−⋅⋅−+⋅⋅++⋅⋅=

18

� Construção escorada e interação parcialMomento fletor resistente de cálculo:



OPÇÃO: ALTERAR O GRAU DE INTERAÇÃO

kN.cm 15777MSd =

kN.cm 4,13158MRd =

10

19


� Construção escorada e interação parcial: ηηηη=0,8Como o momento fletor resistente de cálculo é MENOR que o momento fletor solicitante de cálculo é preciso aumentar a resistência da viga mista

Uma opção é aumentar o grau de interação η, por exemplo, para:η=0,8

Número de conectores para interação parcialQRd=0,8*940,2=752,2 kN

nco=QRd/qRd com qRd=32,1 kN

∴ nco=23,5 conectores para meia viga

Interação PARCIAL

( )

=⋅

==

=⋅⋅⋅

==≤

kN2,94010,1

2537,41AfT

kN7,15054,1

8155285,0

4,1

btf85,0C

V

ayad

cckcd

hRd kN2,940VhRd =

20

� Construção escorada e interação parcial: ηηηη=0,8Resistência ao momento fletor

Resultante na viga de aço:

Para interação parcial →

kN2,94010,1

)fA(T ayad ==

kN 2,752QC Rdcd ==


Cad

Ccd0,85 fcd

yc

a

LNP(no perfil)

Tad

fyd

fyd

yt

tw

tchF

d

tf

h

LNP(na laje)

yp

bef

kN2,94010,1

)fA(T ayad ==

kN 2,752QC Rdcd ==

11

21


Resultante de compressão na viga de aço Cad:

Para interação parcial temos duas linhas neutras: uma na laje e outra na viga de aço

linha neutra na laje de concreto →

yp: linha neutra na viga de aço – a partir da face inferior da laje

Verificar se LNP está na mesa superior ou na alma

Cad=94,03 kN

Contribuição da mesa superior: (Afy)tf / 1,10=345,45 kN

Se Cad ≤ (Afy)tf / 1,10→→→→ linha neutra na mesa superior

Caso contrário, LNP na alma

∴∴∴∴ LNP na mesa superior


kN 03,94C10,1

)Af(

2

1C cd

ayad =

−=

cm 0,4

40,1

bf85,0C

ack

cd ==

22



Pto de aplicação da força Tad: yt




( ) kN.cm 14624ydh2

atCyydCM tFccdctadvmRd =

−++−+−−β=

cm 24,0t)fA(

Cy f

tfy

adp ==

yt

yp

( ) ( ) ( ) ( )( ) cm 26,11

ytbtbth


pffffw

pffpfffffwt =

−⋅+⋅+⋅

−−⋅⋅−+⋅⋅++⋅⋅=

kN.cm 14624MRd =

kN.cm 15777MSd = Adotar interação total

12

23

Momento fletor resistente positivoMomento fletor resistente positivo� Detalhes da viga mista

Conector: Diâmetro: 12,5mm

Altura: h ≥ 4φφφφ=4*12,5=50mm →→→→ hc= 70mm

Número total de conectores: 2*29,3= 59 conectores

Laje de concreto armadoAltura: 8 cm

8 0

4 ,7 52 5 0

9 ,5

1 6 0

Interação PARCIAL

8 0

4 ,7 52 5 0

9 ,5

1 6 0

24

Viga BIAPOIADA

Construção NÃO ESCORADA

Interação TOTAL


13

25

� Verificação em duas etapas:Fase construtiva:

Viga de aço isolada verificada para as ações de construção

Utilização: Viga mista

� Ações de construção:Combinação: 1,25PP+1,35CP

PP=0,43 kN/m

CP=13,19 kN/m


26

� 1a. Etapa: viga de aço isolada VS 250 x 33Flambagem Local

Flambagem local da mesa (FLM)

∴∴∴∴ Mrkm=10944,8 kN.cm

Flambagem local da alma (FLA)

∴∴∴∴ Mrka=10944,8 kN.cm


88,10f

E38,042,8

t2

b

y

sp

f

f ==λ<==λ88,10

f

E38,042,8

t2

b

y

sp

f

f ==λ<==λ Mrkm = momento de plastificação

kN.cm 8,09441fW12,1M yapl =⋅⋅=

7,107f

E

h

h76,37,48

t

h

y

s

pp

w

=⋅⋅=λ<==λ Mrkm = momento de plastificação

kN.cm 10944,8fW12,1M yapl =⋅⋅=

14

27

� 1a. Etapa de verificação: viga de aço isoladaFlambagem Local

Flambagem lateral com torção (FLT)

∴ Mrkflt=10944,8 kN.cm

∴ para flambagem local, Mrkflt=10944,8 kN.cm

Momento resistente de cálculo MRd:

Verificação da resistência ao momento fletor




4,50f

E76,163,12

r

L

y

sp

y

b ==λ<==λMrkm = momento de plastificação

kN.cm 8,949910,1

MM Rk

Rd ==

kN.cm 8814MSd =

kN.cm 8,9949MRd =

kN.cm 8,09441fW12,1M yapl =⋅⋅=

28

� 1a. Etapa de verificação: viga de aço isoladaVerificação da flecha na viga de aço – ELS

combinação para cálculo da flechaPeso próprio + Carga Permanente: q=13,33 kN/m

Flecha no meio do vão:

Flecha máxima:

2,56cmIE384

Lq5

axs

4

=⋅⋅

⋅=δ


cm07,2300

Lmax ==δ

2,56cmIE384

Lq5

axs

4

=⋅⋅

⋅=δ

!!!!Ok NÃOmax →δ>δ

15

29

� 1a. Etapa de verificação: viga de aço isoladaAlterando as dimensões da viga... VS 350 x 39

d=350 mm; bf=180 mm; tf=9,5 mm; tw=4,75 mm

Flambagem Local Flambagem local da mesa (FLM)

∴ Mrkm=18161,5 kN.cm

Flambagem local da alma (FLA)

∴ Mrka=18161,5 kN.cm

Flambagem lateral por torção (FLT)

∴ Mrkflt=18161,5 kN.cm

Momento resistente de cálculo: MRd=16510,5 kN.cm

Momento solicitante de cálculo: MSd=8814 kN.cm


30

� 1a. Etapa de verificação: viga de aço isoladaVerificação da flecha na viga de aço – ELS

combinação para cálculo da flechaPeso próprio + Carga Permanente: q=13,33 kN/m

0,33 + 13

Flecha no meio do vão:

Flecha máxima:


cm07,2300

Lmax ==δ

cm 1,1IE384

Lq5

axs

4

=⋅⋅

⋅=δ

16

31

� 2a. Etapa de verificação: viga mistaDeterminar a largura efetiva da laje

Verificar:Cisalhamento na interface → QRd: mínimo (Tad, Cd)

∴ QRd=1134,6 kN

Resistência dos conectores → qRd=mínimo (ruptura do conector, esmagamento do concreto)

( )[ ] cm 155LL0,5 L/4; mínimob 21 =+=

=⋅=⋅

=⋅=⋅≤

kN 3,398,400,125,1

fAC

kN 1,321,320,125,1

EfA5,0C

qucs

red

cckcsred

Rd qRd=32,1 kN

( )

ok kN 1134,6 kN 7,1505

10,1

fA

40,1

tbf85,0 aycck

→>

⋅≥

⋅⋅⋅kN 7,1505

40,1

tbf85,0C cck

d =⋅

= kN 6,113410,1

)fA(T ayad ==


32

� 2a. Etapa de verificação: viga mistaVerificar:

Número de conectores para interação completa → n=QRd/qRd

Posição da linha neutra plástica

Como Cd > Tad → LNP na laje de concreto

Componente Ccd:


viga meia para 4,35q

Qn

Rd

Rd ==

kN 7,1505Cd = kN 6,1134Tad =

cm 8cm 03,6

40,1

155285,06,1134

t

40,1

bf85,0T

a cck

ad ≤=⋅⋅

→≤=

kN 6,113440,1

03,6155285,0

40,1

abf85,0C ckcd =

⋅⋅⋅==

17

33

� 2a. Etapa de verificação: viga mista

Verificar:Resistência ao momento fletor




kN 6,24433M

2

03,680

2

1,336,11340,1M

2

athdTM

Rd

Rd

cF1advmRd

=

−++⋅⋅=

−++β=

34

Viga BIAPOIADA

Construção NÃO ESCORADA

Interação PARCIAL


18

35

� 1a. Etapa de verificação: viga de aço VS 350 x39 Já verificada e ok!!!!

� 2a. Etapa de verificação: viga mista Viga de seção compacta

Grau de interação: η=0,4

Largura efetiva: b=155cm

Cisalhamento na interface: VhRd

Tad=1134,6 kN

Ccd=1505,4 kN

∴ VhRd=1134,6 kN

Força a ser transferida pelos conectores: QRd=0,4*1134,6 = 453,8 kN

Resistência dos conectores: qRdqRd=32,03 kN

Número de conectores → 2,1403,32

8,458

q

Qn

Rd

Rdco ===


36

� 2a. Etapa de verificação: viga mista Posição da LNP (duas linhas neutras) lembrar que Ccd=QRd

a: na laje de concreto

Resultante de compressão na viga de aço

yp: linha neutra na viga de aço – a partir da face inferior da lajeVerificar se LNP está na mesa superior ou na alma

Cad=340,4 kN

Contribuição da mesa superior: (Afy)tf / 1,10=17,1*25/1,10=388,6 kN

Se Cad ≤ (Afy)tf / 1,10→ linha neutra na mesa superior

Caso contrário, LNP na alma



cm 41,2

40,1

155285,08,453

40,1

bf85,0C

ack

cd =⋅⋅

==

( ) kN 4,3408,4536,11342

1C

10,1

)Af(

2

1C cd

ayad =−⋅=

−=

19

37

� 2a. Etapa de verificação: viga mista LNP na mesa superior

Posição de LNP

Pto de aplicação da resultante de compressão na laje de concreto yc:

Pto de aplicação da resultante de tração yt:

Resultante de compressão na laje = resistência da ligação aço-concretoCcd=453,8 kN


cm 76,095,05,427

4,340t

10,1

)fA(

Cy f

tfy

adp =⋅==

cm 38,02

yy pc ==

( ) ( ) ( ) ( )( ) cm 9,10

ytbtbth


pffffw

pffpfffffwt =

−⋅+⋅+⋅

−−⋅⋅−+⋅⋅++⋅⋅=

38

� 2a. Etapa de verificação: viga mista

Momento fletor resistente de cálculo




( )

−++−⋅+−−⋅= 9,101,330

2

41,288,45338,09,101,334,3400,1MRd

kN.cm 3,20583MRd =

20

39

� Síntese dos resultados:Momento solicitante de cálculo: MSd=15777 kN.cm

� Construção escorada: Viga VS 250 x 331. Interação completa:

MRd=16925 kN.cm60 conectores em toda a viga

2. Interação parcial :MRd=13158,4 kN.cm e 14624 kN.cm (ηηηη=0,5 e 0,8 respectivamente)Respectivamente, 30 e 47 conectores em toda a viga

� Construção NÃO escorada: VS 350 x 393. Interação completa :

MRd=24433,6 kN.cm71 conectores em toda a viga

4. Interação parcial :MRd=20583,3 kN.cm (ηηηη=0,4)29 conectores em toda a viga


40

Vigas mistas biapoiadasVigas mistas biapoiadas

Estado limite de serviço

21

41

� Propriedades geométricas da seção transformadaRegião de momento positivo

Construção escorada e interação total

VhRd=940,3kN

Ia=4886,06 cm4

Cálculo da inércia transformada Itr

Estado limite de serviçoEstado limite de serviço Verificação de deslocamentos

MPa7,21287204760f4760E ckc =⋅=⋅=

63,94,21287

205000

E

Esn

c

===

( )atrhRd

Rdaef II

V

QII −+=

viga de aço isolada

seção mista homogeneizada

cm1,1663,9

155

n

bbtr ===

42

� Propriedades geométricas da seção transformadaPara região de momento positivo

Cálculo da inércia transformada Itr

Área de concreto transformada

Posição da LNP da seção de aço: ya=12,5cmCentro de gravidade da seção transformada: ytr

Distância do topo da laje até a LN caso esta esteja na laje: atr

Momento de inércia da seção transformada: Itr


2ctrctr cm76,12881,16tbA =⋅=⋅=

( )cm98,24

76,12837,41

)085,025(76,1285,1237,41

AA

ht5,0dAyAy

ctr

Fcctratr =

++⋅+⋅+⋅

=+

++⋅+⋅=

aço de viga na neutra linhady tr →<

cm02,898,24825ytda trctr =−+=−+=

( ) ( )2trFcctr

3ctr2

atratr yhtdA12

tbyyAII −++⋅+

⋅+−⋅+=

( ) ( ) 423

2tr cm3,2029898,24082576,128

12

81,165,1298,2437,414886,06I =−++⋅+

⋅+−⋅+=

22

43

� Propriedades geométricas da seção transformadaPara região de momento positivo

Inércia transformada Itr

Inércia efetiva Ief

� Flecha máximaL/300 = 6200/300 = 2,07cm

� Combinação de ações para cálculo da flechaPeso próprio + carga permanente + 0,4 * sobrecarga0,33 + 19 + 0,4*4,44 = 21,11kN/m

� Flecha na viga biapoiada


4tr cm3,20298I =

( ) ( ) 4atr

hRd

Rdaef cm3,2029806,48863,20298

3,940

3,94006,4886II

V

QII =−⋅+=−+=

( )!!!okcm07,2cm98,0

3,2029820500384

6202111,05

IE384

qL5 4

trs

4

→<=⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

=δ

44

Vigas mistas com continuidade nos apoios intermediários


Viga CONTÍNUA

Análise ELÁSTICA-LINEAR

23

45

� Sistema de piso misto

1 2 3 4

A

B

VE VI VE

VS 400x49 VS 400x49

4x2,5=10m

3x9,0=27m

Vigas contínuasVigas contínuas Análise ELÁSTICA-LINEAR

46

� Ações:g1 = 6,5kN/m (permanente, atuante antes da cura do concreto)

g2 = 5,0kN/m (permanente, atuante após a cura do concreto)

q1 = 2,5kN/m (sobrecarga de construção, atuante antes da cura do concreto)

q2 = 25,0kN/m (sobrecarga de utilização, atuante após a cura do concreto, 70% de curta duração)

� Materiais:Aço das vigas: MR-250 (fy = 250MPa; fu = 400MPa)

Laje mista: h=145mm (hF=75mm; capa de 70mm)

Armadura da laje: CA-50 (fy = 500MPa)

Concreto: C20 (fck = 20MPa) – densidade normal (γγγγc = 24kN/m3)


24

47

� Hipóteses:a) construção escorada

b) a viga de aço é contida lateralmente na fase construtiva

c) a viga de aço atende à verificação de força cortante

� Seção transversal

perfil soldado VS 400x49

A = 62 cm2

Ix = Ia = 17.390 cm4

Wx = 870 cm3

Zx = 970 cm3

Iy = 1.267 cm4

ry = 4,52 cm

It = 14,61 cm4


48

� Largura efetiva da laje (bef)Vãos da viga

VE →→→→ L1= 9m

VI →→→→ L2= 9m

Momento POSITIVOPOSITIVO:Menor valor entre:


( ) ( )

=+⋅=+⋅

=⋅⋅=⋅⋅⋅≤−

m5,25,25,22

1LL

2

1

m575,1910

7

8

12L

10

7

8

12

b

ed

2

pos2ef

( ) ( )

=+⋅=+⋅

=⋅⋅=⋅⋅⋅≤−

m5,25,25,22

1LL

2

1

m8,195

4

8

12L

5

4

8

12

b

ed

1

pos1ef

25

49

� Largura efetiva da laje (bef)

Momento NEGATIVONEGATIVO:

Menor valor entre:

( ) ( )

( ) ( )

=+⋅=+⋅

=+

⋅=+

⋅⋅≤−

m5,25,25,22

1LL

2

1

m125,14

99

8

12

4

LL

8

12

b

ed

21

neg2ef

( ) ( )

( ) ( )

=+⋅=+⋅

=+

⋅⋅=+

⋅⋅≤−

m5,25,25,22

1LL

2

1

m125,14

99

8

12

4

LL

8

12

b

ed

21

neg1ef


( ) ( )

( ) ( )

=+⋅=+⋅

=+

⋅=+

⋅⋅≤−

m5,25,25,22

1LL

2

1

m125,14

99

8

12

4

LL

8

12

b

ed

21

neg2ef

( ) ( )

( ) ( )

=+⋅=+⋅

=+

⋅⋅=+

⋅⋅≤−

m5,25,25,22

1LL

2

1

m125,14

99

8

12

4

LL

8

12

b

ed

21

neg1ef

50

� Inércia da seção mista NÃO FISSURADA


( ) ( )cm 48,42

55,16362

5,775,04055,1632062

AA

ht5,0dAyAy

ctr

Fcctratr =

++⋅+⋅+⋅

=+

++⋅+⋅=

( ) ( )m 25,2b

m 5,25,25,22

1LL

2

1

m 25,298

12L

8

12

b ef

ed

1

ef =→

=+⋅=+⋅

=⋅⋅=⋅⋅≤

63,97,2128

20500

E

E

c

sE ===η

cm 36,2363,9

225bb

E

eftr ==

η=

2ctrctr cm 55,163736,23tbA =⋅=⋅=

cm 20405,0d5,0ya =⋅=⋅=

b tr

tchf da

d

ya

b f

tf

ytr

a

26

51


Posição da LN transformadaytr (42,48) > d (40 cm) →→→→ LN na laje

( ) ( ) 3cm 6126602,125,002,1236,2312

02,1236,232048,426217390I 2

32

tr =⋅⋅⋅+⋅

+−⋅+=

btr

tchf da

d

ya

bf

tf

ytr

a

cm 02,1248,425,7740yhftda trc =−++=−++=

( ) ( )2tr

3tr2

atraxtr a5,0ab12

abyyAII ⋅⋅⋅+

⋅+−⋅+=


52

� Momento fletor solicitante de cálculoCombinação última normal

Carga distribuída

Usando Itr=61266 cm4 e Atotal=Actr+As= 163,55+62=225,55 cm

2


( ) ( ) m/kN53255,10,55,635,1q5,1gg35,1q 221 =⋅++⋅=⋅++⋅=

53 kN/m

27

53

� Momento fletor resistente positivoTramo 01

Largura efetiva positiva: b1pos=180 cm

Resultantes de tração (Tad) e compressão (Ccd):

Posição da LN: como Tad < Ccd →→→→ LN na laje

kN 1,140910,1

2562

10,1

)fA(T ayad =

⋅==


cm 7t cm 45,6

40,1

180285,01,1409

a c =≤=⋅⋅

=

kN 1,140910,1

2562

10,1

)fA(T ayad =

⋅==

kN 153040,1

71800,285,0

40,1

tbf85,0C cck

cd =⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

=

54


Valor de ββββvm →→→→ 0,95 para vigas contínuas


−++β=2

athdTM cF1advmRd

cmkN 418692

45,675,7201,140995,0MRd ⋅=

−++⋅⋅=

28

55


Largura efetiva positiva: b2pos=157,5 cm

Resultantes de tração (Tad) e compressão (Ccd):

Posição da LN: como Tad > Ccd →→→→ LN na viga de aço

Compressão na viga de aço Cad:


kN 1,140910,1

2562

10,1

)fA(T

ayad =

⋅==

kN 7,133840,1

75,1570,285,0

40,1

tbf85,0C cck

cd =⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

=

( )[ ] kN 2,357,13381,1409

2

1C

10,1

Af

2

1C cd

ayad =−⋅=

−⋅=

56


Posição da LN na viga de aço →→→→ na mesa ou na alma?

Cad (35,2) <

→→→→ LNP mesa superior


kN 8,43110,1

2595,020

10,1

)fA( tfy =⋅⋅

=

cm 08,095,0

10,1

2595,0202,35

t

10,1

)fA(C

y ftfy

adp =⋅

⋅⋅==

( ) ( ) ( )( ) fpfffw

pffpf2fffw

t byttbth

ytdbyttb5,0th5,0thy

⋅−+⋅+⋅

−−⋅⋅−+⋅⋅++⋅⋅=

cm 04,008,05,0y5,0y pc =⋅=⋅=

( ) ( ) ( )( ) cm 9,18

2008,095,095,02063,01,38

08,095,0402008,095,095,0205,095,01,385,063,01,38y

2

t =⋅−+⋅+⋅

−−⋅⋅−+⋅⋅++⋅⋅⋅=

29

57


Valor de ββββvm →→→→ 0,95 para vigas contínuas

Resumo de momentos positivos:Tramo 01: MRd1pos=41869 kN.cm

Tramo 02: MRd2pos=41527 kN.cm


( )

−+++−−β= tF

ccdctadvmRd ydh

2

tCyydCM

( ) cmkN 415279,18405,72

77,133804,09,18402,3595,0MRd ⋅=

−++⋅+−−⋅⋅=

58

� Momento fletor resistente negativoApoio 02

Largura efetiva negativa: b1neg=157,5 cm

Verificação da flambagem lateral com distorçãoCálculo da altura hp: altura da porção comprimida da alma

Se


( ) ( ) cm 64,4795,077,242ty2h fhpp =−⋅=−⋅=

( ) ( ) ( ) ( )sL

asLffffwfffhp AA

ddAt5,0dtbth5,0tdt5,0tby

+

+⋅+⋅−⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=

( ) ( ) ( ) ( )8,962

5,12408,995,05,04095,02095,01,385,063,04095,05,095,020yhp +

+⋅+⋅−⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=

cm 77,24yhp =AsL

da

d

bf

tf

yhp

FLD sem 108f

E76,3

t

h

y

s

w

p →=⋅≤

30

59


Força resistente nas barras da armadura longitudinal: Tds

Posição da LNP: medida a partir do topo da viga de aço

Porção de área tracionada

Porção de área comprimida

2atac cm 41,4059,2162AAA =−=−=


cm 06,5

10,1

2563,0210,1

252095,028,4271,1409

95,0

10,1

ft210,1

fA2TT

tyyw

yfdsad

fpn =⋅⋅

⋅⋅⋅−−

+=⋅⋅

⋅⋅−−

+=

kN 8,42715,1

5084,9

15,1

fAT yssLds =

⋅=

⋅=

( ) ( ) 2wfnpffat cm 59,2163,095,006,52095,0ttybtA =⋅−+⋅=⋅−+⋅=

2atac cm 41,4059,2162AAA =−=−=

Tds

fy/1,10

yc

d3

d2

d1fy/1,10

Ac fy/1,10

At fy/1,10 ypn

60


Posição do CG da área tracionada

Posição do CG da área comprimida


( ) ( )[ ]cm 78,0

59,21

95,095,006,55,095,006,5`63,095,0205,0y

2

at =+−⋅⋅−⋅+⋅⋅

=

( ) ( )[ ]at

ffnpfnpw2ff

at A

tty5,0tyttb5,0y

+−⋅⋅−⋅+⋅=

( )[ ]ac

f2

fnpw2ff

ac A

ttyd5,0ttb5,0y

+−−⋅⋅+⋅=

( )[ ]cm 24,9

41,40

95,095,006,5405,063,095,0205,0y

22

ac =+−−⋅⋅+⋅⋅

=

Tds

fy/1,10

yc

d3

d2

d1fy/1,10

Ac fy/1,10

At fy/1,10 ypn

31

61


distância do CG da armadura a LNP

distância da área tracionada a LNP

distância da área comprimida a LNP

Resumo de momentos negativos:Apoio 02: MRd,neg=33406,8 kN.cm


cm 67,478,05,006,5y5,0yd atpn2 =⋅−=⋅−=

cm 56,175,1206,5dyd apn1 =+=+=

cm 7,2524,906,540yydd acpn3 =−−=−−=

a

3yac

a

2yat1dsneg,Rd

dfAdfAdTM

γ+

γ+=

cmkN 8,3340610,1

7,252541,40

10,1

67,42559,2156,178,427M neg,Rd ⋅=

⋅⋅+

⋅⋅+⋅=

Tds

LNP

fy/1,10

yc

d3

d2

d1fy/1,10

Ac fy/1,10

At fy/1,10

1125

At

Ac

ytypn

62

� Momentos solicitantes após redistribuição

Para sePara seçção compacta e modelo não fissuradoão compacta e modelo não fissurado

Valores iniciaisValores iniciais

RedistribuiRedistribuiçção de momentos negativosão de momentos negativos

Apoios 2 e 3:Apoios 2 e 3:

30%Modelo não fissurado

CompactaClasse da seção mista: M neg


cmkN 5,3003,4297,0M7,0M Sdnegred1Sd ⋅=⋅=⋅=−

cmkN 5,3003,4297,0M7,0M Sdnegred2Sd ⋅=⋅=⋅=−

32

63

� Momentos solicitantes após redistribuiçãoRedistribuiRedistribuiçção de momentos positivosão de momentos positivos

Viga V2: internaViga V2: interna

Viga V1: externa Viga V1: externa ----------------------------fazer equilfazer equilííbrio de momentosbrio de momentos

cmkN 1,397M red,pos,Sd ⋅=


cmkN 1,2363,4293,03,107M3,0MM Sdnegpos,SddRe,pos,Sd ⋅=⋅+=+=

cmkN 1,397M red,pos,Sd ⋅=

64

� Diagrama de momentos solicitantes após redistribuição

� Verificação dos momentos fletoresTramo 01:

Momento positivo solicitante: MSd1pos=397,1 kN.m

Momento positivo resistente: MRd1pos=418,7 kN.m

Tramo 02:Momento positivo solicitante: MSd2pos=236,1 kN.m


Apoio 02:Momento negativo solicitante: MSd2neg=300,5 kN.m

Momento negativo resistente: MRd2neg=334,1 kN.m


33

65

� Diagrama de momentos solicitantes após redistribuição


66



Viga CONTÍNUA

Análise RÍGIDO-PLÁSTICA

Modelo NÃO FISSURADO

34

67

� ProcedimentoDeterminar:

Momentos fletores solicitantes de cálculo

Inércia da seção mista (fissurada ou não fissurada)

Momentos resistentes positivos

Momentos resistentes negativos

Capacidade resistente da viga: momento resistente negativo (MRdv)

Esforços solicitantes (valores de cálculo)Calcular os momentos

Vigas contínuasVigas contínuas Análise RÍGIDO-PLÁSTICA

68

� Determinar a resistência ao momento fletor com base no método rígido-plástico.

Sistema de piso misto

1 2 3 4

A

B

VE VI VE

VS 400x49 VS 400x49

4x2,5=10m

3x9,0=27m


35

69

� Ações:g1 = 6,5kN/m (permanente, atuante antes da cura do concreto)g2 = 5,0kN/m (permanente, atuante após a cura do concreto)q2 = 25,0kN/m (sobrecarga de utilização, atuante após a cura do concreto, 70% de curta duração)

� Materiais:Aço das vigas: MR-250 (fy = 250MPa; fu = 400MPa)Laje mista: h=145mm (hF=75mm; capa de 70mm)Armadura da laje: CA-50 (fy = 500MPa)Concreto: C20 (fck = 20MPa) – peso normal (γγγγc = 24kN/m3)

� Seção transversal


A = 62cm2

Ix = Ia = 17.390cm4

Wx = 870cm3

Zx = 970cm3


70

� Largura efetiva da laje (bef)Vãos da viga

VE →→→→ L1= 9m

VI →→→→ L2= 9m

Momento positivo:Viga VE: bef-1pos=1,8m

Viga VI: bef-1pos=1,575m

Momento negativo:Apoio 2: bef-2neg=1,125m

Apoio 3: bef-3pos=1,125m



m25,2bef =

63,97,2128

20500

E

E

c

sE ===η

cm 36,23b tr =

cm20ya =

cm 48,42y tr =

2ctr cm 55,163A =

b tr

tchf da

d

ya

b f

tf

ytr

a

cm 02,12a =

3cm 61266Itr =

36

71

� Momento fletor solicitante de cálculoCombinação última normal

� Momento fletor resistente positivoTramo 01 →→→→ LN na laje


( ) 221 q5,1gg35,1q ⋅++⋅=

53 kN/m

cm 45,6a =kN 1,1409Tad = kN 1530Ccd =

cmkN 41869M pos1Rd ⋅=

72

� Momento fletor resistente positivoTramo 02 →→→→ LN na viga de aço: na mesa superior



kN 7,1338Ccd =cmkN 41527M pos2Rd ⋅=

kN 1,1409Tad =

kN 2,35Cad =

cm 08,0yp =

cm 04,0yc =

cm 9,18y t =

cm 64,47hp =

AsL

da

d

bf

tf

yhp

kN 8,427Tds =

cm 06,5ypn =

2at cm 59,21A =

2ac cm 41,40A =

cm 78,0yat =

cm 24,9yac = cm 67,4d2 =

cm 56,17d1 =

cm 7,25d3 =

cmkN 8,33406M neg,Rd ⋅=

37

73

� Momentos fletores resistentes Resumo de momentos positivos:



Resumo de momentos negativos:Apoio 02: MRd,neg=33406,8 kN.cm

� Obs.:No sistema contínuo, a ligação é de resistência total, portanto a rótula plástica está associada à viga e não à ligação.

O momento negativo corresponde à capacidade da viga.

Portanto:

MRdv=33406,8 kN.cm


74

� Momentos solicitantes

Momento no tramo internoMomento no tramo interno


mkN 27,415M pos2Rd ⋅=

kN.m 88,5368

953

8

LqM

22

q,Sd =⋅

=⋅

=

( )L

zM

L

zLMMM v,Rdv,Rdq,SdSd ⋅−

−⋅−=

( )kN.m 9,202

9

5,4334

9

5,4933488,536M max,Sd =⋅−

−⋅−=+

No meio do vão →→→→ z=4,5

ok! MM pos2Rdmax,Sd →<+

334334 53

9,0 m

9,0 m

53,0 kN/m

MRd,vMRd,v

q

38

75


Momento no tramo internoMomento no tramo interno

Momento no tramo externoMomento no tramo externo

334

334

382,6

382,6


MRd,v

q

33453

9,0 m

76


Momento no tramo externoMomento no tramo externo


Momento positivo solicitante: MSd1pos=382,6 kN.m




Apoio 02:Momento negativo solicitante: MSd2neg=334 kN.m

Momento negativo resistente: MRd2neg=334 kN.m


mkN 7,418M pos1Rd ⋅= ok! MM pos1Rdmax,Sd →<+m.kN 6,382M 1max,Sd =+

39

77



78



Viga SEMICONTÍNUA

Análise RÍGIDO-PLÁSTICA

Modelo NÃO FISSURADO

40

79

� Verificar a resistência ao momento fletor admitindo:Sistema semicontínuo

Método rígido-plásticoligação mista →→→→ semi-rígida e de resistência parcial

Detalhe similar às ligações pré-qualificadas (com capacidade de rotação adequada)

1 2 3 4

A

B

VE VI VE

VS 400x49 VS 400x49

4x2,5=10m

3x9,0=27m

Vigas semicontínuasVigas semicontínuas Análise RÍGIDO-PLÁSTICA

80

� Detalhe da ligação viga-viga

� No sistema semicontínuo:a rótula plástica está associada à ligação, que é de resistência parcial, portanto, é necessário determinar o momento resistente de cálculo da ligação.

6φ12,5(CA50)

d=400L75x75x6,3(L=240)

L150x100x8(L=190)

A.L.

y3=120


8φφφφ12,5 (CA50)

41

81

� Ações:g1 = 6,5kN/m (permanente, atuante antes da cura do concreto)g2 = 5,0kN/m (permanente, atuante após a cura do concreto)q2 = 25,0kN/m (sobrecarga de utilização, atuante após a cura do concreto, 70% de curta duração)

� Materiais:Aço das vigas: MR-250 (fy = 250MPa; fu = 400MPa)Laje mista: h=145mm (hF=75mm; capa de 70mm)Armadura da laje: CA-50 (fy = 500MPa)Concreto: C20 (fck = 20MPa) – peso normal (γγγγc = 24kN/m

3)

� Seção transversal:


A = 62 cm2

Ix = Ia = 17.390 cm4

Wx = 870 cm3

Zx = 970 cm3


82

� Momento fletor positivoTramo 01 →→→→ LN na laje

Tramo 02 →→→→ LN na viga de aço: na mesa superior

ywp fEth /76,3/ ≤


cm 45,6a =kN 1,1409Tad = kN 1530Ccd =


kN 7,1338Ccd =


kN 1,1409Tad = kN 2,35Cad =

cm 08,0yp = cm 04,0yc = cm 9,18y t =

42

83

� Momentos fletores resistentes Resumo de momentos positivos:



Obs.:Sistema semicontínuo →→→→ ligação semi-rígida e de resistência parcial,

Portanto a rótula plástica está associada à ligação mista.

Sendo assim, é preciso determinar o momento fletor resistente da momento fletor resistente da ligaligaçção mistaão mista


84

� Momento fletor resistente da ligação mista

( ) ( )kN.cm 23428

10,1

5,124081,950

10,1

ddAfM

asys1Rdlig =

+⋅⋅=

+⋅⋅=−

l


43

85

� Momento fletor solicitanteA resistência da ligação mista será usada para determinar os momentos fletores solicitantes

Momento no tramo interno


mkN 27,415M pos2Rd ⋅=

kN.m 88,5368

953

8

LqM

22

q,Sd =⋅

=⋅

=

( )L

zM

L

zLMMM v,Rdv,Rdq,SdSd ⋅−

−⋅−=

( )kN.m 9,302

9

5,4234

9

5,4923488,536M max,Sd =⋅−

−⋅−=+

No meio do vão →→→→ z=4,5m

ok! MM pos2Rdmax,Sd →<+

9,0 m

53,0 kN/m

MRd,ligMRd,lig

q

234234 53

9,0 m

86

� Momento fletor solicitanteMomento no tramo interno

Momento no tramo externo

1,11 m


23453

9,0 m

MRd,lig

q

44

87

� Momentos solicitantesMomento no tramo externo


Momento positivo solicitante: MSd1pos=426 kN.m




Apoio 02:Momento negativo solicitante: MSd2neg=234 kN.m

Momento negativo resistente: MRd2neg=234 kN.m


mkN 7,418M pos1Rd ⋅= ok! MM pos1Rdmax,Sd →≅+m.kN 426M 1max,Sd =+

Vigas Mistas Exemplos

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