Vínculos a Extensões do Modelo Padrão das Partículas...

Universidade Estadual de Campinas

Instituto de Física Gleb Wataghin

Heitor do Amaral Jurkovich

Vínculos a Extensões do Modelo Padrão dasPartículas Elementares

CAMPINAS2018

Heitor do Amaral Jurkovich

Vínculos a Extensões do Modelo Padrão dasPartículas Elementares

Tese apresentada ao Instituto de Física GlebWataghin da Universidade Estadual de Camp-inas como parte dos requisitos exigidos para aobtenção do título de Doutor em Ciências.

Orientador: Marcelo Moraes GuzzoEste exemplar corresponde à versão final datese defendida pelo aluno Heitor do Ama-ral Jurkovich, e orientada pelo Prof. Dr.Marcelo Moraes Guzzo.

Campinas2018

Agência(s) de fomento e nº(s) de processo(s): CNPq, 141220/2014-7

Ficha catalográficaUniversidade Estadual de Campinas

Biblioteca do Instituto de Física Gleb WataghinLucimeire de Oliveira Silva da Rocha - CRB 8/9174

Jurkovich, Heitor do Amaral, 1990- J979v JurVínculos a extensões do modelo padrão das partículas elementares / Heitor

do Amaral Jurkovich. – Campinas, SP : [s.n.], 2018.

JurOrientador: Marcelo Moraes Guzzo. JurTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Física

Gleb Wataghin.

Jur1. Teoria quântica de campos. 2. Violação de CP (Física nuclear). 3. Teorias

da grande unificação (Física nuclear). 4. Interações de neutrinos. 5. Oscilaçõesde neutrinos. I. Guzzo, Marcelo Moraes, 1963-. II. Universidade Estadual deCampinas. Instituto de Física Gleb Wataghin. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Constraints to extensions of the standard model of particle physicsPalavras-chave em inglês:Quantum field theoryCP violation (Nuclear physics)Grand unified theories (Nuclear physics)Neutrino interactionsNeutrinos oscillationsÁrea de concentração: FísicaTitulação: Doutor em CiênciasBanca examinadora:Marcelo Moraes Guzzo [Orientador]Ettore SegretoPedro Cunha de HolandaAlex Eduardo de BernardiniRicardo Avelino GomesData de defesa: 31-08-2018Programa de Pós-Graduação: Física

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MEMBROS DA COMISSÃO JULGADORA DA TESE DE DOUTORADO DE HEITOR

DO AMARAL JURKOVICH RA: 86784 APRESENTADA E APROVADA AO

INSTITUTO DE FÍSICA “GLEB WATAGHIN”, DA UNIVERSIDADE ESTADUAL DE

CAMPINAS, EM 31/08/2018.

COMISSÃO JULGADORA:

- Prof. Dr. Marcelo Moraes Guzzo - (Orientador) - IFGW/UNICAMP

- Prof. Dr. Ettore Segreto - IFGW/UNICAMP

- Prof. Dr. Pedro Cunha de Holanda - IFGW/UNICAMP

- Prof. Dr. Alex Eduardo de Bernardini - UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO

CARLOS

- Prof. Dr. Ricardo Avelino Gomes - UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS

A Ata de Defesa, assinada pelos membros da Comissão Examinadora, consta no

processo de vida acadêmica do aluno.

CAMPINAS2018

Aos meus pais João Cesar Jurkovich e Marli do Amaral Jurkovich e irmã Victória do AmaralJurkovich, a quem devo tudo.

À minha namorada, Pábula Fantini de Oliveira Macedo, por seu amor e por ficar ao meu ladotodos esses anos.

Aos meus amigos Shadi, João, Pedro, Cesar e Kevin, por esses anos de amizade.Ao meu orietador Marcelo Moraes Guzzo, por ser sempre agradável e paciente.

"A compreensão humana não é um exame desinteressado, mas recebe infusões da vontadee dos afetos; disso se originam ciências que podem ser chamadas “ciências conforme a nossavontade”. Pois um homem acredita mais facilmente no que gostaria que fosse verdade. Assim,ele rejeita coisas difíceis pela impaciência de pesquisar; coisas sensatas, porque diminuem aesperança; as coisas mais profundas da natureza, por superstição; a luz da experiência, porarrogância e orgulho; coisas que não são comumente aceitas, por deferência à opinião do vulgo.Em suma, inúmeras são as maneiras, e às vezes imperceptíveis, pelas quais os afetos colorem econtaminam o entendimento."

Francis Bacon, Novum organon (1620)

Agradecimentos

Agradeço à minha família por moldar quem eu sou.

Agradeço à minha namorada por seu amor.

Agradeço ao meu orientador por todos esses anos de amizade e conhecimento compartilhado.

Agradeço aos meus amigos pelas risadas e discussões.

Agradeço ao CNPq pela bolsa 141220/2014-7 que tornou possível este trabalho.

O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoalde Nível Superior - Brasil(CAPES) - Código de Financiamento 001

Resumo

Buscando pensar novos modelos que possam melhor explicar a estrutura do universo em suaescala mais fundamental, um estudo detalhado de algumas extensões do Modelo Padrão dasPartículas Elementares (SM) é feito nesta tese. Primeiro, é feita uma revisão das ferramentasbásicas da teoria quântica de campos. A seguir, um simples diagrama de Feynman é aplicadopara estudar possíveis restrições a uma partícula do tipo áxion. Após tais restrições, extensõesfenomenológicas do SM que possuem uma Violação da Simetria de Lorentz(LIV) são revisadas esuas consequências na propagação de neutrinos e experimentos de long baseline e resultados sãoobtidos. Primeiramente, vínculos a esses modelos são encontrados usando três configuraçõesde feixes diferentes para o experimento DUNE e um operador LIV de dimensão 4. Comoresultado, encontramos que todos os feixes propostos colocam vínculos da mesma ordem degrandeza do parâmetro 𝛾 que caracteriza LIV: 𝛾 ∼ 10−24. Além disso, um estudo dos efeitos deoperadores LIV de dimensão 4, 5 e 6 em DUNE e T2K é feito, colocando os seguintes vínculosa esses operadores: |𝛾(4)|= 8 × 10−24, |𝛾(5)|= 6.7 × 10−34, |𝛾(6)|= 1.2 × 10−44 para o DUNE e|𝛾(4)|= 4.1 × 10−21, |𝛾(5)|= 4.6 × 10−31, |𝛾(6)|= 3.7 × 10−41 para o T2K. Também é mostradocomo o operador LIV de 𝑑 = 4 poderia mascarar o ordenamento de massa dos neutrinos. Nofinal, são obtidos mapas entre os operadores Nonstandard Interactions (NSI) e extensões doSM, em particular para o modelo 𝑆𝑈(5) e o modelo 𝑆𝑈(3)𝐶 ⊗ 𝑆𝑈(3)𝐿 ⊗ 𝑈(1). Mostra-seque os vínculos de experimentos de long baseline (DUNE em particular) para NSI são fracospara restringir as teorias de grande unificação, assim como outras extensões. Encontramos:𝑀𝑌 ≥ 0.5 𝑇𝑒𝑉 e 𝑀𝑉0 ≥ 11 𝑒𝑉 , onde 𝑀𝑌 é um bóson intermediário do modelo 𝑆𝑈(5) e 𝑀𝑉0

é um bóson intermediário do modelo 𝑆𝑈(3)𝐶 ⊗ 𝑆𝑈(3)𝐿 ⊗ 𝑈(1). Como conclusão, descobrimosalguns vínculos para teorias LIV melhores do que a literatura atual tem apresentado, e quesão muito úteis para vincular modelos que preveem violação da mesma. Além disso, obtemosvínculos para teorias de grande unificação e outras extensões utilizando parâmetros NSI, porémos mesmos não se mostraram melhores que os vínculos existentes na literatura.

Palavras-chave:Teoria Quântica de Campos, Violação de Lorentz, Teorias de Grande Unificação, Interação

de Neutrinos, Oscilação de Neutrinos.

Abstract

In order to better understand the basic structure of our universe, we seek for models beyondthe Standard Model of Particle Physics (SM). A detailed study of some extensions of the SMis done in this thesis. First, a review of basic quantum field theory tools is done. Then, a sim-ple Feynman diagram is applied to study possible constraints to an Axion particle. Moreover,phenomenological extensions of the SM that posses a Lorentz Invariance Violation (LIV) arerevised and their consequences into neutrino propagation and long baseline neutrino experi-ments are obtained. First, constraints to these models are found using three different beamconfigurations for DUNE and a LIV operator of dimension 4, we find the following constraintto the 𝛾 parameter that characterizes LIV: |𝛾|∼ 10−24. Moreover, a study of the effects of LIVoperators of dimension 4, 5 and 6 in DUNE and T2K is done, putting the following constraintsto these operators: |𝛾(4)|= 8 × 10−24, |𝛾(5)|= 6.7 × 10−34, |𝛾(6)|= 1.2 × 10−44 for DUNE and|𝛾(4)|= 4.1 × 10−21, |𝛾(5)|= 4.6 × 10−31, |𝛾(6)|= 3.7 × 10−41 for T2K. Also, we show how thedimension 𝑑 = 4 operator could mask neutrino mass ordering. In the end, a map between Non-standard Interactions (NSI) operators and extensions of the SM is done, in particular for 𝑆𝑈(5)model and 𝑆𝑈(3)𝐶 ⊗𝑆𝑈(3)𝐿 ⊗𝑈(1) model. It is shown that long baseline neutrino experimentsconstraints (DUNE in particular) to NSI are weak to constrain grand unified theories and someextensions of the SM, we find: 𝑀𝑌 ≥ 0.5 𝑇𝑒𝑉 and 𝑀𝑉0 ≥ 11 𝑒𝑉 , where 𝑀𝑌 is a gauge bosonof 𝑆𝑈(5) and 𝑀𝑉0 is a gauge boson of 𝑆𝑈(3)𝐶 ⊗ 𝑆𝑈(3)𝐿 ⊗ 𝑈(1). In conclusion, we discoveredconstraints to LIV parameters that are better than the current literature and that are usefulin constraining models that predict this violation. Moreover, we obtain constraints to grandunified theories and extensions of the SM using NSI parameters although these constraints areno better than the current literature constraints.

Keywords:Quantum Field Theory, Lorentz Violation, Grand Unified Theories, Neutrino Interaction,

Neutrino Oscillation.

Lista de Ilustrações

2.1 Regras de Feynman no espaço de momento para uma QED acoplado a uma Teoria Pseudo

Yukawa. Notemos que 𝑢(𝑝) representa a solução de momento para a equação de Dirac, 𝜖𝜇

representa a polarização de fótons, 𝑔𝜇𝜈 a métrica de Minkowski e 𝛾𝜇 as matrizes Gamma tal

que: {𝛾𝜇, 𝛾𝜈} = 2𝑔𝜇𝜈 [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2 Diagramas que geram a Função de Vértice do Elétron em primeira ordem em 𝛼 = 𝑒2

4𝜋 e 𝛼𝑎 = 𝑎2

4𝜋 [1]. 292.3 Contribuição do Axion até a primeira ordem em 𝛼𝑎 = 𝑎2

4𝜋 [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4 Regiões permitidas para o acoplamento 𝑔 = 𝑎 e a massa axionada 𝑚𝑎 em função da massa

eletrônica. 𝑚 [6]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1 Probabilidades de conversão para DUNE usando operadores de dimensão demassa 4, 5 e 6 da esquerda para a direita. Nas caixas pode-se encontrar osvalores para os parâmetros 𝛾 para cada curva [13]. . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2 Probabilidades de Sobrevivência para DUNE usando operadores de dimensão demassa 4, 5 e 6 da esquerda para a direita. Nas caixas pode-se encontrar os valorespara os parâmetros 𝛾 de cada curva [13]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3 Probabilidades de conversão para T2K usando operadores de dimensão de massa4, 5 e 6 da esquerda para a direita. Nas caixas pode-se encontrar os valores paraos parâmetros 𝛾 de cada curva [13]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.4 Probabilidades de Sobrevivência para T2K usando operadores de dimensão demassa 4, 5 e 6 da esquerda para a direita. Nas caixas pode-se encontrar os valorespara os parâmetros 𝛾 de cada curva [13]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

4.5 Painel superior (inferior): eventos de elétrons para a hierarquia normal (hie-rarquia invertida). Para todas as curvas, assumimos os best fit mostrados naTabela 4.1. A curva vermelha representa o best fit para o cenário padrão detrês neutrinos (com 𝛿 = 1.4 𝜋) e sua barra de erro. As curvas laranja e cinzasão funções do parâmetro LIV com a fase CP 𝛿 = 1.4𝜋. As curvas laranja (𝛾positivo) que têm a quantidade máxima de eventos representam os maiores parâ-metros LIV, enquanto as próximas ao cenário padrão de três neutrinos com CPmáxima representam os menores parâmetros LIV. O passo entre as curvas LIVsão 100,5, começam em 𝛾 = 10−23 e terminam em 𝛾 = 10−24. As curvas cinza (𝛾negativo) têm um passo entre as curvas LIV −10−0.5, iniciam em 𝛾 = −10−23 daquantidade mínima de eventos e terminam em 𝛾 = −10−24, o que se sobrepõe aocenário padrão de três neutrinos. A curva de variação de CP é o cenário padrãode três neutrinos com o best fit e a fase 𝛿-CP variando em todo o intervalo [13]. 63

4.6 O painel superior (inferior) refere-se a eventos de múon para NH (IH). Da es-querda para a direita, diferentes cenários de fluxos de neutrinos (LE, ME e HE)são mostrados. As legendas são as mesmas que Fig. (4.5) [13]. . . . . . . . . . . 64

4.7 Upper (Lower) Panel: Região de sensibilidade para o parâmetro LIV 𝛾 para umdado valor de 𝛿 CP, em que corremos de 0 a 2𝜋, para todos os cenários de fluxosde neutrinos, LE, ME e HE com NH (IH) até 2𝜎 de C.L. Na simulação nósmantivemos livre o ângulo de mistura 𝜃23, 𝛿ts, 𝛾 e fixamos os outros parâmetrosdo best fit do cenário de três neutrinos [13]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.8 Curvas com 2𝜎 de C.L. para o parâmetro LIV 𝛾 para um dado valor da fase 𝛿-CP,que corremos de 0 a 2𝜋 e diferentes fluxos (LE, ME e HE), para a hierarquianormal à esquerda e para hierarquia invertida à direita [11]. . . . . . . . . . . . 65

4.9 Região de exclusão para o parâmetro LIV 𝛾(𝑑) da dimensão de massa 4, 5 e 6versus 𝛿 dividido por 𝜋 com 90% C.L., assumindo N.H. Top: T2K e Bottom:DUNE [13]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.10 Sensibilidade à hierarquia de massa esperada no experimento DUNE. A curvapreta considera apenas os parâmetros de Oscilação Padrão enquanto a curvaverde considera o parâmetro de Violação de Lorentz da dimensão 4. Esquerda:A Hierarquia Normal é assumida como o valor verdadeiro Direita: HierarquiaInvertida é esperada como o valor verdadeiro [13]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.11 Sensibilidade à hierarquia de massa esperada no experimento DUNE. As curvasvermelhas consideram Hierarquia Invertida enquanto as curvas azuis consideramHierarquia Normal, com 𝛾 assumindo vários valores [13]. . . . . . . . . . . . . . 68

5.1 Tipos de interação que poderiam gerar parâmetros NSI, baseado em [38]. . . . . 77

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

5.2 𝜒2 Análise para o parâmetro 𝜀𝑒𝑒 = −5.8×10−24 como função de Log(Baseline km).A linha vermelha pontilhada representa 𝜒2 = 4.0, 2𝜎 C.L. O baseline que contéma interseção é 𝐿 ∼ 4.7 × 106 km. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Lista de Tabelas

1.1 Tabela CPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.1 Best fit dos parâmetros de oscilação extraídos de [19]. . . . . . . . . . . . . . . . 504.2 Restrições para o parâmetro LIV com 𝛿 = 1.4𝜋 e 2𝜎 C.L. para hierarquia normal

e invertida e todos os fluxos [13]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3 Vínculos aos operadores LIV de dimensão de massa 4, 5 e 6 com 90% de C.L. e

𝛿𝐶𝑃 (true)=1.4𝜋 [13]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.1 Restrições em parâmetros NSI subtraídos por um termo global 𝜀𝜇𝜇 [50]. . . . . . 795.2 Valores dos parâmetros de oscilação de best fit extraídos da Referência [12]. . . 81

Conteúdo

Dedicatória

Agradecimentos

1 Introdução 151.1 Revisão das Ferramentas Básicas de Teoria Quântica de Campos . . . . . . . . . 161.2 Integrais de Caminho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3 Simetrias Discretas em Teoria Quântica de Campos . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.1 Paridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.2 Reversão Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.3 Conjugação da Carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Vinculando Áxions por diagramas de Feynman 272.1 Regras de Feynman para QED com uma interação Yukawa Pseudoscalar . . . . 272.2 A função vértice do elétron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3 Calculando a contribuição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Operadores efetivos LIV 373.1 Revisão do Modelo SME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2 Operador de Dimensão 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3 Operador de Dimensão d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4 Oscilações de Neutrinos na presença de LIV 454.1 Experimentos de long baseline de neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2 Equação de Evolução dos Neutrinos com LIV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.3 Probabilidades Analíticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.4 Probabilidades Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.5 Resultados para Multiplos Feixes para o DUNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.5.1 Eventos tipo Elétron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

CONTEÚDO

4.5.2 Eventos tipo 𝜇 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.5.3 Espaço de parâmetros LIV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.6 Resultados para os operadores de dimensão de massa 4, 5 e 6 para o DUNE e T2K 564.7 Mascarando a Hierarquia de Massa com Violação de Lorentz . . . . . . . . . . . 57

5 SME e vínculos NSI 695.0.1 O modelo mínimo 𝑆𝑈(5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.0.2 O modelo mínimo 𝑆𝑈(3)𝐶 ⊗ 𝑆𝑈(3)𝐿 ⊗ 𝑈(1) . . . . . . . . . . . . . . . . 755.0.3 Formalismo NSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.1 Resultados para o DUNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.1.1 Resultados do DUNE para o 𝑆𝑈(5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.1.2 Experimento Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6 Conclusão 84

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 15

Capítulo 1

Introdução

O objetivo desta tese é encontrar vínculos para extensões do Modelo Padrão das PartículasElementares (SM), a teoria mais aceita como a explicação de como o universo funciona em suaescala microscópica. Tais vínculos podem, então, nos guiar para uma teoria mais completa paraexplicar como a natureza funciona em sua escala mais fundamental.

Esta tese possui três partes:

∙ A primeira parte possui a seguinte estrutura: Na Introdução é feita uma revisão deferramentas básicas de teoria quântica de campos que será utilizada nos demais capítulos.No Capítulo 1, Vinculando Áxions por diagramas de Feynman, aplicamos um diagramade Feynman extra para a Função de Vértice do Elétron, que representa a interação extradevido ao Áxion em 1-loop na Função de Vértice do Elétron. Então revisamos as técnicasnecessárias para resolvermos a integral obtida a partir das regras de Feynman para essediagrama. Além disso, encontramos um vínculo entre a massa do Áxion e sua constantede acoplamento.

∙ A segunda parte possui a seguinte estrutura: No Capítulo 2, Operadores efetivos queviolam a simetria de Lorentz, fazemos uma rápida revisão do Standard Model Extension(SME), modelo mais utilizado para estudar operadores efetivos que violam a simetria deLorentz. Também propomos uma Lagrangiana efetiva que viola a simetria de Lorentzpara um operador, denotado de operador Lorentz Invariance Violation (LIV), de dimen-são de massa 𝑑. No Capítulo 3, utilizando este operador LIV de dimensão 𝑑, foram obtidosvínculos para o mesmo utilizando uma simulação dos experimentos Deep UndergroundNeutrino Experiment (DUNE) e Tokai to Kamioka (T2K). Para o DUNE, foram obtidosvínculos para o operador de dimensão 𝑑 = 4 utilizando diversos feixes e estudamos comotais feixes influenciariam a sensibilidade do DUNE aos operadores LIV. Além disso, tam-bém estudamos o vínculo para operadores LIV de dimensão d = 4, 5 e 6 no DUNE e noTK2. Ainda no Capítulo 3, estudamos como o operador LIV de dimensão d = 4 poderia


mascarar a Hierarquia de massas dos neutrinos.

∙ A terceira parte possui a seguinte estrutura: No Capítulo 4, Extensões do SM e os vínculosNSI, estudamos um mapa entre teorias de grande unificação, em especial o modelo mínimo𝑆𝑈(5) e o modelo mínimo 𝑆𝑈(3)𝐶 ⊗𝑆𝑈(3)𝐿 ⊗𝑈(1), e os parâmetros NSI. Com tal mapa,foram obtidos vínculos para a massa de alguns dos novos bósons de calibre que taismodelos propõem.

1.1 Revisão das Ferramentas Básicas de Teoria Quânticade Campos

Quando lidamos com mecânica quântica não relativística (que denominarei apenas de me-cânica quântica), há um conjunto fixo de postulados que descrevem completamente qualquerproblema que esteja dentro da área de atuação da mesma. Tais problemas nem sempre possuemuma solução analítica conhecida, então são empregadas técnicas de resolução através de umateoria de perturbação, princípio variacional, aproximação WKB, entre outras. Na maioria dostextos, porém, fica claro o que é uma técnica para resolver um problema e o que é, de fato, oessencial da mecânica quântica (parte dos postulados da mesma).

Muitos acreditam que a teoria quântica de campos não é uma teoria finalizada, que ainda háespaço para novas ideias serem introduzidas. Isso faz com que a maioria dos autores de livrossobre a mesma não introduza a teoria quântica de campos como uma teoria axiomática [1,2], porém muitos deles não conseguem deixar claro o que é essencial na teoria e o que é umferramental para resolver problemas. Para tentar deixar o texto o mais claro possível, eu focareiapenas na primeira parte o que é essencial para entender a teoria quântica de campos.

Na mecânica quântica, há um vetor de estado que segue uma evolução temporal regido pelaequação:

𝑖ℎ̄𝑑

𝑑𝑡|Ψ(𝑡)⟩ = �̂�|Ψ(𝑡)⟩. (1.1.1)

Tal equação pode ser resolvida projetando os vetores de estado em uma base que formeum conjunto completo de observáveis comutantes. O que notamos, porém, é que tal equaçãonão admite a descrição de um sistema que viole o número de partículas. Se |Ψ(0)⟩ descreve 𝑛

partículas, |Ψ(𝑡)⟩ descreverá 𝑛 partículas. Isso faz com que a mecânica quântica, usando esteformalismo, não seja capaz de estudar uma imensa gama de fenômenos que envolvem a violaçãodo número de partículas. Este é o primeiro sintoma que motiva a busca de uma teoria maiscompleta que a mecânica quântica.

Mesmo no contexto de uma única partícula, quando se tenta unir essa equação à relatividadeespecial, usando a relação canônica 𝑝 → −𝑖ℎ̄∇ e 𝐸 → 𝑖ℎ̄ 𝑑

𝑑𝑡na espressão relativística:


𝐸2 = 𝑝2 + 𝑚2, (1.1.2)

obtemos, multiplicando por uma função de onda, a seguinte equação de evolução:

(𝜕2𝑡 − 𝜕2

𝑥 + 𝑚2)𝜑(𝑥, 𝑡) = 0. (1.1.3)

Esta é conhecida como equação de Klein-Gordon. A solução dela pode ser obtida aplicandouma transformada de Fourier:

𝜑(𝑥, 𝑡) =∫︁ 𝑑𝑝

2𝜋√︁

2𝐸𝑝

(𝑎𝑝𝑒−𝑖(𝐸𝑝𝑡−𝑝𝑥) + 𝑎†𝑝𝑒𝑖(𝐸𝑝𝑡−𝑝𝑥)). (1.1.4)

Tal equação não admite a interpretação padrão da mecânica quântica de que o quadradoda função de onda é integrável e pode ser normalizado a 1. Se interpretado da maneira usualtambém se obtêm partículas com energia negativa e viola a causalidade [1, 2]. Todas essaspropriedades são de fácil verificação. Essas (e outras) patologias nos levam a olhar para aequação de Klein-Gordon não como uma equação de onda, seguindo os postulados básicos demecânica quântica, mas como algo novo. O que seria esse algo novo?

No tratamento usual de mecânica quântica o tempo tem uma característica especial: elenão é um operador, porém a posição da partícula é. Essa assimetria deve desaparecer quandotentamos unir mecânica quântica e relatividade especial, pois para a relatividade tempo e espaçoaparecem em uma mesma estrutura, o espaço-tempo.

Se não podemos interpretar as soluções da equação de Klein-Gordon como a função de ondadescrevendo uma única partícula, e rebaixamos o caráter de operador do espaço e do tempo,qual quantidade poderia estar associada à evolução temporal do sistema?

Em mecânica clássica, sabemos que o Hamiltoniano do sistema, que dita sua evoluçãotemporal através das equações de Hamilton, depende de definirmos o momento canônico atravésda Lagrangiana, que explicitamente exige uma coordenada temporal, pois é definida como umaderivada em relação ao tempo de uma das quantidades básicas do sistema, que no caso damecânica clássica é a posição generalizada. Uma das maneiras de postularmos a mecânicaquântica é pegarmos emprestado da mecânica clássica a estrutura que correlaciona coordenadasgeneralizadas e momentos canônicos de maneira que preserve a estrutura Hamiltoniana dosistema (invariante por transformações canônicas). Tal estrutura é chamada de parênteses dePoisson:

{�̂�, 𝑝} = 𝜕�̂�

𝜕𝑥

𝜕𝑝

𝜕𝑝+ 𝜕𝑝

𝜕𝑥

𝜕�̂�

𝜕𝑝= 1. (1.1.5)

Associando a Eq. (1.1.5) ao postulado de que observáveis físicos são autovalores de operado-res Hermitianos, temos que �̂� e 𝑝 são operadores Hermitianos cujos autovalores são os possíveis


valores de posição e momento que uma partícula pode assumir.Postulamos que:

[�̂�, 𝑝] = 𝑖ℎ̄. (1.1.6)

E tal postulado leva à equação de Schrondiger (e o inverso é válido: se definirmos a equaçãode Schrondiger, obtemos a relação de comutação).

Mas novamente ressaltamos que as soluções da equação de Klein-Gordon não podem serinterpretadas como função de onda e estamos rebaixando o caráter de operador da posição.Qual quantidade seria então interessante de ser os novos operadores fundamentais, de maneiraque haja um sistema Hamiltoniano associado a eles cuja evolução temporal coincida (pelo menosdo ponto de vista clássico) com a equação de Klein Gordon? Em analogia à teoria clássica decampos, no exemplo de cordas vibrantes, uma corda com posição y[x,t] obedece à equação deonda da forma:

𝜕2𝑦[𝑥, 𝑡]𝜕2𝑥

− 𝜕2𝑦[𝑥, 𝑡]𝑣2𝜕2𝑡

= 0, (1.1.7)

e possui uma densidade Lagraniana (denotaremos apenas por Lagrangiana) da forma:

ℒ𝑐𝑜𝑟𝑑𝑎 = 12𝜕𝜇𝑦[𝑥, 𝑡]𝜕𝜇𝑦[𝑥, 𝑡]. (1.1.8)

Notemos que a equação de uma corda é idêntica à equação de Klein-Gordon sem massa.Isso nos leva a intuitivamente definir que as novas variáveis fundamentais em teoria quânticade campos sejam as soluções (que representam campos) Φ(𝑥), cuja Lagrangiana é dada por:

ℒ𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 = 𝜕𝜇Φ†𝜕𝜇Φ − 𝑚20Φ2. (1.1.9)

Para obtermos as equações de movimento (clássicas), precisamos aplicar as equações deEuler-Lagrange:

𝜕ℒ𝜕Φ − 𝜕𝜇

𝜕ℒ𝜕(𝜕𝜇ℒ) = 0. (1.1.10)

Com a estrutura Lagrangiana definida, podemos também definir o momento canônico:

Π(𝑥) = 𝜕𝐿

𝜕(𝑑Φ(𝑥)𝑑𝑡

). (1.1.11)

E vamos impor:

[Φ(𝑥), Π(𝑦]) = 𝑖𝛿(𝑥 − 𝑦), (1.1.12)

como a nova relação de comutação fundamental.


Aplicando essa expressão na estrutura da equação de Klein-Gordon e com algumas mani-pulações, obtemos:

[𝑎𝑝, 𝑎†𝑝′ ] = (2𝜋)2𝛿(𝑝 − 𝑝′). (1.1.13)

Notamos aqui que 𝑎𝑝 e 𝑎†𝑝 são operadores obedecendo uma estrutura muito similar à do

oscilador harmônico quântico. Então, talvez esse campo Φ crie partículas como excitações domesmo, da mesma maneira que o oscilador harmônico quântico cria estados excitados.

Para vermos que esses operadores de fato criam partículas com energia e momento, podemoscalcular a densidade Hamiltoniana do sistema:

ℋ = Π𝑑Φ𝑑𝑡

− ℒ, (1.1.14)

que fica:

ℋ = Π2

2 + (∇𝜑)2

2 + 𝑚2Φ2. (1.1.15)

Substituindo a solução de Klein-Gordon, obtemos:

ℋ = 𝐸𝑎†𝑎, (1.1.16)

a menos da energia de ponto zero.

1.2 Integrais de Caminho

Com o campo quântico livre em mãos, a próxima pergunta a ser feita é: o que acontececom o mesmo na presença de interações? Já vimos que partículas são excitações desse campoquântico. Logo, na presença de interações, essas partículas devem se comunicar. Valoresmédios desses campos quânticos, assim como valores médios de energia por partículas fornecema energia interna em mecânica estatística, devem levar a quantidades mensuráveis. Com essaidéia em mente vamos postular que os campos quânticos, que têm liberdade para criar e destruirpartículas, também possuem uma função de partição. Por simplicidade, trataremos apenas ocampo escalar:

𝑍[𝐽 ] =∫︁

𝑑Φ𝑒𝑖∫︀

𝑑4𝑥𝐿[Φ] = ⟨Ω|Ω⟩. (1.2.1)

Tal função de partição fornece as flutuações do vácuo desse campo quântico. Sendo assim,o valor esperado de qualquer produto de campos quânticos é obtido como:

⟨Ω|𝑇 (Φ(𝑥1)...Φ(𝑥𝑛))|Ω⟩ =∫︁

𝑑ΦΦ(𝑥1)...Φ(𝑥𝑛)𝑒𝑖∫︀

𝑑4𝑥𝐿[Φ]. (1.2.2)


Qual é a conexão dessa expressão com o experimento? O que de fato é medido em labo-ratório? A conexão com o experimento vem da fórmula LSZ (Lehmann, Symanzik e Zimmer-mann) [1], que aqui é mostrada apenas para campos escalares:

⟨Ω | 𝑇 (𝜑(𝑥1)...𝜑(𝑥𝑛)) | Ω⟩ = Π𝑖=𝑛,𝑗=𝑚𝑖=1,𝑗=1

𝑖√

𝑍

𝑝2𝑖 − 𝑚2

𝜑

𝑖√

𝑍

𝑘2𝑗 − 𝑚2

𝜑

⟨𝑝1...𝑝𝑛 | 𝑆 | 𝑘1...𝑘𝑚⟩. (1.2.3)

Tal fórmula associa a função de 𝑛 pontos completa, que é o valor esperado do produto de 𝑛

campos no vácuo interagente com os elementos da matriz S, esta medindo a probabilidade detransição e interação entre estados multiplicada pelos propagadores completos.

Quando lidamos com extensões do SM, uma das práticas mais comuns é a de extensão dogrupo de simetria desse modelo para um grupo maior, que contém o SM após uma quebrade simetria. Em particular, quando lidamos com uma teoria geral para operadores efetivosque violam a simetria de Lorentz, uma das simetrias mais importantes é a simetria CPT. Poresse motivo, uma rápida revisão em sua estrutura básica será apresentada na próxima seção,baseada em [1, 2].

1.3 Simetrias Discretas em Teoria Quântica de Campos

Em teoria quântica de campos, há uma classe de simetrias, como as simetrias de Lorentz,que levam a quantidades conservadas. A invariância por translação espaço-temporal leva a con-servação do tensor momento-energia, cujas componentes incluem a energia do sistema quânticoe seu momento total. Além das transformações de Lorentz contínuas, os boosts e as rotações,há uma outra classe de simetrias que as Lagrangianas de Teoria Quântica de Campos podemter, chamadas simetrias discretas. Elas são conjugação de carga, paridade e reversão temporale terão grande importância na discussão de teorias que violam a simetria de Lorentz e paraa física de neutrinos. Porém, para analisá-las, será necessário a solução da equação de Diraclivre. Para isso uma rápida revisão das proprieadades dessa solução é apresentada, já que serámuito utilizada em seções futuras.

A Lagrangiana de Dirac possui a seguinte forma:

ℒ = Ψ̄(𝑖𝛾𝜇𝜕𝜇 − 𝑚)Ψ. (1.3.1)

Aplicando as equações de Euler-Lagrange na Lagrangiana de Dirac:

𝜕ℒ𝜕Ψ̄

− 𝜕𝜇𝜕ℒ

𝜕(𝜕𝜇Ψ̄)= 0, (1.3.2)

obtemos a equação de Dirac livre:


(𝑖𝛾𝜇𝜕𝜇 − 𝑚)Ψ = 0. (1.3.3)

Escrevendo Ψ como uma série de Fourier no espaço dos momentos:

Ψ =∫︁ 𝑑𝑝3

(2𝜋)3√︁

2𝐸𝑝

Σ𝑠(𝑏𝑠(𝑝)𝑢𝑠(𝑝)𝑒−𝑖𝑝𝑥 + 𝑑†𝑠(𝑝)𝑣𝑠(𝑝)𝑒𝑖𝑝𝑥), (1.3.4)

obtemos a equação de Dirac no espaço de momentos:

(𝛾𝜇𝑝𝜇 − 𝑚)𝑢𝑠(𝑝) = 0, (1.3.5)

onde:

𝑢𝑠(𝑝) =⎛⎝ √

𝑝 · 𝜎𝜁𝑠

√𝑝 · �̄�𝜁𝑠

⎞⎠ , (1.3.6)

é a solução da equação de Dirac no espaço de momentos. Tal asserção pode ser verificadanotando que:

(𝛾𝜇𝑝𝜇 − 𝑚)𝑢𝑠(𝑝) =⎛⎝ −𝑚 𝜎 · 𝑝

�̄� · 𝑝 −𝑚

⎞⎠⎛⎝ √𝑝 · 𝜎𝜁𝑠

√𝑝 · �̄�𝜁𝑠

⎞⎠ . (1.3.7)

O que resulta em:

⎛⎝ −𝑚√

𝜎 · 𝑝 + 𝜎 · 𝑝√

�̄� · 𝑝

�̄� · 𝑝√

𝜎 · 𝑝 − 𝑚√

�̄� · 𝑝

⎞⎠⎛⎝ 𝜁𝑠

𝜁𝑠

⎞⎠ =⎛⎝ √

�̄� · 𝑝(−𝑚√

𝜎 · 𝑝√

�̄� · 𝑝 + 𝜎 · 𝑝�̄� · 𝑝)√

𝜎 · 𝑝(−𝑚√

𝜎 · 𝑝√

�̄� · 𝑝 + 𝜎 · 𝑝�̄� · 𝑝)

⎞⎠⎛⎝ 𝜁𝑠

𝜁𝑠

⎞⎠ .

(1.3.8)Para resolver essa equação, notamos que:

𝜎 · 𝑝�̄� · 𝑝 = (𝑝0𝜎0 + 𝑝𝑖𝜎

𝑖)(𝑝0𝜎0 − 𝑝𝑖𝜎

𝑖). (1.3.9)

Sabemos que 𝜎0 = 12×2 e que de {𝛾𝜇, 𝛾𝜈} = 2𝑔𝜇𝜈 , o que implica {𝜎𝑖, 𝜎𝑗} = 2𝛿𝑖𝑗. Com taisresultados, obtemos:

𝜎 · 𝑝�̄� · 𝑝 = (𝑝20 − 𝑝𝑖𝑝𝑗𝜎

𝑖𝜎𝑗)12×2 = (𝑝20 − 1

2𝑝𝑖𝑝𝑗𝜎𝑖𝜎𝑗)12×2 = (𝑝2

0 − 𝑝2𝑖 )12×2 = 𝑚212×2. (1.3.10)

Substituindo esse resultado na equação de Dirac no espaço de momentos, temos:⎛⎝ √�̄� · 𝑝(−𝑚212×2 + 𝑚212×2)

√𝜎 · 𝑝(−𝑚212×2 + 𝑚212×2)

⎞⎠⎛⎝ 𝜁𝑠

𝜁𝑠

⎞⎠ = 0. (1.3.11)


Notamos que 𝑢𝑠(𝑝) é de fato a solução da equação de Dirac. Com a solução em mãos,podemos estudar as propriedades da Lagrangiana sobre simetrias discretas. Analogamente,podemos mostrar que a solução de Dirac para 𝑣𝑠(𝑝), solução da antipartícula, é:

𝑣𝑠(𝑝) =⎛⎝ √

𝑝 · �̄�𝜁𝑠

−√𝑝 · 𝜎𝜁𝑠

⎞⎠ . (1.3.12)

1.3.1 Paridade

A transformação de paridade consiste numa reflexão das coordenadas espaciais, isto é, fa-remos que (𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑡, −𝑥, −𝑦, −𝑧). Aplicada a um campo fica:

𝑃 −1Ψ(𝑥)𝑃 = 𝐷(𝑃 )Ψ(𝑥), (1.3.13)

onde 𝑃 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(1, −1, −1, −1). Qual é a estrutura de 𝐷(𝑃 )?Para analisarmos essa questão notemos que ao refletirmos as coordenadas espaciais, 𝑥 →

−𝑥, também invertemos o momento 𝑝𝑥 → −𝑝𝑥. Porém, o momento angular J = x × p →J = -x × -p permanece o mesmo. Logo, os operadores de criação 𝑏†

𝑠(p) e aniquilação 𝑏𝑠(p)devem se transformar de acordo a satisfazer:

𝑃 −1𝑏†𝑠(p)𝑃 = 𝜂𝑏†

𝑠(-p) (1.3.14)

e𝑃 −1𝑑†

𝑠(p)𝑃 = 𝜂𝑑†𝑠(-p), (1.3.15)

onde 𝑑†𝑠(p) e 𝑑𝑠(p) são os operadores de criação e aniquilação da antipartícula criada por 𝑏†

𝑠(p).Com isso em mente, aplicaremos ao campo fermiônico Ψ(𝑥) o operador paridade:

𝑃 −1Ψ(𝑥)𝑃 =∫︁ dp3

(2𝜋)3√︁

2𝐸𝑝

Σ𝑠(𝑃 −1𝑏𝑠(p)𝑃𝑢𝑠(p)𝑒−𝑖𝑝𝑥 + 𝑃 −1𝑑†𝑠(p)𝑃𝑣p(𝑝)𝑒𝑖𝑝𝑥). (1.3.16)

Utilizando as identidades para os operadores criação e destruição, obtemos:

𝑃 −1Ψ(𝑥)𝑃 =∫︁ dp3

(2𝜋)3√︁

2𝐸pΣ𝑠(𝜂*𝑏𝑠(-p)𝑢𝑠(p)𝑒−𝑖𝑝𝑥 + 𝜂𝑑†

𝑠(-p)𝑣𝑠((-p)𝑒𝑖𝑝𝑥), (1.3.17)

onde p se refere apenas à parte espacial do 4−vetor momento-energia. Como 𝐸2𝑝 = 𝑝2 + 𝑚2,

a reversão do sinal do momento o deixa inalterado, a mesma coisa valendo para a medida 𝑑𝑝3.Faremos na integral p → -p, assim obtendo:


𝑃 −1Ψ(𝑥)𝑃 =∫︁ dp3

(2𝜋)3√︁

2𝐸pΣ𝑠(𝜂*𝑏𝑠(p)𝑢𝑠(-p)𝑒−𝑖𝑝𝑃 𝑥 + 𝜂𝑑†

𝑠(p)𝑣𝑠(-p)𝑒𝑖𝑝𝑃 𝑥). (1.3.18)

Notamos que:

𝑢𝑠(-p) =⎛⎝ √

𝑝 · �̄�𝜁𝑠

√𝑝 · 𝜎𝜁𝑠

⎞⎠ . (1.3.19)

Implicando que 𝑢𝑠(-p) tem a seguinte propriedade:

𝑢𝑠(-p) =⎛⎝ 0 12×2

12×2 0

⎞⎠𝑢𝑠(p) = 𝛾0𝑢𝑠(p). (1.3.20)

Analogamente, podemos mostrar que para 𝑣𝑠(-p):

𝑣𝑠(-p) = −

⎛⎝ 0 12×2

12×2 0

⎞⎠ 𝑣𝑠(p) = −𝛾0𝑣𝑠(p). (1.3.21)

Se definirmos 𝜂 = −𝑖 e utilizarmos a relação obtida para 𝑢𝑠(-p) e 𝑣𝑠(-p), obtemos:

𝑃 −1Ψ(𝑡, x)𝑃 = 𝑖𝛾0∫︁ dp3

(2𝜋)3√︁

2𝐸pΣ𝑠(𝑏𝑠(p)𝑢𝑠(p)𝑒−𝑖𝑝𝑃 𝑥 + 𝑑†

𝑠(p)𝑣𝑠(p)𝑒𝑖𝑝𝑃 𝑥) = 𝑖𝛾0Ψ(𝑡, -x).

(1.3.22)Logo, aplicar o operator paridade ao campo é análogo à multiplicá-lo por 𝑖𝛾0 e reverter suas

coordenadas espaciais.

1.3.2 Reversão Temporal

Definiremos a operação de reversão temporal:

𝑇 −1Ψ(𝑥)𝑇 = 𝐷(𝑇 )Ψ(𝑇𝑥). (1.3.23)

Neste caso revertemos a direção do tempo. Notamos que tanto o momento p → −p comoo momento angular J → -J mudam de sinal. Então:

𝑇 −1P𝑇 = -P (1.3.24)

e𝑇 −1J𝑇 = -J. (1.3.25)

E os operadores de criação e aniquilação devem obedecer:


𝑇 −1𝑏†𝑠(p)𝑇 = 𝜁𝑠𝑏

†−𝑠.(-p) (1.3.26)

e𝑇 −1𝑑†

𝑠(p)𝑇 = 𝜁𝑠𝑑†−𝑠.(-p) (1.3.27)

Notemos o seguinte: queremos um operador que transforme 𝑏†𝑠(p) → 𝑏†

−𝑠(-p) e Ψ(𝑡, x) →Ψ(−𝑡, x) multiplicado por uma matriz. Porém, vimos na análise de paridade que 𝑏†

𝑠(p) → 𝑏†𝑠(-p)

leva a Ψ(𝑡, x) → Ψ(𝑡, -x). Além disso, se adotarmos que não há direção temporal preferencial,𝑇 deve comutar com a Hamiltoniana 𝐻. Logo:

Ψ(𝑡, x) = 𝑒𝑖𝐻𝑡Ψ(x)𝑒−𝑖𝐻𝑡. (1.3.28)

Portanto:𝑇 −1Ψ(𝑡, x)𝑇 = 𝑒𝑖𝐻𝑡𝑇 −1Ψ(x)𝑇𝑒−𝑖𝐻𝑡. (1.3.29)

O que implica que:

𝑇 −1Ψ(𝑡, x)𝑇 |0⟩ = 𝑒𝑖𝐻𝑡𝑇 −1Ψ(x)𝑇 |0⟩. (1.3.30)

O lado direito dessa equação possui apenas frequências negativas, porém se T reverte a direçãotemporal, então teremos:

Ψ(−𝑡, x)|0⟩ = 𝑒−𝑖𝐻𝑡𝑇 −1Ψ(𝑡, x)𝑇 |0⟩. (1.3.31)

Que é composto de apenas frequências positivas. Logo, 𝑇 não pode ser um operador linear.A maneira de contornar esse problema é considerar 𝑇 tal que 𝑇 † = 𝑇 −1 e 𝑇 também agindoem 𝑐-números, tal que:

𝑇 (𝑐 − 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜) = (𝑐 − 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜)*𝑇. (1.3.32)

Assim, mesmo que [𝑇, 𝐻] = 0, a dependência das fases muda. 𝑇 é chamado de operadorantiunitário.

Para descobrirmos a forma desse operador pelo método da seção passada é necessário umasérie de artimanhas. Uma maneira mais fácil de obtê-la é assumir a sua expressão e verificarse ela satisfaz a equação de Dirac com o tempo invertido:

𝑇 −1(𝑖𝛾0𝜕0 − 𝑖𝛾𝑖𝜕𝑖 − 𝑚)𝑇𝑇 −1Ψ(𝑡, x)𝑇 = (𝑖𝛾0𝜕0 + 𝑖𝛾𝑖*𝜕𝑖 − 𝑚)𝑇 −1Ψ(𝑡, x)𝑇. (1.3.33)

Vamos supor:


𝑇 −1Ψ(𝑡, x)𝑇 = 𝛾1𝛾3Ψ(𝑡, x). (1.3.34)

Substituindo esse resultado na equação de Dirac com o tempo invertido e colocando 𝛾1𝛾3

para a esquerda da equação, obtemos:

𝛾1𝛾3[(𝑖𝛾0𝜕0 − 𝑖𝛾𝑖𝜕𝑖 − 𝑚)Ψ(𝑡, x) = 𝛾1𝛾3[(𝑖𝛾𝜇𝜕𝜇 − 𝑚)Ψ(𝑡, x)]. (1.3.35)

Porém, como o termo entre colchetes é a equação de Dirac, temos que :

(𝑖𝛾0𝜕0 + 𝑖𝛾𝑖*𝜕𝑖 − 𝑚)𝛾1𝛾3Ψ(𝑡, x) = 𝛾1𝛾3[(𝑖𝛾𝜇𝜕𝜇 − 𝑚)Ψ(𝑡, x)] = 0 (1.3.36)

Logo, a suposição estava correta e de fato a Eq. (1.3.34) implementa uma reversão temporalao campo de Dirac.

1.3.3 Conjugação da Carga

Para finalizarmos a discussão sobre simetrias discretas em teoria quântica de campos, fala-remos da conjugação da carga. Dada a equação de Dirac na presença de um campo eletromag-nético:

(𝑖𝛾𝜇 − 𝑒𝛾𝜇𝐴𝜇 − 𝑚)Ψ(𝑥) = 0, (1.3.37)

se aplicarmos a conjugação da carga 𝐶, mudamos o sinal da carga, então a equação de Diraccom o campo conjugado Ψ𝑐 = 𝐶−1Ψ𝐶 fica:

(𝑖𝛾𝜇 + 𝑒𝛾𝜇𝐴𝜇 − 𝑚)Ψ𝑐(𝑥) = 0. (1.3.38)

Novamente, o caminho mais rápido para introduzirmos a conjugação da carga é assumirmosa solução e testarmos se ela obedece a equação de Dirac:

𝐶−1Ψ(𝑥)𝐶 = Ψ𝑐(𝑥) = −𝑖𝛾2Ψ*(𝑥). (1.3.39)

Colocando −𝑖𝛾2 para a esquerda da equação, obtemos:

(𝑖𝛾𝜇+𝑒𝛾𝜇𝐴𝜇−𝑚)(−𝑖𝛾2Ψ*(𝑥)) = −𝑖𝛾2(((𝑖+𝑒𝐴𝜇)(−𝛾0𝜕0+𝛾1𝜕1−𝛾2𝜕2+𝛾3𝜕3)−𝑚)Ψ*(𝑥) (1.3.40)

Porém, notamos que essa solução é igual a:


(𝑖𝛾𝜇 + 𝑒𝛾𝜇𝐴𝜇 − 𝑚)(−𝑖𝛾2Ψ*(𝑥)) = −𝑖𝛾2((𝑖𝛾0𝜕0 − 𝑖𝛾1𝜕1 − 𝑖𝛾2𝜕2 − 𝑖𝛾3𝜕3 − 𝑒𝛾𝜇𝐴𝜇 − 𝑚)Ψ(𝑥))* = 0.

(1.3.41)Logo, notamos que a Eq. (1.3.39) de fato implementa a operação de conjugação de carga

no campo de Dirac. Sendo assim, as simetrias discretas têm as seguintes propriedades:

𝑃 −1Ψ(𝑡, x)𝑃 = 𝛾0Ψ(𝑡, -x), (1.3.42)

𝑇 −1Ψ(𝑡, x)𝑇 = 𝛾1𝛾3Ψ(−𝑡, x) (1.3.43)

e𝐶−1Ψ(𝑡, x)𝐶 = −𝑖𝛾2Ψ(𝑡, x)*. (1.3.44)

Com essas propriedades, podemos montar a tabela 𝐶𝑃𝑇 , que será muito importante nasdiscussões futuras.

Ψ̄Ψ 𝑖Ψ̄𝛾5Ψ Ψ̄𝛾𝜇Ψ Ψ̄𝛾𝜇𝛾5Ψ Ψ̄𝜎𝜇𝜈Ψ 𝜕𝜇

P 1 −1 (−1)𝜇 −(−1)𝜇 (−1)𝜇(−1)𝜈 (−1)𝜇

T 1 −1 (−1)𝜇 (−1)𝜇 −(−1)𝜇(−1)𝜈 −(−1)𝜇

C 1 1 −1 1 −1 1CPT 1 1 −1 −1 1 −1

Tabela 1.1: Tabela CPT

A Tabela CPT tem a seguinte interpretação: se aplicarmos o operador paridade ao termoΨ̄Ψ, por exemplo, ele ganha um sinal positivo. Já se aplicarmos ao termo 𝑖Ψ̄𝛾5Ψ, ele ganhaum sinal negativo.

CAPÍTULO 2. VINCULANDO ÁXIONS POR DIAGRAMAS DE FEYNMAN 27

Capítulo 2

Vinculando Áxions por diagramas deFeynman

O objetivo principal desta tese é de vincular extensões do SM e novas partículas. Comodiscutido na estrutura da tese, esta é a primeira parte da discussão de vínculos à extensõesdo SM. Neste capítulos, se é mostrado como um simples diagrama de Feynman pode vincularfortemente a existência de áxions. Um dos maiores triunfos da física do Século XX foi o cálculoextremamente preciso da correção do momento magnético de spin do elétron por Schwinger [3]e sua verificação experimental, também extremamente precisa. O objetivo deste capítulo édar uma pequena amostra de como uma simples aplicação da teoria quântica de campos eexperimentos extremamente precisos podem vincular a massa e o acoplamento de partículashipotéticas.

2.1 Regras de Feynman para QED com uma interaçãoYukawa Pseudoscalar

Todas as partículas que interagem com o elétron podem dar uma contribuição para o mo-mento magnético do spin e como consequência para o fator 𝑔 do momento magnético anômalo.Devido à sua medida extremamente precisa, essas interações podem vincular fortemente pro-priedades de possíveis novas partículas. Para fazer isso, primeiro precisaremos das ferramentascertas. Mostraremos agora as Regras de Feynman para essa teoria.

As regras de Feynman para uma teoria são uma visão esquemática de uma expansão nateoria das perturbações. Existem muitas maneiras de obtê-las [1, 2]. Para calcular o momentomagnético anômalo, precisaremos das regras de Feynman para uma Eletrodinâmica Quânticaacopladas a uma teoria Pseudoscalar, com uma interação da forma 𝑎Ψ̄𝑖𝛾5ΨΦ. As regras paraessa teoria são mostradas na Fig. 2.1:


Figura 2.1: Regras de Feynman no espaço de momento para uma QED acoplado a uma Teoria Pseudo Yukawa.Notemos que 𝑢(𝑝) representa a solução de momento para a equação de Dirac, 𝜖𝜇 representa a polarização defótons, 𝑔𝜇𝜈 a métrica de Minkowski e 𝛾𝜇 as matrizes Gamma tal que: {𝛾𝜇, 𝛾𝜈} = 2𝑔𝜇𝜈 [1].


2.2 A função vértice do elétron

Com as regras do Feynman em mãos, podemos agora tentar descobrir qual tipo de diagramacontribuirá mais para o fator 𝑔.As contribuições para o momento magnético de spin do elétron aparecem em diagramas quegeram a Função de Vértice do Elétron. Antes de continuarmos, devemos conhecer algumaspropriedades dessa Função e por que ela contribui para o momento magnético de spin. Depoisde fazer isso, poderemos extrair as informações necessárias para calcular 𝑔. Os diagramas quedefinem a Função de Vértice do Elétron estão representados na Fig. 2.2:

Figura 2.2: Diagramas que geram a Função de Vértice do Elétron em primeira ordem em 𝛼 = 𝑒2

4𝜋 e 𝛼𝑎 = 𝑎2

4𝜋 [1].

Fisicamente, o diagrama da esquerda representa o elétron sendo espalhado por um potencialde Coulomb (uma partícula muito pesada, por exemplo) para todas as ordens na teoria deperturbação. No lado direito nós mantivemos apenas até as primeiras ordens em 𝛼 = 𝑒2

4𝜋e

𝛼𝑎 = 𝑎2

4𝜋, que são as contribuições mais importantes.

Aplicando as Regras de Feynman da Fig. 2.1 na primeira metade do diagrama à esquerdada Fig. 2.2, obtemos:

�̄�(𝑝′)(−𝑖𝑒Γ𝜇)𝑢(𝑝), (2.2.1)

onde o Γ𝜇 é o que chamamos de Função de Vértice do Elétron. Não nos preocupamos com apartícula que espalha o elétron e nem com a estrutura completa do potencial eletromagnético.

Antes de calcular qualquer coisa, seria interessante estudar algumas das propriedades dessafunção. Primeiro, sabemos que é uma função vetorial, o que significa que pode ser escrita comouma combinação de todos os possíveis vetores envolvidos nesses diagramas. Poderia ser algocomo:

Γ𝜇(𝑝′, 𝑝) = 𝐴𝛾𝜇 + 𝐵(𝑝𝜇 + 𝑝

′𝜈) + 𝐶(𝑝𝜇 − 𝑝′𝜈). (2.2.2)

Os vetores 𝑝𝜇 e 𝑝′𝜇 representam os quadrimomentos do elétron que entra e do elétron que

sai, respectivamente.


Todos os diagramas com elétron nas pernas externas devem satisfazer a conservação dacarga. Existe uma identidade, chamada de identidade de Ward 𝑞𝜇Γ𝜇 = 0, que expressa aconservação da carga nos diagramas com elétrons nas pernas externas (pode ser qualquer tipode diagrama, não apenas a Função de Vértice do Elétron). Não é difícil ver por que essaidentidade está relacionada com a conservação da carga. Vamos verificar isso para uma simplesparte de um diagrama: o nível árvore da Função de Vértice do Elétron:

𝑞𝜇�̄�(𝑝′)𝛾𝜇𝑢(𝑝) = �̄�(𝑝′)(𝑝′𝜇 − 𝑝𝜇)𝛾𝜇𝑢(𝑝) = 0, (2.2.3)

onde, no último passo, usamos 𝛾𝛼𝑝𝛼𝑢(𝑝) = 𝑚𝑢(𝑝) e �̄�(𝑝′)𝛾𝛼𝑝′𝛼 = �̄�(𝑝′)𝑚. Estas são as equações

de Dirac no espaço de momento e 𝑢(𝑝) e �̄�(𝑝) representam sua solução, como foi mostrado nocapítulo anterior.

Agora, de volta para a Função de Vértice do Elétron completa. Para satisfazer a identidadede Ward, devemos eliminar o último termo 𝐶 = 0.

Há também outra identidade que é muito útil para ver as contribuições para momentoselétricos e magnéticos. Essa identidade é chamada de identidade de Gordon:

�̄�(𝑝′)𝛾𝜇𝑢(𝑝) = �̄�(𝑝′)[(𝑝𝜇 + 𝑝′𝜇)/2𝑚 + 𝑖𝜎𝜇𝜈𝑞𝜈/2𝑚]𝑢(𝑝). (2.2.4)

Esta identidade não é difícil de ser provada [2], bastando para isso usar as propriedades daEquação de Dirac:

𝛾𝛼𝑝𝛼𝑢(𝑝) = 𝑚𝑢(𝑝). (2.2.5)

Eliminando 𝑝𝜇 + 𝑝′𝜇 em favor de 𝛾𝜇 e 𝜎𝜇𝜈𝑞𝜈 , nós obtemos:

Γ𝜇(𝑝′, 𝑝) = 𝐹1(𝑞2)Γ𝜇 + 𝐹2(𝑞2)𝑖𝜎𝜇𝜈𝑞𝜈/2𝑚. (2.2.6)

Um questionamento que pode ser feito neste momento é por que a função tem como parâ-metro apenas 𝑞2. A resposta é porque qualquer expoente maior do momento que é invariantede Lorentz pode ser escrito em termos da massa de elétrons, que é constante, e da diferença demomento entre o elétron inicial e final. Também podemos escrever esta expressão como:

Γ𝜇(𝑝′, 𝑝) = 𝐹1(𝑞2)(𝑝𝜇 + 𝑝

′𝜇)/2𝑚 + (𝐹1(𝑞2) + 𝐹2(𝑞2))𝑖𝜎𝜇𝜈𝑞𝜈/2𝑚. (2.2.7)

Em nível árvore Γ𝜇(𝑝, 𝑝′) = 𝛾𝜇, que significa que 𝐹1(𝑞2) = 1 e 𝐹2(𝑞2) = 0. Com isso é

possível ver qual termo contribui para o momento magnético do spin.Espalhar um elétron dá uma medida direta de sua carga. Por exemplo, imaginemos um

campo elétrico fraco e estático de tal maneira que ele quase não desvie o elétron em suatrajetória. Neste caso, podemos tomar 𝑞 ≈ 0. Neste limite, apenas 𝐹1(0) contribui para a


carga de elétrons, que nesta unidade é 1. Isso significa que 𝐹1(0) = 1 (e porque no nível árvore𝐹1(0) = 1, todas as contribuições de ordem superior em 𝐹1(0) devem desaparecer).

Vamos dar uma olhada no segundo termo na Eq. (2.2.7). Se estivéssemos lidando com umapartícula escalar carregada ao invés do elétron, o primeiro termo, que é independente do spin,estaria lá e a discussão acima seria a mesma. Logo, o segundo termo é claramente dependentedo spin. Este termo é exatamente o que dá ao elétron um momento magnético de spin. Nonível árvore, 𝐹2(𝑞2 = 0) e 𝑔 = 2. Isso significa que, no limite de campo fraco, 𝑔 é dado por𝑔 = 2(𝐹1(0) + 𝐹2(0)) = 2(1 + 𝐹2(0)). É exatamente essa nova contribuição que precisamoscalcualar. Podemos escrever o fator g da seguinte forma:

𝑔 − 22 = 𝐹2(0). (2.2.8)

Onde notamos que ele desvia do valor 𝑔 = 2 por esse novo termo de correção de 1-loop= 𝐹2(0).

Também notamos que qualquer outro tipo de diagramas de primeira ordem em 𝛼 = 𝑒2

4𝜋e

𝛼𝑎 = 𝑎2

4𝜋, como o diagrama de pernas externas vestidas, daria termos proporcionais ao produto

𝛾𝜇 nos vértices e não contribuiria para o fator 𝑔.Temos o que precisamos para calcular as contribuições para o momento magnético.

2.3 Calculando a contribuição

O diagrama de 1-loop, que possui a maior contribuição ao fator 𝑔 devido a esse acoplamentocom o Axion, é mostrado na Fig. 2.3.

Figura 2.3: Contribuição do Axion até a primeira ordem em 𝛼𝑎 = 𝑎2

4𝜋 [1].

Com o uso das Regras de Feynman listadas em 2.1, obtemos a seguinte contribuição para aFunção de Vértice do Elétron:

∫︁ 𝑑4𝑘

2𝜋4 �̄�(𝑝′)(𝑎𝛾5 𝑖

𝛾𝜈𝑘′𝜈 − 𝑚

𝛾𝜇 𝑖

𝛾𝛼𝑘𝛼 − 𝑚𝑎𝛾5 𝑖

(𝑝 − 𝑘)2 − 𝑚2𝑎

)𝑢(𝑝). (2.3.1)


Multiplicando acima e abaixo na frente dos propagadores por 𝛾𝜈𝑘′𝜈 + 𝑚 e por 𝛾𝛼𝑘𝛼 + 𝑚,

respectivamente:

−𝑖𝑎2∫︁ 𝑑4𝑘

2𝜋4 �̄�(𝑝′)(𝛾5 𝛾𝜈𝑘′𝜈 + 𝑚

𝑘′2 − 𝑚2 𝛾𝜇 𝛾𝛼𝑘𝛼 + 𝑚

𝑘2 − 𝑚𝛾5𝑟

1(𝑝 − 𝑘)2 − 𝑚2

𝑎

)𝑢(𝑝). (2.3.2)

Esta integral não é uma das mais simples de ser resolvida. Precisaremos de várias ferra-mentas para extrair o resultado desejado, faremos uma rápida visão geral do que será feito.

∙ O objetivo de todas as ferramentas que usaremos é transformar a expressão acima emalgo como Γ𝜇(𝑝′

, 𝑝) = 𝐹1(𝑞2)Γ𝜇 + 𝐹2(𝑞2)𝑖𝜎𝜇𝜈𝑞𝜈/2𝑚 para que possamos identificar 𝐹2(𝑞2).

∙ O primeiro passo para fazer isso será colocar o denominador em uma forma quadrática.Para fazer isso, primeiramente precisamos das integrais de Feynman, definidas como:

1𝑎1...𝑎𝑛

=∫︀ 1

0 𝑑𝑥1...𝑑𝑥𝑛𝛿(Σ𝑖=𝑛

𝑖=1 𝑥𝑖−1)(𝑛−1)!(Σ𝑖=𝑛

𝑖=1 𝑥𝑖𝑎𝑖)𝑛 . Para nosso problema, 𝑛 = 3.

∙ Para colocar o denominador na forma quadrática vamos definir um parâmetro 𝑙 chamadoparâmetro Feynman, que é linear em 𝑘. Com isso, podemos reescrever todas as integraisem 𝑘 como uma integral em 𝑙. Isso provará ser uma expressão muito mais agradável.

∙ Agora, com tal expressão, realizamos uma rotação de Wick 𝑡 → 𝑖𝑡 e aplicamos a re-gularização dimensional (a ser explicada posteriormente) para calcular as integrais demomento.

∙ Finalmente, extraímos 𝐹2(𝑞2).

Começaremos aplicando o segundo item dos passos acima, colocando o denominador de umaforma mais agradável:

1𝐷

= 1(𝑘′2 − 𝑚2)(𝑘2 − 𝑚2)((𝑝 − 𝑘)2 − 𝑚2

𝑎) =∫︁ 1

0𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝛿(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 1)2(𝑥(𝑘′2 − 𝑚2) + 𝑦(𝑘2 − 𝑚2) + 𝑧((𝑝 − 𝑘)2 − 𝑚2

𝑎))3 . (2.3.3)

Com algumas manipulações, e lembrando que 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1, e que o momento do elétronestá on shell 𝑝2 = 𝑚2, chegamos a:

𝑙 = 𝑘 + 𝑞𝑦 − 𝑝𝑧. (2.3.4)

Δ = −𝑥𝑦𝑞2 + (1 − 𝑧)2𝑚2 + 𝑚2𝑎𝑧, (2.3.5)

onde 𝑙 é o parâmetro de Feynman e Δ é um termo que parece um termo em massa.


Agora, trocando 𝑘 → 𝑙 e observando que a medida de integração 𝑑4𝑘 = 𝑑4𝑙 não muda,obtemos:

−2𝑖𝑎2∫︁ 1

0𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝛿(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 1)

∫︁ 𝑑4𝑘

2𝜋4 �̄�(𝑝′) 𝑁𝜇

(𝑙2 − Δ)3 𝑢(𝑝), (2.3.6)

onde 𝑁𝜇, o numerador, é:

𝑁𝜇 = �̄�(𝑝′)(𝛾5(𝛾𝛼𝑙𝛼 + 𝛾𝛼𝑞𝛼(1 − 𝑦) + 𝛾𝛼𝑝𝛼𝑧 + 𝑚)𝛾𝜇

(𝛾𝛼𝑙𝛼 − 𝛾𝛼𝑞𝛼𝑦 + 𝛾𝛼𝑝𝛼𝑧 + 𝑚)𝛾5)𝑢(𝑝). (2.3.7)

Para simplificar este numerador, precisaremos de algumas identidades 𝛾𝜇:

{︁𝛾5, 𝛾𝜇

}︁= 0. (2.3.8)

{𝛾𝜇, 𝛾𝜈} = 2𝑔𝜇𝜈 . (2.3.9)

𝛾𝜇𝑝𝛼𝛾𝛼 = 𝑝𝛼𝛾𝜇𝛾𝛼 = 2𝑝𝜇 − 𝑝𝛼𝛾𝛼𝛾𝜇. (2.3.10)

Aplicamos primeiro {𝛾5, 𝛾𝜇} = 0 para eliminar 𝛾5:

𝑁𝜇 = −�̄�(𝑝′)(𝛾𝛼𝑙𝛼 + 𝛾𝛼𝑞𝛼(1 − 𝑦) + 𝛾𝛼𝑝𝛼𝑧 − 𝑚)𝛾𝜇

(𝛾𝛼𝑙𝛼 − 𝛾𝛼𝑞𝛼𝑦 + 𝛾𝛼𝑝𝛼𝑧 − 𝑚)𝑢(𝑝). (2.3.11)

Já que a integral na Eq. (2.3.6) tem um denominador par (𝑙2 − Δ)3, todos os termos nonumerador que são lineares em 𝑙 devem desaparecer por causa da simetria 𝑙 → −𝑙: Expandindoo numerador, obtemos:

𝑁𝜇 = −�̄�(𝑝′)(𝛾𝛼𝑙𝛼𝛾𝜇𝛾𝛽𝑙𝛽 − 𝛾𝛼𝑞𝛼(1 − 𝑦)𝛾𝜇𝛾𝛽𝑞𝛽𝑦 + 𝛾𝛼𝑞𝛼(1 − 𝑦)𝛾𝜇𝛾𝛽𝑝𝛽𝑧 − 𝛾𝛼𝑞𝛼(1 − 𝑦)𝛾𝜇𝑚

−𝛾𝛼𝑝𝛼𝑧𝛾𝜇𝛾𝛽𝑞𝛽𝑦 + 𝛾𝛼𝑝𝛼𝑧𝛾𝜇𝛾𝛽𝑝𝛽𝑧 − 𝛾𝛼𝑝𝛼𝑧𝛾𝜇𝑚 + 𝑚𝛾𝜇𝛾𝛼𝑞𝛼𝑦 − 𝑚𝛾𝛼𝑝𝛼𝑧 + 𝑚2)𝑢(𝑝).(2.3.12)

O objetivo agora é colocar o momento de entrada do elétron para a direita e o momento desaída para a esquerda. Para isso, podemos usar 𝛾𝛼𝑝𝛼𝑢(𝑝) = 𝑚𝑢(𝑝) e �̄�(𝑝′)𝛾𝛼𝑝

′𝛼 = �̄�(𝑝′)𝑚. Há

muitos termos neste numerador. A melhor abordagem é calcular cada termo de uma só vez.Note que os termos que são lineares para 𝛾𝜇 não contribuem para 𝐹2(0) para que possamosignorá-los.

Depois de alguma álgebra, obtemos:


−�̄�(𝑝′)(𝛾𝛼𝑙𝛼𝛾𝜇𝛾𝛽𝑙𝛽)𝑢(𝑝) → 0. (2.3.13)

−�̄�(𝑝′) − 𝛾𝛼𝑞𝛼(1 − 𝑦)𝛾𝜇𝛾𝛽𝑞𝛽𝑦)𝑢(𝑝) → 0. (2.3.14)

−�̄�(𝑝′)𝛾𝛼𝑞𝛼(1 − 𝑦)𝛾𝜇𝛾𝛽𝑝𝛽𝑧)𝑢(𝑝) → �̄�(𝑝′)2𝑚(1 − 𝑦)𝑧𝑝𝜇𝑢(𝑝). (2.3.15)

−�̄�(𝑝′) − 𝛾𝛼𝑞𝛼(1 − 𝑦)𝛾𝜇𝑚)𝑢(𝑝) → �̄�(𝑝′)(−2𝑚(1 − 𝑦)𝑝𝜇)𝑢(𝑝). (2.3.16)

−�̄�(𝑝′)(−𝛾𝛼𝑝𝛼𝑧𝛾𝜇𝑧𝛾𝛽𝑞𝛽𝑦)𝑢(𝑝) → �̄�(𝑝′)(2𝑦𝑧𝑝′𝜇)𝑢(𝑝). (2.3.17)

−�̄�(𝑝′)(𝛾𝛼𝑝𝛼(𝑧2)𝛾𝜇𝛾𝛽𝑝𝛽)𝑢(𝑝) → �̄�(𝑝′)(−2𝑚𝑧2𝑝𝜇)𝑢(𝑝). (2.3.18)

−�̄�(𝑝′)(−𝛾𝛼𝑝𝛼𝑧𝑚)𝑢(𝑝) → �̄�(𝑝′)(2𝑚𝑧𝑝𝜇)𝑢(𝑝). (2.3.19)

−�̄�(𝑝′)(𝑚𝑦𝛾𝜇𝛾𝛽𝑞𝛽)𝑢(𝑝) → �̄�(𝑝′)(−2𝑚𝑦𝑝′𝜇)𝑢(𝑝). (2.3.20)

−�̄�(𝑝′)(−𝑚𝑧𝛾𝜇𝛾𝛽𝑝𝛽)𝑢(𝑝) → 0. (2.3.21)

−�̄�(𝑝′)𝑚2𝛾𝜇𝑢(𝑝) → 0. (2.3.22)

Agrupando estes termos, obtemos:

𝑁𝜇 = −�̄�(𝑝′)(2𝑚(𝑝′𝜇 − 𝑝𝜇)(𝑦(1 − 𝑧) + (1 − 𝑧)2) + 2𝑚(𝑝′𝜇 + 𝑝𝜇)(1 + 𝑧)2

2 ). (2.3.23)

Usando a identidade Ward, obtemos:

𝑁𝜇 = �̄�(𝑝′)(2𝑚(𝑝′𝜇 + 𝑝𝜇)(1 + 𝑧)2

2 ). (2.3.24)

Usando a identidade de Gordon e jogando fora os termos lineares em 𝛾𝜇:

𝑁𝜇 = �̄�(𝑝′)(2𝑚2𝑖𝜎𝜇𝜈𝑞𝜈(1 + 𝑧)2

2𝑚). (2.3.25)

Finalmente:


𝐹2(𝑞2) = −2𝑖𝑎2∫︁ 1

0𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝛿(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 1)(−2𝑚2(1 − 𝑧)2)

∫︁ 𝑑4𝑙

2𝜋41

(𝑙2 − Δ)3 . (2.3.26)

Após extraírmos 𝐹2(𝑞2) precisamos calcular esta última integral. Para fazer isso, vamosexecutar a rotação de Wick 𝑡 → 𝑖𝑡 na integral:

∫︁ 𝑑4𝑙

2𝜋41

(𝑙2 − Δ)3 →𝑤𝑖𝑐𝑘 −𝑖∫︁ 𝑑4𝑙𝐸

2𝜋41

(𝑙2𝐸 + Δ)3 . (2.3.27)

Esta integral é sobre um espaço euclidiano de 4 dimensões. Embora essa integral seja con-vergente, usaremos a regularização dimensional [4], pois é uma técnica que trabalha tambémpara integrais divergentes na teoria quântica de campos e preserva as simetrias, como a Iden-tidade de Ward. Para fazer isso, em vez de trabalhar em 4 dimensões, vamos para dimensões𝑑 e no final do cálculo, tomamos 𝑑 → 4:

∫︁−𝑖

𝑑𝑑𝑙𝐸2𝜋𝑑

1(𝑙2

𝐸 + Δ)3 = −2𝑖𝜋𝑑/2

Γ(𝑑/2)

∫︁ ∞

0

𝑑𝑙𝐸2𝜋𝑑

𝑙𝑑−1𝐸

𝑙2𝐸 + Δ . (2.3.28)

Na última etapa usamos a medida euclidiana dimensional de 𝑑.Vamos realizar a mudança na variável 𝑢 = Δ

𝑙2𝐸+Δ . Assim, a Eq. (2.3.28) se torna:

𝑖

(4𝜋𝑑/2)Γ(𝑑/2)1

Δ3−𝑑/2

∫︁ 1

0𝑢2−𝑑/2(1 − 𝑢)𝑑/2−1. (2.3.29)

Notamos que esta integral da Eq. (2.3.29) é a função beta:

Γ(𝑥)Γ(𝑦)Γ(𝑥 + 𝑦) =

∫︁ 1

0𝑢𝑥−1(1 − 𝑢)𝑦−1. (2.3.30)

Depois de usar a função beta, obtemos:

∫︁ 𝑑𝑑𝑙𝐸2𝜋𝑑

1(𝑙2

𝐸 + Δ)3 = 𝑖Γ(2 − 𝑑/2)(4𝜋𝑑/2)Δ3−𝑑/2Γ(3) . (2.3.31)

Tomando o limite 𝑑 → 4:

∫︁ 𝑑4𝑙𝐸2𝜋4

1(𝑙2

𝐸 + Δ)3 = 𝑖

2(4𝜋2)Δ . (2.3.32)

Colocando este resultado na Eq. (2.3.29), obtemos:


𝐹2(𝑞2) = −𝑎2

8𝜋2

∫︁ 1

0𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝛿(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 1)

(1 − 𝑧)2

−𝑥𝑦𝑞2 + (1 − 𝑧)2 + 𝑧(𝑚𝑎

𝑚))2 . (2.3.33)

Colocando 𝑞2 = 0 na Eq. (2.3.33):

𝐹2(0) = −𝑎2

8𝜋2

∫︁ 1

0𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝛿(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 1) (1 − 𝑧)2

(1 − 𝑧)2 + 𝑧(𝑚𝑎

𝑚))2 . (2.3.34)

Calculando a integral em 𝑑𝑥 com a função delta e observando que 𝑦 varia de [0, 1 − 𝑧],obtemos:

𝐹2(0) = −𝑎2

8𝜋2

∫︁ 1

0𝑑𝑧

(1 − 𝑧)3

(1 − 𝑧)2 + 𝑧(𝑚𝑎

𝑚)2) . (2.3.35)

2.4 Resultados

Plotando a função da Eq. (2.3.35) com a restrição que deve ser menor que a diferença entreo valor calculado pela QED e o valor medido com erro experimental 𝑔𝑄𝐸𝐷−2

2 − 𝑔𝑒𝑥𝑝−22 < 10−10

[1], temos o gráfico:

Figura 2.4: Regiões permitidas para o acoplamento 𝑔 = 𝑎 e a massa axionada 𝑚𝑎 em função da massaeletrônica. 𝑚 [6].

Como pode ser visto na Fig. 2.4, notamos que o áxion em questão tem uma grande restriçãona massa e no acoplamento. Se a massa do eixo x for muito menor do que a massa do elétron, oacoplamento tende a 𝑎 < 10−4. Há limites melhores para esse tipo de axion [5], mas mostramosque, com um pouco da teoria quântica de campos, podemos restringir muito as propriedadesde novas partículas.

CAPÍTULO 3. OPERADORES EFETIVOS LIV 37

Capítulo 3

Operadores Efetivos que violam aSimetria de Lorentz

Nos últimos 40 anos, o SM vem sendo estendido de muitas maneiras. Algumas extensõesincluem grupos de calibre que possuem o grupo 𝑆𝑈(3)⊗𝑆𝑈(2)⊗𝑈(1) do SM como um subgrupo.Tal grupo de calibre então é espontâneamente quebrado no grupo do SM [7]. Outras extensõesprocuram adicionar uma simetria entre férmions e bósons, conhecida como supersimetria [7].Há ainda a teoria de cordas, que diz que as partículas elementares não são pontuais [8]. Tambémexiste a teoria quântica de campos não comutativa, que supõe que as coordenadas do espaço-tempo não comutam [9]. Essas são algumas entre muitas outras extensões.

Algumas dessas extensões geram novos fenômenos que podem ser medidos apenas a altíssi-mas energias e que atualmente não são acessíveis aos atuais aceleradores de partículas. Outras,possuem previsões verificáveis (como foi o caso do decaimento do próton no modelo SU(5)mínimo).

As extensões do SM que possuem violação da simetria de Lorentz são muito interessantespelo fato de muitos operadores modificarem a relação de dispersão de energia das partículas.Tais dispersões, se afetam os neutrinos, são muitos sensíveis no fenômeno de oscilação de neutri-nos. Veremos que pesquenos desvios da ordem de 10−23 na dispersão da energia geram um sinalverificável no experimento DUNE (Deep Underground Neutrino Experiment). Há muitas outrasextensões que também podem ser testadas utilizando oscilações de neutrinos, como neutrinosestéreis, que geram um sinal de conversão de neutrinos de um sabor em outro em experimentosde short-baseline, e que não existiriam no caso de apenas 3 neutrinos. Há operadores efetivoschamados NSI que podem emergir de grupos de simetria maiores que o SM, permitindo inte-rações do tipo corrente carregada que não existiam no SM. Tais modelos também podem servinculados pelo DUNE, como foi realizado durante a elaboração desta tese e que veremos nocapítulo final.

Neste capítulo focaremos na fenomenologia de interações geradas por teorias que violam


a simetria de Lorentz (como teoria de cordas e teorias de campo não comutativas). Usandoum modelo isotrópico investigaremos os vínculos que o experimento DUNE pode colocar nessesparâmetros. Colocar esses vínculos a operadores efetivos é fundamental, pois com tais limitespodemos verificar se uma teoria, como algum modelo específico de teoria quântica de camposnão comutativa, pode ser descartada por tal vínculo.

Começaremos por uma revisão do SME (Standard Model Extention),seguindo a referên-cia [10].

3.1 Revisão do Modelo SME

Faremos a revisão do SME no setor fermiônico, pois este é o setor de interesse para a físicade neutrinos. Considere 𝑁 campos fermiônicos Ψ𝑎 com 𝑎 variando de 1 a 𝑁 . Para permitiracoplamento Majorana é conveniente combinar os 𝑁 campos de espinores com seu conjugadode carga, Ψ𝐶

𝑎 = 𝐶Ψ̄𝑇𝑎 , num multipleto 2𝑁 :

Ψ𝐴 =

⎛⎜⎝ Ψ𝑎

Ψ𝐶𝑎

⎞⎟⎠ , (3.1.1)

onde definimos:

Ψ𝐶 = 𝐶Ψ, (3.1.2)

com:

𝐶 =

⎛⎜⎝ 0 1𝑁×𝑁

1𝑁×𝑁 0

⎞⎟⎠ . (3.1.3)

Podemos escrever uma Lagrangiana geral, que incorpora tanto Lorentz como termos queviolam CPT, utilizandos os espinores Ψ𝐴:

ℒ = 12Ψ̄𝐴(𝛾𝜇𝑖𝜕𝜇𝛿𝐴𝐵 − 𝑀𝐴𝐵 + �̂�𝐴𝐵)Ψ𝐵 + ℎ.𝑐. (3.1.4)

Notamos que nesta Lagrangiana, a primeira parte gera o termo cinético, a segunda a matrizde masssa e a última parte contém todos os termos que violam a simetria de Lorentz. Como osefeitos de uma possível violação de Lorentz devem ser pequenos, podemos trabalhar �̂�𝐴𝐵 comouma perturbação quando for necessário.

O operador �̂�𝐴𝐵 poderia, a princípio, depender das posições do espaço-tempo. Assim,teríamos um termo de violação de Lorentz que mudaria de ponto a ponto. Se consideramostais termos, conceitos como energia e momento não seriam conservados, pois a ação não seriainvariante por uma translação espaço-temporal. Por simplicidade, analizaremos os casos onde


�̂�𝐴𝐵 não depende das coordenadas do espaço-tempo. Para podermos diferenciar as muitaspropriedades que os operadores �̂�𝐴𝐵 podem ter (termos que dependem do spin, CPT etc),vamos expandir �̂�𝐴𝐵 na base das 16 matrizes 𝛾:

^𝑄𝐴𝐵 = Σ𝐼�̂�𝐼𝐴𝐵𝛾𝐼 = 𝑆𝐴𝐵 + 𝑖𝑃𝐴𝐵𝛾5 + �̂�𝜇

𝐴𝐵𝛾𝜇 + 𝐴𝜇𝐴𝐵𝛾5𝛾𝜇 + 1

2𝑇 𝜇𝜈𝐴𝐵𝜎𝜇𝜈 . (3.1.5)

Para explicitarmos a dependência de derivadas de ^𝑄𝐼𝐴𝐵, podemos decompô-lo:

�̂�𝐼𝐴𝐵 = Σ∞

𝑑=3𝑄(𝑑)𝐼𝛼1𝛼2...𝛼𝑑−3𝐴𝐵 𝑝𝛼1𝑝𝛼2 ...𝑝𝛼𝑑−3 , (3.1.6)

onde temos que 𝑝𝜇 = 𝑖𝜕𝜇 e a dimensão de massa de [𝑄𝑑𝐴𝐵] = 4 − 𝑑 e 𝑑 é a dimensão do espaço.

Podemos ainda reescrever a parte interna da Lagrangiana como:

𝛾𝜇𝑝𝜇𝛿𝐴𝐵 − 𝑀𝐴𝐵 + �̂�𝐴𝐵 = Γ̂𝜈𝐴𝐵𝑝𝜈 − 𝑀𝐴𝐵, (3.1.7)

assim como é feito para a Lagrangiana de um único férmion. Os termos em Γ̂𝜈𝐴𝐵 contém todos

os operadores de dimensão de massa pares, enquanto 𝑀𝐴𝐵 todos os operadores de dimensão demassa ímpares, expandindo novamente, obtemos:

Γ̂𝜈𝐴𝐵 = 𝛾𝜈𝛿𝐴𝐵 + 𝑐𝜇𝜈

𝐴𝐵𝛾𝜇 + 𝑑𝜈𝜇𝐴𝐵𝛾5𝛾𝜇 + 𝑒𝜈

𝐴𝐵 + 𝑖𝑓 𝜈𝐴𝐵𝛾5 + 1

2𝑔𝑘𝜆𝜈𝐴𝐵 𝜎𝑘𝜆, (3.1.8)

𝑀𝐴𝐵 = 𝑚𝐴𝐵 + �̂�𝐴𝐵 + 𝑖�̂�5𝐴𝐵𝛾5 + �̂�𝜇𝐴𝐵𝛾𝜇 + �̂�𝜇

𝐴𝐵𝛾5𝛾𝜇 + 12�̂�𝜇𝜈

𝐴𝐵𝜎𝜇𝜈 . (3.1.9)

Utilizando o resultado da seção de simetrias discretas em teoria quântica de campos, obser-vamos que uma componente vetorial do tipo Ψ̄𝐴𝛾𝜇Ψ𝐴 se transforma como 𝐶𝑃𝑇 = −1. Sendoassim, os termos de 𝑐𝜇𝜈

𝐴𝐵,𝑑𝜈𝜇𝐴𝐵 possuem 𝐶𝑃𝑇 = 1. E 𝑓 𝜈

𝐴𝐵, 𝑒𝜈𝐴𝐵, 𝑔𝑘𝜆𝜈

𝐴𝐵 tem 𝐶𝑃𝑇 = −1.Já para um termo tipo massa, Ψ̄𝐴𝑀𝐴𝐵Ψ𝐵 o valor de 𝐶𝑃𝑇 = 1. Logo, os operadores �̂�𝐴𝐵,

�̂�5𝐴𝐵 e �̂�𝜇𝜈𝐴𝐵 possuem 𝐶𝑃𝑇 = 1. Já os operadores �̂�𝜇

𝐴𝐵,�̂�𝜇𝐴𝐵 possuem 𝐶𝑃𝑇 = −1.

Notamos que o operador Γ̂𝜈𝐴𝐵 é contraído por 𝑝𝜈 , logo podemos definir um novo conjunto

de operadores contraídos:

𝑐𝜇𝐴𝐵 = 𝑐𝜈𝜇

𝐴𝐵𝑝𝜈 , (3.1.10)

𝑑𝜇𝐴𝐵 = 𝑑𝜇𝜈

𝐴𝐵𝑝𝜈 , (3.1.11)

𝑒𝐴𝐵 = 𝑒𝜈𝐴𝐵𝑝𝜈 , (3.1.12)


𝑓𝐴𝐵 = 𝑓 𝜈𝐴𝐵𝑝𝜈 , (3.1.13)

𝑔𝑘𝜆𝐴𝐵 = 𝑔𝑘𝜆𝜈𝑝𝜈 . (3.1.14)

Utilizando essas novas definições de operadores, podemos obter as relações:

𝑆𝐴𝐵 = 𝑒𝐴𝐵 − �̂�𝐴𝐵, (3.1.15)

𝑃𝐴𝐵 = 𝑓𝐴𝐵 − 𝑚5𝐴𝐵, (3.1.16)

𝑉 𝜇𝐴𝐵 = 𝑐𝜇

𝐴𝐵 − �̂�𝜇𝐴𝐵, (3.1.17)

𝐴𝜇𝐴𝐵 = 𝑑𝜇

𝐴𝐵 − �̂�𝜇𝐴𝐵, (3.1.18)

𝑇 𝜇𝜈𝑎𝑏 = 𝑔𝜇𝜈

𝐴𝐵 − �̂�𝜇𝜈𝐴𝐵. (3.1.19)

Agora que definimos as propriedades fundamentais do setor fermiônico da Lagrangiana doSME, seria muito interessante obter um Hamiltoniano efetivo, pois essa é a linguagem utilizadanas oscilações de neutrinos, o foco principal desta análise. Começamos com a equação de Dirac,obtida pelas equações de Euler-Lagrange:

𝜕ℒ𝜕Ψ̄𝐴

− 𝜕𝜇𝜕ℒ

𝜕(𝜕𝜇Ψ̄𝐴)= 0. (3.1.20)

Colocando o setor fermiônico da Lagrangiana do SME nessas equações, obtemos:

(𝑖𝛾𝜇𝜕𝜇𝛿𝐴𝐵 − 𝑀𝐴𝐵 + �̂�𝐴𝐵)Ψ𝐵 = 0. (3.1.21)

Podemos deixar essa equação parecida com uma equação de Schrodinger, isto é:

𝑖𝜕Ψ(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡= 𝐻Ψ(𝑥, 𝑡). (3.1.22)

Para isso, notamos que se multiplicarmos a equação por 𝛾0 e colocarmos todos os termosque não envolvem uma derivada temporal para o lado direito da equação, obtemos:

𝑖𝜕0𝛿𝐴𝐵Ψ𝐵 = 𝛾0(𝑖𝛾𝑖𝜕𝑖 + 𝑀𝐴𝐵 − �̂�𝐴𝐵)Ψ𝐵. (3.1.23)

Assim, podemos associar:


𝐸𝛿𝐴𝐵Ψ𝐵 = 𝐻𝐴𝐵Ψ𝐵. (3.1.24)

como uma equação de autovalores, onde:

𝐻𝐴𝐵 = 𝛾0(𝑖𝛾𝑖𝜕𝑖 + 𝑀𝐴𝐵 − �̂�𝐴𝐵) = 𝐻𝑜𝐴𝐵 + 𝛿𝐻𝐴𝐵, (3.1.25)

e onde 𝐻𝐴𝐵 representa a Hamiltoniana com ^𝑄𝐴𝐵 = 0 e a perturbação 𝛿𝐻𝐴𝐵 = �̂�𝐴𝐵.

3.2 Operador de Dimensão 4

Como foi visto, o SME possui vários termos que violam a simetria de Lorentz. Tais termospodem ser gerados por grupos de simetria que incluem o SM como uma teoria efetiva de baixasenergias, bem como por teoria quântica de campos não comutativa, onde é assumido que anatureza possui uma relação de comutação não nula para as coordenadas do espaço-tempo. Hátambém a teoria de cordas, que também gera termos que violam a simetria de Lorentz [8].Neste trabalho, o tipo de operador utilizado é diagonal na base de massas e possui derivadassuperiores, gerando uma mudança na relação de dispersão da energia e, como consequência,nas propriedades da oscilação de neutrinos [11, 12, 13]. Começaremos com um operador dedimensão 4 e focaremos apenas na parte cinemática da Lagrangiana. Tal aproximação nãomudará o comportamento geral da mudança na relação de dispersão.

ℒ4−𝑑𝑖𝑚 = 𝑖𝜈†𝑖𝐿�̄�𝜇𝜕𝜇𝜈𝑖𝐿 − 𝑖𝛾𝑖𝜈

†𝑖𝐿𝜎𝑘𝜕𝑘𝜈𝑖𝐿, (3.2.1)

onde 𝛾𝑖 é um parâmetro adimensional que viola a simetria de Lorentz, 𝑖 é um índice relacionadoaos autoestados de massa do neutrino e 𝑘 é uma soma das coordenadas espaciais. Como essetermo extra depende apenas das coordenadas espaciais, ele é invariante pelo grupo de simetria𝑆𝑂(3), mas não sobre boosts. Isto significa que tal operador viola a simetria de Lorentz.Chamaremos tais operadores de operadores LIV (Lorentz Invariance Violation). Colocandoessa Lagrangiana nas equações de Euler-Lagrange:

(𝑖�̄�𝜇𝜕𝜇 − 𝑖𝛾𝑖𝜎𝑘𝜕𝑘)𝜈𝑖𝐿 = 0. (3.2.2)

Podemos colocar essa equação na forma de uma equação de Schrodinger:

𝑖𝜎0𝜕0𝜈𝑖𝐿 = (𝑖𝜎𝑘𝜕𝑘 + 𝑖𝛾𝑖𝜎𝑘𝜕𝑘)𝜈𝑖𝐿. (3.2.3)

Como 𝜎0 = 12×2 e o campo do neutrino depende de 𝑒−𝑖𝑝𝜇𝑥𝜇 , obtemos:

𝜎0𝐸𝜈𝑖𝐿 = (𝜎𝑘𝑝𝑘 + 𝛾𝑖𝜎𝑘𝑝𝑘)𝜈𝑖𝐿. (3.2.4)


Expandindo as matrizes de Pauli, obtemos:⎛⎜⎝ 𝐸𝑖 0

0 𝐸

⎞⎟⎠ 𝜈𝑖𝐿 = (1 + 𝛾𝑖)

⎛⎜⎝ 𝑝3 𝑝1 − 𝑖𝑝2

𝑝1 + 𝑖𝑝2 −𝑝3

⎞⎟⎠ 𝜈𝑖𝐿. (3.2.5)

Esse sistema de equações é um sistema de autovalores e possui solução se:

𝑑𝑒𝑡

⎛⎜⎝ 𝐸 − (1 + 𝛾𝑖)𝑝3 −(1 + 𝛾𝑖)(𝑝1 − 𝑖𝑝2)−(1 + 𝛾𝑖)(𝑝1 + 𝑖𝑝2) 𝐸 + (1 + 𝛾𝑖)𝑝3

⎞⎟⎠ = 0. (3.2.6)

Logo, a solução fica:

𝐸 = (1 + 𝛾𝑖)|p|. (3.2.7)

Se for assumido que 𝐸 ≈ |p|, podemos obter o seguinte deslocamento na energia:

𝐸 → (1 + 𝛾𝑖)𝐸. (3.2.8)

Isso significa que para cada neutrino da base de massas se pode obter um termo extra𝐸 → (1 + 𝛾𝑖)𝐸, gerando uma Hamiltoniana efetiva (a menos de um termo global):

𝐻 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝0 0 0

0 𝐸(𝛾2 − 𝛾1) + Δ𝑚221

2𝐸0

0 0 𝐸(𝛾3 − 𝛾1) + Δ𝑚231

2𝐸

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠+ 𝑈𝑉 (𝑥)𝑈 †. (3.2.9)

3.3 Operador de Dimensão d

Os resultados para operadores dimensionais 4 podem ser generalizados para um operadorde dimensão 𝑑. Tal modelo poderia ser gerado por um termo efetivo como o seguinte, para𝑑 ≥ 4:

ℒ𝑑−𝑑𝑖𝑚 = 𝑖𝜈†𝑖𝐿�̄�𝜇𝜕𝜇𝜈𝑖𝐿 − 𝑖𝑑−3𝛾

𝑗1...𝑗𝑑−4𝑖 𝜈†

𝑖𝐿𝜎𝑘𝜕𝑘𝜕𝑗1 ...𝜕𝑗𝑑−4𝜈𝑖𝐿, (3.3.1)

onde 𝛾𝑗1...𝑗𝑑−4𝑖 é um tensor que viola a simetria de Lorentz. Novamente, 𝑖 é um índice relacionado

aos autoestados de massa do neutrino e 𝑘 é uma soma das coordenadas espaciais. Colocandoessa Lagrangiana nas equações de Euler-Lagrange:

(𝑖�̄�𝜇𝜕𝜇 + 𝛾𝑗1...𝑗𝑑−4𝑖 𝜎𝑘𝜕𝑘𝜕𝑗)𝜈𝑖𝐿 = 0. (3.3.2)

Novamente, colocaremos essa equação na forma de uma equação de Schrodinger:


(𝑖�̄�𝜇𝜕𝜇 − 𝑖𝑑−3𝛾𝑗1...𝑗𝑑−4𝑖 𝜎𝑘𝜕𝑘𝜕𝑗1 ...𝜕𝑗𝑑−4)𝜈𝑖𝐿 = 0. (3.3.3)

Como 𝜎0 = 12×2 e o campo do neutrino depende de 𝑒−𝑖𝑝𝜇𝑥𝜇 , obtemos:

𝑖𝜎0𝜕0𝜈𝑖𝐿 = (𝑖𝜎𝑘𝜕𝑘 + 𝑖𝑑−3𝛾𝑗1...𝑗𝑑−4𝑖 𝜎𝑘𝜕𝑘𝜕𝑗1 ...𝜕𝑗𝑑−4)𝜈𝑖𝐿. (3.3.4)

Expandindo as matrizes de Pauli, obtemos:⎛⎜⎝ 𝐸𝑖 0

0 𝐸

⎞⎟⎠ 𝜈𝑖𝐿 = (1 + 𝛾𝑗1...𝑗𝑑−4𝑖 𝑝𝑗1...𝑝𝑗(𝑑−4))

⎛⎜⎝ 𝑝3 𝑝1 − 𝑖𝑝2

𝑝1 + 𝑖𝑝2 −𝑝3

⎞⎟⎠ 𝜈𝑖𝐿. (3.3.5)

Este sistema de equações é um sistema de autovalores e possui solução se:

𝑑𝑒𝑡

⎛⎜⎝ 𝐸 − (1 + 𝛾𝑗1...𝑗𝑑−4𝑖 𝑝𝑗1...𝑝𝑗(𝑑−4))𝑝3 −(1 + 𝛾

𝑗1...𝑗𝑑−4𝑖 𝑝𝑗1...𝑝𝑗(𝑑−4))(𝑝1 − 𝑖𝑝2)

−(1 + 𝛾𝑗1...𝑗𝑑−4𝑖 𝑝𝑗1...𝑝𝑗(𝑑−4))(𝑝1 + 𝑖𝑝2) 𝐸 + (1 + 𝛾

𝑗1...𝑗𝑑−4𝑖 𝑝𝑗1...𝑝𝑗(𝑑−4))𝑝3

⎞⎟⎠ = 0.

(3.3.6)Resolvendo o sistema acima, obtemos:

𝐸 = (1 + 𝛾𝑗1...𝑗𝑑−4𝑖 𝑝𝑗1...𝑝𝑗(𝑑−4))|p|. (3.3.7)

Sem perda de generalidade, vamos assumir que o neutrino está se propagando na direção𝑥3:

𝐸 = (1 + 𝛾3...3𝑖 𝑝𝑑−4

3 )𝑝3. (3.3.8)

Para essa equação, se 𝐸 ≈ |p| e 𝛾3...3𝑖 = 𝛾𝑖, podemos obter um deslocamento na relação da

energia da forma:

𝐸 → (1 + 𝛾𝑖𝐸𝑑−4)𝐸. (3.3.9)

Tal deslocamento na energia geraria uma Hamiltoniana efetiva da forma:

𝐻 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝0 0 0

0 𝐸𝑑−3(𝛾2 − 𝛾1) + Δ𝑚221

2𝐸0

0 0 𝐸𝑑−3(𝛾3 − 𝛾1) + Δ𝑚231

2𝐸

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠+ 𝑈𝑉 (𝑥)𝑈 †. (3.3.10)

Tal Hamiltoniana será muito utilizada nos capítulos seguintes, onde obteremos resultadospara esses operadores de dimensão 𝑑 para o experimento DUNE e T2K, utilizando diferentes


configurações para os mesmos, uma lista de publicações baseadas neste resultado pode serencontrada em [11, 12, 13].

CAPÍTULO 4. OSCILAÇÕES DE NEUTRINOS NA PRESENÇA DE LIV 45

Capítulo 4

Fenômenologia das Oscilações deNeutrinos na presença de OperadoresLIV

Neste capítulo analisaremos como os termos LIV estudados no capítulo anterior e que pos-suem uma Hamiltoniana efetiva influênciam na equação de evolução dos neutrinos. Antes disso,porém, faremos uma rápida revisão das configurações experimentais utilizadas para simulaçãonesta tese.

4.1 Experimentos de long baseline de neutrinos

Experimentos de long baseline podem medir com precisão o espectro de oscilação de neutri-nos de uma fonte de feixe de neutrinos que fornece um dos melhores limites para os parâmetrosde LIV. Nesta tese, simulamos dois experimentos, T2K [14] e DUNE [15]. A configuraçãoexperimental assumida é descrita abaixo.

1. T2K: O experimento de Tokai to Kamiokande (T2K) [14] é uma instalação de neutrinosde long baseline localizada no Japão. O feixe contendo principalmente 𝜇-neutrino (anti-neutrino) se localiza em Tokai, chegando até a mina de Kamioka, a aproximadamente 295km de distância ao detector Super-Kamiokande [16]. O detector consiste de um tanquede água Cherenkov de 50 kton (volume fiducial de 22.5 Kton) de massa que está fora deeixo por 2.5∘. A simulação pressupõe um fluxo de energia de neutrinos em torno de 0,6GeV e uma exposição total de 7.8 × 1021 prótons por alvo (POT), com uma proporçãode 50 % / 50 % do modo neutrino / antineutrino. O erro de normalização esperado podeser tão baixo quanto 5 % (10 %) para o sinal (background).

2. O Deep Underground Neutrino Experiment (DUNE) consiste em um detector líquido


de neutrinos de argônio de aproximadamente 40 kton (fiducial) localizado no SanfordUnderground Research Facility, a 1300 km de distância de sua fonte de feixe de neutrinos,no Fermilab. Neutrinos são criados por pion e kaon decays-in-fight, que fornece um fluxode neutrinos de energia em torno de 2.5 GeV e pode atingir uma exposição de 1.47 ×1021

POT. Uma descrição detalhada do experimento pode ser encontrada em [17, 18]. Aquinós assumimos uma corrida de 3.5 anos para cada modo de neutrino e anti-neutrino e 4% (10 %) de erro de normalização de sinal (background).

4.2 Equação de Evolução dos Neutrinos com LIV

Como vimos no capítulo anterior, uma forma de introduzir LIV na propagação de neutrinosque gera uma modificação na relação de dispersão de Einstein, é [11, 12, 13]:

𝐸𝑖 = (1 + 𝛾𝑖)𝐸 + 𝑚2𝑖

2𝐸, (4.2.1)

onde consideramos que 𝑚𝑖 ≪ 𝑝𝑖, 𝑚𝑖 é a massa de cada autoestado de massa, 𝑝𝑖 é seu respectivomomento para 𝑖 = 1, 2, 3 e 𝐸 representa a energia de neutrino. Na Eq. (4.2.1), 𝛾𝑖 representa oparâmetro LIV. Note que, para 𝛾𝑖 = 0, recuperamos a relação de dispersão usual e padrão paraum neutrino na aproximação ultra-relativística. Aqui consideraremos que o 𝛾𝑖 age da mesmamaneira para neutrinos e anti-neutrinos.

Podemos escrever a evolução dos sabores de neutrinos usando a unidade natural da seguinteforma:

𝑖𝑑Ψ𝛼

𝑑𝑥= 𝐻effΨ𝛼, (4.2.2)

onde Ψ𝛼 = (Ψ𝛼𝑒 Ψ𝛼𝜇 Ψ𝛼𝜏 )𝑇 para 𝛼 = (𝑒, 𝜇, 𝜏) e 𝑥 é a posição dos neutrinos.Podemos escrever o Hamiltoniano na base do sabor como 𝐻eff = 𝑈𝐻𝑈 † + 𝑉 , onde 𝑈 é a

matriz de mistura Pontecorvo–Maki–Nakagawa–Sakata (PMNS), que relaciona a base de massascom a base de sabor e é caracterizada por quatro parâmetros: 𝜃12, 𝜃23, 𝜃13, que são os ângulosde mistura, e 𝛿-CP, que é a fase relacionada à possível violação de CP. 𝐻 é o Hamiltoniano nabase de auto-estados de massa, (𝜈1 𝜈2 𝜈3) e está relacionado com a modificação de LIV, comoindicado na Eq. (4.2.1). Este Hamiltoniano 𝐻 pode ser explicitamente escrito como:

𝐻 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝0 0 00 𝐸(𝛾2 − 𝛾1) + 𝑟ΔΔ 00 0 𝐸(𝛾3 − 𝛾1) + Δ

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ . (4.2.3)


onde definimos 𝑟Δ ≡ Δ𝑚221

Δ𝑚231

e Δ ≡ Δ𝑚231

2𝐸e também definimos Δ𝑚2

𝑖𝑗 ≡ 𝑚2𝑖 − 𝑚2

𝑗 para 𝑖, 𝑗 = 1, 2, 3.Na Eq. (4.2.3), supomos, também, que as modificações de LIV são do tipo: 𝛾2 − 𝛾1 =

𝛾3 − 𝛾1 ≡ 𝛾. Temos, portanto, apenas um parâmetro responsável pela LIV nessa abordagemfenomenológica. Podemos ter dois regimes para o parâmetro 𝛾, quando 𝛾 > 0 e 𝛾 < 0.Ainda sobre Eq. (4.2.3), utilizaremos os best fit dos parâmetros de oscilação de três neutrinosencontrados na referência [19] e mostrados na Tabela 4.1.

O Hamiltoniano efetivo 𝐻eff leva em consideração o potencial atual de interação carregada:

𝑉 (𝑥) =√

2𝐺𝐹 𝑛𝑒(𝑥), (4.2.4)

onde 𝐺𝐹 é a constante de acoplamento Fermi e 𝑛𝑒(𝑥) representa a densidade eletrônica, que podeassumir diferentes valores ao longo do caminho do neutrino. Para o caso particular de DUNE,os neutrinos atravessam uma região que tem uma densidade média de 𝑛𝑒 ≈ 2.2𝑁𝐴 cm −3 [20],onde 𝑁𝐴 é o Número de Avogadro. Consideraremos 𝑛𝑒(𝑥) constante ao longo do caminho doneutrino e igual à média: 𝑛𝑒(𝑥) → 𝑛𝑒. Assim, o potencial de interação também será umaconstante ao longo da trajetória e podemos representar como 𝑉 (𝑥) → 𝑉 , onde 𝑉 =

√2𝐺𝐹 𝑛𝑒.

Antes de irmos para os resultados numéricos, faremos uma apresentação das expressõesanalíticas obtidas para o parâmetro LIV. Tal apresentação será fundamental para entendermoso comportamento das soluções numéricas para as probabilidades de conversão e sobrevivênciados neutrinos, assim como os gráficos de número de eventos.

4.3 Probabilidades Analíticas

Para melhor compreensão dos efeitos LIV, apresentaremos nesta seção expressões analíticaspara probabilidades de oscilação de neutrinos na matéria [12, 13]. No momento, existemdiferentes abordagens para se obter uma expressão analítica para probabilidades de neutrinose optamos por seguir as Ref. [12, 13, 21]. Nessa abordagem, as probabilidades de oscilação deneutrinos são avaliadas em expansão de série, usando teoria de perturbação.

Os pressupostos subjacentes a essa expansão levam em conta o fato de que 𝑟Δ ≡ Δ𝑚221

Δ𝑚231

esin 𝜃13 são parâmetros pequenos.

Definimos o parâmetro de expansão 𝜖, onde 𝜖(1/2) = sin 𝜃13 e 𝜖(1) = 𝑟Δ. Calculamos asexpansões da lei de potência para as probabilidades em termos de 𝜖. O formalismo da Ref. [21]começa a falhar perto da ressonância solar. No entanto, para energias mais altas, funcionamuito bem. As expressões de probabilidade para o caso padrão de três neutrinos podem serverificadas em Ref. [21]. Nesta situação, uma expansão na teoria da perturbação é feita comas suposições de que os parâmetros sin 𝜃13, 𝑟Δ ≡ Δ𝑚2

21Δ𝑚2

31são pequenos. Aplicando a teoria da

perturbação a esse modelo LIV, obtém-se uma estrutura muito semelhante ao cenário padrãode três neutrinos, com a seguinte substituição:


𝑟ΔΔ → 𝑟ΔΔ + 𝐸𝑑−3𝛾 ≡ Δ (𝑟Δ + 𝜂) , Δ →(︁Δ + 𝐸𝑑−3𝛾

)︁≡ Δ (1 + 𝜂) , (4.3.1)

onde o parâmetro 𝜂 é definido como 𝜂 = 𝛾𝐸𝑑−3

Δ . Tal parâmetro corresponde à alteração na fasede oscilação de 1-2 e 1-3 da diferença do quadrado das massas devido ao cenário de LIV.

Após a substituição dada na Eq. (4.3.1), podemos calcular a expressão LIV equivalente namatéria. Primeiro para o canal de probabilidade de conversão múon 𝜈𝜇 → 𝜈𝑒:

(︁𝑃 (1)

𝜇→𝑒

)︁LIV= 4𝑠2

23𝑠213

⎛⎝ (1 + 𝜂)2

(1 + 𝜂 − 𝑟𝐴)2

⎞⎠ sin2 (1 + 𝜂 − 𝑟𝐴)Δ𝐿

2 , (4.3.2)

(︁𝑃 (3/2)

𝜇→𝑒

)︁LIV= 8𝐽𝑟

(︃𝑟Δ + 𝜂

𝑟𝐴(1 + 𝜂 − 𝑟𝐴)

)︃(1 + 𝜂) cos

(︃−𝛿 − Δ (1 + 𝜂) 𝐿

2

)︃sin 𝑟𝐴Δ𝐿

2 sin (1 + 𝜂 − 𝑟𝐴)Δ𝐿

2 ,

(4.3.3)

(︁𝑃 (2)

𝜇→𝑒

)︁LIV= 4𝑐2

23𝑐212𝑠

212

(︂𝑟Δ + 𝜂

𝑟𝐴

)︂2sin2 𝑟𝐴Δ𝐿

2

4𝑠223

[︃𝑠4

13

(︃(5𝜂2 − 2𝜂(−3 + 𝑟𝐴) + (1 + 𝑟𝐴)2) (1 + 𝜂)

(1 + 𝜂 − 𝑟𝐴)4

)︃− 2𝑠2

12𝑠213

(𝑟Δ + 𝜂) (𝑟𝐴 − 𝜂𝑠212)

(1 + 𝜂 − 𝑟𝐴)3

]︃

sin2 (1 + 𝜂 − 𝑟𝐴)Δ𝐿

2

2𝑠223

⎡⎣2𝑠413

(︁𝑟𝐴 + 𝜂 + 𝜂2)︁ (1 + 𝜂)

(1 + 𝜂 − 𝑟𝐴)3 − 𝑠212𝑠

213

(𝑟Δ + 𝜂) (1 + 𝜂𝑐212)

(1 + 𝜂 − 𝑟𝐴)2

⎤⎦ (Δ𝐿) sin(1 + 𝜂 − 𝑟𝐴)Δ𝐿.

8𝜂𝑠223𝑠

212𝑐

212𝑠

213

[︃(𝑟Δ + 𝜂)

(1 + 𝜂 − 𝑟𝐴)2

]︃sin

(︃(1 + 𝜂 − 𝑟𝐴)Δ𝐿

2

)︃cos

(︃(1 + 𝜂)Δ𝐿

2

)︃sin

(︃𝑟𝐴Δ𝐿

2

)︃

4𝜂𝑠223𝑠

412𝑠

213

[︃(𝑟Δ + 𝜂)(1𝜂)(1 + 𝜂 − 𝑟𝐴)2

]︃sin2

(︃(1 + 𝜂 − 𝑟𝐴)Δ𝐿

2

)︃,(4.3.4)

onde 𝑠12 ≡ sin 𝜃12, 𝑠13 ≡ sin 𝜃13, 𝑠23 ≡ sin 𝜃23, 𝑟Δ ≡ Δ𝑚221

Δ𝑚231

Δ ≡ Δ𝑚231

2𝐸, 𝑟𝐴 ≡ 𝑎

Δ𝑚231

e o coeficientereduzido de Jarlskog 𝐽𝑟 ≡ 𝑐12𝑠12𝑐23𝑠23𝑠13. A notação 𝑃 (𝑖)

𝜇𝑒 indica a ordem i da expansão emtermos dos parâmetros 𝑟Δ e 𝑠13.

A expressão completa para a probabilidade de conversão múon 𝜈𝜇 → 𝜈𝑒 é (𝑃𝜇→𝑒)LIV =∑︀𝑖=1,3/2,2

(︁𝑃 (𝑖)

𝜇→𝑒

)︁LIV. No limite 𝜂 = 0, recuperamos o cenário padrão de três neutrinos.

Analogamente, podemos calcular a probabilidade de sobrevivência do múon (𝜈𝜇 → 𝜈𝜇) nocenário LIV:


(︁𝑃 (0)

𝜇→𝜇

)︁LIV= 1 − 4𝑐2

23𝑠223 sin2

(︃Δ (1 + 𝜂) 𝐿

2

)︃, (4.3.5)

(︁𝑃 (1)

𝜇→𝜇

)︁LIV= −4𝑠4

23𝑠213

(︃1 + 𝜂

(1 + 𝜂 − 𝑟𝐴)2

)︃sin2 (1 + 𝜂 − 𝑟𝐴)Δ𝐿

2

− 2𝑐223𝑠

223

[︃𝑠2

13

(︃𝜂(1 + 𝜂) + 𝑟𝐴

1 + 𝜂 − 𝑟𝐴

)︃− 𝑐2

12(𝑟Δ + 𝜂)]︃

(Δ𝐿) sin Δ(1 + 𝜂)𝐿

+ 4𝑐223𝑠

223𝑠

213

(︃(1 + 𝜂)2

(1 + 𝜂 − 𝑟𝐴)2

)︃sin (1 + 𝜂 + 𝑟𝐴)Δ𝐿

2 sin (1 + 𝜂 − 𝑟𝐴)Δ𝐿

2 .(4.3.6)

A expressão completa, para o canal de sobrevivência do múon 𝜈𝜇 → 𝜈𝜇, é: (𝑃𝜇→𝜇)LIV =∑︀𝑖=0,1

(︁𝑃 (𝑖)

𝜇→𝜇

)︁LIV. Novamente, no limite 𝜂 = 0, recuperamos o cenário padrão de três neutrinos.

Quando o produto 𝛾𝐸 é muito maior que os outros parâmetros - 𝛾𝐸 ≫ Δ, 𝑟ΔΔ - obtemosa seguinte expressão para as probabilidades:

𝑃𝜇→𝑒 = +4|𝑈𝜇1|2|𝑈𝑒1|2sin2(︃

𝜂 Δ𝐿

2

)︃, 𝑃𝜇→𝜇 = 1 − 4|𝑈𝜇1|2

(︁1 − |𝑈𝜇1|2

)︁sin2

(︃𝜂 Δ𝐿

2

)︃. (4.3.7)

Neste limite, todas as probabilidades dos neutrinos permanecem inalteradas em 𝛾 → −𝛾 esão as mesmas para neutrinos e anti-neutrinos.

Vamos resumir as principais diferenças entre as probabilidades de caso padrão e as proba-bilidades do caso de LIV:

∙ O termo mais afetado nessa expansão é 𝑃𝜇𝑒, como podemos ver nas Eqs. (4.3.2), (4.3.3)e (4.3.4). A modificação acontece quadraticamente em 𝜂 em sua amplitude e também emsua fase. Este é equivalente à substituição de 1 + 𝑟𝐴 → 1 + 𝜂 + 𝑟𝐴. No contexto DUNE,𝑟𝐴 é pequeno e então o mecanismo LIV dominará as energias mais altas.

∙ O parâmetro LIV 𝜂 = 𝛾𝐸Δ , para um positivo (negativo) 𝛾 irá aumentar (diminuir) a fase e

a amplitude da probabilidade de conversão de neutrinos 𝑃𝜇→𝑒. Isso provoca dois efeitos:1) o aumento (diminuição) da fase para 𝛾 positivo (negativo) moverá as curvas para adireita (esquerda); 2) o aumento (diminuição) do numerador na amplitude aumentará(diminuirá) a probabilidade. Esses efeitos são bem observados em nosso cálculo numéricocompleto, como veremos na Fig. (4.1).

∙ Notamos que a LIV não gera grande impacto ou modificação na probabilidade de so-brevivência, uma vez que a amplitude relacionada na expressão de probabilidade - vejaEq. 4.3.5) - não contém nenhum dos termos LIV. As modificações acontecem apenasna fase relacionada, em que Δ → Δ(1 + 𝜂). Essas modificações são pequenas para


𝛾 < 2 × 10−24, quando consideramos a usual diferença de 3-1 do quadrado das massase as energias máximas DUNE (𝐸 ∼ 8 GeV). Então, para 𝛾 < 2 × 10−24, o efeito LIVserá secundário. No painel direito da Fig. (4.2) podemos ver que as mudanças mais fortesacontecem no limite de alta energia, mas elas são muito pequenas, já que esses efeitos sãoproporcionais ao ângulo de mistura 𝜃13 - ver Eq. (4.3.6).

∙ Um comportamento peculiar acontece para 𝛾 . −10−23. A probabilidade de conversãodiminui e depois aumenta para energias maiores. Isso acontece porque o denominador1 + 𝜂 − 𝑟𝐴 se torna muito pequeno e isso aumenta a probabilidade, como vimos naEq. (4.3.7) [22].

4.4 Probabilidades Numéricas

O cálculo das probabilidades para cada energia de neutrino, que varia de 0,5 GeV a 8 GeV,e para o baseline fixo de 𝐿 = 1300 km (DUNE) e 𝐿 = 295 km (T2K), é feito resolvendo-senumericamente a equação diferencial mostrada na Eq. (4.2.2), tal solução numérica foi obtidausando o programa Mathematica. As condições iniciais são: Ψ𝜇(0) = (0 1 0).

Para o cálculo das probabilidades, consideramos também os diferentes efeitos do ordena-mento das massas de neutrinos. A ordenação normal, geralmente chamada de hierarquia normal(NH), é considerada quando temos os autoestados de massa mais leves, sendo 𝑚𝜈1 o mais leve eo 𝑚𝜈3 o mais pesado, tal que: 𝑚𝜈1 < 𝑚𝜈2 < 𝑚𝜈3 . No caso de ordenação invertida ou hierarquiainvertida (IH), temos: 𝑚𝜈3 < 𝑚𝜈1 < 𝑚𝜈2 . Os parâmetros usados para calcular as probabilidadessão totalmente resumidos na Tabela 4.1.

Δ𝑚221 (eV2) Δ𝑚2

31 (eV2) sin2 𝜃21 sin2 𝜃23 sin2 𝜃13

NH 7.56 × 10−5 2.55 × 10−3 0.321 0.430 0.0216IH 7.56 × 10−5 2.49 × 10−3 0.321 0.596 0.0214

Tabela 4.1: Best fit dos parâmetros de oscilação extraídos de [19].

As probabilidades de conversão para DUNE são obtidas usando a Tabela 4.1 com o best fitpara o cenário padrão de três neutrinos, conforme Fig. (4.1).

Como podemos ver na Fig. (4.1), o comportamento descrito pelas expressões analíticas éobservado. Primeiro analisamos o caso em que 𝑑 = 4. A Eq. (4.3.2) mostra que o crescimento deamplitude é (1+𝜂)2 já que 𝜂 = 𝛾𝐸𝑑−3

Δ depende da potência da energia, e à medida que a energiaaumenta esse termo também aumenta. Já o argumento da Eq. (4.3.2) também depende de 𝜂

e ele também muda a posição do pico. Esse comportamento é mais dramático quando 𝑑 = 5e 𝑑 = 6. Nessa situação, mesmo quando escolhemos um valor para 𝛾 que não aumenta muitoa amplitude em energias mais baixas, à medida que a energia aumenta e esse termo se torna


maior com uma potência de 𝐸𝑑−4, a probabilidade se desvia muito do cenário padrão de trêsneutrinos. Também podemos notar que, como a energia é de cerca de 8 GeV, mesmo o termonegativo começa a aumentar a probabilidade. A razão para isso é que o termo LIV se tornamuito maior nos argumentos dos termos oscilatórios do que os termos usuais do três cenáriosde neutrinos que os dominam completamente. Tal comportamento é visto na Eq. (4.3.7).

As probabilidades de sobrevivência para DUNE são mostradas na Fig. 4.2:Podemos notar que desde que Eq. (4.3.5) só tem uma dependência em 𝜂 nos argumentos de

seu seno, e uma vez que esta é a contribuição mais importante para a probabilidade total, comoesperávamos, nossos resultados numéricos não mostram um aumento na amplitude substancialcomo no caso de conversão. Isso muda para o caso de 𝑑 = 6, onde na Eq. (4.3.6) o termo𝜂 = (1 + 𝛾𝐸3

Δ ) se torna relevante na amplitude conforme a energia aumenta, por possuir umadependência cúbica com a mesma.

Agora, para o experimento T2K:Usando os mesmos parâmetros para 𝛾 que usamos para DUNE, podemos notar que na

Fig (4.3) e (4.4) os efeitos de LIV são muito pequenos em T2K em comparação com osresultados do DUNE. A razão por trás disso é que a faixa de energia é menor em comparaçãocom DUNE, assim como o baseline. Como podemos ver na equação (4.3.2), a amplitude daprobabilidade de conversão depende polinomialmente do parâmetro 𝜂. No caso de 𝑑 = 4, 𝜂 temuma dependência linear na energia, como podemos ver na Fig. (4.3), em que há uma pequenamudança na amplitude do cenário padrão de três neutrinos. Mas como a dependência na energiaaumenta para 𝑑 = 5 e 𝑑 = 6, e como a faixa de energia é menor que a do DUNE e o baselineque multiplica esses termos também é menor, não notamos mais nenhuma diferença do cenárioLIV para o cenário padrão de três neutrinos. Para a probabilidade de sobrevivência mostradana Fig. (4.4), nem mesmo no caso de 𝑑 = 4 podemos notar alguma diferença. Como podemosver na Eq. (4.3.5), a perturbação de primeira ordem não tem mudança na amplitude, apenasna fase. Para essas energias e baseline, essa mudança na fase devido a LIV é muito menor doque os argumentos da fase do cenário padrão de três neutrinos.

4.5 Resultados para Multiplos Feixes para o DUNE

Consideraremos três configurações de feixes diferentes: regime de baixa energia (LE), regimede energia média (ME) e regime de alta energia (HE) [12, 23]. Com esses feixes, vamos verificaras modificações no número de eventos detectados para perturbações LIV muito pequenas daordem de 10−23. Além disso, realizamos uma análise 𝜒2 para encontrar as restrições para oparâmetro LIV 𝛾 até 2 𝜎 de Confidence Level (C.L.) para cada valor diferente do 𝛿-CP docenário de três neutrinos.

Os resultados são obtidos com as seguintes premissas:


∙ Detector de tamanho fiducial de 35 kton de argônio líquido (como usado em [23]);

∙ 3 diferentes fluxos (LE, ME e HE) para DUNE são analisados [23];

∙ Seções de choque de neutrinos foram obtidas de GLOBES [24, 25];

∙ 5% de incertezas sistemáticas;

∙ Nenhum background foi considerado;

∙ A eficiência é definida como 100%;

∙ Assumimos uma corrida com o cenário FHC (principalmente feixe de neutrinos) de 5 anosde coleta de dados;

∙ Assumimos que o feixe inicial é composto apenas por neutrinos do múon e anti-neutrinosdo múon.

∙ O cálculo das probabilidades analíticas assim como a análise estatística foram feitos emum programa utilizando a linguagem Mathematica.

Da seção 4.3, sabemos que a presença de LIV mudará fortemente as probabilidades deneutrinos. O método de detecção em argônio é charge blind, então, para calcular o número deeventos, devemos somar todos os estados relacionados a léptons carregados de neutrinos.

Analisamos o parâmetro LIV nos canais de evento e-like (eventos de elétrons no detector) e𝜇-like (eventos de múon no detector). Uma combinação desses canais nas análises estatísticasmostra os melhores resultados para restringir o parâmetro LIV.

A referência [23] apresenta três cenários diferentes para os fluxos de neutrinos e calculamoso número de eventos para todos eles. Isso é muito relevante, já que a dependência de energiano mecanismo de LIV é muito diferente da oscilação usual de neutrinos. O uso de diferentesconfigurações será usado para tentar melhorar o teste de sensibilidade para o parâmetro LIV.

4.5.1 Eventos tipo Elétron

No painel superior (inferior) da Fig. (4.5) mostramos o número de eventos tipo elétron paraa hierarquia normal (invertida). A largura dos binsé de 0,25 GeV e a curva vermelha representao número de eventos avaliados quando tomamos os parâmetros de oscilação em seus valores debest fit (consulte a Tab. 4.1) para o cenário padrão de três neutrinos, mas com 𝛿 = 1,4 𝜋. Barrasde erro também são mostradas. Da esquerda para a direita, diferentes fluxos de neutrinos -menor energia (LE), média energia (ME) e alta energia (HE) - são explorados. As curvaslaranja e cinza são avaliadas considerando-se LIV 𝛾 ̸= 0 e os outros parâmetros de oscilação


padrão fixados em seus valores de best fit e 𝛿 = 1.4𝜋. A curva laranja superior (inferior), para𝛾 positivo, representa o caso de 𝛾 = 10−23 (𝛾 = 10−24).

O passo entre as curvas LIV é de 100.5.As curvas cinzas, para 𝛾 negativo, têm um passo entre as curvas LIV de −10−0.5. Eles

começam por 𝛾 = −10−23, que é a curva com menor número de eventos e terminam em 𝛾 =−10−24, que coincide com o cenário padrão de três neutrinos com os parâmetros no best fit.

As curvas que variam CP, em azul, estão relacionadas ao cenário padrão de três neutrinoscom os outros parâmetros fixados em seu valor de best fit e 𝛿 variando de 𝛿 = 3𝜋

2 (máximonúmero de eventos em azul) para 𝛿 = 𝜋

2 (mínimo número de eventos em azul), enquanto o 𝛿 = 0está em algum lugar no meio.

Notamos que, à medida que a energia aumenta, o parâmetro LIV domina os argumentosda probabilidade de conversão, como vimos mais claramente na Eq.(4.3.2). Para 𝛾 positivo,a probabilidade aumenta e, como conseqüência, o número de eventos também aumenta. Essecomportamento é mais evidente no feixe HE por 𝛾 = 10−23, onde o cenário LIV prediz cincovezes mais eventos nas regiões de maior energia (cerca de 7 GeV e maiores) em comparação aocenário de três neutrinos. Também notamos que, no caso do feixe ME, embora a diferença docenário LIV e do cenário de três neutrinos seja apenas cerca de duas vezes o número de eventosquando a energia é maior que 4 GeV, o fluxo de ME tem muito mais eventos para o cenárioLIV do que o cenário padrão de três neutrinos, além de deslocar o pico de maneira significativaà medida que o valor do parâmetro LIV aumenta. Isso será importante na discussão do espaçode parâmetros para o LIV.

Além disso, notamos que o feixe de LE aumenta a amplitude como o esperado da Eq. (4.3.2),mas como há poucos neutrinos na região de maior energia e a maioria deles está no máximo deprobabilidade local para o DUNE (em torno de 2.2 GeV), a posição do pico (fase dos argumentosda probabilidade de conversão) do cenário padrão de três neutrinos não muda muito, pois nessaregião de energia os parâmetros do cenário padrão de três neutrinos ainda são mais relevantesque o valor do parâmetro LIV.

Para o valor do parâmetro LIV negativo, podemos ver um comportamento semelhante, mas,em vez de aumentar o número de eventos, ele diminui. Os mesmos argumentos se aplicam àIH. Esse comportamento diferente para cada fluxo é a principal razão pela qual escolhemostrabalhar com três fluxos diferentes.

4.5.2 Eventos tipo 𝜇

No painel superior (inferior) da Fig. (4.6) mostramos o número de eventos tipo 𝜇 para ahierarquia normal (invertida). A largura dos binsé de 0,25 GeV e a curva vermelha representao número de eventos avaliados quando tomamos os parâmetros de oscilação em seus valoresde best fit (consulte a Tab. 4.1) para o cenário padrão de três neutrinos, mas com 𝛿 = 1,4


𝜋. Barras de erro também são mostradas. Da esquerda para a direita, diferentes fluxos deneutrinos - menor energia (LE), média energia (ME) e alta energia (HE) - são explorados.As curvas laranja e cinza são avaliadas considerando-se LIV 𝛾 ̸= 0 e os outros parâmetros deoscilação padrão fixados em seus valores de best fit e 𝛿 = 1.4𝜋. As curvas laranjas superiores(inferiores), para 𝛾 positivo (negativo), representam o caso de 𝛾 = 10−23 (𝛾 = 10−24).

O passo entre as curvas LIV é de 100.5.As curvas cinzas, para 𝛾 negativo, têm um passo entre as curvas LIV de −10−0.5. Elas

começam por 𝛾 = −10−23, que é o maior valor do número de eventos para NH e o menor valordo número de eventos para IH, e terminam em 𝛾 = −10−24, e elas se sobrepoem ao cenáriopadrão de três neutrinos com os parâmetros no best fit. As curvas de CP, em azul, estãorelacionadas ao cenário padrão de três neutrinos com os parâmetros fixados em seu valor debest fit e 𝛿 variando de 𝛿 = 3𝜋

2 (valor mínimo do número de eventos em azul para NH e máximopara IH) para 𝛿 = 𝜋

2 (valor máximo do número de eventos em azul para NH e mínimo paraIH), enquanto o 𝛿 = 0 está em algum lugar no meio.

Notamos que o canal tipo 𝜇 é menos sensível ao parâmetro LIV, como esperado na Eq. (4.3.5)e na Eq. (4.3.6). O parâmetro LIV positivo diminui o número de eventos de muon para NHe aumenta para IH (no canal e-like tivemos apenas um aumento no número de eventos deelétrons) e o valor do parâmetro LIV negativo aumenta o número de eventos de muon para NHe diminui para IH (no canal e-like, tivemos apenas uma diminuição no número de eventos deelétrons). Essa sensibilidade à energia para o valor do parâmetro LIV poderia ser uma maneirade diferenciar um efeito LIV de outros efeitos não padrão.

4.5.3 Espaço de parâmetros LIV

Para estudar o comportamento do parâmetro 𝛾 LIV, realizamos uma análise 𝜒2. Primeiro,queremos verificar o potencial do experimento DUNE para restringir o parâmetro LIV.

O teste 𝜒2 é escrito da seguinte forma:

𝜒2 = min𝜃23,𝛿ts

nmax∑︁𝑖=1

(𝑁𝑖(𝛾 ̸= 0, 𝛿ts) − N𝑖(𝛾 = 0, 𝛿))2

𝜎2𝑖

, (4.5.1)

onde 𝑁𝑖 é o número de eventos de elétron e múon em algum intervalo de energia (bin) com suarespectiva incerteza (𝜎𝑖) e 𝛿ts é a fase CP do modelo LIV e 𝛿 é a fase CP do cenário padrão detrês neutrinos. A soma é feita até nmax, que é o último bin e que corresponde ao número total debins. N𝑖(𝛾 = 0, 𝛿) e 𝑁𝑖(𝛾 ̸= 0, 𝛿ts) são os números de eventos sem e com o LIV, respectivamente.

A incerteza total 𝜎𝑖 está relacionada com as incertezas estatística (𝜎𝑖) e sistemática (𝜎sys𝑖 ).

A incerteza total 𝜎𝑖 é dada pela fórmula usual:

𝜎2𝑖 = (𝜎stat

𝑖 )2 + (𝜎sys𝑖 )2, (4.5.2)


Utilizamos 𝜎stat𝑖 =

√︁𝑁𝑖(𝛾 = 0, 𝛿) e 𝜎sys

𝑖 = 𝑎𝑁𝑖(𝛾 = 0, 𝛿), onde 𝑎 = 5%. Para uma análisemais profunda dos efeitos das incertezas sistemáticas, verifique ref. [18]

Na análise, os parâmetros sin2 𝜃12, Δ𝑚221, Δ𝑚2

31 e sin2 𝜃13 são colocados em seus valores debest fit, mostrados na Tabela 4.1. O parâmetro 𝛾 será restrito até 2𝜎 de C.L., e realizamos umamarginalização sobre 𝛿ts e 𝜃23. Nossos resultados são apresentados na Fig. 4.7, onde mostramosa sensibilidade do parâmetro 𝛾 em termos de todos os valores possíveis da fase 𝛿 -CP.

Além disso, da Fig. (4.7), notamos que temos diferentes sensibilidades para o parâmetroLIV para diferentes configurações de feixe de neutrinos. No entanto, eles não diferem muitouns dos outros e são todos da mesma ordem de grandeza.

Para uma melhor compreensão de quão significativa é a dependência do fluxo na restriçãodo parâmetro 𝛾 em termos de várias fases 𝛿 -CP, na Fig. (4.8) plotamos os mesmos resultados,mas apenas com as curvas 2𝜎.

Da Fig. (4.8), dependendo do valor da fase 𝛿 -CP, um feixe poderia ser melhor do que ooutro. Embora o feixe ME, em geral, seja melhor de que outros feixes para restringir 𝛾.

Por exemplo: para NH com 𝛿-CP = 3.23 e na região positiva de 𝛾, o feixe LE claramenterestringe 𝛾 melhor que os feixes ME e HE. Mas para quase todas as outras regiões, o feixeME restringe 𝛾 melhor. A partir desses resultados, aprendemos que aumentando as estatísticaspara energias mais altas (do feixe LE para o feixe ME) pode-se obter uma restrição geral maiorem 𝛾. Mas, uma vez que o feixe HE possui menos eventos no total, as restrições de 𝛾 em geraldiminuem.

A Tabela 4.2 resume as restrições para os parâmetros LIV com 𝛿-CP = 1.4𝜋 para todos osfluxos na hierarquia normal e na hierarquia invertida. Como o feixe DUNE será semelhante aofeixe LE, os resultados mostram que, no pior cenário, DUNE pode restringir o parâmetro LIV|𝛾|> 5.0 × 10−24 com 2 𝜎 de C.L. neste modelo de LIV.

Podemos também notar que o comportamento geral da curva de exclusão difere do casoNH para o caso IH. Como há uma mudança no sinal de Δ𝑚2

31 do caso NH para o IH, asprobabilidades vão mudar. Então, a posição dos picos com módulo máximo para 𝛾 vai daregião positiva, para o caso NH, para a região negativa, para o caso IH.

LE ME HENH 𝛾 𝜖 [−3.9 × 10−24, 5.0 × 10−24] 𝛾 𝜖 [−3.4 × 10−24, 5.3 × 10−24] 𝛾 𝜖 [−4.4 × 10−24, 6.7 × 10−24]IH 𝛾 𝜖 [−1.7 × 10−24, 3.4 × 10−24] 𝛾 𝜖 [−1.2 × 10−24, 3 × 10−24] 𝛾 𝜖 [−1.9 × 10−24, 4.0 × 10−24]

Tabela 4.2: Restrições para o parâmetro LIV com 𝛿 = 1.4𝜋 e 2𝜎 C.L. para hierarquia normale invertida e todos os fluxos [13].

Uma comparação entre nossos resultados no parâmetro LIV e outros trabalhos não é trivial,pois há uma grande variedade de modelos com diferentes inserções do parâmetro LIV e diferentescanais de oscilação que foram analisados. Por exemplo, considerando os dados atmosféricos


de neutrinos da MACRO e do canal 𝜈𝜇 → 𝜈𝜏 , os autores da Ref. [26, 27] encontraram umlimite no parâmetro LIV de cerca de 6 × 10−24. Além disso, na Ref. [28], efeitos de LIVde ordem 8.1 × 10−25 com 90 % C.L. foram impostas. Também, recentemente a colaboraçãoICECUBE [29] usou seus neutrinos atmosféricos de alta energia (400 GeV - 18 TeV) pararestringir o parâmetro LIV análogo em 2.7 × 10−28 em um intervalo de confiança de 90 % deCL a 95 % CL. Considerando o canal 𝜈𝜇 → 𝜈𝑒 e os dados de neutrinos atmosféricos, o Super-Kamiokande colocou um limite em um parâmetro LIV da ordem de 8.0×10−27 [30]. Um limiteanterior de 9.6 × 10−20 no mesmo canal de oscilação de neutrinos foi obtido pela colaboraçãoMiniBooNE [31].

4.6 Resultados para os operadores de dimensão de massa4, 5 e 6 para o DUNE e T2K

Para a análise dos operadores de dimensão de massa 4, 5 e 6 para o DUNE e T2K foiutilizado o programa GLOBES (diferente do anterior que utilizamos apenas a seção de choquedo GLOBES) e os feixes padrão obtidos das Ref. [14, 15] . Neste caso, também levamos emconta o background, proveninte de eventos de corrente carregada e de eventos atmosféricos e asincertezas do detector, assim como a correlação entre bins de energia.

A análise de sensibilidade foi realizada presumindo uma distribuição 𝜒2 dividida em doisfatores [13]:

𝜒2 = 𝜒2𝑃 + 𝜒2

𝑠𝑦𝑠, (4.6.1)

𝜒2𝑃 corresponde à distribuição estatística de Pearson para o número de eventos,

𝜒2 =∑︁

𝑖

⎛⎝𝑁𝑂𝑖 − (1 − 𝑎)𝑁 𝑠

𝑖 − (1 − 𝑏)𝑁 𝑏𝑖√︁

𝑁𝑂𝑖

⎞⎠2

, (4.6.2)

onde 𝑁𝑂𝑖 é o número real esperado de neutrinos detectados em bins𝑖, 𝑁 𝑠

𝑖 é o número de testede neutrinos de sinal e 𝑁 𝑏

𝑖 é o número de teste de neutrinos de background, que consiste deinterações provenientes de corrente neutra e eventos atmosféricos. 𝑎, 𝑏 são parâmetros auxiliaresque implementam o erro de normalização. Notamos que este teste é ligeiramente diferente doanterior, o motivo para essa diferença está no fato de que o GLOBES leva em conta correlaçõesentre os binsde energia, eficiência do detector e também o background, que no caso anterior,consideramos todos como sendo ideias.

𝜒2𝑠𝑦𝑠 corresponde ao erro sistemático:


𝜒2𝑠𝑦𝑠 =

(︂𝑎

𝜎𝑎

)︂2+(︃

𝑏

𝜎𝑏

)︃2

, (4.6.3)

com 𝜎𝑎 (𝜎𝑏) o erro de normalização do sinal (background).A fim de extrair a sensibilidade para os parâmetros LIV, minimizamos todos os parâmetros

de oscilação de teste, 𝑎 e 𝑏 para cada valor verdadeiro fixo de 𝛿CP e testamos diferentes valoresde 𝛾𝑖. Outros valores verdadeiros são fixados no best fit da Tabela 4.1 e todos os parâmetrosverdadeiros do LIV são definidos como zero. O resultado pode ser encontrado na parte superiorda Fig. ( 4.9) para T2K e na parte inferior para o DUNE a 90 % do CL. Observemos que𝛿CP(true) tem apenas um pequeno impacto sobre a sensibilidade dos parâmetros LIV e queDUNE é muito mais sensível aos parâmetros LIV do que o T2K, como já haviamos comentadona Sec. 4.4

Os vínculos do DUNE e T2K nos parâmetros LIV para os operadores das dimensões 4, 5 e6 com 𝛿𝐶𝑃 (true)= 1.4𝜋 podem ser encontrados na Tabela 4.3:

|𝛾(4)| |𝛾(5)| 𝐺𝑒𝑉 −1 |𝛾(6)| 𝐺𝑒𝑉 −2

T2K 4.1 × 10−21 4.6 × 10−31 3.7 × 10−41

DUNE 8 × 10−24 6.7 × 10−34 1.2 × 10−44

Tabela 4.3: Vínculos aos operadores LIV de dimensão de massa 4, 5 e 6 com 90% de C.L. e𝛿𝐶𝑃 (true)=1.4𝜋 [13].

4.7 Mascarando a Hierarquia de Massa com Violação deLorentz

Olhando mais de perto para as medições de hierarquia de massa, um dos principais objetivosdo DUNE, mostramos que o operador LIV de dimensão 4 pode diminuir a sensibilidade para amedição da hierarquia de massa dos neutrinos. Isso pode ser observado na Fig. (4.10), onde acurva preta mostra a sensibilidade da hierarquia de massa apenas para os parâmetros do cenáriopadrão de três neutrinos, enquanto a curva verde mostra para o operador LIV de dimensão 4.

Na Eq. 4.3.2 o efeito LIV é ilustrado nas Fig. 4.11. A linha completa representa o número deeventos da hierarquia normal (N.H) na hierarquia azul e invertida (I.H.) em vermelho variandoapenas o 𝛿𝐶𝑃 .

Observa-se que essas elipses não se tocam. Isso significa que DUNE pode distinguir bemNH de IH. No entanto, quando ativamos o parâmetro 𝛾(4), as elipses começam a crescer atése tocarem. Como a dependência de energia de 𝜂 e 𝑟𝐴 não é a mesma, a sensibilidade não écompletamente perdida. Além disso, dimensões mais altas não podem falsificar adequadamenteo comportamento da diferença do quadrado da massa. Portanto, apenas 𝑑 = 4 diminui a


sensibilidade. O efeito 𝑑 = 4 na medição da hierarquia de massa é ilustrado na Fig. 4.10. Alinha preta corresponde ao modelo padrão de três neutrinos enquanto a linha verde para o LIVpara 𝑑 = 4.


1 2 3 4 5 6 7 8

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

Energy(GeV)

Conversion Probability Pμ→e with NH

Standard Oscillation with Best Fit

Negative dimensionless LIV Oscillation with best fit and γ = -10-23

Positive dimensionless LIV Oscillation with best fit and γ = 10-23

1 2 3 4 5 6 7 8

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

Energy(GeV)



Negative (GeV)-1 LIV Oscillation with best fit and γ = -10-33

Positive (GeV)-1 LIV Oscillation with best fit and γ = 10-33

1 2 3 4 5 6 7 8

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

Energy(GeV)



Negative (GeV)-2 LIV Oscillation with best fit and γ = -10-42.5

Positive (GeV)-2 LIV Oscillation with best fit and γ = 10-42.5

Figura 4.1: Probabilidades de conversão para DUNE usando operadores de dimensão de massa4, 5 e 6 da esquerda para a direita. Nas caixas pode-se encontrar os valores para os parâmetros𝛾 para cada curva [13].


1 2 3 4 5 6 7 8

0.0

0.5

1.0

1.5

Energy(GeV)

Survival Probability Pμ→μ with NH




1 2 3 4 5 6 7 8

0.0

0.5

1.0

1.5

Energy(GeV)





1 2 3 4 5 6 7 8

0.0

0.5

1.0

1.5

Energy(GeV)





Figura 4.2: Probabilidades de Sobrevivência para DUNE usando operadores de dimensão demassa 4, 5 e 6 da esquerda para a direita. Nas caixas pode-se encontrar os valores para osparâmetros 𝛾 de cada curva [13].


0.5 1.0 1.5 2.0

0.00

0.05

0.10

0.15

Energy(GeV)





0.5 1.0 1.5 2.0

0.00

0.05

0.10

0.15

Energy(GeV)





0.5 1.0 1.5 2.0

0.00

0.05

0.10

0.15

Energy(GeV)





Figura 4.3: Probabilidades de conversão para T2K usando operadores de dimensão de massa4, 5 e 6 da esquerda para a direita. Nas caixas pode-se encontrar os valores para os parâmetros𝛾 de cada curva [13].


0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

0.5

1.0

1.5

Energy(GeV)





0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

0.5

1.0

1.5

Energy(GeV)





0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

0.5

1.0

1.5

Energy(GeV)





Figura 4.4: Probabilidades de Sobrevivência para T2K usando operadores de dimensão demassa 4, 5 e 6 da esquerda para a direita. Nas caixas pode-se encontrar os valores para osparâmetros 𝛾 de cada curva [13].


Figura 4.5: Painel superior (inferior): eventos de elétrons para a hierarquia normal (hierarquiainvertida). Para todas as curvas, assumimos os best fit mostrados na Tabela 4.1. A curvavermelha representa o best fit para o cenário padrão de três neutrinos (com 𝛿 = 1.4 𝜋) e suabarra de erro. As curvas laranja e cinza são funções do parâmetro LIV com a fase CP 𝛿 = 1.4𝜋.As curvas laranja (𝛾 positivo) que têm a quantidade máxima de eventos representam os maioresparâmetros LIV, enquanto as próximas ao cenário padrão de três neutrinos com CP máximarepresentam os menores parâmetros LIV. O passo entre as curvas LIV são 100,5, começam em𝛾 = 10−23 e terminam em 𝛾 = 10−24. As curvas cinza (𝛾 negativo) têm um passo entre ascurvas LIV −10−0.5, iniciam em 𝛾 = −10−23 da quantidade mínima de eventos e terminamem 𝛾 = −10−24, o que se sobrepõe ao cenário padrão de três neutrinos. A curva de variaçãode CP é o cenário padrão de três neutrinos com o best fit e a fase 𝛿-CP variando em todo ointervalo [13].


Figura 4.6: O painel superior (inferior) refere-se a eventos de múon para NH (IH). Da esquerdapara a direita, diferentes cenários de fluxos de neutrinos (LE, ME e HE) são mostrados. Aslegendas são as mesmas que Fig. (4.5) [13].


Figura 4.7: Upper (Lower) Panel: Região de sensibilidade para o parâmetro LIV 𝛾 para umdado valor de 𝛿 CP, em que corremos de 0 a 2𝜋, para todos os cenários de fluxos de neutrinos,LE, ME e HE com NH (IH) até 2𝜎 de C.L. Na simulação nós mantivemos livre o ângulo demistura 𝜃23, 𝛿ts, 𝛾 e fixamos os outros parâmetros do best fit do cenário de três neutrinos [13].

Figura 4.8: Curvas com 2𝜎 de C.L. para o parâmetro LIV 𝛾 para um dado valor da fase 𝛿-CP,que corremos de 0 a 2𝜋 e diferentes fluxos (LE, ME e HE), para a hierarquia normal à esquerdae para hierarquia invertida à direita [11].


-3

-2

-1

0

1

2

3

γ(4) ×

10

22

Lorents Violation at 90% C. L.

-4

-2

0

2

4

γ(5) ×

10

31[e

V-

1]


T2K

-40

-20

0

20

40

γ(6) ×

10

41[e

V-

2]


0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

-50

0

50

δCP/π (True)

γ(4) ×

10

25

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

-15

-10

-5

0

5

10

15

δCP/π (True)

γ(5) ×

10

34[e

V-

1]

DUNE

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

-5

0

5

δCP/π (True)

γ(6) ×

10

44[e

V-

2]

Figura 4.9: Região de exclusão para o parâmetro LIV 𝛾(𝑑) da dimensão de massa 4, 5 e 6 versus𝛿 dividido por 𝜋 com 90% C.L., assumindo N.H. Top: T2K e Bottom: DUNE [13].


-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

2

4

6

8

10

12

14

16

δCP/π

χ2

N.H

Standard

LIV d=4

1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

2

4

6

8

10

12

14

16

δCP/π

I. H.

χ2

Standard

LIV d=4

Figura 4.10: Sensibilidade à hierarquia de massa esperada no experimento DUNE. A curvapreta considera apenas os parâmetros de Oscilação Padrão enquanto a curva verde considera oparâmetro de Violação de Lorentz da dimensão 4. Esquerda: A Hierarquia Normal é assumidacomo o valor verdadeiro Direita: Hierarquia Invertida é esperada como o valor verdadeiro [13].


200 400 600 800 1000 1200 1400

200

300

400

500

Number of Detected ν

Nu

mb

er

of

De

tecte

dν_

N.H. I.H

γ1=0

γ1=2.2x10-24

γ1=4.2x10-24

Figura 4.11: Sensibilidade à hierarquia de massa esperada no experimento DUNE. As curvasvermelhas consideram Hierarquia Invertida enquanto as curvas azuis consideram HierarquiaNormal, com 𝛾 assumindo vários valores [13].

CAPÍTULO 5. SME E VÍNCULOS NSI 69

Capítulo 5

Extensões do Modelo Padrão dasPartículas Elementares e os vínculosNSI

O SM é a teoria mais precisa da física. No entanto, falta a explicação para novos fenômenos.Uma lista de perguntas que precisam ser abordadas adequadamente é:

∙ O que é matéria escura?

∙ Por que existem 3 famílias de léptons?

∙ Por que as cargas de quarks são fracionadas?

∙ Por que o SM possui tantos parâmetros livres?

∙ Por que existe assimetria entre matéria e antimatéria?

Algumas extensões do SM (SME) procuram responder a essas perguntas. Por exemplo,o modelo 𝑆𝑈(5) [32] explica por que a carga dos quarks são fracionadas e reduz o númerode parâmetros livres em comparação ao SM. No entanto, ele não explica o que é matériaescura (já que seu conteúdo é o mesmo que o do SM). Também não explica por que existemapenas 3 famílias de léptons e a assimetria entre matéria e antimatéria. Além disso, suadesvantagem crucial é que sua versão mínima prevê uma taxa de decaimento de prótons excluídaexperimentalmente [33, 34]. Diferentes modelos, por exemplo, o modelo mínimo 𝑆𝑈(3)𝐶 ⊗𝑆𝑈(3)𝐿 ⊗𝑈(1) [35, 36, 37], explicam porque existem 3 famílias. O modelo 𝑆𝑈(3)𝐶 ⊗𝑆𝑈(3)𝐿 ⊗𝑈(1) também apresenta candidatos para a matéria escura, apesar de introduzir muitos novosférmions que ainda não foram detectados. Também apresenta algumas restrições cosmológicas[38].


As extensões mencionadas acima são uma pequena fração das possíveis extensões do SMque já foram propostas na literatura.

Atualmente, há uma grande variedade de modelos e falta de dados experimentais para testarsuas previsões. Portanto, o SM do século XXI não pode ser identificado corretamente. Nestecapítulo, propomos um mapa entre os efeitos dessas extensões e os parâmetros de interaçõesnão-padrão (NSI), de oscilações de neutrinos, usando o DUNE.

5.0.1 O modelo mínimo 𝑆𝑈(5)

O modelo mínimo 𝑆𝑈(5) [32, 33], é uma das teorias de grande unificação mais simples. Éum bom ponto de partida para testar as idéias por trás de um mapa de uma teoria de grandeunificação (ou qualquer outra extensão do SM) e os parâmetros NSI. Tais parâmetros podemser restringidos em experimentos de oscilação de neutrinos. Inicialmente, escolhe-se o grupo desimetria que irá estender o SM. Tal decisão influencia como o conteúdo da matéria se encaixanas representações desse grupo de simetria. Nesse sentido, o modelo 𝑆𝑈(5) possui o mesmoconteúdo de matéria fermiônica que o SM.

O SM possui 15 estados de helicidade [2], conforme a seguir:

(3, 2,16)𝐿. (5.0.1)

Estes estados representam quarks Up e Down de mão-esquerda. Eles são um tripleto sob𝑆𝑈(3)𝑐, um dupleto sob 𝑆𝑈(2)𝐿 e possuem hipercarga igual a 1

6 .

(3, 1,23)𝑅. (5.0.2)

Estes estados representam quarks Up de mão-direita. São um tripleto sob 𝑆𝑈(3)𝑐, umsingleto sob 𝑆𝑈(2)𝐿 e possuem hipercarga igual a 1

6 .

(3, 1, −13)𝑅. (5.0.3)

Estes estados representam quarks Down de mão-direita. São um tripleto sob 𝑆𝑈(3)𝑐, umsingleto sob 𝑆𝑈(2)𝐿 e possuem hipercarga igual a 1

3 .

(1, 2, −12)𝐿. (5.0.4)

Estes estados representam um elétron e um neutrino do elétron de mão-esquerda. Eles sãosingletos sob 𝑆𝑈(3)𝐶 , dubletos sob 𝑆𝑈(2)𝐿 e possuem hipercarga igual a -1

2 .

(1, 1, −1)𝑅. (5.0.5)


Estes estados representam um elétron e um neutrino do elétron de mão-direita. Eles sãoum singleto sob 𝑆𝑈(3)𝐶 , um singleto sob 𝑆𝑈(2)𝐿 e possuem hipercarga igual a -1.

Uma representação de mão-esquerda pode ser escolhida para todos os estados de helicidadeaplicando a conjugação de carga a todos os campos de mão direita:

(3, 2,16)𝐿. (5.0.6)

(3*, 1, −23)𝐿. (5.0.7)

(3*, 1,13)𝐿. (5.0.8)

(1, 2, −12)𝐿. (5.0.9)

(1, 1, 1)𝐿. (5.0.10)

Notamos que para as matrizes Gell-Mann na teoria 𝑆𝑈(5) o grupo de cores 𝑆𝑈(3)𝐶 pode serrepresentado pelas matrizes com as primeiras linhas e colunas diferentes de zero. Assim, o grupode cores pode ser representado pelas primeiras 8 matrizes Gell-Mann 𝜆𝑖, com 𝑖 = 1, 2, ..., 8. Comos geradores definidos como:

𝑇𝑎 = 𝜆𝑎

2 . (5.0.11)

Com 𝑎 = 1, 2, ..., 8.

Para representar o 𝑆𝑈(2)𝐿 é necessário que as matrizes Gell-Mann tenham as últimas duaslinhas e colunas diferentes de zero. Esses são: 𝜆22, 𝜆23 e (

√10𝜆24 −

√6𝜆15)/4.

O gerador 𝑆𝑈(2) pode ser escrito como:

𝑇 𝐿1 = 𝜆22

2 . (5.0.12)

𝑇 𝐿2 = 𝜆23

2 . (5.0.13)

𝑇 𝐿3 = (

√10𝜆24 −

√6𝜆15)

8 . (5.0.14)

Usando a mesma definição que no SM, podemos definir o operador de hipercarga em 𝑆𝑈(5)como:


𝑄 = 𝑇 𝐿3 + 𝑌. (5.0.15)

Usando os valores de carga apropriados para quarks e leptons:

𝑄 = −√︃

23𝜆15. (5.0.16)

E finalmente:

𝑌 = −(√

10𝜆24 + 5√

63 𝜆15)

8 . (5.0.17)

Nesta estrutura, tanto 𝑆𝑈(3) como 𝑆𝑈(2) ⊗ 𝑈(1) são subgrupos do 𝑆𝑈(5). Esse resultadopode ser usado para escrevermos uma das representação fundamentais do 𝑆𝑈(5):

5* → (3*, 1,13) ⊕ (1, 2, −1

2), (5.0.18)

como (3*, 1, 13) é um singleto por 𝑆𝑈(2) e (1, 2, −1

2) é um singleto por 𝑆𝑈(3) temos que asprimeiras oito matrizes Gell-Mann que representam 𝑆𝑈(3) só agem em (3*, 1, 1

3), mas não em(1, 2, −1

2). E as matrizes que representam 𝑆𝑈(2)𝐿 só agem em (1, 2, −12) mas não em (3*, 1, 1

3).Com os estados de helicidade previamente definidos, podemos escrever essa soma direta

como uma das representações fundamentais do 𝑆𝑈(5):

5* =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

𝑑𝑐1

𝑑𝑐2

𝑑𝑐3

𝑒

−𝜈

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦. (5.0.19)

Essa escolha de representação também é compatível com a nossa definição de hipercarga 𝑌 .Em 5* acomodamos 5 dos nossos 15 estados de helicidade. Precisamos de outra representaçãopara os outros 10 estados de helicidade. Da teoria dos grupos, sabemos que:

5 ⊗ 5 = 15𝑆 ⊗ 10𝐴. (5.0.20)

Por outro lado:

5 ⊗ 5 → ((3, 1, −13) ⊕ (1, 2,

12)) ⊗ ((3, 1, −1

3) ⊕ (1, 2,12)). (5.0.21)

Que é equivalente a:


5 ⊗ 5 → (6, 1, −23) ⊕ (3, 2,

16) ⊕ (1, 3, 1) ⊕ (3, 2,

16) ⊕ (3*, 1, −2

3) ⊕ (1, 1, 1). (5.0.22)

Como no 𝑆𝑈(3)𝐶 temos que 3 ⊗ 3 = 6𝑆 ⊕ 3*𝐴 e no 𝑆𝑈(2) temos que 2 ⊗ 2 = 3*

𝑆 ⊕ 1𝐴; a parteantissimétrica de 5 ⊗ 5, 10𝐴 é:

10 → (3, 2,16) ⊕ (3*, 1, −2

3) ⊕ (1, 1, 1). (5.0.23)

Tais representações são suficientes para descrever todos os 15 estados de helicidade do SM.10 pode ser escrito como:

10 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0 𝑢𝑐3 −𝑢𝑐

2 𝑢1 𝑑1

−𝑢𝑐3 0 𝑢𝑐

1 𝑢2 𝑑2

𝑢𝑐2 −𝑢𝑐

1 0 𝑢3 𝑑3

−𝑢1 −𝑢2 −𝑢3 0 𝑒𝑐

−𝑑1 −𝑑2 −𝑑3 −𝑒𝑐 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦. (5.0.24)

Notamos que o SM não explica por que as cargas dos quarks são fracionadas, mas isso énatural no 𝑆𝑈(5). Por causa dos geradores hermitianos, o grupo 𝑆𝑈(5) tem uma estruturasimples. Portanto, qualquer representação de 𝑆𝑈(5) deve ter o operador de carga com traçonulo. Isto resulta em:

−3𝑄𝑑 + 𝑄𝑒 = 0. (5.0.25)

Para ambas as representações 5* e 10.Com essas representações (5* e 10), vamos escrever o setor fermiônico do 𝑆𝑈(5) sem aco-

plamentos de Yukawa.Vamos começar com a derivada covariante para 5* = (Ψ𝑝)𝐿:

𝐷𝜇(Ψ𝑝)𝐿 = 𝜕𝜇(Ψ𝑝)𝐿 − 𝑖𝑔5𝑇*𝑝𝑞(Ψ𝑞)𝐿𝐴𝑎

𝜇 = 𝜕𝜇(Ψ𝑝)𝐿 − 𝑖𝑔5(𝐴*𝜇)(Ψ𝑞)𝐿. (5.0.26)

Vamos definir a derivada covariante para 10 = 𝑥𝑝𝑞𝐿 :

𝐷𝜇𝑥𝑝𝑞𝐿 = 𝜕𝜇𝑥𝑝𝑞

𝐿 + 𝑖𝑔5𝐴𝑎𝜇[(𝑇𝑎)𝑝𝑟𝑥

𝑟𝑝𝑙 + (𝑇𝑎)𝑞𝑠𝑥

𝑝𝑠𝐿 ] = 𝜕𝜇𝑥𝑝𝑞

𝐿 + 𝑖𝑔5[(𝐴𝜇)𝑝𝑟𝑥𝑟𝑝𝐿 + (𝐴𝜇𝑞𝑠)𝑥𝑝𝑞

𝐿 ].

Como 𝑥𝑝𝑞𝐿 é antissimétrico, temos que:

𝐷𝜇𝑥𝑝𝑞𝐿 = 𝜕𝜇𝑥𝑝𝑞

𝐿 + 2𝑖𝑔5(𝐴𝜇)𝑝𝑟𝑥𝑟𝑞𝐿 . (5.0.27)


E a parte fermiônica da Lagrangiana invariante por 𝑆𝑈(5) é:

ℒ𝑓𝑒𝑟𝑚𝑖𝑜𝑛𝑠 = 𝑖((̄Ψ𝑝)𝐿)𝛾𝜇(𝐷𝜇Ψ𝑝)𝐿 + 𝑖(�̄�𝑝𝑞)𝐿𝛾𝜇𝐷𝜇(𝑥𝑝𝑞)𝐿, (5.0.28)

onde a forma explícita dos bósons de calibre é dada por:

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

𝐺𝑟𝑟 − 1

3

√︁35𝐵 𝐺𝑔

𝑟 𝐺𝑏𝑟

1√2𝑋1 1√

2𝑌 1

𝐺𝑟𝑔 𝐺𝑔

𝑔 − 13

√︁35𝐵 𝐺𝑏

𝑔1√2𝑋2 1√

2𝑌 2

𝐺𝑟𝑏 𝐺𝑔

𝑏 𝐺𝑏𝑏 − 1

3

√︁35𝐵 1√

2𝑋3 1√2𝑌 3

1√2𝑋†1 1√

2𝑋†2 1√2𝑋†3 1

2𝑊 3 + 12

√︁35𝐵 1√

2𝑊 +

1√2𝑌 †1 1√

2𝑌 †2 1√2𝑌 †3 1√

2𝑊 − −12𝑊 3 + 1

2

√︁35𝐵

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦.

O setor eletrofraco fica:

𝑊 𝜇3 = (

√10𝐴𝜇

24 −√

6𝐴𝜇15)/4. (5.0.29)

𝑊 𝜇+ = (𝐴𝜇

22 − 𝑖𝐴𝜇23)

√2. (5.0.30)

𝑊 𝜇− = (𝐴𝜇

22 + 𝑖𝐴𝜇23)/

√2. (5.0.31)

𝐵𝜇 = −(√︃

52𝐴𝜇

15 +√︃

32𝐴𝜇

24)/2. (5.0.32)

O setor leptoquark fica:

𝑋𝜇1 = 1√

2(𝐴𝜇9 + 𝑖𝐴𝜇

10) . (5.0.33)

𝑋𝜇2 = 1√


12) . (5.0.34)

𝑋𝜇3 = 1√


14) . (5.0.35)

𝑌 𝜇1 = 1√


17) . (5.0.36)

𝑌 𝜇2 = 1√


19) . (5.0.37)

𝑌 𝜇3 = 1√


21) , (5.0.38)

onde os 𝐺𝑖 sãos os mediadores da interação forte.Essa parte fermiônica de 𝑆𝑈(5), juntamente com os bósons intermediários, permite a extra-


ção completa de informações relevantes sobre a propagação de neutrinos na matéria da Terra.Vamos chamar essa interação de 𝛿ℒ𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜. Para a família de elétrons (pode ser generalizadospara as outras), nós temos:

𝛿ℒ𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜 = −𝑔5

2 (𝑌𝜇𝛼)𝑑†𝐶𝛼𝐿�̄�𝜇𝜈𝑒𝐿, (5.0.39)

onde 𝛼 é um índice de cor e 𝐶 significa conjugação de carga. Em analogia com a extração efetivada interação de Fermi do SM, podemos usar a interação de neutrinos para obter o operadorefetivo,𝛿ℒ𝑒𝑓𝑓 :

𝛿ℒ𝑒𝑓𝑓 = Σ𝛼𝛽𝑔2

52𝑀2

𝑌

𝑔𝜇𝜈(𝑑†𝐶𝛼𝐿�̄�𝜇𝜈𝑒𝐿)(𝜈†

𝑒𝐿�̄�𝜈𝑑𝐶𝛽𝐿). (5.0.40)

O produto dos campos ¯𝑌𝜇𝛼𝑌𝜈𝛽 aparece como um propagador −𝑔𝜇𝜈

𝑞2−𝑀2𝑌

≈ 𝑔𝜇𝜈

𝑀2𝑌

(com 𝜉 = 1), pois𝑞2 é muito menor que 𝑀𝑌 .

Agora podemos aplicar uma transformação de Fierz [37] no operador efetivo, obtendo:

𝛿ℒ𝑒𝑓𝑓 = −Σ𝛼𝛽𝑔2

52𝑀2

𝑌

𝑔𝜇𝜈(𝑑†𝐶𝛼𝐿�̄�𝜇𝑑𝐶

𝛽𝐿)(𝜈†𝑒𝐿�̄�𝜈𝜈𝑒𝐿). (5.0.41)

Usando a identidade a seguir:

𝑑†𝐶𝛼𝐿�̄�𝜇𝑑𝐶

𝛽𝐿 = −𝑑†𝛼𝑅𝜎𝜇𝑑𝛽𝑅. (5.0.42)

Finalmente temos:


52𝑀2

𝑌

(𝑑†𝛼𝑅𝜎𝜇𝑑𝛽𝑅)(𝜈†

𝑒𝐿�̄�𝜇𝜈𝑒𝐿). (5.0.43)

Este operador pode ser reescrito como:


52𝑀2

𝑌

(𝑑†𝛼𝛾𝜇𝑃𝑅𝑑𝛽)(𝜈†

𝑒𝛾𝜇𝑃𝐿𝜈𝑒), (5.0.44)

onde 𝑃𝐿 e 𝑃𝑅 são os projetores de mão-esquerda e mão-direita respectivamente.

5.0.2 O modelo mínimo 𝑆𝑈(3)𝐶 ⊗ 𝑆𝑈(3)𝐿 ⊗ 𝑈(1)

O modelo mínimo 𝑆𝑈(3)𝐶 ⊗𝑆𝑈(3)𝐿⊗𝑈(1) [35, 36] tem uma estrutura similar ao SM, excetoque sua simetria de mão-esquerda é um grupo 𝑆𝑈(3)𝐿. Como discutido acima, o 𝑆𝑈(3) tem 8geradores, com os 3 primeiros geradores tendo a mesma estrutura de uma álgebra 𝑆𝑈(2). Assim,o dubleto usual de 𝑆𝑈(2)𝐿 pode ser acomodado nas duas primeiras linhas da representaçãofundamental 3 = Ψ𝛼𝐿 para todas as familias 𝛼 = [𝑒, 𝜇, 𝜏 ].


Ψ𝛼𝐿 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝𝜈𝛼𝐿

𝑙𝛼𝐿

𝑁𝛼𝐿

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ . (5.0.45)

Esses campos de férmions permitem a construção da Lagrangiana dos léptons de mão-esquerda livres:

ℒ𝑙𝑒𝑝𝑡𝑜𝑛𝑠 = Ψ̄𝛼𝐿(𝑖𝛾𝜇𝐷𝜇)Ψ𝛼𝐿, (5.0.46)

onde 𝐷𝜇 = 𝜕𝜇 − 𝑖𝑔 𝜆𝑖𝐿

2 𝑊 𝑖𝐿𝜇 − 𝑖𝑔𝑛𝑁𝜑𝐵𝜇 = 𝜕𝜇 − 𝑖𝑔

2𝑀𝜇. Aqui, 𝜆𝑖 equivale às matrizes de Gell-Manndo 𝑆𝑈(3).

E a estrutura dos bósons de calibre é dada por:

𝑀𝜇 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝𝑊 3

𝜇 + 1√3𝑊 8

𝜇 + 2𝑡𝑋𝜑𝐵𝜇

√2𝑊 +

𝜇

√2𝑉 0*

𝜇√2𝑊 −

𝜇 −𝑊 3𝜇 + 1√

3𝑊 8𝜇 + 2𝑡𝑋𝜑𝐵𝜇

√2𝑉 −

𝜇√2𝑉 0

𝜇

√2𝑉 +

𝜇 − 2√3𝑊 8

𝜇 + 2𝑡𝑋𝜑𝐵𝜇

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ . (5.0.47)

Aqui, a estrutura 𝑆𝑈(2)𝐿 é incorporada nas duas primeiras linhas e colunas. Dessa Lagran-giana a seguinte interação de neutrinos pode ser extraída:

𝛿ℒ𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜 =√

22 𝑔𝑉 0*

𝜇 (𝜈†𝛼𝐿𝜎𝜇𝑁𝛼𝐿). (5.0.48)

A partir dessa interação fundamental, podemos extrair o seguinte operador efetivo:

𝛿ℒ𝑖𝑛𝑡 = 𝑔2

2 𝑉 0𝜇 𝑉 0*

𝜈 (𝑁 †𝛼𝐿𝜎𝜇𝜈𝛼𝐿)(𝜈†

𝛽𝐿𝜎𝜇𝑁𝛽𝐿). (5.0.49)

Escrevendo isso em termos do propagador para 𝑉 0 e considerando a troca de momentomuito menor que a massa de 𝑉 0:

𝛿ℒ𝑖𝑛𝑡 = 𝑔2

2𝑀2𝑉 0

𝑔𝜇𝜈(𝑁 †𝛼𝐿𝜎𝜇𝜈𝛼𝐿)(𝜈†

𝛽𝐿𝜎𝜈𝑁𝛽𝐿). (5.0.50)

Agora, aplicando uma transformação de Fierz:

𝛿ℒ𝑖𝑛𝑡 = − 𝑔2

2𝑀2𝑉 0

(𝑁 †𝛼𝐿𝜎𝜇𝑁𝛽𝐿)(𝜈†

𝛽𝐿𝜎𝜇𝜈𝛼𝐿). (5.0.51)

Apropriadamente, o operador é reescrito como:

𝛿ℒ𝑖𝑛𝑡 = − 𝑔2

2𝑀2𝑉 0

(𝑁 †𝛼𝛾𝜇𝑃𝐿𝑁𝛽)(𝜈†

𝛽𝐿𝛾𝜇𝑃𝐿𝜈𝛼). (5.0.52)


Esta é a contribuição do modelo mínimo 𝑆𝑈(3)𝐶 ⊗ 𝑆𝑈(3)𝐿 ⊗ 𝑈(1) para interações NSI(falaremos sobre elas logo adiante).

5.0.3 Formalismo NSI

Quando o neutrino viaja através da matéria da Terra ele interage com seus elétrons atravésde interações de corrente de carga mediadas por 𝑊 . Extensões do SM, como discutido aqui,têm um grupo de calibre maior que o SM, levando a novas forças. Essas forças mediadaspor novos bósons de calibre podem levar a interações não presentes no SM, como descrito naFig. (5.1). Também poderiam levar à interação com novos campos de férmions, como vimosem 𝑆𝑈(3)𝐶 ⊗ 𝑆𝑈(3)𝐿 ⊗ 𝑈(1). Para tal caso, a densidade de matéria é assumida como sendo adensidade de matéria escura ao redor da Terra.

νe

eL eL

eL

eR

eR

eR

νeW

d du

u ed

u

να νβ

StandardNon-

Standard

Figura 5.1: Tipos de interação que poderiam gerar parâmetros NSI, baseado em [38].

Uma Lagrangiana efetiva contendo essas novas interações pode ser escrita como:

𝛿𝐿𝑁𝑆𝐼 = −2√

2𝐺𝐹 Σ𝑓,𝑃 (𝜖𝑓𝑃𝛼𝛽 𝜈𝛼𝛾𝜇𝑃𝐿𝜈𝛽)(𝑓𝛾𝜇𝑃𝑓). (5.0.53)

O que leva à seguinte equação de evolução de oscilação de neutrinos modificada:

𝑖𝑑

𝑑𝑡

⎛⎜⎜⎜⎜⎝𝜈𝑒

𝜈𝜇

𝜈𝜏

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣𝑈 †

⎛⎜⎜⎜⎜⎝0 0 00 Δ𝑚2

21 00 0 Δ𝑚2

13

⎞⎟⎟⎟⎟⎠𝑈 + 𝐴

⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 + 𝜀𝑒𝑒 𝜀𝑒𝜇 𝜀𝑒𝜏

𝜀*𝑒𝜇 𝜀𝜇𝜇 𝜀𝜇𝜏

𝜀𝑒𝜏 𝜀𝜇𝜏 𝜀𝜏𝜏

⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎤⎥⎥⎥⎥⎦⎛⎜⎜⎜⎜⎝

𝜈𝑒

𝜈𝜇

𝜈𝜏

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ , (5.0.54)

onde 𝐴 =√

2𝐺𝐹 𝑛𝑒 e os parâmetros 𝜀𝛼𝛽 estão relacionados a 𝜖𝛼𝛽 por:

𝜀𝛼𝛽 = Σ𝑓,𝑃𝑛𝑓

𝑛𝑒

𝜖𝑓𝑃𝛼𝛽 . (5.0.55)


Tal formalismo [40-50] permite calcular as contribuições de 𝜀𝛼𝛽 na equação de evolução daoscilação de neutrinos.

A seguir, discutimos o mapa entre os parâmetros do formalismo do NSI e a Lagrangianaefetiva obtida para 𝑆𝑈(5) e 𝑆𝑈(3)𝐶 ⊗ 𝑆𝑈(3)𝐿 ⊗ 𝑈(1).

Mapa entre NSI e os parâmetros 𝑆𝑈(5)

O operador efetivo obtido para o 𝑆𝑈(5) pode ser mapeado no operador NSI:

𝜖𝑒𝑒 = − 9𝑔25

4√

2𝐺𝐹 𝑀2𝑌

, (5.0.56)

onde somamos todos os índices de cores e como os neutrinos estão viajando através da matériada Terra, eles só interagem com o quark (𝑑). Portanto, o único parâmetro da NSI no 𝑆𝑈(5)conectado à oscilação do neutrino na matéria comum é o parâmetro 𝜖𝑒𝑒.

O parâmetro 𝜖𝑒𝑒 é expresso na equação de evolução dos neutrinos como:

𝜀𝑒𝑒 = −𝑛𝑑

𝑛𝑒

9𝑔25

4√

2𝐺𝐹 𝑀2𝑌

. (5.0.57)

Para garantir que a Terra seja eletricamente neutra, o mesmo número de núcleons e elétronsé necessário. Cada próton tem dois quarks up (𝑢) e um quark down (𝑑) e cada nêutron tem 2𝑑 e um 𝑢. Esses resultados levam a 𝑛𝑑

𝑛𝑒= 3.

Mapa entre NSI e os parâmetros 𝑆𝑈(3)𝐶 ⊗ 𝑆𝑈(3)𝐿 ⊗ 𝑈(1)

Primeiramente, mapeamos o operador efetivo obtido para 𝑆𝑈(3)𝐶 ⊗ 𝑆𝑈(3)𝐿 ⊗ 𝑈(1) nooperador NSI.

Supondo que 𝑁𝑒𝐿 seja o mais leve desses novos léptons e seja estável, ele seria responsávelpela maioria da matéria escura estável. Na vizinhança da Terra, a matéria escura deve ter umadensidade de 𝑛𝑁𝑒 ≤ 1.4 × 10−19 𝑔/𝑐𝑚3 [51]. Dada essa suposição, a maior contribuição de𝑆𝑈(3)𝐶 ⊗ 𝑆𝑈(3)𝐿 ⊗ 𝑈(1) para o operador efetivo NSI será 𝜖𝑒𝑒:

𝜖𝑒𝑒 = 𝑔23

4√

2𝐺𝐹 𝑀2𝑉 0

. (5.0.58)

E o efeito na equação da evolução dos neutrinos é:

𝜀𝑒𝑒 = 𝑛𝑁𝑒

𝑛𝑒

𝑔23

4√


. (5.0.59)

5.1 Resultados para o DUNE

Na Tabela 5.2, as restrições atualizadas para parâmetros NSI simulando o DUNE:


𝜀𝑒𝑒 ≤ (-0.7,0.8)|𝜀𝜇𝑒| ≤ 0.051|𝜀𝜇𝜏 | ≤ 0.031|𝜀𝜏𝑒| ≤ 0.17|𝜀𝜏𝜏 | ≤ 0.8

Tabela 5.1: Restrições em parâmetros NSI subtraídos por um termo global 𝜀𝜇𝜇 [50].

5.1.1 Resultados do DUNE para o 𝑆𝑈(5)

Na Eq. (5.0.57) obtivemos a seguinte correlação entre os parâmetros NSI e a massa domodelo 𝑀𝑌 no 𝑆𝑈(5):

𝜀𝑒𝑒 = −𝑛𝑑

𝑛𝑒

9𝑔25

4√

2𝐺𝐹 𝑀2𝑌

. (5.1.1)

Como citado anteriormente, devemos ter 𝑛𝑑

𝑛𝑒= 3 e sabemos que 𝐺𝐹 = 𝑔2

24√

2𝑀2𝑊

com 𝑀𝑊 =80.4 GeV [5], levando a:

𝜀𝑒𝑒 = −27𝑔25𝑀2

𝑊

𝑔22𝑀2

𝑌

, (5.1.2)

onde 𝑀𝑊 é a massa do bóson 𝑊 do SM. As equações do grupo de renormalização do 𝑆𝑈(5) [33]ditam que 𝑔5 ∼ 𝑔2 e 𝜀𝑒𝑒 tem um vínculo da ordem −0.7 ≤ 𝜀𝑒𝑒 ≤ 0.8. Também temos que nomodelo 𝑆𝑈(5) o valor do parâmetro NSI 𝜀𝑒𝑒 deve ser negativo, pois todos os elementos daEq. (5.1.2) são positivos e há um sinal negativo multiplicando eles. Assim, temos um limiteinferior para a massa do 𝑀𝑌 :

𝑀𝑌 ≥ 6.21𝑀𝑊 ∼ 0.5 𝑇𝑒𝑉. (5.1.3)

Mas 𝑀𝑌 deve estar na escala da grande unificação, que tem um limite superior dos dadosde decaimento do próton na ordem de 𝑀𝑌 ∼ 1015 𝐺𝑒𝑉 [34]. Isso significa que a abordagemNSI não coloca restrições melhores do que a literatura atual no modelo 𝑆𝑈(5).

Resultados do DUNE para 𝑆𝑈(3)𝐶 ⊗ 𝑆𝑈(3)𝐿 ⊗ 𝑈(1)

Na Sec. 5.0.2 obtivemos a seguinte correlação entre os parâmetros NSI e a massa de 𝑀0 nomodelo 𝑆𝑈(3)𝐶 ⊗ 𝑆𝑈(3)𝐿 ⊗ 𝑈(1):

𝜀𝑒𝑒 = 𝑛𝑁𝑒

𝑛𝑒

𝑔23

4√


. (5.1.4)

Suponha que toda matéria escura estável seja feita de 𝑁𝑒. Nos arredores da Terra, temos umarestrição na densidade da matéria escura 𝑛𝑁𝑒 ≤ 1.4 × 10−19 𝑔/𝑐𝑚3 [51], enquanto a densidade


eletrônica está na ordem de 𝑛𝑒 = 1.2 × 10−6 𝑔/𝑐𝑚3 [20]. Usando o mesmo procedimento daseção anterior, com a máxima densidade de matéria escura permitida 𝑛𝑁𝑒 = 1.4×10−19 𝑔/𝑐𝑚3,obtemos a seguinte restrição se 𝑀𝑁𝑒 = 3.5 TeV [52]:

𝑀𝑉0 ≥ 11 𝑒𝑉 (5.1.5)

Mais uma vez, essa restrição é mais fraca do que a escala esperada para este novo bóson decalibre [52].

Discussão dos resultados DUNE

Embora haja várias simulações e ajustes globais para se determinar as restrições apropriadaspara os parâmetros NSI, para os dois modelos ora considerados, esses vínculos não forneceramboas restrições.

No caso de 𝑆𝑈(5), embora a densidade de matéria de 𝑑 quarks seja da ordem da densidadeeletrônica, a extrema precisão da medida de decaimento do próton e a constante de acoplamentode crescimento muito lento do 𝑆𝑈(5) tornou a restrição na massa do bóson 𝑀𝑌 muito maisfraca do que informa a literatura atual.

Para o 𝑆𝑈(3)𝐶 ⊗𝑆𝑈(3)𝐿 ⊗𝑈(1), mesmo que se esperasse que as massas fossem menores quea escala de unificação (da ordem de TeV), já que o único novo efeito de neutrinos na matériafoi mediado por uma partícula com sua densidade muito menor que a densidade de elétrons(um candidato a matéria escura), as restrições também não foram boas. Logo, se a teoriaprevê uma interação com a matéria ordinária da Terra, mas a massa de seus bósons está naescala de unificação, as restrições devem ser fracas. Se uma teoria previr novos férmions queinterajam com neutrinos, mas que não tenham uma densidade significativa no ambiente daTerra, novamente haverá uma restrição fraca. A única opção de melhor restrição é apresentarum modelo que não esteja na escala de unificação (talvez na escala TeV) e que interaja neutrinoscom a matéria comum de uma forma que o SM não previu.

5.1.2 Experimento Ideal

Como discutido nas seções anteriores, parece que as restrições aos parâmetros NSI dosexperimentos de neutrino de long baseline atuais não mostram quaisquer restrições que sejammelhores do que a literatura atual nos modelos estudados para sondar a física além do SM.Como poderia a oscilação dos neutrinos ser capaz de sondar a física na escala de unificação?

Para sondar a física nessa escala, notamos que:

𝑀2𝑌 = −9𝑀2

𝑊

𝜖𝑒𝑒

. (5.1.6)


Vamos supor que o meio onde o neutrino se propaga seja uma estrela de nêutrons comdensidade constante 𝜌𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜𝑛 ∼ 2.7 × 1014 𝑔/𝑐𝑚3. Suponhamos que toda essa densidade venhada massa de nêutrons, o que significa que 𝑛𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜𝑛 ∼ 2.68 × 1017𝑁𝑎 Neutrons/𝑐𝑚3, onde 𝑁𝑎 é aconstante de Avogadro. Cada nêutron tem 2 𝑑 quarks, significando: 𝑛𝑑 ∼ 5.37×1017 𝑁𝑎 𝑑/𝑐𝑚3.Para ter uma raiz real, precisamos que 𝜖𝑒𝑒 < 0. Conectando a massa 𝑀𝑊 nós temos:

𝑀𝑌 ∼ 241.17√−𝜖𝑒𝑒

𝐺𝑒𝑉 (5.1.7)

Para ter uma restrição em 𝑀𝑌 ∼ 1014 𝐺𝑒𝑉 , devemos ter: 𝜖𝑒𝑒 ∼ −5.8 × 10−24.Buscando responder à questão de qual ordem de grandeza um experimento de neutrinos

de long baseline precisa possuir para restringir eficientemente um modelo 𝑆𝑈(5), simulamos oseguinte experimento hipotético com os seguintes parâmetros:

∙ Detector fiducial de argônio líquido com massa 6×1015 kton, ou seja, da ordem da massada Terra;

∙ Baseline variável;

∙ Matéria com a densidade de uma estrela de nêutrons [53];

∙ Supomos que os efeitos da curvatura do espaço-tempo não alteram a ordem de grandezado experimento. Esta é uma boa aproximação, uma vez que a oscilação do neutrino só sedesvia significativamente do caso plano se estivermos perto de uma singularidade. [54];

∙ A seção de choque de neutrinos com matéria foi obtida do GLOBES [24, 25];

∙ O fluxo é o CDR 2015 do relatório DUNE, onde é assumido que é mantido constanteatravés de todo o detector;

∙ O background é o background do DUNE, supondo que ele possa ser dimensionado paraum detector fiducial da massa da Terra;

∙ O tempo de execução é de 1 ano no modo muon neutrino (FHC), e

∙ 𝜖𝑒𝑒 = −5.8 × 10−24, o valor da restrição que aparece no começo desta seção para vincu-larmos a escala de grande unificação.

A tabela 5.2 mostra os best fits usados na simulação:

Δ𝑚221 (eV2) Δ𝑚2

31 (eV2) sin2 𝜃21 sin2 𝜃23 sin2 𝜃13 𝛿

NH 7.56 × 10−5 2.55 × 10−3 0.321 0.430 0.0241 1.4𝜋

Tabela 5.2: Valores dos parâmetros de oscilação de best fit extraídos da Referência [12].


Os efeitos das incertezas sistemáticas foram avaliados, por exemplo, em [18].Propomos um teste 𝜒2 escrito da seguinte forma:

𝜒2 =nmax∑︁𝑖=1

(𝑁𝑖(𝜀𝑒𝑒 ̸= 0) − N𝑖(𝜀𝑒𝑒 = 0))2

𝜎2𝑖

. (5.1.8)

A soma é feita até nmax, que é o último bin que corresponde ao número total de bins.N𝑖(𝜀𝑒𝑒 ̸= 0) e 𝑁𝑖(𝜀𝑒𝑒 = 0) é o número de eventos com e sem NSI, respectivamente.

A incerteza 𝜎𝑖 contém o erro estatístico (𝜎stat𝑖 ) e sistemático c (𝜎sys

𝑖 ) . Avaliamos 𝜎stat𝑖 =√︁

𝑁𝑖(𝜀𝑒𝑒 = 0) e 𝜎sys𝑖 = 𝑎𝑖𝑁𝑖(𝜀𝑒𝑒 = 0), onde 𝑎𝑖 = 5%. A incerteza total 𝜎𝑖 é dada pela fórmula

usual:

𝜎2𝑖 = (𝜎stat

𝑖 )2 + (𝜎sys𝑖 )2, (5.1.9)

Os resultados são mostrados na Fig. (5.2)

6.2 6.4 6.6 6.8 7.0log(Baseline[km])

2

4

6

8

10

12

χ2

2σ curve

χ2 curve

Figura 5.2: 𝜒2 Análise para o parâmetro 𝜀𝑒𝑒 = −5.8 × 10−24 como função de Log(Baseline km).A linha vermelha pontilhada representa 𝜒2 = 4.0, 2𝜎 C.L. O baseline que contém a interseçãoé 𝐿 ∼ 4.7 × 106 km.

Já que não há nenhuma estrela de nêutrons conhecida com um diâmetro de 𝐿 ∼ 4.7×106 kme que nossas teorias predizem um valor máximo do diâmetro de uma estrela de nêutrons naordem 𝐿 ≈ 28 km [53], concluímos que é altamente improvável que nossos atuais experimentosde oscilação de neutrinos sondem a física na escala de unificação. Também, para modelosque propõem um multipleto com novos férmions como candidatos para matéria escura comouma soma direta do padrão (1, 2, −1

2)𝐿 (representando elétrons e neutrino do elétron de mão-


esquerda) e outras representações, também haverá restrições fracas para a massa dos novosbósons de calibre, pois espera-se que a densidade da matéria escura nas vizinhanças da Terraseja muito baixa. Em essência, as restrições nos parâmetros NSI da oscilação de neutrinos comexperimentos atuais e futuros não parecem ser muito eficazes em restringir modelos que possuemessas propriedades. A partir de nossa simulação, seria necessário ter baselines e densidades dematéria muito além de nossas capacidades atuais para haver restrições competitivas com outrosramos da física.

CAPÍTULO 6. CONCLUSÃO 84

Capítulo 6

Conclusão

Concluímos esta tese fazendo um rápido apanhando do que foi visto. Na Introdução foifeita uma rápida revisão de ferramentas básicas de teoria quântica de campos. No Capítulo 1,Vinculando Áxions por diagramas de Feynman, aplicamos um diagrama de Feynman extra paraa Função de Vértice do Elétron, que representa a interação extra devido ao Áxion em 1-loopà Função de Vértice do Elétron. Então, revisamos as técnicas necessarias para resolvermos aintegral obtida a partir das regras de Feynman para esse diagrama. Além disso, encontramosum vínculo entre a massa do Áxion e sua constante de acoplamento. No Capítulo 2, Operadoresefetivos que violam a simetria de Lorentz, fazemos uma rápida revisão do SME, modelo maisutilizado para estudar operadores efetivos que violam a simetria de Lorentz. Também propomosuma Lagrangiana efetiva que viola a simetria de Lorentz para um operador LIV de dimensão demassa 𝑑. No Capítulo 3, utilizando este operador LIV de dimensão 𝑑, encontramos vínculos parao mesmo utilizando uma simulação do experimento DUNE e T2K. Para o DUNE, encontramosvínculos para o operador de dimensão 𝑑 = 4 utilizando diversos feixes e estudamos como taisfeixes influenciariam a sensibilidade do DUNE aos operadores LIV. Como resultado, obtivemosque todos os feixes propostos colocam vínculos da mesma ordem de grandeza 𝛾 ∼ 10−24. Alémdisso, também estudamos o vínculo para operadores LIV de dimensão d = 4, 5 e 6 no DUNE eno TK2, foram obtidos os seguintes vínculos a esses operadores: |𝛾(4)|= 8 × 10−24, |𝛾(5)|= 6.7 ×10−34, |𝛾(6)|= 1.2×10−44 para o DUNE e |𝛾(4)|= 4.1×10−21, |𝛾(5)|= 4.6×10−31, |𝛾(6)|= 3.7×10−41

para o T2K. Ainda no Capítulo 3, estudamos como o operador LIV de dimensão d = 4 poderiamascarar a Hierarquia de massas dos neutrinos. No Capítulo 4, Extensões do Modelo Padrãodas Partículas Elementares e os vínculos NSI, estudamos um mapa entre teorias de grandeunificação, em especial o modelo mínimo 𝑆𝑈(5) e o modelo mínimo 𝑆𝑈(3)𝐶 ⊗ 𝑆𝑈(3)𝐿 ⊗ 𝑈(1),e os parâmetros NSI. Com tal mapa, encontramos vínculos para a massa alguns dos novosbósons de calibre que tais modelos propõem. Como resultado, encontramos: 𝑀𝑌 ≥ 0.5 𝑇𝑒𝑉 e𝑀𝑉0 ≥ 11 𝑒𝑉 , para os novos bósons de calibre. Concluímos esta tese ressaltando que o objetivoque foi proposto, encontrar vínculos a extensões do SM, que poderão nos guiar na busca por

CAPÍTULO 6. CONCLUSÃO 85

uma teoria mais completa para explicar o universo em que vivemos, foi alcançado.

Referências

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86

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