VOCÊ SABIA?

A GEOMETRIA PLANA

COMEÇOU A SER ESTUDADA

POR EUCLIDES

(360 A.C ~295 A.C)

AINDA NA

GŔECIA ANTIGA

Euclides foi um Euclides foi um matemático de matemático de Alexandria, no Egito. Alexandria, no Egito. É chamado o pai da É chamado o pai da Geometria. Escreveu Geometria. Escreveu o livro "Elementos o livro "Elementos de Euclides". Foi de Euclides". Foi professor de professor de Matemática na Matemática na Escola Real de Escola Real de Alexandria, no Egito.Alexandria, no Egito.

ÂNGULOS DETERMINADOS POR RETASTRANSVERSAIS

• Ângulos opostos pelo vértice

Consideramos duas retas r e s, que se cruzam emum ponto O. Dois ângulos formando quatro ângulos demedidas: β, α, ϒ e δ, conforme figura ao lado. Os ângulosde medidas α eϒ são chamados ângulos opostos pelovértice, assim como os ângulos de medidas βe δ.

Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes, ou seja, possuem a mesma medida.

Vamos provar que essa afirmação é verdadeira!

Podemos notar pela figura que:β + α = 180° e α + ϒ = 180°

Logo:β + α = α + ϒ

Cancelando α nos dois membros: β = ϒ

Portanto, dois ângulos opostos pelo vértice sempre possuem a mesma medida.

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• Ângulos adjacentes

Dois ângulos são adjacentes quando eles possuem o mesmo vértice e tem um lado comum.

Na figura ao lado, os ângulos BÔC e CÔA são ângulosconsecutivos.

Observe que eles têm em comum apenas o lado OC e não possuem ângulos internos comuns.

Dois ângulos são adjacentes quando são consecutivos e não possuem pontos internos comuns.

• Ângulos correspondentes

Dada duas retas paralelas interceptadas por uma transversal, obtemos oito ângulos. Veja.

Os pares de ângulos a e e; b e f; c e g; d e h sãochamados de ângulos correspondentes.

Sabemos que a e c são opostos pelo vértice, assimcomo e e g. Portanto a medida desses ângulos é amesma, ou seja,med(a) = med(c) e med (e) = med (g). Porém, como r//s,também podemos concluir que med (a) = med (e) emed (d) = med (g)

Dadas duas retas paralelas interceptadas por uma transversal, os ângulos correspondentes são congruentes.

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Se a reta transversal corta duas retas determinando ângulos correspondentes congruentes, então essas retas são paralelas.

a e e são ângulos b e f são ânguloscorrespondentes correspondentes

r//s <-> a congruente a e r//s <-> b congruente a f

Na figura abaixo , r//s. Vamos calcular os valores das medidas dos ângulos d e h, sabendo que, em graus, d = 2x + 50 e h = 4x – 30.

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Como r//s temos:

d = h (ângulos correspondentes)2x + 5 = 4x – 30

2x – 4x = -30 – 50-2x = -80

X = 40

Como a = 2x + 50, temos:

a = 2 (40) + 50a = 80 + 50

a = 130Como b = a, então b = 130.

• Ângulos alternos

Ângulos alternos são pares de ângulos não adjacentes que estão em lados opostos em relação à reta transversal.

- a e c estão em lados opostos em relação à retatransversal t e na região determinada entre as retas re s (região interna). Portanto, a e c são ângulosalternos internos.

- b e d estão em lados opostos em relação à retatransversal t e na região externa às retas r e s. Então,b e d são ângulos alternos externos.

Considere, agora, as retas r e s, paralelas, euma reta transversal t. Vamos determinar a relaçãoentre as medidas de dois ângulos alternos (internosou externos).

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(1) a é congruente a c (ângulos o.p.v.)(2) a é congruente a e (ângulos correspondentes)

De (1) e (2), obtemos que c é congruente a e (ângulos alternos internos congruentes)

Duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal determinam ângulos alternos congruentes (internos ou externos)

Usando essa propriedade, podemos resolver a seguinte questão:

Na figura abaixo, a = 3x – 50 e b = x + 14. Qual é a medida, em grau, dos ângulos a e b, sendo r//s?

Como r//s, a = b (alternos internos). Então:

3x – 50 = x + 143x – x = 14 + 50

2x = 64X = 32

Daí:

a = 3 (32) – 50 = 96 - 50 = 46Portanto, a = 46 e b = 46

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• Ângulos colaterais

Ângulos colaterais são pares de ângulos não adjacentes localizados no mesmo lado da reta transversal.

Os ângulos c e d estão no mesmo lado em relação transversal t e na região determinada entre as retas r e s (região interna). Então, c e d são ângulos colateraisinternos.

Os ângulos a e b estão no mesmo lado em relação à reta transversal t e na região externa às retas r e s. Então, a e b são ângulos colaterais externos.

Voltemos a considerar as retas r e s, paralelas, e uma reta transversal t. Vamosdeterminar a relação entre as medidas de dois ângulos colaterais (internos ou externos).

(1) Como d e a são ângulos adjacentes suplementares, temos d + a = 180.(2) Como a e e são ângulos correspondentes, então: a = e

De (1) e (2), obtemos: d + e = 180 (d e e são ângulos colaterais internos).

Duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal determinam ângulos colaterais (internos ou externos) suplementares.

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Usando essa propriedade, vamos considerar o seguinte problema:Na figura a seguir, temos r//s. Vamos calcular, em grau, as medidas dos ângulos a eb, sabendo que a = 2x e b = 3x – 20.

Como r//s, temos:

a + b = 180 (colaterais externos)2x + 3x – 20 = 180

5x = 180 + 205x = 200

x = 40

Como a = 2x, vem:A = 2 (40) = 80

Mas como a + b = 180, então:b = 180 – 80 = 100.

Portanto, a = 80 e b = 100

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CIRCUNFERÊNCIA

Agora, aprofundaremos o estudo da circunferência, já vista anteriormente e cuja construção da figura usando o compasso já foi aprendida.

Circunferência é a linha curva plana fechada dotada de pontos equidistantes de umponto fixo do plano.

Esse ponto fixo é denominado Centro da circunferência (A). A distância constante édeterminada pelo comprimento do raio (r) da circunferência.Além do raio, temos outros dois elementos notáveis na circunferência: a corda e o diâmetro.

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2

A corda é qualquer segmento que une dois pontos da circunferência.

O diâmetro é a corda que passa pelo centro da circunferência. Além do diâmetro ser a maior corda da circunferência, a medida do diâmetro é o dobro da medida do raio.

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• Posições relativas de uma reta a uma circunferência.

Agora vamos estudar as posições que uma reta pode ocupar em relação a uma circunferência.

• Reta secante

Dizemos que a reta f é secante à circunferência já que ela a intercepta em dois pontos distintos. Além disso, temos que a distância de A a f é menor do que a medida do raio da circunferência.

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• Reta tangente

Dizemos que a reta g é tangente à circunferência já que ela a intercepta em um único ponto, chamado de ponto de tangencia. Além disso, temos que a distância de A a g é igual a medida do raio da circunferência.

• Reta Externa

Dizemos que a reta h é externa quando não tem ponto em comum com a circunferência. Além disso, a distância de A a h é maior que a medida do raioda circunferência.

• Propriedades da Reta tangente

Vamos estudar agora duas propriedades das retas tangentes às circunferências.

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Propriedade número 1:

Qualquer reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio da circunferência no ponto de tangência. Observe a imagem abaixo:

A menor distância do centro A da circunferência a reta g é o segmento AB, perpendicular a reta g, como B pertence a circunferência AB é um raio da circunferência, logo, AB Ʇ g.

Propriedade número 2:

Dado um ponto P, exterior a uma circunferência, traçamos os segmentos PB e PC tangentes a circunferências nos pontos B e C. Então os segmentos PB e PC são congruentes. Observe a imagem abaixo:

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Como podemos ver, PB e PC são dois segmentos tangentes a circunferência, traçados de um ponto P, exterior a ela.

Considerando os triângulos retângulos ABP e ACP, podemos afirmar que são congruentes pois têm a hipotenusa (AP comum nos dois triângulos e um cateto congruente AB no triângulo ABP e AC no triângulo ACP)

Ou seja, se o triângulo ABP é congruente ao triângulo ACP, então a medida do segmento PB é congruente a medida do segmento PC.

• Arco de circunferência e ângulo central

Dois pontos distintos, A e B, estão assinalados na circunferência a seguir:

Os pontos dividem a circunferência em duas partes, e cada uma é chamada

arco de circunferência.

Neste caso, A e B representam as extremidades do arco. O arco menor é

indicado por AB.

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Para indicar o arco maior, tomamos mais um ponto nesse arco. Por exemplo,

o ponto C.

O arco maior, então, é representado por ACB.

Portanto, o arco menor é representado por AB e o arco maior, por ACB.

Se as extremidades do arco também são extremidades de um mesmo

diâmetro, cada um dos arcos pode ser chamado de semicircunferência.

Um ângulo que tem o vértice no centro de uma circunferência é denominado

ângulo central.

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Um ângulo central determina um arco na circunferência que pode ser medida

em grau.

Na figura a seguir, o ângulo central AÔB determina o arco AB na circunferência.

Além disso:

• A medida do arco menor AB é 45°, já que o ângulo central AÔB mede 45°;

• A medida do arco maior ACB é 315° (360° – 45°).

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Os ângulos centrais estudados aqui serão sempre medidos em grau, então

podemos afirmar que:

• A medida do ângulo central, em grau, cujos lados passam pela extremidade do

arco menor é igual a medida desse arco;

• A medida do arco maior, em grau, é igual a diferença do ângulo de uma volta

(360°) e a medida do arco menor.

• Ângulo inscrito

Todo ângulo que tem o vértice na circunferência e seus lados secantes a ela é

chamado ângulo inscrito.

Na circunferência a seguir, ABC é um ângulo inscrito e determina o arco AC.

Todo ângulo inscrito possui um ângulo central correspondente, que determina

o mesmo arco na circunferência que o ângulo inscrito.

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Na figura anterior, temos:

• ACB é um ângulo inscrito;

• AÔB é o ângulo central correspondente;

• O arco AB é determinado por ambos os ângulos.

A medida do ângulo inscrito é igual a metade da medida do ângulo central

correspondente.

Algumas demonstrações:

1° caso)

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Na figura anterior, x é a medida do ângulo inscrito e y é a medida do ângulo

central correspondente.

O triângulo OBV possui OB e OV congrutenes e VB é a base. Neste caso, os

ângulos da base medem x.

Como y é o ângulo externo do triângulo OBV, portanto:

y = x + x => y = 2x => x = y

2

2° caso) O centro O é interno ao ângulo inscrito.

Novamente, x é a medida do ângulo inscrito e y é a medida do ângulo central

correspondente.

Podemos traçar um diâmetro da circunferência pelo vértice V, dividindo assim

o ângulo inscrito em ângulos de medidas x1 e x2 (x1 + x2 = x) e o ângulo central

correspondente em ângulos de medidas y1 e y2 (y1 + y2 = y). De acordo com o 1°

caso:

• y1 = 2x1 (no triângulo AOV);

• y2 = 2x2 (no triângulo BOV).

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Realizando a adição membro a membro, temos:

y1 + y2 = 2x1 + 2x2 => y1 + y2 = 2(x1 + x2) => y = 2x => 2x = y => x = y

y x 2

3° caso) O centro O é externo ao ângulo inscrito.

Sendo x a medida do ângulo inscrito e y a medida do ângulo central

correspondente, é possível demonstrar pela figura que x = y.

2

O ângulo central possui a mesma medida do arco determinado por ele na

circunferência. Portanto, há uma relação entre a medida do ângulo inscrito e a

medida do arco correspondente.

A medida do ângulo inscrito é igual a metade da medida do arco determinado por

ele na circunferência.

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Observe a figura a seguir:

• x é a medida do ângulo inscrito ABC;

• O ângulo inscrito ABC determina o arco AC.

x = medida do arco AC

2

Vejamos as seguintes situações:

1) Qual é a medida x do ângulo inscrito AVB da figura a seguir?

20

O arco AB mede 40°. Portanto:

x = medida do arco AB = 40° = 20°

2 2

2) Qual é a medida x do arco AB, associado ao ângulo inscrito ACB na figura a

seguir?

O ângulo ACB mede 63°. Portanto:

63° = x => x = 2 * 63° => x = 126°

2

21

3) Qual é a medida de x na figura a seguir?

Neste caso, x é a medida do ângulo inscrito BÂC, e o ângulo central BÔC,

correspondente ao ângulo inscrito BÂC, mede 135°. Portanto:

x = 135° = 67° 30’

2

4) Qual é o valor de x na figura a seguir?

O ângulo AÔB é o ângulo central correspondente ao ângulo inscrito ACB.

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Portanto:

5x = 3x + 42° => 10x = 3x + 42° => 10x = 3x + 42° => 10x - 3x = 42°

2 2 2

7x = 42° => x = 42° => x = 6°

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• Ângulos cujos vértices não pertencem à circunferência

Veremos alguns casos de ângulos cujos vértices não pertencem à circunferência

e não são ângulos centrais.

1° caso) O vértice é um ponto interno à circunferência, distinto do centro.

Neste caso, x é a medida de um ângulo externo ao triângulo APD. Portanto,

x = a + b.

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Perceba que:

a = med(AB) e b = med(CD)

2 2

Neste caso:

x = med(AB) + med(CD)

2 2

2° caso) O vértice é um ponto externo a circunferência.

Neste caso, a é a medida de um ângulo externo ao triângulo APC. Portanto:

a = x + b => x = a - b

Porém:

a = med(CD) e b = med(AB)

2 2

Portanto:

x = med(CD) - med(AB)

2 2

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Vejamos as seguintes situações:

1) Qual é a medida de x na figura a seguir, dados med(AB) = 60° e med(CD) =

30°?

x = med(AB) + med(CD) => x = 60° + 30° => x = 45°

2 2 2 2

2) Qual é a medida de x na figura a seguir, dados med(AB) = 130° e med(CD) =

30°?

x = med(AB) - med(CD) => x = 130° - 50° => x = 40°

2 2 2 2

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1. Dois ângulos correspondentes, determinados por duas retas paralelas, interceptadas por uma transversal, medem

2x + 40° e -3x+90°.

a) Determine o valor de x.b) Determine a medida de cada um dos ângulos dados.

2. Dois ângulos opostos pelo vértice medem 3x – 75° e x + 15°. Determine o valor de x.

3. Determine a medida de x.

4.Dadas as retas paralelas cortadas por uma transversal a seguir, calcule os valores dos ângulos ae b.

a) a = 60° e b = 120°

b) b = 60° e a = 120°

c) a = 60° e b = 60°

d) a = 120° e b = 120°

e) a = 90° e b = 90°

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ATIVIDADES

5. Dois ângulos opostos pelo vértice medem 3x + 10 e x + 50. Um deles mede:

a) 20b) 70c) 30d) 80e) 50

6. Se r//s, então o valor de x, na figura ao lado, é:

a) 52b) 68c) 72d) 58

7. Junte-se a um colega e resolvam a situação a seguir:Na figura, as retas r e s são paralelas.

Sabendo que a = 2x + 5, d = 9x – 10, f = 3x + 10, determinem:

a) x;b) a e b;c) a + b + c.Agora, respondam:d) Como vocês classificariam os ângulos BAC, ABC e ACB quanto às suas medidas?e) De acordo com a soma de suas medidas, como são chamados os ângulos BAC e ABC?

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8. Uma reta t é uma secantte a uma circunferência de centro e 10cm de raio. Indicando por d a dustância do ponto O à reta r, qual o maior valor inteiro que d pode assumir?

9. Observe a figura:

Determine:

a) A medida de x.

b) A medida do segmento PA.

c) A medida do segmento PB.

d) O perímetro do quadrilátelo PAOB, se o comprimento do raio é 7cm.

10. Na figura, a reta r é tangente à circunferência. Determine, em grau, as medidas de x e y.

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11. A medida do arco BC é 90°. Determine as medidas de x e y indicadas na figura.

12. Considerando a figura abaixo, calcule o valor da expressão x – y.

13. Determine as medidas a, b e c indicadas na figura, sabendo que a medida do arco AB é 90° e

a medida do arco CD é 65°.

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