Volume de Sólidos

Principio de Cavalieri

Volume

Entenderemos por sólido qualquer um dos seguintes subconjuntos do espaço: cilindro, cone, esfera, poliedro (que iremos definir no próximo capítulo) ou qualquer superfície fechada, simples (isto é, sem auto-interseção), mais a região delimitada por ela.Vale salientarmos que a idéia de sólido que acabamos de dar é um conceito primitivo, ou seja, sem definição, uma vez que não demos a definição de superfície fechada simples e nem tampouco a definição da região delimitada por ela. Enfim, temos somente uma idéia

(Congruência de sólidos) Diremos queum sólido S é congruente a um sólido S0 e escrevemos S ≡ S0 se existe umafunção bijetiva f : S → S0 tal que

d(A,B) ≡d(f(A),f(B)),para quaiquer que sejam os pontosdistintos A,B ∈ S.

Axiomas da função volume

Para todo sólido S está associado um numero real positivo V(S).Se S e P são sólidos congruentes, então

V(S)= V(P).Se S e P são sólidos que se cortamapenas em pontos da superfície de cadaum, então:

V(SUP)=V(S)+ V(P).

O volume de um paralepípedo P de dimensões a, b e c é

V(P)=abc

PRINCÍPIO DE CAVALIERI

“Sejam S e S0 sólidos. Se todo planohorizontal intercepta S e S0 segundofiguras com mesma área, então S e S0têm mesmo volume.”

Volume de um Cilindro

Proposição: O volume de um cilindro é igual aoproduto da área da base pela altura.

Prova. Seja C um cilindro entre os planos α e β de base F e altura h, suponha que F ⊂ α. Considere um paralelepípedo P, retangular, cuja base R está contida em α e tem a mesmaárea de F, cuja altura seja h e esteja no mesmo semi-espaço (determinado por α) emque se encontra C.

Considere um plano π paralelo a α e β, entre α e β. Pelo que provamos, π ∩ C ≡ F e π ∩ P ≡ R. Como F e R têm mesma área, segue-se as seções π ∩ C e π ∩ P têm mesma área.

Pelo princípio de Cavalieri, o cilindro e o paralelepípedo têm mesmo volume. Como o volume de P é o produto da área de R por h, decorre que o volume de C é o produto daárea de R por h e, como R e F têm mesmaárea, segue-se que o volume de C é o produtoda área de F por h.

Volume de cones

Proposiçao: Dois cones têm mesmovolume se têm mesma altura e suasbases têm mesma área.

Prova. Coloquemos as bases dos dois cones num mesmo plano, digamos, α, e seusvértices num mesmo semi-espaçodeterminado por α. Sejam: C e C’ os cones, F e F’ as respectivas bases, V e V’ osrespectivos vértices e h a altura comum.

Para demonstrar que C e C’ têm o mesmovolume utilizaremos o princípio de Cavalieri. Seja π um plano paralelo a α, entre V (ou V’) e α e h’ = d(V, π). Basta mostrarmos que π ∩ C e π ∩ C’ têm mesma área.

Temos que F ~ π ∩C com razão de semelhançaigual a h/h’ e F’~ π ∩C’ com razão de semelhança também igual a h/h’ . Como a razão entre as áreas de duas figurassemelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança, segue-se que

A (F)/A (π ∩ C)=(h/h’)2=A (F’) /A (π ∩ C’)

Já que A(F) = A(F’), decorre queA(π ∩ C ) = A(π ∩ C’) .

Proposição: O volume de um cone é igual a um terço da área da base pelaaltura.

Inicialmente, demonstraremos o resultado para o caso do cone ser um tetraedro.Consideremos então um tetraedro T de base um triângulo ABC, de vértice D e altura h.

Sejam α o plano que contém ABC, β o plano paralelo a α passando por D e B’ e C’ os respectivos pontos de interseçãodas retas paralelas a l(A,D) passandopor B e C com α.Considere o prisma P entre α e β cujareta de inclinação é l(A,D) e cuja base em α é ∆ABC. A base de P em β é ∆DB’C’.

Observe que P pode ser decomposto comounião dos seguintes três tetraedros: T , o tetraedro T’ de vértices em B, C, D e B’ e o tetraedro T” de vértices em B’, C’, D e C.

Vamos mostrar que esses três tetraedros têmmesmo volume. Com efeito, tomando ∆ABD como base de T, ∆B’DB como base de T’ e C como vértice comum a T e T’, então T e T’ têmbases congruentes e mesma altura, logo, têmmesmo volume.

Pela mesma razão, T’ e T” têm mesmovolume se considerarmos ∆BB’C como base de T’, ∆C’CB’ como base de T” e D comovértice comum a T’ e T”.

Já que T , T’ e T” têm mesmo volume e P é decomposto como união destestetraedros,segue-se que

V(T) = (1/3)V(P) = (1/3 )A(∆ABC) · h.Por conseguinte, o teorema vale para

tetraedros.

Para demonstrarmos que o resultado é válido para um cone C qualquer é sóconsiderarmos um tetraedro com mesmaaltura de C e cuja base tenha a mesmaárea da base de C. O resultado decorredo resultado anterior.

COROLÁRIO 1: O volume de um cone circular é igual a 1 /3 πr2h, em que r é o raioda base e h é a altura do cone.COROLÁRIO 2: O volume de uma pirâmide, cuja base é um polígono regular, é igual a 1 /3pah, em que p e a são, respectivamente, o semi-perímetro e a medida do apótema dabase e h é a altura da pirâmide.Prova. O resultado segue-se pelo fato da áreade um polígono regular ser igual ao produtode seu semi-perímetro pelo seu apótema.

Apótema (ou o apotegma) de um polígonoregular é a designação dada ao segmento de reta que partindo do centro geométrico dafigura é perpendicular a um dos seus lados. Dado que a distância mínima do centro a um dos lados é medida ao longo da apótema, esta designação é por vezes usada, emboraincorretamente, para designar essa distância.

Proposição: O volume de uma esfera de raio r é igual a 4/3 πr3.

Prova. Sejam O o centro da esfera, t uma retapassando em O, e, P e Q pontos distintos em t taisque O é ponto médio de PQ e OP = r = OQ. Sejam α e β os planos perpendiculares a t passando, respectivamente, por P e Q. Assim, α e β sãoparalelos e são tangentes à esfera, respectivamente, em P e Q. Seja C um cilindro circular entre α e β tendo como reta de inclinação t (portanto, reto) cujosraios das bases são iguais a r.

Seja V o ponto médio do segmento de reta que une oscentros das bases de C. Considere os cones com o vértice comum V e cujas respectivas bases são as bases de C.

Utilizaremos o princípio de Cavalieri paramostrar que o volume da esfera é igual aovolume do sólido S formado pelos pontos de C não interiores à reunião dos dois cones. Sejaγ um plano qualquer paralelo a α e β, entre α e β. Mostraremos que o disco de interseçãode γ com a esfera tem a mesma área de γ ∩ S (que é uma coroa circular). Seja h a distânciaentre α e γ.

Faremos a demonstração supondo h < r. O raciocínio que iremos empregartambém se aplica ao caso de r ≤ h, o qual omitiremos. Seja y o raio do disco de interseção de γ com a esfera. Usandoo Teorema de Pitágoras, podemosconcluir que

y2 = 2rh − h2,por conseguinte, a área do disco é igual a

π (2rh − h2) .

Vamos agora calcular a área de γ ∩ S. Seja x o raio do círculo menor da coroa. Usando semelhança, chegaremos àrelação

x /r = r−h/r, donde, x = r − h. Sendo r o raio do círculo

maior da coroa, então sua área é igual a πr2 −π (r − h)2 = π (2rh − h2).

Logo, o disco de interseção de γ com a esfera tem a mesma área de γ ∩ S. Assim, o volume da esfera é igual aovolume de S que, por sua vez, é igual a V(C) menos o volume dos dois cones, ou seja, (πr2 )·( 2r) − 2 · 1 /3 πr2 · r = 4/ 3 πr3.