Volume e Área da Superfície Esférica
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O Volume e a Área da Superfície de uma
Esfera
Todo mundo sabe que decorar fórmulas é chato.
Isso ocorre, em especial se não entendemos o relacionamento entre
uma fórmula e outra.
Deduzindo Fórmulas
Como podemos compreender o relacionamento entre diversas fórmulas?
Estudando se existe alguma ligação entre elas.
Deduzindo Fórmulas
Conhece a fórmula do volume da esfera?
Vamos ver um Exemplo?
A partir dessa fórmula podemos deduzir a fórmula da
área da superfície esférica.
Como fazemos isto??
Vamos ver um Exemplo?
Imagine duas esferas. Uma de raio r e outra de raio r +d. Comparando as duas vemos que a
segunda é um pouquinho maior do que a primeira.
Encontrando a Fórmula
Coloquemos a menor (de raio r), dentro da maior (de raio r + d), de forma que os centros coincidam. Entre as
duas esferas teremos uma pequena região, semelhante a obtida quando tiramos toda a parte interna de um melão.
Encontrando a Fórmula
O volume da região entre as duas esferas é como se fosse a “casca”
de nosso melão.
Esse volume é a diferença entre o volume das duas esferas.
Volume da “Casca do Melão”
Quanto mais fina for esta “casca” mais os raios das duas esferas se aproximam.
Isto é, a diferença entre os raios das esferas se aproxima de zero.
Volume da “Casca do Melão”
A razão entre estes dois valores aproxima-se da área da superfície
esférica quando diminuímos a diferença entre os raios das esferas,
ou seja,
A razão entre os valores
Diferença entre o volume das duas esferasDiferença entre os raios das duas esferas
se aproxima da
Área da superfície esférica
quando a diferença entre os raios das duas esferas diminui.
A razão entre os valores
A razão entre os dois valores
Portanto, a razão entre a diferença do volume das duas esferas e a
diferença entre seus raios (nosso d) aproxima-se da área da superfície
da esfera menor quando a diferença entre os raios das duas
esferas diminui.
Cálculo da Razão
Para encontrar a área da superfície esférica basta, então, calcular esta
razão e ver de onde ela se aproxima quando diminuímos a
diferença entre os raios das duas esferas.
O volume da esfera maior (a de raio r + d) é dado por
Volume da Esfera Maior
O volume da esfera menor (de raio r) é dado por
Volume da Esfera Menor
Subtraindo os dois volumes obtemos a diferença entre eles, isto é,
Diferença entre os volumes
Subtraindo os dois raios obtemos a diferença entre eles, isto é,
r + d – r = d
Diferença entre os raios
Para encontrar a razão basta dividir a diferença entre os volumes pela
diferença entre os raios, isto é, por d.
A Razão entre as diferenças
Observe o lado direito desta última fórmula
Diminuindo a diferença entre os raios (d)
Vamos agora diminuir a diferença entre os raios das duas esferas aproximando cada vez mais o raio
r + d do raio r, isto é, vamos diminuir d. Isso fará com que 3rd e d2 fiquem cada vez menor.
Diminuindo a diferença entre os raios (d)
Quanto mais 3rd e d2 se aproximam de zero mais diminui a espessura de nossa “casca de melão”. Numa situação limite, quando tomamos estes valores como iguais a zero não temos
mais espessura nenhuma e as duas esferas se tornam uma única esfera de raio r.
E nossa razão pode ser usada para calcular a
área da superfície esférica.
Área da Superfície Esférica
Então para calcular esta área basta substituir 3rd e d2 em nossa fórmula por zero:
Área da Superfície Esférica
Portanto:
é a fórmula da área da superfície esférica
Área da Superfície Esférica
Talvez alguém diga:
“Ora, é mais fácil decorar a fórmula”
Realmente, mas aprendemos mais se conseguimos entender de onde ela veio.
Achou difícil? Assista novamente.
Área da Superfície Esférica
FIM
Obrigado pela atenção