Lgica, axiomas, pontos, retas e planos, volumes e reas de slidos 1

1. Na figura est representado um tetraedro regular (slido geomtrico com 4 faces, que so todas tringulos equilteros). A, B, C e D so os vrtices do tetraedro. Indica todos os pares de retas no complanares definidas pelos vrtices do tetraedro.

2. Determina a rea da superfcie de uma esfera com 10 cm de dimetro. Apresenta o resultado aproximado s dcimas, por defeito.

3. Determina o volume de cada uma das seguintes pirmides.

4. Um cone tem 21 cm de altura e a sua base tem 10 cm de dimetro. Determina: a) o comprimento da geratriz do cone; b) o volume do cone.

5. Observa a seguinte planificao.

a) Que slido se pode obter atravs desta planificao?

b) Calcula a rea da superfcie do slido.

6. O Museu do Louvre, situado no centro de Paris, um dos maiores e mais famosos museus do mundo. No seu ptio central encontra-se uma pirmide quadrangular que funciona como principal porta de acesso ao museu. A pirmide atinge uma altura aproximada de 22m e tem uma base quadrada com cerca de 34m de lado. Determina: a) O volume da pirmide; b) A rea lateral da pirmide.

7. Na figura est representado um slido composto por

um paraleleppedo e por um prisma triangular. a) Indica a posio relativa:

i. Das retas AC e EG; ii. Da reta FG e do plano IHA; iii. Dos planos DCB e IKJ; iv. Das retas CB e DK.

b) Justifica as seguintes afirmaes. i. A reta FB perpendicular ao plano ADC. ii. O plano ABC paralelo ao plano EFG.

Lgica, axiomas, pontos, retas e planos, volumes e reas de slidos 2

c) Sabendo que AC = 5cm, BC = 3cm, CG = 2cm e AI = 5cm, determina o volume do slido.

8. Na figura est representado o plano e a pirmide [ABCDE], cuja base est contida no plano .

a) Utilizando as letras da figura, indica: i. Dois planos coincidentes; ii. Duas retas no complanares; iii. Duas retas concorrentes; iv. Uma reta secante ao plano ; v. Trs pontos colineares.

b) Seja r uma reta perpendicular ao plano em A. Indica a posio relativa das retas r e AD.

c) Quantos so os planos que, contendo o ponto E, so paralelos a ? Justifica.

9. O cone e o cilindro da figura tm a mesma base e a mesma altura. Suponhamos que o cilindro est cheio de gua e o cone est vazio e que vertemos a gua do cilindro para o cone, de modo a que este fique cheio. Neste caso, qual a razo entre o volume de gua no cone e o volume de gua no cilindro?

10. Observa a figura. a) Justifica que a reta l perpendicular

ao plano definido pelas retas AC e BC. b) A reta l e o ponto C definem um

plano? Justifica. c) Qual das seguintes afirmaes

verdadeira? i. A reta l no perpendicular a

nenhuma reta do plano definido pelas retas AB e AC, com exceo das prprias retas AB e AC.

ii. A reta l perpendicular a qualquer reta que passe por C. iii. A reta l perpendicular a qualquer reta do plano definido

pelas retas AB e AC. iv. A reta l perpendicular a qualquer reta do plano definido

pelas retas AB e AC, que passe em C.

11. As proposies seguintes so todas falsas. Para cada uma, encontra um exemplo que o prove.

a) Trs retas paralelas so sempre complanares. b) Duas retas perpendiculares a uma reta so paralelas entre si. c) Se uma reta perpendicular a uma reta de um plano, ento

perpendicular a todas as retas desse plano d) Duas retas que no se intersetam so sempre complanares.

Lgica, axiomas, pontos, retas e planos, volumes e reas de slidos 3

12. A famlia Coelho vai mandar fazer floreiras em cimento. A figura um esquema dessas floreiras: a regio mais clara a parte de cimento, e a mais escura a cavidade que vai ficar com terra. O modelo geomtrico das floreiras tem a forma de um cubo com 50cm de aresta. A cavidade que vai ficar com a terra tem a forma de um prisma quadrangular reto, com a mesma altura da floreira e 40 cm de aresta da base.

a) Determina em cm3, o volume da parte de cimento da floreira. Apresenta os clculos que efetuares.

b) Utilizando as letras da figura indica: i. Duas retas concorrentes; ii. A projeo ortogonal da reta JK no plano ADC; iii. O conjunto de pontos do espao que determinam com E

uma reta perpendicular reta EM; iv. O conjunto de pontos do espao equidistantes de J e de L.

c) Indica: i. A distncia do ponto N ao plano ADC; ii. A distncia do plano IJK ao plano EFG.

d) Utilizando as letras da figura, identifica, justificando, uma reta perpendicular ao plano que contm a base da floreira.

13. Na figura podes ver um cubo e uma pirmide quadrangular regular. A base da pirmide coincide com a base [ABCD] do cubo. O vrtice P da pirmide pertence face [EFGH] do cubo.

a) Utilizando as letras da figura indica uma reta que seja complanar com a reta AC e perpendicular a esta reta.

b) Indica, justificando, a posio relativa dos planos BCG e ADH.

c) Sabe-se que a pirmide da figura tem 9 cm3 de volume. i. Qual o comprimento da aresta do cubo? ii. Qual o comprimento da diagonal espacial do cubo? iii. Determina a rea lateral da pirmide. iv. Determina o volume do cubo no ocupado pela pirmide.

14. Um cilindro est inscrito num cubo com 8 dm3 de volume.

Determina: a) o comprimento da aresta do cubo; b) a rea total do cilindro; c) o volume do cilindro.

15. Prova que a soma de um nmero par com um nmero

mpar sempre um nmero mpar.

Lgica, axiomas, pontos, retas e planos, volumes e reas de slidos 4

16. A figura representa um cubo e uma pirmide com vrtice no centro do cubo. Sabe-se que o cubo mede 64cm3 de volume.

a) Mostra que a aresta do cubo mede 4cm e determina o volume da pirmide.

b) Determina o volume do cubo no ocupado pela pirmide.

c) Determina o valor do comprimento da diagonal facial e da diagonal espacial do cubo.

d) Determina a rea total da pirmide. e) Utilizando as letras da figura, indica:

i. Dois planos concorrentes; ii. Dois planos perpendiculares; iii. Duas retas contidas no mesmo plano.

f) Considera o plano que contm a face [FVG] da pirmide e indica: i. Uma reta contida no plano; ii. Uma reta estritamente paralela ao plano; iii. Um plano que lhe seja perpendicular.

g) Indica, justificando, a posio relativa das retas AB e VF.

17. Calcula a rea lateral e a rea da superfcie de: a) Um prisma triangular regular cuja aresta lateral mede 41m e cuja

aresta da base mede 18m; b) Uma pirmide quadrangular com 4m de altura e cuja base tem

64m2 de rea.

18. Observa o cilindro. Sabendo que a rea da superfcie do cilindro excede em 50mm2 a sua rea lateral, determina:

a) o raio da base do cilindro; b) a rea lateral do cilindro.

19. Na figura esto representados dois planos paralelos e .

Sabe-se que: a) [ABCD] uma das faces laterais de um prisma

quadrangular; b) AB = 3cm; c) AD = 5cm; d) A reta BD perpendicular ao plano . a. Prova que a reta BD tambm perpendicular ao

plano . b. Utilizando as letras da figura, indica:

i. uma reta secante ao plano . ii. uma reta paralela ao plano . iii. a projeoo ortogonal do ponto B no plano . iv. duas retas concorrentes oblquas;

Lgica, axiomas, pontos, retas e planos, volumes e reas de slidos 5

v. o conjunto de pontos do espao que determinam com C uma reta perpendicular reta AC.

c. Justifica que os ngulos DAB e ADC so iguais; d. Indica a distncia entre os planos e . e. Seja s uma reta paralela reta AB. Justifica que s paralela reta

CD. f. Determina a rea da superfcie do prisma quadrangular do qual

[ABCD] uma face. g. Determina o volume do prisma quadrangular do qual [ABCD]

uma face. h. Seja v uma reta contida no plano , que passa em C. Indica a

posio relativa das retas v e AC.

20. Na figura est representado a planificao de um cone. Determina:

a) a amplitude do ngulo ; b) a rea da superfcie do cone; c) o volume do cone.