1

L-VaR Análise de Risco (13)

R.Vicente mpmmf

2

Resumo

Impacto sobre o MercadoModelo em Tempo DiscretoEstratégia Ótima de ExecuçãoL-VaR Modelo em Tempo ContínuoBibliografia

3

Impacto sobre o Mercado

0S

TS

TSPreço após

negócio

Preço de venda

Impacto Temporário

Impacto

Permanente

4

Modelo em Tempo DiscretoAlmgren e Chriss (1999)

0 1

1

0, ,...,, 0,...,

N

k k k

t t t Tt t t k k Nτ τ+

= =− = ⇒ = =

Venda de grande quantidade X de um determinado ativo em N etapas :

T Nτ=

Holding Period

A quantidade do ativo em carteira em cada instante é :

0 1

1

, ,..., 0N

kk k k k

x X x xnn x x vτ−

= =

= − = Quantidade vendida por intervalo de tempo em k

5

Modelo em Tempo DiscretoAlmgren e Chriss (1999)

0 1

1

, ,..., 0N

kk k k k

x X x xnn x x vτ−

= =

= − =

Cronograma de Execução

X

1x

2x

3x4x

0 T

3n

τ

6

Modelo em Tempo DiscretoAlmgren e Chriss (1999)

1kS −

kS

kS

Movimento Browniano Aritmético

1k k k kS S nσ τε μτ γ−− = + −

DRIFTVOLATILIDADE

IMPACTO PERMANENTE

SOBRE O MERCADO

QUANTIDADE VENDIDA

k k kS S vε η− = + QUANTIDADE VENDIDA POR

UNIDADE DE TEMPO

IMPACTO TEMPORÁRIO

Preço de Venda

BID-ASK SPREAD

7

Bid-Ask SpreadBangia, Diebold, Schuermann e Stroughair(1999)

COMPRA

VENDA

PREÇO

ILIQUIDEZ ENDÓGENA

TAMANHO DA POSIÇÃO

SPREAD

8

Preço de VendaAlmgren e Chriss (1999)

( )

1

01

k k k k k

k

j k k kj

S S n v

S t X x v

σ τε μτ γ ε η

σ τε μ γ ε η

−

=

= + + − − −

= + + − − − −∑

PREÇO DE VENDA k

IMPACTO

PERMANENTERANDOM WALK até k

IMPACTO TEMPORÁRIO

9

Valor Total da VendaAlmgren e Chriss (1999)

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )

1

1 0 1 11 1 1 1

1 1 11 1 1

20

1 1 1 1

N

k kk

N N k N

k k k k j k k kk k j k

N N N

k k k k k k k kk k k

N N N N

k k k k k kk k k k

S n S

x x S x x x x t

x x X x x x x x v

XS x x n X x X v

σ τ ε μ

γ ε η

σ τ ε μτ γ ε ητ

=

− − −= = = =

− − −= = =

= = = =

=

= − + − + −

− − − − − − −

= + + − − − −

∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

10

Custo da TransaçãoAlmgren e Chriss (1999)

2 20

1 1 1

1 12 2

N N N

k k k kk k k

S XS x x X X vσ τ ε μτ γ ε η γτ τ= = =

⎛ ⎞⎟⎜= + + − − − + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∑ ∑ ∑

O custo (estocástico) final da transação é:

0

2 2

1 1 1

1 12 2

N N N

k k k kk k k

C XS XS

x x X X vσ τ ε μτ γ ε η γτ τ= = =

= −⎛ ⎞⎟⎜=− − + + + + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∑ ∑ ∑

VARIÁVEL ESTOCÁSTICA

11

Custo da TransaçãoAlmgren e Chriss (1999)

2 2

1 1 1

1 12 2

N N N

k k k kk k k

C x x X X vσ τ ε μτ γ ε η γτ τ= = =

⎛ ⎞⎟⎜=− − + + + + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∑ ∑ ∑

2 2

1 1

1 1[ ]2 2

N N

k kk k

E C C x X X vμτ γ ε η γτ τ= =

⎛ ⎞⎟⎜= =− + + + + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∑ ∑

22 2 2

1

[ ]N

kk

V C C C xσ τ=

= − = ∑

12

Estratégia Ótima de ExecuçãoAlmgren e Chriss (1999)

2 2

1 1

1 1[ ]2 2

N N

k kk k

E C C x X X vμτ γ ε η γτ τ= =

⎛ ⎞⎟⎜= =− + + + + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∑ ∑

22 2 2

1

[ ]N

kk

V C C C xσ τ=

= − = ∑

[ ] [ ]L E C r V Cα= +

Estratégia ótima minimiza o custo de Liquidação da Posição:

Custo Médio Custo de oportunidade do capital alocado

13

Estratégia Ótima de ExecuçãoAlmgren e Chriss (1999)

221 1[ ] ( 1)

2 2 2XE C X N X XN

η γμτ γ ετ

⎛ ⎞⎟⎜=− − + + + + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

2 21 1 1[ ] 1 13 2

V C X NN N

σ τ⎛ ⎞⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= − −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠

Assumindo vendas à velocidade constante:

1k kX X kv x XT N Nτ

⎛ ⎞⎟⎜= = = − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

14

Estratégia Ótima de ExecuçãoAlmgren e Chriss (1999)

22 2 21 1 1 11 1

2 2 3 2XL X X r X NN N N

η γγ ε α σ ττ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜=− + + + + − −⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Assumindo que o drift é nulo a equação para o custo de liquidação é :

A condição para o mínimo custo é:

( )

2 22 2

2

1 1 112 3 2 0

2 11 12

r XL X NN N

NN

α σ τη γτ

⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜⎛ ⎞∂ ⎝ ⎠⎟⎜=− + + =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∂ ⎛ ⎞⎟⎜− − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

15

L-VaR

*[ ]L VaR V Cα− =

Estratégia Ótima de Execução

16

Modelo em Tempo Contínuo

( )01

k

k j k k kj

S S t X x vσ τε μ γ ε η=

= + + − − − −∑0, Nτ → → ∞

0

( ) (0) ( ) ( ) ( )t

S t S z t t ds v s v tσ μ γ η= + + − −∫

PROCESSO DE WIENER

17

Modelo em Tempo Contínuo0, Nτ → → ∞

2 2 2 2

0 0

1 1( ) (0) ( )2 2

T T

v dt S t XS v dt z t vT vT v T v Tσ μ ε η γ= + + − − −∫ ∫

2 20

1 1 1

1 12 2

N N N

k k k kk k k

S XS x x X X vσ τ ε μτ γ ε η γτ τ= = =

⎛ ⎞⎟⎜= + + − − − + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∑ ∑ ∑

18

Custo da Transação

0

2 2 2 2

0

(0) ( )

1 1( )2 2

T

T

C XS v dt S t

v dt z t vT vT v T v Tσ μ ε η γ

= −

=− − + + +

∫

∫

221 1[ ]

2 2XE C XT X XT

ημ ε γ=− + + +

2 2 2 2

0

1[ ] ( )3

T

V C v V dt z t T Xσ σ⎡ ⎤⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∫

19

Estratégia Ótima de Execução

221 1 1

2 2 3XL XT X X T XT

ημ ε γ σ=− + + + +

Assumindo que o drift é nulo a equação para o custo de liquidação é :

A condição para o mínimo custo é:

2

2

1 1 02 2 3

L X rX XT T T

η αμ σ∂ =− − + =∂

Considerando DRIFT nulo:23

* 2 3 XTrη

ασ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

20

Holding Period Ótimo e L-VaR

23

* 2 3 XTrη

ασ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

HOLDING PERIOD

POSIÇÃO

Custo de oportunidade

Nível de Confiança

Volatilidade

Impacto temporário

Posição

12 2 4 3

* 2 21 23 3

XL VaR T Xr

ησ αα σ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟− = = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

21

Exemplos Numericos

22

Bibliografia

•Hisata Y. e Yamai Y., Research Towards the Practical Apllication of Liquididy Risk Evaluation Methods, Monetary and Economic Studies , Dec/2000

Leituras ComplementaresShamroukh, N., Modeling Liquidity Risk in VaR Models, Algorithmcs UK, 2000

Bouchaud J.-P. et al., Fluctuations and response in financial markets: the subtle nature of ‘random’ price changes, Quantitative Finance, 4 (2004) 176-190.