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FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS

Apresentação

Prezado (a) aluno (a),

Observamos no nosso dia a dia que as tecnologias aplicadas à área de

ciências exatas, como informática, engenharia etc surgem com muita rapidez,

tanto que os usuários dessas tecnologias têm que está constantemente se

atualizando em virtude desse grande desenvolvimento. Portanto, o estudante,

pertencente a essa área, tem que procurar informações de todos os tipos,

principalmente as que servem para o caminho de sua formação universitária.

A disciplina Cálculo-II, que faz parte da grade curricular dos cursos que

abrangem as áreas de Ciências Exatas, objetiva mostrar ao alunado a

importância do aprendizado do cálculo, que leva o estudante para a elaboração

dos modelos que possa explicar com certa precisão os fenômenos que

ocorrem nesses referidos cursos (Informática, Engenharia etc).

O conteúdo da disciplina Cálculo-II visa os estudos das funções de duas

ou mais variáveis; limite e continuidade de uma função de duas variáveis; estudo de

derivadas parciais e suas aplicações; integrais múltiplas e suas aplicações. Esse

conteúdo será desenvolvido totalmente em sala de aula, contudo, para facilitar

o aprendizado, disponibilizamos outros meios de comunicação que serão

ensinados a você.

Finalmente pretendemos que este trabalho venha contribuir para seu

aprendizado e, consequentemente, para sua formação acadêmica.

Saudações educacionais,

Anicio Bechara Arero

Introdução

2

Estudamos anteriormente funções de uma única variável independente; entretanto, surgem no nosso cotidiano problemas que envolvem duas ou mais variáveis independentes, como por exemplo:

1- Um corretor de imóvel vende certa quantidade (x) de casa popular na capital por R$ 80.000,00 a unidade e outra quantidade (y), do mesmo tipo de casa, por R$ 65.000,00 a unidade nas cidades interioranas, a receita total obtida pelo corretor com as vendas das casas é dada por Rt = 80.000x + 65.000y.

0bserve que a receita total depende de duas variáveis independentes x e y.

2- Um engenheiro está construído uma piscina com x metros de comprimento, y metros de largura e z metros de altura. Para encontrar volume V e a área S deve utilizar as seguintes regras: V = x.y.z e S = x.y + 2x.z + 2y.z.

0bserve que tanto o volume, como a área dependem de três variáveis independentes x, y e z.

Esses são exemplos onde uma grandeza de interesse depende dos valores de duas ou mais variáveis independentes.

Após esses modelos, vamos estudar os métodos do cálculo de funções com duas ou mais variáveis independentes.

Função de Duas Variáveis: seja D um subconjunto (região) do espaço R2 (plano). Chama-se função f de D toda relação que associa, a cada par (x,y) Î D, um único número real, representado por f(x,y). O conjunto D é o domínio da função.Assim,

D é o domínio da função em R2, f é a função e f(x,y) é o valor da função calculado em (x,y).

3

Exemplos de função de 2 variáveis:

a) f(x, y) = x2 + 2y b) z = (3x + y3)1/2 c) z = 4xy – 2xy3 + 4x – 2y

Cálculo da variável dependente.

Vamos calcular o valor da variável dependente conhecendo os valores das variáveis independentes através do seguinte exemplo:

- Dadas as funções f(x, y) = x2 + 2y + 3, g(x,y) = (3x + y3)1/2 e h(x, y) = 4xy – 2x2

– 4, determine:

a) f(2, 3) b) g(4, 2) c) h(-2, 3) d) f(√a, a)

Solução:

a) f(x, y) = x2 + 2y + 3

f(2, 3) = 22 + 2.3 + 3 = 13

b) g(x,y) = (3x + y3)1/2

g(4, 2) = (3.4 - 23)1/2 = 41/2 = 2

c) h(x, y) = 4xy – 2x2 – 4

h(-2, 3) = 4.(-2).3 – 2.(-2)2 – 4 = -36

d) f(x, y) = x2 + 2y + 3

f(√a, a) = (√a)2 + 2a + 3 = 3a + 3 = 3(a + 1)

4) Um determinado empresário vende certa quantidade (x) de um produto na capital por R$ 30,00 a unidade e outra quantidade (y), do mesmo produto, por R$ 25,00 a unidade nas cidades interioranas. Determine:

a) A função receita;

b) A receita do empresário quando a quantidade vendida na capital alcançar 175 unidades e nas cidades interioranas 240 unidades.

Solução:

a) Para calcular a receita total devemos multiplicar o preço do produto pela quantidade vendida. Logo:

4

Rt = P x Q (Rt receita total, P preço e Q quantidade)

R(x,y) = 30x + 25y função receita

b) Como x = 175 e y = 240, temos:

R(x,y) = 30x + 25y

R(175,240) = 30.175 + 25.240 = 11.250

A receita total do empresário foi de R$ 11.250,00.

5) Um engenheiro pretende construir uma piscina com as seguintes medidas: x metros de comprimento, y metros de largura e z metros de altura. Encontre:

a) A função que representa o volume dessa piscina;

b) O volume quando as medidas pretendidas são de 8m de comprimento, 5m de largura e 1,5m e altura;

c) A função que representa a área dessa piscina;

d) A área da piscina com as medidas do item b.

Solução:

z

x y

a) O cálculo do volume é feito pelo produto das três dimensões:

V(x,y,z) = x.y.z

b) Como x = 8m, y = 5m e z = 1,5m, temos:

V(x,y,z) = x.y.z

V(8;5;1,5) = 8x5x1,5 = 60

O volume é de 60 m3 ou 60.000 litros.

c) O cálculo da área é medido pela seguinte relação:

S(x,y,z) = x.y + 2x.z + 2y.z

d) Como x = 8m, y = 5m e z = 1,5m, temos:

5

S(x,y,z) = x.y + 2x.z + 2y.z

S(8;5;1,5) = 8x5 + 2x8x1,5 + 2x5x1,5

S(8;5;1,5) = 40 + 24 + 15

S(8;5;1,5) = 79

A área é de 79m2

Domínio de funções de duas variáveis

O domínio de funções de duas variáveis independentes segue as mesmas regras do domínio de funções de uma variável independente, ou seja, é o domínio de todos os pares (x, y) para os quais a expressão f(x,y) é definida.

Exemplos:

1) Achar o domínio da função f(x,y) = (y − x)1/2 , em seguida encontre f(2,6), f(-4,5) e f(4, 2).

Solução:

Observe que , logo, a condição de existência dessa função é y - x ≥ 0 (real), portanto o seu domínio é D ={(x, y) Î R2 / y ≥ x}.

2) Ache o domínio da função , em seguida encontre f(3,5) e

f(4,6).

A função é definida quando 2x – y ≠ 0. Assim, domínio D Î (x, y) é o conjunto de pontos, tais que, D = {(x, y) Î R2 / y ≠ 2x }.

3) Dada a função .

a) Ache o domínio de f.

6

b) Encontre f(1,-1) e f(2,8)

Solução:

a) A função é finita quando 3x - y > 0. O domínio é o conjunto de pontos, tais que D = {(x, y) Î R2 / y < 3x}.

b)

observe que (2,8) não pertence ao domínio, pois 8 não é menor que 6, logo, não é definida nesse ponto (não apresenta imagem).

EXERCÍCIO:

01- Encontre o domínio de cada função, em seguida determine o valor da função nos pontos indicados:

a) f(x,y) = x2 + y2 (-2,3/2) b) (0,2/3)

c) (3,3) d) (4,3) e)

(2,3) f) (3, 1/15)

g) z = 3x – 2/y (1/3, 2) h) (1,2)

i) (2/3, 1/2) j) (2,1)

Resposta:

a) D = R2 e f(-2,3/2) = 25/4 b) D = {(x,y) Î R2 / x2 + y2 > 0} e f(0,2/3) = 3/2

c) D = {(x,y) Î R2/y ≤ 3x } e f(3,3)=2√3 d) D={(x,y)ÎR2/ x2 + y2 ≤ 25} e f(4,3)=0

e) D = {(x,y) Î R2 / y ≥ x2 } e f(2,3) = D f) D={(x,y) Î R2 / x.y ≠ 0} e f(3,1/15)=5

g) D = {(x,y) Î R2 / y ≠ 0 } e f(1/3,2) = 0 h) D = R2 e f(1,2) = -1

i) D = {(x,y) Î R2 / x ≠ 2y } e f(2/3,1/2) = -1 j) D = {(x,y) Î R2 / y ≠ 2x } e f(2,1)= 1

7

FUNÇÃO DE TRÊS VARIÁVEIS

Definição: uma função real f de três variáveis é uma relação que a cada tripla ordenada de números reais (x, y, z) associa um único número real f (x, y, z), onde x, y, z são as variáveis Independentes (de saída), w variável dependente (de chegada).È importante salientar que função real de três variáveis não pode ser representada geometricamente.

Exemplos:

1- Identificar o Domínio das Funções:

a) (Espaço inteiro)

b) (x,y,z 0)

c) w = xyLnz (semi-espaço z > 0)

d) (Espaço inteiro)

2) Encontre o domínio da função e os pontos (x, y) para os quais f(x, y) = 1.

R) A expressão só faz sentido nos pontos (x, y) tais que x – y2 > 0, ou seja, x > y2.

Ainda: f(x, y) = 1 Û Û y = (x – y2)1/2 Þ y2 = x – y2 Û x = 2y2.

A seguir representamos o domínio de f e os pontos onde f(x, y) = 1.

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Representação Geométrica de z = f(x,y)

z

z = f(x,y)

y

x (x,y)

Uma função z = f(x, y) é representada por planos ou superfícies no espaço.

Para as funções de uma variável independente, o gráfico é plotado no plano XY. Já, para funções de 2 variáveis independentes, o gráfico é plotado no plano R3 onde z = f(x, y). Uma função de 2 variáveis sempre gera uma superfície no espaço R3.

Exemplos de funções de 2 variáveis independentes:

1) A função é z = f(x, y) = 5.

A superfície é um plano infinito, paralelo a x, y e passando por z = 5.

2) A função é z = f(x, y) = 6 – 2 x + 3y.

Esta função pode ser escrita na forma 2x – 3y + z = 6 que é a equação de um plano. Para achar os pontos onde este plano intercepta os eixos, é só fazer:

a) x = 0 e y = 0 → z = 6 b) x = 0 e z = 0 → y = 2 c) y = 0 e z = 0 → x = 3

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3) A função é z = f(x, y) = x2 + y2.

4) A função é z = f(x, y) = 1 − x 2 − y 2.

DIFERENÇAS ENTRE 2D E 3D

Gráficos 3D (superfícies) de algumas funções de 2 variáveis.

f(x, y) = x2 - y2, com x e y variando de – 4 a 4.

-4-2

0

2

4 -4

-2

0

2

4

-10

0

10

-4-2

0

2

4

f(x, y) = x2 + y2, com x e y variando de – 4 a 4.

10

-4

-2

0

2

4 -4

-2

0

2

4

0

10

20

30

-4

-2

0

2

4

f(x, y) = x.y, com x e y variando de – 4 a 4.

-4-2

0

2

4 -4

-2

0

2

4

-10

0

10

-4-2

0

2

4

f(x, y) = sem (x + y - 3), com x e y variando de – 4 a 4.

-4-2

0

2

4 -4

-2

0

2

4

-1-0.5

00.51

-4-2

0

2

4

f(x, y) = 100 - x2 - y2, com x e y variando de – 4 a 4.

-4-2

0

2

4 -4

-2

0

2

4

70

80

90

100

-4-2

0

2

4

f(x, y) = x4/(x4 + y4), com x e y variando de – 4 a 4.

-4-2

0

2

4 -4

-2

0

2

4

-2

0

2

-4-2

0

2

4

EXERCÍCIOS

01) Encontre o valor de cada função nos pontos indicados:

a) f(x,y) = 3x – 2y + (x – y)4; f(0,2), f(1,3)

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Resposta:

a) 12 e 13 b) -3/2 e -√2 c) 3 e -√3/3

d) 4 e -8 e) 3 e -6 f) 1e 20

02) Encontre o domínio de cada função:

Resposta:

a) D = {(x,y) Î R2 / y ≠ 4y } b) D = {(x,y) Î R2 / xy ≠ 2 }

c) D = {(x,y) Î R2 / x2 + y2 ≤ 36 } d) D = {(x,y) Î R2 / y ≤ x2 }

e) D = {(x,y) Î R2 / y < 2x } f) D = {(x,y) Î R2 / xy > 6}

Função de n Variáveis: uma função real f de n variáveis é uma relação que a cada n-upla ordenada de números reais (x1, x2, ...,xn) associa um único número real f (x1, x2, ..., xn). È importante salientar que função real de mais de três variáveis também não pode ser representada geometricamente.

Limites e Continuidade de Funções de Várias Variáveis

- Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis.

O limite da função f(x,y), quando (x,y) tende para um valor (x0,y0), é o número L (se existir) e é representado por

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Se o limite existir no ponto (x0, y0), dizemos que a função é contínua neste ponto. Caso contrário a função será descontínua no ponto. O mesmo é válido para um intervalo, isto é, a função é contínua num intervalo quando o limite existe em todos os pontos desse intervalo.

- Nas funções abaixo o limite existirá sempre, com exceção nas restrições.

a) f(x,y) = x2 + y2 + 3x.y Þ é contínua x,y.

b) z = x3y4 – 3xy + 2y – 4 Þ é contínua x,y.

Þ é contínua x.y 2

Þ é contínua x y.

e) z = Ln (6x – 2y) Þ é contínua x,y / y < 3x .

Resolução de limites de duas ou mais variáveis

- Observe a resolução de cada limite abaixo:

- Levantando a indeterminação.

Como, (x3 – y3) = , temos:

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Agora, resolva os seguintes limites:

Resposta:

a) -3 b) 5 c) 0 d) 0

e) não existe f) 2/9 g) 2 h) 2

Para se estimar o limite de uma função de duas variáveis no ponto (x0,y0) é necessário calcular esse valor por todas as trajetórias que passem por (x0,y0). Se em todos os casos o resultado for sempre o mesmo, digamos L, diz-se que o limite existe e que vale L. Caso o limite não exista em alguma trajetória ou dê um valor diferente para trajetórias diferentes, dizemos que o limite não existe. Observe os exemplos:

1- Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:

a) b)

Solução:

a) (indeterminação).

a.1) Escolhamos o caminho y = x, por exemplo, sendo que x→ 0 ,y →0

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= = =

= =

a.2) Escolhamos o caminho y = 3x, por exemplo, sendo que x→ 0 ,y →0.

= = =

= = =

Como os limites são diferentes, concluímos que não existe.

b)

É uma indeterminação do tipo [0/0].

b.1) Escolhendo x = 0 ( caminho percorrido ao longo do eixo oy )

= =

b.2) Escolhendo o segundo caminho x = y, bissetriz dos quadrantes ímpares

= = 1/4

Os limites são diferentes, logo não existe.

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2- Dada a função . Determine o limite de f(x,y) quando (x,y)

tende a (0,0) ao longo de cada caminho:

a) Eixo dos x b) Eixo dos y c) A reta y = x d) A parábola y = x2

Solução:

a) Se o caminho é o eixo dos x, significa que y = 0, logo, f(x,y) = f(x,0), então:

e

b) Se o caminho é o eixo dos y, significa que x = 0, logo, f(x,y) = f(0,y), então:

e

c) Se o caminho é a reta y = x, significa que x = y, logo, f(x,y) = f(x,x), então:

e

d) Se o caminho é a parábola y = x2, significa que y = x2, logo, f(x,y) = f(x,x2), então:

e

Os limites são iguais, logo o limite existe e é igual a zero.

Vimos anteriormente que o limite de uma função acompanhada por uma

variável independente existe se, e somente se, os limites laterais existem e são

iguais.

Já, quando a função apresenta duas variáveis independentes, o seu limite

quando (x,y) tende a (a,b) existe (Lim (x,y)(a,b) f(x,y) = L), se (x,y) tende a (a,b)

não apenas pela direita ou pela esquerda, mas também por qualquer outra

direção.

Por fim, suponhamos que a escolha de caminhos diferentes não permita

mostrar a inexistência do limite, então, deve-se recorrer à sua definição: limite de

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funções ordinárias pode ser estendido para funções de várias variáveis. Assim,

diz-se que f(x,y) tende para um valor definido L, quando o par (x,y) se aproxima

de (xo,yo), se quanto mais perto (x,y) estiver de (xo,yo), mais perto f(x,y) estará de

L.

Limite de F(x,y)

DERIVADAS PARCIAIS

Introdução:

Existem problemas no nosso cotidiano que geram funções com duas variáveis independentes, cujo objetivo encontrar a taxa de variação (derivada) da função considerando uma como variável independente e a outra como constante. A esse procedimento denominamos Derivação Parcial. O resultado dessa derivação é denominado de Derivada Parcial da função. As regras que utilizaremos para encontrar as derivadas parciais são as mesmas empregadas quando do estudo das derivadas de funções com uma variável independente.

Após essa introdução vamos definir derivada parcial.

Sejam A R3 um conjunto aberto e f: A R uma função.

1- A derivada parcial de f em relação à variável x, no ponto (x,y) Î A é denotada

por ou fx e definida por:

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onde y e z são constantes.

2- A derivada parcial de f em relação à variável y, no ponto (x,y,z) Î A é denotada

por = fy e definida por:

onde x e z são constantes.

3- A derivada parcial de f em relação à variável z, no ponto (x,y,z) Î A é denotada

por e definida por:

Onde x e y são constantes e t é o acréscimo dado a cada variável independente.

De modo equivalente são definidas as derivadas parciais de duas variáveis independentes.

Sejam A R2 um conjunto aberto e f: A R uma função.

1- A derivada parcial de f em relação à variável x, no ponto (x,y) Î A é denotada

por e definida por:

2- A derivada parcial de f em relação à variável y, no ponto (x,y) Î A é denotada

por e definida por:

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Nota: quando calculamos as derivadas parciais de uma função, por exemplo: z = f(x,y). Devemos

determinar a derivada parcial em relação a x (fx = ) (y constante) e depois em relação a y (fy =

) (x constante) .

Exemplos:

1) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de cada função:

a) w = f(x, y, z) = x2 y z2.

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Observe que até esse momento resolvemos utilizando a definição, agora vamos resolver aplicando as regras de derivada.

w = f(x, y, z) = x2 y z2

b) z = 3x4 – 2xy2 + y5

Solução:

c) f(x,y) = (derivada do quociente)

d) z = cos2(3x) + sen2(3y) y = un y’=n.un-1.u’, y=senu y’ = u’.cosu, y=cosu y’ = -u’.senu

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e) f(x, y, z) = Ln(3x.y + 2z)

f) z = e(3x – 4y), y = eu y’ = u’.eu

Exercícios:

1) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de cada função:

a) f(x,y) = 3x4 – 5x2y3 + 4y2 b) z = Ln(3x – y3)

c) d)

e) f)

g) w = 3x2 + 4y5 – 3z3 + 3xyz2 h) z = Ln [cos(xy)]

i) w = 3.e(x.y+z) j) f(x,y) = 2sen(3x-2y)

k) z = x2y l) f(x,y) = Ln [cos(3x2-y3)]

m) f(x,y,z) = tg (x.y2 - n) f(x,y) = ecos(x/y)

0) z = sen3(2xy2) p)

q) f(x,y) = sen3x – cos2y r) f(x,y) = senx.cos(xy)

Resposta:

a) fx = 1’2x3 – 10xy3 e fy = -15x2y2 + 8y b) e

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c) e d) e

e) e f) e

g) wx = 6x + 3yz2, wy = 20y4 + 3xz2 e wz = -9z2 h) zx = -ytg(xy) e zy = -xtg(xy)

i) wx = 3y.e(xy+z), wy = 3x.e(xy+z) e wz = 3.e(xy+z)

j) fx= 3.cos(3x-2y).2sen(3x-2y).ln2 e fy= -2.cos(3x-2y).2sen(3x-2y).ln2

k) zx = 2y.x2y-1 e xy = 2.x2y.lnx l) fx = 6x.tg(3x2- y3) e fy = -3y2.tg(3x2- y3)

m) fx = y2.sec2(xy2 - √z), fy = 2xy.sec2(xy2 - √z) e fz = .sec2(xy2 - √z)

n) e

o) zx = 6y2.sen2(2xy2).cos(2xy2) e zy = 12xy.sen2(2xy2).cos(2xy2)

p) zx = 1/2x e zy = 1/2y q) fx = 3sen2x.cosx e fy = sem(2y)

r) fx = cosx.cos(xy) – y.senx.sen(xy) e fy = -x.sen(xy).senx

2) Dadas as funções , determine:

a) b) c)

d) e)

Resposta:

a) 3/4 b) 1/2 c) 1 d) 1/2 e) 1/2

3) Sabendo que x = p.cosθ e y = p.senθ, determine .

Resposta: p

4) Dada a função . Encontre e resolva a expressão

.

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Respostas:

Derivadas Parciais de Segunda Ordem

São as funções resultantes quando utiliza-se duas vezes derivadas parciais da seguinte maneira:

Seja a função z = f(x,y):

1) ou fxx 2) ou fyy

3) ou fyx 4) ou fxy

Nota: 3 e 4 são denominadas Derivadas Parciais Mistas.

Exemplo:

- Encontre as derivadas parciais de segunda ordem de cada função:

a) z = 3x4 – 4xy – 2y3 b) f(x,y) = 3exy

Solução:

a) z = 3x4 – 4xy – 2y3

a.1) a.2)

a.3) a.4)

Nota: as derivadas mistas, na sua maioria são iguais.

b) f(x,y) = 3exy

b.1) b.2)

a.3) a.4)

Exercícios:

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1- Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada função:

a) f(x,y) = 5x4 – 2y2 + 3xy b) z = 2e-3xy

c) f(p,q) = Ln(p2 + q2) d)

e) f) z = ye-x + 2x.e2y

Resposta:

a) fxx = 60x2, fyy = -4, fxy = fyx = 0

b) zxx = 18y2.e-3xy, zyy = 18x2.e-3xy e zxy = zyx =6.e-3xy.(3xy – 1)

c) , e

d) , e

e) , e

f) , e

2) Sabendo que z = 2x.Ln(x.y), determine:

a) (e2,e3) b) c) (e2,e3)

d) e) f)

Resposta:

a) 12 b) 2/e c) 2/e2 d) -2/y4 e) 2/e3 f) 2/e3

3) A produção mensal de determinado produto por uma indústria é dada pela regra P(q,r) = 2.340q + 750r + q2(r – 3) – r3 unidades, onde q representa o número de operários e r o número de máquinas utilizados pela indústria. Atualmente, a indústria apresenta 52 operários e 10 máquinas em atividades. Encontre a variação da produção se mais 1(um) operário for contratado e o número de máquinas permanece constante.

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Solução: Como varia o número de operários e permanece constante o número de máquinas, a derivada parcial de P(q,r) dá a taxa de variação da produção com o número de operários.

P(q,r) = 2.340q + 750r + q2(r – 3) – r3

P(q,r) = 2.340q + 750r + q2r – 3q2 – r3

A produção mensal é de 3.068 produtos

Teorema de Euler:

Função Homogênea: Uma função f(x,y) é dita homogênea de grau n se para qualquer k constante verifica-se a igualdade f(kx, ky) = knf(x, y).

É importante salientar que uma função racional inteira será homogênea se todos os termos da mesma são do mesmo grau.

O teorema de Euler diz que para toda função homogênea de grau n sempre se

verifica a igualdade

Ex.: Verificar se a função é homogênea, caso afirmativo, comprovar o

teorema de Euler sobre essa função.

Solução:

Como, f(kx, ky) = f(x, y), podemos afirmar que a função é

homogênea.

Agora, apliquemos o Teorema de Euler.

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Diferencial Total

- Inicialmente, definimos acréscimo total de uma função z = f(x,y) como a diferença

∆z = ∆f(x, y) = f(x+∆x, y+∆y) – f(x, y).

- Consideramos a diferencial total de uma função z = f(x, y) no ponto (x, y) a parte principal do acréscimo total ∆z, quando ∆x → 0 e ∆y → 0, linear em relação aos acréscimos das variáveis independentes ∆x e ∆y.

As diferenciais dos argumentos, por definição, coincidem com seus acréscimos, isto é, dx = ∆x e dy = ∆y.

Portanto, para calcular a diferencial total de uma função z = f(x, y), utilizamos a seguinte fórmula:

(duas variáveis independentes)

( três variáveis independentes)

(n variáveis independentes)

Exemplos:

1) Encontre a diferencial total da função z = 3x2 – 2xy + y2.

Solução:

z = 3x2 – 2xy + y2

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2) Determine a diferencial total das funções:

a) z = 3x4 – 4xy2 + 2x3 b) w = 2xy – 4xz2 + 4y3x2z

c) f(x, y) = 3x2y3 d) z = Ln(x2y4)

e) w = x4y + e3z f) z = sen(5x) + cos(5y)

g) f(x,y) = h) z =

i) z = tg2(x.y) j) f(x,y) = cos2(3x) – sen2(3y)

Resposta:

a) dz= (12x3 + 6x – 8y2)dx - 8xydy

b) dw = (2y – 4z2 + 8xy3z)dx + (2x + 8y3xz)dy + (-8xz +4y3x2)dz

c) df = 6xy3dx + 9x2y2 d) e) dw = 4x3y dx + x4 dy+ 3e3zdz

f) dz = 5cos(5x)dx + 5 sem(5y)dy g)

h) i)

j) df = -3[sen(6x) + 3cos(3x)]

Volume de um cone

O cálculo do volume de um cone é dado pela seguinte fórmula:

Note que o volume de um cone depende da sua altura e do seu raio.

É importante salientar que a derivada parcial de V com relação a r descreve a taxa com que o volume de um cone varia à medida que o seu raio também varia e a sua altura é mantida constante.

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A derivada parcial de V com relação a h descreve a taxa com que o volume de um cone varia à medida que a sua altura também varia e o seu raio é mantido constante.

A derivada parcial relativamente a h é

Logo,a diferencial total do volume de um cone é calculado da seguinte maneira:

Quando visamos encontrar a derivada total do volume em relação a cada uma das variáveis, utilizamos as fórmulas:

A diferença entre a derivada total e parcial é a eliminação de dependências indiretas entre as variáveis nas derivadas parciais.

Aplicação:

1) O volume de um cone é representado pela fórmula . Sendo de

25 cm a sua altura e 24 cm o diâmetro de sua base, como variará o volume deste cone se acontecer um aumento de 0,4 cm na altura e uma diminuição de 0,3 cm no raio?

Solução:

A variação aproximada do volume de um cone V é representada

aproximadamente pela diferencial total , onde H = 25 cm,

R = 12 cm, dH = 0,4 e dR = -0,3.

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2) representa o volume V de um cone circular, onde h é o

comprimento da geratriz e d o diâmetro da base.

a) Encontre a taxa de variação do volume em relação à geratriz se o diâmetro é mantido constante com o valor de h = 16 cm, enquanto a geratriz d varia. Encontre essa taxa de variação no instante em que d = 10 cm.

b) Suponha que o comprimento da geratriz permaneça constante com valor de h = 10 cm. Considerando que o valor do diâmetro varia, encontre a taxa de variação do volume em relação ao diâmetro quando h = 16 cm.

Solução:

3) Encontre a inclinação da reta tangente à curva de intersecção das

superfícies com o plano y = 2, no ponto (2,2,√3).

- Calcula-se a derivada parcial em relação a x e, em seguida substitui os valores de x e y.

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INTEGRAÇÃO MULTIPLA

Estudamos anteriormente as integrais definidas para função de uma só variável, utilizando para isso, algumas regras para resolver essas integrais em um intervalo ]a, b[. Agora, iremos aprender a resolver integrais definidas de funções que apresentam duas ou mais variáveis, utilizando para isso, as regras aprendidas quando das resoluções de integrais de função com uma variável.

Imtegrais Iteradas ( ou Repetidas)

Durante nossos estudos sobre derivadas parciais de duas ou mais variáveis independentes, consideramos uma como variável independente e as outras temporariamente, como constantes. Da mesma maneira torna-se possível resolver integral definida com duas ou mais variáveis considerando uma delas independente e as outras constantes. Observe os exemplos.

Note que as diferenciais dx e dy indicam a variável independente, ou seja, aquela que vai ser integrada.

Se a função z = f(x,y) é não-negativa na região R, a integral dupla pode ser interpretada como um volume.

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No exemplo 1, utilizamos x como a variável independente e y temporariamente como constante. Contudo, podemos considerar a constante C como função de y, ou como função de x no exemplo 2.

Exercícios:

1- Dada a função f(x,y) = senx.cosy, determine:

Solução:

2- Em relação a função do exemplo 1, determine e

Solução:

A partir desse momento, podemos chamar de integrais repetidas (ou interadas) as integrais abaixo:

Exemplos:

1- Calcule as integrais iteradas:

a) b) 3)

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Solução:

2- Resolva as integrais abaixo:

Solução:

=

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Exercícios:

01) Resolva as integrais:

Resposta:

a) b) c) d)

02) Resolva as integrais Iteradas:

Resposta:

a) 32/15 b) 8/3 c) d) e) 31/15 f) 31/20

BIBLIOGRAFIA

Bronson, Richard. Equações Diferenciais/ Richard Bronson; tradução Alfredo Alves de Farias: revisão técnica Antonio Pertence Júnio, -- 2. Ed. – Aão Paulo: Makron Books, 1994. 1. Equações Diferenciais I. Título. (515.35).

Leighton, Walter. Equações diferenciais ordinárias/ Walter Leighton; tradução de Luiz Adauto da Justa Medeiros. 2a. ed. ver. e suplementada pela 3a. ed. americana por Danilo Marcondes. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1978. Tradução de: Ordinary differential equations. 1. Equações diferenciais I. Título. (L539e)

GRENVILLE, W.A.B Elementos de Cálculo Diferencial e Integral. Rio de Janeiro: Atual, 1983. (517.D765e).