Função AfimFunção Afim

Ao final dessa aula você Ao final dessa aula você saberá:saberá:

O que é uma função afim e todas as formas O que é uma função afim e todas as formas de representá-la.de representá-la.

Como identificar e construir gráficos da Como identificar e construir gráficos da função afim.função afim.

O que é coeficiente angular, coeficiente O que é coeficiente angular, coeficiente linear e zero da funçãolinear e zero da função

Identificar se uma função é crescente ou Identificar se uma função é crescente ou decrescente.decrescente.

Resolver sistemas através de Resolver sistemas através de gráficosgráficos

Resolver inequações do 1º grau. Resolver inequações do 1º grau.

O que é O que é função afimfunção afim??É a função definida por uma expresão do É a função definida por uma expresão do

1º grau1º grau..

Exemplos:Exemplos: f(x) = x +1f(x) = x +1

y=y=5+m

m

É apresentada na forma:

f(x) = ax + b

Como reconhecemos o Como reconhecemos o gráficográfico de uma função de uma função

afim?afim?O gráfico de uma função afim é sempreO gráfico de uma função afim é sempre

uma uma retareta..

0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5x

y

Os valores de x são as abscissas e os valores de y são

as ordenadas.

Como Como construímosconstruímos o o gráficográfico de uma função de uma função

afim?afim?Basta achar Basta achar dois pontosdois pontos que que pertençam à pertençam à retareta da função dada. da função dada.

Exemplo: Sendo a função f(x) = 2x + 1.Exemplo: Sendo a função f(x) = 2x + 1.

1º passo: 1º passo: escolherescolher dois dois valoresvalores para para xx..

x = 0 e x = 1x = 0 e x = 1

f(0) = 2.0 + 1 = 1f(0) = 2.0 + 1 = 1f(1) = 2.1 + 1 = 3f(1) = 2.1 + 1 = 3

Logo, temos que os pontos são Logo, temos que os pontos são (0,1)(0,1) e e (1,3)(1,3)Dessa forma

garantimos que esses pontos

pertencem à reta.

2º passo: 2º passo: calcularcalcular o o valorvalor de de yy para cada valor de x para cada valor de x escolhido.escolhido.

3º passo: 3º passo: marcarmarcar os os pontospontos no gráfico. no gráfico.

4º passo: 4º passo: ligarligar os os pontospontos..

1

1

3

2

x

y

Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho!

Construa o gráfico da função:Construa o gráfico da função:

2

1−= xy

SoluçãoSolução

1º passo: x = 3 e x = 51º passo: x = 3 e x = 5

2º passo: f(3) = 1 e f(5) = 2 2º passo: f(3) = 1 e f(5) = 2

3º e 4º passos: 3º e 4º passos:

x

y

1

1

2

2 3 4 5

O que é O que é coeficiente coeficiente angularangular??

É o É o valorvalor numérico numérico que multiplicaque multiplica a avariável variável xx. Indica a . Indica a inclinação da retainclinação da retaem relação ao eixo x.em relação ao eixo x.

Exemplo: Exemplo: y = 2x + 1 y = 2x + 1 a = 2 a = 2 y = x – 5 y = x – 5 a = 1 a = 1

Ou seja, é o valor de a na expressão:

y = ax + b.

O que é O que é coeficiente coeficiente linearlinear??

É o É o valorvalor de de b b em y = ax + b. Indicaem y = ax + b. Indicao o valor de yvalor de y, onde a reta do gráfico, onde a reta do gráficocorta o eixo das ordenadascorta o eixo das ordenadas. .

Exemplo:Exemplo: y = 2x + 1 y = 2x + 1 b = 1 b = 1 y = x – 5 y = x – 5 b = -5 b = -5

O que é O que é ZeroZero da da funçãofunção??

É o É o valor de xvalor de x onde a onde a reta do gráficoreta do gráficocortacorta o eixo das o eixo das abscissasabscissas..

Exemplos:Exemplos: y = 2x + 1 y = 2x + 1 0 = 2x + 1 0 = 2x + 1 x = -1/2x = -1/2

y = x – 5 y = x – 5 0 = x – 5 0 = x – 5 x = 5x = 5

Ou seja, o valor de x para y = 0.

Zero da função0 = 2x-1x = 1/2

f(x) = 2x – 1

f(0) = 2.0 -1 = -1

f(1) = 2.1 – 1 = 1

f(2) = 2.2 – 1 = 3

Coeficiente angular

x

y

1

1

2

2 3 4 5-1-1

3

Coeficiente linear

Coeficiente linear

Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho!I) Encontre y = f(x) sendo f uma função I) Encontre y = f(x) sendo f uma função

polinomial do 1º grau, sabendo que f(-6) = 8 polinomial do 1º grau, sabendo que f(-6) = 8 e f(6) = 12.e f(6) = 12.

II) Seja f uma função real definida pela lei II) Seja f uma função real definida pela lei f(x) = ax – 3. Se 3 é raiz da função, qual é f(x) = ax – 3. Se 3 é raiz da função, qual é o valor de f(10)?o valor de f(10)?

III) (UF-AM) A função f definida por III) (UF-AM) A função f definida por f(x) = -3x +m está representada abaixo:f(x) = -3x +m está representada abaixo:

Então o valor de Então o valor de é: é:

a) -1 b) 0 c) 1 d)a) -1 b) 0 c) 1 d) e) e)

)0(

)1()2(

f

ff +

x

y

1

5

7

7

5−

SoluçõesSoluçõesI) f(-6) = 8 e f(6) = 12I) f(-6) = 8 e f(6) = 12

y = ax + by = ax + b

+=+−=ba

ba

612

68

20 = 2b20 = 2b b = 10b = 10

8 = -6a + 10 8 = -6a + 10 -2 = -6a -2 = -6a a = 1/3a = 1/3

Logo, f(x) = 1/3 x + 10

II) f(x) = ax - 3II) f(x) = ax - 3 f(3) = 3a - 3 = 0f(3) = 3a - 3 = 0

3a = 33a = 3 a = 1a = 1

f(x) = x – 3f(x) = x – 3f(10) = 10 – 3f(10) = 10 – 3f(10) = 7f(10) = 7

III) f(x) = -3x + mIII) f(x) = -3x + mf(1) = -3.1 + m = 0f(1) = -3.1 + m = 0

-3 + m = 0 -3 + m = 0 m = 3 m = 3

f(x) = -3x + 3f(x) = -3x + 3f(0) = -3.0 + 3 = 3f(0) = -3.0 + 3 = 3f(1) = -3.1 + 3 = 0f(1) = -3.1 + 3 = 0f(2) = -3.2 + 3 = -3f(2) = -3.2 + 3 = -3

13

03

)0(

)1()2( −=+−=+f

ff

Como identificamos se uma função Como identificamos se uma função é é crescentecrescente ou ou decrescentedecrescente??

Verificando o sinal do a em y=ax+b. Se Verificando o sinal do a em y=ax+b. Se aaforfor negativo negativo, então a função é , então a função é decrescentedecrescente..Se Se aa for for positivopositivo, então a função é , então a função é crescentecrescente..

Exemplos: Exemplos: y = -x + 2 y = -x + 2 a = -1 a = -1 função decrescentefunção decrescente

Y = ½ + 4 Y = ½ + 4 a = ½ a = ½ função crescentefunção crescente

Também podemos fazer a Também podemos fazer a análise gráfica:análise gráfica:

x

y

x

y

Função Função decrescentedecrescente

Função Função crescentecrescente

Como resolvemos Como resolvemos sistemas sistemas através de através de gráficosgráficos??

Basta Basta traçartraçar os os gráficosgráficos das duas das duasequações, no equações, no mesmo planomesmo plano cartesiano. O cartesiano. Oresultadoresultado é o ponto de é o ponto de interseçãointerseção..

Exemplo:Exemplo:

Pontos da 1ª equação: (1,4) e (3,2)Pontos da 1ª equação: (1,4) e (3,2)

Pontos da 2ª equação: (0,2) e (-2,1)Pontos da 2ª equação: (0,2) e (-2,1)

=+−=+

42

5

yx

yx

Logo, S = (2,3)

x

y

1

1

2

2 3 4 5-1-1

3

4

-2

-2

I = (2,3)

Como é feito o Como é feito o estudo estudo do sinaldo sinal de uma função? de uma função?

Seguindo os passos:Seguindo os passos:

1º passo: 1º passo: LocalizarLocalizar o o zero da funçãozero da função na na reta real.reta real.

2º passo: 2º passo: traçartraçar a a retareta do gráfico. do gráfico.

3º passo: 3º passo: analisamosanalisamos os os intervalosintervalos onde a onde a função é função é positiva positiva ou ou negativanegativa..

Exemplo: y = x - 2Exemplo: y = x - 21º passo: x – 2 = 0 1º passo: x – 2 = 0 x = 2 x = 22º passo: função crescente2º passo: função crescente

3º passo: y < 0, para x < 23º passo: y < 0, para x < 2 y = 0, para x = 2y = 0, para x = 2 y > 0, para x > 2 y > 0, para x > 2

x2

Como resolvemos uma Como resolvemos uma inequaçãoinequação do 1º grau? do 1º grau?

Fazendo o Fazendo o estudo do sinalestudo do sinal..

Exemplo: 2x – 7 > 0Exemplo: 2x – 7 > 0 zero da função: 2x – 7 = 0 zero da função: 2x – 7 = 0 x = 7/2 x = 7/2 a > 0 a > 0 função crescente função crescente

Resposta: Resposta:

x7/2

] [+∞,27

E se for uma E se for uma inequação inequação produtoproduto ou uma ou uma

inequação quocienteinequação quociente??Se for uma Se for uma inequação produtoinequação produto devemos devemos

fazer o fazer o estudo do sinalestudo do sinal de de cada fatorcada fator. Se . Se for for inequação quocienteinequação quociente, devemos fazer o , devemos fazer o estudo do sinalestudo do sinal do do dividendodividendo e do e do divisordivisor, , separadamente.separadamente.

Exemplos:Exemplos:

I) (x-2) (1-2x) ≥ 0I) (x-2) (1-2x) ≥ 0

x – 2 = 0 x – 2 = 0 x = 2x = 2 e 1 – 2x = 0 e 1 – 2x = 0 x = ½x = ½ x

1/2

x2

x21/2

+++ --------------------------

----------------------- +++++

-+-

S = [1/2 , 2]

II)II)

x + 3 = 0 x + 3 = 0 x = -3 e x – 1 = 0 x = -3 e x – 1 = 0 x = 1 x = 1

1,01

3 ≠>−+

xx

x

+++++++++++++-------- x-3

x1

++++++--------------------

1x

-3

+-+

S=]-∞,-3[ U ]1,+ ∞[

Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho!(UFC-CE) O conjunto solução, nos números(UFC-CE) O conjunto solução, nos númerosreais, da inequaçãoreais, da inequação é igual a: é igual a:1

1

1 −>+−x

x

{ }{ }{ }{ }

{ }3;)

2;)

1;)

0;)

1;)

>∈>∈>∈>∈

−>∈

xRxe

xRxd

xRxc

xRxb

xRxa

SoluçãoSolução

01

20

1

1101

1

11

1

1 >+

⇒>+

++−⇒>++−⇒−>

+−

xx

xx

x

x

x

x

1 + x = 0 x = -1

++++++++++++---------x

-1

S=]-1,+ ∞[

letra A