Matrizes

Ao final dessa aula você saberá:

O que é matriz e suas representações. Igualdade de matrizes. A definição de: matriz nula, matriz linha, matriz

coluna, matriz quadrada, matriz diagonal, matriz triangular, matriz oposta, matriz identidade e matriz inversa.

O que é diagonal principal e diagonal secundária. Soma, subtração e multiplicação de matrizes.

O que é O que é matrizmatriz??É uma É uma tabelatabela de números que pode ser de números que pode ser

representadarepresentada entre entre chaveschaves ou entre ou entre colchetescolchetes..

Exemplos:Exemplos:

104

321

104

321AouA

São matrizes com 2 linhas e 3 colunas. Então dizemos que é uma matriz 2 x 3.

Como é a representação genérica de uma matriz?

O que é O que é índiceíndice de um de um elemento?elemento?

É a representação da É a representação da posiçãoposição que o que o

elemento ocupa dentro da matriz.elemento ocupa dentro da matriz.

Exemplo:Exemplo:

O 3 é o elemento O 3 é o elemento aa1212, ou seja, está , ou seja, está

na na 1ª linha 1ª linha e nae na 2ª coluna 2ª coluna..

01

32

2221

1211

aa

aaA

Quando duas Quando duas matrizesmatrizes A A e B são e B são iguaisiguais? ?

Quando os elementos Quando os elementos de mesmo índice de mesmo índice sãosão

correspondentescorrespondentes..

Exemplo:Exemplo:

22222121

12121111

2221

1211

2221

1211

,

,,,

baaa

babaLogo

ba

bbB

aa

aaA

Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho!

(PUC-MG)A matriz A = (a(PUC-MG)A matriz A = (aijij))2x32x3 é tal que: é tal que:

É correto afirmar que:É correto afirmar que:

jiseji

jisejiaij ,32

,3

927

651)

926

571)

96

25

71

)

92

76

51

)

dc

bAa

SoluçãoSolução

aa1111 = 2.1 – 3.1 = 2 – 3 = -1 = 2.1 – 3.1 = 2 – 3 = -1

aa1212 = 3.1 + 2 = 3+ 2 = 5 = 3.1 + 2 = 3+ 2 = 5

aa1313 = 3.1 + 3 = 3 + 3 = 6 = 3.1 + 3 = 3 + 3 = 6

aa2121 = 3.2 + 1 = 6 + 1 = 7 = 3.2 + 1 = 6 + 1 = 7

aa2222 = 2.2 – 3.2 = 4 – 6 = -2 = 2.2 – 3.2 = 4 – 6 = -2

aa2323 = 3.2 + 3 = 6 + 3 = 9 = 3.2 + 3 = 6 + 3 = 9

Resposta: DResposta: D

232221

131211

aaa

aaa

jiseji

jisejiaij ,32

,3

O que é O que é matriz linhamatriz linha??

É uma matriz formada por É uma matriz formada por apenas uma linhaapenas uma linha..

Exemplo:Exemplo:

É uma matriz formada por É uma matriz formada por apenas uma colunaapenas uma coluna..

Exemplo:Exemplo:

70342A

O que é O que é matriz colunamatriz coluna??

9

0

2

B

O que é O que é matriz nulamatriz nula??

É uma matriz que apresenta É uma matriz que apresenta todostodos osos

elementoselementos iguais a iguais a zerozero..

Exemplos:Exemplos:

000

000

0000

0000

0000

DC

O que é O que é matriz matriz quadradaquadrada??

É a matriz que apresenta o É a matriz que apresenta o mesmo númeromesmo número

de de linhas e colunaslinhas e colunas..

Exemplos:Exemplos:

703

140

342

A

Matriz 3 x 3

49

10B

Matriz 2 x 2

Dizemos que a matriz A é de

ordem 3 e que a matriz B é de ordem

2.

O que é O que é diagonal diagonal principalprincipal??

É a É a diagonaldiagonal formada pelos formada pelos elementos aelementos aijij,,

sendo sendo i=ji=j de uma matriz quadrada. de uma matriz quadrada.

diagonal principal

diagonal secundária

Tente fazer sozinho!

(Ufop-MG) Observe a matriz:

Chama-se traço de uma matriz a soma dos

elementos de sua diagonal principal. Determine

x e y na matriz acima de tal forma que seu

traço valha 9 e x seja o triplo de y.

y

x

00

40

321

Solução

x = 3y

1 + 3y + y = 9 4y = 8 y = 2

x = 3.2 x = 6

y

x

00

40

321

O que é O que é matrizmatriz diagonaldiagonal??

É a É a matriz quadradamatriz quadrada na qual todos os na qual todos os elementos que não pertencem a diagonal elementos que não pertencem a diagonal principal são iguais a zeroprincipal são iguais a zero. A . A diagonal diagonal principalprincipal deve apresentar deve apresentar pelo menos um pelo menos um elemento diferente de zeroelemento diferente de zero..

Exemplos:Exemplos:

700

010

002

A

O que é O que é matrizmatriz triangulartriangular??

É a É a matriz quadradamatriz quadrada na qual os na qual os elementos elementos abaixo ou acima da diagonal principal são abaixo ou acima da diagonal principal são iguais a zeroiguais a zero. .

Exemplos:Exemplos:

10

72

6739

0710

0015

0002

700

310

422

DCB

O que é O que é matrizmatriz opostaoposta?? É a É a matriz matriz cujos cujos elementos são os elementos são os

opostos de uma matriz dada.opostos de uma matriz dada.

Exemplos:Exemplos:

732

410

732

410AA

52

81

52

81BB

O que é O que é matrizmatriz transpostatransposta??

É a É a matriz matriz cujas cujas colunas colunas sãosão iguais às iguais às linhas de uma matriz dada.linhas de uma matriz dada.

Exemplo:Exemplo:

74

31

20

732

410 tAA

Note que o número de linhas de A é o número de colunas de At. O mesmo

acontece com o número de colunas

A é 3x2 e At=2x3

Tente fazer sozinho!

(UF-AM) Uma matriz quadrada é simétrica se, e

somente se, At = A. Se a matriz

É simétrica, então o valor de é:

a) – 1 b) 3 c) 1 d) 4 e) 0

131

501

2 2

y

y

xx

A

3

yx

Solução

15

30

112

131

501

22

2

yx

yx

y

y

xx

112 xx

1x48235 yyyy

13

3

3

41

3

yx

Resposta: letra c

O que é O que é matrizmatriz identidadeidentidade??

É a É a matriz quadrada matriz quadrada que apresenta que apresenta todos os elementos da todos os elementos da diagonal principaldiagonal principal iguais a iguais a 11 e os e os outrosoutros elementos iguais a elementos iguais a zerozero..

Exemplo:Exemplo:

10

01

100

010

001

23 II

Como somamos ou subtraímos matrizes?

Basta somar ou subtrair os elementos

correspondentes. As matrizes devem ser do mesmo tipo (m x n).

Exemplos:

4

3

10

3

5

1

7

8

9

)

535

353

632

104

103

451)

b

a

Como multiplicamos uma matriz por um número real?

Basta multiplicar todos os elementos da

matriz por esse número real.

Exemplo:

06

33

156

02

11

52

3

Como o tipo da matriz influencia na multiplicação

de duas matrizes?

Matriz A

4 x 3

Matriz B

3 x 2Devem ser iguais

O resultado é do tipo 4 x 2

Como efetuamos o produto de duas

matrizes?

Dada uma matriz A = (aij)mxn e uma matriz

B = (bij)nxp , o produto é uma matriz C = (cij)mxp,

onde o elemento cij é calculado multiplicando

ordenadamente os elementos da linha i, da

matriz A, pelos elementos da coluna j, da

matriz B, e somando os produtos obtidos.

Exemplo 1:

26

13

41

05

23

BeA

927

515

721

2.41.16.43.1

2.01.56.03.5

2.21.36.23.3

AB

Exemplo 2:

315

024

31

12DeC

9519

3513

3.30.11.32.15.34.1

3.10.21.12.25.14.2

CD

CD

Tente fazer sozinho!

1) (Mackenzie-SP) Se o produto de matrizes

é a matriz nula, x + y é igual a:

a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2

1201

110

11

01y

x

Solução

0

0

1201

110

11

01y

x

311

110

201

110

11

01

0

0

3

10

0

0

1.3.1.1

1.1.1.0

yx

y

yx

yx

0

0

1311

110y

x

.

112

203103

101

CLetra

yx

xxyx

yy

2) (Fatec-SP) Seja a matriz , tal que

. É verdade que a+b é igual a:

a) 0

b) 1

c) 9

d) -1

e) -9

1

1

a

bA

1910

8192A

Solução

154

5204191

482

1910

819

12

21

1910

819

1

1

1

1

ba

aaab

bb

aba

bab

a

b

a

b

Resposta: Letra B

O que é matriz inversa?

É matriz X de ordem n, cujo produto com

a matriz A é igual a matriz identidade de

ordem n.

Ou seja,

A.X = X.A = In,

onde X = A-1

A matriz inversa de A É indicada

por A-1.

Exemplo:

25

13

35

12BeA

10

01

2.31.55.33.5

2.11.25.13.2

25

13

35

12

AB

AB

AB

Logo, B = A-1

Tente fazer sozinho!

(Unifor-CE) Se a matriz b(ij) de ordem 2, é a

matriz inversa de , então:

a) b11 = - ½

b) b12 = -1

c) b21 = 1

d) b22 = -1

e) b22 = - ½

11

20A

Solução

11012

10

2

10

0022

112

10

0122

10

01

11

20

bbdb

aaca

dd

cc

dbca

dc

dc

ba

Resposta: Letra B

Bibliografia

Dante, Luiz Roberto – Matemática Contexto e Aplicações. 3ª edição – 2008. Editora Ática – SP. Páginas: 118 a 145.

Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo, Roberto; Degenszajn, David – Matemática (volume único). 4ª edição – 2007. Editora Atual – SP. Páginas: 287 a 302.

Bianchini, Edwaldo; Paccola, Herval – Curso de Matemática. 3ª edição – 2003. Editora Moderna – SP. Páginas: 283 a 308.