. - Matemática - ProgressãoProgressão Aritimética
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PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
AO FINAL DESTA AULA SERÁ IMPORTANTE ENTENDER:
Conjunto dos números reais.
O que é uma sequência numérica?
Como determinar uma sequência finita ou infinita?
Como determinar os termos de uma sequência?
O que é uma sucessão aritmética e soma dos termos de uma P.A.?
O QUE É UMA SEQUÊNCIA NUMÉRICA?
São elementos cujos números pertencem ao conjunto
dos números reais, esses elementos estão dispostos
em uma certa ordem, um conjunto assim é chamado de
sequência numérica.
Quando uma sequência tem infinitos termos ela se
chamara infinita; caso contrário, é uma sequência finita.
EXEMPLOS
Sequências infinitas:
Sucessão dos números pares (2, 4, 6, 8 ,...)
Sucessão dos números impares (1, 3, 5, 7,...)
Sequências finitas:
Sucessão dos números (1, 2, 3, 4, 5)
Sucessão dos números (10, 20, 30, 40, 50)
O QUE É UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA?
É toda sequência numérica na qual, a partir do
segundo, cada termo é igual à soma de seu
antecessor com uma constante chamada de
razão, essa constante é indicada pela letra r.
DETERMINAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA
Determinar uma sequência é saber qual a imagem de
n para todo n lN , e podemos fazê-lo aplicando a lei
de recorrência ou o termo geral.
O que é lei de recorrência?
É uma lei que permite calcular cada termo da
sequência, apartir do termo anterior.
*
É necessário também, para determinação da
sequência, que o primeiro termo seja dado.
91811
81711
71611
61511
5:
1
5
55455
44344
33233
22122
1
1
1
AAAAnA
AAAAnA
AAAAnA
AAAAnA
ALogo
nA
A
n
Onde :
é o primeiro termo.
é o segundo termo.
é o terceiro termo. é o quarto termo.
é o quinto termo.
1A
2A
5
4
3
A
A
A
EXEMPLOS
1) (-5, -3, -1, 1, 3, 5, 7,...) é P.A. de razão r = 2.
2) (8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8,...) é P.A. de razão r = 0.
3) (20, 16, 12, 8, 4, 0) é P.A. de razão r = -4.
Então uma P.A. pode ser:
Crescente: quando r é maior que zero (r > 0).
Constante: quando r é igual a zero (r = 0).
Decrescente: quando r é menor que zero (r < o).
AGORA VAMOS ALGUNS EXEMPLOS DE EXERCÍCIOS
Exemplo 1: Escreva os quatro primeiros termos de uma P.A sabendo que:
= -3 e r = 4. r = -
= + r = -3 + 4 = 1
= + r =1 + 4 = 5
= + r = 5 + 4 = 9
= + r = 9 + 4 = 13
1A 1A2A
2A1A
2A 3A
4A
5A
2A
3A
3A
4A
4A 5A
Exemplo 2: Escreva uma P.A. de cinco termos sabendo que:
= e r = 3.
= + r = + 3
= + r = + 6
= + r = + 9
= + r = + 12
1A
2
2A 3A
4A5A
1A2A
3A4A
2A
3A
4A5A
2
2
2
2
FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A.
Determinar o termo geral de uma P.A. é calcular o valor de uma termo qualquer. Essa fórmula permite que encontremos, dados três dos quatro elementos.Sendo:
termo geral
n números de termos
primeiro termo
r razão
nA
nA
1A
Questão 1: Calcule na P.A.: (2, 5, 8,...)
= + (n – 1). r
= 2 + (20 – 1). 3
= 2 + 19. 3
= 2 + 54
= 5920A
nA 1A20A
20A
20A
20A
325
3
20
2
12
1
20
rrAAr
onde
r
n
A
AAn
Questão 2: Determine a razão, sabendo que = 14 e = 0.
= + ( n – 1 ). r
= 0 + (8 – 1). r
14 = 0 + 7 . r
14 = 7r
r = 14 / 7
r = 2
8A 1A
nA
1AnA
?
8
0
14
1
8
r
n
A
AAn
AGORA TENTE FAZER SOZINHO.
Determine o sexto termo de uma P.A. onde = - 3 e r = 5
Só para relembrar é o primeiro termo e r é a
razão.
1A
1A
SUBSTITUA NA FÓRMULA OS TERMOS QUE VOCÊ POSSUI
= - 3
r = 5 n = 6, pois é o sexto termo dessa P.A.
= ?
= + ( n – 1 ). r
= - 3+ ( 6 – 1 ). 5
= - 3+ 5 . 5
= - 3 + 25
= 22
1A
nAnA
1AnAnAnAnA
INTERPOLAÇÃO
Agora um outro exercício de P.A. que se chama interpolação.
Este tipo de problema consiste em descobrir a razão, para podermos determinar os elementos dessa P.A., onde são dados dois valores (que são as extremidades) e a quantidades de termos que ficam entre essas extremidades, chamamos de interpolar.
Exemplo:
Faça a interpolação de cinco meios aritméticos entre - 8 e 22.
Neste caso devemos descobrir cinco números entre - 8 e 22 que formem juntamente com estes a seguinte P.A.
6 RAZÕES
5 meios
O problema fica resolvido com a determinação da razão da P.A. Como = - 8 e = 22, então: = + 6 . r 22 = - 8 + 6 . r r = 5
Os números procurados são - 3, 2, 7, 12, 17 e a P.A. é (- 8, - 3, 2, 7, 12, 17, 22)
22,,,,,,8 65432 AAAAA
1A 7A
1A 7A7A 1A
Obs: Entre – 8 e 22 existem 6 razões, por isso na montagem da expressão multiplicamos 6. r.
O número que se multiplica pela razão irá varias de acordo com a quantidades de termos.
1 2 3 4 5 6
22,,,,,,8 65432 AAAAA
AGORA TENTE FAZER ESTE EXERCÍCIO.
1 - (FATES) - Interpolar 10 meios aritméticos entre 2 e 57 e escrever a P. A. correspondente com primeiro termo igual a 2.
Lembre-se que é preciso determinar a
razão!
11 RAZÕES
10 meios
(são 10 termos entre as extremidades que são 2 e 57)
= + 11 . r
57 = 2 + 11 . r
57- 2 = 11r
r = 55/11
r = 5
57,,,,,,,,,,,2 111098765432 AAAAAAAAAA
1A 12A
12A 1A
SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A. FINITA
Podemos definir a soma dos termos de uma P.A. finita através da fórmula:
Onde:
soma dos termos de uma P.A. finita
primeiro termo
termo geral
n número de termos
2
).( 1 nAAS nn
nS
1A
nA
EXEMPLO Calcule a soma dos doze primeiros termos da P.A. (- 3, -1, 1, 3, ...).
Neste caso devemos primeiro determinar o valor de através da fórmula do termo geral.
r = -
r = (-1) – (-3)
r = 2
nA
rnAAn ).1(1 2A 1A
19
223
2).112(3
).1(1
n
n
n
n
A
A
A
rnAA
Agora podemos utilizar a fórmula de somatória dos termos da
P.A. , já que temos os elementos necessários:
962
1922
12.162
12).193(2
).( 1
n
n
n
nn
S
S
S
nAAS 19nA
31 A
12n
AGORA TENTE FAZER SOZINHO!
2 - (PUC-SP) - Determine uma P.A. sabendo que a
soma de seus 8 primeiros termos é 324 e que = 79.8A
Solução:
28
16
8632648
)6328(648
)6328(2.3242
8).79(324
2
).(
1
1
1
1
1
1
A
A
A
A
A
nAAS nn
11
7/77
777
7279
).18(279
).1(1
r
r
r
r
r
rnAAn
SENDO ASSIM OS ELEMENTOS DESSA P.A, SÃO
(2, 13, 24, 35, 46, 57, 68, 79)
Poderemos calcular qualquer termo das fórmulas gerais desde de que
sejam conhecidos três desses quatro valores!
BIBLIOGRAFIA
FACCHINI,Walter. Matemática Volume Único. Editora Saraiva, 2007. BACCARO, Nelson. Matemática; 2ºgrau. Editora Ática,1995.