XIII Simp osio Brasileiro de Automac a~o Inteligente …Figura 2: Lugar das ra zes para a fun˘c~ao...

6
M ´ ODULOS DID ´ ATICOS PARA O ENSINO DE AN ´ ALISE E CONTROLE DE SISTEMAS DIN ˆ AMICOS Nat´ alia A. Keles * , Marina A. Silva * , ıctor C. S. Campos * , arcio F. Braga * * Departamento de Engenharia El´ etrica, Instituto de Ciˆ encias Exatas e Aplicadas, Universidade Federal de Ouro Preto – UFOP, 35931-008, Jo˜ao Monlevade, MG, Brasil. Emails: [email protected], [email protected], [email protected], [email protected] Abstract— This article presents the design and development of an experimental dynamic, uncertain and low cost teaching module, directed to dynamic system modeling and control disciplines. The proposed model is easy to use, it has wide applicability and can be useful to understand various concepts such as stability, linearity, non minimum phase and minimum phase systems, time and frequency domain approaches, among others. In addition, the module enables electrical and control engineering students to performe the state space modeling of a low cost system with different state and output configurations. In advanced levels, it also allows them to design controllers for the module to operate independently of the system having a stable or unstable behavior. Keywords— Dynamic uncertain module, control theory, education in control theory Resumo— Este artigo apresenta a elabora¸ c˜ao e desenvolvimento de um m´ odulodid´aticoexperimental,dinˆa- mico, incerto e de baixo custo, direcionado `as disciplinas de modelagem e controle de sistemas dinˆamicos. O modelo proposto ´ e de f´acil uso e com vasta aplicabilidade, podendo ser utilizado para compreender diversos con- ceitos, como estabilidade, linearidade, sistemas de fase n˜ ao m´ ınima e de fase m´ ınima, abordagens nos dom´ ınios do tempo e da frequˆ encia, entre outros. Al´ em disso, o m´ odulo possibilita aos alunos dos cursos de Engenharia El´ etrica e de Controle e Automa¸c˜ ao realizar a modelagem em espa¸co de estados de um sistema de baixo custo e com diferentes configura¸c˜oes de estados e sa´ ıdas. Em n´ ıveis mais avan¸ cados, tamb´ em lhes permite projetar controladores para o m´odulo que funcionem independentemente do comportamento escolhido para o sistema, isto ´ e, est´ avel ou inst´ avel. Palavras-chave— M´odulodinˆ amico incerto, teoria de controle, educa¸c˜ao em teoria de controle 1 Introdu¸c˜ ao Nas disciplinas de modelagem e controle, as si- mula¸c˜ oes realizadas em softwares deprograma¸c˜ ao ao comumente utilizadas como a ferramenta prin- cipal (ou ´ unica) de aplica¸ ao dos conceitos apren- didos. No entanto, ´ e not´ avel o grande potencial e a necessidade da realiza¸ ao de atividades pr´ a- ticas, pois elas, al´ em de prover uma consolida¸c˜ ao te´ orica, aproximam o aluno das dificuldades pre- sentes nas execu¸ oes dos projetos no plano n˜ ao ideal. Tal necessidade pode ser vista pelo n´ umero de trabalhos focados em desenvolver m´ odulos e pla- taformas did´ aticas para o ensino de Sistemas Di- amicos e Engenharia de Controle encontrados na literatura. Por exemplo, em Pereira et al. (2014) ´ e apresentada uma plataforma para o estudo de sistemas n˜ ao lineares/ca´ oticos baseada no circuito de Chua; em Moreira et al. (2014) ´ e apresentada uma plataforma did´ atica baseada em sistemas em- barcados (controle e aquisi¸ ao de dados) e progra- mas em desktop (visualiza¸c˜ ao de dados e confi- gura¸ ao dos parˆ ametros de controle); em Ballet et al. (2014) ´ e apresentada uma plataforma de controle baseada em estrat´ egia Hardware In the Loop (HIL) utilizando sistemas embarcados (Ar- duino) para realizar o controle e simula¸ ao de um quadrirrotor no Matlab/Simulink; em Pelz et al. (2014) ´ e apresentado o desenvolvimento de um sis- tema de controle multivari´ avel (sistema de dois tanques acoplados). Note que, apesar de v´ arios outros trabalhos apresentarem o desenvolvimento de m´ odulos did´ aticos para o ensino de controle, poucos deles apresentam m´ odulos de baixo custo voltados para o ensino de modelagem e controle em espa¸co de estados (al´ em de permitir a pr´ atica das teorias de controle robusto). Portanto, observada a necessidade de um ma- terial que aproxime a teoria e a pr´ atica, esse tra- balho tem como objetivo central desenvolver um odulo did´ atico para abordar, aplicar e confirmar alguns pontos espec´ ıficos da ´ area de controle. Au- xiliando o aluno a compreender melhor o processo de modelagem, simula¸c˜ ao, s´ ıntese de controlado- res, e aprender a conduzir um projeto de acordo com as aplica¸c˜ oes e desempenhos solicitados. Visto que os sistemas el´ etricos que em sua composi¸c˜ ao possuem apenas elementos passivos (resistores, capacitores e indutores) s˜ ao sempre es- aveis ou marginalmente est´ aveis (Malvino, 2007), utilizaram-se conhecimentos de controle e eletrˆ o- nica para a cria¸ ao de um m´ odulo, utilizando elementos ativos (amplificadores operacionais — amp-ops), capazes de levar o sistema ` a instabili- dade dependendo dos parˆ ametros adotados. O m´ odulo projetado tamb´ em possibilita aos alunos estudarem e aplicarem diversos conceitos que a realimenta¸c˜ ao negativa proporciona (Ogata, 2003; Dorf e Bishop, 2011; Nise, 2011) como a re- du¸ ao de sensibilidade aos parˆ ametros da planta e a perturba¸c˜ oes na sa´ ıda; controle da largura de XIII Simp´osio Brasileiro de Automa¸ ao Inteligente Porto Alegre – RS, 1 o – 4 de Outubro de 2017 ISSN 2175 8905 1893

Transcript of XIII Simp osio Brasileiro de Automac a~o Inteligente …Figura 2: Lugar das ra zes para a fun˘c~ao...

Page 1: XIII Simp osio Brasileiro de Automac a~o Inteligente …Figura 2: Lugar das ra zes para a fun˘c~ao de trans-fer^encia apresentada na equa˘c~ao (3) considerando a varia˘cao do par^ametro

MODULOS DIDATICOS PARA O ENSINO DE ANALISE E CONTROLE DESISTEMAS DINAMICOS

Natalia A. Keles∗, Marina A. Silva∗, Vıctor C. S. Campos∗, Marcio F. Braga∗

∗Departamento de Engenharia Eletrica, Instituto de Ciencias Exatas e Aplicadas, Universidade Federalde Ouro Preto – UFOP, 35931-008, Joao Monlevade, MG, Brasil.

Emails: [email protected], [email protected],

[email protected], [email protected]

Abstract— This article presents the design and development of an experimental dynamic, uncertain and lowcost teaching module, directed to dynamic system modeling and control disciplines. The proposed model is easyto use, it has wide applicability and can be useful to understand various concepts such as stability, linearity,non minimum phase and minimum phase systems, time and frequency domain approaches, among others. Inaddition, the module enables electrical and control engineering students to performe the state space modelingof a low cost system with different state and output configurations. In advanced levels, it also allows them todesign controllers for the module to operate independently of the system having a stable or unstable behavior.

Keywords— Dynamic uncertain module, control theory, education in control theory

Resumo— Este artigo apresenta a elaboracao e desenvolvimento de um modulo didatico experimental, dina-mico, incerto e de baixo custo, direcionado as disciplinas de modelagem e controle de sistemas dinamicos. Omodelo proposto e de facil uso e com vasta aplicabilidade, podendo ser utilizado para compreender diversos con-ceitos, como estabilidade, linearidade, sistemas de fase nao mınima e de fase mınima, abordagens nos domıniosdo tempo e da frequencia, entre outros. Alem disso, o modulo possibilita aos alunos dos cursos de EngenhariaEletrica e de Controle e Automacao realizar a modelagem em espaco de estados de um sistema de baixo custoe com diferentes configuracoes de estados e saıdas. Em nıveis mais avancados, tambem lhes permite projetarcontroladores para o modulo que funcionem independentemente do comportamento escolhido para o sistema, istoe, estavel ou instavel.

Palavras-chave— Modulo dinamico incerto, teoria de controle, educacao em teoria de controle

1 Introducao

Nas disciplinas de modelagem e controle, as si-mulacoes realizadas em softwares de programacaosao comumente utilizadas como a ferramenta prin-cipal (ou unica) de aplicacao dos conceitos apren-didos. No entanto, e notavel o grande potenciale a necessidade da realizacao de atividades pra-ticas, pois elas, alem de prover uma consolidacaoteorica, aproximam o aluno das dificuldades pre-sentes nas execucoes dos projetos no plano naoideal.

Tal necessidade pode ser vista pelo numero detrabalhos focados em desenvolver modulos e pla-taformas didaticas para o ensino de Sistemas Di-namicos e Engenharia de Controle encontrados naliteratura. Por exemplo, em Pereira et al. (2014)e apresentada uma plataforma para o estudo desistemas nao lineares/caoticos baseada no circuitode Chua; em Moreira et al. (2014) e apresentadauma plataforma didatica baseada em sistemas em-barcados (controle e aquisicao de dados) e progra-mas em desktop (visualizacao de dados e confi-guracao dos parametros de controle); em Balletet al. (2014) e apresentada uma plataforma decontrole baseada em estrategia Hardware In theLoop (HIL) utilizando sistemas embarcados (Ar-duino) para realizar o controle e simulacao de umquadrirrotor no Matlab/Simulink; em Pelz et al.(2014) e apresentado o desenvolvimento de um sis-tema de controle multivariavel (sistema de dois

tanques acoplados). Note que, apesar de variosoutros trabalhos apresentarem o desenvolvimentode modulos didaticos para o ensino de controle,poucos deles apresentam modulos de baixo custovoltados para o ensino de modelagem e controleem espaco de estados (alem de permitir a praticadas teorias de controle robusto).

Portanto, observada a necessidade de um ma-terial que aproxime a teoria e a pratica, esse tra-balho tem como objetivo central desenvolver ummodulo didatico para abordar, aplicar e confirmaralguns pontos especıficos da area de controle. Au-xiliando o aluno a compreender melhor o processode modelagem, simulacao, sıntese de controlado-res, e aprender a conduzir um projeto de acordocom as aplicacoes e desempenhos solicitados.

Visto que os sistemas eletricos que em suacomposicao possuem apenas elementos passivos(resistores, capacitores e indutores) sao sempre es-taveis ou marginalmente estaveis (Malvino, 2007),utilizaram-se conhecimentos de controle e eletro-nica para a criacao de um modulo, utilizandoelementos ativos (amplificadores operacionais —amp-ops), capazes de levar o sistema a instabili-dade dependendo dos parametros adotados.

O modulo projetado tambem possibilita aosalunos estudarem e aplicarem diversos conceitosque a realimentacao negativa proporciona (Ogata,2003; Dorf e Bishop, 2011; Nise, 2011) como a re-ducao de sensibilidade aos parametros da plantae a perturbacoes na saıda; controle da largura de

XIII Simposio Brasileiro de Automacao Inteligente

Porto Alegre – RS, 1o – 4 de Outubro de 2017

ISSN 2175 8905 1893

Page 2: XIII Simp osio Brasileiro de Automac a~o Inteligente …Figura 2: Lugar das ra zes para a fun˘c~ao de trans-fer^encia apresentada na equa˘c~ao (3) considerando a varia˘cao do par^ametro

banda do sistema; estabilizacao de sistemas insta-veis; e controle da resposta temporal do sistema.

Com o uso do modulo, os alunos tambem po-derao perceber a diferenca entre tecnicas de con-trole no domınio da frequencia (normalmente tra-balhando com a realimentacao da saıda do sistemae representacao em funcao de transferencia) e astecnicas de controle no domınio do tempo (sendoabordado, para este caso, a facilidade em traba-lhar com a realimentacao de estados e a represen-tacao em espaco de estados).

Devido a sua configuracao, o modulo tam-bem pode ser utilizado para apresentar parame-tros incertos. Sistemas sujeitos a incertezas saofrequentes na natureza e tem sido amplamente es-tudados na literatura (Boyd et al., 1994; Leite ePeres, 2003; Braga et al., 2014). As incertezasocorrem devido a variacoes de parametros, per-turbacoes externas, presenca de ruıdos, dinamicasnao modeladas, imprecisao nos sensores e atua-dores (Ackermann, 1993), o que torna necessarioleva-las em consideracao na analise e projeto decontroladores. Como os equipamentos presentesnos laboratorios da Universidade Federal de OuroPreto (UFOP) nao contemplam essa classe de sis-temas dinamicos, o modulo tambem permitira aosalunos aprofundarem o seu conhecimento em siste-mas incertos, perceber como as incertezas afetamo comportamento do sistema controlado e comoprojetar controladores para a classe de sistemasincertos.

2 Objetivo

O objetivo principal deste trabalho e a elabo-racao e o desenvolvimento de um modulo dinamicosujeito a incertezas, que fundamente conceitos demodelagem e controle, abordagens no domınio dotempo e da frequencia, e que possibilite a observa-cao do comportamento do sistema em tempo real.Alem disso, apresentam-se os resultados obtidos apartir da sıntese de controladores, sendo expostaa metodologia que pode ser utilizada como umapossıvel sugestao de um roteiro pratico. Portanto,espera-se que o modulo forneca aos alunos a opor-tunidade de modelar um sistema real em espaco deestados e monitorar as respectivas variaveis de es-tado, aspectos muito utilizados nas disciplinas queenvolvem modelagem. E para casos mais avanca-dos, como em disciplinas de controle, possibilitaro projeto de diferentes tipos de controladores.

3 Composicao da Planta

Neste trabalho, optou-se por utilizar a mode-lagem em espaco de estados, devido a simplici-dade que esse modelo oferece para trabalhar commultiplas entradas e saıdas e ainda permitir queos alunos visualizem o comportamento interno dosistema, bem como o da entrada e da saıda. Em

relacao as tecnicas computacionais para a solu-cao das equacoes e projetos de controladores, essaabordagem apresenta, em muitos casos, menor di-ficuldade.

Na Figura 1, esta disposto o circuito da plantacontendo os tres estados e a identificacao de cadaparte do sistema.

O modelo total do circuito expresso em espacode estado e definido como

x1x2x3

= A

x1x2x3

+

−R3

RC1(R2+R3)R3

R7C2(R2+R3)

0

u, (1)

y =[0 0 1 + R13

R12

]x1x2x3

+[0]u, (2)

em que

A =

R3−R2

RC1(R2+R3)0 0

1R7C2

( 2R2

R2+R3) −1

R7C20

0 1R11C3

(1 + R9

R8) −1

R11C3

.Portanto o sistema apresenta um circuito sub-

trator, um circuito inversor, um filtro passa-tudo,com um estado interno (tensao no capacitor C1 −x1), e dois filtros passa-baixas de primeira ordemligados em cascata com outros dois estados (ten-sao no capacitor C2 − x2 e tensao no capacitorC3 − x3). Destaca-se que os resistores R2, R3 eR9 sao potenciometros que, por poderem ser ajus-tados, representam as incertezas presentes no sis-tema.

O circuito montado conforme a Figura 1 fazcom que ele tenha caracterısticas interessantes taiscomo: fase nao mınima e possıvel instabilidade (deacordo com os valores escolhidos para os potencio-metros R2 e R3). Alem disso, a estrategia de usardois filtros passa-baixas de primeira ordem ligadosem cascata foi adotada para facilitar o monitora-mento dos estados presente neles.

O potenciometro R9, diferentemente dos po-tenciometros R2 e R3, nao influencia na estabili-dade do sistema. Ele e responsavel por variar oganho do sistema.

3.1 Analise do circuito

De posse da modelagem do circuito, pode-seanalisar o comportamento do sistema de acordocom as incertezas R2, R3 e R9. Devido a realimen-tacao do circuito da Figura 1, os valores das resis-tencias R2 e R3 interferem na estabilidade do sis-tema. Para facilitar a analise do comportamentodo sistema, e definindo-se λ = R3/R2, pode-seescrever a funcao de transferencia da planta prin-cipal como

Y1(s)

Vi(s)=

λ

λ+ 1

RC1s+ 1

RC1s+ λ−1λ+1

. (3)

XIII Simposio Brasileiro de Automacao Inteligente

Porto Alegre – RS, 1o – 4 de Outubro de 2017

1894

Page 3: XIII Simp osio Brasileiro de Automac a~o Inteligente …Figura 2: Lugar das ra zes para a fun˘c~ao de trans-fer^encia apresentada na equa˘c~ao (3) considerando a varia˘cao do par^ametro

Figura 1: Configuracao do circuito: Subtrator (vermelho), Amplificador Inversor (verde), Passa-tudo(azul) e Filtro Passa-baixa (preto) .

Uma forma de se analisar o comportamentodo sistema para diferentes valores de λ e por meiodo lugar das raızes. Note que a equacao caracte-rıstica da planta principal pode ser reescrita como(

s− 1

RC1

)+ λ

(s+

1

RC1

), (4)

e o lugar das raızes e dado na Figura 2. Note que osistema e estavel para λ < 1 (R3 < R2) e instavelpara λ > 1 (R3 > R2).

×− 1RC1

1RC1

Figura 2: Lugar das raızes para a funcao de trans-ferencia apresentada na equacao (3) considerandoa variacao do parametro λ, em que × e ◦ repre-sentam, respectivamente, o polo e o zero do sis-tema. O ponto de cruzamento do eixo imaginarioe λ = 1 (R3 = R2), logo o sistema e estavel paraλ < 1 (R3 < R2) e instavel para λ > 1 (R3 > R2).

4 Testes experimentais

Para a validacao do modelo, alguns resultadosexperimentais obtidos utilizando o modulo finali-zado sao apresentados nesta secao. Para realizaros testes de bancada foram utilizados uma fontesimetrica ajustada em ±15 V , um gerador de fun-coes e um osciloscopio, como disposto na Figura 3.

4.1 Testes a vazio

O primeiro teste se deu somente observando ocomportamento do sistema sem aplicar um sinalna entrada e variando o valor de resistencia dos

Figura 3: Testes de bancada.

potenciometros R2 e R3 (Figura 1). Com as com-binacoes de valores foi possıvel observar o sistematransitando da estabilidade para a instabilidade(Figura 4). Como explicado na Secao 3.1, se R3

possuir um valor maior de resistencia do que R2,o sistema se torna instavel.

Figura 4: Teste para o sistema autonomo (sementrada aplicada).

Observe, pela Figura 4, que o sistema e estavelno tempo zero, e em aproximadamente 1 segundoocorre a mudanca do comportamento, devido aosajustes feitos nos potenciometros. A saıda comecaa decrescer ate atingir a saturacao do sistema emaproximadamente −15 V . E valido destacar queo modulo proposto e limitado pelos valores de ali-mentacao dos amplificadores operacionais e que o

XIII Simposio Brasileiro de Automacao Inteligente

Porto Alegre – RS, 1o – 4 de Outubro de 2017

1895

Page 4: XIII Simp osio Brasileiro de Automac a~o Inteligente …Figura 2: Lugar das ra zes para a fun˘c~ao de trans-fer^encia apresentada na equa˘c~ao (3) considerando a varia˘cao do par^ametro

sistema possui ganho negativo. Se o sistema fosseideal, a saıda decairia ilimitadamente.

Em sistemas ideais nao sao considerados ruı-dos, portanto para o caso sem entrada, o sistemadeveria apresentar uma resposta nula, pois estariaem equilıbrio. Mas, como o modulo e construıdofisicamente, os sinais existentes na planta, assimcomo os dados coletados, estao sujeitos a diver-sas interferencias, sendo esta uma caracterısticainteressante a se destacar em aulas praticas dife-renciando o trabalho em um sistema ideal e emum sistema real.

Deste modo, a resposta do circuito se alteraem consequencia da presenca de pertubacoes, quesao agravadas devido a realimentacao, pois elatransporta esse ruıdo para a entrada e essas pe-quenas variacoes sao interpretadas como peque-nos sinais de entrada. Com o sistema configuradopara atingir a instabilidade, a mınima variacaonos terminais de entrada faz com que a saıda de-cresca ate o valor da saturacao, aproximadamente−15 V . Confirmando o conceito de sistema ins-tavel. Segundo Lathi (2009), um sistema e ditoBIBO (do ingles bounded input/ bounded output)estavel (estabilidade entrada/saıda) quando, paratoda entrada limitada, o sistema exibe uma saıdalimitada. Caso a saıda seja ilimitada para algumaentrada, o sistema e dito BIBO instavel. Note queesse conceito e observado, no teste, uma vez queuma entrada limitada gerou uma saıda ilimitada(Vide Figura 4).

4.2 Testes com sinal de entrada

Para o teste com entrada, foi utilizado o ge-rador de funcao a fim de fornecer uma onda qua-drada de 5 Vpp como entrada do sistema. O sinaldo gerador e a saıda estao dispostos na Figura 5,por ela observa-se o sistema operando na regiaode estabilidade, no qual a saıda acompanha a en-trada com um ganho de −1,5. Em destaque estadisposto a identificacao da fase nao mınima do cir-cuito, que aparece devido ao zero do lado esquerdodo plano jω, causando um undershoot na respostado sistema, essa caracterıstica acarreta uma maiordificuldade em controlar sistemas desse tipo.

5 Aplicacoes didaticas

O modulo apresentado visa auxiliar as aulaspraticas de diversas disciplinas do curso de e En-genharia Eletrica e de Controle e Automacao, taiscomo: modelagem, sistemas de controle e materiasque envolvam tecnicas de controle avancado.

Em modelagem, por muitas vezes e dadomaior enfoque no modelo expresso apenas pelaentrada e saıda, visando abordar a modelagemem espaco de estados, que se mostra mais ver-satil quando comparada com a modelagem citadaanteriormente. O modulo possui um circuito que

Figura 5: Teste com uma entrada aplicada (sinalde entrada em azul e sinal de saıda em vermelho).Em destaque: identificacao da fase nao mınima docircuito, causando um undershoot na resposta dosistema.

possibilita a modelagem em espaco de estados comtres estados que podem ser medidos na pratica,existindo a possibilidade de aumentar o numerode estados, caso desejado, com o acrescimo de ou-tro modulo independente.

Para sistemas de controle, a planta pode serutilizada com parametros fixos, ou seja, trata-locomo resistores. Dessa maneira, tecnicas de con-trole classicos podem ser utilizadas para controlara planta.

Por fim, o modulo pode ser utilizado para en-sinar e aplicar tecnicas de controle avancado. Da-das as incertezas do modulo (parametros que va-riam, representados pelos potenciometros R2, R3

e R9), sao necessarias tecnicas de controle robusto,uma vez que as tecnicas de controle classico se tor-nam ineficientes para esses casos.

5.1 Tecnicas de controle avancado aplicadas aomodulo

Nesta secao serao expostos modelos de con-troladores que foram aplicados a bancada didaticareafirmando a utilidade que os modulos didaticostrazem em aulas praticas.

Para o projeto de controladores para o moduloincerto, alem das teorias de estabilidade de Lya-punov, controle classico e robusto, LMI (LinearMatriz Inequality) e sistemas politopicos (Boydet al., 1994), tambem sao necessarios conhecimen-tos de softwares de simulacao numerica, como oMATLAB, e de pacotes computacionais, tais comoSeDuMi (Sturm, 1999) e Yalmip (Lofberg, 2004),os quais sao utilizados neste trabalho para a cons-trucao e solucao das LMIs. Alem disso, para arealizacao das praticas e essencial o conhecimentoem eletronica e de algum software de simulacaopara validar os testes dos circuitos analogicos.

XIII Simposio Brasileiro de Automacao Inteligente

Porto Alegre – RS, 1o – 4 de Outubro de 2017

1896

Page 5: XIII Simp osio Brasileiro de Automac a~o Inteligente …Figura 2: Lugar das ra zes para a fun˘c~ao de trans-fer^encia apresentada na equa˘c~ao (3) considerando a varia˘cao do par^ametro

5.2 Controlador Estabilizante

Esse controlador tem o intuito de estabilizarum sistema instavel. Deste modo, representa-se omodelo da planta, genericamente, por

x(t) = Ax(t) +Bu(t) (5)

y(t) = Cx(t) +Du(t), (6)

em que as matrizes A, B, C e D sao dadas por (1)e (2). Definindo a lei de controle como u(t) =Kx(t), em que u(t) e o sinal de controle, K e ocontrolador e x(t) sao os estados, entao o sistemaem malha fechada e dado por

x(t) = (A+BK)x(t) (7)

y(t) = (C +DK)x(t). (8)

Para a sıntese do controlador utilizou-se ocriterio de estabilidade segundo Lyapunov, eescolheu-se uma funcao quadratica nos estadoscomo candidata de Lyapunov, isto e, V (x) =xTPx, em que P = PT > 0. Escrevendo K =XP , a qual e utilizada para encontrar o controla-dor K e definindo P−1 = Y , com Y > 0, tem-se:

AY + Y AT +BX +XTBT < 0, (9)

que e utilizada para encontrar o controlador Kque estabiliza a planta (Boyd et al., 1994).

Encontrado o controlador e devidamente es-truturado em serie com o modulo, realiza-se oteste para verificar o comportamento da plantacom a acao do controlador estabilizante, que sedeu sem entrada aplicada, justamente para com-parar com resultados obtidos anteriormente.

Como explicado anteriormente, o sistema einstavel para uma configuracao em que R3 > R2.Logo, condicao inicial diferente de zero conduz osistema para longe da origem do espaco de esta-dos. Entretanto, a lei de controle encontrada esta-biliza assintoticamente o sistema e, portanto, ga-rante que, a partir de qualquer condicao inicial, osistema ira para zero. Na Figura 6, pode-se notarque a acao de controle satura em 15V no inıcioda simulacao, mas ainda e capaz de estabilizar osistema.

5.3 Controlador por Modelo de Referencia

Uma outra possibilidade e projetar um con-trolador para seguir referencia. Neste caso, con-sidera-se que o comportamento desejado para osistema e descrito pelo modelo estavel

xm(t) = Amxm(t) +Bmr(t) (10)

ym(t) = Cmxm(t) +Dmr(t), (11)

e busca-se um controlador que minimize a normaH∞ da referencia, r(t), para o erro entre a saıdado sistema e a saıda desejada, z(t) = y(t)−ym(t).

Figura 6: Saıda do modulo em serie com o contro-lador estabilizante (azul) e sinal de controle (ver-melho) no teste a vazio (sem sinal de referencia).

Uma forma de se encontrar esse controlador edefinir o sistema aumentado

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) + Brr(t) (12)

z(t) = Cx(t) + Du(t) + Drr(t), (13)

em que x(t) =[x(t) xm(t)

]T, A =

[A 00 Am

],

B =

[B0

], Br =

[0Bm

], Br =

[0Bm

], C =[

C −Cm], D = D e Dr = −Dm.

Dessa forma, basta encontrar uma lei de con-trole da forma u(t) = Kx(t) que minimize anorma H∞ de r(t) para z(t) do sistema aumen-tado. Uma estrategia para encontrar tal lei decontrole e resolvendo as LMIs dadas pelo Boun-ded Real Lemma (Boyd et al., 1994)

X > 0,(AX +XAT+BY + Y T BT

)Br XCT + Y T DT

? −γI Dr

? ? −γI

< 0.

Sabendo que X = P−1 e Y = KP−1, e possıvelobter o controlador para seguir referencia.

Inserindo o controlador a planta e definindoum sinal de referencia, no caso uma senoide, epossıvel observar a acao do controlador como dis-posto na Figura 7.

Figura 7: Saıda do modulo em serie com o con-trolador para seguir referencia (azul), sinal de re-ferencia (verde) e sinal de controle (vermelho).

XIII Simposio Brasileiro de Automacao Inteligente

Porto Alegre – RS, 1o – 4 de Outubro de 2017

1897

Page 6: XIII Simp osio Brasileiro de Automac a~o Inteligente …Figura 2: Lugar das ra zes para a fun˘c~ao de trans-fer^encia apresentada na equa˘c~ao (3) considerando a varia˘cao do par^ametro

6 Conclusoes

A construcao em uma estrutura modular per-mite a facil expansao do sistema, possibilitandoque os alunos testem diferentes alternativas e to-pologias em tempo real, modificando apenas aconfiguracao por meio dos potenciometros e es-colha das variaveis que desejam, o que ainda naoexiste nos laboratorios de controle da UFOP. Aabordagem utilizada e de facil uso e apresen-tou bons resultados nos testes realizados possibili-tando assim ao aluno realizar desde praticas basi-cas para observar comportamentos, quanto desen-volver sistemas complexos para controlar a planta.Adicionalmente, a flexibilidade do sistema, aliadaao baixo custo e a um bom nıvel de detalhamento,torna o modulo apresentado uma alternativa via-vel e eficaz para o uso dos alunos nas disciplinas demodelagem e controle. A validade do sistema foicomprovada devido aos testes e aplicacoes praticasfeitas em cima do modulo, cuja sıntese dos contro-ladores foi realizada para sistemas contınuos.

Como proposta futura, pretende-se aplicar ou-tros tipos de controladores existentes, alem de uti-lizar estrategias de controle digital para estabilizaro sistema.

Agradecimentos

Os autores agradecem a Universidade FederalOuro Preto (UFOP) pelo financimento e auxıliofinanceiro deste trabalho.

Referencias

Ackermann, J. (1993). Robust Control: Systemswith Uncertain Physical Parameters, Sprin-ger Verlag, London, UK.

Ballet, R., Parro, V. C. e Romano, R. A. (2014).Uma plataforma didatica para simulacao econtrole embarcado de veıculos quadrirroto-res, XX CBA, Belo Horizonte, MG, Brasil,pp. 1426–1433.

Boyd, S., El Ghaoui, L., Feron, E. e Balakrish-nan, V. (1994). Linear Matrix Inequalities inSystem and Control Theory, SIAM Studies inApplied Mathematics, Philadelphia, PA.

Braga, M. F., Morais, C. F., Tognetti, E. S., Oli-veira, R. C. L. F. e Peres, P. L. D. (2014). Dis-cretisation and control of polytopic systems

with uncertain sampling rates and network-induced delays, Int. J. Control 87(11): 2398–2411.

Dorf, R. D. e Bishop, R. H. (2011). Modern Con-trol Systems, 12a edn, Prentice Hall.

Lathi, B. P. (2009). Linear systems and signals,Oxford University Press.

Leite, V. J. S. e Peres, P. L. D. (2003). An im-proved LMI condition for robust D-stabilityof uncertain polytopic systems, IEEE Trans.Autom. Control 48(3): 500–504.

Lofberg, J. (2004). YALMIP: A toolbox for mo-deling and optimization in MATLAB, Proc.2004 IEEE Int. Symp. on Comput. AidedControl Syst. Des., Taipei, Taiwan, pp. 284–289.

Malvino, A. P. (2007). Eletronica, Vol. 2, 7a edn,AMGH, Porto Alegre.

Moreira, R. M., Munhoz, H. B., Kairalla, A. D.,Veloso, G. F. C. e Almeida, R. M. A. (2014).Plataforma didatica de baixo custo para ex-periencias em laboratorios de controle, XXCBA, Belo Horizonte, MG, Brasil, pp. 895–902.

Nise, N. S. (2011). Control Systems Engineering,6a edn, Wiley.

Ogata, K. (2003). Engenharia de Controle Mo-derno, Prentice Hall.

Pelz, G. M., Broniera Junior, P. e Vargas, A. N.(2014). Implementacao de um sistema decontrole de nıvel de dois tanques acopla-dos, XX CBA, Belo Horizonte, MG, Brasil,pp. 1419–1425.

Pereira, L. O., Sansao, J. P. H., Cardoso, A.S. V. e Mozelli, L. A. (2014). Plataforma di-datica e experimental para investigacoes docircuito de Chua, XX CBA, Belo Horizonte,MG, Brasil, pp. 1442–1449.

Sturm, J. F. (1999). Using SeDuMi 1.02, a MA-TLAB toolbox for optimization over sym-metric cones, Optim. Method Softw. 11(1–4): 625–653. http://sedumi.ie.lehigh.

edu/.

XIII Simposio Brasileiro de Automacao Inteligente

Porto Alegre – RS, 1o – 4 de Outubro de 2017

1898