PROJETO E IMPLEMENTACAO DE ESTRATEGIAS DE CONTROLE PARA UMAPLANTA QUATRO TANQUES

Matheus Nery Antunes∗, Marcio Fantini Miranda∗, Anısio Rogerio Braga∗

∗Av. Antonio Carlos, 6627COLTEC/UFMG, Campus Pampulha

Belo Horizonte, MG, Brasil, CEP 31270-901

Emails: nerymatheus@ufmg.br, fantini@ufmg.br, anisio@ufmg.br

Abstract— The construction, characterization and testing of a reference low cost four tanks pilot plant foruse in teaching and research is presented. The non-linear and linearized model are described. A cascade controlstructure using a process actuator concept is used to linearize pump behavior and to extend the linear controlrange of the plant. Experimental results illustrate the commissioning and modeling of the plant and a comparativeanalysis of two control strategies: PI multiloop and H∞ multivariable.

Keywords— Four tank pilot plant, Process control, non-minimum phase, Multiloop PI, H∞ multivariablecontrol

Resumo— Descreve-se o projeto e testes de uma planta piloto de referencia quatro tanques de baixo custopara uso em ensino e pesquisa. Apresenta-se o modelo nao-linear e linearizado. Uma configuracao de controleem cascata utilizando o conceito de atuador de vazao e utilizada para linearizar o comportamento da bomba eampliar a faixa de controle linear da planta. Resultados experimentais ilustram o comissionamento e modelagemda planta e o estudo comparativo de duas estrategias de controle: PI multimalha e Hinf multivariavel.

Palavras-chave— planta piloto quatro tanques, Controle de processos, fase nao-mınima, controle PI multi-malha, controle Hinf multivariavel

1 Introducao

A planta quatro tanques e uma planta piloto di-datica com caracterısticas de processos multivaria-veis com interacao entre malhas de controle con-figuravel, desenvolvida na Universidade de Lundem 1996, para ilustrar conceitos e propriedadesde sistemas multivariaveis de fase mınima e nao-mınima (Johansson, 1997; Johansson et al., 1999).A planta Quatro Tanques se tornou um processode referencia para ensino e pesquisa pois apre-senta nao-linearidades tıpicas de processos hidrau-licos, permitindo o estudo desde sistemas dinami-cos simples em configuracao de sistemas acopladose desacoplados ate sistemas multivariaveis com in-teracoes dinamicas com comportamento de fasenao-mınima que apresentam restricoes severas dedesempenho para estrategias de controle multiva-riaveis (Shinskey, 1988; Johansson et al., 1999; Mi-randa, 2000; Rocha, 2015).

Linearizando o modelo matematico baseadoem princıpios fısicos da planta quatro tanques,obtem-se um sistema multivariavel linear comparametros ajustaveis que possibilitam estabele-cer caracterısticas dinamicas de fase mınima enao-mınima ajustando-se registros manuais ape-nas. Dessa forma, o modelo da planta quatrotanques linearizado viabiliza estudar restricoes,vantagens e desvantagens de tecnicas de controleclassico PID multimalha e robusto multivariavelem termos de estabilidade, desempenho e robus-tez. Sistemas de controle multivariaveis sao ca-racterizados pelo uso de estrategias de controleem cascata (Shinskey, 1988; Astrom and Hag-

glund, 2006) como artifıcio para linearizar com-portamento de atuadores e robustecer estrate-gias de controle de nıveis hierarquicos superio-res. Neste trabalho, o esquema de encapsulamentode atuador de processo para o atuador de vazao(Clarke, 1995; Braga and Clarke, 1999) e utili-zado, exemplificando a linearizacao, robustez e au-mento de faixa de controle obtidos com malhasde controle PI escravas comumente usadas paraestabelecer sistemas hierarquicos adequados paraimplementacao de estrategias de controle multi-variavel baseada na teoria de sistemas lineares(Miranda, 2000).

Apresenta-se a seguir detalhes de construcao ecaracterizacao experimental de uma planta quatrotanques de baixo custo, construıda para ensino epesquisa no LEIC/COLTEC/UFMG. Os modelosnao lineares e linearizados da planta sao apresen-tados e avaliados no projeto de duas estruturas decontrole, viz. classico PI multimalha e H∞ mul-tivariavel. Resultados experimentais ilustram odesempenho das estrategias de controle e do fun-cionamento da planta quatro tanques.

2 A planta piloto quatro tanques

O planta piloto quatro tanques esta ilustrada nafigura 1 e consiste em quatro tanques interconec-tados, um reservatorio, quatro registros manuaise duas bombas que levam a agua do reservatoriopara os tanques de maneira cruzada, o que permiteestabelecer acoplamentos ajustaveis entre os tan-ques. A bomba B01 leva agua aos tanques TQ01 eTQ04 e a bomba B02 leva agua aos tanques TQ02

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ISSN 2175 8905 2142

e TQ03. A proporcao da vazao total bombeadaaos tanques superiores e determinada pela aber-tura dos quatro registros manuais (HV01, HV02,HV03 e HV04).

BA02

TQ01 TQ02

TQ03 TQ04

FT01Blocodeligação FT02

MatlabSimulink

Condicionadoresdesinais

LE02

LE03

LE01

LE04

BA01

HV04

HV01

HV03

HV02

Figura 1: Foto da Planta quatro tanques cons-truıda no Coltec/UFMG

SP02

H2_PV

Vazao BA01BA01_PV

Nivel TQ02

Nivel TQ01

Vazao BA02

SP01

H1_PV

BA02_PV

UA2

H1_PV

SP1

SP2

H2_PV

UA1

U1

U2

Estrutura do Controlador

C

ZOH4

ZOH2

BA01

BA02

AI-01

AI-02

Vazao1

Vazao2

QUATROTANQUES

SP

PVMV

PI1

SP

PVMV

PI2

Saturador1

Saturador2

1H1

2H2

1SP1

2SP2

3Q1

4Q2

Figura 2: Diagrama de blocos da arquitetura decontrole

Controlador PI Controlador H_infinito

SP02

H1_PV

SP01

H2_PV

BA01_PV

BA02_PV

SP02

H1_PV

SP01

H2_PV

ua

SP

PV

MV

P_PIP1

ua

SP

PV

MV

P_PIP2

D11

Desac.1

D22

Desac.2

3SP1

1Out1

2Out2

4SP2

6UA1

1UA2

2H1_PV

5H2_PV

x(n+1)=Ax(n)+Bu(n)y(n)=Cx(n)+Du(n)

Controlador Robusto SK/S1

232SP1

222SP2

202UA2

262UA1

212H1_PV

252H2_PV

92Out1

202Out2

Figura 3: Diagrama de blocos das estruturas decontrole: PI e H∞

Instrumentacao da planta Sensores de pres-sao diferencial, modelo MPX2050DP Freescale,faixa de trabalho de 0 a 50 kPa, sensitividade de0.8 mV/kPa, designados como LE01, LE02, LE03e LE04, sao utilizados para medir o nıvel de cadatanque. O sinais dos sensores de pressao piezore-sistivos sao condicionados eletronicamente e trans-mitidos utilizando o padrao industrial de laco decorrente de 4@20mA.

Sensores de vazao eletromagneticos, modeloSM6000 IFM Electronic, faixa de trabalho de 0.1a 25 l/min e resolucao de 0.05 l/min com trans-missor de padrao industrial de laco de corrente de4@20mA (FT01 e FT02) sao usados para medir avazao de cada bomba.

As bombas centrıfugas usadas sao de cor-rente contınua como motor sem escovas (modeloDC50C-1220 da marca Vovyo, potencia nominalde 18.8W , 1200lH−1, conexao 1

2

′′). As bombas

sao acionadas por circuitos de potencia com chavesMOSFET (IRF540) comandados por sinais modu-lados por largura de pulso (PWM) com frequen-cia de chaveamento de 100Hz. A tensao de acio-namento e de 12V CC.

A caracterıstica de acionamento-vazao dasbombas BA01 e BA02 sao nao-lineares, conformeilustrada na figura 4 para operacao em malhaaberta. Como a bomba necessita de pelo menos 6Volts para iniciar o bombeamento, a faixa de acio-namento PWM restringe a 50% uma faixa de con-trole. Para estender a faixa de controle com carac-terıstica linear utilizou-se uma malha de controleescrava PI ilustrada na figura 2 que encapsula ocircuito de acionamento da bomba e um sensorde vazao formando um Atuador de Processo deVazao linearizado conforme ilustrado na figura 4para operacao em malha fechada.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Entrada, %

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Vaz

ao n

orm

aliz

ada,

%

Malha AbertaMalha Fechada

Figura 4: Comparacao da resposta de MA e MFdo atuador

A aquisicao de dados e os comandos digitaisPWM sao realizados pela interface DAQ-PCI6229da National Instruments. Um filtro antialiasinganalogico de 1a ordem com frequencia de cortede 338Hz e utilizado. As variaveis analogicassao amostradas com intervalo de amostragem de1ms e decimadas apos filtragem digital apropri-ada para reamostragem nas malhas de controle devazao e nıvel, TS2 = 0, 2s e TS1 = 5s, respectiva-mente. Os algoritmos de controle e a interface deoperacao e monitoramento sao implementados emSimulinkTM utilizando o toolbox de tempo real,Realtime Toolbox (vide figuras 1 e 2).

Modelagem matematica da planta O mo-delo matematico da planta foi obtido atraves deanalise de princıpios fısicos do processo e balancode massa dos tanques. A dinamica do sistema edada pelas equacoes diferenciais (1).

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h1 = 1

A1

(a3

√2gh3 − a1

√2gh1 + γ1q1

)h2 = 1

A2

(a4

√2gh4 − a2

√2gh2 + γ2q2

)h3 = 1

A3

(−a3

√2gh3 + (1− γ2)q2

)h4 = 1

A4

(−a4

√2gh3 + (1− γ1)q1

) (1)

em que h e o nıvel do tanque, A e a area daseccao transversal do tanque, a e a area da seccaotransversal da saıda do tanque, g e a aceleracao dagravidade, qb e a vazao da bomba. O parametroγ representa a posicao dos registros manuais, oua proporcao da vazao para os tanques inferiores.

Linearizacao do modelo Analisando-se (1)em torno ponto de operacao para as alturas me-dias h = (h1, h2, h3, h4) e para as acoes de controlemedias u(v1, u2), por expansao em serie de Taylor,conforme apresentado em (Johansson et al., 1999),obtem-se a matriz de funcao de transferencia dosistema.

G =

C1γ1q1

A1(1+sC1)C1(1−γ2)q2

A1(1+sC1)(1+sC3)C2(1−γ1)q1

A2(1+sC2)(1+sC4)C2γ2q2

A2(1+sC2)

0 C3(1−γ2)q2A3(1+sC3)

C4(1−γ1)q1A4(1+sC4) 0

(2)

em que Ci =2Ai

√hi

ai√

2g, i = {1, 2, 3, 4}.

Parametrizacao do modelo A partir das ca-racterısticas fısicas construtivas da planta apre-sentadas na tabela (1), obtem-se os valores dosparametros dos modelos (1), (2)

Tabela 1: Parametros do modelog 981cm/s2 gravidadea 0.28cm2 area da saıda do tanqueA (19× 14)cm2 area do tanqueq1 46.66cm3/s vazao maxima de BA01q2 56.66cm3/s vazao maxima da BA2hmax 25cm altura maxima do tanqueγ1 0.2593 proporcao de vazao 1γ2 0.3000 proporcao de vazao 2h1 7.597cm nıvel operacao de TQ01h2 8.942cm nıvel operacao de TQ02h3 4.045cm nıvel operacao de TQ03h4 4.529cm nıvel operacao de TQ04

O valor de γ1 em (2) e determinado avaliando-se a proporcao de vazao fornecida pela bombaBA01 para os tanques TQ01 e TQ04, conformeilustrado na figura 2. O procedimento realizadoconsistiu em tamponar as saıdas dos tanques TQ1e TQ4 e acionar a bomba BA01 ate nıveis arbi-trarios proximos das medias dos tanques, h1 e h4.Foram realizados varios experimentos para ava-liar a variabilidade do parametro γ1, em que foi

percebido a necessidade de se manter os registrosHV 01 e HV 04 com aberturas mınimas de ate 25%da abertura maxima. Procedimento similar e re-alizado para determinacao experimental de γ2 em(1) considerando os tanques TQ02, TQ03 e os re-gistros manuais HV 2 e HV 3. Os parametros saocalculados como γ1 = h1

h1+h4e γ2 = h2

h2+h3.

O ajuste da proporcao de vazao representa-dos pelos parametros γ permite definir caracterıs-ticas dinamicas do acoplamento entre as malhas decontrole, conforme demonstrado em (Johanssonet al., 1999):

0 < γ1 + γ2 < 1 sistema de fase nao-mınima1 < γ1 + γ2 < 2 sistema de fase mınima

Escolheu-se a configuracao de fase nao mı-nima para ser controlada porque essa configuracaoe mais desafiadora para o projeto de controle, jaque o acoplamento entre as malhas fica evidente eo atraso de transporte e maior. A matriz funcaode transferencia do sistema a ser controlado, comas saıdas sendo h1 e h2 controladas pelas acoes u1

e u2 e:

G =

[ 0.04549s+0.006645

0.001118s2+0.01575s+6.052e−05

0.001118s2+0.01473+5.272e−05

0.05263s+0.006126

](3)

Na matriz de funcoes de transferencias querepresenta o modelo linear obtido para a planta,matriz (3), aparecem funcoes de transferencia desegunda ordem. O projeto de um controlador PI efacilitado se um modelo de primeira ordem for en-contrado. O metodo das areas (Astrom and Hag-glund, 2006) e utilizado para aproximar um sis-tema dinamico superamortecido qualquer de or-dem n para um sistema de primeira ordem comatraso de transporte com a seguinte representa-cao:

G(s) =ke−sθ

τs+ 1, (4)

em que k e o ganho de estado estacionario, τe a constante de tempo dominante e θ e o atrasode transporte do sistema. As respostas ao degrauunitario dos modelos (3) e aproximacoes com mo-delos de 1a ordem com atraso de transporte (5)sao mostrados na figura 5.

0 200 400 600 800 1000 12000

5

10

15

20

25Step Response

Time (seconds)

Ampl

itude

0 200 400 600 800 1000 12000

5

10

15

20

1 ordem com atraso2 ordem

Step Response

Time (seconds)

Ampl

itude

Tempo (s)Tempo (s)

Nív

el (c

m)

Nív

el (c

m)

Figura 5: Funcoes de transferencia de 2a ordem eaproximacoes de 1a ordem e atraso de transporte.

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G =

[ 0.04549s+0.006645

0.0966s+0.0052e

−67.8s

0.1036s+0.0049e

−72.9s 0.05263s+0.006126

](5)

3 Estruturas de controle

As estruturas de controle estudadas foram:(i)controle PI multimalha com compensacao di-namina e (ii)controlador multivariavel H∞, con-forme ilustrado nas figuras 2 e 3.

Na implementacao do controle PI multi-malha e preciso estabelecer o emparelhamentode variaveis manipuladas e de processo. Paratanto foi analisado a matriz de ganhos relativos,RGA(relative gain array).

Para a planta quatro tanques, o ganho relativoe definido por (6) (Rocha, 2015).

λ =γ1γ2

γ1 + γ2 − 1(6)

A matriz de ganho relativo obtida para a con-figuracao de fase nao-mınima, com γ1 = 0, 2593 eγ2 = 0.3000, e:

R =

[−0.1765 1.17651.1765 −0.1765

](7)

Portanto, o emparelhamento para o controledescentralizado e 1-2 e 2-1. Conforme ilustrado nafigura 3. Esse emparelhamento cruzado e justifica-vel devido a ajuste dos registros que determinamos parametros γ1 e γ2.

3.1 Algoritmo de controle PI

O algoritmo do controlador PI industrial utilizadoe do tipo PI interativo mostrado na figura 6, des-crito na regiao linear por:

u(s) = K

(1 + sTisTi

)e(s). (8)

(1-b)z -11-bz -1

Filtro discreto

Kn

GanhoSaturação

1SP

2PV

1MV

Z-d

Delay3ua

manualvalue

0 - Manual/Automático

(1-bw)z -11-bwz -1

Filtro SP 1 - Simples/Preditivo

2 - APV

Figura 6: Diagrama de bloco do controlador PIimplementado

Os mecanismos de robustecimento do PI in-dustrial ilustrado na figura 6 sao:

• Mecanismo de chaveamento de modo ma-nual para automatico sem tranco, utilizadono comissionamento da planta para estabele-cimento de ponto de operacao de referencia.

• Bloco de saturacao para prevencao de wind-up.

• Bloco de atraso de transporte para incorpo-racao de caracterısticas preditivas que favore-cem a estabilidade das malhas de controle;

• Modo para realimentacao externa da acaode controle para uso como atuador de pro-cesso em configuracao de cascata (Braga andClarke, 1999).

• Filtro de Set point ou referencia para sinto-nia do controlador utilizando dois graus deliberdade.

A implementacao do algoritmo PI, mostradana figura 6 utiliza aproximacao bilinear propostaem (Clarke, 1984), cuja a conversao dos parame-tros PI industrial para PI interativo e dada:

Kn = K(1 + h/2Ti)β = (2Ti − h)/(2Ti + h).

(9)

Aproximando-se os modelos linearizados dostanques conforme ilustrados na figura 5 com mo-delos de 1a ordem mais atraso de transporte,identifica-se os parametros (ganho, constante detempo dominante e atraso de transporte) que saoutilizados na sintonia dos controladores PI.

A sintonia inicial dos controladores PI foi feitaconsiderando Ti = θ + τ , e K = 1/Kp, em (4). Oatraso de transporte θ, mostrado em (5) foi utili-zado para o algoritmo de controle PI-preditivo emque d = dθ/he, (Astrom and Hagglund, 2006).

A operacao com o algoritmo do controladorPI interativo ilustrado na figura 6 e realizada emtres modos distintos:

• PI-simples, configuracao sem atraso na malhade realimentacao interna do termo integral.

• PI-preditivo, configuracao com estimativa doatraso de transporte do processo na malha derealimentacao positiva do termo integral.

• PI-APV preditivo, configuracao com as medi-das da malha de controle interna de vazao re-alimentadas externamente atraves da entradaAtuador PV na figura 6.

Na estrategia de PI multimalha utiliza-secompensadores dinamicos para desacoplamentodas malhas. Considerando o emparelhamento cru-zado, os compensadores dinamicos sao calculadosa partir dos elementos da matriz de funcoes detransferencia (3),

D22 = −G11

G12D11 = −G22

G21. (10)

3.2 Projeto Loop Shaping H∞

Loop shaping e um metodo classico de projeto decontroladores, originado com os trabalhos de Bode(Bode, 1945) onde especifica-se o modulo para afuncao do ramo direto L(s) em funcao da frequen-cia, i.e., a forma (shape) de L(jω).

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Figura 7: Representacao padrao de uma malha de

controle considerando os pesos W1(s) e W2(s) usados

no projeto S/KS. O segundo diagrama apresenta a

estrutura padrao para o projeto H∞ em que se tem

a planta generalizada P (s) e o controlador K(s) em

uma estrutura que gera uma malha fechada Tzw dada

por Tzw = F`(P,K), sendo F` a ”transformacao linear

fracionaria”entre P e K.

No caso de controladores H∞, estende-se oconceito de loop shaping introduzido por Bodepara se projetar controladores a partir de espe-cificacoes das formas das funcoes de malha fe-chada, (Skogestad and Postlethwaite, 1996; Bra-atz et al., 1996) e da minimizacao de normas(geralmente H2 ou H∞). Neste caso, o pro-jeto denomina-se loop shaping robusto (Braatzet al., 1996; Glover et al., 1992; Postlethwaiteet al., 1991; Qi and Tsuji, 1996).

Loop shaping robusto, portanto, e uma tec-nica de projeto de controladores no domınio dafrequencia que relaciona a forma (shape) de fun-coes de malha fechada com especificacoes de de-sempenho e robustez.

Dentre das diversas possibilidades e esque-mas de projetos, usa-se o projeto via sensitivi-dade composta (mixed sensitivity), mais especi-ficamente do projeto baseado no esquema S/KSem que se utiliza o shape das funcoes sensitivi-dade de saıda, S(s), e sensitividade de controle,K(s)S(s) como criterio de projeto. A funcao S(s)e definida para a malha padrao de controle dadana figura 7 como sendo

S(s) = (I +G(s)K(s))−1

O procedimento para o projeto H∞ via loop sha-ping consiste em (vide figura 7):

• definicao da estrutura de projeto, i.e., mon-tagem da matriz generalizada, P (s) a partirdas definicoes dos pesos Wi, que sao as fun-coes que definem o shaping das funcoes demalha fechada usadas na otimizacao;

• montagem da malha fechada aumentada Tzwa partir de P (s) e K(s);

• calculo de K(s) a partir da minimizacao de||Tzw||∞ ou da verificacao de factibilidade de||Tzw||∞ ≤ γ.

O projeto loop shaping via funcoes sensitivi-dade, ou simplesmente loop shaping robusto en-

cerra consigo as questoes da robustez, uma vezque as normas H∞ das funcoes sensitividade pos-suem relacao direta com as definicoes de robustezpara determinados sistemas incertos.

Relacoes para S(s) A funcao S(s) deve possuiras seguintes caracterısticas: (i) S(s) deve ter umafaixa de passagem mınima especificada, relacio-nada com a do sistema em malha aberta, wb;(ii)o modulo de S(s) deve ter um valor maximo es-pecificado para em uma dada faixa de frequenciade interesse, relacionada com o sistema em ma-lha aberta; (iii) em baixas frequencias (ω → 0),S deve ter um valor nulo, indicando erro zero emregime. Essas caracterısticas determinam os grausde liberdade para o projeto S/KS

Na filosofia do projeto S/KS, essas caracterıs-ticas de S(s) sao expressas por uma funcao sen-sitividade especificada, Se(s), que pode ser dadapor:

Se(s) =s

(1/M)s+ ω1(11)

sendo M o valor maximo para a sensitividade(pico de S(s)) e ω1 a faixa de passagem em malhafechada desejada, definida como sendo a frequen-cia onde |Se(jω)| corta 1/

√(2) = 0, 707 (≈ −3

dB) a partir do seu valor mınimo.A equacao 11 define um perfil em frequencia

no qual espera-se que o comportamento do sis-tema real se assemelhe. Ela e a base do projetoS/KS considerado nesse trabalho. Essa funcaodesejada e representada no projeto pela ponde-racao W1(s) (vide figura 7). Alem dessa especifi-cacao, especifica-se tambem a funcao ponderacaoW2(s), relacionada com peso relativo do efeito dosinal de controle u na otimizacao para o calculode K(s). E facil ver que o peso W2 esta relaci-onado com a especificacao em frequencia do pro-duto K(s)S(s) (vide por exemplo (Skogestad andPostlethwaite, 1996)).

Algoritmo do projeto H∞ Os parametros Me ω1, sao avaliados e a cada novo valor de cadaparametro, um novo controlador e obtido. A res-posta de cada controlador calculado e entao simu-lada. Ao final, avalia-se a resposta temporal dassaıdas e das acoes de controle.

A faixa de variacao de cada uma dos parame-tros e:

• 10−3 6 ω1 6 1 Varia-se a faixa de passagempara MF de um valor igual a faixa de passa-gem de MA ate um valor 100 vezes maior.

• 1 6M 6 3 Valor sugerido eM = 2 (Miranda,2000).

A escolha de ω1 e inicialmente feita baseadono diagrama de bode do sistema G do par de en-trada e saıda mais importantes, no caso G12(s) e

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G21(s). A partir da busca dos melhores parame-tros para o modelo simulado, considerou-se umaescolha razoavel os seguintes valores para os para-metros das ponderacoes: ω1 = 5 · 10−1 e M = 2.

Definidos os parametros, executa-se o projetoH∞ para os pesos W1 e W2, que sao matrizes anti-diagonais 2x2, devido ao emparelhamento 1-2/2-1.

W1 =

[0

1M1

s+ω1

s1

M2s+ω2

s 0

](12)

W2 =

[0 0.5

0.5 0

](13)

A partir da matriz de funcoes de transferen-cia do modelo da planta, e dos parametros passa-dos, o algoritmo de projeto do controlador (vide(Miranda, 2000)) calcula o controlador K(s) narepresentacao de espaco de estados:

A =

18.1263 −16.5820 7.3271 −6.5083 0.5274 −0.3920

−18.1695 16.8439 −7.3983 6.5721 −0.3279 0.5815−44.6206 39.2061 −17.2546 16.0855 −0.8358 1.406151.6209 −49.6359 21.8645 −18.5683 1.5524 −1.2038

0 0 0 0 1.0000 00 0 0 0 0 1.0000

,

(14)

B =

−0.9053 1.21801.3431 −0.75743.2476 −1.9304

−2.7804 3.58560 4.6194

4.6194 0

, (15)

C =

[62.1160 −59.7274 26.3098 −23.4960 1.8680 −1.4485

−56.8838 49.9812 −23.2148 20.5063 −1.0655 1.7925

],

(16)

D =

[−3.3457 4.31464.1401 −2.4609

], (17)

O procedimento de escolha dos pesos apresen-tados e realizada de maneira iterativa (tentativae erro), utilizando os algoritmos desenvolvidos edisponibilizados em (Miranda, 2000).

4 Resultados simulados e experimentais

A figura 8 mostra a comparacao da resposta aodegrau do PI-simples, PI-preditivo e PI-APV. Osvalores dos parametros ganho Kp e tempo in-tegral Ti foram os mesmos em todos os testes,i.e. Ti1 = Ti2 = 400s;K1 = 1.2626;K2 =1.0999;Tpreditivo = 16. O algoritmo PI-preditivoapresentou o melhor desempenho.

A figura 9 mostra a comparacao entre a me-lhor configuracao do controlador PI-APV e o con-trolador H∞ seguindo um perfil de referencia.

No instante T1, destacado na figura 9, um de-grau positivo e aplicado na referencia de H1. Noinstante T3, um degrau negativo e aplicado na re-ferencia de H1. No instante T2, um degrau apli-cado na referencia de H2. Pouco tempo depois,no teste do controlador H∞, o sensor de vazaofalha e abre a manha de controle de vazao. En-tao, a bomba e acionada com potencia maxima.Em um determinado momento, o sensor de va-zao volta a responder corretamente, mas o nıveldo tanque esta distante da referencia. Apesar dos

2500 3000 3500 4000 4500 5000 55009.5

10

10.5

11

11.5

12

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13 TQ01

2500 3000 3500 4000 4500 5000 55009.5

10

10.5

11

11.5

12

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13 TQ02

ReferenciaPI-preditivoPI simplesPI-APV

2500 3000 3500 4000 4500 5000 55000.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7 MV 01

2500 3000 3500 4000 4500 5000 55000.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7 MV 02

Tempo (s) Tempo (s)

Tempo (s)Tempo (s)

Nív

el (c

m)

Nív

el (c

m)

MV

(%)

MV

(%)

Figura 8: Comparacao de respostas dos algorit-mos e estrategias de controladores PI multimalha.

nıveis dos tanques estarem fora do ponto de opera-cao do modelo linearizado, o controlador H∞ ro-busto consegue retomar o controle dos nıveis comestabilidade. A falha do sensor de vazao nao acon-teceu durante o teste com o controlador PI.

A tabela 2 apresenta ındices de desempenhodos controladores implementados. Sao compara-dos: Sobrelevacao(O.S), tempo de acomodacao2%(Ts) e integral do valor absoluto do erro (IAE).O controlador H∞ apresentou os melhores ındicesde desempenho. E interessante notar na figura 9que a reacao as mudancas de referencia das malhasresultou em direcoes opostas de compensao entreas estrategias PI multimalha e H∞, mas ambascompensam adequadamente as interacoes entre asmalhas. Embora o controlador H∞ tenha resul-tado em tempos de acomodacao para mudancasem degrau na referencia, o controlador PI multi-malha rejeitou com melhor desempenho a pertur-bacao de carga no instante T3.

Tabela 2: Tabela comparativa do desempenho dostestes experimentais

Tecnica O.S Ts IAEPI-Simples 7.17% 1485 s 1.824

PI-Preditivo 4.00% 1410 s 1.568PI-APV 3.67% 1230 s 1.740

H∞ - 1340 s 1.410

5 Conclusoes

Apresentou-se detalhes de construcao, caracteri-zacao e modelagem matematica de uma plantaquatro tanques. Duas estrategias de controle mul-tivariavel, viz. PI multimalha com compensacaodinamica e H∞ multivariavel projetado via Loopshaping foram testadas e comparadas utilizandoresultados experimentais. Ambas as estrategias semostraram estaveis e robustas para o controle da

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0 0.5 1 1.5 2#104

4

6

8

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12 TQ01

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12 TQ02

PI-APVRobusto

0 0.5 1 1.5 2#104

0

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1 MV 01

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0

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1 MV 02

T1 T2 T3 T1 T2 T3

T1 T2 T3 T1 T2 T3

Tempo (s) Tempo (s)

Tempo (s)Tempo (s)

Nív

el (c

m)

Nív

el (c

m)

MV,

%

MV,

%

Figura 9: Comparacao de desempenho de controle dos controladores PI-APV multimalha e H∞ multi-variavel

planta quatro tanques na configuracao mais de-safiadora com ajustes de parametros que resul-tam em um planta com forte interacao entre asmalhas e com caracterısticas de fase nao-mınima.A planta quatro Tanques se mostrou valiosa ilus-trando diversas consideracoes no desenvolvimentode estrategias de controle classica e moderna parasistemas multivariaveis.

Agradecimentos

Agradecemos o suporte financeiro do CNPq, CE-MIG/ANEEL e COLTEC-UFMG.

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