ZNO 11 geometria kapinosov B5fel2005.dp.ua/docs/blog/14/014.pdfЗнайти менший...

197

ГЕОМЕТРІЯ

РОЗДІЛ І. ПЛАНІМЕТРІЯ

ТЕМА 1. ТРИКУТНИК

Частина 1 Завдання 1–20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку.

1. У трикутнику АВС сторони АВ і АС відповідно дорівнюють 6 см і 10 см. Вказати всі можливі значення довжини сторони ВС.

А Б В Г Д ВС < 16 см 6 см < ВС < 16 см 6 см < ВС < 10 см 4 см < ВС < 16 см 5 см < ВС < 15 см

2. Градусні міри кутів трикутника відносяться як 3 : 2 : 10. Знайти градусну міру най-меншого кута трикутника.

А Б В Г Д 12° 20° 24° 36° 18°

3. Зовнішні кути при двох вершинах трикутника дорівнюють 70° і 150°. Знайти внутрі-шній кут при третій вершині.

А Б В Г Д 40° 50° 60° 100° 140°

4. У трикутнику АВС ∠A = 30° і ∠B = 105°. Знайти відношення BCAB

.

А Б В Г Д

32

13

12

2 12

5. У трикутнику АВС АВ = 3 см, АС = 2 см і ∠A = 30°. Знайти довжину медіани ВМ. А Б В Г Д

7 7 1 13 11

198

6. О — точка перетину відрізків АD і ВС, відрізки АВ і СD паралельні. АВ = а, СD = b. Знайти АО, якщо ОD = с.

A

C

B

D

O

a

b

c

А Б В Г Д

bac

bca

abc

abc acb

7. У трикутнику MNK MN = k, NK = m i МK = n, NL — бісектриса трикутника. Знайти до-вжину відрізка ML.

M

N

KL n

mk

А Б В Г Д

kk m n+ +

kmn knm

knk m+

mnk m+

8. Відповідні сторони подібних трикутників дорівнюють 14 см і 21 см. Знайти площу ме-ншого трикутника, якщо площа більшого трикутника дорівнює 180 см2.

А Б В Г Д 80 см2 120 см2 60 см2 100 см2 90 см2

9. Одна зі сторін трикутника дорівнює 7 см. Знайти висоту, проведену до цієї сторони, якщо площа трикутника дорівнює 35 см2.

А Б В Г Д 2,5 см 5 см 7,5 см 10 см 12,5 см

10. Два кути трикутника дорівнюють α і β, а радіус кола, описаного навколо трикутника, дорівнює R. Визначити площу трикутника. А Б В Г Д

24 sin( )R α +β 22 sin( )R α +β 22 sin sinR α β 24 sin sin sin( )R α β α+β 22 sin sin sin( )R α β α+β

11. Дві сторони трикутника дорівнюють 48 см і 28 см. Вказати всі можливі значення пе-риметра трикутника.

А Б В Г Д 20 см < P < 76 см 76 см < P < 152 см 20 см < P < 152 см 96 см < P < 152 см 76 см < P < 96 см

199

12. О — точка перетину бісектрис АK і BL трикутника АВС. Знайти ∠AOB, якщо ∠C = 50°.

A

B

C

O

L

K

А Б В Г Д 100° 115° 120° 130° 135°

13. Градусні міри зовнішніх кутів трикутника АВС при вершинах А, В і С відносяться як 3 : 4 : 5. Як відносяться градусні міри внутрішніх кутів трикутника при вершинах А, В і С?

А Б В Г Д 3 : 4 : 5 5 : 4 : 3 3 : 2 : 1 7 : 8 : 9 9 : 8 : 7

14. Кути трикутника відносяться як 1 : 2 : 3. Знайти відношення протилежних їм сторін. А Б В Г Д

1 : 2 : 3 3 : 2 : 1 1 : 3 : 2 1 : 3 : 2 1 : 2 : 2

15. Сторони трикутника дорівнюють 7 см, 8 см і 10 см. Знайти косинус найбільшого кута цього трикутника.

А Б В Г Д

29140

23112

19140

13112

1356

16. У трикутнику АВС ВМ — медіана, ∠ABM = α, ∠MBC = β, ВМ = m. Визначити сторону АВ.

A

C

B

M

m

А Б В Г Д

2 sin( )sin

m α +ββ

2 sin sin sin( )m α β α +β 2 sinsinm β

α 2 sin sinm α β

2 sinsin( )

m βα +β

17. Два трикутники подібні. Сторони одного з них дорівнюють 7 см, 12 см і 16 см, а сто-рони іншого — 40 см, 30 см та х см. Знайти х.

А Б В Г Д 18 см 17,5 см 20 см 24 см 18,5 см

200

18. У трикутнику АВС відрізок DЕ з кінцями на сторонах АВ і ВС паралельний стороні АС. S∆DBE = 4 см2, SАDEС = 5 см2, DE = 7 см. Знайти довжину АС.

A

B

C

D E

А Б В Г Д

9,5 см 293

см 12 см 10,5 см 9 см

19. S(α) — площа трикутника з даними сторонами а і b та змінним кутом α між ними. Який з наведених графіків може бути графіком функції S(α)?

А Б В Г Д

1

π

S

α0 1

π

1

π

S

α0 1

π

1

π

S

α0 1

π

1

π

S

α0 1

π

1

π

S

α0 1

π

20. S(h) — площа трикутника з даною стороною а і змінною висотою h, проведеною до неї. Який з наведених графіків може бути графіком функції S(h)?

А Б В Г Д

1

S

0 1 h

1

S

0 1 h

1

S

0 1 h

1

S

0 1 h

1

S

0 1 h

Частина 2 Розв’яжіть завдання 21–30. Запишіть відповідь у зошит. 21. Величини кутів трикутника АВС при вершинах А, В і С відносяться, як 5 : 6 : 7. Знайти

величину кута між висотою CD і бісектрисою кута А трикутника. 22. Знайти площу гострокутного трикутника, якщо дві його сторони дорівнюють 2 см і

1 см, а квадрат косинуса кута між ними дорівнює 14

.

23. У трикутнику АВС висота ВK поділяє сторону АС на відрізки 1 см і 3 см. Знайти дов-жину медіани ВМ трикутника АВС, якщо ВK = 2 см.

24. У трикутнику АВС проведено медіану АK, яка дорівнює 13 24

см і утворює зі сторо-

ною АС кут 30°. Знайти ВС, якщо ∠BCA = 45°.

201

25. У трикутнику АВС сторони, протилежні до кутів А, В і С, відповідно дорівнюють а, b і

с. О — точка перетину його бісектрис ВD і СL. Знайти відношення ODOB

.

26. Периметр трикутника дорівнює 50 см, а його бісектриса ділить протилежну сторону на відрізки завдовжки 15 см і 5 см. Знайти меншу сторону трикутника.

27. Сторона трикутника дорівнює а. Знайти довжину відрізка прямої, яка паралельна цій стороні та ділить площу трикутника навпіл.

28. Одна зі сторін трикутника дорівнює 2 см, а прилеглі до неї кути дорівнюють 30° і 45°. Знайти площу трикутника.

29. Знайти площу трикутника, дві сторони якого дорівнюють 28 м і 30 м, а медіана, що проведена до третьої сторони, — 13 м.

30. На сторонах АВ і АС трикутника АВС відповідно позначено такі точки М і К, що ∠AMK = ∠C, АМ = 4 см, МВ = 2 см і АK = 3 см. Знайти довжину відрізка KС.

Частина 3 Для розв’язання завдань 31–35 обов’язкове обґрунтування. Запишіть послідовні логі-чні дії та поясніть їх, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдання схемами, гра-фіками, таблицями. Запишіть відповідь у зошит. 31. Відношення двох внутрішніх кутів трикутника дорівнює 2 : 3, а зовнішніх кутів при

цих же вершинах 11 : 9. Знайти третій внутрішній кут трикутника. 32. Сторони трикутника дорівнюють 4 см, 5 см і 6 см. Знайти довжину медіани, проведе-

ної до сторони завдовжки 5 см. 33. Одна зі сторін трикутника дорівнює 10 см, а медіани, що проведені до двох інших сто-

рін, дорівнюють 9 см і 12 см. Знайти площу трикутника. 34. Дві сторони трикутника дорівнюють b і с, а бісектриса кута між ними дорівнює l. Ви-

значити третю сторону трикутника. 35. У трикутнику, дві сторони якого дорівнюють а і b, сума висот, опущених на ці сторо-

ни, дорівнює третій висоті. Визначити третю сторону.

202

ТЕМА 2. ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК

Частина 1 Завдання 1–20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку. 1. Один з гострих кутів прямокутного трикутника на 18° більший від іншого. Знайти бі-

льший з цих кутів. А Б В Г Д

66° 68° 36° 54° 48° 2. Катети прямокутного трикутника дорівнюють a і b (a > b). Визначити довжину медіа-

ни, проведеної до меншого катета. А Б В Г Д

22

2ba −

22

2ba + 2 21

2a b+

22

4a b+

22

4ba +

3. Катет прямокутного трикутника дорівнює 12 см, а медіана, що проведена до нього, дорівнює 8 см. Знайти інший катет трикутника.

А Б В Г Д

8 см 2 7 см 4 5 см 12 см 8 5 см

4. Один з катетів і гіпотенуза прямокутного трикутника відповідно дорівнюють 5 см і 13 см. Знайти площу трикутника.

А Б В Г Д 65 см2 32,5 см2 30 см2 60 см2 130 см2

5. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 60 см і 80 см. Знайти висоту трикутни-ка, проведену до гіпотенузи.

А Б В Г Д 24 см 36 см 48 см 56 см 96 см

6. Катет та гіпотенуза прямокутного трикутника відповідно дорівнюють 10 см і 26 см. Знайти проекцію цього катета на гіпотенузу.

А Б В Г Д

8 см 5,2 см 8713

см 2,6 см 11313

см

7. Знайти гіпотенузу прямокутного трикутника, у якого висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює 6 3 см, а проекція одного з катетів на гіпотенузу дорівнює 6 см.


203

8. Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює b, а протилежний до нього кут — β. Визначити радіус кола, описаного навколо трикутника.

А Б В Г Д

2sinbβ

2cos

bβ

sin2

b β 2sin

bβ

2cos

bβ

9. Гострий кут прямокутного трикутника дорівнює α. Визначити катет, прилеглий до цього кута, якщо радіус кола, вписаного в трикутник, дорівнює r.

А Б В Г Д

tg2

r α ctg2

r α 1 ctg2

r α⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

1 tg2

r α⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

2 ctg2

r α

10. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 5 см і 12 см. Знайти радіус кола, вписа-ного в трикутник.

А Б В Г Д 4 см 2 см 8 см 8,5 см 6 см

11. У прямокутному трикутнику один з гострих кутів дорівнює α, а висота, що проведена до гіпотенузи, дорівнює h. Визначити площу трикутника.

А Б В Г Д 2

2sinh

α 22 sin 2h α 2 sin 2h α

2

2sin 2h

α

2

sin 2hα

12. Гострі кути прямокутного трикутника відносяться як 1 : 2. Знайти відношення проти-лежних їм катетів.

А Б В Г Д

1 : 2 1 : 3 1 : 2 1 : 3 1 : 5

13. Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює 12 см, а гіпотенуза дорівнює 20 см. Знайти менший з відрізків, на які поділяє гіпотенузу бісектриса прямого кута.

А Б В Г Д

487

см 5612

см 6 см 5 см 247

см

14. Бісектриси двох кутів прямокутного трикутника утворюють при перетині кут 79°. Знайти менший гострий кут трикутника.

А Б В Г Д 11° 17° 22° 34° 44°

15. У прямокутному трикутнику один з гострих кутів дорівнює 27°. Знайти кут між бісек-трисою і висотою трикутника, проведеними з вершини прямого кута.

А Б В Г Д 8° 16° 32° 28° 18°

204

16. У прямокутному трикутнику один з гострих кутів дорівнює 32°. Знайти кут між висо-тою і медіаною, проведеними з вершини прямого кута.

А Б В Г Д 32° 26° 36° 33° 23°

17. Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника поділяє гіпотенузу на відрізки у ві-дношенні 3 : 4. У якому відношенні ділить гіпотенузу висота?

А Б В Г Д

3 : 4 3 : 2 9 : 16 2 : 3 1 : 2

18. Знайти площу прямокутного трикутника, у якого бісектриса прямого кута ділить гіпо-тенузу на відрізки завдовжки 4 см і 8 см.

А Б В Г Д 32 см2 16 см2 57,6 см2 28,8 см2 14,4 см2

19. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 10 см. Якою найбільшою може бути площа трикутника?

А Б В Г Д

75 см2 100 см2 50 см2 25 см2 не можна визначити

20. На сторонах прямокутного трикутника АВС (∠С = 90°) побудовані квадрати. Площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює 400 см2, а різниця площ квадратів, по-будованих на катетах, дорівнює 112 см2. Знайти площу трикутника.

B

C

A

S1

S2

400 см2

А Б В Г Д

168 см2 84 см2 96 см2 192 см2 48 см2

Частина 2 Розв’яжіть завдання 21–30. Запишіть відповідь у зошит. 21. Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника утворює з протилежною стороною

кути, один з яких дорівнює 70°. Знайти менший гострий кут трикутника.

22. Катети прямокутного трикутника відносяться як 2 : 1, а гіпотенуза дорівнює 5 5 см. Знайти більший катет.

205

23. Катет прямокутного трикутника дорівнює 28 см, різниця двох інших його сторін дорі-внює 8 см. Знайти гіпотенузу.

24. У прямокутному трикутнику висота і медіана, проведені до гіпотенузи, відповідно до-рівнюють 24 см і 25 см. Знайти периметр трикутника.

25. У прямокутному трикутнику катет дорівнює 12 см, а тангенс прилеглого кута дорів-

нює 56

. Знайти гіпотенузу.

26. Проекції катетів прямокутного трикутника на гіпотенузу дорівнюють 4 см і 21 см. Знайти менший катет.

27. Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює 5 см, а проекція іншого катета на гіпотенузу дорівнює 4 см. Знайти гіпотенузу.

28. Точка дотику вписаного в прямокутний трикутник кола ділить гіпотенузу на відрізки 3 см і 10 см. Знайти площу трикутника.

29. Точка дотику вписаного в прямокутний трикутник кола ділить гіпотенузу на відрізки 4 см і 6 см. Знайти радіус вписаного кола.

30. Знайти площу прямокутного трикутника, якщо його висота ділить гіпотенузу на відрі-зки 18 см і 32 см.

Частина 3 Для розв’язання завдань 31–35 обов’язкове обґрунтування. Запишіть послідовні логі-чні дії та поясніть їх, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдання схемами, гра-фіками, таблицями. Запишіть відповідь у зошит. 31. Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника поділяє гіпотенузу на відрізки, що

дорівнюють m і n. Визначити висоту, проведену з вершини прямого кута. 32. У прямокутному трикутнику висота і бісектриса, проведені з вершини прямого кута,

відповідно дорівнюють h і l. Визначити площу трикутника. 33. У прямокутний трикутник вписано коло радіуса r. Визначити менший гострий кут

трикутника, якщо довжина гіпотенузи 5 r. 34. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, дорівнює h, а

відстань від вершини прямого кута до точки перетину бісектриси меншого гострого кута з меншим катетом дорівнює d. Визначити довжину меншого катета.

35. У прямокутному трикутнику катет дорівнює 12, а гіпотенуза дорівнює 13. Знайти бісе-ктрису трикутника, проведену з вершини меншого кута.

206

ТЕМА 3. РІВНОБЕДРЕНИЙ ТРИКУТНИК

Частина 1 Завдання 1–20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку. 1. Знайти периметр рівнобедреного трикутника зі сторонами 3 см і 7 см.

А Б В Г Д 20 см 10 см 13 см 17 см 17 см або 13 см

2. У рівнобедреному трикутнику АВС кут С дорівнює 104°. Знайти кут В. А Б В Г Д

66° 76° 38° 28° 48°

3. Знайти площу рівнобедреного трикутника, у якого бічна сторона дорівнює 4 2 см, а кут між бічними сторонами дорівнює 30°.

А Б В Г Д

8 2 см2 16 3 см2 8 3 см2 16 см2 8 см2

4. У рівнобедреному трикутнику бічна сторона дорівнює 10 см, а висота, що проведена до основи, — 6 см. Знайти площу трикутника.


5. У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до бічної сторони, поділяє її на відрі-зки 8 см і 2 см, починаючи від вершини кута між бічними сторонами. Знайти площу трикутника.

C

B

A2

8

D


207

6. У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює 6 см, а радіус кола, описаного навколо трикутника, — 5 см. Знайти висоту, проведену до основи.

C

B

A D

O5

5

6 А Б В Г Д

8 см 9 см 10 см 11 см 12 см 7. У рівнобедреному трикутнику кут при основі дорівнює α, а радіус кола, вписаного в

трикутник, дорівнює r. Визначити бічну сторону трикутника.

C

B

A D

rO

K

А Б В Г Д

sin cos2

r α α tg cos2

r α α tg2

cos

r α

α ctg cos

2r α α ctg

2cos

r α

α

8. Знайти площу рівностороннього трикутника зі стороною 2 3 см.

А Б В Г Д

3 см 3 см 3 3 см 4 3 см 2 3 см

9. Радіус кола, вписаного в рівносторонній трикутник, дорівнює 4 3 см. Знайти сторону трикутника.


10. Сторона правильного трикутника дорівнює 20 3 см. Знайти проекцію однієї медіани на іншу.

А Б В Г Д

15 см 20 см 30 см 40 см 10 3 см

208

11. У рівнобедреному трикутнику бісектриси кутів при основі утворюють при перетині кут 52°. Знайти кут між бічними сторонами трикутника.

C

B

A

K LO

А Б В Г Д

72° 74° 76° 78° 84° 12. О — точка перетину висот АМ і СK рівнобедреного трикутника АВС з основою АС.

Знайти кут В, якщо ∠АОС = 110°.

C

B

A

K O M

А Б В Г Д

70° 80° 60° 50° 35° 13. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 55 см, а висота, що проведена до

основи, — 44 см. Знайти відношення відрізків, на які поділяє бічну сторону бісектриса кута при основі.

А Б В Г Д 2 : 3 3 : 4 4 : 5 5 : 6 6 : 7

14. Сторона рівностороннього трикутника дорівнює 8 3 см. Знайти радіус кола, яке про-ходить через середини сторін трикутника.

А Б В Г Д

2 см 8 см 4 см 4 3 см 2 3 см.

15. Знайти радіус кола, вписаного в рівнобедрений трикутник, основа якого дорівнює 160 см а висота, проведена до неї, — 60 см.

А Б В Г Д

2263

см 1133

см 40 см 1177

см 487

см

209

16. Знайти відстань від точки перетину медіан до центра кола, вписаного в рівнобедрений трикутник з основою 160 см і бічною стороною 100 см.

А Б В Г Д

1133

см 133

см 6237

см 263

см 273

см

17. Центр кола, вписаного в рівнобедрений трикутник, поділяє висоту, що проведена до основи, у відношенні 10 : 3. Знайти периметр трикутника, якщо бічна сторона дорів-нює 20 см.


18. Основа і бічна сторона рівнобедреного трикутника відповідно дорівнюють 16 см і 10 см. Знайти висоту трикутника, проведену до бічної сторони.

А Б В Г Д 34 см 6 см 8 см 9,6 см 4,8 см

19. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 48 см. За якого значення висоти, проведеної до основи, площа трикутника буде найбільшою?

А Б В Г Д

24 см 24 2 см 12 2 см 12 3 см 8 3 см

20. S — площа рівностороннього трикутника. Серед наведених графіків указати графік за-лежності периметра Р від S: Р = Р(S).

А Б В Г Д

1

S

0 1 P

1

S

0 1 P

1

S

0 1 P

1

S

0 1 P

1

S

0 1 P

Частина 2 Розв’яжіть завдання 21–30. Запишіть відповідь у зошит. 21. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 20 см. Знайти його основу, якщо вона

на 2 см більша від бічної сторони. 22. Кут при основі АВ рівнобедреного трикутника дорівнює 30°. Висоти трикутника, про-

ведені до бічних сторін, перетинаються в точці О. Знайти ∠АОВ. 23. У рівнобедреному трикутнику АВС основа АС дорівнює 18 см. Через точку О — сере-

дину висоти ВD — проведено промені АО і СО, які перетинають бічні сторони в точ-ках М і K. Знайти довжину відрізка МK.

24. У рівнобедреному трикутнику основа і бічна сторона відповідно дорівнюють 5 см і 20 см. Знайти менший з відрізків, на які поділяє бічну сторону бісектриса кута при основі.

14* Капіносов А. та ін. ЗНО. Математика

210

25. У рівнобедреному трикутнику центр вписаного кола ділить висоту, проведену до ос-нови, у відношенні 12 : 5, а бічна сторона дорівнює 60 см. Знайти периметр трикутни-ка.

26. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 108 см, а основа — 30 см. Знайти ра-діус вписаного кола.

27. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 12 см, а висота, що проведена до осно-ви, — 8 см. Знайти радіус кола, вписаного в цей трикутник.

28. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює а, радіус вписаного кола — r. Визначити бічну сторону трикутника.

29. У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює а, висота, що проведена до основи, — h. Визначити відстань від середини основи до бічної сторони.

30. Знайти кут при основі рівнобедреного трикутника, якщо із середини висоти, проведе-ної до основи, основу видно під кутом 60°.

Частина 3 Для розв’язання завдань 31–35 обов’язкове обґрунтування. Запишіть послідовні логі-чні дії та поясніть їх, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдання схемами, гра-фіками, таблицями. Запишіть відповідь у зошит. 31. Знайти кут між бічними сторонами рівнобедреного трикутника, якщо бісектриса кута

при основі відтинає від нього трикутник подібний даному. 32. Знайти площу рівнобедреного трикутника, якщо висота, яка проведена до бічної сто-

рони, дорівнює 12 см, а інша висота — 9 см. 33. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює b, медіана, яка проведена до бічної

сторони, дорівнює m. Визначити основу трикутника. 34. У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює а, бічна сторона — b. Визначити бісе-

ктрису кута при основі. 35. У правильному трикутнику зі стороною 6 см на одній зі сторін узято точку на відстані

1 см від вершини. Знайти відстань від цієї точки до центра трикутника.

211

ТЕМА 4. ЧОТИРИКУТНИКИ

Частина 1 Завдання 1–20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку. 1. Сума двох кутів паралелограма дорівнює 130°. Знайти найбільший кут паралелограма.

А Б В Г Д 140° 120° 105° 115° 125°

2. Периметр паралелограма дорівнює 84 см, а сума двох його сторін — 58 см. Знайти ме-ншу сторону паралелограма.


3. Бісектриса гострого кута паралелограма поділяє сторону на відрізки завдовжки 7 см і 10 см, починаючи від вершини тупого кута. Знайти периметр паралелограма.


4. Одна зі сторін прямокутника дорівнює 8 см. Знайти площу прямокутника, якщо площа круга, описаного навколо нього, дорівнює 25π см2.


5. Діагональ ромба утворює з однією зі сторін кут, що дорівнює 54°. Знайти менший кут ромба.

А Б В Г Д 36° 26° 72° 62° 27°

6. Одна з діагоналей ромба дорівнює 30 см. Знайти іншу діагональ ромба, якщо його пе-риметр дорівнює 68 см.


7. Сторона ромба дорівнює 6 см, а його площа — 18 см2. Знайти найбільший кут ромба. А Б В Г Д

105° 120° 130° 135° 150° 8. Сторони паралелограма дорівнюють 18 см і 30 см, а висота, яка проведена до більшої

сторони, — 6 см. Знайти іншу висоту паралелограма. А Б В Г Д

10 см 20 см 15 см 3,6 см 18 см

212

9. Висота рівнобічної трапеції, яка проведена з вершини тупого кута, поділяє основу на від-різки завдовжки 5 см і 11 см. Знайти периметр трапеції, якщо її висота дорівнює 12 см.


10. Дві менші сторони прямокутної трапеції дорівнюють а, а один з її кутів — 45°. Визна-чити площу трапеції.

А Б В Г Д

а2 252

a 2а2 3а2 232

a

11. Висоти паралелограма дорівнюють h1 i h2, а кут між ними — α. Визначити площу па-ралелограма.

h1

h2

A

B C

DM

N

А Б В Г Д

1 2

cosh h

α 1 2

sinh h

α 1 2 sinh h α 1 2 cosh h α 1 2

2sinh h

α

12. Діагоналі прямокутника утворюють кут 50°. Знайти кут між діагоналлю прямокутника та бісектрисою кута, проведеними з однієї вершини.

А Б В Г Д 50° 30° 25° 15° 20°

13. Менша основа трапеції дорівнює 20 см. Точка перетину діагоналей віддалена від основ на 5 см і 6 см. Знайти площу трапеції.


14. Відстань між серединами діагоналей трапеції дорівнює 7 см, а менша її основа — 6 см. Знайти середню лінію трапеції.

B CO

A DK LM N

А Б В Г Д

9 см 6,5 см 12 см 26 см 13 см 15. Діагоналі рівнобічної трапеції перпендикулярні. Знайти площу трапеції, якщо її осно-

ви дорівнюють 8 см і 20 см. А Б В Г Д

196 см2 392 см2 784 см2 588 см2 98 см2

213

16. Одна з діагоналей паралелограма дорівнює d і поділяє його гострий кут на кути α і β. Визначити площу паралелограма.

А Б В Г Д

2 sin sin sin( )d α β α+β 2

3sin sin

sin ( )d α β

α +β

2 sin( )sin sin

d α +βα β

2 sin sinsin( )

d α βα +β

2 sin sin

2sin( )d α β

α +β

17. У ромбі АВСD більша діагональ АС поділяє висоту ВK на відрізки ВМ = 5 см і МK = 3 см. Знайти площу ромба.

D

C

A

B

M

K А Б В Г Д

40 см2 80 см2 120 см2 140 см2 20 см2 18. Діагональ трапеції поділяє її на два подібні трикутники. Знайти цю діагональ, якщо

основи трапеції дорівнюють 50 см і 72 см. А Б В Г Д

90 см 30,5 см 30 см 61 см 60 см 19. У рівнобічній трапеції діагональ є бісектрисою гострого кута й утворює з більшою ос-

новою кут 30°. Знайти периметр трапеції, якщо більша основа дорівнює 8 см. А Б В Г Д

18 см 24 см 16 см 20 см 32 см 20. Периметр паралелограма більший від однієї з його сторін на 23 см і більший на 19 см

від іншої його сторони. Знайти периметр паралелограма. А Б В Г Д

42 см 28 см 34 см 36 см 32 см

Частина 2 Розв’яжіть завдання 21–30. Запишіть відповідь у зошит. 21. Перпендикуляр, проведений з вершини прямокутника на діагональ, дорівнює 12 см і по-

діляє діагональ на відрізки, різниця яких дорівнює 7 см. Знайти площу прямокутника.

22. Одна з діагоналей паралелограма дорівнює 6 6 см і утворює зі стороною паралелог-рама кут 60°. Знайти іншу діагональ, якщо вона утворює з тією ж стороною кут 45°.

23. Висоти паралелограма дорівнюють 4 см і 6 см, а його периметр — 40 см. Знайти гост-рий кут паралелограма.

24. Одна сторона паралелограма на 2 см більша від іншої, а його діагоналі дорівнюють 8 см і 14 см. Знайти периметр паралелограма.

25. Діагоналі ромба відносяться як 3 : 4. Знайти висоту ромба, якщо його периметр дорів-нює 80 см.

214

26. Сума довжин діагоналей ромба дорівнює l, а площа ромба — S. Визначити сторону ромба.

27. Визначити площу паралелограма за його висотами h1 і h2 та периметром Р. 28. Основи трапеції дорівнюють 10 см і 24 см, а бічні сторони — 15 см і 13 см. Знайти

площу трапеції. 29. Основи трапеції дорівнюють 5 см і 15 см, а діагоналі — 12 см і 16 см. Знайти площу

трапеції. 30. Знайти сторону квадрата, вписаного в правильний трикутник зі стороною а.

Частина 3 Для розв’язання завдань 31–35 обов’язкове обґрунтування. Запишіть послідовні логі-чні дії та поясніть їх, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдання схемами, гра-фіками, таблицями. Запишіть відповідь у зошит. 31. Площі трикутників, утворених основами трапеції та відрізками діагоналей дорівнюють

S1 і S2. Визначити площу трапеції. 32. Квадрат зі стороною а повернуто навколо свого центра на 45°. Знайти площу спільної

частини цих квадратів.

33. Знайти площу паралелограма, якщо його більша діагональ дорівнює 2 7 см, а висоти дорівнюють 3 см і 2 3 см.

34. Висота ромба дорівнює 24 см, а менша діагональ — 30 см. Знайти більшу діагональ ромба.

35. Знайти площу паралелограма, якщо його більша діагональ дорівнює 5 см, а висоти до-рівнюють 2 см і 3 см.

215

ТЕМА 5. МНОГОКУТНИКИ

Частина 1 Завдання 1–20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку. 1. Скільки всього діагоналей має десятикутник?

А Б В Г Д 10 50 75 70 35

2. Чому дорівнює сума внутрішніх кутів опуклого дванадцятикутника? А Б В Г Д

1800° 1980° 2160° 1620° 2520° 3. Скільки вершин має опуклий многокутник, якщо сума його внутрішніх кутів дорівнює

900°? А Б В Г Д

П’ять шість сім вісім дев’ять 4. Якщо в опуклому многокутнику всі кути гострі, то він...

А Б В Г Д

трикутник чотирикутник п’ятикутник трикутник або чотирикутник стокутник

5. Чому дорівнює внутрішній кут правильного восьмикутника? А Б В Г Д

36° 45° 54° 135° 126° 6. Скільки сторін має правильний многокутник, якщо його внутрішній кут дорівнює

156°? А Б В Г Д 13 14 15 16 17

7. Скільки вершин має правильний многокутник, якщо його зовнішній кут дорівнює 20°? А Б В Г Д 9 12 16 18 20

8. Якщо у правильного многокутника всі діагоналі рівні, то він... А Б В Г Д

чотирикутник п’ятикутник шестикутник чотирикутник або п’ятикутник

чотирикутник або шестикутник

9. Кути п’ятикутника пропорційні до чисел 3, 5, 5, 6 і 8. Знайти найбільший кут п’ятикутника.

А Б В Г Д 160° 150° 140° 130° 155°

216

10. Скільки діагоналей має многокутник, якщо сума його внутрішніх кутів дорівнює 1620°? А Б В Г Д 35 54 65 55 44

11. Сторона правильного шестикутника дорівнює 10 см. Знайти його найбільшу діагональ. А Б В Г Д

10 3 см 20 3 см 10 см 40 см 20 см

12. Сторона правильного шестикутника дорівнює а. Визначити меншу діагональ. А Б В Г Д

2 3a а 2 2a 3a 2a

13. Сторона правильного шестикутника дорівнює 2 см. Знайти його площу. А Б В Г Д

6 3 см2 12 3 см2 3 3 см2 32 см2 64 см2

14. Знайти периметр правильного шестикутника, якщо довжина кола, описаного навколо нього, дорівнює 18π см.

А Б В Г Д

108 см 54 см 27 см 27 3 см 54 3 см

15. Знайти меншу діагональ шестикутника, якщо більша його діагональ дорівнює 2 3 см.

А Б В Г Д 3

2 см 3 см 3 см 2 см 1 см

16. Радіус кола, вписаного в правильний шестикутник, дорівнює 38 см. Знайти пери-метр шестикутника.


17. Чому дорівнює найбільший кут між двома діагоналями, проведеними з однієї вершини правильного шестикутника?

А Б В Г Д 45° 60° 80° 90° 120°

18. Скільки сторін має опуклий многокутник, у якого сума внутрішніх кутів дорівнює су-мі його зовнішніх кутів, узятих по одному при кожній вершині?

А Б В Г Д Три чотири п’ять шість вісім

19. Скільки сторін має опуклий многокутник, якщо сума його усіх внутрішніх кутів і усіх зовнішніх дорівнює 2520°?

А Б В Г Д 10 11 12 13 14

217

20. Скільки вершин має правильний многокутник, у якого внутрішній кут у 8 разів біль-ший від зовнішнього?

А Б В Г Д 12 14 16 18 20

Частина 2 Розв’яжіть завдання 21–30. Запишіть відповідь у зошит. 21. Сума внутрішніх кутів многокутника удвічі більша від суми зовнішніх кутів, узятих по

одному при кожній вершині. Знайти число сторін многокутника. 22. Кожний із трьох внутрішніх кутів многокутника дорівнює 80°, а кожний з решти ку-

тів — 150°. Скільки найменше сторін може мати многокутник? 23. Три кути многокутника прямі, а решта дорівнюють по 150°. Скільки найменше вер-

шин може мати многокутник? 24. На скільки збільшиться сума внутрішніх кутів многокутника, якщо число його сторін

збільшити на 5? 25. Скільки сторін може мати n-кутник, у якого кожний із внутрішніх кутів не більший від 120°? 26. Внутрішній кут правильного многокутника на 144° більший від зовнішнього. Скільки

сторін має многокутник?

27. Радіус кола, описаного навколо правильного восьмикутника, дорівнює 4 2 см. Знай-ти найменшу діагональ восьмикутника.

28. Менша діагональ правильного шестикутника дорівнює d. Визначити більшу його діа-гональ.

29. R — радіус кола, описаного навколо правильного шестикутника. Визначити радіус ко-ла, вписаного в правильний шестикутник.

30. R — радіус кола, описаного навколо правильного восьмикутника. Визначити радіус кола, вписаного в правильний восьмикутник.

Частина 3 Для розв’язання завдань 31–35 обов’язкове обґрунтування. Запишіть послідовні логі-чні дії та поясніть їх, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдання схемами, гра-фіками, таблицями. Запишіть відповідь у зошит. 31. Під яким кутом перетинаються дві діагоналі правильного п’ятикутника, проведені з рі-

зних вершин? 32. За стороною а правильного дванадцятикутника визначити його апофему (перпендику-

ляр, опущений з центра до сторони). 33. Виразити сторону а правильного дванадцятикутника через радіус R описаного кола. 34. Виразити сторону а правильного восьмикутника через радіус R описаного кола. 35. Визначити апофему правильного десятикутника, якщо його сторона дорівнює 2а.

218

ТЕМА 6. КОЛО, КРУГ ТА ЇХ ЕЛЕМЕНТИ


1. Знайти довжину кола, якщо його діаметр дорівнює 20 см.

А Б В Г Д 10π см 40π см 20π см 100π см 50π см

2. Знайти радіус кола, якщо довжина кола дорівнює 24π см.

А Б В Г Д 4π см 12 см 24 см 48 см 96 см

3. Знайти довжину дуги кола, радіус якого дорівнює 10 см, якщо її кутова величина дорі-внює 30°.

А Б В Г Д

43π 10

3π 5

6π 6

5π 5

3π

4. Знайти радіус кола, в якого кутова величина дуги завдовжки π см дорівнює 45°.


5. Яка кутова величина дуги завдовжки 2π см у колі радіуса 3 см?

А Б В Г Д 15° 30° 45° 60° 75°

6. Знайти площу круга, у який вписано трикутник зі сторонами 6 см, 8 см і 10 см.

А Б В Г Д 10π см2 36π см2 64π см2 25π см2 480π см2

7. Знайти діаметр круга, площа якого дорівнює π см2.


8. Знайти площу кругового сектора радіуса 3 см з центральним кутом 120°.


219

9. Площа кругового сектора радіуса 6 см дорівнює 5 π см2. Знайти кутову величину дуги.

А Б В Г Д 30° 50° 60° 80° 100°

10. При збільшенні круга його площа збільшилась у 9 разів. У скільки разів збільшилась довжина кола цього круга?

А Б В Г Д 1,5 27 9 2 3

11. З точки кола проведено дві перпендикулярні хорди, довжини яких дорівнюють 12 і 16. Знайти довжину кола.

А Б В Г Д 20π 40π 50π 60π 35π

12. Площа кругового сектора становить 15% площі круга. Яка величина центрального ку-та сектора?

А Б В Г Д 30° 45° 54° 15° 20°

13. Коло, радіус якого дорівнює 9, розігнуто в дугу, радіус кола якої дорівнює 24. Знайти центральний кут, який стягує утворену дугу.

А Б В Г Д 100° 120° 135° 150° 180°

14. Точки А, В і С ділять коло на дуги у відношенні 2 : 3 : 4. Знайти найбільший кут три-кутника АВС.

А Б В Г Д 160° 80° 120° 100° 70°

15. У коло, довжина якого дорівнює 6π см, вписано прямокутник АВСD. M, N, K і L — се-редини сторін прямокутника. Чому дорівнює периметр чотирикутника MNKL?

K

A

B C

D

M

N

L


220

16. Знайти площу заштрихованої на рисунку частини квадрата зі стороною а.

a

a

А Б В Г Д

222

aπ− 233

aπ− 233

a− π 244

a− π 288

a− π

17. На рисунку зображено квадрат зі стороною 1 і дуги кіл радіуса 1. Знайти площу за-штрихованої частини.

a

a

А Б В Г Д

π + 1 π – 2 12π + π – 1 1

2π −

18. Довжина сторони правильного трикутника АВС дорівнює 6. Точки P, Q і R — середини його сторін. РR, PQ і QR — дуги кіл з центрами відповідно у точках А, В і С. Знайти площу криволінійного трикутника РQR.

C

B

A

P Q

R

А Б В Г Д

1 2 12π − 6( 3)π − 9 3

2π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

19. Три кола, радіуси яких дорівнюють 2, 3 і 10, попарно дотикаються зовні. Знайти радіус кола, яке вписане в трикутник, утворений центрами цих кіл.

А Б В Г Д 3,5 3 2,5 2 1,5

221

20. l(x) — довжина хорди, проведеної на відстані х від центра кола. Який із наведених графіків може бути графіком функції l = l(x)?

А Б В Г Д

1

y

0 1 x

1

y

0 1 x

1

y

0 1 x

1

y

0 1 x

1

y

0 1 x

Частина 2 Розв’яжіть завдання 21–30. Запишіть відповідь у зошит.

21. Знайти довжину кола, вписаного в ромб, діагоналі якого дорівнюють 15 см і 20 см.

22. У рівнобедрену трапецію вписано коло. Основи трапеції дорівнюють 9 см і 25 см, а бі-чна сторона — 17 см. Знайти довжину вписаного кола.

23. Периметр правильного трикутника дорівнює 36 см. На стороні трикутника як на діа-метрі, побудовано коло. Знайти довжину дуги, розміщену у внутрішній області трику-тника.

24. Знайти площу круга, описаного навколо правильного трикутника зі стороною 9 см.

25. Знайти площу круга, вписаного в правильний шестикутник зі стороною 6 см.

26. Катет рівнобедреного прямокутного трикутника дорівнює а і є діаметром кола. Знайти площу тієї частини круга, яка розміщена поза трикутником.

27. Дано два круги зі спільним центром. Радіус меншого круга дорівнює 13

радіуса біль-

шого. Знайти відношення площі утвореного кільця до площі круга більшого радіуса.

28. Знайти кути ромба, якщо площа вписаного в нього круга вдвічі менша від площі ромба.

29. Знайти відношення довжин кіл, вписаного й описаного навколо квадрата.

30. Знайти площу тієї частини круга, яка розміщена поза вписаним у нього прямокутним трикутником з катетами 12 см і 16 см.

Частина 3 Для розв’язання завдань 31–35 обов’язкове обґрунтування. Запишіть послідовні логі-чні дії та поясніть їх, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдання схемами, гра-фіками, таблицями. Запишіть відповідь у зошит.

31. Дано два круги радіуса 1 см, відстань між центрами яких дорівнює 3 см. Знайти площу спільної частини цих кругів.

222

32. Дано три рівні кола радіуса R, які попарно дотикаються одне одного. Знайти площу замальованого на рисунку криволінійного трикутника.

33. На рисунку сторона квадрата дорівнює а. Кожна його вершина є центром кола радіуса а.

Знайти периметр замальованого криволінійного чотирикутника обмеженого цими колами. B C

A D 34. У прямокутну трапецію з основами а і b вписано коло. Знайти радіус вписаного кола. 35. На висоті рівностороннього трикутника як на діаметрі побудовано круг. Довжина сто-

рони трикутника дорівнює а. Знайти площу тієї частини трикутника, яка лежить поза даним кругом.

223

РОЗДІЛ ІІ. СТЕРЕОМЕТРІЯ

ТЕМА 7. ПРЯМІ Й ПЛОЩИНИ В ПРОСТОРІ

Частина 1 Завдання 1–20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку. 1. Шість точок не лежать в одній площині. Яке найбільше число цих точок може лежати

на одній прямій? А Б В Г Д Дві три чотири п’ять шість

2. На рисунку зображено тетраедр АВСD. Точка М належить ребру DB, а точка Р — ребру DC. Точки K1, K2, K3, K4 і K5 належать площині АВС. У якій з цих точок пряма РМ перетинає площину АВС?

A C

D

M

P

K5

K4

K3

K2

K1

B

А Б В Г Д K1 K2 K3 K4 K5

3. На рисунку зображено куб АВСDА1В1С1D1 і точку М на ребрі ВВ1. Якій із прямих на-лежить точка перетину прямої МС із площиною А1В1С1?

C

A

B

D

B1

A1

C1

D1

M

А Б В Г Д А1В1 В1С1 С1D1 А1C1 B1D1

224

4. Яка з наведених фігур не може бути паралельною проекцією прямокутної трапеції? А Б В Г Д

Трапеція з тупим кутом при біль-шій основі

прямокутна трапеція

рівнобічна трапеція відрізок паралелограм

5. На рисунку зображено куб АВСDА1В1С1D1. Вказати ортогональну проекцію діагоналі А1С на площину DD1C1.

C

A

B

D

B1

A1

C1

D1

А Б В Г Д С1D CC1 С1D1 DD1 CD1

6. На рисунку площини α і β перетинаються по прямій с. Пряма а належить площині α, пряма b — площині β. Яке з наведених тверджень правильне?

a

b

c

α

β

А Б В Г Д

Прямі а і b перетинаються

прямі а і b паралельні

прямі а і b мимобіжні

прямі а і b паралельні

або мимобіжні

прямі а і b паралельні або перетинаються

7. На рисунку зображено куб АВСDА1В1С1D1, ребро якого дорівнює 1. Знайти відстань між прямими АА1 і В1D1.

C

A

B

D

B1

A1

C1

D1

А Б В Г Д

112

1 2 22

2

225

8. Дано куб АВСDА1В1С1D1. Вказати кут між прямою А1С і площиною DCC1.

C

A

B

D

B1

A1

C1

D1

А Б В Г Д

∠А1СС1 ∠А1СD ∠А1СD1 ∠АСB1 ∠A1СA 9. Дано прямокутний паралелепіпед АВСDА1В1С1D1, у якого АВСD — квадрат зі сторо-

ною 1, а бічне ребро АА1 = 3 . Чому дорівнює кут між площинами АА1В1 і А1В1С?

C

A

B

D

B1

A1

C1

D1

А Б В Г Д 30° 45° 60° 75° 90°

10. Дано куб АВСDА1В1С1D1. Знайти кут між прямими АВ1 і А1D.

C

A

B

D

B1

A1

C1

D1

А Б В Г Д 30° 45° 60° 75° 90°

226

11. На рисунку АВСD — прямокутна трапеція з прямим кутом В, точка М — середина сторони АD. РВ — перпендикуляр до площини АВС. Визначити кут між площинами АВС і АРD.

C

A

B

D

P

M

А Б В Г Д

∠РМС ∠РМD ∠РDB ∠РAD ∠РAB

12. Площини α і β перетинаються по прямій а під кутом 60°. Точка А належить площині α. Довжина відрізка АМ є відстанню від точки А до площини β, а довжина відрізка АK — відстанню від точки А до прямої а. Знайти довжину відрізка АK, якщо АМ = 3 .

α

β

aK

A

M

А Б В Г Д

2 1 32

3 3

13. Точка А віддалена від площини на відстань 6 3 см. Обчислити довжину проекції по-хилої, проведеної з цієї точки під кутом 60° до площини.

А Б В Г Д

18 см 3 3 см 3 см 2 3 см 6 см

14. Сторона рівностороннього трикутника дорівнює а. Точка А розміщена від кожної вер-шини трикутника на відстані b. Визначити відстань від точки А до площини трикутника.

А Б В Г Д 3

2

3ab + 2 2b a−

22

12ab −

22

3ab −

22

9ab −

15. Точка М розміщена на відстані m від кожної сторони правильного трикутника і на від-стані h від площини трикутника. Визначити сторону трикутника.

А Б В Г Д

2 22 m h+ 2 22 m h− 2 22 3( )m h− )(3 22 hm − 2 23( )m h+

227

16. На рисунку АВСD — квадрат, МВ — перпендикуляр до площини АВС. Похила АМ на-хилена до площини АВС під кутом 45°. Під яким кутом нахилена до площини АВС по-хила МD?

C

A

B

D

M

А Б В Г Д

30° 60° arctg 2 1arctg2

arctg2

17. Знайти кут між площинами, якщо точка, яка лежить на одній з них, віддалена від пря-мої перетину площин утричі далі, ніж від другої площини.

А Б В Г Д

1arccos2 2

1arcsin2 2

1arcsin3

1arcctg2 2

31arccos

18. Відрізок завдовжки 10 м перетинає площину, його кінці розміщені на відстані 2 м і 3 м від площини. Знайти кут між даним відрізком і площиною.

А Б В Г Д

30° 45° 60° 2arcsin3

2arccos5

19. На рисунку зображено куб АВСDА1В1С1D1 з ребром 2а. Точка М — середина ребра АА1. Встановити вид многокутника, який є перерізом куба площиною МВС, визначити його площу.

C

A

B

D

B1

A1

C1

D1

M

А Б В Г Д 22 3a a2 2a2 22 5a 5a2

228

20. На рисунку зображено правильний тетраедр SABC з ребром а. Точки М, K і Р — відпо-відно середини ребер AS, SС i AB. Встановити вид многокутника, який є перерізом те-траедра площиною МKР, визначити його периметр.

A C

B

S

PKM

А Б В Г Д

3a 32

a a 2a 4a

Частина 2 Розв’яжіть завдання 21–30. Запишіть відповідь у зошит. 21. Через кінець А відрізка АВ проведено площину α. Через кінець В і точку С відрізка АВ

проведено паралельні прямі, які перетинають площину α відповідно в точках М і N. Знайти довжину відрізка СN, якщо АС : СВ = m : n, BM = a.

22. Площина α перетинає сторони кута АВС у точках А1 і С1, а паралельна їй площина β — у точках А2 і С2. Знайти ВС1, якщо А1В : А1A2 = 1 : 3, ВС2 = 12 см.

23. З точки А до площини проведено дві похилі АВ = 30 і АС = 40. Знайти відстань від то-чки А до площини, якщо проекції похилих відносяться як 9 : 16.

24. З точки В, яка розміщена від площини на відстані 1 см, проведено дві похилі, які утво-рюють із площиною кути 45°, а між собою — кут 60°. Знайти відстань між кінцями похилих.

25. Один з катетів прямокутного трикутника АВС дорівнює а, а гострий кут, прилеглий до цього катета, дорівнює α. Через вершину прямого кута С проведено відрізок СD, пер-пендикулярний до площини цього трикутника, CD = b. Визначити відстань від точки D до прямої АВ.

26. Основи трапеції дорівнюють 18 см і 12 см. Через більшу основу проведено площину на відстані 5 см від меншої основи. Знайти відстань від точки перетину діагоналей трапеції до цієї площини.

27. З точок А і В, які лежать у двох перпендикулярних площинах, опущено перпендикуля-ри АА1 і ВВ1 на лінію перетину площин. Знайти АВ, якщо АВ1 = а, ВА1 = b, A1B1 = c.

28. Рівнобедрені трикутники АВС і АВD зі спільною основою АВ лежать у різних площи-нах, кут між якими дорівнює α. Знайти кут α, якщо АВ = 6 см, СD = 21 см, АС = АD = 4 см.

29. Дано куб АВСDА1В1С1D1. Знайти площу перерізу куба площиною, яка проходить через вершини В1 і С1 та середину ребра DD1, якщо ребро куба дорівнює 2а.

30. Дано куб АВСDА1В1С1D1. Знайти площу переріза куба площиною, яка проходить через вершини В1 і D та середину ребра СС1, якщо ребро куба дорівнює 2а.

229

Частина 3 Для розв’язання завдань 31–35 обов’язкове обґрунтування. Запишіть послідовні логі-чні дії та поясніть їх, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдання схемами, гра-фіками, таблицями. Запишіть відповідь у зошит. 31. Дано куб АВСDА1В1С1D1. Знайти площу перерізу куба площиною, яка проходить через

центр куба і середини ребер АВ і АD, якщо ребро куба дорівнює 1. 32. Через центр основи правильної трикутної піраміди паралельно двом ребрам, які не пе-

ретинаються, проведено площину. Визначити площу утвореного перерізу, якщо бічне ребро піраміди дорівнює l, а ребро основи — а.

33. У правильній чотирикутній піраміді проведено площину через діагональ основи пара-лельно бічному ребру. Сторона основи дорівнює а, а бічне ребро дорівнює b. Визначи-ти площу утвореного перерізу.

34. У правильній чотирикутній піраміді проведено площину через сторону основи перпе-ндикулярно до протилежної бічної грані. Знайти площу утвореного перерізу, якщо сторона основи дорівнює а, а висота піраміди дорівнює h.

35. У правильній чотирикутній піраміді SABCD через середини сторін АВ і АD проведено площину, яка паралельна бічному ребру SA. Знайти площу утвореного перерізу, якщо сторона основи а, а бічне ребро — b.


230

ТЕМА 8. ПРИЗМА

Частина 1 Завдання 1–20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку. 1. Сторона куба дорівнює 10 см. Знайти площу поверхні куба.


2. Діагональ грані куба дорівнює 4 2 см. Знайти об’єм куба.

А Б В Г Д

4 см3 16 см3 12 3 см3 64 см3 48 см3

3. Знайти діагональ прямокутного паралелепіпеда, виміри якого дорівнюють 2 см, 3 см і 6 см.

А Б В Г Д 5,5 см 49 см 36 см 11 см 7 см

4. Сторони основи прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 5 см і 12 см, а діагональ паралелепіпеда нахилена до площини основи під кутом 45°. Знайти бічне ребро пара-лелепіпеда.

А Б В Г Д 6,5 см 13 см 12 см 8,5 см 9,5 см

5. Основою прямої призми є прямокутний трикутник з гіпотенузою 10 см і катетом 6 см. Знайти площу бічної поверхні призми, якщо її бічне ребро дорівнює 5 см.


6. Сторона основи правильної трикутної призми дорівнює 4 см, а бічне ребро дорівнює 2 3 см. Знайти об’єм призми.

А Б В Г Д

96 3 см3 96 см3 24 3 см3 24 см3 12 3 см3

7. Сторона основи правильної трикутної призми дорівнює 12 см, а діагональ бічної грані дорівнює 13 см. Знайти бічну поверхню призми.


8. Знайти площу повної поверхні правильної чотирикутної призми, сторона основи якої дорівнює а, а висота — Н.

А Б В Г Д 4аН 3аН 4а(а+Н) а(а+4Н) 2а(а+2Н)

231

9. Основою похилої призми є паралелограм зі сторонами 6 см і 3 см і гострим кутом 45°. Бічне ребро призми дорівнює 4 см і нахилене до площини основи під кутом 30°. Знай-ти об’єм призми.

А Б В Г Д

18 6 см3 12 6 см3 18 2 см3 9 2 см3 36 2 см3

10. Бічне ребро похилої чотирикутної призми дорівнює 12 см, а перпендикулярним пере-різом є ромб зі стороною 5 см. Знайти площу бічної поверхні призми.


11. Куб з ребром 1 м поділили на кубики з ребром 1 см і всі ці кубики поставили в стов-пець. Чому дорівнює висота стовпця?

А Б В Г Д 1 км 10 км 100 км 1000 км 10000 км

12. Площа діагонального перерізу куба дорівнює 4 2 см2. Знайти площу поверхні куба.

А Б В Г Д

36 2 см2 16 см2 24 см2 192 см2 32 см2

13. Основою прямого паралелепіпеда є ромб. Площі його діагональних перерізів дорів-нюють S1 і S2. Визначити висоту паралелепіпеда, якщо його об’єм дорівнює V.

А Б В Г Д

1 22S SV

1 2S SV

1 2

2S S

V

1 2

VS S

1 22

VS S

14. Діагональ правильної чотирикутної призми дорівнює 13 см, а діагональ бічної грані дорівнює 12 см. Знайти площу основи призми.

А Б В Г Д

313 см2 25 см2 50 см2 144 см2 169 см2

15. У правильній чотирикутній призмі площа діагонального перерізу дорівнює S. Визна-чити площу бічної поверхні.

А Б В Г Д

2 S 2S 2 2S 2S 2 2S

16. Діагональним перерізом правильної чотирикутної призми є квадрат, площа якого дорі-внює S. Визначити об’єм призми.

А Б В Г Д

2S S 2

S S 2S S S S 2

S S

232

17. Основою прямого паралелепіпеда є ромб, площа якого дорівнює S, а площі діагональ-них перерізів паралелепіпеда — S1 і S2. Визначити висоту паралелепіпеда.

А Б В Г Д

1 2

2S S

S 1 22S S

S 1 2S S

S 1 21

2S S

S

1 22S

S S

18. Бічна поверхня правильної чотирикутної призми дорівнює Q, а її об’єм — V. Визначи-ти сторону основи призми.

А Б В Г Д

2VQ

2VQ

4VQ

VQ

4VQ

19. Розгорткою бічної поверхні правильної чотирикутної призми є квадрат зі стороною 8 дм. Знайти об’єм призми.

А Б В Г Д 16 дм3 24 дм3 32 дм3 48 дм3 64 дм3

20. Площі трьох граней прямокутного паралелепіпеда дорівнюють S1, S2 і S3. Визначити об’єм паралелепіпеда.

А Б В Г Д

1 2 3S S S 1 2 32 S S S 1 2 3

2S S S

1 2 38 S S S 1 2 3

8S S S

Частина 2 Розв’яжіть завдання 21–30. Запишіть відповідь у зошит. 21. Сторона основи правильної трикутної призми дорівнює 12 см, а висота призми —

6 см. Знайти площу перерізу цієї призми площиною, яка проходить через сторону ни-жньої основи і протилежну вершину.

22. Діагональ правильної чотирикутної призми утворює з площиною основи кут 45°. Знайти кут, утворений цією діагоналлю з площиною бічної грані.

23. Основою паралелепіпеда є ромб. Діагоналі паралелепіпеда дорівнюють 8 см і 5 см, а висота — 2 см. Знайти сторону основи.

24. Діагоналі граней прямокутного паралелепіпеда мають довжини d1, d2 i d3. Визначити діагональ паралелепіпеда.

25. Визначити об’єм прямокутного паралелепіпеда, основою якого є прямокутник зі сто-ронами a і b, а площа діагонального перерізу S.

26. У прямому паралелепіпеді сторони основи a і b, а кут між ними 30°. Бічна поверхня паралелепіпеда дорівнює S. Визначити об’єм паралелепіпеда.

27. Основою прямої призми є ромб з тупим кутом β і меншою діагоналлю l. Більша діаго-наль призми нахилена до площини основи під кутом α. Визначити бічну поверхню призми.

28. Периметри двох граней правильної трикутної призми дорівнюють 48 см і 30 см. Знай-ти об’єм призми.

233

29. Основою прямої призми є прямокутний трикутник з катетом a і протилежним кутом α. Площина, проведена через катет a і протилежну вершину іншої основи, утворює з ос-новою кут β. Визначити об’єм призми.

30. Знайти об’єм похилої трикутної призми, якщо відстані між її бічними ребрами дорів-нюють 37 см, 13 см і 30 см, а площа бічної поверхні — 480 см2.

Частина 3 Для розв’язання завдань 31–35 обов’язкове обґрунтування. Запишіть послідовні логі-чні дії та поясніть їх, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдання схемами, гра-фіками, таблицями. Запишіть відповідь у зошит. 31. Діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює d1, діагональ бічної грані — d2, діа-

гональ основи — d3. Визначити площу основи паралелепіпеда. 32. Висота правильної чотирикутної призми дорівнює Н, а кут між діагоналями, проведе-

ними з однієї вершини основи у двох суміжних бічних гранях, дорівнює α. Визначити площу бічної поверхні призми.

33. У правильній трикутній призмі через сторону нижньої основи і протилежну вершину верхньої основи проведено площину, яка утворює з площиною нижньої основи кут 45°. Площа перерізу дорівнює S. Знайти об’єм призми.

34. Основою призми є правильний трикутник зі стороною 4 см. Одна з бічних граней пер-пендикулярна до основи і є ромбом, діагональ якого дорівнює 6 см. Знайти об’єм при-зми.

35. Основою похилого паралелепіпеда є прямокутник зі сторонами 4 см і 6 см. Бічне ребро дорівнює 2 см й утворює із суміжними сторонами основи кути в 60°. Знайти об’єм па-ралелепіпеда.

234

ТЕМА 9. ПІРАМІДА


1. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 3b , а висота піраміди дорі-внює Н. Визначити бічне ребро піраміди.

А Б В Г Д

2 23b H− 2 2b H+ 2 23b H+ 2 24

2b H+ 2 2b H−

2. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює а. Бічна грань нахилена до площини основи під кутом β. Визначити апофему піраміди.

А Б В Г Д

2sinaβ

2 tg

aβ

cos2

a β sin2

a β 2cos

aβ

3. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 6 см, а бічне ребро — 5см. Знайти бічну поверхню піраміди.


4. Висота та бічне ребро правильної чотирикутної піраміди відповідно дорівнюють 3 см і 5см. Знайти об’єм піраміди.


5. Основою піраміди є трикутник зі сторонами 5 см, 12 см і 13 см. Знайти висоту пірамі-ди, якщо бічні грані нахилені до площини основи під кутом 45°.

А Б В Г Д

1 см 4 см 2 см 2 2 см 4 2 см

6. Основою піраміди є трикутник зі сторонами 6 см, 8 см і 10 см. Знайти висоту піраміди, якщо всі її бічні ребра рівні та дорівнюють 13 см.


7. Основа піраміди — квадрат зі стороною а. Висота піраміди дорівнює Н і проходить через одну з вершин основи. Визначити площу бічної поверхні піраміди. А Б В Г Д

2аН 4аН 2 22 ( )a H a H+ + 2 2( )a H a H+ + 2 2( )a H a H+ −

235

8. Висота піраміди поділена на 4 рівні частини і через точки поділу проведено перерізи, паралельні основі. Знайти площу найбільшого перерізу, якщо площа основи дорівнює 800 см2.


9. Знайти висоту правильної чотирикутної зрізаної піраміди, у якої сторони основ дорів-нюють а і b (a > b), а кут нахилу бічного ребра до більшої основи дорівнює α.

А Б В Г Д

( ) tga b− α tg2

a b− α sin2

a b− α cos2

a b− α ( ) sina b− α

10. У правильній зрізаній чотирикутній піраміді сторони основи а і b (a > b), двогранний кут при більшій основі — β. Знайти висоту піраміди.

А Б В Г Д

tg2

a b− β ( ) tga b− β ( ) sina b− β sin2

a b− β ( ) cosa b− β

11. Ребро правильного тетраедра дорівнює а. Визначити об’єм тетраедра. А Б В Г Д

3 212

a 3 24

a 3 26

a 3 34

a 3 36

a

12. У правильній трикутній піраміді бічне ребро нахилено до площини основи під кутом 60°. Під яким кутом нахилена до площини основи бічна грань?

А Б В Г Д

arctg 3 ( )arctg 2 3 arcsin 3 arcsin(2 3) arccos 3

13. У правильній чотирикутній піраміді двогранний кут при основі дорівнює 45°. Під яким кутом нахилено до площини основи бічне ребро? А Б В Г Д

45° 2arcsin2

arcctg 2 arctg 2 2arcctg2

14. Площа основи правильної трикутної піраміди дорівнює S, а площа бічної поверхні — Q. Визначити двогранний кут при основі.

А Б В Г Д

arcsin SQ

arccos SQ arccos S

Q arccos QS arcsin S

Q

236

15. Повна поверхня правильної чотирикутної піраміди дорівнює S. Двогранний кут при ребрі основи — 60°. Визначити бічну поверхню піраміди.

А Б В Г Д

49

S 12

S 56

S 34

S 23

S

16. Діагональним перерізом правильної чотирикутної піраміди є прямокутний трикутник, площа якого дорівнює Q. Знайти площу основи піраміди.

А Б В Г Д

2Q 4Q Q 2Q

4Q

17. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює а, а площа перерізу піраміди площиною, яка проходить через бічне ребро і перпендикулярна до основи, дорівнює Q. Знайти об’єм піраміди.

А Б В Г Д

Qa 23aQ ⋅ 3Qa

4aQ ⋅ 4Qa

18. Усередині призми з об’ємом V взято довільну точку О й побудовано дві піраміди з ве-ршиною О, що мають основами основи призми. Знайти суму об’ємів цих пірамід.

А Б В Г Д

19

V 14

V 23

V 16

V 13

V

19. Бічні ребра трикутної піраміди попарно перпендикулярні й дорівнюють а, b і c. Визна-чити об’єм піраміди.

А Б В Г Д

6abc abc 1

12abc

16

abc 13

abc

20. S(x) — площа перерізу правильної чотирикутної піраміди, проведеного паралельно ос-нові на відстані x від неї. Який з наведених графіків може бути графіком функції S(x)?

А Б В Г Д

1

y

0 1 x

1

y

0 1 x

1

y

0 1 x

1

y

0 1 x

1

y

0 1 x

237

Частина 2 Розв’яжіть завдання 21–30. Запишіть відповідь у зошит. 21. Основою піраміди є рівнобедрений трикутник з висотою 9 см й основою 6 см. Кожне з

бічних ребер піраміди дорівнює 13 см. Знайти висоту піраміди. 22. У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро утворює з висотою кут α. Відрізок, що

сполучає основу висоти з серединою бічного ребра, дорівнює а. Знайти об’єм піраміди. 23. Площа основи піраміди 72 см2. Площі двох перерізів, які паралельні основі, дорівнюють

18 см2 і 50 см2. Знайти висоту піраміди, якщо відстань між перерізами дорівнює 8 см. 24. Сторони основи правильної зрізаної трикутної піраміди дорівнюють 2 см і 5 см, бічне

ребро — 2 см. Знайти висоту піраміди. 25. Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює l і нахилена до площини основи

під кутом α. Визначити повну поверхню піраміди.

26. У правильній піраміді площа основи становить 13

площі повної поверхні. Знайти дво-

гранний кут при основі піраміди. 27. Основою піраміди є правильний трикутник зі стороною а, одна з бічних граней перпе-

ндикулярна до площини основи, а дві інші утворюють із площиною основи кут γ. Ви-значити об’єм піраміди.

28. У правильній трикутній піраміді сторона основи дорівнює а, а кут між суміжними біч-ними гранями α. Визначити апофему піраміди.

29. У правильній чотирикутній піраміді відстань від центра основи до бічної грані дорів-нює m. Бічні грані нахилені до основи під кутом α. Визначити об’єм піраміди.

30. Основою піраміди є ромб зі стороною а і кутом 30°. Бічні грані, що проходять через сторони гострого кута ромба, перпендикулярні до площини основи, а дві інші — нахи-лені до неї під кутом 60°. Знайти об’єм піраміди.

Частина 3 Для розв’язання завдань 31–35 обов’язкове обґрунтування. Запишіть послідовні логі-чні дії та поясніть їх, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдання схемами, гра-фіками, таблицями. Запишіть відповідь у зошит. 31. У правильній чотирикутній піраміді РАВСD з вершиною Р проведено переріз через

сторону АВ і середину бічного ребра РС. У якому відношенні цей переріз поділяє об’єм піраміди?

32. Основою піраміди є рівносторонній трикутник зі стороною а. Одна з бічних граней є рівностороннім трикутником і перпендикулярна до площини основи. Визначити бічну поверхню піраміди.

33. У трикутній піраміді всі чотири грані — рівні рівнобедрені трикутники з основою а й бічною стороною b. Визначити об’єм піраміди.

34. Основою піраміди є прямокутник, площа якого дорівнює S. Дві бічні грані перпенди-кулярні до площини основи, а дві інші — нахилені до неї під кутами 30° і 60°. Визна-чити об’єм піраміди.

35. Із середини висоти правильної чотирикутної піраміди проведено перпендикуляр за-вдовжки а до бічного ребра і перпендикуляр завдовжки b до бічної грані. Знайти об’єм піраміди.

238

ТЕМА 10. ЦИЛІНДР

Частина 1 Завдання 1–20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку. 1. Знайти повну поверхню циліндра з радіусом 5 см і висотою 15 см.


2. Прямокутник зі сторонами а і b (а > b) обертається навколо більшої сторони. Визначи-ти об’єм тіла обертання.

А Б В Г Д 22 a bπ 2a bπ 2abπ 22 abπ 24 a bπ

3. Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює l і утворює з площиною основи кут α. Визначити радіус циліндра.

А Б В Г Д

2 cosl α sinl α sin2

l α cosl α cos2

l α

4. У циліндрі паралельно його осі проведено площину на відстані 3 см від неї. Ця пло-щина перетинає основу циліндра по хорді, яка дорівнює 8 см. Знайти радіус циліндра.

А Б В Г Д

73 см 5 см 55 см 7 см 5 см

5. Осьовим перерізом циліндра є квадрат зі стороною 10 см. Знайти площу бічної повер-хні циліндра.

А Б В Г Д 100 см2 50π см2 150π см2 100π см2 200π см2

6. Діагональ розгортки бічної поверхні циліндра дорівнює d й утворює з висотою розгор-тки кут α. Знайти радіус циліндра.

dα

А Б В Г Д

sin2

d α sin2

d απ

cosd απ

sind απ

cos2

d α

239

7. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює S. Визначити площу осьового перерізу. А Б В Г Д

4Sπ

2S πS 2

Sπ

Sπ

8. Відро циліндричної форми вміщує 10 л води. Іграшкове відро має розміри в 10 разів менші. Скільки літрів води вміщує іграшкове відро?

А Б В Г Д 1 л 0,1 л 0,01 л 0,001 л 0,0001 л

9. Відрізок, який сполучає центр верхньої основи циліндра з точкою кола нижньої осно-ви, утворює з площиною основи кут α. Даний відрізок розміщений на відстані d від центра нижньої основи. Визначити висоту циліндра.

А Б В Г Д

sindα

cos

dα

sind α cosd α tgd α

10. Паралельно осі циліндра проведено площину, яка відтинає від кола основи дугу α. Ді-агональ утвореного перерізу нахилена до площини основи під кутом β. Визначити площу перерізу, якщо радіус циліндра дорівнює R.

А Б В Г Д

2 2sin ctg2

R α β 2 24 cos tg2

R α β 2 2 24 sin sin ctg2

R αα β 2 2sin tg2

R α β 2 24 sin tg2

R α β

11. Діагоналі осьового перерізу циліндра утворюють при перетині кут φ. Визначити пло-щу бічної поверхні циліндра, якщо площа його основи дорівнює S.

А Б В Г Д

4 ctg2

S ϕ 4 tg2

S ϕ 4 sin2

S ϕ 4 cos2

S ϕ 4

sin2

Sϕ

12. Радіус основи циліндра R. Площина перетинає бічну поверхню циліндра, але не пере-тинає основи й утворює кут α з площиною основи. Знайти площу перерізу циліндра цією площиною.

А Б В Г Д

2 tgRπ α 2 cosRπ α 2 sinRπ α 2

cosRπα

2

sinRπα

13. Осьовий переріз циліндра — квадрат АВСD зі стороною 2а. Визначити найкоротшу ві-дстань між точками А і С по поверхні циліндра.

А Б В Г Д 22 2a 24 2a 2 4a π + πa 4a π+

240

14. Через твірну циліндра проведено два взаємно перпендикулярні перерізи циліндра, площі яких дорівнюють 60 см2 і 80 см2. Знайти площу осьового перерізу.


15. У куб, ребро якого дорівнює а, вписано циліндр. Визначити повну поверхню циліндра. А Б В Г Д

2

2aπ 23

2aπ 25

2aπ 23 aπ 212 aπ

16. У циліндр вписано куб, об’єм якого дорівнює 8 см3. Знайти об’єм циліндра. А Б В Г Д

2π см3 4π см3 4 2π см3 8π см3 2 2π см3

17. Знайти радіус циліндра, описаного навколо прямокутного паралелепіпеда зі сторонами основи 9 см та 12 см і висотою 8 см.

А Б В Г Д 7,5 см 15 см 34 см 8,5 см 17 см

18. Об’єм правильної трикутної призми дорівнює V. Визначити об’єм циліндра, вписаного в призму.

А Б В Г Д

3 3Vπ 4

3 3Vπ

12 3Vπ

3Vπ 3 Vπ

19. У циліндр вписано правильну трикутну призму, а у призму — циліндр. Знайти відно-шення об’ємів циліндрів.

А Б В Г Д 1 : 8 1 : 4 1 : 2 3 : 4 3 : 8

20. Дано циліндр з радіусом 2 і висотою 0,5. S(х) — площа перерізу циліндра площиною, паралельною його осі, де х — відстань від осі циліндра до площини перерізу. Який з наведених графіків є графіком функції S(х)?

А Б В Г Д

1

y

0 1 x

1

y

0 1 x

1

y

0 1 x

1

y

0 1 x

1

y

0 1 x


21. Площа основи циліндра відноситься до площі осьового перерізу як 3π : 4. Знайти кут між діагоналлю осьового перерізу циліндра і площиною основи.

241

22. Висота циліндра дорівнює 12 см, а радіус основи дорівнює 10 см. Циліндр перетнуто площиною, паралельною його осі так, що в перерізі утворився квадрат. Знайти від-стань від осі циліндра до січної площини.

23. Площина, паралельна осі циліндра, відтинає від кола основи дугу 120°. Знайти площу перерізу, якщо висота дорівнює 10 см, а відстань від осі циліндра до січної площини дорівнює 3 см.

24. Кут між твірною циліндра і діагоналлю осьового перерізу дорівнює φ, площа основи циліндра дорівнює S. Визначити площу бічної поверхні циліндра.

25. Із квадрата, діагональ якого дорівнює d, згорнута бічна поверхня циліндра. Визначити площу основи циліндра.

26. Площина, паралельна осі циліндра, відтинає від кола основи дугу 60°. Твірна циліндра дорівнює 10 3 см, а відстань від осі до січної площини — 2 см. Знайти площу перерізу.

27. Знайти об’єм циліндра, якщо розгорткою його бічної поверхні є квадрат зі стороною а. 28. В основі циліндра проведено хорду, яка стягує дугу α. Відрізок, який сполучає центр

іншої основи із серединою цієї хорди, дорівнює l і утворює з площиною основи кут β. Визначити об’єм циліндра.

29. У циліндр вписано призму, основою якої є прямокутний трикутник з катетом а і при-леглим до нього кутом α. Визначити об’єм циліндра, якщо висота призми дорівнює h.

30. Основою прямої призми є рівнобічна трапеція, основи якої дорівнюють 8 см і 2 см. Висота призми дорівнює 10 см. Знайти об’єм циліндра, вписаного в цю призму.

Частина 3 Для розв’язання завдань 31–35 обов’язкове обґрунтування. Запишіть послідовні логі-чні дії та поясніть їх, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдання схемами, гра-фіками, таблицями. Запишіть відповідь у зошит. 31. Знайти діагональ осьового перерізу циліндра, якщо його об’єм дорівнює V, а бічна по-

верхня дорівнює S. 32. У циліндрі проведено два перерізи АВСD і АВEF, де АВ — твірна циліндра. Площа

кожного з цих перерізів дорівнює 12

площі осьового перерізу. Знайти кут між площи-

нами АВC й АBE. 33. Два однакові рівносторонні циліндри розміщені так, що вісь кожного з них є твірною

іншого. Знайти об’єм спільної частини цих циліндрів, якщо твірна дорівнює а. 34. Площина перетинає основи циліндра по хордах, які дорівнюють 6 см і 8 см, відстань

між ними — 9 см. Знайти площу бічної поверхні циліндра, якщо радіус циліндра 5 см. 35. У циліндр вписано паралелепіпед, діагональ якого утворює з площиною основи кут α,

а з більшою бічною гранню — кут β. Визначити об’єм циліндра, якщо більша сторона основи паралелепіпеда дорівнює а.


242

ТЕМА 11. КОНУС

Частина 1 Завдання 1–20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку. 1. Діаметр основи конуса 8 см, а його висота 3 см. Знайти твірну конуса.

А Б В Г Д

10 см 73 см 2 см 10 см 5 см

2. Твірна конуса дорівнює l, а кут між твірною і висотою — β. Визначити площу бічної поверхні конуса.

А Б В Г Д

2 coslπ β 2 sinlπ β 22 coslπ β 2

sinlπβ

2

coslπβ

3. Знайти площу повної поверхні конуса, твірна якого дорівнює 10 см, а радіус основи дорівнює 6 см.

А Б В Г Д 160π см2

96π см2 320π см2 192 см2 48π см2 4. Прямокутний трикутник з катетами 3 см і 4 см обертається навколо меншого катета.

Обчислити об’єм утвореного тіла обертання. А Б В Г Д

16π см3 12π см3 36π см3 48π см3 4π см3 5. Осьовим перерізом конуса є прямокутний трикутник. Радіус основи конуса дорівнює

6. Знайти площу осьового перерізу конуса. А Б В Г Д 72 9 12 18 36

6. Розгорткою бічної поверхні конуса є сектор, радіус якого дорівнює 9 см, а дуга — 120°. Знайти радіус конуса.

А Б В Г Д 4,5 см 1,5 см 6 см 3 см 9 см

7. Висоту конуса поділено на чотири рівні відрізки і через точки поділу паралельно ос-нові проведено площини. Визначити площу найбільшого перерізу, якщо площа основи дорівнює S.

А Б В Г Д

14

S 34

S 316

S 116

S 916

S

243

8. Хорду основи конуса, довжина якої а, видно з центра основи під кутом α. Твірна ко-нуса нахилена до площини основи під кутом β. Визначити висоту конуса.

А Б В Г Д

tg

2cos2

a βα

tg

2sin2

a βα

ctg

2sin2

a βα

tg2

2sin2

a β

α

tg2

2cos2

a β

α

9. Радіус основи конуса дорівнює r. Визначити площу перерізу, який проходить через вершину конуса і хорду основи, яка стягує дугу 60°, якщо площина перерізу утворює з площиною основи конуса кут 30°.

А Б В Г Д 2

3r 23

2r 22r 2r

2

2r

10. Радіуси основ зрізаного конуса дорівнюють 7 см і 15 см, а його твірна — 10 см. Знайти висоту конуса.

А Б В Г Д

3 см 4 21 см 2 21 см 6 см 12 см

11. Два конуси мають однакову площу бічної поверхні. Знайти відношення площ їх основ, якщо твірна першого конуса утричі більша від твірної другого.

А Б В Г Д 1 : 9 1 : 3 1 : 81 2 : 3 4 : 9

12. Осьовим перерізом конуса є правильний трикутник зі стороною 2r. Визначити площу перерізу, проведеного через дві твірні, кут між якими дорівнює 30°.

А Б В Г Д

2r 22r 23r 24r 2

2r

13. Найбільший кут між твірними конуса дорівнює 60°. Знайти відношення бічної поверх-ні до площі основи конуса.

А Б В Г Д 1 2 3 4 5

14. Відношення площі основи конуса до площі осьового перерізу дорівнює π. Знайти кут нахилу твірної до основи.

А Б В Г Д 15° 30° 45° 60° 75°

15. Півкруг згорнули в конус. Знайти кут при вершині осьового перерізу цього конуса. А Б В Г Д

30° 45° 60° 90° 120°

244

16. Розгорткою бічної поверхні конуса є сектор з дугою α. Знайти α, якщо висота конуса дорівнює 4 см, а радіус основи — 3 см.

А Б В Г Д 54° 72° 58° 216° 108°

17. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює а. Бічна грань утворює з площиною основи кут α. Визначити об’єм конуса, вписаного в піраміду.

А Б В Г Д 3 tg8

aπ α 3 ctg8

aπ α 3 sin8

aπ α 3 ctg24

aπ α 3 tg24

aπ α

18. Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди дорівнює b й утворює з площиною ос-нови кут α. Визначити об’єм конуса, описаного навколо піраміди. А Б В Г Д

3 3tgbπ α 3 2sin cosbπ α α 3 2cos sinbπ α α 3

2sin cos3bπ α α

32cos sin

3bπ α α

19. Трикутник зі сторонами 3 см, 4 см і 5 см обертається навколо найбільшої сторони. Знайти площу поверхні обертання.

А Б В Г Д 10π см2

12,6π см2 14,4π см2 16,8π см2 20,2π см2 20. Радіуси основ зрізаного конуса дорівнюють R і r, а твірна — l. Знайти твірну повного

конуса, від якого відокремлений зрізаний конус. А Б В Г Д

Rlr

RlR r−

RlR r+

R rRl+ R r

Rl−

Частина 2 Розв’яжіть завдання 21–30. Запишіть відповідь у зошит. 21. Осьовим перерізом конуса є прямокутний трикутник. Знайти площу бічної поверхні

конуса, якщо радіус основи конуса дорівнює 5 см. 22. Площа осьового перерізу конуса дорівнює 0,6 см2. Висота конуса дорівнює 1,2 см. Об-

числити площу повної поверхні конуса. 23. Твірна конуса утворює з його основою кут 30°, а площа перерізу, що проходить через

твірні, кут між якими 120°, дорівнює 3 . Знайти об’єм конуса. 24. Бічна поверхня конуса дорівнює 10 см2 і розгортається в сектор з кутом 36°. Знайти

повну поверхню конуса. 25. Висота конуса дорівнює h. Розгорткою бічної поверхні цього конуса є сектор з центра-

льним кутом 120°. Визначити об’єм конуса. 26. Визначити об’єм конуса за площею його основи Q і площею бічної поверхні S. 27. Знайти об’єм тіла, яке утворюється при обертанні ромба зі стороною 1 і гострим кутом

α навколо меншої діагоналі.

245

28. Рівнобічну трапецію, основи якої дорівнюють 8 і 18, обертають навколо більшої осно-ви. Знайти площу поверхні тіла обертання, якщо відомо, що в цю трапецію можна вписати коло.

29. У конус із радіусом r і висотою h вписано правильну трикутну призму, всі ребра якої рівні. Визначити ребро призми.

30. Визначити бічну поверхню конуса, вписаного в правильний тетраедр з ребром а.

Частина 3 Для розв’язання завдань 31–35 обов’язкове обґрунтування. Запишіть послідовні логі-чні дії та поясніть їх, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдання схемами, гра-фіками, таблицями. Запишіть відповідь у зошит. 31. Радіус основи конуса дорівнює R, кут нахилу твірної до площини основи дорівнює α.

Площина проходить через вершину конуса і перетинає основу під кутом φ. Визначити площу перерізу.

32. Бічною поверхнею конус розгортається у чверть круга. Визначити повну поверхню цього конуса, якщо площа його осьового перерізу дорівнює S.

33. У правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює α. Визначити площу бічної поверхні конуса, описаного навколо піраміди, якщо її висота дорівнює Н.

34. У правильній трикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює α. Знайти повну поверхню вписаного в піраміду конуса, якщо площа основи піраміди дорівнює S.

35. У конус, твірна якого дорівнює l і нахилена до площини основи під кутом φ, вписано куб. Визначити ребро куба.

246

ТЕМА 12. КУЛЯ

Частина 1 Завдання 1–20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку. 1. Кулю, радіус якої 5 см, перетнуто площиною, що розміщена на відстані 3 см від

центра. Знайти площу перерізу. А Б В Г Д

4π см2 8π см2 12π см2 16π см2 32π см2 2. Діаметр кулі дорівнює 6 см. Точка А лежить на дотичній площині на відстані 4 см від

точки дотику. Знайти відстань від точки А до поверхні кулі. А Б В Г Д

0,5 см 1 см 2 см 3 см 4 см 3. Площа великого круга кулі дорівнює 4π см2. Знайти об’єм кулі.

А Б В Г Д

643π см3 16π см3 32π см3 32

3π см3 64π см3

4. Діаметр кулі дорівнює 6 см. Знайти площу поверхні кулі. А Б В Г Д

18π см2 36π см2 54π см2 72π см2 108π см2

5. Площина перетинає сферу. Довжина лінії перетину дорівнює 10π см, а діаметр сфери, проведений в одну з точок лінії перетину, утворює з площиною перетину кут 60°. Знайти площу поверхні сфери.


6. Об’єми двох куль відносяться як 27 : 125. Як відносяться площі їх поверхонь? А Б В Г Д

9 : 25 3 : 5 27 : 125 27 : 125 3 27 : 3 125

7. Діаметр одного кавуна вдвічі більший від діаметра іншого. У скільки разів перший ка-вун важчий від другого?

А Б В Г Д 2 3 4 8 16

8. М’яч, площа повної поверхні якого дорівнює 400π см2, зробив один повний оберт по прямій. Знайти довжину шляху, яку він при цьому подолав.

А Б В Г Д 10π см 20π см 30π см 40π см 60π см

247

9. На поверхні кулі радіуса r дано дві точки, відстань між якими дорівнює радіусу кулі. Визначити найкоротшу відстань на поверхні кулі між цими точками.

А Б В Г Д

23rπ

12rπ

6rπ

3rπ

4rπ

10. Металеву кулю переплавлено на 8 рівних між собою куль. Як змінилася при цьому за-гальна поверхня?

А Б В Г Д Збільшилася у 4 рази

збільшилася удвічі

зменшилася удвічі

зменшилася у 8 разів не змінилася

11. Дві рівні кулі радіуса R розміщені так, що центр однієї з них лежить на поверхні іншої. Знайти радіус кола, по якому перетинаються їхні поверхні.

А Б В Г Д

R 2R 3

2R

2R 2R

12. Вершини трикутника лежать на сфері радіуса 13 см. Знайти відстань від центра сфери до площини трикутника, якщо сторони трикутника дорівнюють 6 см, 8 см і 10 см.

А Б В Г Д

4 11 см 165 см 6 см 24 см 12 см

13. Вершини прямокутника лежать на сфері радіуса 10 см. Знайти відстань від центра сфери до площини прямокутника, якщо його діагональ дорівнює 16 см.

А Б В Г Д

2 41 см 6 см 3 см 7 см 5 см

14. Через точку, що лежить на поверхні сфери, проведено дві взаємоперпендикулярні площини, які перетинають сферу по колах з радіусами r1 i r2. Визначити площу повер-хні сфери.

А Б В Г Д

( )2 21 2r rπ + ( )2 2

1 24 r rπ + ( )2 2

1 2

4

r rπ + ( )2 2

1 22 r rπ + ( )2 2

1 2

2

r rπ +

15. Через точку, що не лежить на сфері, проведено дві площини, які дотикаються до сфе-ри. Знайти відстань від центра сфери до лінії перетину площин, якщо кут між площи-нами дорівнює 60°, а площа поверхні сфери — 32π см2.

А Б В Г Д

4 2 см 8 2 см 4 см 2 2 см 16 2 см

248

16. Знайти відношення площ поверхні куба і вписаної в нього кулі. А Б В Г Д

2π

3π

4π

6π

12π

17. У циліндр вписано кулю. Визначити об’єм кулі, якщо об’єм циліндра дорівнює V. А Б В Г Д

23

V 13

V 16

V 56

V 34

V

18. Знайти відношення об’ємів кулі та вписаного в неї куба. А Б В Г Д

2π 3π 3

2π 3

4π 3

4π

19. Знайти відношення площі поверхні кулі описаної навколо рівностороннього конуса, до площі поверхні кулі, вписаної в цей конус.

А Б В Г Д 2 3 4 6 8

20. Навколо кулі описана правильна трикутна призма. Знайти відношення об’ємів призми і кулі.

А Б В Г Д

34π

27 34π

9 3π

9 34π

3π

Частина 2 Розв’яжіть завдання 21–30. Запишіть відповідь у зошит. 21. Перерізи кулі двома паралельними площинами, між якими лежить центр кулі, мають

площі 144π см2 і 25π см2. Відстань між площинами дорівнює 17 см. Знайти площу по-верхні кулі.

22. Перерізи сфери двома паралельними площинами мають довжини 10π см і 24π см. Знайти площу поверхні сфери, якщо відстань між площинами дорівнює 7 см і центри перерізів лежать на одному радіусі сфери.

23. Основою прямої призми є трикутник зі сторонами 6 см, 8 см і 10 см. Висота призми дорівнює 24 см. Знайти радіус кулі, описаної навколо призми.

24. Сторона основи і висота правильної чотирикутної піраміди дорівнюють 4 см. Знайти радіус описаної навколо піраміди кулі.

25. Навколо конуса з радіусом основи r і висотою h описано кулю. Визначити радіус цієї кулі.

26. Навколо циліндра, у якого твірна дорівнює l, а діагональ осьового перерізу утворює з основою кут α, описано кулю. Визначити об’єм кулі.

27. У пряму чотирикутну призму, основою якої є ромб з діагоналями d1 i d2, вписано ку-лю. Визначити радіус кулі.

249

28. У правильну трикутну піраміду, сторона основи якої дорівнює а, а двогранний кут при ребрі основи дорівнює α, вписано кулю. Знайти об’єм кулі.

29. У циліндр, об’єм якого V, вписано кулю. Визначити радіус кулі. 30. Висота конуса дорівнює 8 см, а його твірна дорівнює 10 см. Знайти радіус кулі, вписа-

ної в конус.

Частина 3 Для розв’язання завдань 31–35 обов’язкове обґрунтування. Запишіть послідовні логі-чні дії та поясніть їх, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдання схемами, гра-фіками, таблицями. Запишіть відповідь у зошит. 31. Основою піраміди є правильний трикутник зі стороною 6 см. Одне з бічних ребер пі-

раміди є перпендикулярним до площини основи і дорівнює 4 см. Знайти радіус кулі, описаної навколо піраміди.

32. У конус, бічна поверхня якого в k разів більша від площі основи, вписано кулю радіуса R. Визначити об’єм конуса.

33. Ребро правильного тетраедра дорівнює а. Визначити радіус сфери, яка дотикається до бічних граней тетраедра, якщо центр цієї сфери лежить на основі тетраедра.

34. Дано правильну трикутну піраміду зі стороною основи а. Двогранний кут при бічному ребрі дорівнює φ. Визначити радіус сфери, описаної навколо піраміди.

35. Бічні ребра трикутної піраміди попарно перпендикулярні, а площі бічних граней дорі-внюють S1, S2 i S3. Знайти радіус вписаної кулі.

250

РОЗДІЛ ІІІ. КООРДИНАТИ ТА ВЕКТОРИ

ТЕМА 13. КООРДИНАТИ

Частина 1 Завдання 1–20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку. 1. Точки А(2; –4; –8) і В(10; –20; 6) симетричні відносно точки С. Знайти координати точки С.

А Б В Г Д (–10; 20; –6) (3; –4; –0,5) (12; –24; –1) (6; –12; –1) (–2; 4; –8)

2. Скласти рівняння кола, в якого відрізок МN — діаметр і M(7; 6), N(11; 9). А Б В Г Д

2 2( 7) ( 6)6,25

x y− + − ==

2 2( 9) ( 7,5)6,25

x y+ + + ==

2 2( 9) ( 7,5)6,25

x y− + − ==

2 2( 9) ( 7,5)25

x y− + − ==

2 2( 9) ( 7,5)9

x y+ + + ==

3. Дано трикутник АВС, вершини якого мають координати А(–2; 6), В(–2; –2) і С (4; –2). Знайти довжину медіани ВМ.

А Б В Г Д 2 3 4 5 6

4. Скласти рівняння геометричного місця точок, рівновіддалених від точок С(0; 3) і D(2; 1).

1

y

0 1 x

C

D

А Б В Г Д

y = x + 3 y = x + 1 y = x + 2 y = –x + 1 y = 2 5. Знайти координати точки, яка симетрична точці А(1; 2; 3) відносно площини xy.

А Б В Г Д (–1; –2; –3) (–1; –2; 3) (1; –2; 3) (–1; 2; 3) (1; 2; –3)

6. Знайти координати точки, яка симетрична точці М(10; 20; 30) відносно осі аплікат. А Б В Г Д

(–10; –20; 30) (10; 20; 30) (10; 20; 0) (–10; –20; –30) (10; 20; –30) 7. При паралельному перенесенні точка А(1; 2; 6) переходить у точку А1(6; 7; 0). Вказати

координати точки, у яку при цьому переходить точка В(7; 9; 1). А Б В Г Д

(21; 31,5; 0) (2; 4; 7) (12; 14; –5) (12; 14; 7) (–12; –14; 5)

251

8. Знайти відстань від точки М(5; 4; 12) до осі ординат. А Б В Г Д 5 4 12 13 21

9. Знайти відстань від точки Р(3; –6; 8) до площини yz. А Б В Г Д 3 4 6 8 10

10. Скласти рівняння сфери, яка проходить через початок координат із центром у точці S(–1; 2; –3).

А Б В Г Д 2 2

2

( 1) ( 2)( 3) 14x y

z− + + +

+ − =

2 2

2

( 1) ( 2)( 3) 2x y

z+ + − +

+ + =

2 2

2

( 1) ( 2)( 3) 14x y

z+ + − +

+ + =

2 2

2

( 1) ( 2)( 3) 2x y

z− + + +

+ − =

2 2

2

( 1) ( 2)( 3) 10x y

z+ + − +

+ + =

11. Вказати рівняння кола, яке на площині симетричне колу 2 2( 4) ( 5) 9x y− + + = відносно осі Oy.

А Б В Г Д 2

2

( 5)( 4) 9x

y+ +

+ − =

2

2

( 5)( 4) 9x

y− +

+ + =

2

2

( 4)( 5) 9x

y+ +

+ − =

2

2

( 4)( 5) 9x

y− +

+ − =

2

2

( 4)( 5) 9x

y+ +

+ + =

12. Скласти рівняння кола з центром у точці С(5; –2), яка дотикається до осі ординат. А Б В Г Д

2 2( 5) ( 2)25

x y+ + + ==

2 2( 5) ( 2)4

x y+ + − ==

2 2( 5) ( 2)4

x y− + + ==

2 2( 5) ( 2)5

x y− + + ==

2 2( 5) ( 2)25

x y− + + ==

13. Скласти рівняння сфери з центром у точці А(–1; 3; 2), яка дотикається до площини ху. А Б В Г Д

2 2

2

( 1) ( 3)( 2) 10x y

z+ + − +

+ − =

2 2

2

( 1) ( 3)( 2) 4x y

z+ + − +

+ − =

2 2

2

( 1) ( 3)( 2) 13x y

z+ + − +

+ − =

2 2

2

( 1) ( 3)( 2) 2x y

z+ + − +

+ − =

2 2

2

( 1) ( 3)( 2) 2x y

z− + + +

+ + =

14. Знайти координати центра кола 2 24 10 20 0x x y y− + + + = .

А Б В Г Д (2; 5) (–2; 5) (–2; –5) (2; –5) (4; –10)

15. Знайти радіус сфери 2 2 22 6 6 0x y y z z+ − + + − = .

А Б В Г Д 2 3 4 5 6

16. Дано АВСD — паралелограм. А(–4; 1; 5), В(–5; 4; 2), С(3; –2; –1). Знайти координати вершини D.

А Б В Г Д (12; 7; –8) (6; –3; –6) (–6; 3; 6) (–12; 7; 8) (4; –5; 2)

252

17. Дано АВСDA1B1C1D1 — куб. А(7; 0; 0), В(5; 0; 0), С1(5; 2; 2). Знайти координати вер-шини D1.

А Б В Г Д (7; 5; 2) (5; 2; 0) (2; 2; 2) (7; 2; 2) (7; 0; 2)

18. Точки А(2; 4) і С(5; 8) є вершинами квадрата АВСD. Знайти площу цього квадрата. А Б В Г Д

2,5 5 12,5 25 20 19. Точки А(–1; 0; 2) і В(0; 1; 1) є вершинами правильного трикутника. Знайти площу цьо-

го трикутника. А Б В Г Д

34

3 3 3 34

3 9

20. d(x) — відстань від точки М(х; 0; 0) до площини yz. Який з наведених графіків є графі-ком функції d = d(x)?

А Б В Г Д

11

d

x01

1

d

x01

1

d

x01

1

d

x01

1

d

x0

Частина 2 Розв’яжіть завдання 21–30. Запишіть відповідь у зошит. 21. Дано точки А(–2; 2), В(2; 5), С(–1; 9). Встановити вид трикутника АВС за сторонами. 22. Скласти рівняння кола з центром у точці С(–2; 3), яке проходить через точку А(1; –1). 23. Скласти рівняння кола, діаметром якого є відрізок АВ, де А(2; –3) і В(8; 5). 24. На осі ординат знайти точку, рівновіддалену від точки А(–1; 3) і початку координат. 25. Скласти рівняння прямої, яка проходить через початок координат і точку А(8; 3). 26. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М(–2; 5) й утворює з додатним

напрямом осі абсцис кут 45°. 27. Знайти площу трикутника, обмеженого осями координат і прямою 4x + 3y = 24. 28. На осі z знайти точку, рівновіддалену від точок А(–2; 1; 4) і В(3; 0; 1). 29. Знайти довжину медіани АА1 трикутника АВС, якщо А(3; –2; 1), В(3; 1; 5) і С(4; 0; 3). 30. Знайти радіус сфери заданої рівнянням 2 2 2 2 2 2 0x y z x y+ + − + − = .

253

Частина 3 Для розв’язання завдань 31–35 обов’язкове обґрунтування. Запишіть послідовні логі-чні дії та поясніть їх, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдання схемами, гра-фіками, таблицями. Запишіть відповідь у зошит. 31. Скласти рівняння кола, яке проходить через точку А(2; 1) і дотикається до осей коор-

динат. 32. Скласти рівняння кола з центром на осі ординат, яке проходить через точки А(–3; 0),

В(0; 9). 33. Дано дві точки А(0; 0) і В(1; 0). Знайти геометричне місце точок на площині, відстань

від яких до точки А удвічі більша від відстані до точки В. 34. Точка М(2; 6; 3) — середина відрізка, кінці якого лежать на осі х і на площині yz. Знай-

ти довжину відрізка. 35. Дано дві вершини рівностороннього трикутника — А(–2; 2) і В(–2; –4). Знайти коорди-

нати третьої вершини.

254

ТЕМА 14. ВЕКТОРИ

Частина 1 Завдання 1–20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку. 1. Дано паралелограм АВСD. О — точка перетину діагоналей. Який з наведених векторів

дорівнює сумі BC OA+ ?

A

B C

D

O

А Б В Г Д

AB OC OB OD AD

2. Дано вектор a . Який з наведених векторів дорівнює 23

a− ?

a

А Б В Г Д

h

n

m

p

k

3. Дано вектори a і b .

a

b

Який з наведених векторів дорівнює різниці a – b ?

А Б В Г Д

m

n

p

k

l

255

4. О — точка перетину медіан трикутника АВС. BA a= , BC c= . Виразити вектор OB через вектори a і c .

B

CO

A

ac

А Б В Г Д 1 12 2

OB a c= + 2 23 3

OB a c= + 2 23 3

OB a c= − − 1 13 3

OB a c= − − 1 13 3

OB a c= +

5. Дано точки А(5; –6; 7) і В(8; –2; 7). Знайти абсолютну величину вектора AB . А Б В Г Д

5 25 133 9 2 4

6. Серед векторів a (4; 14; 2), b (2; 7; –1), c (0; 0; 3), d (–6; –21; 3) знайти колінеарні.

А Б В Г Д

a і b a і c a і d b і c b і d

7. Дано вектори a (3; –6; 2) і b (8; 4; 5). Знайти скалярний добуток a · b .

А Б В Г Д –17 0 –5760 10 –3

8. За якого значення x вектори a (3; 0; 6) і b (–8; 7; x) перпендикулярні?

А Б В Г Д 6 4 2 –4 –2

9. Сторона рівностороннього трикутника АВС дорівнює 4. Знайти скалярний добуток ве-кторів ·AB BC .

А Б В Г Д 8 –8 4 –4 2

10. Знайти кут між векторами a (1; 0; –1) і b (0; –1; 1).

А Б В Г Д 60° 120° 45° 135° 150°

256

11. Знайти координати вектора a , зображеного на рисунку.

1

y

0 1 x

a

А Б В Г Д (–3; –1) (2; 4) (5; 3) (3; –1) (3; 1)

12. Знайти абсолютну величину вектора b , зображеного на рисунку.

1

y

0 1 x

b

А Б В Г Д

3 3 10 2 7

13. Знайти скалярний добуток векторів m і n .

1

y

0 1 x

mn

А Б В Г Д 9 10 11 12 14

14. Обчислити косинус кута між векторами a і c .

1

y

0 1 x

ac

А Б В Г Д 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

257

15. Вектори a і b утворюють кут 135°, 2, 2 2a b= = . Знайти a b− .

А Б В Г Д

22 52 5 24 4

16. Дві сили 1F і 2F утворюють між собою кут 120°. 1 2F F= = 10 Н. Знайти модуль рі-

внодійної цих сил. А Б В Г Д

5 Н 10 Н 5 3 Н 20 Н 10 2 Н

17. a і b — ненульові вектори. a b a b+ = − . Знайти кут між векторами a і b .

А Б В Г Д 30° 60° 45° 90° 120°

18. Дано вектори a і b такі, що 1, 2a b= = , 3a b+ = . Знайти скалярний добуток век-

торів a і b .

А Б В Г Д 1 2 4 6 8

19. Дано квадрат АВСD. Який з наведених векторів дорівнює сумі AC DB+ ?

A D

B C

А Б В Г Д

2 AB 2 BC 0 2 AC 2 AD

20. Дано квадрат АВСD зі стороною 1. Знайти 3AB AD− .

A

B C

D

А Б В Г Д

2 10 2 2 2 2 3


258


21. Відомо, що 11x = , 23y = , а 30x y− = . Знайти x y+ .

22. Дано 13a = , 19b = , 24a b+ = . Знайти a b− .

23. Вектори a і b утворюють кут 120°. 3a = , 2b = . Обчислити (3 2 )( 2 )a b a b− + .

24. a (4; –2; –4), b (6; –3; 2). Обчислити (2 3 )( 2 )a b a b− − .

25. Дано 2m = , 3n = , а кут між векторами m і n дорівнює 120°. Обчислити косинус

кута між векторами m і m + n .

26. Знайти довжину вектора a b c− − , якщо 2a = , 3b = , 4c = , ( ; )a b∠ = 60°,

( ; )b c∠ = 90°, ( ; )a c∠ = 120°.

27. Знайти кут між векторами 5a− і 15

b , якщо a (–1; 1; 4) і b (1; 0; –1).

28. Дано вектори a (–2; 0), b (1; –1) і c (2; 3). За якого значення k вектори 2a kb− та c будуть колінеарними?

29. Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах AB (3; 0; –4) і AD (0; 5; 0). 30. Дано трикутник МРK, М(–3; –2), Р(1; 4), K(2; –1). Знайти кут М.

Частина 3 Для розв’язання завдань 31–35 обов’язкове обґрунтування. Запишіть послідовні логі-чні дії та поясніть їх, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдання схемами, гра-фіками, таблицями. Запишіть відповідь у зошит.

31. Дано вектор a (2; 1; –3). Знайти вектор b , якщо a · b = 7 і вектор b колінеарний век-тору a .

32. Дано 2a = , 1b = , ∠( a ; b ) = 60°. Знайти кут між векторами a + b і a – b .

33. Знайти кут між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах a (3; 2) і b (1; –2).

34. Знайти кут між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах 4 2a m n= + і 4b m n= + , якщо 1m n= = , ( ; )m nϕ = ∠ = 60°.

35. Два вектори a (4; 3) і b (–6; 8) прикладені до однієї точки. Визначити координати век-тора c , напрямленого по бісектрисі кута між векторами a і b , якщо 5 2c = .

259

ДОДАТКИ

БЛАНКИ ВІДПОВІДЕЙ (АЛГЕБРА ТА ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ) Тема 1. Обчислення. Арифметичні задачі.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Кількість правильно виконаних завдань — ______

Тема 2. Відсотки. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Тема 3. Цілі вирази. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Тема 4. Дробово-раціональні вирази. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Тема 5. Ірраціональні вирази. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Тема 6. Логарифмічні вирази. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Тема 7. Тригонометричні вирази. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


260

Тема 8. Цілі раціональні рівняння. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Тема 9. Цілі раціональні нерівності. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Тема 10. Дробові раціональні рівняння. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Тема 11. Дробові раціональні нерівності. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Тема 12. Ірраціональні рівняння. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Тема 13. Ірраціональні нерівності. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Тема 14. Показникові рівняння. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


261

Тема 15. Показникові нерівності. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Тема 16. Логарифмічні рівняння. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Тема 17. Логарифмічні нерівності. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Тема 18. Тригонометричні рівняння. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Тема 19. Тригонометричні нерівності. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Тема 20. Системи рівнянь. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Тема 21. Арифметична і геометрична прогресія. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


262

Тема 22. Елементарні функції та їх властивості. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Тема 23. Побудова графіків функцій методом геометричних перетворень. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Тема 24. Похідна функції, її геометричний та механічний зміст. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Тема 25.Застосування похідної для дослідження функцій. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Тема 26. Первісна. Інтеграл. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Тема 27. Елементи комбінаторики. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Тема 28. Початки теорії ймовірностей. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


263

БЛАНКИ ВІДПОВІДЕЙ (ГЕОМЕТРІЯ) Тема 1. Різносторонній трикутник.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Тема 2. Прямокутний трикутник. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Тема 3. Рівнобедрений трикутник. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Тема 4. Чотирикутники. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Тема 5. Многокутники. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Тема 6. Коло, круг та їх елементи. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Тема7. Прямі й площини в просторі. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


264

Тема 8. Призма. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Тема 9. Піраміда. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Тема 10. Циліндр. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Тема 11. Конус. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Тема 12. Куля. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Тема 13. Координати. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Тема 14. Вектори. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


265

ВІДПОВІДІ ДО ТЕМАТИЧНИХ ЗАВДАНЬ (АЛГЕБРА ТА ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ)

Розділ І. ЧИСЛА І ВИРАЗИ

Тема 1. Обчислення. Арифметичні задачі

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Г Д Б Г В Г А Г Д Г Б Г В А Д Г Г Б Д В

Частина 2

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 596

–420 13

84 дні 28 учнів 32 роки 29 250 м 288 яблук 22 учні

Частина 3

31 32 33 34 35 14 10 учнів 10 км 48 год 72 км/год

Тема 2. Відсотки

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 В Д А Д Б В Б Г Д В Г Б А Д А А В А Б А

Частина 2

21 22 23 24 25 26 27 28 9 30 535 %7

1,2 кг 50 кг 2,25 кг 2500 кг 7,2% 200 г 500 г 19 %11

1,44%

Частина 3

31 32 33 34 35 64 %

11 4000 грн. 4000 грн. 5% 30 грн.

Тема 3. Цілі вирази

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Д В А Д Г А Б Г Б Д Г Д Г Д В Д В А Г Б

Частина 2

21 22 23 24 25 2 4x4 + 4x3 – 215 2x2 + 3x – 2 (a + x – ax + 1)×

266

– 11x2 – 6x + 9 ×(a + x + ax – 1) 26 27 28 29 30

(x2 – 2x + 2)× ×(x2 +2x + 2) (a – 2)(a2 + 3a + 6) (a – 1)(а – 2)(а + 3) 0 9

Частина 3

31 32 33 34 35 x3 + y3 + z3 +3(x2y + + xy2 + x2z + xz2 + + y2z + yz2) + 6xyz

(x3 – x2 + 1)× ×(x2 + x + 1)

(x4 – x2 + 1)× ×(x4 + x2 + 1) (n2 – n – 1)2 a = –26,

b = –24

Тема 4. Дробово-раціональні вирази

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Г А В Г Б Д Б Г А Г Б Г Г В Д Б Б А В Г

Частина 2

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

3a b

b+−

11 a−

1 0,5 11

aa+−

1ab

2 1a

a −

21 14

nab

⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ 0 2

2a +

Частина 3

31 32 33 34 35

4 ( )5

15a a + x + y + z 3

7 –2000

Тема 5. Ірраціональні вирази

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Г Д Б А Б В Д В А А Д Г Б Д Г В Д А А Г

Частина 2

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

–5 2 10 4 16 23 1

2a +

3 3 211+ b a− x y−

Частина 3

31 32 33 34 35

1 1 3 1− ( )2 5 2 1+ ( )24 4x y+

267

Тема 6. Логарифмічні вирази

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Г В Д А А Д Б Г Д А Д В А Д Б Г В Б Г Б

Частина 2

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

6400 49

49 6 –4 –2 7 2log210 1 31 4

aa

++

2 11

a ba

+ −−

Частина 3

31 32 33 34 35

–8 logba ( )10 1 aa−

( )5

2 2 1b

a ab b−

+ − + 1

Тема 7. Тригонометричні вирази

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Д В В В Б А Д Б Д В А Д Г В Б Д А Г В А

Частина 2

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

–1 0 0 tgα 2cosα sinx 4sin25°cos33°cos27° cos5° + сos35° – 3 сos15° 3

16 2 3

2−

Частина 3

31 32 33 34 35

0 2sin999

sin sin1000α

α α 16 9

52

3π

Розділ ІІ. РІВНЯННЯ Й НЕРІВНОСТІ

Тема 8. Цілі раціональні рівняння

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Г Д В А В Г Б Г В Б Г А Д В Д Б Г В Б Г

268

Частина 2

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

3 1;

3 2 –1;

4 15− ±–2; –1

–4; 2

113

− ;

2

–8; 12

Якщо а = –3, то х — будь-яке число; якщо а = 2,

то ∅, якщо а ≠ –3 і а ≠ 2, то 12

xa

=−

21 62

Частина 3

31 32 33 34 35 –3; 2 1; 3 –2; 3; 4 2; 4 [–4; –3]∪[3; 4]

Тема 9. Цілі раціональні нерівності

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Г Б Д В А Д Б Д Д В А Г Д В Б Г А В Г Б

Частина 2

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 39 ;7

⎛ ⎞+ ∞⎜ ⎟⎝ ⎠

(–5; –2) (–4; –2) (–3; –2]∪∪[1; 2)

(–∞; –5]∪∪{1; 3} (1; 2) [–1; 0]∪

∪[4; 5] (–3; 1)∪∪(3; 7)

(–2; –1)∪ ∪(1; 2) (2,5; 3)

Частина 3

31 32 33 34 35

(–2; –1)∪(2; 3) [1,5; +∞) ( )7 1; 6− (–2; 2) a < 0, x∈(2a; a);

a = 0, x∈∅; a > 0, x∈(a; 2a)

Тема 10. Дробові раціональні рівняння

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 В Г Г Д А Д Г Г Г Д А Г Б Б А Д Б Г Г А

Частина 2

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

1 852

± 12

− 9 –3,5; –1 –5; 1; 1 6− − ; 1 6− +

0; –2; 2 66

2− + ;

2 662

− −

27

; 45

40 км/год 16 10 год

269

Частина 3

31 32 33 34 35 12

; 1; 2 –7; 2 1; 2; 2 2− − 12

− ; –4 a = 0, a = 1

Тема 11. Дробові раціональні нерівності

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 В Д В А Г Б Б В В Г А В Г Б Б Д А В Г Б

Частина 2

21 22 23 24 25

(–5; +∞) (–∞; –9)∪(–4; –3)∪∪(6; +∞) [0; 1)∪[1,5; +∞) (–∞; –1)∪(0; +∞) (–∞; 0]∪(1; 2)∪

∪[3; +∞) 26 27 28 29 30

7 732;6

7 73 ; 36

⎛ ⎤−− ∪⎜ ⎥⎝ ⎦⎡ ⎞+∪ ⎟⎢⎣ ⎠

(–∞; –5]∪

∪ 13; 23

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

∪

[–2; –1)

(–∞; –1)∪(1; 4) (–8; 1] (–∞; –1)∪(2; +∞)

Частина 3

31 32 33 34 35

(–∞; –2)∪(–1; 1)∪ ∪[2; +∞)

(–∞; –2] ∪{1}∪ ∪(6; +∞)

(–∞; –7)∪(–7; –1)∪∪(–0,8; +∞)

(–∞; –4)∪(0; 2)∪∪(2; +∞)

а ≤ 0, x∈(–∞; 0); a > 0,

x∈ 1 ; 0a

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

∪ 1 ;a

⎛ ⎞+ ∞⎜ ⎟⎝ ⎠

Тема 12. Ірраціональні рівняння

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Д Г Д Г А Б Г Д В А А Б В А В В Г Д Г А

Частина 2

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 5 1 3 –6 або 7 4 1 1 –1; 4 8 (18; 18)

Частина 3

31 32 33 34 35

1 або –6 1 10 [2; +∞) якщо 0 < a ≤ 1, ( )22

2

14

ax

a−

= ± ;

якщо a ≤ 0 і а > 1, x∈∅

270

Тема 13. Ірраціональні нерівності

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Г В Д Б Г А В Д Г Б Б Д Г В Д В Б Г Д Б

Частина 2

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

[9; +∞) [2; 4] [2; 3] (3; 5] ( )1 ; 2 5;2⎡ ⎞ ∪ + ∞⎟⎢⎣ ⎠

{–1}∪[2; +∞) [6; +∞) 1 ;12⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

(–2; –1]∪

∪ 2 1;3 3

⎡ ⎞− ⎟⎢⎣ ⎠

(–∞; –1)∪∪(4; +∞)

Частина 3

31 32 33 34 35

[2; 4,5] (0; 3]∪[4; 5] [–5; 0)∪[4; 4,8] [–1; 0)∪{1}∪ 1 52

⎧ ⎫+⎨ ⎬⎩ ⎭

якщо а ≤ 0, х∈[–9; +∞);

a > 0, 249; 9xa

⎡ ⎞∈ − − ⎟⎢⎣ ⎠

Тема 14. Показникові рівняння

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 В Д В Д Г Б А Г А Д В Б Д Г В А В Г Д Г

Частина 2

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 4 –0,6; 1 7 9 0 –5; –1 –1; 1 0; 1 πn, n∈Z –0,2

Частина 3

31 32 33 34 35

∅ 1; log32 13 0; 4 якщо а ≤ –1, х∈∅;

–1 < a ≤ 0, x = log5(a + 1); a > 0, x1 = log5a і x2 = log5(a + 1)

Тема 15. Показникові нерівності

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Г Д Г А В Г Д Г Г А Д Д В В А Г Б Д А Д

Частина 2

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

[0; 9] (–∞; –3)∪ ∪(1; +∞) [16; +∞) (0; 1) [0; 1] (1; 3)∪

∪(3; +∞)(–1; 2) (–1; 0) (–∞; –1)∪

∪[2; 3] (–1; 1)

271

Частина 3

31 32 33 34 35 (–∞; 0) (–∞; –2]∪[5; +∞) (log37 –6; 5) (–1; 1) (–2,5; –2)∪(–1; +∞)

Тема 16. Логарифмічні рівняння

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Г Д В Д Б Б В Б Д В Г Д Г А А А Д Д Б Д

Частина 2

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

9 6 ±10; 8

110

± –10000 100; 1000 10; 9210

− 5; 25 64 12log 281 0,1; 1000

Частина 3

31 32 33 34 35 16

; 6 1100

; 100 18

; 12

15

; 125 logblogac

Тема 17. Логарифмічні нерівності

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Г Д А Г Б В Б Д Г В В Д Б А Б Д В В А Г

Частина 2

21 22 23 24 25

(1; 2)∪(3; 4) (2; 7)∪(22; 27) (0; 1)∪[100; 1000] ( )41; 6 (–10; –0,001)

26 27 28 29 30

( )10; 100;10

⎛ ⎞∪ +∞⎜ ⎟⎝ ⎠

( )1 ;1 1; 33

⎛ ⎞ ∪⎜ ⎟⎝ ⎠

(–∞; –1)∪[5; +∞) ( ) ( )2 22 ; 0,5 1; 2− ∪ ( )10; 1; 23

⎛ ⎞ ∪⎜ ⎟⎝ ⎠

Частина 3

31 32 33 34 35

(–1; 0)∪[1; 5) [–1; 0)∪(0; 1] )7

10; 3;3

⎛ ⎤ ⎡∪ + ∞⎜ ⎥ ⎣⎝ ⎦( ) ( )11; 0 ; 2 2;

2⎡ ⎞− ∪ ∪ +∞⎟⎢⎣ ⎠

якщо а ≤ 0 і а = 1, х∈∅;0 < a < 1, x∈(a + 3; 4);

a > 1, x∈(4; a + 3)

Тема 18. Тригонометричні рівняння

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Д Д Б А В Д В Д Г Б А Д В Д В А Б Г Д Г

272

Частина 2

21 22 23 24

1( 1) ,6

nx n n Z+ π= − + π ∈ ( )

1

12

2 , ,2

1 ,6

n

x n n Z

x k k Z+

π= − + π ∈

π= − + π ∈

1

2

, ,4

1arctg ,3

x n n Z

x k k Z

π= + π ∈

= + π ∈

1

2

2 , ,

2 ,2

x n n Z

x k k Z

= π ∈π= + π ∈

25 26 27

( )

1

2

, ,2

1 ,6

k

nx n Z

x k k Z

π= ∈

π= − + π ∈

1

2

, ,8 2

,4

nx n Z

x k k Z

π π= + ∈

π= + π ∈ 2 ,

3x n n Zπ= − + π ∈

28 29 30

1

2

, ,4 2

,6

nx n Z

x k k Z

π π= + ∈

π= ± + π ∈

1

2

, ,4 2

,10 5

nx n Z

kx k Z

π π= + ∈

π π= + ∈

1

2

2 , ,

2 ,2

x n n Z

x k k Z

= π ∈π= + π ∈

Частина 3

31 32 33

1

2

1arccos 2 , ,4 2 2

1arccos 2 ,4 2 2

x n n Z

x k k Z

π= ± + + π ∈

π= ± − + π ∈ ,

16 8nx n Zπ π= + ∈

1

2

, ,3

,6

x n n Z

x k k Z

π= ± + π ∈

π= ± + π ∈

34 35

5; ;3 3π ππ

якщо 1 3;2 2

a ⎡ ⎤∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦, ( ) ( )( )1 1 arcsin 1 3 2 ,

2nx a n n Z= − − − + π ∈ ;

1 3; ;2 2

a ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∈ −∞ − ∪ + ∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, x∈∅

Тема 19. Тригонометричні нерівності

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Д В Д А Д В Г Г Д Б В В А Д В Д А Г Г В

Частина 2

21 22 23

8 8 20 8; ,27 3 27 3

n n n Zπ π π π⎡ ⎤+ + ∈⎢ ⎥⎣ ⎦

; , ,2 4

arctg 2 ; ,2

n n n Z

k k k Z

π π⎛ ⎞− + π − + π ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

π⎛ ⎞+ π + π ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

52 ; 2 ,6 6

n n n Zπ π⎛ ⎞+ π + π ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

273

24 25 26 27

5 1arccos 2 ; 22

5 1arccos 2 ,2

n

n n Z

⎛ − + π π−⎜⎝

⎞− + π ∈⎟⎠

; arctg2 ,4

n n n Zπ⎛ ⎞+ π +π ∈⎜ ⎟⎝ ⎠ { }

2 ; 23 3

2 ,

n n

n n Z

π π⎡ ⎤− + π + π ∪⎢ ⎥⎣ ⎦∪ π+ π ∈

{ }3; ,8 2 8 2 2

n n n

n Z

π π π π π⎡ ⎤+ + ∪⎢ ⎥⎣ ⎦∈

28 29 30

2 2 ; 2 2 ,3

n n n Zπ⎛ ⎞+ π π + π ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

2 ; 2

6 25 32 ; 2 , ,6 2

n n

k k n k Z

π π⎛ ⎤+ π + π ∪⎜ ⎥⎝ ⎦π π⎛ ⎤∪ + π + π ∈⎜ ⎥⎝ ⎦

; ,3 3

n n n Zπ π⎛ ⎞− + π + π ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

Частина 3

31 32 33

R R ( ) ( )2 2 2 2; 2 ; ; 2; ,4 1 4 1 4 1 4 1

n Nn n n n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−∞ − ∪ − − ∪ ∪ + ∞ ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

34 35

{ }2 3 2 2; ,10 5 10 5 5

n n n n Zπ π π π π⎡ ⎤+ + ∪ ∈⎢ ⎥⎣ ⎦ (–∞; –1]∪[1; +∞)

Тема 20. Системи рівнянь

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 В Д А Б Г А Д В Д Б Г Б А Г Б В В Б В Д

Частина 2

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

(1; 2) (3; 4); (4; 3)

(1; 2); (2; 1)

(2; –1); (–2; 1) (–1; –3) (8; 4) (2; 1) (3; 1) (65; 3);

(5; 63) 2 ; ,

3,

k n

k n Z

π⎛ ⎞± + π π⎜ ⎟⎝ ⎠

∈

Частина 3

31 32 33 34 35 12; ; 42

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

; 12; ; 42

⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎝ ⎠

(4; 2); (–4; –2) (1; 2); (–1; –2) ( )8; 2 2 ; ( )0,5; 2 2


274

Розділ ІІІ. ФУНКЦІЇ

Тема 21. Арифметична і геометрична прогресія

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Г Д В Б В Г Д В А Б Д Г Б А В В Г Д А Б

Частина 2

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

–4 1178 10 с 70336 4 або –1 –0,005 5 · 2n 27

8 a · 0,9n 35 45

Частина 3

31 32 33 34 35

ma p q m= + − p n

m np p m

kbl

−−

−= 41 , 0;

0, 0x x

yx

⎧ + ≠⎪= ⎨=⎪⎩

43725 –2

Тема 22. Елементарні функції та їх властивості

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 В Д Б Г В В Д Г Б А Б Д В А Д А Д В Г В

Частина 2

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

[–5; 1] (1; +∞) (–4; –3)∪ ∪(–3; 1)

[–4; 0)∪ ∪(0; 3]

3;4 4

n nπ π⎡ ⎤+ π +π⎢ ⎥⎣ ⎦[–1; 4)∪∪(6; 11] [2; +∞) [2; 3] 30π 3log

1xy

x=

−

Частина 3

31 32 33 34 35

) )4 2; 3 4 2;⎡ ⎡− ∪ + + ∞⎣ ⎣ ±1 0 3arcsin ,

1 1y x

x= π −

− ≤ ≤

якщо а = 5, D(y) = {5}; a < 5, D(y) = [a; 5];

a > 5, D(y) = ∅

Тема 23. Побудова графіків функцій методом геометричних перетворень

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Г Д Б В Г А Д В Б В Д В Б Г В Д Б Г А В

275

Частина 2

21 22

x

y

0 1–2–3–4 2 3 4

1234

–1–2–3–4

–1

x

y

0 1–2–3–4 2 3 4

1234

–1–2–3–4

–1

23 24

x

y

0 1–2–3–4–5–6 2

1234

–1–2–3–4

–1

x

y

0 1–2–3–4 2 3 4

12

–1–2–3–4–5–6

–1

25 26

x

y

0 1–2–3–4 2 3 4

1234

–1–2–3–4

–1

x

y

0 1–2–3–4 2 3 4–1

1

–2–3–4–5–6–7–8–9

–1

27 28

x

y

0 1–2–3–4 2 3 4

1234

–1–2–3–4

–1

x

y

0 1–2–3–4 2 3 4

1234

–1–2–3–4

–1

276

29 30

x

y

0–π π 2π–2π

1

–1

x

y

0 1–2–3–4 2 3 4

12345678

–1

Частина 3

31 32

x

y

0 1 2 3 4

1

2

3

4

x

y

0–π π 2π–2π

1

–1

33 34

x

y

0–π π 2π–2π

123

–1

x

y

0 1–2–3–4 2 3 4

1234

–1–2–3–4

–1

35

x

y

0–π π 2π–2π

1

–1

277

Тема 24. Похідна функції, її геометричний та механічний зміст

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 В Б Д Г А Г Б Г Д Б Г А Г В Д В Д Б Г Б

Частина 2

21 22 23 24 25

6 0 ( )

2

334

cos · sin34 1 cos

x x

x−

+

21 1ctg xx x

− 8

78 · x

26 27 28 29 30 120

y x= − − 5 2y x= + 01 15;2 32

M ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

±arctg6 503

Частина 3

31 32 33 34 35

1 2 4

8 ·

x x x x

x x x x x x

+ + +

+ + + − π

2y = ; 52

y x= − + 12

5 105 10;3

⎛ ⎞−− −⎜ ⎟⎝ ⎠

;

5 105 10;3

⎛ ⎞+− +⎜ ⎟⎝ ⎠

Тема 25.Застосування похідної для дослідження функцій

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Г Д Б А Г А В Д В А В Г Д Г Б Б Г В Д Д

Частина 2

21 22 23 24 25 28 29 30

[–1; 0]; [1; +∞)

(–1; 1); (1; 3)

x e= — точка min

2 ,4

x n

n Z

π=− + π

∈

[0; 3]max (2) 17y y= = ;

[0; 3]min (0) (3) 9y y y= = =

8 і 8 80 м; 40 м 4 м; 4 м; 2 м

278

Частина 3

31 32 33 34 35

a > 3 b = –1; b = 0 a∈(–∞; –4]

x

y

0 1–2–3–4 2 3 4

12345678

–1

a = –0,5

Тема 26. Первісна. Інтеграл

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Б А Б Г Д Г В Д В Д Б Г В А Б Д В Г Д Г

Частина 2

21 22 23 24 25 3 1 1( ) sin 2 sin 48 4 32xF x x x C= − + + cos2 cos

4 2x x C− − + 4 2( ) 2 2 7S t t t t= + + + 126

12 2

3

26 27 28 29 30

33π− 4,5 1

12 4,5

6π

Частина 3

31 32 33 34 35 3

2

32

, 0;3( )

, 03

x x C xF x

x x C x

⎧− + + <⎪⎪= ⎨⎪ − + ≥⎪⎩

3π –2 і 2 18 і 74

3 8

3a =

Розділ ІV. ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ ТА ПОЧАТКИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

Тема 27. Елементи комбінаторики

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Г В Д Д А Д А Д Г Д В А В Б Д Г В А В Д

279

Частина 2

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1

15 10 –20x6y3 3126 x 60 4 5 3

8 10 9· ·C C C 114 14! · 4! 8 · 9! 2400

Частина 3

31 32 33 34 35

495 10! 25202!3!5!

= ( )( )8 9 10 7 810 10 10 8 8 504C C C C C+ + + = 1 3 2 2

2 7 2 7 91C C C C+ = 3 2 3 410 9 7 4

10!4

A C C C =

Тема 28. Початки теорії ймовірностей

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Д Г Д В А В Д Г А Г В Д А Д Г Б Б Д В В

Частина 2

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 4 27 3

610

·C CС

0,06 0,42 95 96 941 · ·100 100 100

− 1 91 99

10100

· 0,1C CC

= 4795

3 33 4

37

67

C CC+

= 6 0,8 0,94208

Частина 3

31 32 33 34 35

1 : , якщо ;1, якщо

k kn m nC C k n m

k n m−− ≤ −

> − 11

32 2

3 n ≥ 10 0,6

280

ВІДПОВІДІ ДО ТЕМАТИЧНИХ ЗАВДАНЬ (ГЕОМЕТРІЯ)

Розділ І. ПЛАНІМЕТРІЯ

Тема 1. Трикутник

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Г В А Д В Д Г А Г Д Г Б В Г Г Д Б Г Б А

Частина 2

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

65° 32

см2 5 см 6,5 см ba c+

7,5 см 22

a )13( − см 336 см2 5 см

Частина 3

31 32 33 34 35

60° 1 792

см 72 см 2

( ) bc lb cbc−+

aba b+

Тема 2. Прямокутний трикутник

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Г Д Б В В Д В А В Б Д Г А В Д Б В Г Г В

Частина 2

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40° 10 см 53 см 120 см 2 61 см 10 см 5 см 30 см2 2 см 600 см2

Частина 3

31 32 33 34 35

2 2( )mn m n

m n+

+

2 2

2 22h lh l−

arcsin0,6 hdh d−

12 265

Тема 3. Рівнобедрений трикутник

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Г В Д А Г Б Д В В А В А Г В А Г Д Г Б Б

281

Частина 2

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

8 см 60° 6 см 4 см 170 см 10 см 3 см 2 2

2 24

2 4a a r

a r+⋅− 2 24

ahh a+

( )arctg 2 3

Частина 3

31 32 33 34 35

36° 32,4 5 см2 2 242

m b− 2ab a ba b b

++

7

Тема 4. Чотирикутники

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Г Д А Б В Г Д А В Д Б Д Г Д А Г Б Д Г Б

Частина 2

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

300 см2 18 см 30° 32 19,2 см 21 42

l S− 1 2

1 22( )ph hh h+ 204 см2 96 см2 (2 3 3)a −

Частина 3

31 32 33 34 35 2

1 2( )S S+ 22( 2 1)a− 4 3 см2 40 см ( )6 3 21 85

− см2

Тема 5. Многокутники

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Д А В А Г В Г Г А Д Д Г А Б В В Б Б В Г

Частина 2

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

шість п’ять шість на 900° 3 ≤ n ≤ 6 20 8 см 2

3d 3

2R 2 2

2R +

Частина 3

31 32 33 34 35

72° ( )2 32a + 2 3a R= − 2 2a R= − tg72a °

282

Тема 6. Коло, круг і їх елементи

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 В Б Д Д Б Г А Б Б Д А В В Б В Г Д Д Г А

Частина 2

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

12π см 15π см 2π см 27π см2 27π см2 ( )2

3 216a π − 8

9 2arcsin

π 1: 2 100 96π −

Частина 3

31 32 33 34 35

( )1 2 3 36

π − см2 232

Rπ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

23

aπ a ba b⋅+

( )2 5 3 2

32

a − π

Розділ ІІ. СТЕРЕОМЕТРІЯ

Тема 7. Прямі і площини в просторі

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 В Д Б Д Д В Г В А В Д А Д Г В Г В А Г Г

Частина 2

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 am

m n+ 3 см 24 2 2 2 2sinb a+ α 3 см 2 2 2a b c+ − 60°

22 5a 24 6a

Частина 3

31 32 33 34 35

3 34

49al 2

4ab

2 2

2 2 3

8( 4 )

a ha h+

3 28

ab

Тема 8. Призма

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Д Г Д Б А Г Г Д В Г Б В В Б В Д А Д В А

283

Частина 2

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

72 см2 30° 4,5 см2 2 21 2 3

2d d d+ + 2 2

abSa b+ 4( )

abSa b+

( )( )

22

tg sin / 24

cos / 2l

α ββ 350 3 см3 3 21 ctg tg

2a α β

1080 см3

Частина 3

31 32 33 34 35

2 2 2 2 21 2 3 2 1( )( )d d d d d− + − 2 24

cosH

α

4 62

S S 6 21 см3 24 2 см3

Тема 9. Піраміда

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Б Д В Д В А Г В Б А А Б Д Б Д А Б Д Г Б

Частина 2

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

12 см 38 sin

3sin 2

a α×

× α

24 см 1 см 24 cos (1 cos )l α + α 60˚

3 tg16

a γ 22 4sin 12

aα −

3

24

3sin cosmα α

3 312

a

Частина 3

31 32 33 34 35

3 : 5 ( )21 3 154

a + 2 2 21 4 212

a b a−

3S S

3 3

2 2 2 2

163( ) 2

a ba b b a− −

Тема 10. Циліндр

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Г В Д Б Г Б Д В Б Д А Г В Г Б Б А A Б Д

Частина 2

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

30° 8 см 60 см2 4 ctgS ϕ 2

8dπ

40 см2 3

4aπ

3 2

2

cos sin

cos2

lπ β βα

2

24cosa hπ

α 40π см3

Частина 3

31 32 33 34 35 2 4 6256

4V SSV

π +π

120˚ ( )3

4 3 324a π −

40 2π см2

або 40 5π см2

3 2sin cos4 cos( )cos( )aπ α α

α +β α −β

284

Тема 11. Конус

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Д Б Б А Д Г Д Б Д Г А А Б В В Г Д Д Г Б

Частина 2

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

25 2π см 0,9π см2 π 11 см2 3

24hπ

2 2( )13

S Q Q−π

sin cos3 2π αα 504π 3

3hr

h r+

2

4aπ

Частина 3

31 32 33 34 35 2

2 2tg 1 tg ctgsin

R α − α ϕϕ

153

Sπ 22 sin

cos 2Hπ αα

3 3ctg9 2Sπ α⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

2 sin2 tg

l ϕ+ ϕ

Тема 12. Куля

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Г В Г Б Д А Г Б Г Б В Д Б Б А Г А В В Г

Частина 2

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

676π см2 676π см2 13 см 3 см 2 2

2h r

h+

3 3sin6

lπ α 1 22 21 22

d dd d+

3 33 tg54 2

a απ 32Vπ

3 см

Частина 3

31 32 33 34 35

4 см 3 2( 1)

3( 1)R k

kπ +

− 6

9a

2

3 tg sin2 2

2 4sin 12

a ϕ ϕ

ϕ −

1 2 3

2 2 21 2 3 1 2 3

2S S S

S S S S S S+ + − + +

Розділ ІІ. КООРДИНАТИ І ВЕКТОРИ

Тема 13. Координати

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Г В Г Б Д А В Г А В Д Д Б Г В Д Г Г В В

285

Частина 2

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

рівнобед-рений

2

2

( 2)( 3) 25xy+ +

+ − =

2

2

( 5)( 1) 25xy− +

+ − = 50;

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

38

y x= у = х + 7 24 110; 0;

6⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 622

R = 2

Частина 3

31 32 33 34 35 2 2( 1) ( 1) 1x y− + − =або

2 2( 5) ( 5) 25x y− + − =

2 2( 4) 25x y+ − = 2

24 43 9

x y⎛ ⎞− + =⎜ ⎟⎝ ⎠

14 ( 2 3 3; 1)− + −

або ( 2 3 3; 1)− − −

Тема 14. Вектори

Частина 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Г В В Г А Д Г Б Б Б Г В В Д Б Б Г Б А Б

Частина 2

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

20 22 –1 –100 12 7

31

5arccos6

–2,4 25 45°

Частина 3

31 32 33 34 35 1 31; ;2 2

b⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

3arccos7

1arccos5

12arccos7 3

(1; 7)c

286

ЗЗММІІССТТ

Передмова........................................................................................................................................ 3 Шановні випускники!..................................................................................................................... 4 Це варто знати ................................................................................................................................. 5 «Золоті правила» досягненння максимального результату на зовнішньому незалеж-ному тестуванні............................................................................................................................... 6 Поради учителеві при підготовці учнів до зовнішнього оцінювання ........................................ 7 Демонстраційний варіант тестового зошита та ілюстрація виконання завдань, помі-щених у ньому................................................................................................................................. 8

ЧАСТИНА 1 Зошит 1 ............................................................................................................................................ 9 Зошит 2 .......................................................................................................................................... 31 Зошит 3 .......................................................................................................................................... 53 Зошит 4 .......................................................................................................................................... 63 Зошит 5 .......................................................................................................................................... 67 Зошит 6 .......................................................................................................................................... 71 Зошит 7 .......................................................................................................................................... 75

ЧАСТИНА 2 АЛГЕБРА ТА ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ І. ЧИСЛА ТА ВИРАЗИ.................................................................................................... 79 Тема 1. Обчислення. Арифметичні задачі .................................................................................. 79 Тема 2. Відсотки ........................................................................................................................... 83 Тема 3. Цілі вирази ....................................................................................................................... 87 Тема 4. Дробово-раціональні вирази........................................................................................... 90 Тема 5. Ірраціональні вирази ....................................................................................................... 95 Тема 6. Логарифмічні вирази....................................................................................................... 99 Тема 7. Тригонометричні вирази............................................................................................... 103

Розділ ІІ. РІВНЯННЯ Й НЕРІВНОСТІ.................................................................................. 107 Тема 8. Цілі раціональні рівняння ............................................................................................. 107 Тема 9. Цілі раціональні нерівності .......................................................................................... 111 Тема 10. Дробові раціональні рівняння .................................................................................... 114 Тема 11. Дробові раціональні нерівності.................................................................................. 119 Тема 12. Ірраціональні рівняння................................................................................................ 123 Тема 13. Ірраціональні нерівності ............................................................................................. 126 Тема 14. Показникові рівняння.................................................................................................. 129 Тема 15. Показникові нерівності ............................................................................................... 133 Тема 16. Логарифмічні рівняння ............................................................................................... 137 Тема 17. Логарифмічні нерівності............................................................................................. 141 Тема 18. Тригонометричні рівняння ......................................................................................... 145 Тема 19. Тригонометричні нерівності....................................................................................... 149 Тема 20. Системи рівнянь .......................................................................................................... 153

287

Розділ ІІІ. ФУНКЦІЇ ................................................................................................................. 158 Тема 21. Арифметична та геометрична прогресії .................................................................... 158 Тема 22. Елементарні функції та їх властивості ...................................................................... 162 Тема 23. Побудова графіків функцій методом геометричних перетворень .......................... 167 Тема 24. Похідна функції, її геометричний і механічний зміст.............................................. 173 Тема 25. Застосування похідної для дослідження функцій .................................................... 178 Тема 26. Первісна. Інтеграл ....................................................................................................... 183

Розділ IV. ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ ТА ПОЧАТКИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТІ .... 188 Тема 27. Елементи комбінаторики ............................................................................................ 188 Тема 28. Початки теорії ймовірностей...................................................................................... 192

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ І. ПЛАНІМЕТРІЯ .......................................................................................................... 197 Тема 1. Трикутник ...................................................................................................................... 197 Тема 2. Прямокутний трикутник ............................................................................................... 202 Тема 3. Рівнобедрений трикутник ............................................................................................. 206 Тема 4. Чотирикутники .............................................................................................................. 211 Тема 5. Многокутники................................................................................................................ 215 Тема 6. Коло, круг та їх елементи ............................................................................................. 218

Розділ ІІ. СТЕРЕОМЕТРІЯ ...................................................................................................... 223 Тема 7. Прямі й площини в просторі ........................................................................................ 223 Тема 8. Призма ............................................................................................................................ 230 Тема 9. Піраміда.......................................................................................................................... 234 Тема 10. Циліндр......................................................................................................................... 238 Тема 11. Конус ............................................................................................................................ 242 Тема 12. Куля .............................................................................................................................. 246

Розділ ІІІ. КООРДИНАТИ ТА ВЕКТОРИ.............................................................................. 250 Тема 13. Координати .................................................................................................................. 250 Тема 14. Вектори......................................................................................................................... 254

ДОДАТКИ Бланки відповідей (алгебра та початки аналізу) ...................................................................... 259 Бланки відповідей (геометрія) ................................................................................................... 263 Відповіді до тематичних завдань (алгебра та початки аналізу) ............................................. 265 Відповіді до тематичних завдань (геометрія)........................................................................... 280

288

Навчальне видання

Анатолій Миколайович Капіносов Галина Миколаївна Білоусова Галина Володимирівна Гап’юк Лариса Іванівна Кандратьєва

Сергій Володимирович Мартинюк Петро Іванович Ульшин

За редакцією професора Володимира Вікторовича Корольського

ЗОВНІШНЄ НЕЗАЛЕЖНЕ ОЦІНЮВАННЯ

МАТЕМАТИКА

Навчальний посібник

Літературний редактор Людмила Олійник Обкладинка Світлани Демчак

Підписано до друку 22.12.2008. Формат 70×100/16. Папір офсетний. Гарнітура Tіmes. Друк офсетний. 23,34 ум. др. арк., 20,89 обл.-вид. арк.

Тираж 2 000. Замовлення №08-544. Редакція газети «Підручники і посібники». Свідоцтво ТР №189 від 10.01.96.

46020, м. Тернопіль, вул. Поліська, 6-А. Тел. 8-(0352)-43-15-15; 43-10-21, 43-10-31. Е-mail: [email protected]

www.pp.utel.net.ua

ZNO 11 geometria kapinosov B5fel2005.dp.ua/docs/blog/14/014.pdfЗнайти менший...

Documents

Transcript of ZNO 11 geometria kapinosov B5fel2005.dp.ua/docs/blog/14/014.pdfЗнайти менший...