UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS Ciências Exatas e Tecnológicas

Cálculo III : Séries e Funções de Várias Variáveis Prof. Josué Huff Jung

Séries de Taylor e de Maclaurin

Na aula anterior e na Lista 8, encontramos representações para certos tipos de funções como somas de séries de potências. Trabalhamos com uma certa classe restrita de funções. Agora, estamos interessados nas seguintes questões mais gerais: quais funções têm representações em série de potências? Como podemos achar tais representações? Vamos responder a segunda questão, ou seja, suponhamos que seja uma função que pode ser representada por uma série de potencias, isto é,

( 1 )

Queremos tentar determinar os coeficientes . Para começar, note que, se colocarmos na Equação ( 1 ), obtemos Pelo Teorema da aula anterior, podemos diferenciar a série na Equação ( 1 ) termo a termo:

( 2 )

e a substituição de na Equação ( 2 ) fornece Agora, diferenciamos ambos os lados da Equação ( 2 ) e obtemos:

( 3 )

Novamente colocamos na Equação ( 3 ). O resultado é Vamos aplicar o procedimento mais uma vez. A diferenciação da série na Equação ( 3 ) fornece

( 4 )

e a substituição de na Equação ( 4 ) resulta em Agora você pode ver o padrão. Se continuarmos a diferenciar e substituir , obteremos

, isto é, .

Essa fórmula permanecerá válida mesmo para se adotarmos as convenções de que e . Então, acabamos de provar o seguinte teorema:

Teorema: Se tiver uma representação (expansão) em série de potências em isto é, se

então seus coeficientes são dados pela fórmula .

Substituindo essa fórmula para de volta na série, vemos que, se tiver uma expansão em série de potências em , então ela deve ser da forma a seguir:

( 5 )

A série na Equação ( 5 ) é chamada série de Taylor da função f em a (ou ao redor de a ou centrada em a). Para o caso especial a = 0 a série de Taylor se torna

( 6 )

Esse caso surge com freqüência, e lhe foi dado o nome especial de série de Maclaurin.

Além disso, a partir da Equação ( 5 ) , podemos definir os polinômios de Taylor da seguinte forma:

( 7 )

Note que na expressão ( 7 ), é um polinômio de grau n chamado polinômio de Taylor de grau n de f em a.

Exemplo: Encontre a série de Maclaurin da função e seu raio de convergência.Solução: Se então assim para todo n . Portanto, a série de

Taylor para f em 0 (isto é, a série de Maclaurin) é

Para encontrar o raio de convergência, seja Então, .

Assim, pelo teste da razão, a série converge para todo , e o raio de convergência é

Além disso, os polinômios de Taylor em 0 (ou polinômios de Maclaurin) com e 3 são:

, , .

A conclusão que podemos tirar do exemplo e do Teorema anterior é que se tiver uma

expansão em série de potências em zero, logo, . A questão é: tem uma

representação em série de potências? A resposta para essa pergunta é afirmativa mas a demonstração desse fato requer argumentos matemáticos mais elaborados e vamos omitir a prova. Sendo assim, assumiremos que é igual à soma de sua série de Maclaurin, isto é,

para todo