- Aula 6 -

Visualização 3D: Projeções

Visualização 3D

Modelo geométricoModelo geométrico

Pipeline de Pipeline de visualizaçãovisualização

ImagemImagem

Modificado de M.M. Oliveira

Visualização 3D

• Projeção ortográfica x projeção perspectiva

câmera

y

x

z

câmera

y

x

z

Projeções paralelas e perspectiva

Projeções

• Pontos em Rn Rn-1

• Projeção definida por linhas projetoras ou projetantes– partem de um centro de

projeção

– atravessam cada ponto que define um objeto e

– interceptam uma superfície de projeção

Projeções

• Usualmente em Computação Gráfica:– projeções planares: superfície de projeção é plana– projeções geométricas: linhas projetoras são representadas por

retas

• Tipos (Paralela ou Perspectiva)

A

B

A

B

Centro deprojeção

Perspectiva

A

B

A

BCentro deprojeçãono infinito

Paralela

Taxonomia das projeções

Projeções geométricas planares

Paralela Perspectiva

Ortográfica Oblíqua 1 ponto

2 pontos

3 pontos

Axonométrica

Isométrica

CavaleiraCabinet

Elevações

Projeção Paralela Ortográfica

• Caso mais simples de projeção paralela

3D

(x,y,z)

2D

(x,y)(x,z)(y,z)

Projeção Paralela

• Especificada pela direção de projeção e não por um ponto– Centro de projeção no

infinito

Ortográfica Oblíqua

Axonométrica

Isométrica

CavaleiraCabinet

Elevações

A

B

A

B

Centro deprojeçãono infinito

OrtográficaA

B

A’’

B

Centro deprojeçãono infinito

Oblíqua

Tipos de projeção: paralela

• Projeção paralela ortográfica P’= projeção de P = (x,y,z) no

plano XY P’= (x,y,0)X

Z

Y

SRC

Paralela

Projeção Paralela Ortográfica

X

Z

Y

SRCProjetante

Z

Y

P = (xc, yc,zc)P’= (xc, yc, 0)

Vistas ortográficas

• Mais comuns– Front-elevation– Side-elevation– Plan-elevation

• Direção de projeção paralela a um dos eixos principais (x, y, z)

• Plano de projeção perpendicular ao eixo

Projeções paralelas ortográficas axonométricas

• Plano de projeção NÃO é perpendicular a um dos eixos principais

• Amostra várias faces do objeto ao mesmo tempo• É preservado o paralelismo entre as linhas• Não são preservados ângulos entre as linhas• Distâncias podem ser medidas ao longo dos eixos

principais (considerando fatores de escala)

Isométrica

• Projeção axonométrica mais comum– Normal do plano de projeção equidistante aos 3 eixos

principais• Ângulos com os eixos são preservados• Apenas 8 direções satisfazem essa condição

x

y

z x

120º

120º

120º

Ângulos entre os 3 eixos são iguais

Normal

x

y

Plano de projeção

Projeções paralelas ortográficas

Projeção paralela oblíqua

• Normal ao plano de projeção difere da direção de projeção• Normalmente, o plano de projeção é perpendicular a um dos

eixos principais– Usada frequentemente em ilustrações de livros (fácil de desenhar)

x

z

y

Plano de projeção

NormalParalela ao eixo x

Projeção paralela oblíqua

Geometria de projeções oblíquas

• Plano de projeção: x,y• Direção de Projeção : ângulo entre a linha

projetada e a direção de projeção

é o ângulo com a horizontal• Comprimento L depende do

ângulo e da coordenada z do ponto a ser projetado:tan =z/LL = z/(tan ) = z.londe l é o inverso de tan

xp = x + L.cos = x + z.l.cos yp = y + L.sin = y + z.l.sin

(x,y,z)

(xp,yp)

L x

z

y

(x,y,0)

Hearn & Baker pag 442

L.cos

L.sin

Geometria de projeções oblíquas

• Algumas projeções típicas = 90o (projeção ortográfica) =30o ou 45o (tan =1) (projeção cavaleira) =63.4o (tan =2) (projeção cabinet)

)sin(

)cos(

lzyy

lzxx

p

p

1000

0000

0sin10

0cos01

l

l

M obe

Projeção paralela oblíqua

• A direção de projeção determina o fator de redução das arestas perpendiculares ao plano de projeção

1/2

1

Cabinet Cavaleira

1

1

1

1

Perspectiva

• Primeira pintura em perspectiva – Trinity with the Virgin, St.

John and Donors– Masaccio, 1427

Projeção perspectiva

• Definição: – plano de projeção e – centro de projeção

• Propriedades:– tamanho da projeção de um

objeto varia inversamente com a distância ao centro de projeção

– Linhas paralelas, em geral, não são projetadas paralelamente

– Ângulos só são preservados nas faces paralelas ao plano de projeção

– Distâncias não são preservadas

Perspectiva

z

x

y

Plano de projeção

NormalParalela ao eixo x

Projeção perspectiva

X

Z

Y

SRCProjetanteCentro da

Projeção

1-point perspective

• Plano de projeção corta apenas um eixo

1-point perspective

• A painting (The Piazza of St. Mark, Venice) done by Canaletto in 1735-45 in one-point perspective.

2-point perspective

y

z x

Plano de projeção

2-point perspective

3-point perspective

3-point perspective

• City Night, 1926 – Georgia

O'Keefe

• Acrescenta pouco em relação a perspectiva com 2 pontos de fuga

yz x

Plano de projeção

Projeção perspectiva – caso mais simples

d

x

y

z

Plano de projeção

P(x,y,z)

Pp(xp,yp,d)

Centro de projeção na origem,Plano de projeção em z=d.

Projeção perspectiva – caso mais simples

d

x

y

z

P(x,y,z)

Pp(xp,yp,d)

z

P(x,y,z)

d

z

P(x,y,z)

d

y

x

xp

yp

dz

y

z

ydy

dz

x

z

xdx

z

y

d

y

z

x

d

x

pp

pp

/ ;

/

;

:trianglessimilarFrom

Ponto como matriz coluna (pós-multiplicação)

x’

y’

z’

w’

a d g dx

b e h dy

c f i dz

0 0 0 1

x

y

z

1

=

Escalas, Rotações

Translações

Projeções

Determinar a matriz perspectiva.

Projeção perspectiva

x’

y’

z’

w

x

y

z

1

=

w = z/d

01 0 0

10 0 0

00 1 0

00 1/d 0

.

XP = x’ / w

YP = y’ / w

ZP = z’ / w = d

Atenção!Esta formulação é para centro de projeção na origem.