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E L E M E N T O S F I N I T O S T A Y L O R I A N O S
Ihor Dionísio Kotchergenko
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÕS-GRADUAÇAO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JA NEIRO COMO PARTE DOS Rt:JQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CitNCIA (M.Sc.)
Aprovado por:
RIO DE JANEIRO - BRASIL
JANE IRO DE 19 76
AGRADECIMENTOS
Ao professor FERNANDO VENÂNCIO FILHO, pioneiro da análise
matricial de estruturas a quem devo a iniciação nesta ci~ncia há qtii~
ze anos, pela orientação dada a este trabalho.
Ao professor FERNANDO LOBO CARNEIRO, pelo estímulo
que eu, já nao tão jovem, enfrentasse o curso de mestrado.
A direção da Companhia Paranaense de Energia Elétrica
COPEL por me franquear o uso de seu computador.
para
SUMÁRIO
f apresentado um modelo matemático o qual faz emprego das -
séries de Taylor para representar o campo de deslocamentos.
Neste modelo as funções de interpolação, para um domínio na
periferia da origem da expansão em série, são definidas em função de
alguns pontos na periferia da referida origem.
A forma do elemento é de livre escolha, permitindo acompa
nhar contornos curvilíneos.
O elemento apresenta boas características de acompanhamento
do encurvamento do campo dos deslocamentos e demonstra melhores quali
dades de convergência que os modelos que empregam outras séries poli
nomiais.
ABSTRACT
A finite element model wnich makes use of the Taylor series
to represent the displacement field, is presented.
This way the interpolation functions for a domain in the p~
riphery of the origin of the expansion in series are defined in res
pect to some points in the periphery of that origin.
The form of the element can be chosen freely, permiting to
easily fallow curvilinear boundaries.
The element present good characteristics to attend curvatu
res of the field of displacements and show beter convergence characte
ristics when compared with other polynomial series representation.
- 1 -
INTRODUÇÃO
A maioria dos modelos matemáticos de elementos finitos faz
emprego de funções de interpolação para definir o campo de deslocamentos dos pontos materiais do domínio de cada elemento. Necessaria
mente estes campos de deslocamentos nao representam uma solução do
problema do continuum no domínio do elemento, para as condições de
contorno resultantes para este elemento, vis.to nao satisfazerem as
equaçoes diferenciais que regem o fenômeno. No caso particular do
continuum elástico, estes campos de deslocamentos apresentam a defi
ciência de imporem excessivo trabalho de cizalhamento em razão de
não apresentarem boas propriedades para acompanhar encurvamentos do
campo dos deslocamentos.
O modelo matemático de elemento finito ora apresentado faz
uso das séries de Taylor para representar o campo de deslocamentos -
no domínio dos elementos. Sendo os parâmetros desse desenvolvimento
polinomial, derivadas do campo de deslocamentos, elimina-se alguns destes parâmetros pela aplicação das equações diferenciais que regem
o fenômeno de deformação do continuum. A nova série assim obtida pa~ sa a ser formada exclusivamente por parâmetros de deformações gener~ lizadas independentes. Esta série pode portanto representar soluções daquelas equações diferenciais, no ponto de origem da. expansao em se rie. Por meio destas séries pode-se calcular de forma aproximada os deslocamentos de pontos da periferia da referida origem. Limitando se a um numero de pontos da periferia igual ao número de parâmetros de deformações generalizadas independentes, para qualquer conjunto
de deslocamentos destes pontos existe um e somente um conjunto de p~ râmetros que o satisfaz. Desta forma ficam definidos os polinomios de interpolação dos deslocamentos, referidos aos pontos da periferia
acima citados.
Algumas propriedades do modelo acima sao: a) A forma do elemento é de livre escolha, sendo limitada,
apenas por questões de precisão e facilidade dos cálcu-
los numéricos. A curva entre dois pontos nodais conti
- 2 -
guos pode ser qualquer, desde que integrável, permitindo
acompanhar facilmente contornos curvilíneos. b) Apresentam boas características para atender a deforma
ções de encurvamento dos elementos pois que dentre os p~ râmetros da expansão estão incluídas as derivadas segu_g
das, e até de ordem superior, dos campos de deslocamentos.
c) O campo de deslocamentos satisfaz, na origem da expansao, as equaçoes diferenciais que regem o f·enômeno, garantindo
desta forma a convergência da solução para uma solução e
xata, quando o tamanho dos elementos tende a zero, d) O elemento satisfaz as condições de completidade, isto e:
o campo de deslocamentos inclui os modos de deformação
correspondentes ao movimento do corpo rígido bem como e
xiste um conjunto de modos de deformação capaz de prod~
zir uma distensão constante em virtude de estarem prese_g
tes na expansao polinomial todos os termos de primeiro
grau, e) O modelo é geometricamente linear, de modo que, existindo
linearidade física, o sistema é conservativo. Em outras -palavras: uma sequência de modos de deformação que resul
te num deslocamento de corpo rígido do elemento, resulta
num trabalho nulo neste elemento. f) Os elementos não apresentam continuidade dos deslocamento
nas fronteiras comuns. Todavia seus campos de deformação sao de tal forma definidos que um razoável encaixe é con seguido entre os elementos deformados,
A seguir é apresentado um elemento tayloriano no qual se em
prega as equaçoes de equilíbrio homogêneas de Lamé de modo que o campo de deslocamentos resultante no domínio do.elemento é compatf
vel com condições de solicitação por forças puramente nodais, Como o campo de deslocamentos não é uma solução das equações de Lamé no
domínio do elemento mas tão somente no ponto de origem da expansao de Taylor, nenhum conflito existe em se calcular as forças nodais
consistêntes às forças de massa, empregando-se o Princípio da Ener
gia Potencial Mínima com os polinomios de interpolação obtidos.
- 3 -
O ELEMENTO TAYLORIANO
O campo de deslocamentos num sub-domínio do domínio do
problema, é aproximado por uma série de Taylor com origem num po~
to arbitrário, de preferência interior ao sub-domínio citado. Pa
ra facilitar a inteligência do assunto, a formulação se fará aco~
panhada de uma aplicação à teoria da elasticidade plana. Seja po~
tanto x=O e y=O a origem acima referida; o campo de deslocamentos
poderá ser expandido pelas séries de Taylor.
x2 v2 u=u 0 +u x+u y+u ~-2-+u xy+u __L__2 + ...
X y XX xy yy (1)
x2 v2 v=v 0 +v x+v y+v ~-2-+v xy+v __L__2 + ...
X y XX xy yy
sendo as derivadas ux' e y=O e num sistema de
u, u , etc ... , calculadas na origem x=O y xy coordenadas cartezianas local do elemento.
Alguns dos parâmetros das expansões acima nao sao inde
pendentes por estarem relacionados pelas equaçoes diferenciais
que regem o fenômeno no continuum contemplado. No caso em foco,
sao as equaçoes de Lamé que devem ser satisfeitas.
onde v
do por
u +u +(~À-+l)(u +v )=O XX yy µ XX XY
v +v +(~À-+l)(u +v )=U XX yy µ xy yy
Destas equações pode-se tirar por exemplo:
-v =2(1-v)u +(l-2v)u xy XX yy -u =2(1-v)v +(l-2v)v xy yy XX
À 2(À+µ)
(2)
O campo de deslocamentos ficaria, portanto, represent~ (3)
. 2
u=u +u x+u y+u -2__2 -[2(1-v)v +(1-Zv)v ]xy+u --2:'..:_+ ... O X y XX yy XX yy 2
x2 v2 v=v +v x+v y+v ~-2--[2(1-v)u +(1-Zv)u ]xy+v __L__2 + ...
O X y XX XX yy yy
- 4 -
Limitando a expansao de Taylor as derivadas de segunda
ordem, pode-se obter a seguinte relação entre os deslocamentos ab
solutos de cinco pontos nodais e os parâmetros da expansão, referi
dos ao sistema de coordenadas local:
1 xf Y1 o o o PX1Y1 qx,y, Uo u, X1 Y1 -2- -2-
V1 o o o qx1Y1 px,y, 1 x, Y1 A_ Y1 Ux 2 -2-
. x2 y~ o o o U2 l X2 Y2 ~ PX2Y2 qX2Y2 Uy 2 -2-
x2 ..LL V2 o o o qx2Y2 PX2Y2 1 X2 Y2 __ 2_
uxx 2 2
U3 1 X3 Y3 X~ y~ o o o px3y3 qx3y3 Uyy = -2- -2- (4)
V3 o o o qx3y3 px3y3 1 X3 Y3 X~ y~ Vo -2- -2-
u, 1 x, Y4 X~ y~ o o o px4y4 qx,y4 Vx -2- -2-
v, o o o qx4y4 px4y4 1 X4 Y, X~ y~ Vy -2- -2-
Uo 1 o o o o o o o o o Vxx
Vo o o o o o 1 o o o o Vyy
onde p=-(1-Zv) e q=-2 (1-v) (5)
O ponto nodal coincidente com a origem do sistema de co -
ordenadas local e que sofre o deslocamento (uo , Vo) e, de preferê~
eia tomado no interior do elemento e os pontos restantes no seu con
torno (fig.l).
.2 ,1
o
~
o
?' 3 fie 1
- 5 -
Seguindo a notação utilizada em Ili a equaçao (4)será es crita da seguinte forma:
(6)
{etmE} é, portanto, um conjunto de parâmetros de deformações gener~
lizadas independentes incluindo deslocamentos de corpo rígido.
Para o campo de extensões
Ux l
Yxyj
Vy
uy+vx obtém-se de (1), por de.rivação
Ux
Uy
uxx &x 1 o X y o o o o o o Uxy ( 7) &y o o o o o o 1 o X y Uyy
Yxy o 1 o X y 1 o X y o VX
Vy
Vxx\ Vxy
Vyyj
ou em notação compacta
(8)
Tem-se ainda
(9)
- 6 -
onde:
o 1 o o o o o o o o o o 1 o o o o o o o o o o 1 o o o o o o o o o o o o o o p q
[Tda] = o o o o o o o o o o (10)
o o o o o o 1 o o o o o o o o o o 1 o o o o o o o o o o 1 o o o o q p o o o o o o o o o o o o o o 1
de modo que, pela ( 8) , o campo de extensões e dado em função dos
parãmetros de deformação independentes por
Para o problema da elasticidade plana isótropa e linear
as relações tensões- extensões sao:
sendo para o estado plano de tensões
1
V
V
1
o o
O O 1-v 2
e para o estado plano de extensões
E (l+v) (1-Zv)
1-v
V
o
V
1-v
o
o o
1-Zv -z-
(12)
( 13)
(14)
onde v e o coeficiente de Poisson e E o módulo de elasticidade.
- 7 -
GRANDEZAS NA BASE NATURAL
Aplicando o princípio das deformações virtuais a j-ésima
deformação generalizada independente ªmEj tem-se
ãmEj PmEj=J{qE}3{a}dV
\
onde - indica grandeza virtual;
(15)
PmEj a força generalizada corresponde à deformação generalizada
ªmEj; {&E}j = o campo de extensões correspondentes ã deformação genera
lizada ªmEj; {a} = o campo de tensões existente por ocasião da deformação vir
tual;
V = volume do elemento.
Existindo n deformações generalizadas independentes, tem
-se n equações lineares da forma da equação (15), podendo-se, por
tanto, constituir o seguinte sistema de equações: . ÍêimEJ {PmE}=Jv[&E]T{a}dv (16)
onderêimEJ é uma matriz diagonal das deformações generalizadas Vir tuais e [&E] uma matriz que se poderia também obter de (11) atra
vés da seguinte operação:
e 1 7)
e na qual a j-ésima coluna é o campo de extensões referida a base
cartesiana local, correspondente à j~ésima deformação generalizada.
Substituindo (17) em (16) e tendo em conta
[Tda] T não são funções do ponto, tem-se
rêimd {PmE}=ÍêimEJ [Tda]TJV[TEd]T{a}dV
donde . {PmE}=[TdaJTJV[TEcLlT{a}dV
(18)
- 8.-
A equaçao (18) define uma força generalizada,referida ao
sistema de coordenadas cartezianas local e tal que o produto esca
lar
mede o trabalho realizado pela deformação generalizada {amE} refe
rida ao mesmo sistema de referencia.
Substituindo a (11) na (12) tem-se
(19)
e substituindo esta na (18)
ou
( 21)
onde
( 2 2)
e a matriz de rigidez generalizada natural do elemento, e
{PmEo}=[Tda]TJV[TEd]T[ToE]{&o}dV (23)
é a força generalizada inicial referida ao sistema de coordenadas
cartezianas local.
FORÇAS NODAIS
Resolvendo (6) para {amE}
{amE} =[Toa] -1
{ ºmE} (24)
A relação entre as forças generalizadas e as forças nodais {qmE},
todas referidas ao sistema de coordenadas local, incluindo as for
ças nodais dependentes (vinculação estática), pode ser obtida pelo
princípio dos deslocamentos virtuais. Para cada deslocamento vir
tual ÕmEj, obtém-se um conjunto correspondente de variáveis de de
formação generalizada {ãmEj}. Pela (24) pode-se formar o sistema
- 9 -
(25)
Aplicando, então, o princípio dos deslocamentos virtu-
ais, vem (26)
De (25), obtém-se
-- ] T f- j -1 T LamE = ºmE C [Toa] )
que, substituída em (26), fornece
{ [ --1 T
qmE}=( ToaJ ) {PmE} e 2 7)
que sao as forças nodais procuradas.
MATRIZ DE RIGIDEZ NA BASE NODAL
A matriz de rigidez do elemento, referida à base dos de~
locamentos nodais, que será abaixo definida, é inconsistente por
causa da vinculação estática das forças nodais correspondentes.
Substituindo (24) em (19), tem-se
( 2 8)
Substituindo (27) e (28) em (18), tem-se
[ToaJT {qmE}= [Tda]T f v(TE:d]T [ToE:J [TE:d] dV[Tda] [Toa]-1
{omE}+
-[ToaJTJv[TE:d] T[ToE] {&o }dV
donde se obtém
{ qmE} = ( [To a] T) -1
[T da] T f V [TE d] T [To E] [TE d] dV [T da] [To a] -1
{ o mE} +
-([Tc5a]T)-1 [Tda]Tfv[TEd]T[ToE]{&o}dV (29)
ou, em notação compacta
(30)
- 10 -
onde
[KoJ=C[Tda] [Toa]-1
)Tfv[TE:d]T[TcrE:J [TE:d]dV[Tda] [Toa]-! (31)
e a matriz de rigidez do elemento referida à base dos deslocamen
tos nodais {omE} orientados segundo o sistema de coordenadas carte
zianas local.
{P0} é o vetor das forças nodais iniciais.
{qmE:} as forças nodais definidas anteriormente.
CARGAS NODAIS CONSISTENTES
As cargas de massa {X}T={X Y} e as cargas superficiais
{f}T={fx Ty} são transformadas em cargas nodais consistentes com
o auxílio do Princípio da Energia Potencial Mínima.
A energia potencial é dada por 121
v)-JV(Xu+Yv)dv-JS (Txu+Tyv)dS 1
1
(32)
onde S 1 é a parte da superfície do corpo onde as cargas sao dadas.
dU(u, v) é a densidade de energia elástica e as duas Últimas inte
grais representam o trabalho realizado pelas forças de massa e p~
las cargas superficiais especificadas.
A equação (3) será escrita na seguinte forma:
(3 3)
e considerando a (24), os ~eslocamentos dos pontos do continuum vi
rão dados em função dos deslocamentos nodais, por
(34)
A densidade de energia elástica e escrita matricialmente
como: (35)
Substituindo a (24) na (11) tem-se o campo de extensões
em função dos deslocamentos nodais
(36)
- 11 -
Substituindo as (36) e (28) na (35), a (32) sera escrita
matricialmente, da seguinte forma:
1 T . - 1 Tf T -1 Il=z{omE} ([Tda] [Toaj ) V[TEd] ( [TaEJ [TEd} [Tda] [Toa] {omE}+
Tf [ J [ - I T - TI [ ] l- J -1 T --[TaE] {&o}) dV-{omE}. e $ Toa] ) {X}dV-{omE} (_$ _ _Toa ) {T}dSI V S1
O Princípio da Energia Potencial Mínima, da
onde as matrizes do primeiro membro sao as definidas em (31), (6)
e (29), e
sao as cargas nodais consistentes.
SISTEMA DE REFERJ:lNCIA GLOBAL
Para montagem dos elementos 131, assunto que nao sera a
bordado em detalhes neste trabalho por não implicar em nenhuma ino
vação, as forças nodais e os deslocamentos nodais de cada elemento
sao referidos a um sistema de referência global.
Empregando uma simples matriz de transformação de coorde
nadas cartezianas [Te], tem-se para o vetor das forças nodais gl2_
bais de um elemento
(39)
e para o vetor dos deslocamentos nodais globais
A matriz [rc] e ortogonal, isto e:
-1 T [T cJ = [T c 1 ( 41)
Para possibilitar uma ampla intercambiabilidade de tipos
de elementos na mesma montagem, é conveniente obter-se a matriz de
rigidez e o vetpr das forças de cada elemento em seu _sistema de co
- 12 -
ordenadas naturais e somente por ocasiao da montagem referi-los ao
sistema de coordenadas cartezianas global. Aplicando -(40) em (24),
vem
onde
[ 1 ·[ ] - r 1· ] T ~E-;' Toa.. _T C .
e a matriz de montagem des deslocamentos
( 2 7) , vem
( 4 2)
( 4 3)
nodais. Aplicando (39) em
( 44)
d [ ] T · d d d . sen o, portanto, ªmE: a matriz e montagem e forças no ais.
SISTEMA DE COORDENADAS LOCAL PRINCIPAL
Admitindo-se a matriz constitutiva ITcrEI constante no dQ_
mínio de cada elemento, as integrações que aparecem nas expressões
da matriz de rigidez (22) e (31), reduzem-se, para o caso da elas
ticidade plana, aos primeiro e segundo momentos da figura geométri
ca do elemento. Elegendo um sistema de coordenadas tal que a base
(1, x, y) seja ortogonal no domínio do elemento, ter-se-á
(45)
ficando os elementos da matriz de rigidez formada apenas pelos prQ_ dutos dos momentos de inércia da figura geométrica do elemento,por
elementos da matriz constitutiva.
CÁLCULO DAS TENSOES
A resolução do sistema de equaçoes no sistema de coorde
nadas global, fornece os deslocamentos nodais nesta base. Transfor
mados estes deslocamentos para o sistema de coordenadas local uti
lizado em cada elemento, obtém-se {omE}. Pelas equações (28)são ob tidos os campos de tensões no elemento referidos ao sistema de co
ordenadas local. Note-se que a matriz [TEd] é uma matriz função li near de ponto, resultando, portanto, campos de tensões dados por
funções lineares.
- 13 -
ELEMENTOS TAYLORIANOS DE ORDEM SUPERIOR
Dados os campos de deslocamentos u(x, y) e v(x, y) fica determinada a rotação do ponto (x, y) pela fórmula:
Existe, todavia, uma infinidade de campos capazes de sa
tisfazerem deslocamentos dos pontos nodais especificados, resultan
do para cada campo rotações diferentes destes pontos.
Poderemos, pois, expandir as séries de Taylor de modo a
"amarrar" também estas rotações, as quais passarão então a consti
tuir condições de compatibilidade adicionais.
Expandindo os deslocamentos em série de Taylor, até os termos de terceiro grau tem-se
x' u y2v+u xv2+u v' u; . . . + u --+ ----"-'------L _;;:;_,__ -L-xxx 6 xx_y 6 xyy 6 yyy 6 e 4 1)
Como sera demonstrado abaixo, alguns parâmetros da expa~ sao acima apresentam dependência em relação aos restantes
Tome-se as equaçoes gerais da elasticidade plana [4]
µ(u +u )+p+µ)(u +v )+X;pü (48) XX yy XX XY
µ(v +v )+(À+µ)(u +v .)+Y;pv (49) XX yy xy yy
Derivando a primeira em relação a y e a segunda em rela
çao a x e, em seguida, subtraindo a primeira da segunda, resulta:
- 14 -
ou em notação compacta
(50)
Se o corpo nao está sujeito a aceleração angular e o cam
pode forças F e irrotacional, tem-se:
devendo, portanto, o campo das rotações ser uma função harmônica.
Derivando agora a equação (48) em relação a x e a (49)
em relação a y, somando os resultados, e supondo que as forças de
inercia sejam nulas e que as cargas sejam distribuídas uniformemen
te, isto e
ax aY ax = ay = 0 ·
obtem-se a chamada condição de M. Lévy 141
v2 e = o (52)
onde é a dilatação.
Limitando-se aos elementos finitos com distenções axiais
lineares tem-se:
u =O XXX
e V =O yyy (5 3)
o que satisfaz a equação (52).
soes
ma:
T xy
Finalmente limitando-se aos elementos com o campo de ten
linear, tem-se:
(u +v ) =O y X XX (u +v ) =O y X yy
(54)
As equações (51) e (54) reunidas formam o seguinte siste
- 15 -
v -u ;-v +u xyy yyy xxx yxx
u +v ;Q yxx XXX
u +v ;Q yyy xyy
dos quais resulta que
vxyy; uyxx
V ;-U XXX yxx
( 5 5)
As expansões (47) apresentarão então apenas quatro novos
parãmetros, digamos
vxxx' uxyy' vxxy e
apresentando então a seguinte forma:
u; ... -v x62Y+u -22:'...:.6, +u L xxx xyy yyy 6
Como w=-.!_(v -u) e lembrando que sao constantes os par~ 2 X y
metros da expansão, tem-se (veja eq. 1)
2 2 w;icv +v .x+v .y+v _2S__+v -2Y-u __y_)+
2 X XX xy XXX 2 xxy 3 yyy 6
x 2 xv v 2
-icu +u .x+u .y-v ~-+u ----'.:L.+u -'-) 2 y xy yy XXX 6 xyy 3 yyy 2
(56)
Após as substituições
v ;qu +pu xy XX yy
uxy;q vyy+p vxx
- 16 -
tem-se
w=f{v -u +[v (1-p)-qv Jx-[u (1-p)-qu lY+ X y XX yy YY XX_
+v zx2+v .252'..-u .252'..-u l2'..2} xxx 3 xxy 3 xyy 3 yyy 3
A equaçao (4) aumentada de modo a relacionar as rota
çoes de quatro pontos nodais (nenhum coincidente com a origem)
com os quatro novos parâmetros, fica:
xt yt 2 2 yl Ir )
Ui 1 x, y, o o o px,y, qx,y, _!12'..1 ~l o 2 2 6 6 6 uo
xt yt .!S_ i 2 2 v, o o o qx,y, px,y, 1 x, Y1 o !12'..l -~' "Z 2 6 6 6 ux
w, o o 1 _qy, (l-fl)}'1 o l o (l-f')X1 -~' xt -~' ~l _yt -2 2 2 2 2 3 j 6 6 3
u y
U2 u XX
V2 u yy
W2 repete-se mudando os Índices VO
...... U3 V __,
X
V3 V y
W3 vxx
u vyy y
V vxxx y
w u y xyy
u 1 o o o o o o o o o o o o o V o xxy
V t o ~ o o o o 1 o o o o o o o o u
t yyy
- 18 -
A rotação da origem . - está definida por w ;f(v -u) Ja O X y
A matriz {TE d} ficará
1 o X y o o o o o o _ _!9'. }'._ 2 o o 3 6
o o o o o o 1 o o o x2 _.!9'. (59) X y 6 3 2
Y.2 o 1 o 1 o o X .!9'. .!9'. X y X y 3 3 3 3
devendo o vetor {omE} mostrado em (7) ser aumentado dos compone~
tes vxxx' V xxy
e
Os campos de tensões serão então dados por funções qu~
dráticas das coordenadas locais (x,y)
Este fato aplicado à tensão, contraria xy
contida nas expressões (54). Os cálculos numéricos
a hipótese
todavia mos
tram que esta condição é satisfeita.
Os passos seguintes são idênticos aos descritos para o
elemento tayloriano de segunda ordem. Convém apenas notar que as
forças nodais associadas às rotações serão momentos aplicados aos
nos.
PROGRAMA TESTE
Foi elaborado um programa para computador, em linguagem
FORTRAN, estritamente com o fim de testar o modelo matemático ac1
O programa adota apenas o elemento de segunda or ma apresentado.
dem. O elemento de ordem superior foi concebido após a
do programa. Os resultados surpreenderam pela precisão
elaboração
alcançada
tanto em termos de deformações com de tensões. O elemento de se
gunda ordem, por conter desenvolvimentos do campo dos deslocamen
tos até derivados de segunda ordem, apresenta encurvamento cons
tante em cada uma das direções dos eixos de coordenadas locais.
- 19 -
Devido a isto obtem-se distribuição linear de cada tensão apenas
na direção normal
buido linearmente
ao plano das tensões normais,
segundo o eixo y (tal como na
ou seja o distri X
flexão de vigas)
e ºy distribuido linearmente na direção do eixo x. A tensão de ci
zalhamento apresenta-se praticamente constante no elemento. Foi
este fato que levou o autor a estudar elementos de ordem superior.
Utilizou-se o teste da viga em balanço, mostrado na
fig. 2 e que já havia sido empregado para comparar as qualidades
de convergência de diversos modelos de elementos finitos ISI. A
comparação com o elemento retangular tradicional, com oito graus
de liberdade, mostra a grande superioridade do elemento ora apr~
sentado. Enquanto o elemento retangular simples apresenta, numa
discretização de 42 graus de liberdade, uma precisão de 88,8% o
elemento tayloriano nas mesmas condições alcança a precisão de
98,2% no deslocamento da extremidade da viga em balanço. Para uma
discretização de 70 graus de liberdade, o elemento tayloriano a
presenta uma precisão de praticamente 100%.
de distenções sao dados Para este elemento,
pelas expressoes (7), logo os
os campos
campos de tensões são calculadospor
E Ev ºx=~(u +u .x+u .y)+~1 2 (v +v .x+v .y) -V X XX yy -V y XY yy
1 Ev Oy=~1 2 (vy+v .x+v .y)+~1 2 (u +u .x+u .y) -v xy yy -V X XX xy (60)
T E(l-v) 2 (1 2 )(u +v +u .x+u .y+v .x+v .y) -v y X xy yy XX xy
sendo as derivadas, valores constantes calculados na origem do
sistema de coordenadas local.
Para o elemento número 5 da fig. 2, obteve-se:
- 20 -
u 2,55 X
uy -6,13
uxx -0,0302
uxy -1,57
u -0,147 yy
vx = 6,44
V -0,568 y
vxx 1,58
vxy 0,137
vyy 0,385
·-
,
• , ,_ o/
,
X
·-, "Z 1
Substituindo estes valores na (60) resulta, com E=l e V = 0,2
a = 2,539 - 0,00294x - l,556y (61) X
Pela teoria da flexão simples, tem-se:
M - 1(9-x) (1,5 y) a = I y = -X I
ou a =
X 2,531 - 0,2813x - 1, 6 8 Sy + 0,1875xy
Para o plano vertical passando pelo centro do elemento tem
-se x=O e
ªx = 2,531 - l,688y (6 2)
- 21 -
.que comparada com a dada pela (61) indica bom grau de precisão.N~
te-se que parte do erro pode ainda ser atribuída à teoria da fle
xão simples, visto que é alto o grau de precisão alcançado para
os deslocamentos.
,.., COMPARAÇAO DE RESULTADOS PARA DIVERSOS TIPOS
DE ELEMENTOS
V"
o(
PLANOS
h
o< Ehv p
v=0,2
120 ..--------------..------------.......
/ /
80 l-----------1'-----+---------------1
70 .__ __ __,_ _ __J.____.______._____._......_..__.'-'-___ _.___..L..__,_......_..__..__._ ......... 10 ,ri- 101
Grous de Liberdade C RETÁNGI.R..O
. .Õ "TRIÂNGULO
o • +
RETÂNGULO TRIÂNGULO TRIÂNGULD ...
SOLUÇAO
TAYLORIANO DE SEGUNDA ORDEM DE EXTENSÃO CONSTANTE
POLINOMIAL DE PRIMEIRA ORDEM DE EXTENSÃO. LINEAR
DE EXTENSÃO QUADRÁTICA EXATA
BIBLIOGRAFIA
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John Wiley & Sons, 1973.
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Me Graw-Hill Book Co., 1956.
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versity of Southampton, 1970.
õN IV 360N-F0-479 3-8 t'AINPGM DATE 05/06/75 TIME
1 '
DIMENSION X(25(H,Y(250l,NELC2íHl,51,THl20(ll,XE(5.,2l, * SE( 10, 10 l ,NA{ 50), Pl(3 l ,P( 500) ,S ( 5()0.,601 ,.C(6) .,IA(50,3.J
CCMMCN JD,KD DEFINE FILE 1(250,100,U,KDI DEFINE FILE 8(250, 10,U,JDI
L 1= l L2=3
C LARGURA DA BANDA CONFCRME Ol~ENSICN OE S LB=6U
REAO(Ll,lOO)NN,NE,NNCP,NGLN,NNPE,IG,NEPL,NEPC,~PU,R,H 100 FORl'ATISl5,2Fl0.1J
WR ITEI L2, 200) 200 FORMAT(// 1 NN NE NNOP ~GLN NNPE IG NEPL NEPC NPU LAOC A
* LADO e•,//1 WRITEIL2,100)NN,NE,~~CP,NGLN,NNPE,IG,~EPL,NEPC,NPU,R,H
300 FORMAT(//,' C COR D EN A O AS D C S N C s•,//l 400 FORMAT( 15,2Fl0,2J 500 FORMAT(//,' INCIDENCIAS DCS ELEME~TCS',//1
50 REAC(Ll,400) 11,Xlll,Ylll,J=l,NNI WRITEIL2,300) WRITE(L2,400)11,X1Il,Y(11,I=l,NN) WR ITEIL2, 500) CG 60 I=l,NE R E A D ( L 1 , 600 ) 1 , 1 N E l ( I , J 1 , J = 1 , N N P E l , T H ( 1 1
600 FORMATCél5,Fl0.2l 60 WRITE(l2,éOOlI,INEL(I,Jl,J=l,NNPEl,TH(ll 70 WR IT E ( L 2,700 l
00 80 I=l,NNDP READCLl,800) NA(ll,IIA(I,Jl,J=l,NGLN)
70D FORMAT(//,' CE F I NICA G OE A PC I C S',//1 80 WRITE(L2,800)NA!Il,IIA(l,Jl,J=l,NGLNJ
800 FORMA TI 715 l C DJMAX CONFORME CJMENSJC~ DE SE P
C!MAX=500 NN2=t'\~*í\GLN IFCOIMAX-NN2l2100,104,104
104 CD 105 I=l,NN2 P ( I l =O • DC 10: J=l,LB
Hl 5 S C I ., J l =O • JBf'AX=O REAC(Ll.lOOlNNC,NCO ff,(NNCl95.<f5, 90
90 W R 1T E ( l 2, 900 l 900 FORMATl//, 1 CARGAS N e S N e S1 ,//)
DC 92 I=l,NNC REAC(Ll.10001 K,(Pl(L>,L=l,NGLNl
1000 FORMATII5,4Fl0,2) WRITE(L2,1000l K, (Pl(Ll ,L=l,/\GL~) DO 91 l=l,NGLN IE=NGLN*(K-l>+L
91 P(JBl=Pllll 92 CONTINUE 95 CONTINUE
WRJTEIL2,1100l 1100 FORMAT!//,' PROPRIECACE CCS ELEf'E~TCS',/l
CALL CGNSTIC,Ll,L2,Tl,EEl KC=l
22.24.01
0001 0001
0003 0004
OOOi
003(
;,fPA-D-ACONVER.SAo-·oo-CADASTR"O co-N5-U-tiCJDm:fE-ç·.,;, "F"ATÜRAMENto· E$"PftIAC COPEl --. ------·
r-T-NOVA-bi:MANDA- - LI:! T. "KwH- "L;- KVARH --- -coNSUMO-KWH- - -,;;-~--CDN5TA"NTES;,;-;..· CARG INATJV. r-n:o:--CALC.·- ANT.- AT. ANr.-···Ar;--- Rl:AL- FATUR: -KwH--r<W-KVAl<R"TNST
:-623000 00059 OooõO - ll44-f3l8-lT51-1229 0001134()00"'7134 00040 00080 00040 ·0090-· * E:NE-t,,"ÇMARQUES otco-11 ___ *_ ---- •. -MEOICAõ=Bf-POf:KVA=0075-KT=O'i41r"K ----------~----• r ••
tmo 3~ llnfl'!"~-1w1"ll-1"443-1B11·-~ s23·- mn 331 s-im 133 is- 1ffl1'!3N 0006ff"lm"lf3!Jl)~4ç· .--BEL.A VI STA EN-EAS MARQUES * - -*- .. MfbICAb=B·t POT .KVA=0045 "Kf=M:3.ll-K
----------------- - . -------
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•------ - - .
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1 ·r. IV 360N-F0-479 3-8
DG 170 KJ=l,NE WRITEIL2,1500)KJ FORMATllHl,' ELEM DO 102 I=l,NNPE
MA!NPGM DATE
1500
102
J=NEU KJ ,,I l XE( I,ll=X(J) XE!I,2l=Y(Jl
JD = KJ . WRITH8'J03XE
• ' I ; l
CALL SAU(XE,C,TU,SE,Ll,L2,KJJ DO 140 L=l,NNPE DO 140 K=l,NNPE DG 140 J=l,NGLN Jl=NGLN*INEL(KJ,Ll-ll+J JE=NGLN*(L-U+J DC 140 l=l,NGLN IB=NGLN~(NELIKJ,Kl-11+1 1 E=NGLN* ( K-1) + l JE=Jl-IB+l 1F(JB1l40,140,ll0
110 IF(JB-JBMAXll30,130,120 120 JBMAX=JB
IF(LB-JBMAX)2000,130,130 130 Sl!B,JBl=S(IB,JBl+SEIIE,JEl 140 CCNTINUE 170 CONTINUE
DG 250 l=l,NNCP DO 250 J=l,NGLN l F ( 1 A ( l, J l l 250,210,250
210 I B=NGLN* 1 NA ( 11-1 l +J DO 220 KJ=2,JBMAX
220 SIIB,KJl=O. DO 240 KAREN=l,18 Jl=IB-KAREN+l IFIJL-JBMAXl230,23U,24U
230 SIKAREN,JLl=O, 240 CONTINUE
SI IB, ll=l. P ( 1 B l =O ,
250 CONTINUE CALL Sll831S,P,NN2,J8MAX) WR!TE( L2,12001
1200 FORMAT(lOX,' DESLOCAMENTOS NCOAIS',/0 WR !TE( L2, 1300 l
1300 FORMATllX,' NO X Y',/1 WRITEIL2,1400)11,P(2*1-ll,Pl2*Il,l=l,NNI
1400 FGRMAT(2X,13,2El0.3,/l WRITE(L2,150ll
1501 FORMATI 48H ELEMENTO SIGMA-X SIG~A-Y C CALCULO DAS TENSOES
CD 270 KJ=l,NE 00 260 I=l,NNPE J=NELC KJ, I)
XE(I,ll=X{Jl 260 XE(I,21=Y(Jl
CALL STRES1P,KJ,NEL,C,~NPE,~GLN,XE,L21 270 CONTINUE
CALL EX!T
05/06/75 T IM E 22.24.01
SIGMA-XV l
-------- ·----- ---- ----------
MAPA DA CDNVERSAODOCADASTR-D CONSUMIDORES - FATURAMENTO ESPECIAL COPEL
AT NOVA DEMANDA - L-EI r-: KWH -- L. KVARH CONSUMO KWH - ---=CONS°tANTES--- CARG 1~1'--'N-A~T-=-1-'--v.CC..-M-E"-'o"'.-'-'-'-c-"A'-'-L-'-cC-. - AN~ AT • ANT • AT. REAL FATUR-. - KWH KW K IÍ!\RHINST-
~~~- -- -- --- - - -· ---- ---- ---·- ---- - --
16 23'ml) 00031 O(••'lt,"} 0991 1039 9556 9523 fl'\'11968 i'l"ll[H968 0"1040 l'.lf\1'!81'1 fJOft40 0082 •
1 ____ * __ Ac_.:V_SAN}"_~ CA_TARINA 24 º-._912_•!• . _ _ *- MFDICAO=BT _POT .KVA=0075 KT=0040 K
16 23000 OOOÓOOOÕ37 1oõÇ if31 -1132 1°260- -(H)03818!Hl04626 0003l:l-Mllll_n-00031)-01f4T' * ESTRADA _BB.Q. _J_B_ JE_5lJS_ * _ ~- MED~CAO=BT POT.KVA=004~_KT-=0030 K
00. Ol'l 2 _e; ótj~lJ'i_I DQ_P. E s::- ------ -------------
- -· ----- - - - --------------- ---- -- --
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•------------ -- - ------ ---··---------- ----· -----
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-------- -·· -· ··---- -----------1
N IV 360N-F0-479 3-8 MAINPGM DATE 05/06/75 TIME
2000 WR!TEIL2,2200lLB,JBMAX 2200 FCR1"AT(//,5X,• l·ARGURA DA BAI\OA II\SUFIC!El\TE,•,1ox, 1 LB= 1,,I3,
*'JBMAX=', I3l CALL EX 11
2100 WRITE(L2,2300)0IMAX,/\N2 2 300 F DR MA T ( / / , 5 X , ' D I ME/\ S I O N I /\ 5 L F ! C I ENTE ' , Hl X , ' L B = ' , 13 , ' /\ N 2 = ' ,
*13) CALL EX IT, E 1\0
22.24.01
------ --- --~·----
í1T-NOVA--DEMliNDA ___ LEtT~ KWA --l~ KVAPH--CON"SDM(JKWH- - -..;;....;:;:ccomTANTEs=-- -CAP( lNAT rv-. - .Ml:IY.-CA LC. ·aNT. AT~ ANi .-Ar. PE1."[ -FA TUR;---:,{l,fl1 -KW--i< VfiRRTJ\1ST
0002ê<ffl"õijfj -1318-1405 - Of96024T ·mrn-1n-,;~7y34·no1JBO"lJ008gljOOZílJ fflf6T ------r--oPEDRO "TI --- .- ----- -- *- Mt'-DfCAO="Bi-PoT;KVA=Oõ1S-Ki=Ol'l41>-~
16 23000 0001s 00000 0623 0641 01·13·-õ1e·3- -oco1torooo1101 0001,o-001201rcHrw-'lT54-s * SALGADOF.ILHO-ÜfACARA 94 * * MEOICAO=BT ·poT.KV1í=lH12 kT=~-~
· 00046 00000 - 0451 os21- 02es õ3:i7 000467"4 rffi04-rt,------o-nl>61'.fim120 00060 012z-* -SANTO- ANTONIC:f 00- suoo1:str•- L -23 __ * ___ M"E-DICA"ú="Bi-Pó"T:--KirA"~()Tf2Kí=m'r6õl<
---- ----·-----mr;(.!03 CbNSÜMibORES - -
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--- - -------------~------------
•-----~- ---- --- ----------------------------------- --·· ---
N IV 36!1N-F0-479 3-8 . CONST
SUBRCUTINE CONST(C,Ll,L2,TL,EEl OIMENSICN C{6l
C MATRIZ CONSTITUTIVA REIDCLl,llOOJEE,TU,IND
1100 FORMAT('Fl(l'.0,Fl0.2, l~.J 1 F I I N C-1 .19 é, 9 é, S 7
96 WRITE{L2,1200l 1200 FORMATC/, 1 ESTADO PLANO OE TE~SOES',/l
WRJTE(L2,13001EE,TU 1300 FORMATC/,' E• 1 ,ElG.3,4X,'NL=',F5.3/)
Ctll•EE/{l.-TU**21 CC21•C( ll*TU Cl3l•C(ll C C 4 l =O. e! 5 l =O. Cl6l=EE/(2.+2*TUl GC TO se
97 WRITE(L2,1400)
DATE
1400 FORMAT(/,' ESTADO PLANO CE OEFORMACAO',/l WRITE(l2,1300lEE,TU F.<IT=EE/1 ( l.+TUl*l l...;;,*TUl .1 C(l!=FAT*(l.-TUI Ct2l=FAT*TU C(4l=O. Cl3l=C(ll C(5)•0. C(6l•C l.-2*TUJ/2. 'JC FAT
98 RETURN END
05/06/75 TIME 22.24.23
' 1 2
j
-----·----- -- --MAPA DA CCNVERSAO_DO CA_D_t1STRO __(ONSUMIDORES - FATURAMfNTO__§__SPECIAL COPEL
.AT NÕ~-OE-"1-ANDA- LEI T. KWH L. KVARH CONSUMO .KWH -===CONSTANTES=== CAR( I_N_~V_._MEO. CA_Lç_. __ fNT-. -AT.-A_N_f;- AT. REAL F-,ffO~.-- _KWH _ ~-- KVARH INST-
16 23000 000.37-00ÕÓO - 143716Ô5Õ627-0673 0006787 00067Sr 00040 0!'080 00040 0065 ----"'-ªº-~ESPE_RA_N_CA _DO IGU~BJ___ -~ ·__ * MEDICAO=BT. POT .KVA=0075 KT~40 1
00.001 CONSUMIDORES
1
.. ···-. -·-- -
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---·- --------·---------,------------- - --
- - - ~- --- --- --· --·-------
-------------~ -· ---------
N IV 3601\-F0-479 3-8 SAU DATE 05/06/75
SUBROUTINE SAU(XE,C,TU,SA,Ll,L2,KJl ·OI ME I\' SI OI\' X E ( 5, 2 l , A 1 100 l', X L í l O l , X M 1 10 ), , C ( é 1 , G (100 ) , H 1100 1 ,
*B1100l,SA(l0,l0l CCMMCN JO,KC
TIME 22.25.06
C GER~ 6 MATRIZ OE 'RIGIDES 00 ELEMENTC FINITO TAYLCRIANG RETANGULAR C X Y METADE CDS LACOS DO ELEMENTO e
L1=2 L2=3 X=0.5*S0Rl( {XE( 2, ll-XE ( l, l l 1+•2+1XEl2,21-XE (1,21 l**2l Y =O. 5* S Q R T ( ( X E ( 4 , l .l- X E ( l, l l l ** 2 + ( X E ( 4 , 2 l- X E (l , 2 l l ** 2 1 DO 10 I=l,lôO
lOAUl=O. X2=(). 5*X**2 Y2=0.5*Y**2 P=-l.+2*TU C=-2.+Z+TU XY=X*Y O C 20 I = 1, S, 2
20 A ( l l = l • A( lU=X A(l3)=-X A (15 l =-X All7l=X Al2ll=Y A(23l=Y A{ 25 l =-Y A(27l=-Y A(3ll=X2 A 132 l =O*XY A(331=X2 A ( 34 l =-Q*XY A(35l=X2 A(36l=Q*XY At37l=X2 A ( 38 l =-Q*XY A14ll=Y2 A{42)=P*XY A(43l=Y2 A(44 l=-P*XY A{451=Y2 A(46l=P*XY Al47l=Y2 A(48l=-P*XY DO 30 !=52,60,2
30 A (I J = 1. A(62l=X A(64l=-X A(66l=-X A(68l=X A(724=Y Al74l=Y Al76l=-Y A<78J=-Y A(8ll=P*XY AC82l=X2 A(83l=-P*XY A(84)=X2
------'
DA CONVERSAO DO CADASTRO CONSUMIDORES F arLiffAMENrõEsP Ec I AC- coPEL- ·-··-- ------------ ~- ~-----· -AT NOVA DEMANDA LEIT. --------- ------- -----
IN ATIV. MEO. CALC. ANT. -- -- ------- ---KWH l\ T •
----i::~t<VARH - CONSUMO KWH ANT. AT. REAL FATUR.
----CONSiANTES---KWH KW KVARH
-06 2060-000034 0000()0296038_0_ 04560529 0002~45 0002866 00030 00060 00030 0062 , ____ ___!_ BAR~ GRI\ND_E _ ___l'L~N_Al TO_ * "' MEDICAO=BT POT .KVA~S KT~31Jl
-- --º-º. 001 CONSUMIDORES --- ---
--------------'
-------- ------
-------------
----- ---- ---
--------------------------------------
- ---- - -------- -------
------------------
N IV 3601\-F0-4 79 3-8 GTCG
SUBROUTINE GTCGCXE,C,Gl o·JMENSICI\ C(61,Gll001,XEl~,2l DO 10 I=l, 100
10 G! U=O.
DATE 05106 /75
X =O • 5* SQ RT ( ( X E ( 2, l'l- X E I l, I l 1 ** 2 + 1 X E ( 2 , 2 )- X E O, 2 ) l * * 2 l Y =O • 5*S QR T 1 1 X E 1 4, l l- X E ( 1 , l l l ** 2 + C X E ! 4 , 2 l- X E 11 , 2 l l * * 2 ) XY=X*Y*4 ' X3Y=X**3*Y*l,333333 Y3X=Y**3*X*l,333333 GCll=C(ll*XY G(2l=C(4l*XY ' G13l=C(61*XY G(6l=C( ll*X3Y G(9l=Cl4l*X3Y
' '
GllOl=Cl ll*Y3X+C(él*X3Y Gll4l=C(41*Y3X G(l51=C!él*Y3X G-ll6l=C!4l*XY G(l71=C(él*XY Gl2Il=Cl6l*XY G(22l=CI 2l*XY G{23l=Cl4l*XY G(27l=CC5l*XY Gl28l=C13l*XY GC3Il=C14l>l<X3Y Gl32l=C(él*X3Y Gl36l=Clél*X3Y G(39l=C(2l*X3Y G{40l=Cl5l*X3Y+Cl4l*Y3X Gl4ll=Cié)>!tY3X Gl44J=C!5l*X3Y G!451=Cl31*X3Y+Clél*Y3X G{49!=C(2l*Y3X G( 50 l=CI 5}*Y3X Gl54l=C(5l*Y3X G(55l=C(3l*Y3X RETURN END
TIME 22,24.38
•
.Ã-T- Nd\iA--0-El•fANOA- - Ll:TT; KWff- -c--K11Ar:rn- -coNSUMO-'KWH _;;,;; .. coNSTANTFS;..,.,~ tAR( ·rff·-A-·nv.-'t'-1'E1r. -CALc-: 'J.iNT •.. A'T~ AºNT.-AT~--- Rrn-~FATtJR:- -KWH--~KVAF'R1NST"
06 20600 00091 00000 · 1996 -2153 16s5-r10roOõ96'5·6---im-to6es- OM6o1IDr2tí-01Hr6omn-z;___ -* ADHEMAR ·s/N Q- 75-E -76 ·-- * *--M!:DiCAD;:-ffr-PoT:K\f'll=f'lTf2r<T=fflf61JI<
ITT>20601l 0Õff74 N'i'lf'f . I175 ·t23/\í l3-53-l°39-l-~676-5"1fffi616S- ll012000T200ll1)60 0084. --- *-PIOGR-ANDE oo·sui.: o·"[ D-(f'* 1 Aos-*-· -MEóf~AO=B·T POT .KVA=OlTT-iCT=UITT>i:J'~
---- 01)025 00000 --0324 0404 0188 0246 - 0003280 0003444 (lmf4lllfflõsõ 00040 ryl}79· ANE'1A··.-----E-STifA.OA PLO/PEO - - . ·- --,..--- -- .--- ME-DICAO='BT POT;-KVA:0075 KT=004lr~ - - . - - - - _, _____ --- - . - ·--------
------------ -- --- - ------ .. -------- ----------
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N IV 360N-F0-479 3-8 ·sAU DATE 05/06/75
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N IV 360N-F0-479 3-8 "SLL 83
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DATE 05/06/75 T H' E 22.25.54
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~ IV 360N-F0-479 3-ff. 'STRES '· DA TE 05/06/75
1
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