1
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 1
Universidade Federal de Itajubá
Matemática Financeira
Engenharia Econômica
Início dos estudos sobre engenharia econômica
Estados Unidos em 1887, quando Arthur Wellington publicou seu livro: The Economic Theory of Railway Location.
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2
Engenharia econômica
Importantes para todos que precisam decidir sobre propostas tecnicamente corretas;
Fundamentos podem ser utilizados tanto para empresas privadas como estatais;
Todo fundamento se baseia na matemática financeira, que se preocupa com o valor do dinheiro no tempo.
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Exemplos de aplicação
Cálculo do Valor de um Negócio ou Empresa;
Elaborar Planos de Negócios;Projetos para solicitação de
Financiamentos.
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3
Matemática Financeira(Princípio básico)
“Não se soma ou subtrai quantias em dinheiro que não estejam nas mesmas datas!”
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Matemática Financeira
O que foi feito?
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4
Matemática Financeira
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Matemática Financeira
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5
Significado dos juros
Trabalho Terra
Fatores de Produçãoconsiderados em economia
Salário Aluguel
Royalty Lucros
Juros
Administração
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Técnica
Capital
Juros: presença no dia a dia
compras à crédito;
cheques especiais;
prestação da casa própria;
desconto de duplicata;
vendas à prazo;
empréstimos.
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6
Juros Simples:• J: Juros
• i: Taxa de juros
• n: Número de Períodos
• P: Principal
• F: Valor Futuro
Matemática financeira
J = P * i * nF = P + J
F = P + P * i * n
F = P (1 + i * n)
P F F F
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Matemática financeiraJuros Compostos: • J: Juros
• i: Taxa de juros
• n: Número de Períodos
• P: Principal
• F: Valor FuturoF1 = P (1 + i)
F2 = F1 (1+ i) = P (1 + i)2
F3 = P (1 + i)3
P F1
F2
F3
F = P (1 + i)n
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7
Matemática financeira
Exemplo II.1Para um capital de R$ 100.000,00 colocado a 20% a.a. durante3 anos, qual o valor futuro para os casos de considerarmos jurossimples e juros compostos?Solução:
Ano Juros Simples Juros Compostos
0
1
2
3
R$ 100.000,00 R$ 100.000,00
R$ 120.000,00 R$ 120.000,00
R$ 140.000,00 R$ 144.000,00
R$ 160.000,00 R$ 172.800,00
Juros de 60,0%
Juros de 72,8%
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Matemática financeira
Terminologia:
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Excel i: Taxa de juros Taxa
n: Número de Períodos Nper
P: Principal VP
F: Valor Futuro VF
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Matemática financeira
Fluxo de Caixa
0 1 2 3 n
( + )
( - )
Entradas (receitas)
Saídas (despesas operacionais, manutenção, etc...)
Investimento
Valor residual
Vida do projeto
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Matemática financeira
Terminologia:
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Excel i: Taxa de juros Taxa
n: Número de Períodos Nper
P: Principal VP
F: Valor Futuro VF
Pagamento PGTO
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Matemática financeira
Relações de Equivalência
VP
VF
0 n
Relação entre VP e VF
VF = VP(1 + i)n
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VP: Valor Presente
VF: Valor Futuro
Matemática financeira
VF
VP
0 n
Relação entre VF e VP
Relações de Equivalência
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VP: Valor Presente
VF: Valor Futuro
VP = VF/(1 + i)n = VF (1 + i) - n
10
Matemática financeira
Relação entre VP e VF – Exercício II.3
• Conseguiu-se um empréstimo de R$10.000,00em um banco que cobra 5% ao mês de juro. Quanto deverá ser pago se o prazo do empréstimo for de cinco meses?
Relações de Equivalência
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Matemática financeira
Relação entre VP e VF – Uso do Excel
VF = ?
10000
0
5
i = 5%
Relações de Equivalência
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11
Matemática financeira
Relação entre VP e VF – Uso do Excel
VF = ?
10000
0
5
i = 5%
Planilha
Relações de Equivalência
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Matemática financeira
Relação entre VP e VF – Uso do Excel
VF = ?
10000
0
5
i = 5%
Planilha
Relações de Equivalência
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Exemplo II.2
Qual o valor de uma aplicação em Fundo de renda fixa de R$ 30.000 a uma taxa de 1,4 % ao mês para um período de 1 ano?
• Qual o valor dos juros?• Quais os juros líquidos?• Qual o valor da rentabilidade líquida mensal?• Em relação à poupança esta aplicação é
interessante?
Matemática financeira
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Matemática financeiraExemplo II.2Solução:
F = P (1 + i) n = 30.000 (1 + 0,014) 12
F = 35446,77 Juros = F - P = 5446,77
I.R. (20%) = 0,20 x 5446,77 = 1089,35
Juros líquidos = 5446,77 – 1089,35 = 4357,42
De fato temos: F = 34357,42
34357,42 = 30.000 (1 + i) 12 i = 1,137%
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Lei nº. 11.033, de 21 de dezembro de 2004
O PRESIDENTE DA REPÚBLICA Faço saber que o Congresso Nacional decreta e eu sanciono a seguinte Lei:
• Art. 1º Os rendimentos de que trata o art. 5º da Lei nº 9.779, de 19 de janeiro de 1999, relativamente às aplicações e operações realizadas a partir de 1º de janeiro de 2005, sujeitam-se à incidência do imposto de renda na fonte, às seguintes alíquotas:
– I - 22,5% (vinte e dois inteiros e cinco décimos por cento), em aplicações com prazo de até 180 (cento e oitenta) dias;
– II - 20% (vinte por cento), em aplicações com prazo de 181 (cento e oitenta e um) dias até 360 (trezentos e sessenta) dias;
– III - 17,5% (dezessete inteiros e cinco décimos por cento), em aplicações com prazo de 361 (trezentos e sessenta e um) dias até 720 (setecentos e vinte) dias;
– IV - 15% (quinze por cento), em aplicações com prazo acima de 720(setecentos e vinte) dias.
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Regra para depósitos a partir de 03 de maio de 2012
Nada muda para depósitos feitos até 3 de maio de 2012. Nesse caso, a poupança continua rendendo 0,5% ao mês (ou 6,17% ao ano), mais a variação da TR (Taxa Referencial). Para depósitos feitos a partir de 4 de maio e contas abertas a partir dessa data, sempre que a Selic (taxa básica de juros) ficar em 8,5% ao ano ou abaixo disso, o rendimento da poupança passa a ser de 70% da Selic mais a TR.
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Matemática financeira(Taxa Referencial de Juros – TR)
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http://www.yahii.com.br/tr.html
Matemática financeira(Taxa Referencial de Juros – TR)
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http://www.yahii.com.br/tr.html
15
Matemática financeira(poupança)
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 29
http://www.yahii.com.br/poupanca.html
Matemática financeira(poupança)
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 30
http://www.yahii.com.br/poupanca.html
16
Matemática financeira(TBF)
http://www.yahii.com.br/tbf.html
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 31
Matemática financeira(TBF)
http://www.yahii.com.br/tbf.html
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 32
17
Matemática financeira(SELIC)
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 33
http://www.portalbrasil.net/indices_selic.htm
Matemática financeira
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 34
O que eu façocom este
apartamento?
18
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 35
Matemática financeira
Matemática financeira
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 36
http://www37.bb.com.br/portalbb/tabelaRentabilidade/rentabilidade/gfi7,802,9085,9089,1.bbx?tipo=1&nivel=1000&codigoMenu=1092&codigoRet=5489&bread=8_1
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Matemática financeira
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 37
http://www37.bb.com.br/portalbb/tabelaRentabilidade/rentabilidade/gfi7,802,9085,9089,1.bbx?tipo=1&nivel=1000&codigoMenu=1092&codigoRet=5489&bread=8_1
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 38
Matemática financeira
http://www37.bb.com.br/portalbb/tabelaRentabilidade/rentabilidade/gfi7,802,9085,9089,1.bbx?tipo=1&nivel=1000&codigoMenu=1092&codigoRet=5489&bread=8_1
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06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 39
Matemática financeira
http://www3.tesouro.gov.br/tesouro_direto/rentabilidade_novosite.asp
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 40
Matemática financeira
http://www.bb.com.br/portalbb/page106,116,2137,1,1,1,1.bb?codigoNoticia=1363&codigoMenu=1092&codigoNoticia=1363&codigoMenu=1092
21
Matemática financeira
Relação entre VP e PGTO
PGTOVP
VP = PGTO (1 + i) - 1 + PGTO (1 + i) - 2 + . . . + PGTO (1 + i) - n
0 n
VP = PGTO [ (1 + i) - 1 + (1 + i) - 2 + . . . + (1 + i) - n ]
Relações de Equivalência
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VP: Valor Presente
PGTO = Pagamento uniforme
Matemática financeira
Relação entre VP e PGTO
PGTOVP
0 n
VP = PGTO [ (1 + i) - 1 + (1 + i) - 2 + . . . + (1 + i ) - n ]
r - 1
.rna - 1a = Sn
i ) i + 1 (1 ) i + 1 (
PGTO =VP n
n
Relações de Equivalência
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 42
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Matemática financeira
i ) i + 1 (1 ) i + 1 (
PGTO =VP n
n
1 - ) i + 1 (i ) i + 1 (
VP = PGTO n
n
Relação entre VP e PGTO
Relações de Equivalência
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Matemática financeira
Relação entre VP e PGTO – Exercício II.6
• Um empresário pretende fazer um investimento no exterior que lhe renderá US$ 100.000 por ano, nos próximos 10 anos. Qual o valor do investimento, sabendo-se que o empresário trabalha com taxa de 6% ao ano?
Relações de Equivalência
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23
Matemática financeira
Relação entre VP e PGTO – Excel
VP = ?
0
i = 6% ao ano
110
100000
Relações de Equivalência
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 45
Matemática financeira
Relação entre VP e PGTO – Excel
VP = ?
0
i = 6% ao ano
110
100000
Planilha
Relações de Equivalência
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 46
24
Matemática financeira
Relação entre VP e PGTO – Excel
VP = ?
0
i = 6% ao ano
110
100000
Planilha
Relações de Equivalência
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 47
Matemática financeira
Relação entre VP e PGTO – Exercício II.7
• O que é mais interessante, comprar uma TV LED por R$ 4.000,00 à vista, ou R$ 4.410,00 em 3 vezes, sendo a primeira prestação no ato da compra?
Antes de resolver este problema,vejamos alguns exemplos como as lojas divulgam
suas ofertas!
Relações de Equivalência
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25
O que tem de errado?
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 49
O que tem de errado?
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 50
26
O que tem de errado?
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 51
O que tem de errado?
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 52
27
O que tem de errado?
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 53
Código do consumidor
DA OFERTA DE PRODUTOS E SERVIÇOS
Art. 31 - A oferta e apresentação de produtos ou serviços devem assegurar informações corretas, claras, precisas, ostensivas e em língua portuguesa sobre suas características, qualidade, quantidade, composição, preço, garantia, prazos de validade e origem, entre outros dados, bem como sobre os riscos que apresentam à saúde e segurança dos consumidores.
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Código do consumidor
DA PUBLICIDADE
Art. 37 - É proibida toda publicidade enganosa ou abusiva.
§ 1º - É enganosa qualquer modalidade de informação ou comunicação de caráter publicitário, inteira ou parcialmente falsa, ou, por qualquer outro modo, mesmo por omissão, capaz de induzir em erro o consumidor a respeito danatureza, características, qualidade, quantidade, propriedades, origem, preço e quaisquer outros dados sobre produtos e serviços.
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Matemática financeira
Relação entre VP e PGTO – Exercício II.7
• O que é mais interessante, comprar uma TV LED por R$ 4.000,00 à vista, ou R$ 4.410,00 em 3 vezes, sendo a primeira prestação no ato da compra?
Relações de Equivalência
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06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 57
Solução
4000
0 1 2
1470
0 1 2
Quais são as opções de compra?
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Solução
4000
1470
2530
1470
30
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Solução
2530
1470
VP
PGTO
Nper = 2
O que esta faltando?
Matemática financeira
Relação entre VP e PGTO – Excel
2530
1470
Planilha
Relações de Equivalência
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 60
31
Matemática financeira
Relação entre VP e PGTO – Excel
2530
1470
Planilha
Relações de Equivalência
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 61
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 62
Solução
2530
1470
A vista ou a prazo?
O que significa a taxa?
a.m. 10,63%i%
32
Matemática financeira
Relação entre VP e PGTO – Exercício II.8
• Vale a pena pagar à vista com 20% de desconto ou a prazo em 3 pagamentos iguais, sendo o primeiro hoje?
Relações de Equivalência
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 63
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 64
Solução
0,8X
0 1 2
X/3
0 1 2
Quais são as opções de compra?
X = preço de etiqueta
33
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 65
Solução
0,8X
X/3
0,8X-X/3
X/3
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 66
Solução
0,8X-X/3
X/3
VP
PGTO
Nper = 2
O que esta faltando?
34
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 67
Solução
0,8X-X/3
X/3
A vista ou a prazo?
O que significa a taxa?
a.m. 27,47%i%
Matemática financeira
Caso Real
IPVA 99 – Espírito Santo
Veículo: Quantum 1988• Opção 01 – à vista: R$ 217,37 (14/10/99)• Opção 02 – 2 vezes:
Primeira: R$ 163,77 (14/10/99)Segunda: R$ 89,31 (12/11/99)
• Qual a taxa de juros para a opção de parcelar?
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 68
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Matemática financeira
Caso Real
IPVA 99 – Espírito Santo
P = 217,37 – 163,77 = 53,6
F = 89,31
VF = VP (1 + i) n
89,31 = 53,6 (1 + i) 1
i = 66,62% a.m.
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 69
Matemática financeira(poupança)
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 70
http://www.yahii.com.br/poupanca.html
36
Como as lojas divulgam seus preços
Sem juros?
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 71
Algumas taxas
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 72
http://www.anucc.org.br/servicos/index/25
37
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 73
Portal Globo 05/08/2008
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 74
38
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 75
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 76
39
Algumas taxas DEMONSTRATIVO DAS TAXAS DE JUROS
PRATICADAS EM 2007
Bancos Empréstimo Pessoal
Cheque Especial
HSBC 4,67% 8,47% Banespa 5,80% 8,38% Bradesco 5,57% 8,01% Banco do Brasil 4,62% 7,68% Caixa Econômica Federal 4,68% 7,20%
Itaú 5,95% 8,47% Santander 5,80% 8,38% Nossa Caixa 4,25% 8,10% Real 6,50% 8,40% Unibanco 5,87% 8,39%
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 77
Algumas taxas
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 78
http://www.bcb.gov.br/fis/taxas/htms/tx012010.asp
40
Algumas taxas
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 79
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 80
Algumas taxas
http://www.bcb.gov.br/fis/taxas/htms/tx012020.asp
41
Algumas taxas
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 81
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 82
Algumas taxas
http://www.bcb.gov.br/fis/taxas/htms/tx012040.asp
42
Algumas taxas
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 83
Matemática financeira
Relação entre VF e PGTO
PGTO
VF
VF = PGTO + PGTO (1 + i)1 + PGTO (1 + i)2 + . . . + PGTO (1 + i)n-1
0 n
VF = PGTO [1 + (1 + i)1 + (1 + i)2 + . . . + (1 + i)n-1 ]
Relações de Equivalência
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43
Matemática financeira
i
1 ) i + 1 ( PGTO =VF
n
1 - ) i + 1 (
iVF = PGTO n
Relação entre VF e PGTO
Relações de Equivalência
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 85
Matemática financeira
Relação entre PGTO e VF
• Exemplo II.10 - Quanto deve-se depositar anualmente numa conta a prazo fixo que paga juros de 12% ao ano, para se ter R$ 500.000,00 daqui a 14 anos?
Relações de Equivalência
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 86
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Matemática financeira
Relação entre PGTO e VF – Exercício II.10
PGTO = ?
0
i = 12% ao ano
1 14
VF = 500000
Relações de Equivalência
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 87
Matemática financeira
Séries Infinitas
i ) i + 1 (1 ) i + 1 (
PGTO =VP n
n
i ) i + 1 (
1 ) i + 1 ( PGTOlim =VP n
n
n
i ) i + 1 (
1 i ) i + 1 (
) i + 1 ( PGTOlim =VP nn
n
n
iPGTO
=VP
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 88
45
Matemática financeira
• Exemplo II.11 - Quanto deverei depositar em
um fundo com a finalidade de receber para
sempre a importância anual de R$ 12.000,00
considerando ser a taxa anual de juros igual a
10%?
Relações de Equivalência
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 89
Matemática financeira
Séries Perpetuas – Exercício II.11
VP = ?
0
i = 10% ao ano
1
12000
VP = PGTO / i
VP = 12000 / 0,1
VP = 120000
Relações de Equivalência
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 90
46
Matemática financeira
• Exemplo II.12 - Qual a menor quantia que um
grupo deve cobrar hoje, para dar uma renda
anual de R$ 6.000?
Relações de Equivalência
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 91
Matemática financeira
Séries Perpetuas – Exercício II.12
VP = ?
0
i = ?
1
PGTO = 6000
Relações de Equivalência
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 92
47
Matemática financeiraTaxas Efetiva, Nominal e Equivalente
Equivalência entre Taxas Efetivas
VF = VP*(1 + i a) 1
VF = VP*(1 + i m) 12
(1 + i a) 1 = (1 + i m) 12
(1 + ia) = (1 + i sem)2 = (1 + im)12 = (1 + i d)360
VP
VF
1 ano ou12 meses
06/02/2013 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 93
Matemática financeiraTaxas Efetiva, Nominal e Equivalente
Taxa Nominal
O período de capitalização é diferente do expresso na taxa
Exemplos:• Poupança - 6 % a.a. com capitalização mensal = 0,5 % a.m.• SFH - 12 % a.a. com capitalização mensal = 1 % a.m.
12 % a.a.c.m. = 12 / 12 meses = 1 % a.m.c.m. = 12,68 % a.a.c.a.
Nominal Efetiva Efetiva
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Matemática financeiraTaxas Efetiva, Nominal e Equivalente
• Exemplo II.18 - Peço um empréstimo de R$ 1.000,00 ao banco. Cobra-se antecipadamente uma taxa de 15% sobre o valor que é entregue já líquido, e depois de um mês paga-se R$ 1.000,00. Qual a taxa efetiva de juros deste empréstimo?
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Matemática financeiraTaxas Efetiva, Nominal e Equivalente
Exercício II.18 – Calcular a taxa de juros
VP = ?
VF = ?
1 mês
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Matemática financeiraTaxas Efetiva, Nominal e Equivalente
Exercício II.18 – Calcular a taxa de juros
VP = 850
VF = 1000
1 mês VF = VP (1 + i) n
1000 = 850 (1 + i) 1
i = 17,64% a.m.
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