COMO CONSULTAR A DISSERTAO
ANLISE ESTRUTURAL DAS CHAPAS
METLICAS
DE SILOS E DE RESERVATRIOS
CILNDRICOS
Luciano Jorge de Andrade Junior
Dissertao apresentada Escola de Engenharia de
So Carlos da Universidade de So Paulo, como
parte dos requisitos para obteno do ttulo de
Mestre em Engenharia de Estruturas
ORIENTADOR: Prof. Dr. Jos Jairo de Sles
A dissertao est dividida em 6 captulos e organizada de acordo com as diretrizes da
Escola de Engenharia de So Carlos em 6 disquetes.
CAPTULO 1 Ambiente onde se desenvolve a Dissertao
CAPTULO 2 - Comportamento Estrutural e Aes em Silos e em Reservatrios
CAPTULO 3 - Anlise do problema de estabilidade em cascas cilndricas
CAPTULO 4 - Anlise Numrica de Cascas Cilndricas
CAPTULO 5 - Caso Exemplo: Silo de Gros
CAPTULO 6 - Concluses
O Pr-texto est no disquete 1
O Texto est contido nos disquetes 1 a 5
Notas: O disquete 1 contm o Pr-texto, o Captulo 1 efiguras
O disquete 2 contm o Captulo 2 O disquete 3 contm o Captulo 3 e figuras O disquete 4 contm o Captulo 4 e a pasta do modelo 1 (ensaio numrico de silo)
O disquete 5 contm os Captulos 5 e 6, a pasta do modelo 5, e as Ref. Bibliogrficas
O disquete 6 contm os anexos
O Ps-Texto est contido no disquete 6
ANLISE ESTRUTURAL DAS CHAPAS METLICAS DE SILOS E DE RESERVATRIOS CILNDRICOS
Luciano Jorge de Andrade Junior
Dissertao apresentada Escola de Engenharia
de So Carlos da Universidade de So Paulo,
como parte dos requisitos para obteno do
ttulo de Mestre em Engenharia de Estruturas
ORIENTADOR: Prof. Dr. Jos Jairo de Sles
So Carlos
1998
Ao meu pai,
orientador natural.
Ao sempre disposto professor Jos Jairo de Sles, minha estima pela orientao neste
trabalho e minha admirao pela sua maneira clara e direta de se expressar.
Ao Conselho Nacional de Pesquisa - CNPq, pela bolsa de estudo concedida.
Aos amigos Arthur Dias, companheiro distinto em momentos de luta, Luciano
Barbosa, um ponderador, e Jlio Pituba, um sujeito seguro, meu profundo respeito e um
agradecimento largo pela sempre participao em minha vida na cidade de So Carlos.
Aos colegas, professores e funcionrios do Departamento de Estruturas, sempre no
dia-a-dia das aulas, nos momentos do caf, meus sinceros agradecimentos pela prosa, pelo
muito aprendido e pela colaborao em minhas atividades de mestrado.
SUMRIO
LISTA DE FIGURAS...............................................................................................................i
LISTA DE TABELAS............................................................................................................iv
LISTA DE GRFICOS...........................................................................................................v
LISTA DE SIGLAS................................................................................................................vi
LISTA DE SMBOLOS........................................................................................................vii
RESUMO..............................................................................................................................xii
ABSTRACT.........................................................................................................................xiii
CAPTULO 1 - Ambiente onde se desenvolve a Dissertao. .............................................1
1.1 - Introduo .....................................................................................................................1 1.2 - Viso geral do corpo da Dissertao.............................................................................6
CAPTULO 2 : Comportamento Estrutural e Aes de Silos e de Reservatrios. ..........7
2.1 - Introduo .....................................................................................................................7 2.2 - Esforos Solicitantes e Equaes de Equilbrio. ...........................................................9 2.3 - As Equaes de Equilbrio..........................................................................................12 2.4 - Teoria do Regime de Membrana.................................................................................13 2.5 - Teoria do Regime de Flexo .......................................................................................14 2.6 - As aes ......................................................................................................................17
2.6.1 - A Ao do Vento..................................................................................................18 2.6.2 - As Aes devidas ao Material Slido...................................................................21 2.6.3 - A Ao Hidrosttica. ............................................................................................25
CAPTULO 3 - Anlise do problema de estabilidade em cascas cilndricas. ..................26
3.1 - Introduo ...................................................................................................................26 3.2 - Caracterizao do fenmeno. ......................................................................................29 3.3 - Clculo da tenso crtica de flambagem......................................................................31 3.4 - Caso axissimtrico de flambagem...............................................................................39 3.5 - Caso assimtrico de flambagem..................................................................................41 3.6 - A perda de estabilidade devida compresso axial. ...................................................42 3.7 - A perda de estabilidade devida compresso axial combinada com presso interna.44 3.8 - A perda de estabilidade devida compresso axial combinada com flexo...............45
Captulo 4 : Anlise Numrica de Cascas Cilndricas.............................................................47 4.1 - O Esquema Esttico dos Reservatrios........................ Erro! Indicador no definido. 4.2 - Os Modelos Geomtricos dos Reservatrios ............... Erro! Indicador no definido. 4.3 - As Caractersticas do Ao Empregado......................... Erro! Indicador no definido. 4.4 - Consideraes acerca das Espessuras das Chapas. ...... Erro! Indicador no definido. 4.5 - Os Casos em Anlise.................................................... Erro! Indicador no definido. 4.6 - As Aes Consideradas................................................ Erro! Indicador no definido. 4.7 - Combinao de Aes.................................................. Erro! Indicador no definido. 4.8 - As hipteses do Programa Computacional .................. Erro! Indicador no definido. 4.9 - Esquema da Anlise. .................................................... Erro! Indicador no definido.
4.9.1 - Avaliao dos esforos, tenses e deslocamentos em cada modelo.Erro! Indicador no definido.
CAPTULO 5 - Caso Exemplo: Silo de Gros. ..................................... Erro! Indicador no definido. CAPTULO 6 - Concluses ................................................................... Erro! Indicador no definido.
i
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Tanque de lcool de 10.000 m3............................................................................1 Figura 2 - Silo de acar.......................................................................................................1 Figura 3 - Reservatrio de gua. ..............................................................................................2
Figura 4 - Estruturas cilndricas em fase de montagem........................................................3 Figura 5 - Afundamento do topo de silo sob a ao do vento..................................................3
Figura 6 - Amassamento do costado do silo devido ao do vento. ......................................3
Figura 7 - Aes axissimtricas: seo eficiente......................................................................3
Figura 8 - Tenses meridionais: podem provocar flambagem.................................................4
Figura 9 - A resistncia flexo menor que a resistncia compresso...............................5
Figura 10 - Partes da Estrutura: Tampa, corpo e fundo ...........................................................7
Figura 11 - Esforos Solicitantes Generalizados. ....................................................................9
Figura 12 - Esforos de Membrana........................................................................................10
Figura 16 - Esforos de Flexo. .............................................................................................10
Figura 17 - Esforos Solicitantes Finais ................................................................................12
Figura 15 - Fator .H para reservatrios de Ao....................................................................16
Figura 16 - Fator .H para reservatrios de Concreto............................................................17
Figura 17 - Nomenclatura dos Silos.......................................................................................18
Figura 18- Esquema de Aes ...............................................................................................18
Figura 19 - Presso ao Longo da altura do silo......................................................................20
Figura 20 - Configurao dos coeficientes Cpe no permetro do silo. ....................................20
Figura 21 - Distribuio dos Cpe em cobertura plana............................................................20
Figura 22 - Distribuio dos Cpe em cobertura cnica ...........................................................20
Figura 23 - Fluxo de funil ......................................................................................................21
Figura 24 - Aes do material no silo ....................................................................................22
Figura 25 - Configurao de flambagem elstica de cilindro comprimido............................26
Figura 26 - Modo Geral de Flambagem peridica na circunferncia de um silindro longo ..27
ii
Figura 27 - Modo axissimtrico de flambagem local.............................................................27
Figura 28 -Disposio das chapas calandradas e regies de tenses residuais ......................28
Figura 29 -Caminhos fundamental e secundrio de flambagem............................................30
Figura 30 -Estado fundamental de deformao .....................................................................32
Figura 31 - Caminho fundamental 1 ....................................................................................35 Figura 32 - Caminho fundamental 2 ....................................................................................35 Figura 33 - Medidas de Imperfeies ....................................................................................44
Figura 34 - Esquema Esttico dos Reservatrios. ..................................................................48
Figura 35 - Modelos Geomtricos de Reservatrios Cilndricos ...........................................49
Figura 36 - Variaodas Chapas ao Longo da Altura. ...........................................................50
Figura 37 - Elemento sob Fora Tangencial ..........................................................................50
Figura 38 - Caso 1 - Sem Atrito: Parede de Espessura Constante .........................................51
Figura 39 - Caso 2 - Sem Atrito: Parede de Espessura Varivel............................................51
Figura 40 - Caso 3 - Com Atrito: Parede de Espessura Constante.........................................52
Figura 41 - Caso 4 - Com Atrito: Parede de Espessura Varivel...........................................52
Figura 42 - Caso 5 - Reservatrio Vazio com Parede de Espessura Constante. ....................52
Figura 43 - Caso 6 - Reservatrio Vazio com Parede de Espessura Varivel........................53
Figura 44 - O elemento finito utilizado..................................................................................59
Figura 45 - Solues no Elemento Finito...............................................................................60
Figura 46 - Malhas e rede de elementos finitos nos modelos. ...............................................62
Figura 47 - Espessuras do costado para o modelo 1 - Casos 1 e 2.........................................65
Figura 48 - Espessuras do costado para o modelo 1 - Casos 3 e 4.........................................69
Figura 49 - Tenses tangenciais y - Modelo 1 - Caso 5 .......................................................74 Figura 50 - Tenses tangenciais y - Modelo 1 - Caso 6 .......................................................74 Figura 51 - Tenses meridionais z - Modelo 1 - Caso 5 ......................................................75 Figura 52 - Tenses meridionais z - Modelo 1 - Caso 6. .....................................................75 Figura 53 - Espessuras do costado para o modelo 5 - Casos 1 e 2.........................................77
Figura 54 - Espessuras do costado para o modelo 5 - Casos 3 e 4.........................................81
Figura 55 - Tenses tangenciais y - Modelo 5 - Caso 5 .......................................................86 Figura 56 - Tenses tangenciais y - Modelo 5 - Caso 6 .......................................................86 Figura 57 - Tenses meridionais z - Modelo 5 - Caso 5 ......................................................87 Figura 58 - Tenses meridionais z - Modelo 5 - Caso 6 ......................................................87 Figura 59 - Faixas de Coeficientes de Presso em cobertura cnica .....................................91
Figura 60 - Valores das presses na cobertura do silo exemplo ............................................92
iii
Figura 61 - reas das faixas de presso .................................................................................92
Figura 62 - Esforos transmitidos pela tampa ao costado do silo ..........................................93
Figura 63 - Esquema da cobertura cnica ..............................................................................96
Figura 64 - Equilbrio da viga secundria..............................................................................98
Figura 65 - Caractersticas do perfil I adotado.......................................................................99
Figura 66 - Equilbrio da viga principal...............................................................................100
Figura 67 - Equilbrio do anel central ..................................................................................102
Figura 68 - Esquema do anel central....................................................................................102
Figura 69 - Seo transversal do anel tracionado ................................................................104
Figura 70 - Detalhe da chapa para a viga principal..............................................................104
Figura 71 - Detalhe da ligao da viga de topo viga secundria .......................................104
Figura 72 -Esquema de aplicao das foras no costado .....................................................106
Figura 73 - Definio das reas do silo-exemplo.................................................................107
Figura 74 - Mapa dos elementos finitos na casca do silo exemplo ......................................108
Figura 75 - Mapa dos ns dos elementos finitos na casca do silo exemplo.........................109
Figura 76 - Tenses meridionais z - solicitao: vento - parte interna da casca ................112 Figura 77 - Tenses meridionais z - solicitao: vento - superfcie mdia ........................112 Figura 78 - Tenses meridionais z - solicitao: vento - face externa da casca .................113 Figura 79 - Tenses meridionais z - solicitao: gros - face interna da casca..................113 Figura 80 - Tenses meridionais z - solicitao: gros - superfcie mdia.........................114 Figura 81 - Tenses meridionais z - solicitao: gros - face externa da casca .................114 Figura 82 - Espessuras do costado do silo exemplo.............................................................115
Figura 83 - Regies de concentrao de tenses nos modelos 1 e 5 ...................................117
As fotos correspondentes s figuras 1, 2 e 4 foram feitas pelo Renato Celine Badiale.
iv
LISTA DE TABELAS TABELA 01 - Valores dos Cpe no permetro do silo .............................................................20
TABELA 02 - Relaes altura/dimetro e rea lateral para um volume constante................49
TABELA 03 -Presses devidas ao material - Modelo 1. .......................................................55
TABELA 04 - Presses do vento ao longo da altura e do permetro - Modelo 1. ................55
TABELA 05 - Presses do vento ao longo da altura e do permetro - Modelo 5. ................56
TABELA 06 - Presses devidas ao material armazenado - Modelo 5...................................56
TABELA 07 - Valores para as foras de atrito por unidade de comprimento da geratriz em
cada um dos modelos 1 e 5. ............................................................................................58
TABELA 08 - Dimenses dos modelos para o volume de 800 m3........................................62
TABELA 09 - Deslocamentos e tenses - Modelo 1- Caso 1 e Caso 2. ................................66
TABELA 10 - Deslocamentos e tenses - Modelo 1-Caso 3 e Caso 4. .................................70
TABELA 11 - Deslocamentos e tenses - Modelo 5 - Caso 1 e Caso 2. ...............................78
TABELA 12 - Deslocamentos e tenses - Modelo 5 - Caso 3 e Caso 4................................82
TABELA 13 - Presses do vento ao longo da altura e do permetro .....................................94
TABELA 14 - Variaes de espessuras testadas para o silo exemplo .................................110
TABELA 15 - Verificao flambagem para flexo e compresso....................................110
TABELA 16 - Verificao flambagem para compresso e presso interna......................111
v
LISTA DE GRFICOS
Grfico 1 - Deslocamentos Radiais - Modelo 1- Casos 1 e 2 ..............................................67
Grfico 2 - Tenses Tangenciais - Modelo 1 - Casos 1 e 2. ................................................68
Grfico 3 - Deslocamentos Radiais - Modelo 1 - Casos 3 e 4. ............................................71
Grfico 4 - Tenses Tangenciais - Modelo 1 - Casos 3 e 4. ................................................72
Grfico 5 - Tenses Meridionais - Modelo 1 - Casos 3 e 4. ................................................73
Grfico 6 - Deslocamentos Radiais - Modelo 5- Casos 1 e 2 ..............................................79
Grfico 7 - Tenses Tangenciais - Modelo 5 - Casos 1 e 2. ................................................80
Grfico 8 - Deslocamentos Radiais - Modelo 5 - Casos 3 e 4. ............................................83
Grfico 9 - Tenses Tangenciais - Modelo 5 - Casos 3 e 4. ................................................84
Grfico 10 - Tenses Meridionais - Modelo 5 - Casos 3 e 4. ................................................85
vi
LISTA DE SIGLAS
AISC - American Institute of Steel Construction
ASCE - American Society of Civil Engineers
DIN - Deutsche Industrie Normen
ECCS - European Convention for Constructional Steelwork
NBR - Norma Brasileira Registrada
vii
LISTA DE SMBOLOS
a : expoente de variao de S2 b : parmetro meteorolgico para o clculo de S2; valor do ngulo para os
coeficientes de presso externa do vento, Cpe
c : ndice que indica o silo preenchido, na condio esttica.
C1, C2,
C3, C4 : coeficientes da equao diferencial de deslocamentos no regime de flexo
Ce : fator de excentricidade da abertura de escoamento em relao parede do
silo
Cf : coeficiente de uniformizao do cone de material no topo do silo
Cg : fator que depende do material ensilado
Ch : fator de altura do silo
Cm : fator de sobrepresso
Cr : fator de rigidez do silo
Cs : fator de considerao de impactos devidos ao desmoronamentos de cpulas
Cpe : coeficiente de presso externa do vento
d : ndice que indica fator de equivalncia entre a condio esttica e a
condio dinmica do esvaziamento uniforme
dA : elemento infinitesimal de rea
dz, d : infinitsimos nas direes z e , respectivamente dN, dNz : infinitsimos dos esforas tangenciais de membrana nas direes e z, respectivamente
dM, dMz,
dMz, dMz : momentos infinitesimais para o clculo dos esforos de flexo
D : dimetro do silo
e : espessura da casca cilndrica
E : mdulo de elasticidade
EN : energia de deformao de membrana
viii
ENz : termo de contribuio axial (direo da geratriz) da energia de deformao
linear de membrana
E N : termo de contribuio circunferencial (ou tangencial) da energia de
deformao linear de membrana
E Nz : termo de contribuio devida ao cisalhamento, da energia de deformao
linear de membrana
Ept : energia potencial total
Ept0, Ept1,
Ept2 : termos da energia potencial total
Fr : fator de rajada do vento
fy : tenso limite de escoamento
Fx, Fxy,
Fy : esforos de membrana no elemento finito do ANSYS (Shell 63)
H : altura do silo
i : nmero de semi-ondas formadas na casca cilndrica, na direo
circunferencial, na configurao prevista de flambagem
iCM : nmero crtico mnimo de semi-ondas na direo circunferencial
j : nmero de semi-ondas formadas na direo da geratriz, na configurao
prevista de flambagem
k : distncia entre o eixo vertical da abertura de escoamento e a parede do silo
Kd : fator dinmico considerado quando da descarga do silo
r : comprimento relacionado ao tamanho potencial das ondas de flambagem;
pode ser medido tanto na direo da geratriz quanto na direo circunferencial
lz : comprimento da semi-onda na direo da geratriz
l : comprimento da semi-onda na circunferncia
Mx, My,
Mxy : momentos por unidade de comprimento, no elemento finito do ANSYS
(Shell 63)
p (P) : presso horizontal atuando na parede do silo; o ndice que estiver subscrito
a P indica a condio de solicitao (esttico - Janssen, dinmico - esvaziamento )
Pcr : valor de solicitao crtica
q (Q) : presso vertical atuando na direo do eixo do silo; o ndice que estiver subscrito a
q ou Q indica a condio de solicitao ( esttico - Janssen, dinmico - esvaziamento )
qf : presso vertical total (do material ensilado) resultante no fundo do silo
ix
R : raio hidrulico da estrutura cilndrica
S : rea da seo transversal de massa ensilada
S1 : fator topogrfico, usado na avaliao das variaes do relevo do terreno
S2 : fator para a considerao do efeito combinado da rugosidade do terreno ,
da variao da velocidade do vento com a altura acima do terreno e das dimenses da
edificao. (NBR 6123 (1987))
S3 : fator estatstico usado para a avaliao do grau de segurana e da vida til
da estrutura
u : medida de imperfeio a partir da imperfeio at a direo de r
U : permetro da seo S
u, v, w : deslocamentos correspondentes s coordenadas x, y, z
V : volume de um silo cilndrico
Vk : velocidade caracterstica do vento
Vcs : resultante da fora de atrito, em unidade de fora por unidade de
comprimento
v : fora de atrito na parede por unidade de rea
v1 : deslocamento fundamental na direo radial do silo
x, y, z : coordenadas cartesianas
w1 : deslocamento fundamental na direo da geratriz do silo
wh : soluo homognea da equao diferencial dos deslocamentos w
wp : soluo particular da equao diferencial dos deslocamentos w
r, , z : coordenadas cilndricas z : coordenada na direo da geratriz do cilindro; tambm indica altura medida
a partir da superfcie do terreno
z : constante de ponderao de Nzf ( vale 1, na condio de solicitao predominante na direo da geratriz
: constante de ponderao de Nf ( vale 1 , na condio de presso externa dominante)
: coeficiente de amortecimento dos esforos na casca cilndrica; ou, razo entre a tenso meridional de membrana e a tenso efetiva de membrana, at o incio de
flambagem
P : componente esttica de presso do vento : deformao na direo tangencial, zf : deformao uniforme fundamental, na direo da geratriz, associada a Nzf
x
f : deformao uniforme fundamental, na direo circunferencial, associada a Nzf
: ngulo de atrito entre as partculas do material ensilado (ngulo de atrito interno)
: ngulo de atrito entre o material ensilado e o costado do silo (z) : funo exponencial do comportamento da presso lateral do material ensilado
: densidade do material armazenado =p/q : razo entre as presses horizontal e vertical : coeficiente de atrito entre as partculas do material ensilado(coeficiente de atrito interno.)
: coeficiente de atrito entre o material ensilado e as paredes da clula : coeficiente de Poisson 1 : caminho fundamental de deslocamentos v e w de flambagem 2 : caminho secundrio de deslocamentos v e w de flambagem , z : tenses nas direes tangencial e meridional, respectivamente cr : tenso crtica de flambagem na direo da geratriz do silo ef,u : tenso ltima, de resistncia, da casca cilndrica 0 : tenso uniforme de compresso devida fora axial (direo da geratriz) de projeto
b : tenso mxima de compresso devida ao momento de projeto z, z, y, y, zy, yz : tenses de cisalhamento. Nzf : esforo solicitante axial correspondente a um estado fundamental de
solicitao uniforme de membrana
Nf : esforo solicitante tangencial correspondente a um estado fundamental de
solicitao uniforme de membrana
Nz : esforo interno meridional por unidade de comprimento
N : esforo interno tangencial por unidade de comprimento
Nz,Nz : esforos de membrana
M : esforo de flexo na direo tangencial
Mz : esforo de flexo na direo meridional
Py, Pz : aes externas que atuam nas direes y e z do elemento de casca
xi
Q, Qz : esforo interno cortante
xii
RESUMO
ANDRADE Jr., L. J. de (1998). Anlise Estrutural das Chapas Metlicas de Silos e de
Reservatrios Cilndricos. So Carlos. Dissertao (Mestrado) - Escola de Engenharia de So
Carlos, Universidade de So Paulo.
A aplicao de conceitos de estabilidade surge espontaneamente em estruturas
metlicas e, mais destacadamente, nas estruturas de silos e de reservatrios. A parede
cilndrica que compe o corpo desse tipo de estrutura formada de chapas metlicas
delgadas, caracterstica que surge da grande eficincia da forma cilndrica. Neste trabalho,
procura-se dispor ao engenheiro conceitos claros e distintos do comportamento e dos
fenmenos de perda de estabilidade do equilbrio de reservatrios e de silos metlicos. So
expostas as teorias para a anlise de silos para materiais granulares e pulverulentos no-
coesivos e reservatrios para lquidos que no produzem gases. Mostra-se que a ao do
material ensilado provoca esforos de compresso que possibilitam a ocorrncia de
fenmenos de perda da estabilidade da estrutura, conhecidos como flambagem no jargo
tcnico. Tambm a ao do vento pode ocasionar perda de estabilidade na estrutura vazia.
Apresenta-se um resumo das teorias envolvidas, um ensaio numrico de modelos cilndricos,
um exemplo de silo de gros, e uma compilao das normas e artigos mais atuais e
abrangentes do problema de estabilidade em estruturas cilndricas. Por fim, so estabelecidas
as configuraes estruturais que apresentam maiores riscos para a flambagem, e fornecidas as
relaes de dimetro/espessura e de dimetro/altura em que possvel se evitar os problemas
advindos da perda da estabilidade do equilbrio.
Palavras-chave: silos metlicos; flambagem; estruturas cilndricas.
xiii
ABSTRACT
ANDRADE Jr., L. J. de (1998). Structural Analysis of the Steel Plates on Silos and Tanks.
So Carlos. Dissertao (Mestrado) - Escola de Engenharia de So Carlos, Universidade de
So Paulo.
The application of the stability concepts appears spontaneously on steel structures
and, more distinctly , on silos and tanks structures. The cylindrical wall that makes the body
of this kind of structure is constituted of thin steel plates, characteristic that comes out of the
great efficiency of the cylindrical shape. In this work, it is intended for the engineer clear and
distinct notions about the behaviour and the loss of stability equilibrium phenomena of steel
silos and tanks. The theories for the analysis of silos for non-cohesive, pulverulent and grain
materials, and of tanks to liquids that produces no gases, are exposed. It is shown that the
action of the bulk stored material causes compression that makes possible the occurrence of
the phenomena of loss of the stability of the structure, commonly known in the technician
jargon as buckling. Also the wind load can lead to the loss of stability of the empty structure.
A summary is shown for of the involved theories, a numerical experiment with cylindrical
models, an example of grain silo, and a compilation of the recommendations, norms and
articles on the problem of the cylindrical structures stability. At least, it is established the
structural configurations that poses major risks to buckling, and it is supplied relations of
diametre/thickness and of diametre/height with whom it is possible to avoid the problems that
come from the loss of the stability of equilibrium.
Keywords: steel silos; buckling; cylindrical shell structures.
Captulo 1 - Ambiente onde se desenvolve a Dissertao 1
Captulo 1 - Ambiente onde se desenvolve a Dissertao.
1.1 - Introduo
Os ambientes onde esto situados os silos e os reservatrios podem variar desde um
campo agrcola, passando a instalaes industriais, estaes de distribuio de gua, at
refinarias e usinas de lcool. As estruturas chamadas silos armazenam gros, farinhas e
material slido a granel, e os reservatrios armazenam gua, lcool e lquidos em geral.
Figura 1 - Tanque de lcool de 10.000 m3
Figura 2 - Silo de acar. A figura 1 ilustra um tanque metlico de lcool, tpico de regies de cana-de-acar
e instalaes industriais de usinas; este, em particular, localizado em Assis/SP.
A figura 2 representa um silo metlico de acar, situado em Guara/SP.
A figura 3 mostra um reservatrio metlico de gua, de relao altura/dimetro
aproximadamente igual a 7, situado no Campus da Escola de Engenharia de So Carlos:
Figura 3 - Reservatrio de gua.
O objetivo desta dissertao o estudo do comportamento estrutural de silos e de
reservatrios quando submetidos s aes hidrosttica, do vento e de material granular ou
pulverulento, e da instabilidade do equilbrio da casca cilndrica quando submetida a
esforos de compresso ao longo da geratriz.
Com este objetivo, pretende-se fornecer ao projetista o conhecimento necessrio
identificao dos esforos solicitantes de membrana e de flexo, e das caractersticas do
fenmeno de instabilidade do equilbrio de cascas cilndricas, comumente chamado
flambagem. Esse conhecimento deve proporcionar condies para que sejam previstas as
situaes onde podem ocorrer a flambagem da estrutura.
Captulo 1 - Ambiente onde se desenvolve a Dissertao 2
Os esforos solicitantes devidos ao do vento so analisados para as estruturas de
silos e de reservatrios quando esto vazias, uma vez que, quando cheias, ou parcialmente
cheias, a quantidade de material contida nelas suficiente para conferir estrutura maior
estabilidade ao do vento. J os esforos de atrito na parede da estrutura, devidos ao
material ensilado, so analisados quando o material est em repouso ou durante o
esvaziamento do silo.
Uma fase qual a estrutura cilndrica fica bastante suscetvel ao do vento
quando da montagem do silo e ainda no est fixada a tampa (figuras 4 e 5).
A figura 4 ilustra o caso de estruturas cilndricas em fase de montagem. So dornas
de fermentao do caldo da cana-de-acar, com dimenses de 12 m de dimetro e 12 m de
altura (~1.350 m3):
Figura 4 - Estruturas cilndricas em fase de montagem.
A figura 5 de um silo metlico, sem tampa, com 27,5 m de altura e 18,5 m de
dimetro, situado na Austrlia [Ansourian (1992)], que sofreu afundamento do topo devido
ao do vento; a figura 6 mostra silos com amassamento do costado (Ansourian (1992)):
Figura 5 - Afundamento do topo de silo sob a ao do vento.
Figura 6 - Amassamento do costado do silo devido ao do vento.
A preocupao do estudo da perda de estabilidade do equilbrio de silos e de
reservatrios decorre da grande relao dimetro/espessura da estrutura.
Esta estrutura possui paredes delgadas porque a forma cilndrica de grande
eficincia para suportar as aes devidas ao material armazenado. Essas aes so
axissimtricas e, para este caso, as tenses circunferenciais de membrana so bem suportadas
pela parede de ao, diferentemente das tenses de membrana ao longo da geratriz que,
provocadas pelo atrito do material ensilado com a parede, so tenses de compresso (figura
8) e esto associadas possvel flambagem da parede.
Figura 7 - Aes axissimtricas: seo eficiente.
No entanto, as aes do vento no so axissimtricas e a pequena espessura da
parede da estrutura cilndrica possibilita o afundamento do topo e o amassamento do costado
dos silos e dos reservatrios quando se encontram vazios (vide figuras 5 e 6 ). Alm disso, a
Captulo 1 - Ambiente onde se desenvolve a Dissertao 3
ao do vento ao longo da geratriz da estrutura tambm provoca tenses de compresso de
membrana, concorrendo para o fenmeno de flambagem (figura 8).
Figura 8 - Tenses meridionais: podem provocar flambagem. A flambagem de uma casca cilndrica pode ser comparada, inicialmente,
flambagem de uma haste delgada; uma vez que as aes de compresso ao longo da geratriz
atinjam valores crticos de flambagem na estrutura cilndrica, podem ocorrer grandes
deformaes permanentes na casca. Neste estudo de silos e de reservatrios metlicos, em
que as paredes cilndricas podem ser muito esbeltas, grande a possibilidade de flambagem.
Alm disto, a estrutura, quando vazia, tambm est muito suscetvel flexo devida ao
do vento.
A pequena espessura das chapas da parede do silo tem uma importante conseqncia
(Bushnell (1984)), uma vez que a resistncia da casca cilndrica ao de compresso ao
longo da geratriz maior que a resistncia flexo (Figura 9). Por isso, uma casca delgada
pode suportar uma solicitao de compresso relativamente grande sem se deformar muito,
ou seja, a casca pode absorver uma grande quantidade de energia de deformao de
membrana compresso. Contudo, se houver uma maneira dessa energia de membrana ser
convertida em energia de flexo, a casca poder se deformar muito, podendo perder a
estabilidade do equilbrio, ou seja, flambar.
Figura 9 - A resistncia flexo menor que a resistncia compresso.
Captulo 1 - Ambiente onde se desenvolve a Dissertao 4
1.2 - Viso geral do corpo da Dissertao.
A dissertao compe-se de 6 captulos, que, longe de ser um tratado matemtico e,
portanto, no se prope a lanar modelos ou novos equacionamentos, visa fornecer
informaes que permitam ao engenheiro de estruturas a escolha de parmetros adequados
para se evitar o colapso por instabilidade do equilbrio.
No captulo 2, tratado o comportamento estrutural de silos e de reservatrios, a
conformao da estrutura e o comportamento de acordo com o tipo de material armazenado.
apresentado ainda o equacionamento dos regimes de membrana e de flexo e, por fim, a
maneira como so consideradas as aes devidas aos materiais armazenados e ao vento.
O captulo 3 est relacionado anlise do problema de estabilidade de cascas
cilndricas. Nele est caracterizado o fenmeno, sendo feitas as distines para 1) perda de
estabilidade devida compresso axial, 2) perda de estabilidade devida combinao de
compresso axial e presso interna uniforme (devida ao material granular ou pulverulento),
3) perda de estabilidade devida combinao de compresso axial e flexo (devida ao do
vento na estrutura vazia).
No captulo 4 feita a anlise numrica do comportamento estrutural de cascas
cilndricas, para dois modelos, com relaes altura/dimetro de 1:1 e 1:5, sujeitos a aes
hidrosttica, de material granular ou pulverulento, e do vento, combinadas de acordo com a
NBR8681(1984), considerando-se a possibilidade de a estrutura estar vazia e a variao das
espessuras das chapas metlicas ao longo da geratriz. Antes da anlise numrica em si,
mostrado o tipo elemento finito aplicado e, de modo sucinto, as hipteses bsicas adotadas
no programa ANSYS(1995).
O captulo 5 apresenta um exemplo de silo metlico cilndrico para milho, de 1.650
m3, onde se aplica a anlise numrica e os conceitos expostos nos captulos 3 e 4.
Finalmente, so expostas as concluses do autor e apontadas as pesquisas que podem
ser desenvolvidas na rea de silos e reservatrios metlicos. Tambm esto anexadas as
Referncias Bibliogrficas que despertaram o pensamento e impulsionaram o autor escrita
da dissertao, bem como algumas tabelas, grficos e textos que, no sendo indispensveis
dissertao, servem para que se possa reproduzir o exemplo do captulo 5 e se evitem
consultas desnecessrias s referncias bibliogrficas.
Captulo 1 - Ambiente onde se desenvolve a Dissertao 5
Captulo 1 - Ambiente onde se desenvolve a Dissertao. ____________________ 1 1.1 - Introduo _________________________________________________________1
1.2 - Viso geral do corpo da Dissertao. ____________________________________4
Captulo 2 - Comportamento Estrutural e Aes em Silos e em Reservatrios 7
Captulo 2 : Comportamento Estrutural e Aes em Silos e em Reservatrios.
2.1 - Introduo
Os silos e os reservatrios so sugeridos, intuitivamente, como estruturas
fechadas que servem para armazenar lquidos e materiais agrcolas ou industriais. Neste
estudo, o silo pode ser entendido como uma estrutura para armazenar gros (material
granular) ou farinhas (material pulverulento), e o reservatrio com a funo de armazenar
lquidos (gua, sucos, leos vegetais, etc.).
O tipo de silo e de reservatrio a ser estudado est caracterizado pela forma
cilndrica, apoiado na superfcie do terreno, com fundo plano, tampa plana ou cnica,
composto por chapas metlicas calandradas e por chapas planas soldadas entre si. A
forma e a nomenclatura bsica esto descritas na figura 10 :
Figura 10 - Partes da Estrutura: Tampa, corpo e fundo.
Captulo 2 - Comportamento Estrutural e Aes em Silos e em Reservatrios 8
a ) O corpo e o fundo so constitudos por chapas metlicas retangulares, calandradas ou
planas, soldadas entre si;
b ) A unio do corpo com o fundo feita atravs de solda ;
c ) Considera-se o corpo cilndrico apoiado em fundao rgida;
d ) A tampa tem tambm a funo de enrijecer a borda superior do corpo cilndrico.
A descrio do comportamento estrutural de silos e de reservatrios est
fundamentada nas teorias de membrana e flexional das cascas de revoluo, com o
objetivo de mostrar os deslocamentos e os esforos decorrentes de aes com simetria
radial, e cujas hipteses so :
1 - A estrutura composta por material homogneo, istropo e com relao linear de
tenso/deformao;
2 - A espessura e da parede pequena em relao s dimenses da estrutura;
3 - As retas normais superfcie mdia permanecem normais superfcie mdia aps a
deformao da estrutura;
4 - Os deslocamentos so pequenos em relao espessura e.
Estas hipteses so conhecidas como as de Kirchhoff-Love e implicam na
validade do princpio da superposio de efeitos, j que a teoria linear e de 1 ordem.
Captulo 2 - Comportamento Estrutural e Aes em Silos e em Reservatrios 9
2.2 - Esforos Solicitantes e Equaes de Equilbrio.
De maneira genrica, um elemento de casca de rea dS = r.d.dy est submetido a tenses normais e tangenciais definidas em direo e sentido na figura 11 :
Figura 11 - Esforos Solicitantes Generalizados
Essas tenses resultam em foras e momentos, chamados de esforos solicitantes
generalizados, que atuam por unidade de comprimento da face considerada do elemento.
O clculo desses esforos generalizados bastante complexo, pois conduz
resoluo de um sistema de equaes diferenciais. Contudo, pode-se simplificar o clculo
quando se admite uma distino dos esforos solicitantes em esforos solicitantes de
membrana e de flexo.
Inicialmente, sero apresentados nas figuras 12 e 13 esses esforos de membrana
e de flexo e, posteriormente, as condies que caracterizam os regimes de membrana e o
regime de flexo:
Cap
tulo
2 -
Com
porta
men
to E
stru
tura
l e A
es
em
Silo
s e
em R
eser
vat
rios
10
Figu
ra 1
2 - E
sfor
os d
e m
embr
ana
Figu
ra 1
3 - E
sfor
os d
e Fl
exo
Captulo 2 - Comportamento Estrutural e Aes em Silos e em Reservatrios 11
As relaes que regem os esforos solicitantes so definidas em funo da espessura
e das tenses e esto listadas nas equaes 1 a 10 :
N dye
e
=/
/
2
2
eq. 1
M yr
ydyz ze
e
= 12
2
/
/
eq. 2
N yr
dyz ze
e
= 12
2
/
/
eq. 3
M ydyz ze
e
=/
/
2
2
eq. 4
N dyz ze
e
=/
/
2
2
eq. 5
M y yr
dyz ze
e
= 12
2
/
/
eq. 6
N yr
dyz ze
e
= 12
2
/
/
eq. 7
Q dyye
e
=/
/
2
2
eq. 8
M ydye
e
=/
/
2
2
eq. 9
Q yr
dyz zye
e
= 12
2
/
/
eq. 10
A forma cilndrica dos corpos dos silos e dos reservatrios e a simetria axial das
aes permitem quatro simplificaes:
1. y 0 Q = 0 2. z 0 Nz Mz 0 3. z 0 Nz Mz 0 4. M 0
Captulo 2 - Comportamento Estrutural e Aes em Silos e em Reservatrios 12
Essas simplificaes diminuem o nmero de esforos solicitantes de dez para quatro
esforos solicitantes: N , Nz , Mz e Qz , ilustrados na figura 14:
Figura 14 - Esforos solicitantes finais
2.3 - As Equaes de Equilbrio
As equaes de equilbrio que resultam das simplificaes esto definidas nas
direes dos eixos y e z e em torno do eixo x :
a) Segundo a direo z:
+ + + =N rd p dzrd N
Nz
dz rdz z zz 0
N
zpz z+ = 0 eq. 11
Captulo 2 - Comportamento Estrutural e Aes em Silos e em Reservatrios 13
b) Segundo a direo y:
( )[ ] ( )N dz d N dN dz d p dzdS Q dQ rd Q rdy z z z 12 12 0+ + + + + = N r Q
zp rz y
+ + = 0 eq. 12
c) Em torno do eixo x :
+ + =M rd M
Mz
dz rd Q rd dzz z z z 0
Mz
Qz z = 0 eq. 13
2.4 - Teoria do Regime de Membrana
Esta teoria admite que o elemento possui pequena rigidez flexo e toro, ou
seja, os momentos fletores e os momentos de toro no so significativos em presena dos
esforos de compresso.
Desta forma, as cascas apresentam pequena rigidez flexo e toro, que
despertam um estado de tenses secundrias de pouca importncia.
As condies em que se pode aceitar o regime de membrana so [ Gravina (1957) ]:
1. A variao das curvaturas normais da superfcie mdia dever ser contnua;
2. A variao da espessura da casca dever ser contnua;
3. A distribuio das foras externas dever ser contnua;
4. As foras externas aplicadas s bordas livres devero atuar nos correspondentes planos
tangentes superfcie mdia;
5. As reaes dos vnculos devero estar contidas nos planos tangentes superfcie mdia.
Essas condies, quando no atendidas, podem provocar uma perturbao, em geral
local, e cuja anlise deve levar em considerao a rigidez flexo da casca.
O regime de membrana ocorre quando a casca est sujeita a esforos que atuam ao
longo da superfcie mdia, ou seja, apenas aos esforos N e Nz.
Das equaes de equilbrio, uma vez que a equao 11 independente das equaes
12 e 13, pode-se determinar N.
Captulo 2 - Comportamento Estrutural e Aes em Silos e em Reservatrios 14
Pela lei de Hooke, aplicada a , ou seja, com = E , e considerando que a distribuio de constante na espessura, isto , que N = .e , resulta:
=NeE
eq. 14
Sendo o deslocamento radial w funo de z :
( )w z r= eq. 15 Substituindo a equao 3.14 na equao 3.15 :
( )w z NeE
r= eq. 16
Ou, observando a equao de equilbrio em N :
( )w z p rEey
=2
eq. 17
2.5 - Teoria do Regime de Flexo
O regime de flexo ocorre quando h qualquer alterao nas condies do regime de
membrana. Essa alterao provoca uma perturbao, em geral local, e , para avali-la, deve-
se considerar a rigidez da casca.
Nessa avaliao, so combinadas as equaes de equilbrio e as relaes entre
esforos e deslocamentos:
NEer
w = eq. 18
M D d wdz
z = 2
2 eq. 19
Captulo 2 - Comportamento Estrutural e Aes em Silos e em Reservatrios 15
Q D d wdz
z = 3
3 eq. 20
M Mz = eq. 21
O resultado dessa combinao, considerando a parede de espessura constante, uma
equao diferencial em funo do deslocamento:
d wdz
wpDy
4
444+ = eq. 22
com ( )DEe=
3
212 1 ; ( ) 4 22 23 1 1 3= r e re, eq.23
A soluo geral da equao diferencial 22 composta pelas soluo particular wp e
homognea wh :
( ) ( ) ( )w z w z w zh p= + eq. 23
A soluo homognea est definida por:
( ) ( )( ) ( )( )w z z C z C z z C z C zh = + + +exp cos sen exp cos sen 1 2 3 4 eq. 24
E a soluo particular para presso hidrosttica:
( )w z p rEep y
=2
eq. 25
Desta maneira, os deslocamentos da parede do reservatrio podem ser calculadas
com:
( ) ( )( ) ( )( )w z p rEe
z C z C z z C z C zy= + + + +2
1 2 3 4exp cos sen exp cos sen eq. 26
As condies de vinculao do reservatrio so as que definem os valores das
constantes C1, C2, C3, C4.
Captulo 2 - Comportamento Estrutural e Aes em Silos e em Reservatrios 16
Vale ressaltar que, no presente estudo, esse clculo de w(y) simplificado porque os
reservatrios so relativamente longos H/D > 1 e suas paredes so muito delgadas (r/e >
200). Isto significa afirmar que as perturbaes do fundo do reservatrio no alcanam o
topo e C1 e C2 podem ser admitidas nulas. Analogamente, as perturbaes do topo no
alcanam o fundo do reservatrio.
Observe-se que, estando as funes trigonomtricas multiplicadas por termos
exponenciais, existe uma tendncia de reduo no valor do termo correspondente a exp(-z) medida em que o valor de z aumenta e, quanto maior o valor de , mais rpida essa reduo. Deste fato, uma caracterstica da casca cilndrica chamada de coeficiente de amortecimento.
Uma maneira prtica de verificar se os efeitos de uma borda no afetam a outra
borda do silo ou reservatrio verificar se o valor de H 5 [BILLINGTON(1965)]. As figuras 15 e 16 revelam, para diversas relaes raio/espessura, como varia o valor de H. Para a figura 15 foi considerado o reservatrio de ao, paredes delgadas, 265 < r/e < 1000, r
= 4,0 m, 4 < e < 15 mm, H = 4,0 m e H = 8,0 m, e para a figura 16 foi considerado o
reservatrio de concreto, 13 < r/e < 40, r= 4,0 m, 100 < e < 320 mm, H= 4,0 m e H = 8,0 m:
Fator .H versus relao raio/espessura
0102030405060
1000 800
667
571
500
444
400
364
333
308
286
267
raio/espessura
fato
r .H
H/D = 0,5
H/D = 1
Figura 15 - Fator .H para reservatrios de ao
Captulo 2 - Comportamento Estrutural e Aes em Silos e em Reservatrios 17
Fator .H versus espessura
0
5
10
15
20
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
320
espessura
fato
r .H
H/D = 0,5
H/D = 1
Figura 16 - Fator .H para reservatrios de concreto
Observando-se os grficos nas figuras 15 e 16, percebe-se que, para as relaes
altura/dimetro 0,5 e 1,0 , coerente serem considerados nulos os coeficientes C1 e C2,
principalmente nos reservatrios em ao. Para relaes H/D > 1,0 h uma distncia maior
para o amortecimento e, nas estruturas de silos em ao, os efeitos de uma borda no afetam a
outra borda (as paredes so muito delgadas).
2.6 - As aes
As aes consideradas so as do peso prprio da estrutura, do material armazenado,
e a do vento. No so consideradas aes provenientes da fermentao do material ensilado,
ou da liberao de gases ( caso dos reservatrios de petrleo ), bem como de equipamentos
especiais. Isto porque se admite que esses tipos de aes no provocam esforos
significativos na anlise da estabilidade da estrutura, exceto em condies em que o
equipamento aumente em muito o valor da tenso meridional de membrana.
As aes e as estruturas dos reservatrios sero analisadas de acordo com a
simbologia e os desenhos indicados na figura 17 - Nomenclatura dos Silos, que se baseia
na terminologia das NBR 11162(1990) e NBR 11165(1990), e na figura 18 - Esquema de
aes.
Captulo 2 - Comportamento Estrutural e Aes em Silos e em Reservatrios 18
Figura 17 - Nomenclatura dos Silos Figura 18 - Esquema de aes
2.6.1 - A Ao do Vento
A ao varivel do vento est calculada segundo a NBR6123 - Foras devidas ao
Vento em Edificaes ( 1987) e, como regra geral, assume-se que o vento pode atuar em
qualquer direo horizontal. Como a estrutura do reservatrio axissimtrica em relao a
um eixo perpendicular direo do vento, considera-se que o vento pode incidir
perpendicularmente a qualquer geratriz do reservatrio.
A componente esttica de presso do vento, P, que atua perpendicularmente sobre um elemento de rea, dada por:
P = Cpe.q.dA eq. 27
Sendo Cpe o coeficiente de presso externa.
Os coeficientes de presso externa Cpe so expressos para o corpo da estrutura,
figura 20 (coeficientes extrados da NBR6123(1987) ), e para a cobertura cnica, figura 22 (
BRIASSOULIS (1986) ), e a cobertura plana, figura 21 (Esslinger et al. (1971) ).
Captulo 2 - Comportamento Estrutural e Aes em Silos e em Reservatrios 19
E q a presso do vento em um ponto onde ocorre a estagnao do ar, obtida da
expresso q = 0,613.Vk2, Vk = S1.S2.S3.V0, Vk em m/s e q em N/m2.
A velocidade V0 chamada velocidade bsica, correspondente a uma rajada de 3
segundos, excedida em mdia uma vez em 50 anos, medida a 10 m acima do terreno, em
local plano e aberto; as isopletas de velocidades bsicas, em m/s, encontram-se na figura A
(anexo 1 deste trabalho) da NBR 6123 (1987). Para os exemplos, adotou-se V0 = 40 m/s.
O fator topogrfico S1 utilizado na avaliao das variaes do relevo do terreno, e
adotado igual a 1,0 para os modelos numricos e no exemplo do captulo 5.
O fator S2 serve para a considerao do efeito combinado da rugosidade do terreno,
da variao da velocidade do vento com a altura acima do terreno e das dimenses da
edificao( NBR6123 (1987) ).
O fator S2 calculado para uma altura z, medida acima da superfcie nivelada do terreno, com a expresso:
S2 = b.Fr.(z/10)p eq. 28
sendo b = parmetro meteorolgico, p = expoente de variao de z/10, Fr = fator de
rajada do vento.
E o fator estatstico S3, que avalia o grau de segurana e a vida til da estrutura,
consideradas as instalaes de silos e de reservatrios com baixo fator de ocupao humana,
foi tomado igual a 0,95.
Figura 19 - Presso ao longo da altura do silo.
Figura 20 - Configurao dos coeficientes Cpe no permetro do
silo.
Figura 21 - Distribuio dos Cpe
em Cobertura Plana
Captulo 2 - Comportamento Estrutural e Aes em Silos e em Reservatrios 20
Figura 22 - Distribuio dos Cpe em cobertura cnica.
TABELA 1 - Valores dos Cpe no permetro do Silo.
b H/D 2,5 A/D = 10 0 +1,0 +1,0
10 +0,9 +0,9
20 +0,7 +0,7
30 +0,35 +0,35
40 0 0
50 -0,5 -0,7
60 -1,05 -1,2
70 -1,25 -1,4
80 -1,3 -1,45
90 -1,2 -1,4
100 -0,85 -1,1
120 -0,4 -0,6
140 -0,25 -0,35
160 -0,25 -0,35
180 -0,25 -0,35
Captulo 2 - Comportamento Estrutural e Aes em Silos e em Reservatrios 21
2.6.2 - As Aes devidas ao Material Slido
As aes devidas aos materiais granulares ou pulverulentos sero avaliadas de
acordo com a norma alem de aes em silos DIN1055-6 (1986). O seu campo de aplicao,
de modo geral, est definido para silos com clulas verticais, prismticas ou cilndricas, com
relao altura/dimetro pelo menos igual a 0,8, com tremonha ou fundo plano, material
granular ou pulverulento, sem coeso.
A altura mxima do silo, que pode ser analisada pela norma, limitada pela relao
entre a presso vertical total do material ensilado resultante no fundo do silo, qf , e o peso
especfico do material ensilado :
qf / 25 m eq. 29
O tipo de silo a ser analisado do tipo cilndrico, de superfcie, vertical e de fundo
plano, que geralmente provoca um tipo de escoamento (do material ensilado ) chamado fluxo
de funil, onde parte do material permanece em repouso:
Figura 23 - Fluxo de funil
A Figura 23 ilustra um fluxo de funil com conduto estvel. Do contrrio, quando
ocorre um fluxo de sada mais um fluxo de entrada, pode haver formao de um conduto
instvel e, conseqentemente, sobrepresses dinmicas elevadas.
Captulo 2 - Comportamento Estrutural e Aes em Silos e em Reservatrios 22
Na formulao para o clculo das presses, da fora de atrito na parede e na
descrio dos parmetros relacionados ao material ensilado, a nomenclatura bsica :
: peso especfico do material ensilado : ngulo de atrito entre as partculas do material ensilado ( ngulo de atrito interno) : ngulo de atrito entre o material ensilado e as paredes da clula =tg : coeficiente de atrito entre as partculas do material ensilado (coef. de atrito interno) =tg: coeficiente de atrito entre o material ensilado e as paredes da clula q : presso vertical atuando na direo do eixo do silo
p : presso horizontal atuando na parede do silo
v : fora de atrito na parede por unidade de rea
S : rea da seo transversal da massa ensilada
U : permetro da seo S
R=S/U : raio hidrulico da clula
D : dimetro da seo transversal
H : altura total da clula
e : espessura da parede
Kd : fator dinmico considerado quando da descarga do silo
= p/q : razo entre as presses horizontal e vertical
Figura 24 - Aes do material no silo
Captulo 2 - Comportamento Estrutural e Aes em Silos e em Reservatrios 23
Inicialmente so expostas as expresses da norma alem DIN1055-6 (1986) para o
clculo das presses estticas, lateral e vertical, e da fora de atrito na parede por unidade de
rea e, posteriormente, os efeitos das sobrepresses na descarga dos silos.
Quando do enchimento, at a situao de repouso do material ensilado, as presses
lateral e vertical e a fora de atrito por unidade de rea podem ser calculadas com:
atrito ( )V SU
zc = . eq. 30
lateral ( )p SU
zC =
. eq. 31
vertical ( )q SU
zc =
.
. . eq. 32
Onde a funo (z) dada por:
( ) ( ) z e z z= 1 0/ eq. 33 z
SU0
= . . eq. 34
Da superfcie superior do material armazenado at uma profundidade z, a resultante
do atrito, em unidade de fora por unidade de comprimento, dada por:
( )[ ]V SU z z zcs = . .0 eq. 35 A presso qf que atua no fundo plano do silo considerada constante sobre toda a
seo transversal e, para silos com H/D 1,5 :
q C q Hf f c= . eq. 36
com Cf = 1,5 ( gros em geral)
Cf = 1,8 ( material pulverulento)
Captulo 2 - Comportamento Estrutural e Aes em Silos e em Reservatrios 24
Quando do esvaziamento do silo as aes atuam dinamicamente, mas para a
considerao esttica dos efeitos essas aes so multiplicadas por fatores de equivalncia do
efeito dinmico para a ao esttica. Para um esvaziamento uniforme, valem as relaes:
Vd = 1,1.vc eq. 37
pd = eh.pc eq. 38
qc = 1,25.qd eq. 39
O fator 1,1 tambm vlido para o somatrio da presso de atrito ao longo da altura
(vcs). O fator eh encontra-se no apndice, em tabela extrada da DIN1055-6 (1986).
No caso de um esvaziamento no uniforme, considerando que o topo e o fundo
tenham enrijecedores de borda, os valores da presso horizontal pc so majorados por um
fator Cm:
Cm : fator de sobrepresso, que, para silos circulares com D/e 200 (e: espessura da parede do silo):
Cm = 1,0 + 3C(H/D)
O fator C = Ch.Ce.Cr.Cg
Ch : fator de altura - 1,0 Ch = (0,13.H/D+0,87) 1,4 Ce : fator de excentricidade - 1,0 Ce = 0,5(1+3e/r) 2,0 e : excentricidade do ponto de descarga em relao ao eixo vertical do silo
cilndrico
Cr : fator de rigidez - Cr = 0,05 para D/t 200 Cg : fator que depende do material ensilado (vem tabelado na DIN 1055)
A presso lateral total no esvaziamento do silo dada por:
pesv = Cm.(presso esttica de Janssen) eq. 40
Para as consideraes do acrscimo das aes devido aos impactos do material,
impactos oriundo da formao e desmoronamento de cpulas, h uma majorao da presso
horizontal pc, ao longo de toda a altura, por um fator Cs:
Captulo 2 - Comportamento Estrutural e Aes em Silos e em Reservatrios 25
Cks
= +1 0 50, eq. 41
k : distncia entre o eixo vertical da abertura de sada e a parede do silo (mnimo k = 0,50
m).
2.6.3 - A Ao Hidrosttica.
A ao hidrosttica provoca efeitos que atuam nas direes radial e vertical e
resultam em presso lateral no costado e presso no fundo do reservatrio:
lateral p = .z eq. 42
fundo qf = .H eq. 43
Captulo 2 - Comportamento Estrutural e Aes em Silos e em Reservatrios 26
Captulo 2 : Comportamento Estrutural e Aes em Silos e em Reservatrios.___ 7 2.1 - Introduo _________________________________________________________7
2.2 - Esforos Solicitantes e Equaes de Equilbrio. ___________________________9
2.3 - As Equaes de Equilbrio ___________________________________________12
2.4 - Teoria do Regime de Membrana ______________________________________13
2.5 - Teoria do Regime de Flexo __________________________________________14
2.6 - As aes___________________________________________________________17 2.6.1 - A Ao do Vento _______________________________________________________18 2.6.2 - As Aes devidas ao Material Slido ________________________________________21 2.6.3 - A Ao Hidrosttica._____________________________________________________25
Captulo 3 - Anlise do problema de estabilidade em cascas cilndricas 26
Captulo 3 - Anlise do problema de estabilidade em cascas cilndricas.
3.1 - Introduo
Figura 25- Configurao de flambagem elstica de cilindro comprimido
A forma cilndrica para as estruturas de silos e de reservatrios uma das mais
eficientes para o armazenamento de grandes volumes de material lquido ou granular. Devido a
essa grande eficincia, as chapas metlicas que formam o costado da estrutura so muito finas
em relao ao dimetro (estrutura de paredes delgadas), e a questo que surge ento at que
ponto o equilbrio dessa estrutura estvel.
A relao da espessura para o raio do cilindro , portanto, um parmetro significativo no
estudo dessa estabilidade. Considera-se tambm a relao altura para o dimetro, bem como a
maneira como so aplicados os sistemas de foras que atuam nessas estruturas.
Vale esclarecer que o sistema est em equilbrio estvel se, depois de impostas
perturbaes tais como pequenas mudanas de posio, a configurao resultante encontra-se
prxima da configurao inicial.
Existem maneiras diferentes de uma casca cilndrica perder a estabilidade do equilbrio,
dependentes de vrios fatores. Os cilindros longos (relao altura/dimetro > 3) perdem a
Captulo 3 - Anlise do problema de estabilidade em cascas cilndricas 27
estabilidade do equilbrio, ou flambam, em um modo peridico de deformao na
circunferncia, chamado modo assimtrico, como ilustra a figura 26, quando a ao dominante
uma presso externa provocada, por exemplo, pela ao do vento:
Figura 26 - Modo geral de flambagem peridica na circunferncia de um cilindro longo
Se a presso externa no for dominante e houver, suponha-se, uma compresso axial,
este modo de flambagem pode adquirir formas diferentes daquela ilustrada na figura 26. Esta
suposio, entretanto, no far parte da anlise que ser efetuada neste trabalho, porque somente
cabe ser analisado, para uma presso externa dominante (a ao do vento), o caso do silo ou do
reservatrio quando estiver vazio.
Quando o silo estiver cheio, o modo de flambagem que pode ocorrer o modo
axissimtrico de flambagem local, ilustrado pela figura 27, e provocado pela ao resultante do
atrito entre o material ensilado e o costado do silo:
Figura 27 - Modo axissimtrico de flambagem local.
Captulo 3 - Anlise do problema de estabilidade em cascas cilndricas 28
A maneira como a estrutura montada pode contribuir para a flambagem no modo
axissimtrico. Em geral, as estruturas so montadas com chapas calandradas dispostas de modo
a formarem um anel e cada anel soldado em cima de outro anel, na direo da geratriz, de
modo que um silo fica composto de vrios anis. As tenses residuais, oriundas dos processos
de soldagem e de conformao (calandragem) das chapas metlicas utilizadas nos silos, contm
componentes axissimtricos que podem ocasionar uma flambagem que se manifesta a um valor
abaixo do valor da tenso crtica de flambagem prevista. A figura 28 ilustra como as chapas so
dispostas e as regies onde ocorrem as tenses residuais.
Figura 28 - Disposio das chapas calandradas e regies de tenses residuais.
Neste captulo, tratar-se- primeiro da caracterizao do fenmeno de flambagem, com
uma classificao dos tipos de flambagem e, em seguida, dos modos axissimtrico e assimtrico
de flambagem. Por ltimo, sero mostrados e analisados os casos previstos na norma do ECCS
(1988) para a perda de estabilidade do equilbrio em 1) compresso axial, 2) compresso axial
combinada presso interna, 3) compresso axial combinada com flexo.
importante notar que a teoria a ser exposta refere-se perturbao de posio e no
perturbao de velocidade de deformao da estrutura, o que caracteriza um estudo puramente
esttico e pode ser justificado pela teoria dos sistemas conservativos.
Para efeito prtico, o que interessa determinar o modo como a estrutura ir flambar e a
tenso crtica que define o esgotamento da capacidade portante da estrutura.
Captulo 3 - Anlise do problema de estabilidade em cascas cilndricas 29
3.2 - Caracterizao do fenmeno.
Adota-se de incio a definio do conceito de flambagem como o fenmeno que ocorre
quando a ao atuante na estrutura alcana um valor mximo, o que significa que isto deve
resultar em uma no-linearidade na relao entre a solicitao aplicada e os deslocamentos
correspondentes.
Pode-se atribuir essa no-linearidade a duas causas distintas. Na primeira, o material
que compe a estrutura pode deixar de apresentar um comportamento linear entre as tenses e as
deformaes, e a causa geralmente conhecida como no-linearidade material. Na segunda
causa, o que ocorre so as mudanas na geometria da estrutura provocarem a no-linearidade, e
esse tipo conhecido como no-linearidade geomtrica.
Neste caso de estudo de silos metlicos de paredes delgadas, o que ocorre a
flambagem com o ao ainda no regime elstico, justamente devido pequena espessura da
parede em relao ao raio da estrutura cilndrica. Vale esclarecer que, at ocorrer a flambagem,
a estrutura admitida no regime linear geomtrico, ou seja, pequenos deslocamentos e pequenas
deformaes. Na realidade, no interessa engenharia civil que a estrutura de um silo trabalhe
em regime de no-linearidade geomtrica, sendo bastante uma previso de incio de flambagem
com um valor limite, chamado valor crtico de tenso.
Seja um cilindro submetido a compresso axial. O que ocorre primeiro uma
deformao axial puramente de membrana, com deslocamento axial w2 , com a parede do
cilindro permanecendo reta. A um certo nvel de solicitao este caminho fundamental alcana
um estado crtico de estabilidade. Acima deste nvel de solicitao, o estado de equilbrio no
mais estvel, podendo ocorrer, devido a uma pequena perturbao no deslocamento, um sbito
movimento lateral (direo radial).
Qualquer estado de estabilidade que ocorra acima da solicitao crtica, ocorrer em um
caminho secundrio (ou de ps-flambagem), que intercepta o caminho primrio no estado
crtico, formado essencialmente de uma deformao lateral v2 . Este tipo de comportamento
conhecido como bifurcao.
Captulo 3 - Anlise do problema de estabilidade em cascas cilndricas 30
Figura 29 - Caminhos fundamental e secundrio de flambagem
Uma classificao prtica desse comportamento de bifurcao est ligada forma que
esse caminho secundrio pode tomar. Para as estruturas cilndricas, dentro de modo simples de
bifurcao, a forma inicial de deslocamento do caminho secundrio pode ser caracterizada em
termos de um grau de liberdade, e a flambagem pode ser, como j definido, ou axissimtrica ou
assimtrica.
No prximo tpico ser desenvolvida a teoria para o clculo da tenso crtica de
flambagem, em funo dos modos predominantes de solicitao: ou axial, ou devido presso
externa exercida pelo vento.
Captulo 3 - Anlise do problema de estabilidade em cascas cilndricas 31
3.3 - Clculo da Tenso Crtica de Flambagem.
A teoria da elasticidade prev, para uma casca cilndrica perfeita, istropa,
uniformemente comprimida na direo axial (da geratriz), em um estado puro de tenso de
membrana, cujas bordas so indeslocveis nas direes radial e circunferencial, o incio de
flambagem simtrica com respeito ao eixo do cilindro [Timoshenko &Gere (1961)] a uma
tenso crtica :
( ) crEer
Eer
=
13 1
0 6052
. , eq. 44
assumindo o coeficiente de Poisson igual a 0,3.
A determinao desse valor crtico d-se com a utilizao do mtodo da energia.
Enquanto a geratriz da casca cilndrica mantm-se reta, o total da energia de deformao
obtido com a energia de deformao devida compresso na direo axial. Quando ocorre a
flambagem, devem ser consideradas para a energia total de deformao as parcelas de energia
na direo tangencial (na circunferncia da casca cilndrica, e com respeito superfcie mdia) e
da energia devida flexo da casca, que so adicionadas energia de deformao devida
compresso axial de membrana.
Seja admitida uma combinao arbitrria de presso lateral externa p e de solicitao
axial N, que provoque na casca cilndrica um estado fundamental de esforos solicitantes
uniformes de membrana:
N ezf z z= eq. 45 N ef z = eq. 46
onde as constantes z , so definidas para o caso de solicitao axial dominante, quando z =1 :
=NN
f
zf eq. 47
e, para o caso de presso externa dominante, quando =1:
Captulo 3 - Anlise do problema de estabilidade em cascas cilndricas 32
zzf
f
NN
= eq. 48
Para esses casos, chamados de estados fundamentais ( N zf , N f ), esto associadas as
deformaes uniformes fundamentais:
( ) zf zf fEe N N= 1 eq. 49 ( ) f f zfEe N N= 1 eq. 50
Com respeito a um estado indeformado e sem solicitaes externas ( p = 0 , N = 0 ) a
mudana na energia potencial total (Ept) para a casca da figura 28, sob a ao de p e N
arbitrrios e em estado deformado, (CROLL 1983):
( )E N N N rdzdpt z z z zH= + + +12 2002
( )12
200
2
M M M rdzdz z z zH
+ + + NW pvrdzdH
H
000
2
eq. 51
Figura 30 - Estado Fundamental de Deformao
Captulo 3 - Anlise do problema de estabilidade em cascas cilndricas 33
Na equao 53 as resultantes por unidade de comprimento ( N,. M) e suas respectivas
deformaes (, ) e deslocamentos (U, V, W) so medidos em relao estrutura indeformada. A Ept pode ser reescrita como:
[E N n N npt zf z zf z f fH= + + + + + +12 002
)( ) ( )( )
( )( )]2 N n rdzdf z z f z + + + [12 00
2
M m M mzf z zf z f fH
+ + + + + + )( ) ( )( )
( )( )]2 M m rdzdz f z z f z + + + ( ) ( ) + +N W u p v v rdzdf H fH0
00
2
eq. 52
A equao 52, quando expandida, pode ser dividida em parcelas tais que:
E E E Ept pt pt pt= + + +0 1 2 ... eq. 53
onde os termos que envolvem potncias constantes, lineares, quadrticos, cbicos, etc.,
relacionados aos deslocamentos incrementais (u, v, w), quando ocorre o estado fundamental de
membrana tal que obedea s eq. 44 e 45, so dados por:
( )E N N rdzd NW pv rdzdpt zf f z f f H f0 12 0= + eq. 54( ) ( )[ ]E N n N rdzd PW pvrdzdpt zf z z zf f f H1 12 0= + + eq. 55[ ]E n n n rdzdpt z z z z2 12 2= + + + [ ]12 2 + + + m m m rdzdz z z z ( ) ( )[ ]12 + + + N n N n rdzdzf z z zf f f eq. 56
Captulo 3 - Anlise do problema de estabilidade em cascas cilndricas 34
Os termos E pt0 , E pt1 , E pt2 desenvolvidos nas equaes 54, 55, 56 tm os
incrementos lineares dos esforos resultantes (n, m ), que esto associados s deformaes
lineares (, ) definidas como:
= zwz
eq. 57 = zv
z
2
2 eq. 60
= 1r
u vr
eq. 58 = 12
2
2rv
eq. 61
= +
z
wr
uz
12
eq. 59 = z rvz
1 2 eq. 62
e os esforos de membrana n so aqueles associados s deformaes , dadas por:
=
zvz
12
2
eq. 63
=
12 2
2
rv
eq. 64
As resultantes lineares dos esforos solicitantes esto relacionadas s deformaes
lineares com as expresses:
( ) = + n Kz z eq. 65 ( ) = + m Dz z eq. 68 ( ) = + n K z eq. 66 ( ) = + m D z eq. 69 ( ) = n Kz z 1 eq. 67 ( ) = m Dz z 1 eq. 70
onde ( )KE= 3 1 2 e ( )D
Ee= 3
212 1 . As equaes relacionadas nz e n:
( ) = + n Kz z eq. 71
Captulo 3 - Anlise do problema de estabilidade em cascas cilndricas 35
( ) = + n K z eq. 72
onde nz e n so as componentes quadrticas dos esforos solicitantes no-lineares de
membrana.
No desenvolvimento da equao 51 o termo E pt0 (eq. 54), que constante em relao
aos incrementos de deslocamentos mas varivel a cada incremento de solicitaes, representa a
magnitude de Ept para o caminho fundamental 1 (figura 31):
Figura 31 - Caminho fundamental 1 Figura 32 - Caminho secundrio 2
O termo linear E pt1 , tomado em considerao ao estado de equilbrio em 1, deve ser nulo, ou muito prximo de zero, quando os efeitos de flexo so negligenciados nas bordas da casca. Para
pequenas perturbaes em relao configurao fundamental a forma quadrtica E pt2 que provm
as primeiras contribuies significativas. Se o estado de equilbrio estvel, ento E pt2 > 0; se
o estado de equilbrio instvel, haver pelo menos um modo de deformao em que E pt2 = 0.
A situao que corresponde estabilidade crtica definida para E pt2 = 0; os modos (uc, vc, wc )
correspondentes so definidos como os modos crticos e a tenso c chamada tenso crtica. Portanto, o estudo da estabilidade do equilbrio no caminho fundamental 1 est todo de acordo com a natureza da forma quadrtica E pt2 . A expresso E pt2 , dada pela
equao 58, formada por parcelas distintas, de modo que as energias de deformao linear de
Captulo 3 - Anlise do problema de estabilidade em cascas cilndricas 36
membrana, EN , e de flexo, E p , podem ser decompostas em contribuies axial, tangencial,
cisalhante (direo v):
E n rdzdNz
z z= 12 eq. 73 E m rdzdpz z z= 12 eq. 76 E n rdzdN
= 12 eq. 74 E m rdzdpz = 12 eq. 77 E n rdzdN
zz z
= 12 eq. 75 E m rdzdpz z z= 12 2 eq. 78
As equaes 73 a 78 so os termos lineares da energia de deformao, de forma a distinguir dos termos no-lineares da energia de deformao de membrana (GN):
G N rdzdNz
zf z= 12 eq. 79 G N rdzdN f = 12 eq. 81 G n rdzdN
zz zf= 12 eq. 80 G n rdzdN f = 12 eq. 82
As equaes 81 a 84 advm da interao entre os esforos solicitantes e as deformaes
fundamentais ( N f , f N f , zf , f , respectivamente) e as componentes dos incrementos dos esforos, das foras e deformaes. As razes pelas quais h a separao nos termos U
N
z , UN
z ,
U z , Uz sero dadas no tpico que trata de flambagem assimtrica para a solicitao axial
dominante.
Todo esse desenvolvimento deve conduzir determinao da tenso crtica de
flambagem em uma anlise de bifurcao. Seja uma casca cilndrica com os modos de
incremento para os deslocamentos dados por:
( )u u i jH
zij= sen sen
eq. 83
( )v v i jH
zij= cos sen
eq. 84
( )w w i jH
zij= cos cos
eq. 85
Captulo 3 - Anlise do problema de estabilidade em cascas cilndricas 37
Essas equaes 85 a 87 satisfazem clssica condio de vinculao das bordas da
casca, ou seja, para nz = u = v = mz = 0 ( as bordas esto com os deslocamentos impedidos). Para
que o caminho 2 intercepte 1 ( figura 30), ou utilizando uma descrio de certo modo enganosa, para que o caminho 2 bifurque do caminho 1, necessrio que exista um estado de equilbrio adjacente. Isto ocorre quando E pt2 estacionria com respeito a cada um dos
deslocamentos generalizados (uij, vij, wij).
Fazendo E pt2 estacionrio com respeito a (uij, vij) conduz a duas condies que podem
ser expressas por (CROLL 1983):
( )( )( )u
i i
ivij ij=
+ ++
2 2
2 2
2 eq. 86
( )( )wi
ivij ij=
++
2 2
2 2 eq. 87
Estas expresses 88 e 89 relacionam os deslocamentos axial (wij) e tangencial (uij) ao
deslocamento radial (vij). Por conseguinte, as contribuies lineares da energia de deformao
( EN , E p ) podem ser definidas como:
( ) ( )( )E
KL i i
ivN
zij=
+
4
1 2 2 4 2 2
2 2 42 eq. 88
( ) ( )( )E
KL i
ivN ij
= +
4
1 2 6 2 2
2 2 42 eq. 89
( )( )( )E
KL i
ivN
zij
= ++
4
2 1 12 2 6
2 2 42 eq. 90
( )E KL i vpz ij= +
41 2 2 2 2 eq. 91
( )E KL i i vp ij = +4
1 2 2 2 2 eq. 92
( )E KL i vpz ij =
4
21 2 2 2 eq. 93
e os termos no-lineares da energia de deformao de membrana so:
Captulo 3 - Anlise do problema de estabilidade em cascas cilndricas 38
GKL N
KvN
z zfij
=
8
2 2 eq. 94
( )[ ]G KL i vNz zf ij= + 8 2 2 2 eq. 95G
KL NK
i vNf
ij
=
8
2 2 eq. 96
( )[ ]G KL i vN f ij = +8 2 2 2 eq. 97
onde Rre
= , L Hr
= , = jL
, = 12 2R .
Ento, as energias totais de membrana ( EN ) e de flexo ( E p ) so dadas por:
( )( )E E E E
KLi
vN Nz
N Nz
ij= + + =+
4
1 2 4
2 22 eq. 98
( )E E E E
KL ivp p
zp p
zij= + + =
+
4
2 2 2
2 eq. 99
e a energia no-linear total de membrana :
[ ]G G G G G KL N N i vN Nz Nz N N zf f ij= + + + = + 4 2 2 2 eq. 100
Estas equaes 98, 99 e 100, permitem verificar quando E pt2 estacionria, ou seja:
( ) ( )( ) ( )
GvKL i
i KN N i vN
ijzf f ij=
+ + +
+ +
=2
1 10
2 2 2 4
2 2 22 2 eq. 101
que, para solues diferentes da trivial ( vij 0 ), resulta em:
Captulo 3 - Anlise do problema de estabilidade em cascas cilndricas 39
( ) ( )( )
( )( )
c
zE
i
i=
+ + +
+
2 2 2 2 4
2 2
2 2 2
1
1
1
eq. 102
3.4 - Caso Axissimtrico de Flambagem.
Este caso ocorre para a solicitao axial predominante, quando a equao 102 coincide
com a clssica frmula para o clculo da tenso de flambagem dada em Timoshenko&Gere
(1961), desde que seja assumido i = 0 (indica ausncia de ondas na direo circunferencial) e
substituindo os parmetros z = 1 (fator que, quando unitrio, indica solicitao axial predominante), = 0 (fator que, quando unitrio, indica solicitao de presso externa
predominante), = =jL
j rH
, = 122
2re
:
crcrNre
DjeH
Er D
Hj
= = +2
2 2
2 2
2
2 2 eq. 103
Considerando-se cr uma funo contnua de jH
, a equao 103 atinge um valor de
mnimo quando:
crjH
De
jH r
ED j
H
jH
Eer D
=
= =0 2 2 1 02 3 3
3
24 eq. 104
Substituindo-se o valor de ( )jH
Eer D re
= =
2
221 12 1 na equao 103 e
sendo admitido o valor de = 0,3, obtm-se:
Captulo 3 - Anlise do problema de estabilidade em cascas cilndricas 40
( )( ) ( )
cr DjeH
Er D
Hj
De re
E
rEe
re= + = +
2 2
2 2
2
2 22
23
2
2
1 112 1
12 112 1
( ) ( ) crEer
Eer
Eer
=
=
2 112 1
1
3 10 605
2 2. ,
Sendo este valor de cr o mesmo obtido com a equao 44 (caso de solicitao axial de compresso, flambagem axissimtrica).
Analisando-se essa equao 46 para uma casca cilndrica metlica, E = 205.000 Mpa e
supondo 250
Captulo 3 - Anlise do problema de estabilidade em cascas cilndricas 41
3.5 - Caso Assimtrico de Flambagem.
Este caso pode ocorrer quando uma presso externa p for dominante ( = 1), ou seja, quando essa ao provoca os efeitos dominantes que levam flambagem da casca, caso
especfico do silo vazio e sob a ao do vento. Nesta situao, os esforos solicitantes
fundamentais so:
N e prf z = = eq. 105 N N e przf z
Fz z x= = = eq. 106
A equao 104 passa a ser expressa como:
( ) ( )( )
( )( )
c
zE
i
i=
+ + +
+
2 2 2 2 4
2 2
2 2 2
1
1
1 eq. 107
Para uma casca tpica com L = H/r = 2, R = r/e = 400, e = 0,3 , com uma flambagem caracterizada geometricamente por uma semi-onda na direo axial, ou seja, j = 1, pode-se
relacionar o espectro de tenso crtica .
Para uma variao do nmero de ondas na direo circunferencial, i, a tenso crtica
mnima corresponde ao modo iCM = 8,5 (CM = crtico mnimo). A localizao do nmero iCM
geralmente efetuada com um procedimento numrico ou grfico, como ocorre nas normas
inglesas e europias (CROLL 1983).
Entretanto, para muitas cascas calcula-se que o comprimento da semi-onda na
circunferncia, lr
iCM
= , que caracteriza o modo mnimo, bem menor que o comprimento da
semi-onda na direo da geratriz, lz . Isto significa que i l
lCM z
= < 1, ou, mais ainda, que
i
Captulo 3 - Anlise do problema de estabilidade em cascas cilndricas 42
( )( )
c
E
i ii
i=
+
4 2 4
4
2 21 eq. 108
que apresenta um mnimo para:
( )[ ]iCM = 3 14 2 1 8 / eq. 109
Pode-se utilizar esse valor de mnimo para iCM na equao 109, para se obter uma
resposta aproximada da mnima tenso crtica.
3.6 - A perda de estabilidade devida compresso axial.
Este caso reflete uma grande discrepncia entre os valores da fora crtica para as
estruturas reais e os valores tericos obtidos com a teoria da estabilidade elstica. As razes so
comumente atribudas s imperfeies na parede da estrutura cilndrica e s condies de
vinculao das bordas. Em suma, assume-se a anlise para uma estrutura perfeitamente
cilndrica, sem defeitos, idealizada para um estado puro de tenso de membrana.
A teoria da estabilidade elstica prev, para uma casca cilndrica perfeita,
uniformemente comprimida na direo axial, em um estado puro de tenso de membrana, cujas
bordas so indeslocveis nas direes radial e circunferencial, o incio de flambagem simtrica
com respeito ao eixo do cilindro [Timoshenko &Gere (1961)] a uma tenso de:
( ) crEer
Eer
=
13 1
0 6052
. , eq. 110
assumindo o coeficiente de Poisson igual a 0,3.
A tenso crtica de flambagem, cr, uma expresso clssica da teoria da elasticidade considerada funo contnua de m/H, com m representado o nmero de ondas da configurao de flambagem elstica da casca cilndrica de altura H.
Na realidade, verificou-se experimentalmente [Brush & Almroth (1975)] que, para um
conjunto de cilindros axialmente comprimidos com relaes raio/espessura entre 100 e 500, a
Captulo 3 - Anlise do problema de estabilidade em cascas cilndricas 43
tenso crtica de flambagem ficou com valores de 30 a 40% do valor da expresso clssica de
tenso crtica (equao 46).
Salienta-se que nesse tipo de anlise o cilindro comprimido axialmente quando est
vazio, ou seja, sem presso interna e sem presso externa.
Para a anlise da ao do vento nos silos e reservatrios vazios, devido grande
sensibilidade da fora crtica s imperfeies, ser utilizada a expresso da tenso crtica de
flambagem, u, das recomendaes europias para construo metlica do ECCS (1988) para a flambagem de cascas de ao, descritas nas equaes 47 a 60:
f u cr, , . .= 0 75 se . cr yf 12 eq. 111
f u yy
cr
ff
,
,
,=
1 0 4123
0 6
se . cr yf 12 eq. 112
fy : tenso de escoamento do ao. : fator de reduo.
= 0 0 0 831 0 01
212=+
,, , .
............ .......r
epara r e eq. 114
Deve-se considerar o caso em que as imperfeies u sejam menores que 0,01. r , r =
4. r e. , ao longo da altura, e r = (25.e) na circunferncia, caso em que valem as equaes 47 e
48. O valor de r no deve exceder 95% da distncia entre os cordes de solda (cordes
meridionais - ao longo da altura - ou os cordes circunferenciais. Se url for igual a 0,02 , os
valores de so reduzidos metade. Se url estiver entre 0,01 e 0,02, pode-se fazer uma
interpolao linear entre os valores de e de 2 . O comprimento r est relacionado ao tamanho potencial das ondas de flambagem. ( figura 54 - adaptada do ECCS (1988) ).
Captulo 3 - Anlise do problema de estabilidade em cascas cilndricas 44
Figura 33 - Medidas de imperfeies.
3.7 - A perda de estabilidade devida compresso axial combinada com presso interna.
Este caso pode ser aplicado condio do silo estar preenchido. A presso interna
devida ao material levada em considerao, sendo conseqncia direta o aumento da
resistncia da estrutura flambagem por compresso axial.
Ser utilizada a expresso das recomendaes europias com relao flambagem das
cascas de ao [ECCS (1988)], para uma combinao de compresso axial e presso interna.
Desta forma, a resistncia a ser verificada para a estrutura (frmula j adaptada s coordenadas
adotadas, ou seja, z na direo da altura do silo, x tangencial, e y radial ):
ef d zd xd xd zd ef u, ,= + 2 2 eq. 115
Com ef,u definida por:
ef u zu xu zu xu, = + +2 2 eq. 116
Que calculado com:
ef u
y pf, ,= 0 752 se p 2 eq. 117
Captulo 3 - Anlise do problema de estabilidade em cascas cilndricas 45
ef uy
pf, ,, .= 1 0 4123 1 2 se p 2 eq. 118
py
p cr
f= ..
eq. 119
( ) p = + +0 01 0 007, eq. 120
= p r rEe ec
eq. 121
: a razo entre a tenso meridional de membrana zu e a tenso efetiva ef,u at o incio da flambagem:
=zd
ef d,
eq. 122
Para este clculo segundo o ECCS a tenso compressiva de membrana zu
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