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limites, continuidade, Teorema de Bolzano
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Exercícios de exames e provas oficiais
1. Considere as funções f e g, de domínio ,0 , definidas por
ln
1x
f x xx
e g x x f x
Recorrendo a processos exclusivamente analíticos, mostre que a condição f x e tem,
pelo menos, uma solução em , 1e
Exame 635, 2ª fase, 2014
2. Considere, para um certo número real k, a função f, de domínio , definida por
xf x ke x . O teorema de Bolzano garante que a função f tem, pelo menos, um zero no
intervalo 0,1 .
A qual dos intervalos seguintes pode pertencer k?
(A) 1
,ee
(B) 1
,0e
(C) 1
0,e
(D) 1
,1e
Exame 635, 1ª fase, 2014
3. Considere a função f, de domínio , definida por
4
4
3 11se 4
4
ln 2 se 4
x
x
e xx
xf x
e e x
Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, averigue se a função f é contínua
em 4x .
Exame 635, 1ª fase, 2014
4. Considere, para um certo número real k positivo, a função f, de domínio , definida por
2
3se 0
1
ln se 0
6ln se 0
2 1
x
xx
e
f x k x
x xx
x
Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, determine k de modo que
0
lim 0x
f x f
.
Exame 635, Época Especial, 2013
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5. Seja f uma função de domínio ,1e
Sabe-se que:
f é contínua no seu domínio;
1f e
1f e
Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeiramente?
(A) A equação 1 0f x tem pelo menos uma solução em ,1e
(B) A equação f x e tem pelo menos uma solução em ,1e
(C) A equação 0f x tem pelo menos uma solução em ,1e
(D) A equação 2
ef x tem pelo menos uma solução em ,1e
Exame 635, 2ª fase, 2013
6. Considere, para um certo número real a positivo, uma função f, contínua, de domínio , .a a
Sabe-se que f a f a e 0f a f
Mostre que a condição f x f x a tem, pelo menos, uma solução em ,0a
Exame 635, 1ª fase, 2013
7. Considere a função f, de domínio , definida por
11
se 11
ln se 1
xe
xf x x
x x
Seja g uma outra função, de domínio .
Sabe-se que a função f g é contínua no ponto 1.
Em qual das seguintes opções pode estar representada parte do gráfico da função g?
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(A)
(B)
(C)
(D)
Teste Intermédio, 28-02-2013
8. Seja f a função, de domínio , definida por
2
3 3se 4
9
ln 3 11se 4
4
xx
xf x
xx
x
Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, averigue se existe 4
limx
f x
.
Teste Intermédio, 28-02-2013
9. Considere a função f, de domínio , definida por
3
1
4
sinse 0
1 1
1 se 0
1se 0
k
x
xx
x
f x e x
ex
x
com k
Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, determine k de modo que
0
lim 0x
f x f
.
Exame 635, 2ª fase, 2012
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10. Seja f uma função de domínio , definida por 3x
f x e .
Em qual dos intervalos seguintes o teorema de Bolzano permite afirmar que a equação
3
2f x x tem, pelo menos, uma solução?
(A) 1
0,5
(B) 1 1
,5 4
(C) 1 1
,4 3
(D) 1
,13
Exame 635, 1ª fase, 2012
11. Na figura, está representada, num referencial o.n.
xOy, parte do gráfico de uma função g, de domínio
,a , com 1
3a .
Para esse valor de a, a função f, contínua em , é
definida por
3
1log se
3
se
x x af x
g x x a
Qual é o valor de a?
(A) 28
3 (B)
25
3 (C)
19
3 (D)
8
3
Exame 635, 1ª fase, 2012
12. Relativamente a duas funções, f e g, sabe-se que:
têm domínio 2,3
são funções contínuas
2 2 0f g e 3 3 0f g
Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?
(A) Os gráficos de f e g intersetam-se em pelo menos um ponto.
(B) A função f g é crescente.
(C) Os gráficos de f e g não se intersetam.
(D) A função f g é decrescente.
Teste Intermédio, 24-05-2012
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13. Seja f a função de domínio , definida por
22
se 22
3 ln 1 se 2
x
x
xe ex
f x x
e x x
Averigue se a função f é contínua em 2x .
Teste Intermédio, 24-05-2012
14. Para um certo valor de e para um certo valor de , é contínua no ponto 0 a função g,
definida por
21
se 0
se 0
ln 1se 0
xe
xx
g x x
xx
x
Qual é esse valor de e qual é esse valor de ?
(A) 1 e 2 (B) 2 e 3
(C) 1 e 3 (D) 2 e 1
Teste Intermédio, 13-03-2012
15. Seja f a função, de domínio , definida por 32 logf x x .
Seja g a função, de domínio , definida por g x x f x .
Mostre, sem recorrer à calculadora, que 1,3 : 5c g c
Teste Intermédio, 13-03-2012
16. Considere a função f, de domínio , definida por
1
11 se 1
1
2 se 1
x
xx
f x e
a x
(a é um número real)
Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, determine a sabendo que f é contínua em
1x .
Exame 635, Época Especial, 2011
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17. Considere a função f, de domínio 0, , definida por
21
se 0 22
1se 2
ln 1
xe
xx
f xx
xx
Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, mostre, sem resolver a equação, que
3f x tem, pelo menos, uma solução em 1
0,2
.
Exame 635, 2ª fase, 2011
18. Seja f uma função de domínio 0, , definida por
2 9 se 0 5
1se 5
x
x
x
f x ex
x
Em qual dos intervalos seguintes o teorema de Bolzano permite garantir a existência de, pelo
menos, um zero da função f?
(A) 0,1 (B) 1,4 (C) 4,6 (D) 6,7
Exame 635, 1ª fase, 2011
19. Seja f uma função, de domínio , contínua no intervalo 1,4
Tem-se 1 3f e 4 9f .
Em qual das opções seguintes está definida uma função g, de domínio , para a qual o
teorema de Bolzano garante a existência de pelo menos um zero no intervalo 1,4 ?
(A) 2g x x f x (B) 2g x x f x
(C) 2g x x f x (D) 2
g x x f x
Teste Intermédio, 26-05-2011
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20. Consider a função g, de domínio , definida por
se 0
ln se 0
xe x
g xx x
Considere a sucessão de termo geral 1
nun
.
Qual é o valor de lim nn
g u
?
(A) (B) 1 (C) 0 (D)
Exame 635, 2ª fase, 2010
21. Consider a função f, de domínio , definida por 32 1x
f x x e
.
Mostre que 1,5f x tem, pelo menos, uma solução em 2, 1 .
Resolva este exercício recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, se utilizar a
calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, use
três casas decimais.
Exame 635, 2ª fase, 2010
22. Seja g uma função contínua, de domínio .
Qual dos seguintes conjuntos não pode ser o contradomínio da função g?
(A) 0,2 (B) (C) (D) \ 0
Teste Intermédio, 19-05-2010
23. Seja a um número real diferente de zero.
Qual é o valor de 2 20
1lim
ax
x
e
ax a x
?
(A) 1
a (B)
1
2a (C) 0 (D)
Teste Intermédio, 19-05-2010
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24. Seja f a função, de domínio , definida por
2se 0 2
2
1 se 2x
xx
f x x x
xe x x
Usando exclusivamente métodos analíticos, averigue se a função f é contínua em 2x .
Teste Intermédio, 15-03-2010
25. Consider a função h, de domínio , definida por
2
2
4 se 0
2 se 0
1se 0
x
x x x
h x x
ex
x
Estude a continuidade de h no domínio , recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
Exame 635, 2ª fase, 2009
26. Considere a função g, de domínio , definida por 2ln
xg x e x .
Mostre, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, que a função g tem, pelo menos,
um zero no intervalo 0,1;0,3 .
Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos numéricos.
Exame 635, 1ª fase, 2009
27. Num certo dia, o Fernando esteve doente e tomou, às 9 horas da manhã, um medicamento
cuja concentração C t no sangue, em mg/l, t horas após o medicamento ter sido ministrado,
é dada por
0,32
tC t te
0t
Calcule limC t e interprete esse valor no contexto da situação apresentada. Resolva a
questão recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
Exame 635, 1ª fase, 2009
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28. Considere a função g, de domínio 1
,2
, definida por
2 12 ln 1 se 1
2
2 se 1
1se 1
1
x x x x
g x x
xx
x
Verifique se a função g é continua em 1x , sem recorrer à calculadora.
Teste Intermédio, 27-05-2009
29. Na figura está representada parte do gráfico de uma função g, de domínio e continua em
\ 2 . As retas de equações 2x e 1y são as únicas assíntotas do gráfico de g.
Seja nx uma sucessão tal que lim nx
g x
.
Qual das expressões seguintes pode ser o termo geral da sucessão nx ?
(A) 2
2a
(B) 1
2n
(C) 1
1n
(D) 1
1n
Exame 635, 2ª fase, 2008
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30. Na figura está representada parte do gráfico de uma função f, de domínio , sendo 1y
a única assíntota do seu gráfico.
Qual é o valor do
3limx f x
?
(A) (B) 3 (C) 1 (D) 3
Exame 635, 2ª fase, 2008
31. A massa de uma substância radioativa diminui com a passagem do tempo. Supõe-se que,
para uma amostra de uma determinada substância, a massa, em gramas, ao fim de t horas de
observação, é dada pelo modelo matemático 0,0215 , 0
tM t e t
.
Resolva, usando métodos analíticos.
Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos intermédios; sempre que proceder a
arredondamentos, use três casas decimais.
Utilize o Teorema de Bolzano para justificar que houve, pelo menos, um instante, entre as
2 horas e 30 minutos e as 4 horas após o início da observação, em que a massa da amostra
da substância radioativa atingiu os 14 gramas.
Exame 635, 2ª fase, 2008
32. Seja h a função de domínio 1, , definida por 4 ln 1h x x x .
(ln designa logaritmo de base e)
Resolva, usando métodos analíticos.
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Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos intermédios; sempre que proceder a
arredondamentos, use, pelo menos, duas casas decimais.
Justifique, aplicando o Teorema de Bolzano, que a função h tem, pelo menos, um zero no
intervalo 5,6 .
Exame 635, 1ª fase, 2008
33. Seja f uma função de domínio , continua no intervalo 2,2
Tem-se 2 1f e 2 3f
Indique qual das expressões seguintes define uma função g, de domínio , para a qual o
Teorema de Bolzano garante a existência de pelo menos um zero no intervalo 2,2 .
(A) g x x f x (B) g x x f x
(C) 2g x x f x (D) 2
g x x f x
Teste Intermédio, 29-04-2008
34. Seja f uma função de domínio 3,3 , definida
por
1se 3 0
2 ln 1 3 se 0 3
xe x
xf x x
x x x
Na figura está representado o gráfico da função
f.
Tal como a figura sugere:
A é o ponto do gráfico de f de ordenada máxima
a abcissa do ponto A é positiva
Utilizando métodos exclusivamente analíticos, mostre, tal como a figura sugere, f é contínua
no ponto 0.
Teste Intermédio, 29-04-2008
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35. Na figura, está reresentada parte do gráfico de uma função f, real de variável real.
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
(A) 3
1lim 0x f x
(B) 3
1 1lim
2x f x
(C) 3
1 1lim
2x f x (D) Não existe
3
1limx f x
Exame 635, 2ª fase, 2007
36. Na figura, está reresentada parte do gráfico de uma função g, real de variável real.
Tal como a figura sugere, a reta de equação 1x é assíntota do gráfico da função g.
Seja :h a função definida por 1h x x .
O valor do
1limx
h x
g x é:
(A) (B) (C) 0 (D) 1
Exame 635, 2ª fase, 2007
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37. Identifique o valor de 2
2
1lim
4x x
(A) 0 (B) 1 (C) (D)
Exame 635, 1ª fase, 2007
38. Considere a função f, de domínio , definida por
2
3
2
2
2se 0
2 se 0
3 ln 1se 0
x xx
x x
f x x
x x xx
x
(ln designa logaritmo de base e)
Utilizando métodos exclusivamente analíticos, averigue se a função f é contínua em 0x .
Justifique a sua resposta.
Teste Intermédio, 15-03-2007
39. Considere, num referencial o.n. xOy, a curva C, que representa graficamente a função f, de
domínio 0,1 , definida por 3x
f x e x e a reta r, de equação 5y .
Sem recorrer à calculadora, justifique que a reta r interseta a curva C em pelo menos um
ponto.
Teste Intermédio, 15-03-2007
40. Seja : 0,2f uma função contínua tal que 0 2 0f f e 1 0f
Prove que existe pelo menos um número real c no intervalo 0,1 tal que 1f c f c
Sugestão: considere a função : 0,1f , definida por 1g x f x f x
Exame 635, 2ª fase, 2006
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41. Na figura estão representadas, em
referencial o.n. xOy, partes dos
gráficos de duas funções, f e g,
contínuas em .
Tal como a figura sugere,
nenhum dos gráficos interseta o
eixo Ox;
os gráficos de g e de f
intersetam o eixo Oy nos pontos
de ordenadas 0,5 e 2,
respetivamente.
A penas uma das equações seguintes é impossível. Qual delas?
(A) 0f x g x (B) 0f x g x
(C) 1f x g x (D)
1
f x
g x
Exame 635, 1ª fase, 2006
42. Seja nx a sucessão de termo geral 1
1
n
nxn
Seja ny a sucessão de termo geral 1 lnn ny x (ln designa o logaritmo de base e)
Qual é o valor de lim ny ?
(A) 2 (B) 3 (C) 1 e (D) 2 e
Teste Intermédio, 17-03-2006
43. Com o objetivo de estudar as leis do aquecimento e do arrefecimento, realizou-se, num
laboratório de Física, a seguinte experiência: aqueceu-se ao lume uma certa quantidade de
água, durante cinco minutos; passado este tempo, a apagou-se o lume e deixou-se a água a
arrefecer. A temperatura da água foi sendo medida, ao longo do decorrer da experiência.
Admita que:
neste laboratório, a temperatura ambiente é constante;
a temperatura da água, no instante em que começou a ser aquecida, era igual à
temperatura ambiente;
depois de se ter apagado o lume, a temperatura da água tende, com o passar do tempo,
a igualar a temperatura ambiente.
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Em resultado da experiência, concluiu-se que a relação entre a temperatura da água e o tempo
t, contado em minutos, a partir do instante em que se colocou a água ao lume, é modelada
por uma, e uma só, das quatro funções, a, b, c e d, definidas por:
0,04 5
24 2 se 0 5
24 10 se 5t
t ta x
e x
0,04 5
12 2 se 0 5
24 70 se 5t
t tb x
e x
0,04 5
14 1 se 0 5
24 60 se 5t
t tc x
e x
0,04 5
12 2 se 0 5
24 60 se 5t
t td x
e x
Qual das quatro funções é a correta?
Numa pequena composição, explique porque não pode ser nenhuma das outras três,
indicando, para cada uma delas, uma razão pela qual a rejeita, explicando a sua inadequação,
relativamente à situação descrita.
Teste Intermédio, 17-03-2006
Bom trabalho!!
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Principais soluções
1.
2. (B)
3. Não é contínua
4. 3
2k e
5. (D)
6.
7. (A)
8. 4
lim 3x
f x
9. ln 5 1k
10. (B)
11. (A)
12. (A)
13. f é contínua em 2x
14. (B)
15. 16. 2a
17. 18. (B)
19. (D)
20. (D)
21. 22. (D)
23. Não é contínua
24. (A)
25. A função é continua em
26. 27. 0
28. (B)
29. (B)
30. É continua em 1x
31. 32. 33. (A)
34. (D)
35. (C)
36. 37. (D)
38. f é contínua em 0x
39. 40. (A)
41. (A)
42. d x
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