MATEMÁTICA IIIAULA 10: PERMUTAÇÃO CIRCULAR E O
USO DA PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DIVERSOS
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃOANUAL
VOLUME 2
OSG.: 094045/15
01. Há PC(3)
= 2! = 2 modos de organizar as meninas em círculo. Defi nidas as posições das meninas, teremos três espaços para colocar os meninos. Portanto, como os meninos podem ser dispostos de P
3 = 3! = 6 maneiras, segue, pelo Principio Multiplocativo, que o
resultado é 2 · 6 = 12.
Resposta: D
02. Neste problema, queremos calcular o número de maneiras distintas em que podemos expor seis quadros assinados e datados, de modo que os três de Gotuzo apareçam sempre em ordem cronológica, da esquerda para direita. Para tanto, é necessário tomarmos duas decisões, a saber:
Decisão 1 Decisão 2
Escolher três posições entre as seis disponíveis para colocar os quadros
de Gotuzo.
Permutar os quadros de Portinari nos três lugares
restantes.
Ora, uma vez que o número de maneiras distintas x em que podemos escolher três lugares entre os seis disponíveis é dado pelo número de combinações simples de 6 elementos tomados 3 a 3, temos que:
x C x x= =⋅
⇒ =⋅ ⋅⋅ ⋅
∴ =6 3
6
3 3
6 5 4
3 2 120,
!
! !.
Assim, como o número de maneiras y de tomarmos a “Decisão 2” é dado por y = P3 = 3! = 6, concluímos, pelo princípio multiplicativo,
que existem x · y = 20 · 6 = 120 modos distintos de expormos esses quadros, com a ordenação exigida para os quadros de Gotuzo.
Nota: Ao escolhermos três lugares quaisquer para colocarmos, em ordem cronológica, os três quadros de Gotuzo, note que foi sufi ciente calcularmos uma combinação simples C
6,3, pois, uma vez selecionados os três lugares, bastou ordenar os quadros nestes.
Resposta: D
03. Note, inicialmente, que duas possíveis soluções para este problema são dadas por x1 = 5, x
2 = 2 e x
3 =1, e, x
1 = 3, x
2 = 5 e x
3 = 0,
que podemos representá-las, respectivamente, da seguinte forma:
e/ / /
/
Na realidade, qualquer solução para este problema é obtida mediante uma permutação dos símbolos acima. Neste caso, é claro que a quantidade de soluções distintas da equação x
1 + x
2 + x
3 = 8, com x
1, x
2 e x
3 inteiros não negativos, é dada por:
P108 2 10
8 2
10 9
2 145, !
! !.=
⋅=
⋅⋅
=
Resposta: B
04. Inicialmente, recordamos que todo polígono regular convexo é inscritível em uma circunferência. Neste caso, temos que o número x de maneiras distintas em que podemos dispor os representantes dos oito países, ao redor da mesa octogonal deste problema, de modo que EUA, Canadá e Inglaterra permaneçam juntos, é dado por:
x PC P x x x= ⋅ ⇒ = ⋅ ∴ =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ∴ =6 3
6
63
6 5 4 3 2 1
63 2 1 720
!! .
Resposta: A
05. Seja xi, com i ∈ {1, 2, 3, 4, 5}, a variável que representa os investidores.
Sabendo que, por hipótese, foram compradas, ao todo, 9 cotas e que não houve investidor sem cota, temos que o número de maneiras diferentes y de alocação das 9 cotas entre os 5 investidores, é dado pelo número de soluções inteiras e positivas da equação x
1 + x
2 + x
3 + x
4 + x
5 = 9. Neste caso, defi nindo, para cada i ∈ {1, 2, 3, 4, 5}, a variável m
1 > 0, tal que
x1 = 1 + m
1, é claro que y é, também, o número de soluções inteiras não negativas da equação m
1 + m
2 + m
3 + m
4 + m
5 = 4. Assim, obtemos:
y P y y y= ⇒ =⋅
∴ =⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅
∴ =84 4 8
4 4
8 7 6 5
4 3 2 170, !
! !.
Resposta: B
Cl@udi@_SM – 25/11/15 Rev.: KP09409415_fi x_Aula10 – Permutação Circular e o uso da Permutação com Repetição na Resolução de Problemas Diversos
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