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BCC101 – Matemática Discreta

Demonstração de Teoremas

Demonstração de Teoremas – Ex1

Teorema: Sejam a,b∈R. Se 0 ≤ a < b então a2 < b2 O que queremos provar é:

∀a,b∈R. 0≤a<b ➝ a2<b2

Para provar ∀a,b∈R. 0≤a<b ➝ a2<b2

devemos provar 0≤a<b ➝ a2<b2, para a e b números reais arbitrários

Para provar 0≤a<b ➝ a2<b2, basta provar a2<b2, supondo 0≤a<b

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Receita de bolo

Para demonstrar um teorema: Entenda o enunciado, identifique as

hipóteses e a conclusão Expresse o teorema como uma fórmula

da Lógica de Predicados Construa a prova passo a passo,

usando as regras de Dedução Natural que vimos anteriormente.

Demonstração de Teoremas

Teorema: Sejam a,b∈R. Se 0 ≤ a < b então a2 < b2

Prova: Sejam a e b números reais arbitrários e suponha 0≤a<b. Entãoa2 = a . a < b . a {porque 0≤a<b} < b . b {porque 0≤a<b}

= b2 c.q.d.

Demonstração de Teoremas

Teorema: Sejam a,b∈R. Se 0 ≤ a < b então a2 < b2

OBS: Note que 0 ≤ 5 < 7 ➝ 52 < 72 é uma instância do teorema acima.

Provar que uma, ou várias instâncias são verdadeiras não significa ter provado o teorema!

Demonstração de Teoremas

Teroema: Sejam x,y∈R tais que x>3 e y<2. Então x2 – 2y > 5.

Quais são as hipóteses e a conclusão do teorema?

Apresente algumas instências do terorema

Construa uma prova para esse teorema.

Demonstração de Teoremas

Conjectura: Sejam x,y∈R tais que x>3. Então x2 – 2y > 5.

A conjectura é falsa ou verdadeira? Apresente um contra-exemplo que

mostra que essa conjectura é falsa.x = 4, y = 6pois então temos 42 – 2.6 = 2 < 5

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Não se esqueça

Para mostrar que uma conjectura é verdadeira (é um teorema) devemos construir uma prova da mesma.

Para mostrar que uma conjectura é falsa, basta apresentar um contra-exemplo para a mesma.

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Estratégias de Prova - Direta

A partir do exemplo anterior, podemos deduzir nossa 1a.

estratégia de prova de teoremas:Prova Direta: Para provar uma asserção da p ➝ q,suponha p e prove q

[p] q⊢

p q➝

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Exercícios

Prove que, para todo n∈N, se n é impar então 3n+9 é par.

Prove que se a e b são números racionais, então a-b é racional

Prove que se n é par então n2 é par

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Prova direta – mais um exemplo

Teorema: Sejam A,B e C conjuntos. Se A∩C ⊆ B e a∈A, então a ∉ A\B.Hipóteses: A∩C ⊆ B a∈AConclusão: a ∉ A\B

a ∉ A\B = ¬(a ∈A\B)= ¬(a ∈A ∧ a ∉ B)= ¬a ∈A ∨ ¬ a ∉ B= ¬a ∈A ∨ a ∈ B= a ∈A ➝ a ∈ B

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Prova direta – mais um exemplo

Trocamos a demonstração de a ∉ A\B por uma demonstração envolvendo a ∈A ➝ a ∈ B, que é mais simples.

Agora é só usar uma das estratégias que envolvem o conectivo ➝

Como você concluiria a prova?

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Prova por contrapositivo

Teorema: Para todo n∈Z, se n2 é par, então n é par.

Queremos provar: ∀n∈Z. par(n2) ➝ par(n)

Mais precisamente: ∀n∈Z.(∃k∈Z.n2=2k)➝(∃k∈Z.n=2k)

Infelizmente, a estratégia de prova direta não nos ajuda neste caso…

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Estratégias de Prova - Contrapositivo

Prova por contrapositivo: Para provar uma asserção da p ➝ q,podemos provar a asserção equivalente ¬q ➝ ¬p, ou seja,supomos ¬q e provamos ¬p

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Prova por contrapositivo

Teorema: Para todo n∈Z, se n2 é par, então n é par.

Ao invés de provar par(n2) ➝ par(n)Vamos provar o contrapositivo¬par(n) ➝ ¬par(n2), isto é, seja impar(n) ➝ impar(n2), ou seja:(∃k∈Z.n=2k+1)➝(∃k∈Z.n2=2k+1)

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Prova por contrapositivo

Teorema: Para todo n∈Z, se n2 é par, então n é par.

Prova: Por contrapositivo. Seja n∈Z arbitrário e suponha n impar, isto é, n=2k+1, para algum k∈Z. Entãon2 = (2k+1) (2k+1) = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2+2k) + 1 ou seja, n2 é imparPortanto, se n2 é par, então n é par

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Exercícios

Sejam a,b,c ∈ R e a > b. Prove que, se ac ≤ bc, então c ≤ 0.

Prove que, se x é um número irracional, então √x é um número irracional.

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Mais estratégias de prova

Se a e b são números inteiros, então

a2 – 4b ≠ 2.

Quais são as hipóteses? Qual é a conclusão? Que estratégia podemos usar para

provar o teorema?

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Prova por contradição

Suponha que queremos provar uma conclusão C. A idéia de uma prova por contradição é supor que a conclusão a ser provada é falsa, isto é, supor ¬C, e mostrar que essa suposição nos leva a uma contradição.

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Prova por contradição

Teorema: se a,b ∈ Z então a2-4b≠2

Prova: Suponha, por contradição, que a2-4b=2Então a2 = 2+4b = 2(1+2b), ou seja a2 é par e,portanto, a é par. Ou seja, a = 2c, para algum inteiro c. Substituindo a por 2c na equação acima obtemos: (2c)2 = 2(1+2b) => 4c2 = 2 (1+2b) Dividindo ambos os lados por 2: 2c2 = 1+2b => 1 = 2b – 2c2 = 2(b-c2)

Como b,c ∈ Z, isso significa que 1 é par, o que é um absurdo! Portanto a2-4b≠2.

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Mais estratégias de prova

Um número real x é racional se x=a/b, para algum número a ∈Z e algum número b ∈ Z, b≠0. E x é irracional, se ele não é racional.

Teorema: √2 é um número irracional

Quais são as hipóteses? Qual é a conclusão? Que estratégia podemos usar para

provar o teorema?CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma

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Prova por contradição

Teorema: √2 é um número irracional

Prova: Suponha, por contradição, que √2 é racional, isto é, √2 =a/b, para a,b∈Z, b≠0. Podemos supor, sem perda de generalidade, que a e b são primos entre si -- mdc(a,b)=1. Então (a/b)2=(√2)2=2 ⇒ a2=2b2, ou seja a2 é par e, portanto, a é par, i.e., a=2k, para algum k∈Z. Então b2=a2/2=(2k)2/2=2k2, ou seja, b2 é par e, portanto, b é par. Mas isso constraiz o fato de que a e b são primos entre si.Portanto, concluimos que √2 é irracional

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Prova por contradição – mais exemplos

Teorema: O conjunto dos números primos é infinito.

Quais são as hipóteses?Qual é a conclusão? Como pode ser expressa a negação dessa conclusão?Como podemos obter uma contradição, a partir da negação da conclusão?

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Exercícios

Prove que a soma de um número racional e um número irracional é um número irracional

Prove que o conjunto dos números pares é infinito

Sejam a e b inteiros. Então a2-4b≠2

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Provas envolvendo quantificadores

Para provar uma afirmativa da forma

∀x. f(x), devemos provar que f(x) é verdadeira, para x arbitrário.

Exemplo: Prove que, para quaisquer inteiros

a,b,c, se a|b e b|c então a|c.

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Provas envolvendo quantificadores

Para provar uma afirmativa da forma ∃x.f(x), devemos mostrar um valor para x, digamos a, tal que f(a) seja verdadeira.

Exemplo: Prove que, para todo número real x>0,

existe um número real y tal que y(y+1)=x

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Erros em provas

Considere a seguinte afirmação incorreta: ∃x∈R. ∀y∈R. (xy2=y-x)O que está errado com a seguinte prova desta afirmação:Prova: Seja x = y/(y2+1). Então y-x = y- y/(y2+1)

= y3/(y2+1) = (y/(y2+1)) y2 = xy2