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por Chedas SampaioFevereiro 2015
1 Grau
de
Liberdade
1 Grau de Liberdade
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ESTRUTURA DA APRESENTAÇÃO
Introdução
Vibração livre
Vibração forçada
Identificação modal
1 Grau de Liberdade
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INTRODUÇÃO
1 Grau de Liberdade
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Sistemas reais de 1 grau de liberdadeIntrodução
1 Grau de Liberdade
PênduloBóia
Massa suspensaem mola helicoidal
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Equação diferencial do movimentoIntrodução
1 Grau de Liberdade
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m
X(t)
kc
Equação diferencial do movimentoIntrodução
1 Grau de Liberdade
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k
mc
Equação diferencial do movimentoIntrodução
1 Grau de Liberdade
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8/206
Equação diferencial do movimento
Introdução
1 Grau de Liberdade
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t F t xmi
i)(
2ª Lei de NewtonEquação diferencial do movimento
Introdução
1 Grau de Liberdade
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)()()()( t f t kxt xct xm
)(t f
t kx
t xm t xc
2ª Lei de NewtonEquação diferencial do movimento
Introdução
1 Grau de Liberdade
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)()()()( t f t kxt xct xm
)(t f
t kx
t xm t xc
Equação diferencial do movimento
Introdução
1 Grau de Liberdade
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2 0 2 4 6 8 10
1
0.5
0.5
1
0)()()( t kxt xct xm
Equação diferencial do movimento
Introdução
Se a força cessar, f(t)=0 , é normal o motor ficar a vibrarlivremente até parar por efeito do amortecimento dos apoios:
1 Grau de Liberdade
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2 0 2 4 6 8 10
1
0.5
0.5
1
0)()( t kxt xm
Equação diferencial do movimento
Introdução
Mas se o amortecimento for nulo, c=0, o motor ficará a vibrarindefinidamente uma vez que não há dissipação de energia:
1 Grau de Liberdade
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2 0 2 4 6 8 10
1
0.5
0.5
1
Equação diferencial do movimento
Introdução
Se o sistema for amortecido e a força for harmónica, f(t)=Fcos( t) ,após um período inicial transitório, ficará a vibrar harmonicamente
à frequência de excitação, :
t F t kxt xct xm cos)()()(
1 Grau de Liberdade
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Resolução da equação diferencial
Introdução
O estudo da vibração do sistema passa pela determinação dasolução x(t). Existem diferentes métodos analíticos para
calcular a solução exacta, como por exemplo:• O método dos Coeficientes Indeterminados• O método Geométrico• O método da Transformada de Laplace• O método da Resposta Impulsiva ou Integral de
Convolução• O método da Resposta em Frequência
1 Grau de Liberdade
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Resolução da equação diferencial
Introdução
…e também métodos numéricos para calcular a soluçãoaproximada, como por exemplo:
• O método de Euler• Os métodos de Runge‐ Kutta de 2ª, 3ª ou 4ª ordem•
O método das Diferenças finitasNeste texto utilizaremos os métodos da Resposta emFrequência, da Resposta Impulsiva e das Diferenças finitas.Nos documentos MathCad sugeridos ao longo do textoencontrará exemplos resolvidos com estes métodos etambém com outros como o método de Euler e o de Runge ‐
Kutta de 4ª ordem.1 Grau de Liberdade
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Resolução da equação diferencial
Introdução
Os métodos numéricos têm ‐ se tornado nos métodospreferenciais de cálculo da resposta x(t) pois requerem pouco
tempo de análise e podem ser aplicados a qualquer tipo desistema, linear ou não linear, sujeito a qualquer tipo desolicitação ou força.
No entanto, a aplicação de um método numérico não podedeixar de ser sujeita a uma avaliação judiciosa da solução e
dos respectivos erros.
1 Grau de Liberdade
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VIBRAÇÃO LIVRE
1 Grau de Liberdade
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Vibração livreExemplosExemplos de vibração livre:
• A vibração sentida por um ciclista ao bater numburaco
• O movimento de uma criança num baloiço•
A vibração de uma máquina logo após serdesligado o seu accionamento• A vibração de uma ponte após uma rajada de vento
1 Grau de Liberdade
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Vibração livre
0)()()( t kxt xct xm
t kx
t xm t xc
Vibração livre
1 Grau de Liberdade
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Vibração livre
0)()( t kxt xm
t kx
t xm
)()( t xmk
t x
Vibração livre sem amortecimento
1 Grau de Liberdade
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Vibração harmónica
t x f t x 22)( )()( t xm
k t x
Vibração livre sem amortecimento =
mk 22 f
Vibração livreVibração livre sem amortecimento
x(t)m
k
1 Grau de Liberdade
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mk f n 2
Frequência natural
Vibração livreVibração livre sem amortecimento
x(t)m
k
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Método da resposta em frequência
Vibração livreVibração livre sem amortecimento
natural)a(frequênci mk
com mk
aordememresolvendo
ticacaracterísequaçãoacomoconhecidaétambémque ,0
zeroénunca como
0 : evidênciaem pondo0
se-obtem ldiferenciaequaçãonadoSubstituin
:Derivemos
0constantesa, :formadaé
0
ldiferenciaequaçãodasoluçãoaquese-sabeldiferenciacálculoDo
2
2
2
2
nn
t
t t
t t
t t
t
j jmk
-
k m
ae
aek maekaeaem
aet xaet xt x
aet x
t kxt xm
x(t)m
k
0)()( t kxt xm1 Grau de Liberdade
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jaa Aaa At sen At At x
t jsenaat aat x
t jsenat at jsenat at x zjsen z ze
eaeat x
j
nn
nn
nnnn
jθ
t jt j
nn
nn
21221121
2121
2211
21
e com ,cosou
cos
evidênciaem pondo
coscos:cosEulerdeequaçãoaAplicando
:soluçãouma
tambémésoluçõesdassomaalinear,éldiferenciaequaçãoaComoordem.segundadeéldiferenciaequaçãoa porquevaloresdoistem
natural)a(frequênci mk
com
Método da resposta em frequência
Vibração livreVibração livre sem amortecimento
x(t)m
k
0)()( t kxt xm1 Grau de Liberdade
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Método da resposta em frequência
Vibração livreVibração livre sem amortecimento
x(t)m
k
t xt xt x
x A x A
A A sen A x
t At sen At x
A sen A A x
x x
t sen At At x
nn
n
n
nnnnn
nnnn
nn
nn
sen0
cos0
obtida jásoluçãonadosubstituin
0
e 0seja,ou
0cos00
logo
cos
e
00cos0
setem
0,0 :iniciaiscondições2tivermosSe
cos
21
221
21
121
21
0)()( t kxt xm1 Grau de Liberdade
Nota: a utilização de duas
condições iniciais é uma questão de conveniência e hábito. Na verdade poderíamos utilizar duas outras condições conhecidas (em qualquer instante diferente de zero).
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Método da resposta em frequência
Vibração livreVibração livre sem amortecimento
x(t)m
k
quee
coscossenquelembrando
sen0
cos0
sen sen
t x
t xt x nn
n
0
n
x
0 x 00 2
2
x x
X n
finalmente
0cos
0
escrever podemos
t sen X x
t X
x X t x n
nn
0)()( t kxt xm1 Grau de Liberdade
t Xsent x n
002
2
n
x x X
0
0atan
x x n
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Conclui‐ se então que o sistema vibra harmonicamente àfrequência n :
Vibração livreVibração livre sem amortecimento
x(t)m
k
t Xsent x n que só depende das propriedades físicas do sistema, massa erigidez, logo chamar‐ se frequência natural :
2rad/s nn f mk
Hertz emnatural frequênciaaé f n
0)()( t kxt xm1 Grau de Liberdade
youtube
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Conclui‐ se então que o sistema vibra harmonicamente àfrequência n :
Vibração livreVibração livre sem amortecimento
x(t)m
k
t Xsent x n
2 0 2 4 6 8 10
1
0.5
0.5
1
período f 1 sT
nn
0)()( t kxt xm1 Grau de Liberdade
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Vibração livreVibração livre sem amortecimento
x(t)m
k
Esta frequência é importante no estudo das vibrações pois,entre outras coisas, permite ‐ nos compreender o fenómeno
da Ressonância.
mk
f n 2 [rad/s] mk
f n 21 [ciclos/s]
[Hz]
A frequência natural é a frequência aque o motor, ou qualquer estrutura,
vibraria se não houvesse dissipação deenergia, logo é uma frequência teórica.
0)()( t kxt xm1 Grau de Liberdade
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Método das diferenças finitas
Vibração livreVibração livre sem amortecimento
x(t)m
k
0)()( t kxt xm1 Grau de Liberdade
Este método baseia ‐ se na aproximação às derivadastransformando a equação diferencial numa equação dediferenças finitas.
Dos Métodos Numéricos sabemos que existem 3 tipos defórmulas de derivação numérica: progressiva , regressiva ecentral .
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Método das diferenças finitas
Vibração livreVibração livre sem amortecimento
x(t) m
k
0)()( t kxt xm1 Grau de Liberdade
Como as centrais são as melhores só iremos desenvolversoluções com este tipo de fórmulas:
t x x
x iii
211
211 2
t x x x
x iiii
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34/206
12
11
211
211
11
2 vem, evidênciaem pondo
02
ldiferenciaequaçãonadosubstituin
2 2
iiii
iiii
iiii
ii
i
x xt mk
x x
kxt
x x xm
t x x x
x
t x x
x
Método das diferenças finitas
Vibração livreVibração livre sem amortecimento
x(t) m
k
0)()( t kxt xm1 Grau de Liberdade
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Método das diferenças finitas
Vibração livreVibração livre sem amortecimento
x(t) m
k
it 1itt
0)()( t kxt xm1 Grau de Liberdade
12
1 2
iii x xt
m
k x
Assim, para arrancar o método necessita de dois deslocamentos iniciais:10 e x x
02
1001
1
211
2112
11
1111
22
0fazerBasta.calcular podemos já
22expressõesasambasigualandoe
2evidênciaem pondo2
como,e
2evidênciaem pondo 2 como,ora,
xt x x xt x
i x
xt x x xt x
xt x x xt
x x x x
xt x xt x x
x
iiiii
iiiiiii
i
iiiii
i
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Método das diferenças finitas
Vibração livreVibração livre sem amortecimento
x(t) m
k
it 1itt
0)()( t kxt xm 1 Grau de Liberdade
12
1 2
iii x xt
m
k x
Assim, para arrancar o método necessita de dois deslocamentos iniciais:
1
0000
02
001
calcular podese jáassime
calcular podemos e temos jáComo2
22 logo
x
xmk
x x x
xt xt x x
Exemplo MathCad
Exemplo WModel
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Vibração livreVibração livre com amortecimento
x(t) mk c
Vejamos agora o caso da vibração livre com amortecimento:
0)()( t kxt xct xm
1 Grau de Liberdade
b l
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Vibração livreVibração livre com amortecimento
x(t) mk c
Método da resposta em frequência
kmcmm
c λ
k c λm λ
ae
aek c λm λae
kaec λλaeaem λ
ae λt x λaet xt x
aet x
t kxt xct xm
t
λt t
λt λt λt
λt λt
t
421
2
aordemem resolvendo
tica)caracterís(equação 0
zeroénunca como
0 :evidênciaem pondo
0
se-obtem ldiferenciaequaçãonadoSubstituin
Derivemos
0constantesa, :formadaé
0
ldiferenciaequaçãodasoluçãoaquese-sabeldiferenciacálculoDo
2
2
2
2
2
0)()( t kxt xct xm 1 Grau de Liberdade
Vib ã li
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ecido)superamort(sistema reaisraízes 1crítico)(sistema reaisduplasraízes 1
ido)subamortec(sistema complexasraízes 10
:raízesde
tipooádeterminar devaloroqueclaroésoluçãodestaanáliseDa1-
reescrever podemos
ntoamortecimedefactor2c
c
críticontoamortecimedeecoeficient 22c :quedefinindo
4c21
2
2
c
c
2
nn
n
km
ckmm
kmmm
c
Vibração livreVibração livre com amortecimento
x(t) mk c
Método da resposta em frequência
0)()( t kxt xct xm 1 Grau de Liberdade
Vib ã li
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40/206
jaa e Aaa A
t sen At At x
t jsenaat aa
eaea
eaeat x
j
j
t
t
t jt jt
t jt j
212211
d2d1-
d21d21-
21-
-2
-1
2nddn
2nn
2nn
2nn
2
com
cosefinalmente
cose
e
:serátxsoluçãoaAssim,
amortecidanaturalfrequência 1 com -
ou
1-11-1-
logo01então1,como
ido)subamortec(sistema complexasraízes 10 caso1º
n
n
ddn
dndn
Vibração livreVibração livre com amortecimento
x(t) mk c
Método da resposta em frequência
0)()( t kxt xct xm 1 Grau de Liberdade
Vib ã li
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
41/206
Vibração livreVibração livre com amortecimento
x(t) mk c
Método da resposta em frequência
t sen x xt xt x
t x
x x A x A
A A A sen A
sen A A x
t At sen A
t sen At At x A sen A A x
A A
t ω sen At ω Aet x
d d t
t
t
d d t -ζ n
d
n-
d
n21
d21ndd2dd10-
d2d10-
n
dd2dd1-
d2d1-
n
1d2d10-
21
21
00cos0e
emdoSubstituin
00 e 0
portantoe,
0cos0e
00cose0
cose
cose00cose0
:ecalcularnos- permiteminiciaiscondiçõesAs
cos
n
n
n
n
n
n
0)()( t kxt xct xm 1 Grau de Liberdade
Vib ã li
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Vibração livreVibração livre com amortecimento
0)()( t kxt xct xm
x(t) mk c
Método da resposta em frequência
sen sen
t sen x x
t xt x d d t
coscossen lembrando
00cos0e
d
n- n
00
0atan e 0
00X com
e
se-obtems,necessáriaõessubstituiçasfazendo
2
2
d
n
-n
x x x
x x x
t Xsent x
n
d
d t
00
d
n
x x
0 x
000 22
d
n x x x
X
1 Grau de Liberdade
Vib ã li
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Vibração livreVibração livre com amortecimento
0)()( t kxt xct xm
x(t) mk c
A resposta de um sistema subamortecido é então: t Xsenet x d t - n
000
atan x x
x
n
d
2 0 2 4 6 8 10
1
0.5
0.5
1
000X 22
d
n x x x
amortecidaondada período f
1T d
d
d d d T
2 f 2
1 Grau de Liberdadeyoutube
Vibração livre
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
44/206
Vibração livreVibração livre com amortecimento
0)()( t kxt xct xm
x(t) mk c
Vejamos o caso de o sistema ser amortecido crítico:
t -ωn
n
t -ω
n
n
et xω x xt x
xω x' e a xa
aa
et aat x
000
:serásoluçãoaassim,e,
000
e constantesasse-calculaminiciaiscondiçõesascom
:serátxsoluçãoaAssim,
-
então1,como
crítico)(sistema reaisduplasraízes 1 caso2º
21
21
21
n
1 Grau de Liberdade
Vibração livre
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45/206
Vibração livreVibração livre com amortecimento
0)()( t kxt xct xm
x(t) mk c
Vejamos o caso de o sistema ser amortecido crítico: t -ωn net xω x xt x 000
0 2 4 6 8 100
0.5
1
x t( )
t
1 Grau de Liberdade
Vibração livre
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
46/206
Vibração livreVibração livre com amortecimento
0)()( t kxt xct xm
x(t) mk c
Finalmente, no caso de o sistema ser superamortecido:
12
010
12
010se-obtem,0 e 0iniciais,condiçõesascomEntrando
:serásoluçãoA
1-
ecido)superamort(sistema reaisraízes 1 caso3º
2
2
2
2
2
1
1
2
1
1
2
nn
22
n
n
n
n
t ζ ωt ζ -ωt -ζ
x x
a
x xa
x x
eaeaet x
t x
nnn
1 Grau de Liberdade
Vibração livre
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
47/206
Vibração livreVibração
livre
com
amortecimento
0)()( t kxt xct xm
x(t) mk c
Finalmente, no caso de o sistema ser superamortecido:
t t -t - nnn eaeaet x
1
2
1
1
22
0 2 4 6 8 100
0.5
1
x t( )
t
1 Grau de Liberdade
Algodoo
MathCad
Vibração livre
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48/206
Vibração livreVibração
livre
com
amortecimento
0)()( t kxt xct xm
x(t) mk c
Daqui
em
diante
só
trataremos
do
caso
subamortecido.
1 Grau de Liberdade
0)(2)( 2 t xt xt x nn
Vibração livre
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
49/206
Vibração livreVibração
livre
com
amortecimento
0)()( t kxt xct xm
x(t) mk c
Sistema subamortecido: t Xsenet x d t - n
00
0xatan x x n
d
000X 22
d
n x x x
nc mc
cc
2Factor de amortecimento
21 nd Frequência natural amortecida
1 Grau de Liberdade
Vibração livre
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50/206
Vibração livreVibração
livre
com
amortecimento
0)()( t kxt xct xm
x(t) mk c
Factor de amortecimento:
nc m
c
c
c
2
Aço ‐ 0.001
Betão ‐ 0.01Pele ‐ 0.02Borracha natural ‐ 0.05
Borracha ‐ 0.05..0.5Como
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
51/206
2 0 2 4 6 8 10
1
0.5
0.5
1
Vibração livreVibração
livre
com
amortecimento
0)()( t kxt xct xm
x(t) mk c
A importância desta relação deriva do facto de já termos umaforma prática de calcularmos a frequência natural do sistema
em análise. Basta efectuarmos um TESTE DE IMPACTO:
d n
n d
Como a frequência a que osistema vibra livremente, d , éaproximadamente igual àfreq.natural, n.
1 Grau de Liberdade
Vibração livre
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52/206
Vibração livreVibração
livre
com
amortecimento
0)()( t kxt xct xm
x(t) mk c
Se quisermos calcular exactamente a frequência natural dosistema teremos que calcular o seu amortecimento, o que
podemos fazer a partir da resposta livre amortecida:
0 10 20
1
1 xi
xi+n
n ciclos completos (na figura n=2)
1 Grau de Liberdade
Vibração livre
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Vibração livreVibração
livre
com
amortecimento
0)()( t kxt xct xm
x(t) mk c
d n
d in
in
d in
in
d in
in
nT
d i
i
nT t
t
d id nT t
id
t
d i
i
d id nT t
d i
id t
i
enT t xt x
ou
ee
nT t Xsenet Xsene
nT t xt x
logo
nT t XsenenT t x
t Xsenet x
1
0 10 20
1
1 xiXi+n
Como: t Xsent x d t n-e
1 Grau de Liberdade
Vibração livre
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54/206
Vibração livreVibração
livre
com
amortecimento
0)()( t kxt xct xm
x(t) mk c
2
2
1
2
12
1
n
nd i
i
nd d
d
d nd i
i
nT d i
i
nnT t x
t xln em se substitui
quee T que sabendo
nT nT t x
t xln
logaritmosaplicando
enT t xt x
d n
0 10 20
1
1 xiXi+n
21
2ln
n x x
ni
i
decremento logarítmico
1 Grau de Liberdade
Vibração livre
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
55/206
Vibração livre
Vibração livre
com
amortecimento
0)()( t kxt xct xm
x(t) mk c
0 10 20
1
1 xiXi+n
21
2ln
n x x
ni
i
decremento logarítmico
Do decremento logarítmico, , obtem ‐ se o factor deamortecimento, :
2224 n
1 Grau de Liberdade
Vibração livre
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
56/206
V b ação v e
Vibração livre
com
amortecimento
0)()( t kxt xct xm
x(t) mk c
Do sinal no tempo também podemos obter a frequêncianatural amortecida, d :
0 10 20
1
1
Td, período da onda amortecidad
d T 2
1 Grau de Liberdade
Vibração livre
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
57/206
ç
Vibração livre
com
amortecimento
0)()( t kxt xct xm
x(t) mk c
... e assim finalmente calculamos n e o coeficiente deamortecimento, c:
21 d
n
nmc 2
1 Grau de Liberdade
Vibração livre
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
58/206
ç
Vibração livre
com
amortecimento
0)()( t kxt xct xm
x(t) mk c
Método das diferenças finitas centrais
1 Grau de Liberdade
t
c
t
m
xt
mt
c xk
t m
x x
kxt x x
ct x x x
m
t x x x
xt
x x x
ii
ii
iiiiii
iiii
iii
2
22
vem, evidênciaem pondo
022
ldiferenciaequaçãonadosubstituin
2
2
2
122
11
112
11
211
11
Vibração livre
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
59/206
ç
Vibração livre
com
amortecimento
0)()( t kxt xct xm
x(t) mk c
Método das diferenças finitas centrais
1 Grau de Liberdade
t c
t m
xt
mt
c xk
t m
xii
i
2
22
2
122
1it 1itt
Assim, para arrancar o método necessita de dois deslocamentos iniciais:
02
1001
1
2
11
2112
11
1111
22
0fazerBasta.calcular podemos já22expressõesasambasigualandoe
2evidênciaem pondo2
como,e
2evidênciaem pondo 2
como,ora,
xt x x xt x
i x xt x x xt x
xt x x xt
x x x x
xt x xt x x x
iiiii
iiiiiii
i
iiiii
i
10 e x x
Vibração livre
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
60/206
ç
Vibração livre
com
amortecimento
0)()( t kxt xct xm
x(t) mk c
Método das diferenças finitas centrais
1 Grau de Liberdade
t c
t m
xt
mt
c xk
t m
xii
i
2
22
2
122
1it 1itt
Assim, para arrancar o método necessita de dois deslocamentos iniciais:
1
00000
02
00
1
calcular podese jáassime
1calcular podemos e temos jáComo
2
22 logo
x
kx xcm
x x x
xt xt x x
Exemplo MathCad
Exemplo WModel
Vibração livre
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
61/206
ç
EstabilidadeAnteriormente considerámos m , c e k positivos na equação:
1 Grau de Liberdade
0)()( t kxt xct xm
Isto permitiu‐ nos classificar as soluções da equação emquatro grupos: não amortecido, subamortecido, crítico esuperamortecido.
Estas soluções são bem comportadas no sentido de que aresposta não cresce com o tempo e as amplitudes são finitas.
Neste caso diz‐
se que o sistema é estável .
Vibração livre
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
62/206
EstabilidadeSe c e/ou k forem negativos na equação:
1 Grau de Liberdade
0)()( t kxt xct xm
As soluções deixam de ser bem comportadas pois a respostacresce com o tempo e as amplitudes não são finitas. Nestecaso diz‐ se que o sistema é instável .
No caso do sistema amortecido a resposta pode ser instávelde duas formas: crescer sem oscilação ( instabilidade
divergente ) ou crescer com oscilação ( instabilidade flutter ).
Exemplo MathCad
Vibração livre
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
63/206
EstabilidadePodemos resumir todos os casos quanto à estabilidade:
1 Grau de Liberdade
k>0 k0 assimptoticamente estável instável (divergente)
c
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
64/206
EstabilidadeEXEMPLO: Consideremos o pêndulo invertido desprezando a massa do tirante.
1 Grau de Liberdade
ou
02
logo
1cos e sin
devalores pequenosPara
0sincossin2
NewtondeLei2ªaAplicando
22
2
2
mgl kl
ml
mgl kl ml
022 mg kl ml
Note ‐ se que se k , l e m forem tais que a rigidez equivalente é negativa o movimento do pêndulo será instável divergente.
ExemploWModel
Vibração livre
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
65/206
EstabilidadeEXEMPLO: A vibração da asa de um avião pode ser modelada,de forma simplificada, por:
1 Grau de Liberdade
xkx xc xm Onde x é um modelo aproximado das forças aerodinâmicas na asa doavião. Rearranjando:
0 kx xc xm Se for menor que c o sistema é estável mas se for maiorque c o sistema apresentará uma instabilidade do tipo flutter.
youtube youtube
Vibração livre
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
66/206
Vibração não
‐linearOs sistemas lineares têm normalmente solução analítica
simples. Os sistemas não‐ lineares não têm soluções analíticassimples e são mais complexos que os sistemas lineares.
A solução numérica destes sistemas é, por isso, aconselhada.
1 Grau de Liberdade
Vibração livre
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
67/206
Vibração não
‐linearOs sistemas não‐ lineares distinguem ‐ se dos lineares por
terem mais de um ponto de equilíbrio o que dificulta muito aanálise, medição e projecto dos sistemas.
1 Grau de Liberdade
Vibração livre
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
68/206
Vibração não
‐linearEXEMPLO: massa a deslocar ‐ se numa superfície com atrito.
1 Grau de Liberdade
0 para
0 para
xmg kx xm
xmg kx xm
O movimento da massa é descrito pelo sistema e por isso énão ‐ linear:
‐ coeficiente de atrito dinâmico
Nota:
este
tipo
de
amortecimento
é
conhecido
por
amortecimento de
Coulomb
Vibração livreVib ã ã li
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
69/206
Vibração não ‐linearEXEMPLO: massa a deslocar‐ se numa superfície com atrito.
1 Grau de Liberdade
Sabendo que a função sgn(x) retorna 1 se x>0, 0 se x=0 e ‐ 1 se
x
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
70/206
Vibração não ‐linearEXEMPLO: massa a deslocar‐ se numa superfície com atrito.
1 Grau de Liberdade
0 para 02
0 para 02
sistemanodosubstituin
2 e
221
221
221
211
11
iiiii
iiiii
iii
iiii
iii
iii
x μmg kx Δt
x x xm
x μmg kx Δt
x x xm
t x x x
t t x x
t x x
t x x x
t x x x
Resolvamos agora o sistema pelo método das diferençasfinitas regressivas:
0 para
0 para
xmg kx xm
xmg kx xm
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71/206
Vibração livreVibração não ‐linear
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
72/206
Vibração não linearEXEMPLO: massa a deslocar‐ se numa superfície com atrito.
1 Grau de Liberdade
0 2 4
4
2
2
4
6
Posição inicial 5 m e velocidade inicial 0Posição inicial 4.5 m e velocidade inicial 0
Sistema de 1 GDL sujeito a atrito (m=1000 kg, k=5000 N/m, coef atrito=0.3)
Exemplo WModel
MathCad Pêndulo
Vibração livreVibração não ‐linear
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
73/206
Vibração não linearEXEMPLO: massa a deslocar‐ se numa superfície com atrito.
1 Grau de Liberdade
Comparando com a resposta livre de um sistema com amortecimento
viscoso (linear):A amplitude decai linearmente ao contrário do sistema linear que decai exponencialmente
O movimento cessa numa posição de equilíbrio normalmente diferente da posição inicial enquanto que no caso do sistema linear cessa sempre na posição x=0
A frequência de oscilação é a mesma da frequência não amortecidao que não acontece no sistema linear
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
74/206
VIBRAÇÃO FORÇADA
1 Grau de Liberdade
Vibração forçadaExemplos
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
75/206
ExemplosExemplos de vibração forçada:
• A vibração de uma máquina em funcionamento• A vibração de uma ponte com veículos em
circulação• A vibração de um edifício sob a acção do vento• A vibração de um componente montado numa
máquina em funcionamento
1 Grau de Liberdade
Vibração forçadaVibração forçada por força harmónica (sem amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
76/206
Calculemos x(t). Do cálculo diferencial sabemos que a soluçãode uma equação linear não ‐ homogénea é igual à soma dasolução da equação homogénea e de uma solução particular:
t F t kxt xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
forçaaerespostaaentrefasedediferença- e queem
outipodoésoluçãocuja
:éresolveraldiferenciaequaçãoaAssim
. procuramosquesoluçãoaéreal parteaque saberemos jácomplexaformanasoluçãoaobtermosdeDepois
.cosdereal parteaécosquevezuma
porsubstituir podemoscos)(como
: particular solução pelaComecemos
j p p
t j p p
t j p p
t j p p
p
t j
t j
p
e X X
e X t xe X t x
Fet kxt xm
t x
t jFsent F Fet F
Fet f t F t f
t x
Vibração forçada por força harmónica (sem amortecimento)
Vibração forçadaVibração forçada por força harmónica (sem amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
77/206
Calculemos x(t). Do cálculo diferencial sabemos que a soluçãode uma equação linear não ‐ homogénea é igual à soma dasolução da equação homogénea e de uma solução particular:
t F t kxt xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
quemesmooéque
evidênciaem pondo
ldiferenciaequaçãonaosSubstituem
e :Derivemos
2
2
2
2
k m F
X
Fee X k mω
e X
Fee X k e X mω
e X ωt xe X jωt xt x
e X t x
p
t jt j p
t j p
t jt j p
t j p
t j p p
t j p p p
t j p p
Vibração forçada por força harmónica (sem amortecimento)
Vibração forçadaVibração forçada por força harmónica (sem amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
78/206
Calculemos x(t). Do cálculo diferencial sabemos que a soluçãode uma equação linear não ‐ homogénea é igual à soma dasolução da equação homogénea e de uma solução particular:
t F t kxt xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
2
2
22n
22
1
/
finalmentese-obteme pordividamos
/ se-obtem como
/
/ pordividamos
n
p
n
n p
p p
k F X
m F X m
k
mk m F
X mk m
F X
Vibração forçada por força harmónica (sem amortecimento)
Vibração forçada
Vibração forçada por força harmónica (sem amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
79/206
Calculemos x(t). Do cálculo diferencial sabemos que a soluçãode uma equação linear não ‐ homogénea é igual à soma dasolução da equação homogénea e de uma solução particular:
t F t kxt xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
seja...ouobtida,soluçãodareal parteaé procuramosquesolução
1
Assim
.forçaaerespostaaentretodesfasamenhánãoqueconcluímosdonde
0ReIm
atan e
1
/
vem comomas
2
2
A
e
ωω
F/k t x
X X
θ k F
X X
e X X
t j
n
p
p
p
n
p p
j p p
ç ç p ç ( )
Vibração forçadaVibração forçada por força harmónica (sem amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
80/206
A solução particular é então:
t F t kxt xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
ωt k F t x
n
p cos
1
/2
ç ç p ç ( )
Vibração forçadaVibração forçada por força harmónica (sem amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
81/206
Relembrando que a solução da equação homogénea, antes deentrar com as condições iniciais, é:
t F t kxt xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
t sen At At x
nn 21
cos
A solução total é a soma da homogénea com a particular:
2
21
21
212
0
1
/0
econstantesas
calcular podemos0e0iniciaiscondiçõesascomentrando
coscos
1
/
A x
k F A x
A A
x x
t sen At At k F
t x
n
n
nn
n
ç ç p ç ( )
Vibração forçadaVibração forçada por força harmónica (sem amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
82/206
Finalmente a solução é:
t F t kxt xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
t sen xt k F xt k F t x nn
n
nn
0cos
1
/0cos
1
/22
0 2 4 6 8 100.1
0.05
0
0.05
x t( )
t
n5.0
ç ç p ç ( )
Vibração forçada
Vibração forçada por força harmónica (sem amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
83/206
Finalmente a solução é:
t F t kxt xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
t sen xt k F xt k F t x nn
n
nn
0cos
1
/0cos
1
/22
0 5 10 15 20 25 300.4
0.2
0
0.2
0.4
x t( )
t
BatimentoBatimento
n9.0
Vibração forçada
Vibração forçada por força harmónica (sem amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
84/206
Finalmente a solução é:
t F t kxt xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
t sen xt k F xt k F t x nn
n
nn
0cos
1
/0cos
1
/22
0 2 4 6 8 102
1
0
1
2
x t( )
t
RessonânciaRessonância
n999.0
Vibração forçadaVibração forçada por força harmónica (sem amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
85/206
Calculemos, pelo método das diferenças finitas centrais, asolução numérica de x(t):
t F t kxt xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
2
122
11
211
211
11
cos2
vem, evidênciaem pondo
cos2
ldiferenciaequaçãonadosubstituin
2
2
t
m
t i F xt
m xk
t m
x x
t i F kxt x x x
m
t x x x
xt
x x x
ii
ii
iiii
iiii
iii
Vibração forçadaVibração forçada por força harmónica (sem amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
86/206
Calculemos, pelo método das diferenças finitas centrais, asolução numérica de x(t):
t F t kxt xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
2
122
1
cos2
t m
t i F xt
m xk
t m
xii
i
it 1itt
Assim, para arrancar o método necessita de dois deslocamentos iniciais:
02
1001
1
211
2112
11
1111
22
0fazerBasta.calcular podemos já
22expressõesasambasigualandoe
2evidênciaem pondo2
como,e
2evidênciaem pondo 2
como,ora,
xt x x xt x
i x
xt x x xt x
xt x x xt
x x x x
xt x xt x x x
iiiii
iiiiiii
i
iiiii
i
10 e x x
Vibração forçadaVibração forçada por força harmónica (sem amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
87/206
Calculemos, pelo método das diferenças finitas centrais, asolução numérica de x(t):
t F t kxt xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
it 1itt
Assim, para arrancar o método necessita de dois deslocamentos iniciais:
1
0000
02
001
calcular podese jáassime
0cos1
calcular podemos e temos jáComo2
22 logo
x
t F kxm
x x x
xt xt x x
2
122
1
cos2
t m
t i F xt
m xk
t m
xii
i
Vibração forçadaVibração forçada por força harmónica (com amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
88/206
Neste caso, a resposta ou movimento do sistema, x(t), seráharmónica após um período inicial de perturbação:
1 Grau de Liberdade
2 0 2 4 6 8 10
1
0.5
0.5
1
t F t kxt xct xm cos)()(
Vibração forçadaVibração forçada por força harmónica (com amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
89/206
Calculemos x(t):
t F t kxt xct xm cos)()(
1 Grau de Liberdade
t jt j p
t j p
t j p
t j p p
t j p p p
j p p
t j p p
t j p p p
p
t j
t j
p
ee X k e X cje X m
e X t xe X jωt xt x
e X X e X t x
Fet kxt xct xm
t x
t jFsent F Fet F
Fet f t F t f
t x
F
ldiferenciaequaçãonaosSubstituem e :Derivemos
forçaaerespostaaentrefasedediferença-
, queem tipodoésoluçãocuja
:éresolveraldiferenciaequaçãoaAssim
. procuramosquesoluçãoaéreal parteaque
saberemos jácomplexaformanasoluçãoaobtermosdeDepois
.cosdereal parteaécosquevezuma
porsubstituir podemoscos)(como
: particular solução pelaComecemos
2
2
Vibração forçadaVibração forçada por força harmónica (com amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
90/206
Calculemos x(t):
t F t kxt xct xm cos)()(
1 Grau de Liberdade
2222
n
2222
222
0
2
2
1
2
atan e 21
/
se- tem2
e comoe pordividindo
atan com
ou
quemesmooéque
se-obtem evidênciaem pondo
n
n j
nn
p
j p
j
j
p
t jt j p
t j p
ek F
X
kmc
mk k
k mc
eck m
F X
eck m
Fe jck m
F X
Fee X k jcme X
Vibração forçada
C l lVibração forçada por força harmónica (com amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
91/206
Calculemos x(t):
t F t kxt xct xm cos)()(
1 Grau de Liberdade
2
222 p
-t j
222 p
1
2
atan
com
-tcos
21
/
realcomponenteasó procuramoscomomas
e
21
/ Assim
n
n
nn
nn
k F t x
k F t x
Vibração forçada
C l lVibração forçada por força harmónica (com amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
92/206
Calculemos x(t):
t F t kxt xct xm cos)()(
1 Grau de Liberdade
Como a solução da equação homogénea, antes de entrarmoscom as condições iniciais, é:
t sen At Aet x d d t -
n
21 cos
Vibração forçada
C l l ( )Vibração forçada por força harmónica (com amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
93/206
Calculemos x(t):
t F t kxt xct xm cos)()(
1 Grau de Liberdade
cosecos21
/x
étotalsoluçãoA
d2d1-
222n t sen At At
k F t
t
nn
Vibração forçada
C l l ( )Vibração forçada por força harmónica (com amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
94/206
Calculemos x(t):
t F t kxt xct xm cos)()(
1 Grau de Liberdade
d
nn
d
nn
x A
k F x A
A x
Ak F
x
x x
0 e cos
21
/0
coscos seObtem
0
cos
21
/0
0 e 0iniciais,condiçõesascomEntrando
2222
1
2
1222
Vibração forçada
A solução (t) é então:Vibração forçada por força harmónica (com amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
95/206
A solução x(t) é então:
t F t kxt xct xm cos)()(
1 Grau de Liberdade
2
222222
2
2222
1
1
sin
21
/ cos
21
/00
0 e cos
21
/0
n
nnnn
n
d
nn
k F k F x x
A
x A
k F x A
t sen At Aet k F t x d d t -
nn
n
21
222coscos
21
/
Vibração forçada
A solução (t) é então:Vibração forçada por força harmónica (com amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
96/206
A solução x(t) é então:
t F t kxt xct xm cos)()(
1 Grau de Liberdade
t sen At Aet k F t x d d t -
nn
n
21
222coscos
21
/
Vibração forçada
A soluçãox(t) é então:
Vibração forçada por força harmónica (com amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
97/206
A solução x(t) é então:
t F t kxt xct xm cos)()(
1 Grau de Liberdade
t sen At Aet k F t x d d t -
nn
n
21
222coscos
21
/
2 0 2 4 6 8 10
1
0.5
0.5
1 RESPOSTA TRANSIENTE
Vibração forçada
A soluçãox(t) é então:
Vibração forçada por força harmónica (com amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
98/206
A solução x(t) é então:
t F t kxt xct xm cos)()(
1 Grau de Liberdade
t sen At Aet k F t x d d t -
nn
n
21
222coscos
21
/
2 0 2 4 6 8 10
1
0.5
0.5
1 RESPOSTA ESTACIONÁRIA
Vibração forçada
A soluçãox(t) na fase estacionária é:
Vibração forçada por força harmónica (com amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
99/206
A solução x(t) na fase estacionária é:
t F t kxt xct xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
cos
21
/222
t k F
t x
nn
2 0 2 4 6 8 10
1
0.5
0.5
1
diferença de fase entrea resposta e a excitação
amplitude de pico(depende da
relação freq. de excitação/freq.
natural) freq. de vibração (resposta)igual à freq. de excitação
Vibração forçada
A soluçãox(t) na fase estacionária é:
Vibração forçada por força harmónica (com amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
100/206
A solução x(t) na fase estacionária é:
t F t kxt xct xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
cos
21
/222
t k F
t x
nn
2 0 2 4 6 8 10
1
0.5
0.5
1
Vibração forçada
A soluçãox(t) na fase estacionária é:Vibração forçada por força harmónica (com amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
101/206
A solução x(t) na fase estacionária é:
t F t kxt xct xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
t k F
t x
nn
cos
21
/222
2
1
2
atan
n
n
Analisando com atenção a solução x(t) constatamos que quanto mais próxima fôr
da freq.natural, n, maior será a amplitude de pico da resposta.
Vibração forçada
O que podemos vêr nos seguintes exemplos:
Vibração forçada por força harmónica (com amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
102/206
O que podemos vêr nos seguintes exemplos:
t F t kxt xct xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
2 0 2 4 6 8 10
1
0.5
0.5
1
2 0 2 4 6 8 10
1
0.5
0.5
1
2 0 2 4 6 8 10
1
0.5
0.5
1
2 0 2 4 6 8 10
1
0.5
0.5
1
n >> n
Ressonância
Vibração forçada
Tracemos então a curva FACTOR de AMPLIAÇÃO, Q( ), queVibração forçada por força harmónica (com amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
103/206
Tracemos então a curva FACTOR de AMPLIAÇÃO, Q( ), quenos dá a amplitude de pico da resposta em função dafrequência da excitação:
t F t kxt xct xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
t k F t x
nn
cos
21
/222
k F
X Q/
t X t x cos
Vibração forçada
Tracemos então a curva FACTOR de AMPLIAÇÃO, Q( ), queVibração forçada por força harmónica (com amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
104/206
Tracemos então a curva FACTOR de AMPLIAÇÃO,Q( ), quenos dá a amplitude de pico da resposta em função dafrequência da excitação:
t F t kxt xct xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
t k F t x
nn
cos
21
/222
0 1 2 3 4 50
5
10
/ n
K F
X Q
/
RessonânciaX=Xmáx 1
Vibração forçada
Tracemos então a curva FACTOR de AMPLIAÇÃO, Q( ), queVibração forçada por força harmónica (com amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
105/206
ace os e tão a cu va C O de Ç O,Q( ), quenos dá a amplitude de pico da resposta em função dafrequência da excitação:
t F t kxt xct xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
t k F t x
nn
cos
21
/222
0 1 2 3 4 50
90
180
Ressonância( 9̴0o)
/ n
( )
Vibração forçada
A ressonância verifica‐ se quando é máxima a amplitude de
Vibração forçada por força harmónica (com amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
106/206
q ppico da resposta. Então, calculando o máximo da curvaobtem ‐ se a frequência de ressonância:
t F t kxt xct xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
0 1 2 3 4 50
5
10
1 / n
221 nQmáx 0Qd d
K F
X Q
/
nQmáx
RessonânciaX=Xmáx
Vibração forçada
Analisando a expressão, também constatamos que aVibração forçada por força harmónica (com amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
107/206
p , qamplitude de pico da resposta depende do factor deamortecimento, , o mesmo é dizer do amortecimento, c:
t F t kxt xct xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
0 1 2 3 4 50
5
10
15
20
25
=0.025
=0.1
=0.21 / n
K F
X Q
/
Vibração forçada
Analisando a expressão, também constatamos que a
Vibração forçada por força harmónica (com amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
108/206
p , qamplitude de pico da resposta depende do factor deamortecimento, , o mesmo é dizer do amortecimento, c:
t F t kxt xct xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
0 1 2 3 4 50
5
10
15
20
25
=0.025
=0.1
=0.21 / n
K F
X Q
/
Maior amortecimento implica menoramplitude de pico na ressonânciaMaior amortecimento implica menoramplitude de pico na ressonância
Vibração forçada
…e também constatamos que o desfasamento de fase entre aVibração forçada por força harmónica (com amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
109/206
qforça e a resposta depende do factor de amortecimento, :
t F t kxt xct xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
0 1 2 3 4 50
90
180
=0.025
=0.1
=0.2
/ n
Vibração forçada
…e também constatamos que o desfasamento de fase entre a
Vibração forçada por força harmónica (com amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
110/206
força e a resposta depende do factor de amortecimento, :
t F t kxt xct xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
0 1 2 3 4 50
90
180
=0.025
=0.1
=0.2
/ n
Maior amortecimento implica menordesfasamento na ressonância
Maior amortecimento implica menordesfasamento na ressonância
Vibração forçada
Note ‐ se que quando 1/ 2 a frequência de ressonância éVibração forçada por força harmónica (com amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
111/206
imaginária logo a amplitude de resposta máxima ocorre em=0.
t F t kxt xct xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
0 0.2 0.4 0.6 0.80
0.5
1
221 nQmáx n
Qmáx
2
1
Vibração forçada
Note ‐ se também que a frequência de ressonância só é igual àVibração forçada por força harmónica (com amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
112/206
frequência natural quando o sistema não é amortecido ( =0)e que diminui para >0.
t F t kxt xct xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
0 0.2 0.4 0.6 0.80
0.5
1
221 nQmáx n
Qmáx
2
1
Vibração forçada
Substituindo esta frequência na expressão do factor deli ã b li d d â i
Vibração forçada por força harmónica (com amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
113/206
ampliação obtem ‐ se a amplitude de resposta na ressonânciaem função de :
t F t kxt xct xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
0 0.2 0.4 0.6 0.80
20
40
60
212
1máxQ )(máxQ
2
1
Vibração forçada
Temos então outra forma de identificar o amortecimento,lé d d l í i i d d
Vibração forçada por força harmónica (com amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
114/206
para além do decremento logarítmico, a partir da curva dofactor de ampliação:
t F t kxt xct xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
212
1máxQ
0 1 2
( )
n
Q
Q máx
A análise deste modelo também se pode fazer recorrendo aoit d F ã d R t F ê i (FRF)
Vibração forçadaVibração forçada por força harmónica (com amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
115/206
conceito de Função de Resposta em Frequência (FRF):
t F t kxt xct xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
F X
A importância da FRF deriva do facto de ser fácil obtê‐
la experimentalmente. Mede‐
se a resposta em i e aforça em j , calcula‐ se a FFT de ambas e divide‐ se atransformada da resposta pela transformada da força.Obtem ‐ se assim a resposta na coordenada i para uma
força unitária em j .
Vibração forçada
t k F t x cos/222
Vibração forçada por força harmónica (com amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
116/206
t F t kxt xct xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
nn
21
22
222
21
/1
nn
k F X
21
2
atan
n
n
Função de resposta em frequência
Vibração forçada
Vibração forçada por força harmónica (com amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
117/206
t F t kxt xct xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
21
2atan
n
n
222
21
/1
nn
k F X
0 1 2
( )
n
0 1 2
( )
n
k 1
Vibração forçada
Uma pequena variação da frequência de
Vibração forçada por força harmónica (com amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
118/206
t F t kxt xct xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
0 1 2
( )
n
0 1 2
( )
n
excitação origina uma reduçãosubstancial da amplitude de vibração e
uma variação de 180º na fase
A diferença de fase entre a excitação e osistema é próxima dos 90º
A ressonância é altamente direccionaluma vez que a rigidez varia com adirecção, assim, é de esperar variação
substancial da amplitude de vibração coma direcção da medição
Vibração forçada
Quando a frequência de excitação é praticamente igual àfrequência natural a amplitude de resposta é máxima
Vibração forçada por força harmónica (com amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
119/206
t F t kxt xct xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
frequência natural, a amplitude de resposta é máxima ‐Ressonância
1 ( )2 ( )
3 ( )
Vibração forçada
Quando a frequência de excitação é praticamente igual àfrequência natural a amplitude de resposta é máxima
Vibração forçada por força harmónica (com amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
120/206
t F t kxt xct xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
frequência natural, a amplitude de resposta é máxima ‐Ressonância
0 1 2
( )
n
Vibração forçada
Quando a frequência de excitação é praticamente igual àfrequência natural a amplitude de resposta é máxima
Vibração forçada por força harmónica (com amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
121/206
t F t kxt xct xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
frequência natural, a amplitude de resposta é máxima ‐Ressonância
Teste do impacto Teste do run ‐up
Vibração forçada
Quando a frequência de excitação é praticamente igual àfrequência natural a amplitude de resposta é máxima
Vibração forçada por força harmónica (com amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
122/206
t F t kxt xct xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
frequência natural, a amplitude de resposta é máxima ‐Ressonância
Vibração forçada
Vejamos como se obtém numericamente a solução x(t) daequação diferencial pelo método das diferenças finitas
Vibração forçada por força harmónica (com amortecimento)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
123/206
equação diferencial pelo método das diferenças finitascentrais:
t F t kxt xct xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
t
c
t
m
t i F xt
mt
c xk
t m
x x
t i F kxt
x xc
t
x x xm
t x x x
x
t x x
x
ii
ii
iiiiii
iiii
iii
2
cos2
2
vem, evidênciaem pondo
cos2
2
ldiferenciaequaçãonadosubstituin
2
2
2
122
11
11
2
11
211
11
Vejamos como se obtém numericamente a solução x(t) daequação diferencial pelo método das diferenças finitas
Vibração forçadaVibração forçada por força harmónica (com amortecimento)
mcm2
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
124/206
equação diferencial pelo método das diferenças finitascentrais:
t F t kxt xct xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
t c
t m
t i F xt
mt
c xk
t m
xii
i
2
cos2
2
2
122
1
it 1itt
Assim, para arrancar o método necessita de dois deslocamentos iniciais:
02
1001
1
211
2112
11
1111
22
0fazerBasta.calcular podemos já
22expressõesasambasigualandoe
2evidênciaem pondo2
como,e
2evidênciaem pondo 2
como,ora,
xt x x xt x
i x
xt x x xt x
xt x x xt
x x x x
xt x xt x x x
iiiii
iiiiiii
i
iiiii
i
10 e x x
Vejamos como se obtém numericamente a solução x(t) daequação diferencial pelo método das diferenças finitas
Vibração forçadaVibração forçada por força harmónica (com amortecimento)
mcm2
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
125/206
equação diferencial pelo método das diferenças finitascentrais:
t F t kxt xct xm cos)()( 1 Grau de Liberdade
t c
t m
t i F xt
mt
c xk
t m
xii
i
2
cos2
2
2
122
1
it 1itt
Assim, para arrancar o método necessita de dois deslocamentos iniciais:
1
00000
02
001
calcular podese jáassime
0cos1calcular podemos e temos jáComo
222
logo
x
t F kx xcm
x x x
xt xt x x
Exemplo MathCad
Exemplo WModel
Vibração forçadaVibração forçada por desequilíbrio de massa rotativa (com amortecimento)
Se força f(t) fôr resultante de um desequilíbrio de massa, aresposta ou vibração do sistema, x(t) também será harmónica
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
126/206
p ç , ( )após um período inicial de perturbação:
t emt kxt xct xm d cos)()( 2 1 Grau de Liberdade
2 0 2 4 6 8 10
1
0.5
0.5
1
excentricidade
massa de desequilíbrio
Vibração forçadaVibração forçada por desequilíbrio de massa rotativa (com amortecimento)
Este é o caso de todas as máquinas rotativas, tais comomotores eléctricos, turbinas, geradores, compressores ou
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
127/206
, , g , ptornos, que devido às imperfeições nos seus componentes
rotativos (irregularidades na distribuição de massa) criamdesequilíbrios dinâmicos. O desequilíbrio é, por isso, umaavaria muito comum.
t emt kxt xct xm d cos)()( 2 1 Grau de Liberdade
Vibração forçadaVibração forçada por desequilíbrio de massa rotativa (com amortecimento)
Para calcularmos x(t) basta lembrar que no caso de uma forçaharmónica de amplitude constante a solução é:
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
128/206
p ç
t emt kxt xct xm d cos)()( 2 1 Grau de Liberdade
Ora a diferença para o caso do desequilíbriorotativo está na amplitude da excitação.
t sen At Aet k F
t x d d t -
nn
n
21222 coscos
21
/
Vibração forçadaVibração forçada por desequilíbrio de massa rotativa (com amortecimento)
Assim x(t) é dado por:kem td
2 /
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
129/206
t emt kxt xct xm d cos)()( 2 1 Grau de Liberdade
d
nn
d
x A
k em x A
0
e
cos
21
/0
2
222
2
1
t sen At Aet k emt x d d t -
nn
d n
21
222coscos
21
/
Vibração forçadaVibração forçada por desequilíbrio de massa rotativa (com amortecimento)
E a componente estacionária de x(t) é:k/2
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
130/206
t emt kxt xct xm d cos)()( 2 1 Grau de Liberdade
t k em
t x
nn
d cos
21
/222
2
21-
1
2tan
n
n
Vibração forçadaVibração forçada por desequilíbrio de massa rotativa (com amortecimento)
Neste caso o FACTOR de AMPLIAÇÃO será:
22 // d d
k emmm
k emX
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
131/206
t emt kxt xct xm d cos)()( 2 1 Grau de Liberdade
222
2
222
2
222222
2121
2121
nn
n
d
nn
d
nnnn
em
m
mk
emm
X
222
2
21
nn
n
d em
m X
Q
Vibração forçadaVibração forçada por desequilíbrio de massa rotativa (com amortecimento)
Finalmente:
2
2
nQ
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
132/206
t emt kxt xct xm d cos)()( 2 1 Grau de Liberdade
0
5
10
1
mme
X Q
d /
/ n
=0.05
=0.1
=0.3
222
21
nn
Vibração forçadaVibração forçada por desequilíbrio de massa rotativa (com amortecimento)
a frequência de ressonância, para
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
133/206
t emt kxt xct xm d cos)()( 2 1 Grau de Liberdade
0
5
10
1
mme
X Q
d /
/ n
=0.05
=0.1
=0.3
221 Qmáx 0Q
d nQmáx
Exemplo MathCad
MathCad
WModel
Vibração forçadaVibração forçada por desequilíbrio de massa rotativa (com amortecimento)
e o factor de ampliação máximo será:1
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
134/206
t emt kxt xct xm d cos)()( 2 1 Grau de Liberdade
1241
12121
1
2
22
22
máxQ
Vibração forçadaVibração forçada por desequilíbrio de massa rotativa (com amortecimento)
Chama‐ se velocidade crítica à velocidade que excita afrequência natural do veio em rotação. A ressonância
l d d d
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
135/206
resultante ocorre independentemente da sua orientação.
t emt kxt xct xm d cos)()( 2 1 Grau de Liberdade
Vibração forçadaVibração forçada por desequilíbrio de massa rotativa (com amortecimento)
A velocidade crítica pode ser dividida em duas categoriasdependendo do modo de vibração excitado:
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
136/206
t emt kxt xct xm d cos)()( 2 1 Grau de Liberdade
• Modo de corpo rígido (sistema massa, mola e
amortecedor, onde a mola e o amortecedor é achumaceira de apoio e a massa é o veio que seconsidera indeformável). Como quase todos os
rotores têm várias chumaceiras há mais de ummodo de corpo rígido.• Modo de corpo flexível. O veio é o sistema
forçado a vibrar em flexão ou à torção.
Vibração forçadaVibração forçada por desequilíbrio de massa rotativa (com amortecimento)
Os modos de corpo rígido para um veio apoiado em duaschumaceiras podem ser tipo pitch ou bounce . No primeiro
h i ib d f d 180 o d
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
137/206
caso as chumaceiras vibram desfasadas 180 o e no segundo
caso vibram em fase.
t emt kxt xct xm d cos)()( 2 1 Grau de Liberdade
Exemplo MathCad
Exemplo WModel
Vibração forçadaVibração forçada por qualquer força (com amortecimento)Até agora vimos como calcular a resposta a uma força sinusoidal (umasó frequência). Vejamos como calcular a resposta a qualquer tipo deforça ou combinações de forças.
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
138/206
força ou combinações de forças.
Como o nosso modelo de 1gdl é um modelo linear, o PRINCÍPIO DASOBREPOSIÇÃO aplica‐ se. Isto significa que a resposta a váriascombinações de forças é igual à soma das respostas a cada uma das
forças.
)()()( t f t kxt xct xm 1 Grau de Liberdade
Vibração forçadaVibração forçada por qualquer força (com amortecimento)
Uma fonte de vibração muito comum é a aplicação de uma força decurta duração chamada Impulso. A resposta do sistema a um impulso éidêntica à resposta livre com determinadas condições iniciais.
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
139/206
p ç
)()()( t f t kxt xct xm 1 Grau de Liberdade
)(t f
2 I
t
Vibração forçadaVibração forçada por qualquer força (com amortecimento)
Define‐ se Impulso da força f(t) o integral:
)(t f
I NsdttfI )(
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
140/206
)()()( t f t kxt xct xm 1 Grau de Liberdade
2
t
Ns dt t f I )(
Como a função é nula fora do intervalo:
I I
dt t f dt t f I 22)()(
Vibração forçadaVibração forçada por qualquer força (com amortecimento)
Quando se aplica um impulso a uma massaem repouso altera ‐ se o seu momento:
I 000
)(t f
2 I
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
141/206
)()()( t f t kxt xct xm 1 Grau de Liberdade
m I
x
xm xm xm xm I
0
logo
0002
t
Ou seja, a aplicação de um impulso, I, noinstante t=0 , a uma massa em repouso, temcomo efeito colocá‐ la em movimento com
uma velocidade: m I
x 0
Vibração forçadaVibração forçada por qualquer força (com amortecimento)
Podemos então concluir que a resposta aum impulso I é a mesma que a resposta livrecom condições iniciais:
)(t f
2 I
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
142/206
ç
)()()( t f t kxt xct xm 1 Grau de Liberdade
2
t
Relembrando a resposta de um sistemalivre subamortecido e substituindo estascondições iniciais:
m I x 0 00 x
t senem I
t x d t -
d
n
Exemplo WModel
Vibração forçadaVibração forçada por qualquer força (com amortecimento)
Também podemos escrever:
)(t f
2 I t Iht x
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
143/206
)()()( t f t kxt xct xm 1 Grau de Liberdade
2
t
t senme
t h d d
t - n
com:
Resposta
a
um
impulso
unitário
(I=1)
aplicado no instante t=0
ou, se o impulso for aplicado num instante qualquert= :
t senm
et h d d
t - n
MathCad
Vibração forçadaVibração forçada por qualquer força (com amortecimento)
Se a força aplicada for arbitrária, podemos considerá ‐ la constituída porinfinitas forças impulsivas, de duração t, aplicadas em instantesconsecutivos t i . Assim, a resposta após j intervalos t é:
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
144/206
)()()( t f t kxt xct xm 1 Grau de Liberdade
1 j
ii ji j t t tht f t x
lembrando que o impulso aplicado no instante t i é:
t t f
i
t f
t
it f
Vibração forçadaVibração forçada por qualquer força (com amortecimento)
Assim, a resposta x(t) a uma força arbitrária é:
d t h f t xt
j
ijij t t tht f t x
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
145/206
)()()( t f t kxt xct xm 1 Grau de Liberdade
0
Este integral é conhecido como o INTEGRAL DE CONVOLUÇÃO.
Este método de cálculo da resposta é conhecido como o Método da Resposta Impulsiva.
1ii ji j
Vibração forçadaVibração forçada por qualquer força (com amortecimento)
Logo, para um sistema de 1 gdl subamortecido e em repouso nomomento da aplicação da força arbitrária:
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
146/206
)()()( t f t kxt xct xm 1 Grau de Liberdade
sene
0d
d
- n
t t
p d t m f t x
Calculemos agora x(t). Do cálculo diferencialsabemos que a solução de uma equação linear não ‐homogénea é igual à soma da solução da equaçãohomogénea e de uma solução particular.
Vibração forçadaVibração forçada por qualquer força (com amortecimento)
Ou, dito de outra forma, como o sistema, sujeito à excitação, podeapresentar condições iniciais diferentes do repouso, temos queconsiderar a solução da equação homogénea, ou seja:
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
147/206
)()()( t f t kxt xct xm 1 Grau de Liberdade
t)()cos( 21- n pd d t xt sen At Aet x
Com as constantes A obtidas pelas condições iniciais:
d
p pn
p
x x x x A
x x A
0000
00
2
1
Exemplo MathCad
Vibração forçadaTransmissibilidade
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
148/206
1 Grau de Liberdade
Vibração forçadaTransmissibilidadeSistemas isoladores:
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
149/206
1 Grau de Liberdade
Vibração forçadaTransmissibilidadeA função do isolador é reduzir a amplitude do movimento transmitidopor uma fundação vibrante ao equipamento, ou, reduzir a amplitude daforça transmitida do equipamento à sua fundação.
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
150/206
1 Grau de Liberdade
Isoladores:
Vibração forçadaTransmissibilidadeIsoladores:
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
151/206
1 Grau de Liberdade
Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação harmónica da baseMuitas vezes as máquinas são excitadas harmonicamente através dosseus apoios elásticos. Por exemplo, a suspensão de um automóvel éexcitada harmonicamente pela superfície da estrada.
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
152/206
Neste caso, a equação diferencial é dada por:
t yct kyt kxt xct xm )()(1 Grau de Liberdade
)()()()()( t yct kyt kxt xct xm
)cos()( t Y t y
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
153/206
Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação harmónica da baseCalculemos a solução particular, x p1(t) para a excitação:
t kY t ky cos)(
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
154/206
t yct kyt kxt xct xm )()(1
Grau
de
Liberdade
Relembrando a solução particular para um sistema excitado por umaforça harmónica obtem ‐ se:
t
Y t x
nn
p1
cos
21
2222
1
2
atan
n
n
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
155/206
Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação harmónica da baseA solução particular é então:
tXtXtx coscos
t xt xt x p p p 21
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
156/206
t yct kyt kxt xct xm )()(1
Grau
de
Liberdade
t sen X t X t x
t X t X t x
p p p
p p p
21
21
cos
ou2
coscos
Relembrando que: sen sencos coscos
2 p X
1 p X
X X X p p2
22
1
Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação harmónica da baseTem‐ se:
t sen X t X XX
X X
t sen X t X t x
p p p p
p p p
cos
cos
2122
22
21
21
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
157/206
t yct kyt kxt xct xm )()(1
Grau
de
Liberdade
Ou: t X X
X X
p p
p p
cos222
1
21
t Y
Y t x
nn
n
nn
p cos
21
2
21
2
222
2
222
Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação harmónica da baseFinalmente:
t Y t x n p cos
21
222
2
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
158/206
t yct kyt kxt xct xm )()(1
Grau
de
Liberdade
e
nn
p
21
22
n
2atan
Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação harmónica da baseA solução será então:
t Y t sen At Aet x nd d t - n cos
21
cos222
2
21
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
159/206
t yct kyt kxt xct xm )()(1
Grau
de
Liberdade
Onde as constantes A1 e A2 têm de ser calculadas entrando com as
condições iniciais.
nn
21
22
Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação harmónica da baseNeste tipo de problemas é usual interessar ‐ nos a relação entre aamplitude da resposta e a da excitação em regime estacionário (soluçãoparticular da equação diferencial):
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
160/206
t yct kyt kxt xct xm )()(1 Grau de Liberdade
Y X TR
Esta relação é conhecida por TRANSMISSIBILIDADE.
Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação harmónica da baseA relação entre amplitudes é então:
2
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
161/206
t yct kyt kxt xct xm )()(1 Grau de Liberdade
222
21
21
nn
n
Y X
TR
WModel
Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação harmónica da baseSe a amplitude da massa fôr em velocidade:
Y
X Y X
2logo:
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
162/206
t yct kyt kxt xct xm )()(1 Grau de Liberdade
222
21
21
nn
n
Y X
que dividimos por ω n para ter uma relação adimensional:
2
22
2
21
21
nn
n
nnY
X
Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação harmónica da baseou em aceleração:
Y
X Y
X 2
logo:
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
163/206
t yct kyt kxt xct xm )()(1 Grau de Liberdade
22
2
2
2
2
21
21
nn
n
nnY
X
g
Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação harmónica da baseA transmissibilidade pode ser visualizada em gráfico:
2
3
Y
X
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
164/206
t yct kyt kxt xct xm )()(1 Grau de Liberdade
222
21
21
nn
n
Y X
TR
0 2 4 60
1
2=0.25=0.5
=0.75
2
n
Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação harmónica da base
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
165/206
t yct kyt kxt xct xm )()(1 Grau de Liberdade
Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação harmónica da baseSe considerarmos o movimento relativo da massa e base, z(t) , e não omovimento absoluto, x(t):
)()()( t yt xt z
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
166/206
t yct kyt kxt xct xm )()(1 Grau de Liberdade
t mY t kz t z ct z m cos)()()( 2
)cos()( t Y t y
Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação harmónica da baseA solução z(t) desta equação é igual à soma das soluções da equaçãohomogénea e da particular:
t z t sen At At z pt d2d1- cose n
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
167/206
t yct kyt kxt xct xm )()(1 Grau de Liberdade
A solução particular é igual à solução para a excitação:
t mY t f cos)( 2
Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação harmónica da base
Relembrando a solução particular para um sistema excitado por umaforça harmónica obtem ‐ se:2
Y 2
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
168/206
t yct kyt kxt xct xm )()(1 Grau de Liberdade
cos
21
222
t t z
nn
n p
2
1
atan
n
n
Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação harmónica da base
A solução será então:
t
Y
t sen At At z nt coscose222
2
d2d1- n
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
169/206
t yct kyt kxt xct xm )()(1 Grau de Liberdade
Onde as constantes A1 e A2 têm de ser calculadas entrando com as
condições iniciais.
nn
21
Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação harmónica da base
Como estamos interessados na parte estacionária:
2
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
170/206
t yct kyt kxt xct xm )()(1 Grau de Liberdade
222
21
nn
n
Y Z
Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação harmónica da base
sendo o gráfico:
10
Z
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
171/206
t yct kyt kxt xct xm )()(1 Grau de Liberdade
0
5
1
Y
/ n
=0.05
=0.1
=0.3WModel
Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação da base por massa desequilibrada
É o caso da excitação de um aparelho de medida montado numamáquina rotativa ou dos ocupantes de uma viatura.
Neste caso, a equação diferencial é dada por:
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
172/206
t yct kyt kxt xct xm )()(1 Grau de Liberdade
)()()()()( t yct kyt kxt xct xm
)cos()( 2 t emt y d
Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação tipo choque da base
O estudo da transmissibilidade de choques é também importante,especialmente pela sua complexidade.
O choque costuma ser modelado por metade do ciclo de uma sinusóide:
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
173/206
t yct kyt kxt xct xm )()(1 Grau de Liberdade
t
t t
t t 0 t t
Ysent y
0
t y
Y
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
174/206
Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação tipo choque da base
A resposta, x(t), ao choque pode ser calculada por qualquer dosmétodos já referidos, integral de convolução, diferenças finitas, Euler ouRunge Kutta. Vejamos alguns exemplos:
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
175/206
t yct kyt kxt xct xm )()(1 Grau de Liberdade
: serát xrespostaa s,5t fôr duraçãoa seasm ...
0 5 10 15 20
0.02
0.02
0.04
t x t y
Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação tipo choque da base
A resposta, x(t), ao choque pode ser calculada por qualquer dosmétodos já referidos, integral de convolução, diferenças finitas, Euler ouRunge Kutta. Vejamos alguns exemplos:
N/800k
:rigidez maior com sistemaumagoraSuponhamos
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
176/206
t yct kyt kxt xct xm )()(1 Grau de Liberdade
: serát xrespostaa s,1t duraçãoem0.02Y amplitudede
,t ychoque,mesmoum por excitadaapoiodebaseaSendo
N/m800k
0 5 10 15 20
0.01
0.01
0.02
0.03
t x t y
Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação tipo choque da base
Para podermos comparar com a transmissibilidade de movimentosharmónicos tracemos a razão adimensional máxima amplitude deresposta sobre máxima amplitude do choque em função da duração doimpulso, que aparece nas abcissas como uma relação também
di i l n t/
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
177/206
adimensional n t/ :
t yct kyt kxt xct xm )()(1 Grau de Liberdade
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
0.5
1
1.5
2
1
=0.02=0.1
=0.5
t n
t Y
xmáx )(
Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação tipo choque da base
Podemos vêr que só teremos redução de amplitude na resposta(máx|x|/Y)
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
178/206
duração do impulso pior será o isolamento.
t yct kyt kxt xct xm )()(1 Grau de Liberdade
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
0.5
1
1.5
2
1
=0.02
t n
t Y
xmáx )(
0.50.5
Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação tipo choque da base
Outra forma de calcularmos a resposta a um choque poderá ser pelasoma das respostas aos movimentos harmónicos da base de suporte,considerando o sistema linear e tendo em conta o conteúdo frequencialdo choque:
st 030 st 010
8/15/2019 1 Grau de Liberdade
179/206
t yct kyt kxt xct xm )()(1 Grau de Liberdade
Hz f
f X
Hz f
f X
st 03.0 st 01.0
Vibração forçadaTransmissibilidade. Excitação tipo choque
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