10 Lista de Exerccio de MAT0112 (10 semestre 2014)
Turmas: 2014122 e 2014124
Referncias principais(nas quais a lista foi baseada):
1. Reis e Silva: Geometria Analtica
2. Stewart: Calculo I
3. G. Strang, �Algebra linear e aplica�c~oes, 4o Edi�c~ao, Cengage Learning.
4. S. Lipschutz and M. Lipson, �Algebra linear, 3o Edi�c~ao, Cole�c~ao Schaum.
1 Parte 1:
1.1 I-Recordao
Problema 1.1. Determine a equa�c~ao da reta do tipo y = mx+ b que passapor (�1; 2) e (3;�4).Problema 1.2. Esboce
(a) A reta C = f(x; y) 2 R2jx+ 2y = 5g(b) A regio R = f(x; y) 2 R2jx+ 2y > 5g
Problema 1.3. Resolva a desigualdade jx� 3j+ jx+ 2j < 11
Problema 1.4. Determine cos2(�), sin2(�) em termos de cos(2�).
Problema 1.5. Encontre os valores de x que satisfa�cam a cada uma dasdesigualdades:
(a) jx� 2j < 1
(b) jx� 2j > 1
(c) jx� 2j = 1
(d) jx2 � 4j � 2
1
(e) j3� 2x2j � 9
(f) jx� 1j < jx� 2jProblema 1.6. Encontre os valores de x que satisfa�cam as seguintes de-sigualdades:
(a) 3x+ 5 < 23
(b) (x� 1)(x� 3) < 0
(c) x2 � 5x < �6(d) x3 + x2 � 0
(e) 2xx�2 � 1
Problema 1.7. Resolva as seguintes equa�c~oes:
(a) x2 � 5jxj+ 6 = 0
(b) x2 + 4jxj � 21 = 0
(c) x2 + 4jxj+ 3 = 0
(d) jx2 � 3xj = 2
(e) (jxj5 + j18x3j+ 1)(x2 � 1) = 0
Problema 1.8. Uma caixa retangular aberta com volume de 2 m3 tem umabase quadrada. Expresse a �area super�cial da caixa como uma fun�c~ao docomprimento de um lado da base.
Problema 1.9. Expresse a hipotenusa h do triangulo retangulo com uma�area de 25 m2 como uma fun�c~ao do seu per��metro P .
Problema 1.10. A queda de uma pedra em um lago cria ondas circularesque se espalham a uma velocidade de 60 cm=s.
(a) Expresse o raio desse c��rculo como uma fun�c~ao do tempo t (em segun-dos).
(b) Se A(r) �area do c��rculo com raio r, encontre a fun�c~ao A �R (onde R(�)a fun�c~ao obtida no item a) e interprete-a.
2
Problema 1.11. Fa�ca o gr�a�co de cada fun�c~ao, sem desenhar um conjuntode pontos discretos, mas come�cando com o gr�a�co de uma fun�c~ao b�asica eent~ao aplicando as transforma�c~oes apropriadas.
(a) f(x) = (x+ 1)2
(b) f(x) = 1 + 2 cos(x)
(c) f(x) = sen (x=2)
(d) f(x) =px+ 3
(e) f(x) = 12(x2 + 8x)
(f) f(x) = 2x+1
(g) f(x) = jsen (x)j
1.2 Respostas da Parte 1
Problema 1.1: y = �32x+ 1
2
Problema 1.3: �5 < x < 6
Problema 1.4: cos2(�) = 1+cos(2�)2
, sin2(�) = 1�cos(2�)2
Problema 1.5:
(a) (1; 3)
(b) (�1; 1) [ (3;1)
(c) f1; 3g(d) (�1;�p6) [ [�p2;
p2] [ [
p6;1)
(e) [�p6;p6]
(f) (�1; 3=2)
Problema 1.6:
3
(a) (�1; 6)
(b) (1; 3)
(c) (2; 3)
(d) [�1;1)
(e) (�1;�2] [ (2;1)
Problema 1.7
(a) 2;�2; 3;�3 (Dica: pode-se usar que x2 = jxj2).(b) 3;�3(c) No tem raizes.
(d) 1; 2; (3 +p17)=2; (3�p
17)=2
(e) 1;�1
Problema 1.8: S(x) = x2 + 8xcom x > 0
Problema 1.9: h(P ) = P 2�1002P
Problema 1.10
(a) R(t) = 60t
(b) A �R(t) = 3600�t2, a rea do crculo como uma funo do tempo.
4
2 Parte 2: Plano
Problema 2.1. Escreva o vetor (7;�1) como soma de dois vetores, umparalelo ao vetor (1;�1) e outro paralelo ao vetor (1; 1).
Problema 2.2. Dados A = (1; 3) e B = (2; 2) determine x para que areta de�nida pelo ponto m�edio AB e o ponto (x; 0) seja paralela ao vetorv = (1; 2).
Problema 2.3. Os pontos A = (1;�5), B = (5; 2) e C = (3; 9) so tresv�ertices de um paralelogramo. Ache tres pontos, cada um dos quais podendoser o seu quarto v�ertice.
Problema 2.4. Determine como deve variar o m�odulo e o sentido F1 e F2
(isto �e, por quais cosntantes se deve multiplicar F1 e F2) para qual a resultantedestas foras seja F sendo kFk = p
3 kF1k = 2 e kF2k = 1 (o angulo F entreF1 30 graus, e o angulo entre �F1 e F2 60 graus)
Problema 2.5. Num ponto atuam tres for�cas F1 = (�3;�4) F2 = (�1; 2),F3 = (2; 1).
(a) Elas est~ao em equil��brio?
(b) Mantendo a dire�c~ao e o sentido de F2 F3, como podemos modi�c�a-lasde modo que o sistema �que em equil��brio?
(c) �E poss��vel colocar o sistema em equil��brio mantendo-se F1 e F2 �xas evariando apenas o m�odulo e o sentido de F2?
Problema 2.6. Calcule a resultante das for�cas F1, F2 e F3 sabendo que:
1. kF1k = 1 e F1 horizontal
2. F2 = F1 + u1 onde ku1k = 1 e u1 perpendicular a F1
3. F3 = F2 + u2 onde ku2k = 1 e u2 perpendicular a F2.
Problema 2.7. Sejam u = (2; 4) e v = (�3; 5). Determine:
(a) o produto escalar de u e v
(b) o angulo entre u e v
5
(c) a projeo Pv(u) de u em v.
Problema 2.8. Dado o triangulo cujos v�ertices so A = (1; 1) B = (4; 0) eC = (3; 4), determine:
(a) os angulos A, B, C.
(b) as proje�c~oes dos lados AC e BC sobre o lado AB;
(c) o p�e da altura relativa ao v�ertice C;
(d) a �area do triangulo ABC;
Problema 2.9. Calcule a �area do paralelogramo cujos v�ertices so os pontosm�edios dos lados do quadrilatero ABCD sendo A = (0; 1), B = (�4;�1),C = (5;�3) e D = (7; 0).
Problema 2.10. Considere a proje�c~ao de v em u dada por Pu(v) = (2; 1)onde u = (4; 2) e kvk = 6. Determine v.
Problema 2.11. Escreva as equa�c~oes da reta (param�etrica e carteziana)que:
(a) cont�em o ponto (�1; 1) e tem a dire�c~ao do vetor (2; 3)
(b) cont�em os pontos A = (3; 2) e B = (�3; 1)Problema 2.12. Escreva as equa�c~oes param�etricas da reta que cont�em oponto (1; 2) e faz com a reta y = �2x+ 4 um angulo de 600.
Problema 2.13. Determine o angulo menor entre as retas:
(a) 2x+ 3y = 1 e y = �5x+ 8
(b) x+ y + 1 = 0 e x = 1� 2t, y = 2 + 5t
Problema 2.14. Escreva as equa�c~oes param�etricas das seguintes circun-ferencias:
(a) x2 + y2 � 11 = 0
(b) x2 + y2 � x+ 3y � 2 = 0
(c) x2 + y2 � 6y = 0
6
(d) x2 + y2 � 2x� 2y + 1 = 0
Problema 2.15. (a) Uma part��cula percorre a reta de�nida pelos pontosA = (1; 2) e B = (3;�1) com velocidades constante. Sabendo que noinstante t = 0 a part��cula se encontra em A e que em t = 2 se encontraem B, determine sua posi�c~ao no instante t.
(b) Em que instante a part��cula se encontra mais pr�oxima do ponto C =(4;�2)?
Problema 2.16. Num determinado instante t as posi�c~oes de 2 part��culas Pe Q so dadas, respectivamente, por (1 + 2t; 1 + t) e (4 + t;�3 + 6t)
(a) As trajetorias se interseptam? Em caso a�rmativo, onde?
(b) As particulas se chocam?
Problema 2.17. Um m�ovel M1 parte do ponto A = (0; 4) com velocidadev = (1;�1) no mesmo instante em que um m�ovel M2 parte de O = (0; 0)tamb�em com velocidade constante. Qual deve ser a velocidade de M2 paraque M1 e M2 se choquem em t = 1?
Problema 2.18. A trajet�oria de uma particular dada por:
x = 2 + cos(t)
y = 1 + 2 sin(t);
for �
8� t � 2�. Determine o menor valor de t para a qual a part��cula se
encontra a igual distancia dos pontos A = (0; 4) e B = (1; 5).
2.1 Respostas da Parte 2
Problema: 2.1: (7;�1) = (4;�4) + (3; 3)
Problema 2.2: 1=4
Problema 2.3: (�1; 2), (3;�12) e (7; 16)
Problema 2.4: Multiplique F1 por 1=2 e F2 por �1.
Problema 2.5:
7
(a) N~ao, a soma dos vetores no se anula,
(b) F1 + k2F2 + k3F3 = 0 assim k2 = 1 e k3 = 2
(c) pergunta equivalente a F1 + kF2 + F3 = 0? Resposta: N~ao
Problema 2.6: (3�p22; 2 +
p22) ou (3 +
p22; 2�
p22)
Problema 2.7:
(a) 14
(b) arccos(7p170
170)
(c) (�2117; 3517)
Problema 2.8:
(a) angulo entre AC e AB arccos(3=p130)
(b) angulo entre BA e BC arccos(7=p170)
(c) angulo entre CA e CB arccos(10=p221)
Problema 2.9: 374
Problema 2.10: (2 +p62010
; 1�p6205
) ou (2�p62010
; 1 +p6205
)
Problema 2.11:
(a) Eq. param�etricas x = �1+2t e y = 1+3t Eq. cartesiana: 2y� 3x = 5
(b) Eq. param�etrica x = 3� 6t e y = 2� t, Eq. Cartesiana: 6y � x = 9
Problema 2.12: x = 1 + t, y = 2 + 8+5p3
11t; x = 1 + t e y = 2 + 8�5
p3
11t;
Problema 2.13:
(a) 450
8
(b) arccos(7p58
58)
Problema 2.14:
(a) x =p11 cos(t) e y =
p11sen (t),
(b) x = 12+p182
cos(t) e y = 32+p182sen (t)
(c) x = 3 cos(t) e y = 3 + 3sen (t)
(d) x = 1 + cos(t) e y = 1 + sen (t)
Problema 2.15:
(a) (1 + t; 2� 32t)
(b) 36=13
Problema 2.16:
(a) trajet�orias se interseptam no ponto (5; 3)
(b) P passa por este ponto em t = 2 e Q no instante t = 1 logo no sechocam.
Problema 2.17: (1; 3)
Problema 2.18: �=2
9
3 Parte 3: R3
Problema 3.1. Determine o centro e raio das seguintes esferas:
(a) x2 + y2 + z2 � 2x� 4y � 2z = 10
(b) x2 + y2 + z2 + 2y � 10z = 27
(c) 2x2 + 2y2 + 2z2 � 2x+ 6y = 6
(d) x2 + y2 + z2 = 3
(e) x2 + y2 + z2 + 2x� y = 1
Problema 3.2. Determine a equa�c~ao da esfera que cont�em A = (8; 0; 3) eB = (�6; 2; 5) e tem como diametro a distancia entre A e B.
Problema 3.3. Determine a equa�c~ao da esfera de centro na origem, sabendoque sua interse�c~ao com um plano paralelo ao plano x; y e distante duasunidades da origem uma circunferencia de raio 3.
Problema 3.4. Determine t para que o ponto (t; t + 1; t + 2) perten�ca �aesfera de centro (0; 1; 2) e raio
p12.
Problema 3.5. Calcule a rea do triangulo cujos v�ertices s~ao:
(a) A = (0; 0; 0), B = (2; 3; 0), C = (0; 0; 5)
(b) A = (2;�1; 1), B = (2; 1;�1), C = (0; 3;�5)Problema 3.6. Calcule o volume do paralelep��pedo de�nido pelos vetoresu = (2;�1; 1) v = (1; 3; 2) e w = (�1; 4;�3)Problema 3.7. Sejam u = (2; 1;�3) e v = (1;�2; 1)(a) Determine um vetor unit�ario simultaneamente perpendicular a u e v.
(b) Determine um vetor w perpendicular a u e v e tal que kwk = 5
Problema 3.8. Seja u um vetor perpendicular a v e w. Sabendo que v ew formam um angulo de 30o e que kuk = 6, kvk = 3 e kwk = 3 calcule hu,(v � w)i
10
Problema 3.9. Escreva uma equa�c~ao do plano que cont�em o ponto (1; 1; 1)e perpendicular ao vetor (2;�1; 8)Problema 3.10. Escreva uma equa�c~ao do plano de�nido pelos pontos:
(a) A = (2;�1; 3), B = (0; 2; 1) e C = (1; 3; 2)
(b) A = (0; 0; 0), B = (2; 1; 0) e C = (1; 0; 0)
(c) A = (0; 0; 2), B = (1; 2; 2) e C = (1; 0; 2)
Problema 3.11. Escreva as equa�c~oes param�etricas da reta de�nida pelospontos:
(a) A = (2; 1; 3) e B = (1; 3; 7)
(b) A = (0; 0; 0) e B = (0; 5; 0)
(c) A = (1; 1; 0) e B = (2; 2; 0)
Problema 3.12. Dados A = (2; 3; 6), B = (4; 1;�2) escreva uma equa�c~aodo plano mediador do segmento AB.
Problema 3.13. (a) Veri�que que o ponto A = (2; 4; 1) pertence esferax2 + y2 + z2 = 21
(b) Determine o ponto B tal que kB � Ak seja um dimetro desta esfera.
Problema 3.14. Determine os valores a e b para que a reta r
x = 1 + at
y = 2 + bt
z = �1 + 2t
e a reta s
x = 2 + t
y = 1 + bt
z = �1 + 2t
sejam:
11
(a) paralelas,
(b) concorrentes, i.e, se interseptam,
(c) reversa, i.e., no paralelas e n~ao concorrentes.
Problema 3.15. Determine a distancia do ponto (2; 1; 3) a cada um dosplanos:
(a) x� 2y + z = 1
(b) x+ y � z = 0
(c) x� 5z = 8
Problema 3.16. Escreva uma equa�c~ao do plano que cont�em o ponto (1;�2; 3)e perpendicular a cada um dos planos x+ 2y + 3z = 4 e 2x+ y + z = 2
Problema 3.17. Determine o ponto do plano ax+by+cz = d mais pr�oximoda origem.
Problema 3.18. Escreva uma equa�c~ao do plano paralelo a 2x� y + 6z = 4e tangente esfera x2 + y2 + z2 � 4x+ 2y = 4
Problema 3.19. O movimento de uma part��cula tal, que no instante t suaposi�c~ao P (t) = (1 + t; 1� 2t; t).
(a) Em que instante a partcula est�a mais pr�oxima da esfera x2+y2+z2 = 1
(b) Qual o ponto desta esfera mais pr�oxima da trajet�oria da part��cula?
3.1 Respostas da Parte 3
Problema 3.1:
(a) centro (1; 2; 1) e raio 4
(b) centro (0;�1; 5) e raio p53
(c) centro (12; �3
2; 0) e raio
p222
(d) centro (0; 0; 0) e raiop3
12
(e) centro (�1; 12; 0) e raio 3
2
Problema 3.2: (x� 1)2 + (y � 1)2 + (z � 4)2 = 51
Problema 3.3: x2 + y2 + z2 = 13
Problema 3.4: t = 2 ou t = �2
Problema 3.5:
(a)p3252
(b) 2p3
Problema 3.6: 28
Problema 3.7:
(a) 1p3(�1;�1;�1)
(b) 5p3(�1;�1;�1)
Problema 3.8: +27 e �27
Problema 3.9: 2(x� 1)� (y � 1) + 8(z � 1) = 0 ou 2x� y + 8z = 9
Problema 3.10:
(a) x� z + 1 = 0
(b) z = 0
(c) z = 2
Problema 3.11:
(a) x = 2� t, y = 1 + 2t, z = 3 + 4t
13
(b) x = 0, y = t, z = 0
(c) x = 1 + t, y = 1 + t, z = 0
Problema 3.12: x� y � 4z + 7 = 0
Problema 3.13:(b) B = (�2;�4;�1)
Problema 3.14:
(a) a = 1 e b qualquer
(b) impossvel
(c) a 6= 1 e b qualquer
Problema 3.15
(a)p63
(b) 0
(c) 21p26
Problema 3.16: x� 5y + 3z = 20
Problema 3.17 ( ad
a2+b2+c2; bd
a2+b2+c2; cd
a2+b2+c2)
Problema 3.18: 2x� y + 6z = 5 + 123p41
ou 2x� y + 6z = 5� 123p41
Problema 3.19: t = 16
14
4 Parte 4:
4.1 Introdu�c~ao aos Sistemas Lineares e Matrizes
Problema 4.1. Resolva o sistema linear, por meio da elimina�c~ao de Gauss
2u+ v + w = 5
4u� 6v = �2�2u+ 7v + 2w = 9
Problema 4.2 (M��nimos quadrados). Considere (t1; b1); : : : (tm; bm) dadosexperimentais de um fenomeno linear, e.g., dados que descrevem um objetocom velocidade uniforme que no tempo ti est�a a uma distancia bi de umcerto referencial. A�m de encontrar a reta que y = ax + c que est�a maispr�oxima dos pontos coletados de�nimos a fun�c~ao de 2 variaveis E(c; a) =P
m
i=1(bi � c � ati)2. Veri�que que se (c; a) �e ponto cr��tico de E, i.e., se
@E
@c(c; a) = 0 = @E
@a(c; a); ent~ao (c; a) atende:
�m
PtiP
tiP
t2i
� �ca
�=
� PbiPtibi
�
Problema 4.3 (Matriz de Vandermonde). Dado pontos (t1; b1); : : : ; (tn; bn)existe um �unico polinomio P de grau n � 1 tal P (ti) = bi. Veri�que queencontrar tal polinomio P equivale a encontrar (c1; : : : ; cn) que atende:
26664
1 t1 t21 � � � tn�11
1 t2 t22 � � � tn�12...
......
......
1 tn t2n
� � � tn�1n
37775
26664c1c2...cn
37775 =
26664b1b2...bn
37775
Problema 4.4. Resolva o sistema linear, por meio da elimina�c~ao de Gauss
(a)
x� 3y � 2z = 6
2x� 4y � 3z = 8
�3x+ 6y + 8z = �5
15
(b)
x+ 2y � 3z = 1
2x+ 5y � 8z = 4
3x+ 8y � 13z = 7
(c)
x1 + 3x2 � 2x3 + 5x4 = 4
2x1 + 8x2 � x3 + 9x4 = 9
3x1 + 5x2 � 12x3 + 17x4 = 7
Problema 4.5. Resolva o sistema linear, por meio da elimina�c~ao de Gauss
(a)
x+ 2y � z = 3
x+ 3y + z = 5
3x+ 8y + 4z = 17
(b)
x� 2y + 4z = 2
2x� 3y + 5z = 3
3x� 4y + 6z = 7
(c)
x+ y + 3z = 1
2x+ 3y � z = 3
5x+ 7y + z = 7
Problema 4.6. Determine a fatora�c~ao LU da matriz
A =
24 2 1 1
4 �6 0�2 7 2
35
16
Problema 4.7. Determine a fatora�c~ao LU da matriz
A =
24 1 �3 5
2 �4 7�1 �2 1
35
Problema 4.8. Determine a fatora�c~ao LU da matriz
A =
24 1 2 1
2 3 3�3 �10 2
35
Problema 4.9. Utilize o m�etodo de Gauss-Jordan para calcular a inversada matriz
A =
24 2 1 1
4 �6 0�2 7 2
35
Problema 4.10. Utilize o m�etodo de Gauss-Jordan para calcular a inversada matriz
A =
24 1 0 2
2 �1 34 1 8
35
4.2 Respostas da Parte 4
Problema 4.1: w = 2, v = 1, u = 1
Problema 4.4:
(a) x = 1; y = �3 e z = 2
(b) x = �3� a, y = 2 + 2a, z = a onde a �e um parametro
(c) o sistema n~ao possui solu�c~ao.
Problema 4.5:
(a) x = 173, y = �2
3, z = 4
3
(b) O sistema n~ao possui solu�c~ao
17
(c) x = �10a y = 1 + 7a; z = a onde a �e um parametro.
Problema 4.6: L =
24 1 0 0
2 1 0�1 �1 1
35 ; U =
24 2 1 1
0 �8 �20 0 1
35
Problema 4.7: L =
24 1 0 0
2 1 0�1 �5
21
35 ; U =
24 1 �3 5
0 2 �30 0 �3
2
35
Problema 4.8: L =
24 1 0 0
2 1 0�3 4 1
35 ; U =
24 1 2 1
0 �1 10 0 1
35
Problema 4.9 A�1 =
24
1216
� 516
� 616
48
�38
�28
�1 1 1
35
Problema 4.10 A�1 =
24 �11 2 2
�4 0 16 �1 �1
35
18
5 Parte 5
5.1 Introdu�c~ao aos espa�cos e subespa�cos vetoriais e
bases
Problema 5.1. Escreva o polinomio v(t) = t2+4t�3 como uma combina�c~aolinear dos polinomios p1(t) = t2 � 2t+ 5; p2(t) = 2t2 � 3t; p3(t) = t+ 1
Problema 5.2. Escreva a matriz M =
�4 77 9
�como combina�c~ao linear
das matrizes: A =
�1 11 1
�; B =
�1 23 4
�; C =
�1 14 5
�:
Problema 5.3. Seja V o espa�co vetorial real dos polinomios reais. Deter-mine se W �e ou n~ao um subespa�co de V onde
(a) W �e composto por todos os polinomios de coe�cientes inteiros.
(b) W �e composto por todos os polinomios de grau menor ou igual a 6 edo polinomio nulo
(c) W �e composto por todos os polinomios que possuem apenas potenciaspares.
Problema 5.4. Determine se cada um dos conjuntos abaixo de vetores de-termina ou n~ao uma base de R3
(a) (1; 1; 1), (1; 0; 1)
(b) (1; 2; 3), (1; 3; 5), (1; 0; 1), (2; 3; 0)
(c) (1; 1; 1) (1; 2; 3), (2;�1; 1)(d) (1; 1; 2), (1; 2; 5), (5; 3; 4)
19
Problema 5.5. Seja S o espa�co das matrizes sim�etricas reais 2 por 2, i.e., oespa�cos das matrizes reais A = At ond At �e a transposta de A. Determine adimens~ao de S e uma base para S.
Problema 5.6. (a) Determine a dimens~ao e uma base para o n�ucleo N(U)
da matriz U =
24 1 3 3 2
0 0 3 30 0 0 0
35 :
(b) Determine a dimens~ao e uma base para o n�ucleo N(A) da matriz A =24 1 3 3 2
2 6 9 7�1 �3 3 4
35 :
Problema 5.7. Determine a dimens~ao e uma base do espa�co de solu�c~oes dossistemas homogeneos abaixo:
(a)
x+ 2y + 2z � s+ 3t = 0
x+ 2y + 3z + s+ t = 0
3x+ 6y + 8z + s+ 5t = 0
(b)
x+ 2y + z � 2t = 0
2x+ 4y + 4z � 3t = 0
3x+ 6y + 7z � 4t = 0
(c)
x+ y + 2z = 0
2x+ 3y + 3z = 0
x+ 3y + 5z = 0
Problema 5.8. Demonstre as seguintes a�rma�c~oes:
20
(a) Se m < n ent~ao n~ao podem haver n vetores linearmente independentesem R
m.
(b) Sejam f1 : : : fm e g1; : : : gn bases para um mesmo espa�co vetorial V .Ent~ao m = n.
(c) Sejam ffig base de um espa�co vetorial W e v 2 W: Ent~ao existe paracada vetor fi somente um n�umero vi tal que v =
Pivifi
5.2 Respostas da Parte 5
Problema 5.1: v = �1711p1 +
1411p2 +
5211p3
Problema 5.2: M = 2A+ 3B � C
Problema 5.3: (a) n~ao, (b) e (c) sim.
Problema 5.4: (a), (b) n~ao , pois dimR3 = 3. (c) Sim, pois colocando osvetores como colunas de uma matriz A tres por tres, podemos observar queA �e n~ao singular. (d) N~ao pois colocando os vetores como colunas de umamatriz A observamos que Ax = 0 admite mais de uma solu�c~ao.
Problema 5.5: dimS = 3 e uma base �e: E1 =
�1 00 0
�; E2 =
�0 11 0
�;
E3 =
�0 00 1
�:
Problema 5.6:
(a) dimN(U) �e igual ao n�umero de vari�aveis livres, i.e., 2. Uma base E1, E2
do subespa�co vetorial N(U) pode ser determinada da seguinte forma:Considere as solu�c~oes de Ux = 0: Ent~ao E1 �e obtido tomando x4 = 1e x2 = 0 e E2 tomando-se x4 = 0 e x2 = 1. Assim E1 = (1; 0;�1; 1) eE2 = (�3; 1; 0; 0).
(b) Sabemos que PA = LU . Logo A = P�1LU . Logo Ax = 0 se e somentese Ux = 0: Logo N(A) = N(U).
Problema 5.7:
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(a) Dimens~ao �e 3. Base: v1 = (�2; 1; 0; 0; 0), v2 = (5; 0;�2; 1; 0), v3 =(�7; 0; 2; 0; 1)
(b) Dimens~ao �e 2. Base v1 = (�2; 1; 0; 0) v2 = (�5; 0;�1; 2)(c) Dimens~ao 0, i.e., o espa�co �e o espa�co vetorial trivial f(0; 0; 0)g.
Problema 5.8: Demonstrado em sala de aula. Para maiores detalhesconsulte livro de Strang, cap��tulo 2.
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