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NOTAES
N =f1; 2; 3; : : :g C : conjunto dos nmeros complexosR: conjunto dos nmeros reais i : unidade imaginria: i2 =1[a; b] =fx2 R; axbg jzj : mdulo do nmeroz2 C[a; b[ =
fx
2R; a
x < b
g z : conjugado do nmeroz
2C
]a; b[ =fx2 R; a < x < bg Mmn(R) : conjunto das matrizes reaism nAnB=fx; x2A e x =2Bg det A : determinante da matrizAkP
n=1
an=a1+a2+:::+ak; k2 N At : transposta da matriz AkP
n=0
an xn =a0+a1 x+:::+akx
k; k2 N A1 : inversa da matriz inversvelA
P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjuntoAn(A) : nmero de elementos do conjunto nitoA
Argz : argumento principal dez2 C n f0g; Arg z2[0; 2[f g : funo composta das funes f egfg : produto das funesf e g
Observao: Os sistemas de coordenadas considerados so cartesianos retangulares.
Questo 1. Considere as armaes abaixo relativas a conjuntos A; B eCquaisquer:
I. A negao de x2A \ B : x =2A oux =2B.II. A
\(B
[C) = (A
\B)
[(A
\C).
III. (AnB) [ (BnA) = (A [ B)n(A \ B).Destas, (so) falsa(s)
A ( ) apenas I. B ( ) apenas II. C ( ) apenas III.
D ( ) apenas I e III. E ( ) nenhuma.
Questo 2. Considere conjuntosA; B R eC(A[B):SeA[B; A\CeB \Cso os domniosdas funes reais denidas por ln(xp); px2 + 6x 8 e
rx 5
x
;respectivamente, pode-se
armar que
A ( )C=]p
; 5[: B ( ) C= [2; ]: C ( ) C= [2; 5[:
D ( )C= [; 4]: E ( ) Cno intervalo.
Questo 3. Sez uma soluo da equao em C;
z z+ jzj2 ="p
2 +ip2 1
3 i
p2 + 1
3
!#12;
pode-se armar que
A ( )i(z z)< 0. B ( ) i(z z)> 0. C ( )jzj 2[5; 6].D ( )jzj 2[6; 7]. E ( )
z+1z >8.
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Questo 4. Os argumentos principais das solues da equao em z ;
iz+ 3z+ (z+z)2 i= 0;pertencem a
A ( )
4;3
4 : B ( ) 3
4 ;
5
4 : C ( ) 5
4 ;
3
2 :D ( )
i4
;
2
h[
3
2 ;
7
4
: E ( )
i0;
4
h[
7
4 ; 2
.
Questo 5. Considere a progresso aritmtica (a1; a2; ::: ; a50) de razod: Se10Pn=1
an = 10 + 25d e
50Pn=1
an= 4550;ento d a1 igual a
A ( )3: B ( ) 6: C ( )9: D ( )11: E ( ) 14.
Questo 6. Sejam f; g: R!R tais quef par e g mpar. Das seguintes armaes:I. f g mpar,II. f g par,III. g f mpar, (so) verdadeira(s)
A ( ) apenas I. B ( ) apenas II. C ( ) apenas III.
D ( ) apenas I e II. E ( ) todas.
Questo 7. A equao em x;
arctg (ex + 2) arccotg
ex
e2x 1
=
4; x2 Rnf0g;
A ( ) admite innitas solues, todas positivas.B ( ) admite uma nica soluo, e esta positiva.
C ( ) admite trs solues que se encontram no intervalo 5
2
; 3
2 :
D ( ) admite apenas solues negativas.E ( ) no admite soluo.
Questo 8. Sabe-se que o polinmio p(x) = x5 a x3 +a x2 1; a2 R; admite a raizi:Considere as seguintes armaes sobre as razes de p:
I. Quatro das razes so imaginrias puras.
II. Uma das razes tem multiplicidade dois.
III. Apenas uma das razes real.
Destas, (so) verdadeira(s) apenas
A ( ) I. B ( ) II. C ( ) III. D ( ) I e III. E ( ) II e III.
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Questo 9. Um polinmio real p(x) =5P
n=0
an xn;com a5= 4;tem trs razes reais distintas, a; b
e c; que satisfazem o sistema 80:Pode-se armar que
a1
d
igual a
A ( )4: B ( )3: C ( )2: D ( )1: E ( ) 1.
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Questo 14. Sobre os elementos da matriz
A=
2664
x1 x2 x3 x4y1 y2 y3 y40 0 0 11 0 0 0
3775
2M44(R)
sabe-se que (x1; x2; x3; x4)e(y1; y2; y3, y4)so duas progresses geomtricas de razo 3 e4 e desoma 80 e 255, respectivamente. Ento, det(A1)e o elemento (A1)23valem, respectivamente,
A ( ) 1
72 e12: B ( )1
72 e12: C ( )1
72 e12: D ( ) 1
72 e
1
12: E ( )
1
72 e
1
12.
Questo 15. O valor da soma6P
n=1
sen
2
3n
sen
3n
;para todo2R, igual a
A ( )
1
2h
cos
729 cos i : B ( ) 12 hsen 243 sen 729i :
C ( ) cos
243
cos
729
: D ( )
1
2
hcos
729
cos
243
i:
E ( ) cos
729
cos .
Questo 16. Se os nmeros reais e , com + = 4
3 ; 0 ; maximizam a soma
sen + sen ; ento igual a
A ( ) p33
: B ( ) 23
: C ( ) 35
: D ( ) 58
: E ( ) 712
.
Questo 17. Considere as circunfernciasC1: (x4)2+(y3)2 = 4eC2: (x10)2+(y11)2 = 9:Seja r uma reta tangente interna a C1 e C2; isto , r tangencia C1 e C2 e intercepta o segmentode reta O1O2 denido pelos centros O1 de C1 e O2 de C2: Os pontos de tangncia denem umsegmento sobre r que mede
A ( )5p
3. B ( ) 4p
5. C ( ) 3p
6. D ( )25
3. E ( )9.
Questo 18. Um cilindro reto de altura
p6
3 cm est inscrito num tetraedro regular e tem sua
base em uma das faces do tetraedro. Se as arestas do tetraedro medem 3 cm;o volume do cilindro,emcm3; igual a
A ( )
p3
4 : B ( )
p
3
6 : C ( )
p
6
6 : D ( )
p
6
9 : E ( )
3:
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Questo 19. Um tringulo equiltero tem os vrtices nos pontos A; B e Cdo plano xOy;sendoB= (2; 1)e C= (5; 5):Das seguintes armaes:
I. A se encontra sobre a reta y=34
x+11
2 ,
II. Aest na interseco da reta y=
3
4
x +45
8
com a circunferncia (x
2)2 + (y
1)2 = 25,
III. Apertence s circunferncias (x 5)2 + (y 5)2 = 25 e
x 72
2+ (y 3)2 =75
4 ,
(so) verdadeira(s) apenas
A ( ) I: B ( ) II: C ( ) III: D ( ) I e II: E ( ) II e III.
Questo 20. SejamA; B; CeD os vrtices de um tetraedro regular cujas arestas medem 1 cm:Se M o ponto mdio do segmento AB e N o ponto mdio do segmento CD; ento a rea dotringulo MND;emcm2; igual a
A ( )p2
6 : B ( )
p28
: C ( )p3
6 : D ( )
p38
: E ( )p3
9 .
AS QUESTES DISSERTATIVAS, NUMERADAS DE 21 A 30, DEVEM SERRESOLVIDAS E RESPONDIDAS NO CADERNO DE SOLUES.
Questo 21. Sejam A; B e Cconjuntos tais que C B; n(BnC) = 3n(B\ C) = 6n(A \ B);n(A
[B) = 22 e (n(C); n(A); n(B)) uma progresso geomtrica de razor >0:
a) Determinen(C):
b) Determinen(P(BnC)).
Questo 22. A progresso geomtrica innita (a1; a2, ..., an; ...) tem razor
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Questo 26. Uma urna de sorteio contm 90 bolas numeradas de 1 a 90, sendo que a retiradade uma bola equiprovvel retirada de cada uma das demais.
a) Retira-se aleatoriamente uma das 90 bolas desta urna. Calcule a probabilidade de o nmerodesta bola ser um mltiplo de5 ou de 6.
b) Retira-se aleatoriamente uma das 90 bolas desta urna e, sem rep-la, retira-se uma segunda
bola. Calcule a probabilidade de o nmero da segunda bola retirada no ser um mltiplo de6.
Questo 27. Considere as matrizes A2M44(R)eX; B2M41(R) :
A=
2664
a 1 b 1b 1 a 00 2 0 0
a 2 b 1
3775 ; X=
2664
xyzw
3775 e B=
2664
b1b2b3b4
3775 :
a) Encontre todos os valores reais de a e b tais que a equao matricial AX = B tenha soluonica.
b) Se a2 b2 = 0; a6= 0 e B= [1 1 2 4]t; encontreXtal que AX=B .
Questo 28. Considere a equao(3 2cos2 x)
1 + tg2x
2
6 tgx
2= 0:
a) Determine todas as solues xno intervalo [0; [.
b) Para as solues encontradas em a);determine cotg x.
Questo 29. Determine uma equao da circunferncia inscrita no tringulo cujos vrtices soA = (1; 1); B = (1; 7) eC= (5; 4) no planoxOy.
Questo 30. As superfcies de duas esferas se interceptam ortogonalmente (isto , em cada pontoda interseco os respectivos planos tangentes so perpendiculares). Sabendo que os raios destas
esferas medem2 cme 3
2 cm;respectivamente, calcule
a) a distncia entre os centros das duas esferas.
b) a rea da superfcie do slido obtido pela interseco das duas esferas.
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