IFCE Engenharia de Mecatrnica/Licenciatura em Fsica - S2 2015-2 Clculo II - INTEGRAIS Integrao Trigonomtrica Uso de diferenciais: 1) Resolva a equao diferencial f(x) = 5 cos x + 2 sen x sujeita s condies iniciais f(0) = 3 e f(0) = 4. Resposta: f(x) = -5 cos x 2 sen x + 6x + 8 2) Resolva a equao diferencial f(x) = 16 cos 2x 3 sen x sujeita s condies iniciais f(0) = -2 e f(0)=4. Resposta: f(x) = 3 sen x 4 cos 2 x + x + 2. Integral indefinida
1) Calcule dxx2sec .
Soluo: kxtgdxx 2sec
Soluo: Utilizando o software de computao algbrica Maple, temos:
> Int((sec(x))^2,x)=int((sec(x))^2,x)+k;
2)Calcule dxxtg2
.
Soluo: kxxtgdxdxxdxxdxxtg 1sec]1[sec22
*2
Soluo: Utilizando o software de computao algbrica Maple, temos:
> Int((tan(x))^2,x)=int((tan(x))^2,x)+k;
Mtodo de substituio 1) Mostre que:
(i) dxxxsen cos = kx
2
sen2 (Faa: u = sen x)
(ii) dxxxsen cos = kx
2
cos2 (Faa: u = cos x)
Mtodo por partes:
1) calcule a) dxx3sec .
Soluo: vamos inicialmente preparar o integrando, observando que o artifcio que usaremos vlido sempre que n for um nmero mpar: sec3x = sec2x . secx
dxxtgxxtgxtgxduvvudxxxdxxdvu
secsecsecsecsec*
23
dxxxxtgxdxxtgxxtgx )1(secsecsecsecsec2
**2
|sec|lnsecsecsecsecsec 3***
3 xtgxdxxxtgxdxxdxxxtgx
Assim: kxtgxxtgxdxxxtgxxtgxdxx ]|sec|ln[sec21
sec|sec|lnsecsec2 33
Utilizando o software de computao algbrica Maple, temos: > Int((sec(x))^3,x)=int((sec(x))^3,x)+k;
d ( )sec x
2 x ( )sin x
( )cos xk
d ( )tan x
2 x ( )tan x ( )arctan ( )tan x k
d ( )sec x
3 x 1
2
( )sin x
( )cos x 21
2( )ln ( )sec x ( )tan x k
Integrao de Potncias de Seno e Co-seno: formas alternativas, usando as identidades trigonomtricas.
Essas identidades do lugar a
1) Calcule:
a) dxxcos5
Soluo: vamos inicialmente preparar o integrando, observando que o artifcio que usaremos vlido
sempre que n for um nmero mpar.
Temos: cos5 x = (cosx).cosx = (1 senx) .cosx = (1 2senx + sen4 x) . cosx =
= cosx 2senx.cosx + sen4 x.cosx, portanto:
dxxcos5 dx)xcos.xsenxcos.xsen2x(cos 42
dxxcos.xsendxxcos.xsen2dxxcos 42 Cxsen5
1xsen
3
2xsen 53 .
b) dxxsen4 .
Soluo: neste exemplo n um nmero par. Na preparao do integrando, fazemos agora:
sen4 x = (senx) 2
x2cos1.2
1
x2cosx2cos21
4
1 2
2
x4cos1x2cos21
4
1
Portanto: sen4 x .x4cos8
1x2cos
2
1
8
3
Assim: dxxsen4
dxx4cos
8
1x2cos
2
1
8
3 .Cx4sen
32
1x2sen
4
1x
8
3
As integrais duutgn
, duugcotn
, duusecn e duueccos
n onde n inteiro positivo.
Na preparao do integrando, usamos as identidades:
1usecutg 22 ou 1utgusec 22
1useccosugcot22 ou 1ugcotuseccos 22 .
Os artifcios so semelhantes aos usados nos casos anteriores. Temos:
)1u.(secutgutg.utgutg 22n22nn e )1usec.(cosugcotugcot.ugcotugcot 22n22nn .
Ex: Calcule: a) dtgtgdtg 3.3323
Integrao Trigonomtrica: Frmulas de Reduo : Estas frmulas expressam uma integral com potncia de funo em termos de uma integral que envolve uma potncia mais baixa daquela funo. Por exemplo, se n for um
inteiro positivo e n 2, ento a integrao por partes pode ser usada para obter as frmulas de reduo:
n n 1 n 21 n 1sen xdx sen x cos x sen xdxn n
(1) e xdx2ncos
n
1nxsenx1nsco
n
1xdxncos (2)
Mostre que:
4 3 3 23 1 3 1 2a) cos x dx = x+ cos x.senx+ sen2x + C; b) sen xdx - sen x.cosx - cosx + c
8 4 16 3 3 ;
c) 4/4
0
3 1sen xdx
32 4
Integrao de produtos de senos e co-senos
dx x cos . xsennm
pode ser calculada de diversas maneiras, dependendo de m e n serem pares ou mpares:
Ex: 4 5 5 7 91 2 1
sen x . cos x dx sen x sen x sen x C5 7 9
4 4 3 1 1
sen x cos xdx x sen4x sen8x c128 128 1024
OBSERVE Se n impar: 1) separe um fator de cosx 2) aplique a identidade cos2x = 1 sen2x; 3) faa a substituio u = senx Se m impar: 1) separe um fator de senx 2) aplique a identidade sen2x = 1 cos2x; 3) faa a substituio u = cosx
Se m e n so par: 1) use as identidades )x2cos1(2
1x2sen e )x2cos1(
2
1x2cos
para reduzir as potencias de senx e cosx
Integrais da forma: cos(mx).cos(nx)dx; sen(mx).cos(nx)dx sen(mx).sen(nx)dx
Podem ser encontradas usando as identidades trigonomtricas: 1
cos cos [cos( ) cos( )]2
;
)](sen)(sen[
2
1cossen e )]cos()[cos(
2
1sensen
Calcule: a) sen7x cos3xdx b) xdx5xsen3sen
Integrao de Potncias de Tangente e de Secante O procedimento para integrao de potncias de tangente e de secante segue paralelamente os do seno e co-seno. A idia usar as seguintes frmulas de reduo para reduzir o expoente do integrando at que a integral resultante possa ser calculada:
(1) (2)
Tipo: m n
tg x sec dx , se:
n par: 1) separe um fator de sec2 x 2) aplique a identidade sec2x = 1 + tg2x; 3) faa a substituio u = tgx m impar: 1) separe um fator de secx.tgx 2) aplique a identidade tg2x = sec2x - 1; 3)faa a substituio u = secx m par e n impar: 1) use a identidade para reduzir as potencias de secx. tg2x = sec2x 1. 2) Use a frmula de reduo para potncias de secx.
Mostre que:
2 4 5 3 3 3 5 3
2
1 1 1 1a) tg x sec x dx = tg x+ tg x+c b) tg x sec x dx = sec x - sec x+c
5 3 5 31 1
c) tg x sec x dx secx.tgx - ln|secx+tgx|+c 2 2
Integrais de funes trigonomtricas inversas (seno e tangente):
k x tgdx
x1
1
2arc
ksen x dx
x1
1
2arc
Calcule: dx
x 5
12
Soluo:
duu
dxx
dxx
dxx
dxx
51
1
5
1
51
1
5
1
51
1
5
1
515
1
5
12
*
2222=
II
24 x
.
kxtgarckutgarcduu
5
5
5
5
5
5
1
1
5
52
Fazendo: dxdu 55
1
5
dx
duxu
Substituies Trigonomtricas:
Quadro resumo da substituio trigonomtrica: (r > 0, e x a varivel)
Expresso no integrando Substituio trigonomtrica
22 xr sen rx (- )2 2
22 xr tgrx (- < < )2 2
22 rx sec rx
0 ( se x a )2
< ( se x -a ) 2
onde r uma constante positiva
1 ) Achar a integral 22 4 xx
dx
.sec.2sec.4
.sec.2
..4.21
2.
.
.11
.24
2
2
22
22
2
2
ax
ddx
tgxtgxutgtgb
au
xuxu
bb
aa
ddd
tgd
tgxx
dx2
2
2
222
2
22 sen
cos.
cos
1
4
1
cos
sen
cos
1
4
1sec
4
1
)sec2).(4(
sec2
4
dd 2
2).(sencos
4
1
sen
cos
4
1
ddu
u
cos
sen ...
Cuu
uuduud
411
.4
1
1.
4
1
12.
4
1
4
1cos.)(sen
4
1 11222 = Csen.4
1.
Devemos agora voltar varivel original x ...
Como 22
2x
CA
COxtgtgx logo x
2
Da , Cx
xC
CO
HI
CO
HI
HI
COsensen
4
4
.4.
4
11.
4
11.
4
1
.4
1 2,
Portanto,
2
2 2
4
44
dx xC
xx . x
.
01) Mostre que a rea da elipse:
2 2
2 2
x y1 ab
a b
02) Calcule:
a)
2
2
9 xdx , faa x 3 cos
2x
b) 3 2
dx , faa x 4 sec
x x 16
c)
tg 2 xfaa , dx
42x
x
03) Calcule:
a) 2x
dx29 x
R.: 9 x 11 2sen - x 9 x +c2 3 2
b) dx
2x 1
R.: 2ln x x 1 + c
c) 21 t
dt t
R.:
21 t 121 t +ln +ct
d)
2x 25dx
x
R.:
x2 1x 25 - 5sec +c5
e) 24 x dx R.: x 11 22sen + x 4 x +c 2 2
04) Calcule:
a) 2
dx
4 x b) 2
dx
25x 4 c) 2
3dx
1 9x d)
dx
2x 4x 13 e)
dx
28 2x x
05) Calcule: a) 2
1 2 2
dx
x 4 x b)
2
2 2 2
dx
x x 1
Para dxxba 222
faa a substituio senb
ax
Para dxaxb 222
faa a substituio tgb
ax
Para dxaxb 222
faa a substituio secb
ax
Aplicaes: 1.Determine a rea da regio no primeiro quadrante que delimitada pelos eixos coordenados e pela curva
y 29 x
3
2. Considere a regio delimitada pelos grficos de y = sen-1x, y = 0 e x = . Determine a rea da regio
3. Mostre que: 4
4
216 dxx = 8
4. Mostre que: a) dxx 1
0
21 = 4
b) dxx
1
0
21 = )12( ln22
1
c) dxx 21 = kxxxx |1| ln1.
2
1 22
d) dxx29 senx 3 e) dxx
29 = 3tg
f) dxx 92
sec3x g) dxxx22 1 senx