IFRN - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIA E TECNOLOGIA DO RN MATEMTICA PROFESSOR: MARCELO SILVA
FUNES E GRFICOS
1. Funes Matemticas 1.1. Produto Cartesiano
Definio: dados dois conjuntos A e B, define-se produto cartesiano de A por B, indicado por A B , como o conjunto de todos os pares ordenados a , b de modo que o primeiro elemento pertena a A e o segundo pertena a B.A B a, b | a 1, 3, 5 . A, b B
Exemplo: Considere AAB
2, 4
e B
BA
2,1 , 2, 3 , 2, 51, 2 , 1, 4 , 3, 2
4,1 , 4, 3 , 4, 53, 4 , 5, 2 , 5, 4
A B
A B
2, 2 , 2, 4 , 4, 2 1,1 , 1, 3 , 1, 5
4, 4 3,1 , 3, 3 , 3, 5 , 5,1 , 5, 3 , 5, 5
OBS: A B
B
A
, isto , o produto cartesiano no comutativo.
1.1.1 Nmero de Elementos de um Produto Cartesiano
n( A
B)
n ( A) n ( B )
Exemplo 1: Considere An( A B) n ( A) n ( B ) n( A
2, 5, 6B)
e B
0, 4 . Quantos elementos tm An( A B) 6.
B
?
3 2
Exemplo 2: Se n ( A )n( A B) n ( A) n ( B )
x , n(B ) 20 x 5
5 e n( A x 4
B)
20 , Qual o valor de x?
1.2. Relao Definio: dados dois conjuntos A e B, chama-se relao de A em B qualquer subconjunto no vazio de A B .R a, b A B
R definida por uma lei de associao ou lei de correspondncia que permite definir quais pares ordenados de A B estaro no conjunto R. Essa lei dada por uma frmula matemtica. Exemplo: Considere A em B definida por ba 2
1, 2, 3, 4, 5
e BB.
2, 3, 5, 7, 8 . Determine a relao de A
, a
A, b
a deve assumir os valores do conjunto A. Ento:a a a a a 1 2 3 4 5 b b b b b 1 2 3 4 5 2 2 2 2 2 3 4 5 6 7 B B B B B
Visto que somente para os nmeros 1, 2 e 3 do conjunto A obtemos valores em B, nossa relao R pedida na questo R 1, 3 , 3, 5 , 5, 7 .
1 2 3 4 5 3
2 3 5 7 8 3
1.2.1. Domnio de uma Relao o conjunto formado somente pelos elementos do conjunto A (chamado conjunto de partida, de onde partem as flechas no diagrama) que tm algum elemento de B (conjunto de chegada, aonde chegam as flechas) associado. 1.2.2. Contradomnio de uma Relao o conjunto B todo.
1.2.2. Imagem de uma Relao o conjunto formado somente pelos elementos do conjunto B que tm algum elemento de A associado. Exemplo: No ltimo exemplo, podemos destacar:D(R) CD (R) Im ( R ) {1, 3, 5} B {3, 5, 7}
O conceito de relao est presente em outras situaes. 1) Clculo da rea de uma figura geomtrica. A rea de um quadrado, por exemplo, depende da medida de seu lado. Ou seja, h uma relao de dependncia entre as medidas da rea e do lado da figura. Se o conjunto de valores possveis para o lado fosse, por exemplo, L 1, 2, 4 e o da rea fosse AA A A 12 2 2
1, 2, 4,16, 25
teramos (visto que A
l ):
2
1 4 16
2 4
Assim a relao seria o conjunto R 2) Locao de DVDs.
1,1 , 2, 4 , 4,16
.
Se em uma locadora o aluguel de DVDs custa R$ 3,50 por dia, uma pessoa que alugue um DVD por x dias pagar uma quantia y que determinada pela relao y 3, 50 x . 3) A numerao usada na confeco de sapatos depende do comprimento do p da pessoa. Indicando por N o nmero do sapato e c o comprimento do p, temos:N 5c 4 28
4) Suponha que voc queira comprar uma moto e precise ganhar R$ 1.000,00 esse ms para isso. Mas seu salrio de R$ 800,00. Ser necessrio, ento, fazer horas extras. Chamando de P o pagamento total recebido, de h o nmero de horas extras trabalhadas e assumindo que so pagos R$ 10,00 por hora extra, temos:P 800 10 h
Estes so s alguns exemplos que se resumem a expresses matemticas. Em ambos os casos, temos uma relao de dependncia entre as variveis envolvidas. 1.3. Funo Definio: dados dois conjuntos A e B e uma relao R de A em B, chamamos essa relao de funo quando a cada elemento de A est associado um, e um s, elemento de B. Exemplo: Considere AR a, b A B |b a 5
0, 5,15 , B
0, 5,10,15, 20, 25 e
0, 5 , 5,10 , 15, 20
. R uma funo, pois cada
elemento de A est associado a um elemento de B e este elemento nico. Obs: A partir de agora, indicaremos as relaes que forem funes pela letra f ao invs de R e os elementos de A e B indicaremos, respectivamente, por x e y ao invs de a e b. A lei de associao poder ser indicada por f(x) no lugar do y. Exemplo: Ao invs de b a 5 colocamos y x 5 ou, mais comumente, f ( x ) x 5 . f(x) indica que y funo de x, est dependendo do valor de x. A funo pode ser dada assim: f : A B , f ( x ) x 5 . 1.3.1. Domnio de uma Funo No caso de funes, o domnio o conjunto de partida todo. 1.3.2. Contradomnio de uma Funo o conjunto B todo. 1.3.3. Imagem de uma Funo o conjunto formado somente pelos elementos do conjunto B que tm algum elemento do conjunto A associado. 1.3.4. Estudo do domnio de uma funo Como o domnio pode ser dado explcita ou implicitamente, devemos aprender a determin-lo quando ele no for dado. Pois ele o conjunto de valores que x pode assumir, ou seja, conjunto de valores para os quais a funo est definida. Exemplo 1: Se vier apenas f ( x ) conjunto2x 5 , o domnio considerado como o
todo. Ento se escreve D ( f )2x 5 para 1x
.10 ,
Exemplo 2: Se vier f ( x )
o domnio formado pelos
valores reais entre 1 e 10. Ou seja, x pode assumir qualquer valor real de 1 a 10.
Exemplo 3: Se vier apenas f ( x )
2x x
3 2
, o domnio determinado considerando
que o denominador no pode ser igual a zero. E j que a varivel x est no x 2 . Logo, o domnio denominador, devemos estabelecer a relao x 2 0 D ( f ) {x | x 2} . x qualquer nmero real com exceo do 2.x 2 , devemos lembrar que s possvel Exemplo 4: Se vier apenas f ( x ) extrair raiz quadrada real de nmeros positivos ou do zero. Logo, devemos ter x 2 0 x 2 . O domnio , ento, o conjunto formado pelos nmeros reais maiores que 2, D ( f ) { x | x 2} .
Exemplo 5: Se vier apenas f ( x )
x
4
1 x 2
, devemos lembrar que s
possvel efetuar as operaes indicadas se: x 4; Para x 4 tivermos x 4 0x 2 . No Para x 2 tivermos x 2 0 porque x 2 est no denominador, que no pode ser zero. Como preciso atender as duas condies, devemos determinar a interseo das duas. Logo, D ( f ) { x | x 4} .
1.3.5. Crescimento de uma funo Uma funo f crescente quando medida que aumentamos o valor de x, o valor de y tambm aumenta. Ou, em smbolos matemticos,x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
, onde x1 , x 2
D( f )
1.3.5. Decrescimento de uma funo Uma funo f decrescente quando medida que aumentamos o valor de x, o valor de y diminui.x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
, onde x1 , x 2
D( f )
2. Funes elementares 2.1. Funo do 1 grau Definio: toda funo f : da forma f ( x ) ax b , onde a , b com a 0. Consideramos o domnio e o contradomnio da funo do 1 grau como sendo o conjunto . Exemplos: f ( x )x 4, f ( x ) x 2 3, f ( x ) 3x 2
Casos particulares:
1) Funo identidade: a 1, b 2) Funo linear: a0, b 0
0
f ( x)f ( x)
x, xax , x b, x
3) Funo identidade: a
0, b
0 f ( x)
2.1.1. Grfico de uma funo do 1 grau O grfico uma reta. Podemos ento determinar apenas dois pontos para construir o grfico. Esses pontos so obtidos atribuindo-se valores quaisquer para x. Ou, podemos determinar a raiz da funo e o coeficiente linear. O coeficiente linear o b da funo. Ele o ponto onde a reta corta o eixo y. 2.1.2. Raiz de uma funo do 1 grau o valor de x que anula a funo. Isto , que torna f ( x ) 0 . Ento basta resolver uma equao do 1 grau para obter a raiz da funo. Graficamente, a raiz o ponto onde a reta corta o eixo x. Exemplo: Encontrar a raiz da funo f : dada por f ( x ) Soluo: f ( x) 0 x 4 0 x 4 . Logo, 4 a raiz da funo dada. Exemplo de grfico.f ( x) 3x 5x 4.
2.1.3. Crescimento e decrescimento de uma funo do 1 grau Quando a Quando a0 0
, a funo crescente. , a funo decrescente.
2.2. Funo do 2 grau Definio: toda funo f : da forma f ( x ) ax 2 bx c , onde a , b , c com a 0 . Consideramos o domnio e o contradomnio da funo do 2 grau como sendo o conjunto . Exemplos:f ( x) x2
4x
3, f ( x )
6 x , f ( x)
2
x
2
9
2.2.1. Grfico de uma funo do 2 grau O grfico uma parbola. Para constru-lo podemos atribuir valores quaisquer para x e obter y. Ou, podemos determinar os pontos principais. So eles: i) ii) iii) Quando a Os pontos onde a parbola corta o eixo x, chamados razes da funo; O ponto onde a parbola corta o eixo y. Corresponde ao valor de c; O vrtice da parbola.0
, a parbola tem concavidade voltada para cima.
Quando af ( x) x2
0
, a parbola tem concavidade voltada para baixo.6
7x
2.2.2. Raiz de uma funo do 2 grau So os valores de x que anulam a funo. Isto , que torna f ( x ) resolver uma equao do 2 grau pela frmula x obter as razes da funo. Podemos ter trs casos:0 : a funo tem duas razes reais distintas. Graficamente, as razes so os pontos onde a parbola corta o eixo x. ' " 0 : a funo tem razes reais iguais, x x . Graficamente, a raiz o ponto onde a parbola toca o eixo x. 0 : a funo no admite razes reais. Graficamente, a parbola no corta nem toca o eixo x.
0 . Ento basta, b2
b
b
2
4 ac
4 ac
2a
para
Exemplo: Encontrar a raiz da funo f : Soluo:f (x) 0 x2
dada por f ( x )2
x
2
6x
8.
6x
8
0
x
( 6)
( 6) 2 1
4 1 8
x
6
36 2
32
x
6 2
2
x
'
4, x
"
2.
Logo, 4 e 2 so as razes da funo dada.
Grfico
2.2.3. Vrtice de uma parbola o ponto Vxv , y v
cujas coordenadas so dadas por V
b 2a
, 4a
. Este ponto
representa o ponto de mnimo ou de mximo da funo. O valor de y valor mnimo ou mximo da funo.a a 0 0
, yv , yv
4a 4a
o valor mnimo. o valor mximo.
2.2.4. Crescimento e decrescimento de uma funo do 2 graua 0
:b 2a
i) a funo crescente para x
.
ii) a funo decrescente para xa 0
b 2a
.
:b 2a
i) a funo crescente para x
.b 2a
ii) a funo decrescente para x 2.3. Funo Modular Definio: toda funo f :f ( x) x, x x, x 0 0
.
da forma f ( x )
x definida por
.
Exemplos:f ( x) x , f ( x) x 1
2.3.1. Grfico de uma funo modular Como a funo modular definida por duas sentenas, precisamos analis-las separadamente. Exemplo 1: Construir o grfico da funo f ( x ) Exemplo 2: Construir o grfico da funo f ( x ) Exemplo 3: Construir o grfico da funo f ( x ) 2.4. Funo Exponencial Definio: toda funo f : Exemplos:f (x) 2 , f ( x)x
x . xx2
3 .4 .
dada por f ( x )
a
x
, com a
1, a
0.
1 x ( ) , f (x) 3
3
x
a deve ser positivo, pois se no fosse a funo no estaria definida para todo x real. Por exemplo, sea 2
e
x
1 2
1
teramos f ( x )
a
x
( 2) 2
2
.
a deve ser diferente de 1, pois se no fosse a funo seria constante ( f ( x)ax
(1)
x
1,
x
).
2.4.1. Grfico de uma funo exponencial Exemplo 1: Construir o grfico da funo f ( x )2x
.
Exemplo 2: Construir o grfico da funo f ( x )
1 2
x
.
2.4.2. Crescimento e decrescimento de uma funo exponencial i) a 1 , f crescente; ii) 0 a 1 , f decrescente. 2.5. Funo Logartmica Definio: o logaritmo de um nmero real e positivo b, na base a, positiva e diferente de 1, o expoente ao qual se deve elevar a para se obter b.lo g ab
x
b
a
x
, b
0
e1
a
0
Conseqncias da definio: i) log 1a ii) log a a iii) log a a iv) a v) log b ab log a
0;1;m
m;b
;c
log a
b
c
.
2.5.1. Propriedades i) log ba ca
log b
a
log b ;log b ;ac
c
ii) log b ca iii) log bn
log b
a
n log b .
2.5.2. Grfico de uma funo logartmica Exemplo 1: Construir o grfico da funo f ( x )lo g 2 .x
Exemplo 2: Construir o grfico da funo f ( x )
log 1 .2
x
2.5.3. Crescimento e decrescimento de uma funo logartmica i) a 1 , f crescente; ii) 0 a 1 , f decrescente. 3. Exerccios 1) Dados os conjuntos G 0,1, 3, 4 e H 1, 3 , a relao binria R : G associa cada elemento de G ao seu dobro mais um em H, dada por: a) R b) R c) R d) R0,1 , 1, 3H
,
0,1 , 1, 3 , 3,1 0, 3 , 1, 3 , 3, 30,1 , 1, 3 , 3, 7 , 4, 9
2) Calcule as razes das funes abaixo. Em seguida, construa o grfico de cada uma delas. a) f ( x ) 2x 3 b) f ( x ) 5 c) f ( x ) 3 x 7 3) Um reservatrio de gua com 10.000 litros o qual abastece o bairro Brasil Teimoso teve sua tubulao rompida. Imediatamente ao ocorrido, os funcionrios da estao de guas acionaram o pessoal de conserto. Sabendo que a vazo de gua que sai da tubulao de 10 litros por minuto, quanto tempo at chegar ao local do incidente para providncias de fechamento da tubulao ter a equipe de conserto a fim de que o reservatrio ainda contenha pelo menos a metade do volume original?
4) Um arteso, trabalhando com material reciclado, faz peas decorativas, sendo cada uma vendida por R$ 10,00. Tendo um gasto mdio mensal de R$ 300,00, o seu lucro em funo da venda de x peas por ms pode ser obtido pela frmula f ( x ) 10 x 300 . a) Para um lucro mensal de R$ 500,00, quantas peas devem ser vendidas? b) Qual o nmero mnimo de peas que devem ser vendidas no ms para que o arteso no tenha prejuzo? 5) Na funo real definida por g ( x ) a) 19 b) 20 6) Se 3 x a) x b) xy y 10 e 3 110 100020 , logn
x
2
(x
1)
2
, g (10) vale:
c) 81 d) 100y
100 , pode-se afirmar que:
c) 3 y d) 3 x5
x y
100 1000
7) Dados log m a) 0 b) 1
e log p
25 ,
a expresso log [( m n ): p ] equivale a:
c) 5 d) 50
8) Construa o grfico das funes abaixo: a) f ( x ) b) f ( x )x2 2
8x 8x
23
2x
9) Um funcionrio de um teatro estima que 500 ingressos possam ser vendidos se os mesmos forem ofertados a R$ 7,00 cada e que, para cada R$ 0,25 de aumento de preo do bilhete, dois ingressos a menos sero vendidos. Expresse a arrecadao A, do teatro, como uma funo do nmero n de aumentos de R$ 0,25 para cada ingresso. 10) A soma de dois nmeros reais e positivos 12. Qual o maior valor que o produto desses dois nmeros pode assumir? 11) Se f ( x ) a) g ( x ) b) h ( x )x2
, obtenha os grficos das funes abaixo:
3 f ( x) f ( x) 4
12) Um fazendeiro tem 100 metros de arame para delimitar um curral de forma retangular. Quais as dimenses do curral para que a rea cercada seja mxima
13) Ao se estudar o crescimento das palmeiras na cidade de Palmeirpolis constatou-se que a funo que descreve esse crescimento em metros, aps t anos, f ( t ) 3 log . Quantos anos so necessrios para que uma determinada palmeira atinja 27 metros de altura?( 2 t 1) 2
14) Considere a funo f ( x ) imagens 2 a , 2 2 a e2a
2
x
e os nmeros a, b e c com suas respectivas
. Podemos concluir que, em funo de a, os valores de b e
4
c so, respectivamente: a)a 2
e 4a
b) a 1 e a
2
c) 2 a e
a 4
d) a 1 e a 2
15) Uma caixa dgua de forma cbica e capacidade de 100 litros est totalmente cheia. Para lavar o quintal, a dona da casa abriu a torneira que retirava 5 litros de gua por minuto. Supondo que a caixa dgua no seja alimentada durante todo o tempo da lavagem e que a vazo da torneira permanea constante, determine: a) Uma frmula e um grfico para a relao entre volume e tempo. b) Aps quanto tempo a caixa dgua ficou vazia? 16) Uma calculadora apresentava, em sua tela, o resultado dos gastos do ms realizados por um pai coruja que permitiu ao seu filho apertar algumas teclas, alterando esse resultado. O pai observou que o menino havia apertado as teclas , +, 1 e , nessa ordem e uma nica vez. Para recuperar o resultado que estava na tela, qual a seqncia de teclas que o pai dever apertar? 17) Qual a metade do nmero 2 21 412 ?