1. Matemtica Financeira Roberto Jos Medeiros Junior Curitiba-PR
2012
2. Presidncia da Repblica Federativa do Brasil Ministrio da
Educao Secretaria de Educao a Distncia INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO,
CINCIA E TECNOLOGIA - PARAN EDUCAO A DISTNCIA Este Caderno foi
elaborado pelo Instituto Federal do Paran para o Sistema Escola
Tcnica Aberta do Brasil - e-Tec Brasil. Prof. Irineu Mario Colombo
Reitor Prof. Mara Christina Vilas Boas Chefe de Gabinete Prof.
Ezequiel Westphal Pr-Reitoria de Ensino PROENS Prof. Gilmar Jos
Ferreira dos Santos Pr-Reitoria de Administrao PROAD Prof.
Silvestre Labiak Pr-Reitoria de Extenso, Pesquisa e Inovao PROEPI
Neide Alves Pr-Reitoria de Gesto de Pessoas e Assuntos Estudantis
PROGEPE Bruno Pereira Faraco Pr-Reitoria de Planejamento e
Desenvolvimento Institucional PROPLAN Prof. Jos Carlos Ciccarino
Diretor Geral do Cmpus EaD Prof. Mrcia Freire Rocha Cordeiro
Machado Diretora de Ensino, Pesquisa e Extenso DEPE/EaD Prof Mrcia
Denise Gomes Machado Carlini Coordenadora de Ensino Mdio e Tcnico
do Cmpus EaD Prof. Roberto Jos Medeiros Junior Coordenador do Curso
Prof. Ediane Santos Silva Vice-coordenadora do Curso Adriana Valore
de Sousa Bello Cassiano Luiz Gonzaga da Silva Jssica Brisola Stori
Denise Glovaski Souto Assistncia Pedaggica Paula Bonardi Diagramao
e-Tec/MEC Projeto Grfico Prof. Ricardo Herrera Diretor de
Planejamento e Administrao do Cmpus EaD Catalogao na fonte pela
Biblioteca do Instituto Federal de Educao, Cincia e Tecnologia -
Paran e-Tec Brasil 2 Matemtica Financeira
3. Apresentao e-Tec Brasil Prezado estudante, Bem-vindo ao
e-Tec Brasil! Voc faz parte de uma rede nacional pblica de ensino,
a Escola Tcnica Aberta do Brasil, instituda pelo Decreto n 6.301,
de 12 de dezembro 2007, com o objetivo de democratizar o acesso ao
ensino tcnico pblico, na modalidade a distncia. O programa
resultado de uma parceria entre o Ministrio da Educao, por meio das
Secretarias de Educao a Distancia (SEED) e de Educao Profissional e
Tecnolgica (SETEC), as universidades e escolas tcnicas estaduais e
federais. A educao a distncia no nosso pas, de dimenses
continentais e grande diversidade regional e cultural, longe de
distanciar, aproxima as pessoas ao garantir acesso educao de
qualidade, e promover o fortalecimento da formao de jovens
moradores de regies distantes, geograficamente ou economicamente,
dos grandes centros. O e-Tec Brasil leva os cursos tcnicos a locais
distantes das instituies de ensino e para a periferia das grandes
cidades, incentivando os jovens a concluir o ensino mdio. Os cursos
so ofertados pelas instituies pblicas de ensino e o atendimento ao
estudante realizado em escolas-polo integrantes das redes pblicas
municipais e estaduais. O Ministrio da Educao, as instituies
pblicas de ensino tcnico, seus servidores tcnicos e professores
acreditam que uma educao profissional qualificada integradora do
ensino mdio e educao tcnica, capaz de promover o cidado com
capacidades para produzir, mas tambm com autonomia diante das
diferentes dimenses da realidade: cultural, social, familiar,
esportiva, poltica e tica. Ns acreditamos em voc! Desejamos sucesso
na sua formao profissional! Ministrio da Educao Janeiro de 2010
Nosso contato [email protected] e-Tec Brasil
4. Indicao de cones Os cones so elementos grficos utilizados
para ampliar as formas de linguagem e facilitar a organizao e a
leitura hipertextual. Ateno: indica pontos de maior relevncia no
texto. Saiba mais: oferece novas informaes que enriquecem o assunto
ou curiosidades e notcias recentes relacionadas ao tema estudado.
Glossrio: indica a definio de um termo, palavra ou expresso
utilizada no texto. Mdias integradas: sempre que se desejar que os
estudantes desenvolvam atividades empregando diferentes mdias:
vdeos, filmes, jornais, ambiente AVEA e outras. Atividades de
aprendizagem: apresenta atividades em diferentes nveis de
aprendizagem para que o estudante possa realiz-las e conferir o seu
domnio do tema estudado. e-Tec Brasil
5. Sumrio Palavra dos professores-autores 9 Aula 1 contexto das
finanas na histria da matemtica 11 O 1.1 Dinheiro e temporalidade
11 1.2 Juros 13 Aula 2 elao algbrica: razo e proporo R 2.1 Razo 2.2
Aplicaes 2.2 Proporo 17 17 18 20 Aula 3 elao entre razo e
proporcionalidade: R regra de trs 3.1 Grandeza diretamente
proporcional. 3.2 Grandeza inversamente proporcional. 3.3
Proporcionalidade 23 23 24 25 Aula 4 orcentagem P 29 Aula 5 Revendo
o conceito de potencializao 5.1 Potenciao 35 35 Aula 6 Taxas e
coeficientes 6.1 Tipos de Taxas 41 43 Aula 7 Calculando as taxas 45
7.1 roporcionalidade entre taxas: converso de P taxa nominal para
efetiva (capitalizao simples) 45 7.2 quivalncias de taxas: converso
entre taxas efetivas E (capitalizao composta) 48 7.3 omparaes entre
proporcionalidade e equivalncia C 50 Aula 8 Capitalizao simples 8.1
Definindo capitalizao simples 8.2 Frmula para clculo do juro
simples 53 53 55 Aula 9 ipos de Juros e clculo de montante T 9.1
Algumas definies usuais 9.2 Juros Ordinrios 9.3 Juros Exatos 9.4
Juros pela regra do banqueiro 9.5 Frmula para clculo do montante 59
59 59 59 60 60 e-Tec Brasil
6. Aula 10 Descontos simples 10.1 Descontos 63 63 10.2 Valor
atual no desconto comercial 65 Aula 11 Descontos simples Continuao
11.1 Desconto racional 69 69 11. 2 Valor atual racional (Var) 70
Aula 12 escontos proporcionais D 73 Aula 13 quivalncia de ttulos ou
Capitais E (Capitalizao Simples) 77 Aula 14 apitalizao composta C
81 14.1 ariao da frmula do montante da capitalizao V composta 82
Aula 15 uros compostos e a funo exponencial J 83 Aula 16 ontinuao
de juros compostos e C exerccios resolvidos 87 Aula 17 Desconto
composto 17.1 Desconto composto 93 93 Aula 18 tulos equivalentes de
capitalizao composta T 95 Aula 19 peraes de fluxo de caixa O 19.1
Valor presente 101 103 19.2 Sries de pagamentos 103 19.3 Operaes
postecipadas 104 Aula 20 Outras sries de pagamento 20.1 Operaes
antecipadas 107 107 20.2 Operaes com carncia postecipada 108 20.3
Amortizaes 109 20.4 O que amortizao? 109 20.5 Depreciao 109 20.6
istemas de Amortizao (pagamento) do seu S financiamento imobilirio
110 Referncias Atividades autoinstrutivas 117 Currculo do
professor-autor e-Tec Brasil 115 133 Matemtica Financeira
7. Palavra dos professores-autores Prezado estudante, Este
material tem como objetivo enriquecer o estudo acerca das
atividades e prticas relativas disciplina de Matemtica Financeira,
na modalidade de Educao a Distncia, do Instituto Federal do Paran
(IFPR). O mtodo de Ensino contempla, tambm, atividades
autoinstrutivas e as supervisionadas, abrangendo contedos
relevantes na rea do Secretariado, apresentao diferenciada das
propostas de atividades prticas aliadas ao carter terico-reflexivo
das atividades. Cada captulo foi estruturado pensando em retomar
conceitos elementares de Matemtica importantes para o
desenvolvimento da teoria e atividades autoinstrutivas. Estudaremos
proporcionalidade (regra de trs), percentagem, progresses, sries,
sequncias e uso de calculadoras simples. Os tpicos apresentados
esto divididos de modo a contemplar o b--b das Finanas e da Educao
Financeira com foco nos conhecimentos matemticos pertinentes e
interdisciplinares. Em finanas pessoais, o profissional tcnico em
Administrao ter clareza da aplicabilidade dos conhecimentos
matemticos sade financeira do dinheiro, das aplicaes em curto, mdio
e longo prazo e de aes determinantes da empresa da qual faz parte.
O livro encontra-se dividido de modo didtico, seguindo um critrio
de aprendizado rico de conhecimentos, porm de fcil assimilao.
Observando uma evoluo de conceitos e tcnicas apresentadas
gradativamente maneira que se realizam as atividades
autoinstrutivas e supervisionadas com a utilizao de recursos de
acompanhamento pedaggico, entre eles o telefone (0800) e fruns via
web (tutoria). A inteno valorizar cada ponto como se fosse um mdulo
condensado e relevante, visando levar voc para um mundo de reflexo,
reeducao financeira e aprendizado contnuo. Sentimentos que sero
estimulados em cada aula com a presena (mesmo que virtual) do
professor conferencista e professor web. Desejamos muito sucesso e
aprendizado! Sincero abrao! Professores Roberto Jos Medeiros Junior
e Marcos Antonio Barbosa 9 e-Tec Brasil
8. Aula 1 O contexto das finanas na histria da matemtica No
decorrer desta aula voc ir aprender sobre o que so finanas e educao
financeira, saber tambm a razo de utilizar Matemtica nesses
procedimentos. 1.1 Dinheiro e temporalidade Figura 1.1: Moeda
Fonte: http://www.fatosdaeconomia.com.br/ Quando tratamos de
dinheiro e temporalidade, alguns elementos bsicos devem ser levados
em considerao, tais como: Inflao: Os preos no so os mesmos sempre;
ocorre porque podemos ter aumento dos custos de produo dos proIsso
dutos. Exemplo: aquisio de maquinrios, escassez da mo de obra,
falta de matria-prima. Podemos tambm ter aumento do consumo, e se
esse aumento for maior que a capacidade de produo, isso gera
inflao. Risco: Investimentos envolvem riscos que geram perda ou
ganho de dinheiro; decises de financiamento e investimento existem
muitos tipos de risEm cos que devemos considerar. Segundo o
dicionrio Aurlio, a palavra risco - original do latim risicu -
definida como perigo ou possibilidade de perigo. Para Castanheira
(2008) os riscos podem ser classificados como: 11 Antigamente
alguns governos, emitiam (produziam) dinheiro, sempre que
precisavam. Isso de maneira descontrolada produzia inflao. No
Brasil, so os famosos ndices econmicos que medem a inflao, entre
eles, destacamos o: IGP ndice geral de preos, calculado pela FGV .
(Fundao Getlio Vargas) IPC ndice Preo ao Consumidor, calculado pela
FIPE (Fund. Inst. Pesquisas Econmicas) INPC ndice Nacional de Preos
ao Consumidor, medido pelo IBGE. IPCA ndice de Preo ao Consumidor
amplo, tambm medido pelo IBGE. Inflao A Inflao um conceito econmico
que representa o aumento de preos dos produtos num determinado pas
ou regio, durante um perodo. e-Tec Brasil
9. Risco de Crdito, quando quem emprestou no paga sua dvida;
Risco de Liquidez, quando h atraso no pagamento da dvida; Risco de
mercado, quando h um processo de inflao; Risco Operacional, quando
no h retorno de investimento em funo de problemas operacionais da
empresa; Risco-Pas, em funo da situao econmica do pas. Incertez: No
h como saber que tipo de investimento mais rentvel sem estudo
prvio; Em qualquer deciso financeira, sempre h alguma incerteza
sobre o seu resultado. Podemos definir a incerteza, como sendo o
desconhecimento do resultado de um acontecimento, at quando ele
acontecer no futuro. Sabemos tambm que existe incerteza na maioria
das coisas que fazemos enquanto administradores financeiros, porque
ningum sabe precisamente que mudanas ocorrero no tempo determinado,
no universo financeiro, ou seja, difcil prever o que pode ocorrer
com os impostos, demanda de consumidor, economia, ou taxa de juros.
Dessa forma conceituamos Incerteza como sendo a situao em que no
sabido o que ir acontecer. Utilidade: Se no til, deve ser
adquirido? No podemos deixar nos levar pelo modismo ou pelo
consumismo exagerado. Na hora de voc trocar uma mquina ou um
equipamento, leve em considerao duas coisa: a primeira saber se com
a troca voc ir satisfazer suas necessidades. A segunda se vale
vantajoso fazer a troca ou aperfeioar o que voc j tem.
Oportunidade: Sem dinheiro as oportunidades dizem adeus. Com
dinheiro muito mais fcil ter crdito, fazer timos negcios e se
tranquilizar em crises econmicas. Figura 1.2: Dinheiro Fonte:
http://www.jogoscelular.net e-Tec Brasil 12 Matemtica
Financeira
10. A Matemtica Financeira possui diversas aplicaes no atual
sistema econmico. A palavra FINANAS remete especificamente quelas
relaes da matemtica com o dinheiro tal e qual o se concebe nas
diversas fases da Histria da humanidade. Muitas situaes esto
presentes no cotidiano das pessoas e tm ligao imediata com o
dinheiro, seja o fato de ter um pouco de dinheiro, nada de dinheiro
ou muito dinheiro. Em todas as situaes ter educao financeira
torna-se fator determinante da ascenso profissional e sade
financeira pessoal e empresarial. Os financiamentos so os mais
diversos e criativos. Essa mania muito antiga, remete as relaes de
troca entre mercadorias que com o passar das eras e diferentes
civilizaes evoluram naturalmente quando o homem percebeu existir
uma estreita relao entre o dinheiro e o tempo - tempo dinheiro.
Figura 1.3: Tempo Fonte: http://bloglucrativo.blogspot.com/ 1.2
Juros O conceito de juros surgiu no momento em que o homem percebeu
a existncia de uma afinidade entre o dinheiro e o tempo. As situaes
de acmulo de capital e desvalorizao monetria davam a ideia de juros
devido ao valor momentneo do dinheiro (cada dia as diferentes
moedas tm um valor). Algumas tbuas matemticas se caracterizavam
pela organizao dos dados e textos relatavam o uso e a repartio de
insumos agrcolas atravs de operaes matemticas. Voc sabia que
existem vrias passagens na Bblia que tratam de finanas? Finanas: (1
Cr.29:12-14; 1Tm.6:9-10). Em suma, todo cristo, como filho de Deus,
recebe coisas, inclusive o dinheiro, que deve ser utilizado de
maneira correta, sensata e temente a Deus para a glria do nome
dele. Temos que ser equilibrados, ganhando com prticas honestas e
fugindo das prticas ilcitas. lcito desfrutarmos dos benefcios que o
dinheiro traz, mas no apegarmos cobia a qualquer custo para
conseguir dinheiro. Podemos usar o dinheiro para dzimos, ofertas,
no lar, no trabalho e em lazer. As pessoas devem evitar contrair
dvidas fora do alcance, comprar sempre que possvel vista, fugir dos
fiadores, pagar os impostos, e como patro pagar justos salrios. Alm
disso, deve haver economia domstica, com liberdade moral e
responsvel, evitando conflitos, pois afinal o dinheiro de uso do
casal. Fonte: www.discipuladosemfronteiras. com/contato.php
acessado em 03/2009. Os sumrios, povos que habitaram o Oriente
Mdio, desenvolveram o mais antigo sistema numrico conhecido,
registravam documentos em tbuas de argila. Essas tbuas retratavam
documentos de empresas comerciais. Algumas eram utilizadas como
ferramentas auxiliares nos assuntos relacionados ao sistema de peso
e medida. Havia tbuas para a multiplicao, nmeros quadrados, nmeros
cbicos e exponenciais (ideia de funo). As funes Aula 1 O contexto
das finanas na histria da matemtica 13 e-Tec Brasil
11. exponenciais esto diretamente ligadas aos clculos de juros
compostos e os juros simples noo de funo linear. Mais adiante
veremos com mais detalhes essas relaes. Figura 1.4: Escrita dos
sumrios Fonte: http://www.cyberartes.com.br/ Consequentemente
existe a relao da escrita antiga dos Sumrios com o nosso sistema de
numerao, o sistema indo-arbico: (que tem esse nome devido aos
hindus que o inventaram, e devido aos rabes, que o transmitiram
para a Europa Ocidental). Figura 1.5:Hindu Fonte:
http://portaldoprofessor.mec.gov.br E os juros? Sempre existiram?
Na poca dos Sumrios, os juros eram pagos pelo uso de sementes e de
outros bens emprestados. Os agricultores realizavam transaes
comerciais em que adquiriam sementes para efetivarem suas plantaes.
Aps a colheita, os agricultores realizavam o pagamento atravs de
sementes com a seguida quantidade proveniente dos juros do
emprstimo. A forma de pagamento dos juros foi modificada para
suprir as exigncias atuais, no caso dos agricultores, claro que o
pagamento era feito na prxima colheita. A relao tempo/juros foi se
ajustando de acordo com a necessidade de cada poca. Atualmente, nas
transaes de emprstimos, o tempo preestabelecido pelas partes
negociantes. e-Tec Brasil 14 Matemtica Financeira
12. Vale observar que os juros sempre sofreram com as
intempries. Naquela poca, muito mais relacionadas com o clima, poca
de plantio e colheita. Atualmente, alm disso, os juros sofrem
alteraes de base por conta das polticas monetrias, do banco
central, ou seja, dependem da vontade poltiFigura 1.6: ndices
Fonte: http://www.cgimoveis.com.br ca/econmica do Ministro da
Fazenda e das decises do COPOM (Comit de Poltica Monetria do Banco
Central) e de polticas econmicas nacionais e internacionais, de
diferentes gestes, perodo de crises financeiras, alta e baixa da
taxa de desemprego, da instalao de indstrias e de ndices de
desenvolvimento humano (IDH). Atualmente se utiliza o financiamento
para as mais diversas situaes do universo capitalista, porque o ter
a engrenagem da mquina financeira mundial. A compra da casa prpria,
carro, moto, realizaes pessoais (emprstimos), compras a credirio ou
com carto de crdito, aplicaes financeiras, investimentos em bolsa
de valores, entre outras situaes financeiras que dependem do quanto
se ganha e de quanto est disposto a arriscar em financiamentos a
curto, mdio e longo prazo. Em resumo, todas as movimentaes
financeiras so baseadas na estipulao prvia de taxas de juros e
envolvem o tempo para quitar a dvida. Ao realizarmos um emprstimo a
forma de pagamento feita atravs de prestaes mensais acrescidas de
juros, isto , o valor de quitao do emprstimo superior ao valor
inicial do emprstimo. A essa diferena damos o nome de juros, ou
seja, o bem adquirido tem valor agregado maior do que se fosse
comprado vista (em parcela nica). Uma questo pertinente: melhor
comprar parcelado ou guardar o dinheiro para comprar vista? Esse o
grande objetivo da formao para a Educao Financeira, nossa meta para
este curso. Resumo Vimos nessa aula as relaes do dinheiro com a
temporalidade, o que a inflao, como identificar os tipos de Risco,
o que significa a taxa de juros e pudemos perceber um pouco da
evoluo histrica financeira. Aula 1 O contexto das finanas na
histria da matemtica 15 e-Tec Brasil
13. Atividades de aprendizagem Pesquise: 1. O que quer dizer
Risco-Pas? 2. Existem outros tipos de risco? 3. Qual o significado
da palavra ndice econmico? Responda: 1. Quais outros ndices so
usados no cotidiano regional? E a nvel nacional? 2. O que significa
a sigla que determina o ndice INCC? O que ele mede? 3. D um exemplo
de ndice financeiro e explique o que ele mede. e-Tec Brasil 16
Matemtica Financeira
14. Aula 2 Relao algbrica: razo e proporo No decorrer desta
aula, retomaremos o conceito de razo, propiciando maior
entendimento e explorao de conceitos matemticos fundamentais, por
meio de dedues, exploraremos as relaes algbricas (frmulas) que so
to teis aos clculos na Matemtica Financeira. A noo de relao
algbrica em matemtica financeira importante para representar de
modo geral as relaes que estabeleceremos entre o dinheiro, os juros
e o tempo. De modo geral atribumos letras (variveis) para
representar o dinheiro gasto, o financiamento, investimento, tempo
de aplicao, juros mensais, entre outros. Sendo assim muito provvel
que cada autor encontrar diferentes letras para representar as
variveis citadas. Uma relao bastante til em matemtica financeira a
proporcionalidade, frequentemente conhecida como regra de trs. Sua
utilidade vai desde o clculo de porcentagens at a transformao de
unidades de tempo e valor monetrio. Contudo, primeiramente vamos
nos ater a noo de razo e proporo. 2.1 Razo Podemos definir razo
dentro da matemtica - como sendo a comparao entre nmeros ou
grandezas. Mas o que entendemos por Grandeza? Entendemos por
grandeza tudo aquilo que pode ser medido ou contado. As grandezas
podem ter suas medidas aumentadas ou diminudas. Vejamos alguns
exemplos de grandeza: o volume, a massa, a superfcie, o
comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a
produo. comum situaes em que relacionamos duas ou mais grandezas no
dia a dia. Existem vrias maneiras de comparar duas grandezas, uma
delas usando a linguagem matemtica, quando se escreve a > b
(l-se a maior do que b) ou a < b (l-se a menor do que b) e a = b
(l-se a igual ao b), estamos comparando as grandezas a e b. Essa
comparao pode ser feita 17 Em uma corrida de quilmetros contra o
relgio, quanto maior for a velocidade, menor ser o tempo gasto
nessa prova. Aqui as grandezas so a velocidade e o tempo. Fonte:
http://www.somatematica. com.br/fundam/grandeza.php e-Tec
Brasil
15. atravs de uma razo entre as duas grandezas, isto o
quociente entre essas grandezas. Em resumo, uma razo a representao
da diviso entre dois valores a e b. Observe: a = a : b = a/b b
Exemplo: Em uma turma de 27 alunos, foi feito uma pesquisa para
saber quantos alunos gostam de matemtica e quantos no gostam. O
resultado obtido foi: Gostam: 07 alunos No gostam: 20 alunos Ento,
podemos dizer que o quociente 7/20 a razo do nmero de alunos que
gostam de matemtica. Viram que simples o conceito de razo. Podemos
ler a razo acima do seguinte modo: 7 esta para 20 Distinguimos a
razo acima chamando o 7 de antecessor e o 20 de consequente. 2.2
Aplicaes Entre as aplicaes prticas de razes especiais, as mais
comuns, so: a) Velocidade mdia A velocidade mdia em geral uma
grandeza obtida pela razo entre uma distncia percorrida e um tempo
gasto neste percurso. velocidade = distncia percorrida tempo gasto
no percurso Exemplo: I. uponhamos que um carro percorreu 120 km S
em 2 horas. A velocidade mdia do carro nesse percurso ser calculada
a partir da razo: Vmdia = 120km = 60km/h 2h O que significa que, em
1 hora o carro percorreu 60 km. Portanto, podemos dizer que nossa
razo de 60 Km/h Figura 2.1: Estrada Fonte: http://www.freefoto.com/
e-Tec Brasil 18 Matemtica Financeira
16. b) Escala Escala a comparao entre o comprimento observado
no desenho (mapa, por exemplo) e o comprimento real correspondente,
ambos na mesma unidade de medida. Escala = comprimento do desenho
comprimento real Exemplo: II. Em um mapa, um comprimento de 8 m est
representado por 16 cm. Qual a escala usada para fazer esse mapa?
Para resolver esse exerccio precisamos deixar ambos os valores com
a mesma unidade de medida. Neste caso, transformamos 8 m em cms. 8m
= 800 cm, pois, 1 m = 100 cm, logo 8.100 m = 8. 100 cm = 800cm.
Certo! Mas agora vamos para a escala: Escala = 16 cm = 1 800 cm 50
ou ainda escala 1:50, como mais comum nos desenhos e mapas. Isto
significa que cada 1 cm medido no desenho igual 50 cm no tamanho no
real. E assim nossa razo lida por 1 esta para 50 c) Densidade
Demogrfica Figura 2.2 Densidade demogrfica Fonte:
http://www.grupoescolar.com Densidade demogrfica = nmero de
habitantes rea total do territrio Aula 2 Relao algbrica: razo e
proporo 19 e-Tec Brasil
17. Exemplo: III.Um municpio ocupa a rea de 5.000 km2jj, de
acordo com o censo realizado, tem populao aproximada de 100.000
habitantes. A densidade demogrfica desse municpio obtida assim:
Densidade demogrfica = 100.000 hab 5.000 km2 Isto significa que
para cada 1 quilmetro quadrado, esse municpio tem 20 habitantes.
Assim a razo de 20 hab/Km2 Para o nosso caso mais especfico de
finanas um exemplo de razo relacionar a noo de razo com a
transformao de fraes em nmeros decimais (com vrgula), vejamos
alguns exemplos: 20 igual 10. A razo de 20 para 2 10, ou seja vinte
A razo 20:2, ou 2 dez vezes maior que dois. A razo 12 : 3 ou 12/3
igual a quatro, ou seja doze quatro vezes maior que trs. A razo 4 4
: igual a1. A razo de 4/6 para 4/6 1 (um inteiro ou 100%). 6 6 2.2
Proporo Podemos definir proporo como a igualdade entre duas razes.
Vejamos como simples esse conceito! Dada a razo 2/3, se
multiplicarmos por 2 teremos uma nova razo de valor 4/6. Lembremos
que uma razo no se altera quando ela multiplicada ou dividida por
um nmero diferente de zero. Logo, deduzimos que as duas razes so
iguais, ou seja, 2/3 = 4/6. Concluimos que a igualdade de duas
razes uma proporo. E essa igualdade lida da seguinte forma: dois
est para trs assim como quatro esta para seis, que pode ser
representada por 2:3:: 4:6. A C De modo genrico a proporo
representada por B : D , onde os nmeros A e D so denominados
extremos enquanto os nmeros B e C so os meios. e-Tec Brasil 20
Matemtica Financeira
18. Usa no cotidiano a proporo para achar o termo desconhecido
de uma razo, normalmente essa aplicao se da na famosa REGRA de TRS.
Veremos isto mais adiante. Pesquisando sobre a Propriedade
fundamental da proporo e Propriedades da proporo As fraes abaixo so
outros exemplos de proporo: a) = 5/10b) 3/4 = 9/12c) 21/43 = 42/86
Resumo Nesta aula, revisamos o conceito de razo e proporo,
compreendendo suas principais aplicaes Atividades de aprendizagem
Resolva as atividades abaixo, seguindo o modelo resolvido: 1. Faa a
leitura das razes abaixo: a) = trs esta para 4 b) 3/5 = . c) 9/28 =
. d) A/B = . e) / 1/3 = . 2. Estabelea a razo entre as grandezas:
a) A idade de um rapaz 20 anos e a idade de sua irm 16. Qual a razo
da idade do rapaz para a da sua irm? Resposta: a razo 20/16 b) Qual
a razo do nmero de dias do ms de fevereiro para os dias de um ano
bissexto? R: . c) O time de futebol Amigos da bola marcou 36 gols,
e sofreu 10 gols. Qual a razo do nmero de gols marcados para o
nmero de gols sofridos? R: . d) Uma caixa de chocolate possui 250g
de peso lquido e 300g de peso bruto. Qual a razo do peso lquido
para o peso bruto? R: . Aula 2 Relao algbrica: razo e proporo 21
e-Tec Brasil
19. 3. Verifique se as igualdades abaixo so ou no proporo,
respondendo sim ou no. a) 5/2 = 15/6, sim uma proporo, pois se
multiplicarmos a frao 5/2 por 3, temos a frao 15/6. b) 81/63 = 9/7
c) 4/5 = 24/20 d) = 27/32 e) 6/5 = 36/30 4. Calcule o termo
desconhecido das seguintes propores: a) 2/3 = 16/x Utilizando a
propriedade fundamental, sabemos que o produto dos meios igual ao
produto dos extremos, ento temos: 2.x = 16.3 2.x = 48 X = 48/2 X =
24 b) 7/6 = 42/x c) 2/5 = x/30 d) 360/50 = x/10 e) x/4 = 72/32
e-Tec Brasil 22 Matemtica Financeira
20. Aula 3 Relao entre razo e proporcionalidade: regra de trs
Veremos nesta aula, alguns dos elementos que estabelecem a relao
entre razo e proporo. 3.1 Grandeza diretamente proporcional. Duas
grandezas so diretamente proporcionais quando, aumentando uma
delas, a outra tambm aumenta na mesma proporo, ou, diminuindo uma
delas, a outra tambm diminui na mesma proporo. Se duas grandezas X
e Y so diretamente proporcionais, os nmeros que expressam essas
grandezas variam na mesma razo, isto , existe uma constante K tal
que: X =K Y Exemplo: Uma torneira foi aberta para encher uma caixa
com gua. A cada 15 minutos medida a altura do nvel de gua. (cm.
=centmetros e min. = minutos) 15 minutos 50 cm 30 minutos 100 cm 45
minutos 150 cm Figura 6.6: Exemplo Fonte: Elaborado pelo autor
Construmos uma tabela para mostrar a evoluo da ocorrncia: Tempo
(min) Altura (cm) 15 50 30 100 45 150 23 e-Tec Brasil
21. Observamos que, quando duplica o intervalo de tempo, a
altura do nvel da gua tambm duplica e quando o intervalo de tempo
triplicado, a altura do nvel da gua tambm triplicada. Desta
maneira, tiramos as seguintes concluses: Quando o intervalo de
tempo passa de 15 min. para 30 min., dizemos que o tempo varia na
razo 15/30, enquanto que a altura da gua varia de 50 cm para 100
cm, ou seja, a altura varia na razo 50/100. Observamos que estas
duas razes so iguais: 15 = 50 = 1 . 30 100 2 Quando o intervalo de
tempo varia de 15 min. para 45 min., a altura varia de 50 cm para
150 cm. Nesse caso, o tempo varia na razo 15/45 e a altura na razo
50/150. Ento, notamos que essas razes so iguais: 15 = 50 = 1 . 45
150 3 Conclumos que a razo entre o valor numrico do tempo que a
torneira fica aberta e o valor numrico da altura atingida pela gua
sempre igual, assim, dizemos que a altura do nvel da gua
diretamente proporcional ao tempo que a torneira ficou aberta. 3.2
Grandeza inversamente proporcional. Duas grandezas so inversamente
proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na
mesma proporo, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma
proporo. Vamos ver um exemplo para entender melhor: Observe a
tabela, que representa a relao entre a velocidade e tempo em uma
situao de distncia qualquer. Velocidade (Km/h) tempo (h) 400 3 480
2h30min Podemos observar que medida que a velocidade aumenta o
tempo percorrido diminui. Assim, temos a caracterizao de uma
grandeza inversamente proporcional. e-Tec Brasil 24 Matemtica
Financeira
22. 3.3 Proporcionalidade Regra de Trs Simples Regra de trs
simples um processo prtico para resolver problemas que envolvem
grandezas diretas ou inversamente proporcionais. normal no senso
comum entendermos como clculo do valor desconhecido, quando h
presena de trs deles valores conhecidos e precisamos descobrir o
valor do quarto. Devemos, portanto, determinar um valor a partir
dos trs j conhecidos. Passos didticos utilizados para resolver
problemas com a regra de trs simples 1 Passo: Construir uma tabela,
agrupando as grandezas da mesma espcie em colunas e mantendo na
mesma linha as grandezas de espcies diferentes em correspondncia. 2
Passo: Identificar se as grandezas so diretamente ou inversamente
proporcionais. 3 Passo: Montar a proporo e resolver a equao.
Exemplo 1: Com uma rea de absoro de raios solares de 1,2 m2, uma
lancha com motor movido energia solar consegue produzir 400 watts
por hora de energia. Aumentando-se essa rea para 1,5 m2, qual ser a
energia produzida? Soluo: montando a tabela: rea (m2) Energia (Wh)
1,2 400 1,5 x Identificao do tipo de relao: rea 1,2 1,5 Energia 400
x Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contm o
x. Observe que: Aumentando a rea de absoro, a energia solar
aumenta. Aula 3 Relao entre razo e proporcionalidade: regra de trs
25 e-Tec Brasil
23. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta),
podemos afirmar que as grandezas so diretamente proporcionais.
Assim sendo, colocamos outra seta no mesmo sentido (para baixo) na
1 coluna. Montando a proporo e resolvendo a equao temos: rea 1,2
1,5 Energia 400 x 1,2 = 400 1,5 x 1,2x = 1,5 . 400 x = 1,5 . 400 =
500 1,2 Logo, a energia produzida ser de 500 watts por hora.
Exemplo 2: Um trem, deslocando-se a uma velocidade mdia de 400
km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria
esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?
Soluo: montando a tabela: Velocidade (Km/h) Tempo (h) 400 3 480 x
Identificao do tipo de relao: Velocidade 400 480 Tempo 3 x
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contm o x
(2 coluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do
percurso diminui. Como as palavras so contrrias (aumentando -
diminui), podemos afirmar que as grandezas so inversamente
proporcionais. Assim sendo, colocamos outra seta no sentido
contrrio (para cima) na 1 coluna. Montando a proporo e resolvendo a
equao temos: Velocidade 400 480 Tempo 3 x 3 = 480 x 400 invertemos
os termos 480x = 3.400 x = 3.400 = 2,5 480 Logo, o tempo desse
percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos. e-Tec Brasil
26 Matemtica Financeira
24. Fonte: http://www.somatematica.com.br/fundam/regra3c.php
Resumo Nesta aula descobrimos como funciona a Proporo direta e
inversa. Identificamos, tambm, a regra de trs simples e como
calcul-la. Atividades de aprendizagem 1. Compare as grandezas
abaixo e assinale I para grandeza inversamente proporcional e D
para grandeza diretamente proporcional. a) Nmero de livros e seu
preo (D) b) Metros de tecido e preo ( ) c) Nmero de maquinas e
tempo para executar um trabalho ( ) d) Quantidade de rao e nmero de
animais ( ) e) Salrio de um operrio e horas de trabalho ( ) Aula 3
Relao entre razo e proporcionalidade: regra de trs 27 e-Tec
Brasil
25. 2. Resolva as regras de trs a seguir e diga se elas so
diretas ou inversamente proporcionais: a) 4 chocolates custam R$
20,00. Qual o preo de 5 chocolates? b) Uma mquina produz 1000 peas.
Quantas peas seriam produzidas por 5 mquinas? c) 20 costureiras
fazem 60 camisas por quinzena. Quantas camisas fariam 30
costureiras? d) 20 operrios constroem uma obra em 10 dias. Qual
seria o tempo gasto por uma equipe de 5 operrios? e-Tec Brasil 28
Matemtica Financeira
26. Aula 4 Porcentagem O objetivo desta aula rever conceitos de
porcentagem, ou seja, a importncia da expresso por cento e as
aplicaes cotidianas nas questes financeiras. Observem nas lojas os
encartes, e na internet a quantidade de vezes que a representao %
(por cento) est presente na comunicao das mais diversas empresas e
rgos pblicos. Trata-se de uma linguagem amplamente difundida, e
senso comum entre a populao de que se trata de um modo de comunicao
com vistas em representar a parte de um todo de 100 unidades. Dada
essa importncia, vejamos alguns exemplos da representao em
porcentagem versus a representao na forma de razo e o equivalente
em decimal: Figura 4.1: Porcentagem Fonte: http://www.sxc.hu Tabela
4.1: Representao Representao Exemplo de situao usual 50% UNE quer
que 50% dos recursos do Fundo Social sejam investidos em educao.
Emagrea 1/2 kg por dia comendo sanduche. 0,5 Oferta: Lapiseira
Pentel Tcnica 0,5mm Preta - P205 Metade Governo Federal reduziu
pela metade o dinheiro destinado ao sistema penitencirio. Fonte:
Elaborado pelo autor Note que a tabela traz diferentes situaes que
so representadas pelo mesmo conceito de metade. Porm, cada situao
exposta pede uma diferente representao, por exemplo, no seria
adequado dizer: emagrea 50% de um quilograma por dia. Para o nosso
caso especfico utilizaremos amplamente a notao de porcentagem, por
estar intimamente relacionada com o sistema monetrio que est
definido como nmero decimal posicional. Toda razo da forma a/b na
qual o denominador b =100, chamada taxa de porcentagem ou
simplesmente porcentagem ou ainda percentagem. 29 e-Tec Brasil
27. Historicamente, a expresso por cento aparece nas principais
obras de aritmtica de autores italianos do sculo XV. O smbolo %
surgiu como uma abreviatura da palavra cento utilizada nas operaes
mercantis. Para indicar um ndice de 10 por cento, escrevemos 10% e
isto significa que em cada 100 unidades de algo, tomaremos 10
unidades. O clculo de 10% de 80, por exemplo, pode ser obtido como
o produto de 10 . 80 = 800 / 100 = 8. 10% por 80, isto : 10%.80 =
100 Situaes mais elementares, como a citada anteriormente, podem
ser resolvidas de cabea (clculo mental). Imagine que os 80 citados
so na verdade o valor da conta de um jantar em famlia; sobre esse
valor vamos acrescentar a taxa de servio de garom que de 10% sobre
o consumo total. Sendo assim, basta dividir por 10 o valor da
conta, resultando em 8, ou melhor, em 8,00 reais e somar este
resultado ao total consumido: R$8,00 + R$80,00 = R$88,00. Em geral,
para indicar um ndice de M por cento, escrevemos M% e para calcular
M% de um nmero N, realizamos o produto: 1. Percentagem x
Porcentagem opcional dizer percentagem (do latim per centum) ou
porcentagem (em razo da locuo por cento). Mas s se diz percentual.
Com as expresses que indicam porcentagens o verbo pode ficar no
plural ou no singular. Conforme o caso, j que a concordncia pode
ser feita com o nmero percentual ou com o substantivo a que ele se
refere. Por Maria Tereza de Queiroz Piacentini. Fonte:
http://kplus. cosmo.com.br/materia. asp?co=49&rv=Gramatica,
acessado em setembro de 2009. Produto = M%.N = M .N 100 Exemplo 1.
Um fichrio tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas
esto etiquetadas com um nmero par. Quantas fichas tm a etiqueta com
nmero par? Quantas fichas tm a etiqueta com nmero mpar? Soluo:
Etiquetas Pares = 52% de 25 fichas = 52%.25 = 52.25 / 100 = 13. O
restante, (100% - 52% = 48% so de fichas nmero mpar, que seria
nesse caso 12 fichas) Poderamos ainda calcular o valor de 50% e
acrescentar 2% (1% + 1%). Vejamos: (metade de 25) 50% de 25 = 12,5
+ 1% de 25 (a centsima parte de 25) + 1% de 25 (a centsima parte de
25). Somando os valores temos: 12,5 + 0,25 + 0,25 = 13. Nesse
fichrio, h 13 fichas etiquetadas com nmero par e 12 fichas com
nmero mpar. e-Tec Brasil 30 Matemtica Financeira
28. Exemplo 2. Num torneio de basquete, uma determinada seleo
disputou quatro partidas na primeira fase e venceu trs. Qual a
porcentagem de vitrias obtida por essa seleo nessa fase? Soluo:
Vamos indicar por X% o nmero que representa essa porcentagem. Esse
problema pode ser expresso da seguinte forma: X% de 4 = 3 Assim
temos: x .4=3 100 4x =3 100 4x = 300 x = 75 Ou ainda poderamos
utilizar o conceito de razo: = 0,75, ou seja, na primeira fase a
porcentagem de vitrias foi de 75%. Exemplo 3. Ao comprar uma
mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preo marcado na
etiqueta. Pagou-se R$690,00 pela mercadoria. Qual o preo original
da mercadoria? Soluo: Seja X o preo original da mercadoria. Se
obtive 8% de desconto sobre o preo da etiqueta, o preo que paguei
representa 100%-8%=92% do preo original e isto significa que 92% de
X = 690 Assim temos: 92%.x = 690 92 x = 690 100 92x = 690 100 92. x
= 69.000 x = 69.000 / 92 = 750 O preo original da mercadoria era de
R$750,00. Aula 4 orcentagem P 31 e-Tec Brasil
29. Exemplo 4 Calcule quanto 8 % de 120. Soluo: 8/100.120 = 9,6
Exemplo 5 Quanto por cento representa 8 de 130. Soluo: 8/130 =
0,0615 para transformar em percentagem basta multiplicar por 100,
assim temos: 0,0615 . 100 = 6,15 % (considerando duas casas
decimais) Exemplo 6 Calcule o total (ou seja, 100%) sabendo que 22%
valem 56. H duas formas de se resolver uma porcentagem: por regra
de trs ou por frmula. Dependendo apenas de como se calcula, ou por
frao, ou taxa percentual. Soluo: Utilizamos a regra de trs, veja:
22 --------------------- 56 100 --------------------- x ,
multiplicando cruzado, temos: 22x = 56.100 22X = 5600 X = 5600/22 X
= 254,54 (considerando duas casas truncadas) Resumo Nesta aula,
revisamos o conceito de porcentagem, ou seja, a importncia do por
cento e das aplicaes cotidianas nas questes financeiras utilizando
apenas o denominador 100 nas razes do tipo a/b (com b sempre igual
a 100). Atividades de aprendizagem 1. Calcule, quanto : a) 8% de
1200 = e-Tec Brasil 32 Matemtica Financeira
30. b) 40% de 80 = c) 13% de 50 = d) 1,99 % de 12.000 = e) 0,5
% de 2.458,50 = 2. Calcule quantos por cento representa: a) 12 de
120 = b) 20 de 50 = c) 2,5 de 12 = d) 35 de 1000 = e) 56 de 80 =
Aula 4 orcentagem P 33 e-Tec Brasil
31. 3. Calcule o total (ou seja, 100%): a) Se 10% vale 16, o
total ? R = b) Se 7% vale 7, o total ? R = c) Se 30% vale 120, o
total ? R = d) Se 12,5 % vale 625, o total vale? R = e-Tec Brasil
34 Matemtica Financeira
32. Aula 5 Revendo o conceito de potencializao Nesta aula, voc
retomar o significado de algumas propriedades da potenciao e
porcentagem, ou seja, conhecer a importncia da palavra por cento e
tambm suas aplicaes nas questes financeiras. 5.1 Potenciao A ideia
de potenciao pode ser explicada, quando usamos a seguinte situao no
lanamento de dados: Figura 3.1: Dados Fonte:
http://cute-and-bright.deviantart.com http://usefool-deviantart.com
Quando lanamos dois dados consecutivos, podemos obter os seguintes
resultados: (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3)
(2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2)
(4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1)
(6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Assim, temos 36 resultados possveis
nesses lanamentos. 35 e-Tec Brasil
33. Entretanto, podemos chegar a essa concluso utilizando outro
raciocnio, que seria a multiplicao das possibilidades de resultado
para cada um dos dados: 1 dado 2 dado 6 x 6 = 62 = 36 6
possibilidades 6 possibilidades Faa da mesma maneira lanando trs
dados consecutivos: 1 dado 2 dado 3 dado 6 x 6 x 6 = 63 = 216 6
possibilidades 6 possibilidades 6 possibilidades Generalizando, com
n lanamentos consecutivos: 1 dado 2 dado 3 dado n dado (...) 6
possibilidades 6 possibilidades 6 possibilidades 6 x 6 x (...)x 6 =
6n 6 possibilidades Logo percebemos que esta situao representa uma
potncia, ou seja, um caso particular da multiplicao. Desta maneira,
podemos definir potncia como um produto de fatores iguais. Veja a
representao matemtica que define potncia: an= a .a . a . a . (...)
a Onde: a a base n o expoente, o resultado a potncia. Por exemplo:
(-2)2 = (-2).(-2) = 4 (-3)3 = (-3). (-3). (-3) = -27 44 = 4.4.4.4 =
256 55 = 5.5.5.5.5 = 3125 Observao: Pela observao dos exemplos
acima temos as seguintes concluses: (+)par =+ (-)par =+ (+)mpar =+
(-)mpar = Expoente par o resultado d sempre positivo Expoente mpar
sempre se conserva o sinal da base e-Tec Brasil 36 Matemtica
Financeira
34. 5.1.1 Casos particulares Considere a seguinte sequncia de
potncia de base 2: 24 = 16 :2 23 = 8 :2 22 = 4 :2 21 = 2 :2 20 = 1
:2 1 2-1 = 2 :2 1 2-2 = 4 :2 1 2-3 = 8 :2 2-4 = 1 ... 16 Com estes
resultados conclumos que: 1. Toda potncia de expoente 1 igual base
a1 = a 2. Toda potncia de expoente zero igual a 1, sendo a 0. a0 =
1 3. Toda potncia de expoente negativo igual ao inverso da potncia
de expoente positivo a-n= 1n , sendo a 0 a Aula 5 Revendo o
conceito de potencializao 37 e-Tec Brasil
35. 5.1.2 Propriedades das potncias: As propriedades das
potncias so utilizadas para simplificar os clculos aritmticos,
observe as mais utilizadas no dia-dia: am . an = am + n am : an =
am n (am)n = am . n A seguir temos alguns exemplos dos casos
particulares e das propriedades das potncias. a) 10 = 1 b) 51 = 5 1
1 c) 2-5 = 5 = 2 32 d) 22 . 23 = 22+3 = 25 = 32 e) 23 22 = 23-2 =
21 = 2 f) (22)3 = 26 = 64 Resumo Nesta aula, retomamos o
significado da potenciao por meio de exemplos prticos relacionados
probabilidade e estatstica. Tais exemplos sero teis ao entendimento
que se tem sobre as frmulas as quais sero vistas mais adiante.
Atividades de aprendizagem 1. Em 7 = 49, responda: a) Qual a base?
b) Qual o expoente? c) Qual a potncia? e-Tec Brasil 38 Matemtica
Financeira
36. 2. Escreva na forma de potncia: (D.I.: OS EX. ESTO COM
RESPOSTAS?) a) 4x4x4= (R: 4) b) 5x5 = (R: 5) c) 9x9x9x9x9= (R: 95)
d) 7x7x7x7 = (R: 74) e) 2x2x2x2x2x2x2= (R: 27) f) cxcxcxcxc= (R:
c5) 3. Calcule a potncia: a) 3 = (R: 9) b) 8 = (R: 64) c) 2= (R: 8)
d) 3 = (R: 27) e) 6 = (R: 216) f) 24 = (R: 16) Aula 5 Revendo o
conceito de potencializao 39 e-Tec Brasil
37. Aula 6 Taxas e coeficientes Nesta aula, voc compreender a
diferena entre as taxas e coeficientes. Veremos tambm os tipos de
taxas. Acompanhe a citao: No mercado financeiro brasileiro, mesmo
entre os tcnicos e executivos, reina muita confuso quanto aos
conceitos de taxas de juros principalmente no que se refere s taxas
nominal, efetiva e real. O desconhecimento generalizado desses
conceitos tem dificultado o fechamento de negcios pela consequente
falta de entendimento entre as partes. Dentro dos programas dos
diversos cursos de Matemtica Financeira existe uma verdadeira
poluio de taxas de juros. (SOBRINHO, 2000) As taxas se referem aos
valores expressos preferencialmente em porcentagem enquanto que os
coeficientes so estritamente numricos (nmeros decimais). J os
coeficientes dizem respeito a valores independentes da representao
em porcentagem, os valores passam a ser absolutos. Se as taxas so
expressas em grupos de 100 partes (por cento), os coeficientes
servem para qualquer quantidade de dados numricos e ajudam a
representar intervalos, variaes de mximo e mnimo, de correlao com
tabelas preestabelecidas. Veja um exemplo, que relata parte de uma
notcia no jornal valor econmico online: Se, de um lado, a
expectativa de um corte maior nos juros indica inflao mais alta
para 2012 e 2013, seu impacto na atividade deve acelerar o
crescimento econmico no prximo ano, avaliam economistas ouvidos
pelo Valor. Aps a reduo de 0,75 ponto percentual na Selic, que foi
para 9,75% ao ano na semana passada, analistas revisaram
ligeiramente para cima suas projees para o avano do Produto Interno
Bruto (PIB) de 2013, de 4,15% para 4,20%, segundo o Boletim Focus
divulgado nesta segunda-feira pelo Banco Central. As estimativas
para este ano foram mantidas em 3,3%.
Fonte:http://www.valor.com.br/brasil/2566168/queda-da-selic-eleva-projecoes-para-o-pib-de-2013-no-focus,
acessado em 03/12. 41 e-Tec Brasil
38. Na notcia acima os valores 9, 75 %, 4,20%, 4,15%, 3,3 % so
determinadas como taxas. J o valor 0,75 o que entendemos por
coeficiente. Para entender a taxa bsica de juros, preciso primeiro
saber o que o juro. O dicionrio Houaiss o define como quantia que
remunera um credor pelo uso de seu dinheiro por parte de um devedor
durante um perodo determinado, ger. uma percentagem sobre o que foi
emprestado; soma cobrada de outrem, pelo seu uso, por quem empresta
o dinheiro. Em linguagem mais simples, Carlos Antonio Luque,
professor da Faculdade de Economia, Administrao e Contabilidade da
Universidade de So Paulo (USP), d um exemplo de como isso funciona:
Se eu tiver disposio uma ma e se algum quiser tom-la emprestada, eu
vou exigir que, no futuro, essa pessoa me devolva a ma e mais um
pedao. Esse pedao extra o que representa os juros.
http://revistaescola.abril.com.
br/geografia/fundamentos/taxabasica-juros-479759.shtml e-Tec Brasil
No Brasil, o governo federal emite ttulos pblicos e, por meio da
venda deles, toma emprstimos para financiar a dvida pblica no pas e
outras atividades como educao, sade e infraestrutura. Quem compra
esses ttulos aplica seu dinheiro para, em troca, receber uma
contrapartida: os juros. Mas quem define isso? O Banco Central, que
administra os leiles de ttulos do governo, define uma remunerao
sobre eles, que a taxa bsica de juros, explica o professor. Dentro
desse rgo, existe outro chamado Comit de Poltica Monetria, o Copom.
Ele foi criado em 1996 e sua funo , como diz o prprio nome, definir
as diretrizes da poltica monetria do pas e a taxa bsica de juros.
Periodicamente, o Copom divulga a taxa Selic (Sistema Especial de
Liquidao e Custdia), que a mdia de juros que o governo brasileiro
pago aos emprstimos tomados de bancos. a Selic que define a taxa
bsica de juros no Brasil, pois com base nela que os bancos realizam
suas operaes, influenciando as taxas de juros de toda a economia.
Aumentar ou reduzir esse imposto pode trazer diferentes implicaes
economia de um pas. Quando o Banco Central aumenta a taxa de juros,
ele est nos dando a seguinte orientao: No consumam hoje os bens,
peguem seu dinheiro e apliquem no mercado financeiro, pois assim
vocs podero consumir mais no futuro. Quanto ele a reduz, diz o
contrrio, que mais conveniente comprar os bens hoje e no aguardar o
futuro para obt-los, diz Carlos Antnio Luque. Ou seja, o aumento na
taxa bsica de juros atrai mais investimentos em ttulos pblicos e a
quantidade de dinheiro em circulao diminui. Com isso, as pessoas
compram menos. A lei de mercado faz com que a queda na demanda
baixe os preos dos produtos e servios em oferta. Assim, consegue-se
conter o avano da inflao, mas o ritmo da economia desacelera. Porm,
se a taxa for reduzida, acontece o inverso: os bancos diminuem os
investimentos nos ttulos do governo e passam a aumentar o crdito
populao, o que eleva a quantidade de dinheiro circulando e estimula
o consumo. O crescimento na demanda de produtos e servios aquece o
setor produtivo e, consequentemente, a economia como um todo. Em
compensao, faz os preos se elevarem e possibilita o avano da
inflao. 42 Matemtica Financeira
39. 6.1 Tipos de Taxas H vrios tipos de taxas nas operaes
financeiras, veremos algumas: 6.1.1 Taxa Proporcional Quando entre
duas taxas existe a mesma relao que a dos perodos de tempo a que se
referem, elas so proporcionais. Utilizada na capitalizao simples,
como podemos observar no exemplo: 12 % ao ano so proporcionais a 6
% ao semestre. 5 % ao trimestre so proporcionais a 20 % ao ano.
6.1.2 Taxa Equivalentes So aquelas que, referindo-se a perodos de
tempos diferentes, fazem com que o capital produza um mesmo
montante num mesmo tempo. Muito utilizado na capitalizao composta.
Exemplo: 1,39 % ao ms so equivalentes a 18 % ao ano. 26,824 % ao
ano so equivalentes a 2 % ao ms. 6.1.3 Taxa nominal a taxa que vem
descrita nos contratos ou documentos financeiros. Quando procuramos
um financiamento junto a um agente financeiro, ele sempre nos
informa a taxa anual do contrato. Pra entendermos melhor, observe a
situao: A Caixa Econmica Federal oferece dinheiro a 5 % ao ano, com
capitalizao mensal. A taxa de 5 % acima dita Nominal. Tambm,
podemos defini-la como sendo a taxa em que os perodos de
capitalizao dos juros ao Capital no coincide com aquele a que a
taxa est referida. Exemplos: 1200% a.a. com capitalizao mensal. 30
% a.s. com capitalizao mensal. 6.1.4 Taxa Efetiva quando o perodo
de capitalizao dos juros ao Capital coincide com aquele a que a
taxa est referida. Exemplos: 120% a.m. com capitalizao mensal. 45%
a.s. com capitalizao semestral. Aula 6 Taxas e coeficientes 43
e-Tec Brasil
40. 6.1.5 Taxa Real a taxa efetiva corrigida pela taxa
inflacionria do perodo da operao. Pagamento do Imposto de Renda
Pessoa Fsica: um exemplo de taxa a pagar. Fonte:
http://g1.globo.com/ economia/imposto-derenda/2012/noticia/2012/02/
tabela-do-imposto-de-renda2012-foi-corrigida-em-45conheca-os-limites.html,
Acesse!!!!! Resumo Nesta aula vimos a definio de taxas e
coeficientes, bem como os tipos de taxas: a taxa nominal,
equivalente, proporcional, efetiva e a taxa real. Na sequncia
veremos que a transformao de taxas ser bastante til nos clculos
financeiros. Atividades de aprendizagem 1. Pesquise e Responda: a)
Qual a diferena entre taxa e coeficiente? b) Qual a diferena entre
taxa proporcional e equivalente? c) Qual a diferena entre taxa
nominal e efetiva? d) Qual a diferena entre taxa real da efetiva?
e-Tec Brasil 44 Matemtica Financeira
41. Aula 7 Calculando as taxas Nesta aula de hoje veremos como
calcular as diversas taxas de juros. Faremos alguns exerccios para
se apropriar desse conhecimento. Segundo Camargo (2010): ... todo
clculo de matemtica financeira se baseia no desconto ou capitalizao
de um valor monetrio atravs da utilizao de uma taxa de juros. Numa
operao financeira a escala de tempo (n) utilizada na operao deve
coincidir com a mesma unidade de tempo referenciada na taxa de
juros (i). ou seja, se tivermos prestaes mensais, por exemplo, a
taxa de juros deve ser especificada tambm em meses. Quando a escala
de tempo (n) e a taxa de juros (i) no estiverem especificadas na
mesma unidade de tempo, necessrio compatibiliz-las alterando a
escala de tempo ou o perodo a que a taxa se refere (SOUZA,
CLEMENTE, 2004). Para alterar o perodo de taxas diferentes,
utilizamos diariamente duas operaes: a converso de taxas nominais
em taxas efetivas, o que se d pelo processo de proporcionalidade,
ou a converso de uma taxa efetiva em outra taxa efetiva, o que se d
pelo processo de equivalncia. 7.1 roporcionalidade entre taxas: P
converso de taxa nominal para efetiva (capitalizao simples) Vamos
relembrar a diferena entre taxa nominal e efetiva. Uma taxa de
juros dita nominal quando o perodo de referncia da taxa no coincide
com o perodo de capitalizao, ou seja, a taxa pode estar
especificada em ano, mas o pagamento de juros feito mensalmente, o
que acontece em diversos tipos de contratos de financiamentos. Por
exemplo: Pode ter em um contrato uma taxa nominal de 16% ao ano com
capitalizao mensal. 45 e-Tec Brasil
42. Para a taxa efetiva, o tratamento diferente. Ela aquela
efetivamente utilizada na operao, pois o perodo de referncia da
taxa igual ao perodo de capitalizao do valor monetrio. Ou seja: Ex:
taxa efetiva de 1,5 % ao ms com capitalizao mensal 7.1.1 A
proporcionalidade Relembrando o que vimos na aula 2 no item 2.2
sobre proporo, sabemos que a proporcionalidade a igualdade entre
razes. Entre duas taxas de juros, significa que a razo entre as
taxas igual a razo entre seus perodos, portanto: Razo entre as
taxas: I1 I2 Razo entre os perodos (tempo) n1 n2 Proporo entre razo
das taxas e razo dos perodos: I1 = n1 I2 n2 Assim, 15%a.a.
proporcional a 1,25%a.m, pois se calcularmos pela proporo temos: 15
= 12 x 1 15 . 1 = 12 . x 15 = 12x 15 = x 12 x = 1,25 Somente taxas
efetivas, que se referem ao mesmo perodo de capitalizao, podem ser
utilizadas nos clculos financeiros, pois esta representa a real
remunerao do capital. Portanto, toda vez que tivermos uma taxa
nominal precisamos transform-la em taxa efetiva para fins de
clculos. Vejamos mais alguns exemplos. Exemplo 1 ncontrar a taxa
efetiva mensal de 24% a.a. com capitaE lizao mensal. Resoluo:
Primeiramente devemos pegar a taxa nominal e transform-la em uma
taxa mensal, assim consideramos seu tempo igual 12, pois cada ano
tem doze meses. e-Tec Brasil 46 Matemtica Financeira
43. A jogamos na proporo: 24 = 12 x 1 Processo rpido 24 . 1 =
12 . x 24 = 12x 24% a.a. / 12 meses = 2% a.m. taxa nominal taxa
efetiva 24 = x 12 x=2 Exemplo 2 ual a taxa efetiva bimestral da
taxa nominal de 21% a.s.? Q Resoluo: : 21 = 3 x 1 Processo rpido 21
. 1 = 3 . x 21 = 3x 21 = x 3 21% a.s. / 3 bimestres = 7% a.b. taxa
nominal taxa efetiva x=7 Observao: A taxa semestral teve que ser
dividida por trs para chegarmos taxa efetiva bimestral, pois em
cada semestre temos trs bimestres. Exemplo 3 m banco anuncia taxa
nominal de 1,5% a.m. em suas U operaes de crdito. Nesse caso, qual
a taxa efetiva semestral da operao? Resoluo: : 1,5 = 1 x 6 Processo
rpido 1,5 . 6 = 1 . x 9=x x=9 1,5% a.m. * 6 meses = 9% a.s. taxa
nominal taxa efetiva Observao: Como temos uma taxa ao ms, porm o
pagamento de juros s feito semestralmente, devemos multiplicar a
taxa nominal por seis, visto que um semestre tem seis meses. Aula 7
Calculando as taxas 47 e-Tec Brasil
44. 7.2 quivalncias de taxas: converso entre E taxas efetivas
(capitalizao composta) Como j vimos anteriormente, uma taxa efetiva
quando o perodo ao qual esta se refere o mesmo perodo de
capitalizao dos juros. Um exemplo seria uma aplicao financeira que
remunera o investidor de dois em dois meses e anuncia uma taxa
bimestral. comum encontrar taxas efetivas que no especificam o
perodo de capitalizao, ou seja, apenas so demonstradas como 5%a.b.,
por exemplo. Desse modo duas taxas de juros efetivas so ditas
equivalentes se, ao serem aplicadas sobre um mesmo principal
(capital ou VP), durante um mesmo perodo de tempo (n), produzirem o
mesmo valor futuro (montante ou VF), como mostrado pela equao
seguinte. VP (1 + i1)1 = VP (1 + i2)2 Para encontrar uma taxa
equivalente utilizamos a seguinte equao: i2 = (1 + i1)n2/n1 - 1
Onde: i2 a taxa de juros que quero encontrar, i1 a taxa de juros
para o perodo que j tenho, n2 o perodo de tempo em dias da taxa que
quero encontrar n1 o perodo em dias referente a taxa de juros que j
tenho. Para simplificar, utilizamos a frmula abaixo que facilita
mais: iquero = (1 + itenho)prazo em dias que quero/ prazo em dias
que tenho - 1 Onde iquero a taxa que quero, e assim por diante.
Acompanhe os exerccios resolvidos para facilitar. Exerccio
resolvido 1 Achar a taxa equivalente semestral de 1,25% a.m.
Resoluo: Nesse exemplo a taxa que voc tem a mensal, e a taxa que
voc quer encontrar a semestral. Cada ms tem 30 dias (prazo que
tenho) e cada semestre composto por 180 dias (prazo da taxa que
quero encontrar). Sabendo disso fcil realizar o clculo, utilizando
a frmula: iquero = (1 + itenho)prazo em dias que quero/ prazo em
dias que tenho - 1 e-Tec Brasil 48 Matemtica Financeira
45. isemestral = (1 + 0,0125) i semestral 180 3 1 = (1,0125) 1
60 isemestral = 1,07738 1 isemestral = 0,07738 1 is = 0,07738 . 100
is = 7,73831 7,74 S lembrando que a taxa 7, 7381 a taxa unitria
semestral. Para transform-la em taxa de juros percentual preciso
multiplicar por 100. Comprovando: se ambas as taxas aplicadas pelo
mesmo perodo produzem o mesmo montante, faamos o teste fictcio. Se
aplicarmos um capital de R$ 5.000,00 por 60 meses, com capitalizao
mensal e depois com capitalizao semestral, ser que termos o mesmo
montante? Iremos usar a formula de capitalizao composta, que
veremos mais adiante. M = C . (1 + i)n Capitalizao mensal Com
capitalizao semestral Dados:Dados: i = 0,0125 i = 0,07738381 n = 60
meses n = 10 semestres VP = 5.000,00 VP = 5.000,00 VF=
2.500.000(1+0,0773831)10 VF = 500.000 (1 + 0,0125)60 VF =
R$10.535,90 VF = R$10.535,90 Obviamente este resultado s foi
possvel, pois utilizamos a taxa semestral com todas as casas
decimais existentes (16 casas depois da vrgula). Como a maioria das
calculadoras s chega a apresentar 10 casas decimais, o resultado
nem sempre exatamente igual. Nos prximos exemplos, no entanto, s
apresentaremos taxas com quatro casas decimais. Exerccio resolvido
2 Converter 24% a.a. em taxa bimestral Resoluo: A taxa que queremos
encontrar aqui bimestral, cujo prazo de 60 dias, enquanto que a
taxa que temos anual com 360 dias. Assim s substituir os valores na
frmula. Sendo assim temos: iquero = (1 + 0,24)60/360 1 ia.b =
(1,24)1/6 1 = 0,0365 ou 3,6502% a.b. Aula 7 Calculando as taxas 49
e-Tec Brasil
46. 7.3 omparaes entre proporcionalidade C e equivalncia
Sabe-se que 1% a.m. proporcional a 12% a.a., pois 0,01/0,12 = 1/12.
Porm, no regime de capitalizao composta, estas no so taxas
equivalentes, pois como pode ser visto abaixo, se forem aplicadas
sobre o mesmo capital (R$1.000,00) pelo mesmo perodo de tempo (1
ano = 12 meses) no produziro o mesmo montante. Clculo com taxa
mensal: i = 0,01 n = 12 meses C = R$1.000,00 M = 1.000 (1 + 0,01)12
M = R$1.126,82 Clculo com taxa anual: i = 0,12 n = 1 ano C =
R$1.000,00 M = 1.000 (1 + 0,12)1 M = R$1.120,00 Segundo Camargo: O
capital aplicado a uma taxa mensal produz um montante maior, pois
ser capitalizado mais frequentemente, o quer gerar mais juros sobre
juros. Assim, o rendimento de juros auferido no primeiro ms ser
novamente capitalizado e produzir um juro maior no ms seguinte, e
assim por diante. (2010, p.56) Isso mostra a importncia de
determinar exatamente a taxa de juros da operao, visto que esta uma
varivel de fundamental importncia nos clculos financeiros e anlise
de investimentos. Resumo Vimos nessa aula como calcular taxas
proporcionais (capitalizao simples) e taxas equivalentes
(capitalizao composta). Atividades de aprendizagem 1. Qual a taxa
anual equivalente a 2% ao trimestre? Soluo: R = 8,24 e-Tec Brasil
50 Matemtica Financeira
47. 2. Qual a taxa semestral equivalente a 5,6 % ao ms? Soluo:
R= 38,67 3. Qual o montante de um principal de R$72.000,00, no fim
de 1 ano, com juros de 8% a.a./a.t? Soluo: R= R$77.935,12 Aula 7
Calculando as taxas 51 e-Tec Brasil
48. 4. Determinar: a) A taxa efetiva para 30 dias (mensal)
proporcional a 24% a.a. na capitalizao simples? Soluo: R= 2 b) Taxa
nominal anual proporcional 3% a.m. Soluo: R= 36 % e-Tec Brasil 52
Matemtica Financeira
49. Aula 8 Capitalizao simples Nesta aula veremos como se
calcula o juro simples, o montante como sendo a soma do capital com
o juro, o desconto simples. 8.1 Definindo capitalizao simples o
regime de capitalizao (construo de capital) em que a taxa de juros
utilizada simples. Vamos ver um exemplo para facilitar nossa
compreenso: Exemplo: Imaginemos a situao de um emprstimo de R$
1.000,00 que voc fez perante seu primo. A taxa estipulada foi no
valor de 10% ao ms, para um prazo de 10 meses. Acompanhe a evoluo
dos juros nessa situao financeira, no quadro abaixo: Ms Saldo
Inicial Juros Saldo Final do ms 0 - - 1.000,00 1 1.000,00 1.000,00
x 0,10 = 100 1.100,00 2 1.100,00 1.000,00 x 0,10 = 100 1.200,00 3
1.200,00 1.000,00 x 0,10 = 100 1.300,00 4 1.300,00 1.000,00 x 0,10
= 100 1.400,00 5 1.400,00 1.000,00 x 0,10 = 100 1.500,00 6 1.500,00
1.000,00 x 0,10 = 100 1.600,00 7 1.600,00 1.000,00 x 0,10 = 100
1.700,00 8 1.700,00 1.000,00 x 0,10 = 100 1.800,00 9 1.800,00
1.000,00 x 0,10 = 100 1.900,00 10 1.900,00 1.000,00 x 0,10 = 100
2.000,00 Podemos observar que a coluna dos juros na tabela acima,
sempre se manteve constante, ou seja, os juros foram o mesmo. Por
isso, dissemos que na capitalizao simples os juros so calculados,
sobre o valor do capital inicial, que nesse caso foi de R$
1.000,00. Tambm podemos considerar o regime de capitalizao simples,
equivalente aos conceitos matemticos, correspondentes a Funo Afim e
Progresso Aritmtica (P.A), onde os juros crescem de forma constante
ao longo do tempo. Como vimos no exemplo acima, onde o capital de
R$1.000,00 (dinheiro emprestado) aplicado por dez meses a uma taxa
de 10% a.m., acumula um montante de R$2.000,00 no final.
Graficamente a tabela acima fica: 53 e-Tec Brasil
50. 2200 2000 Valores 1800 1600 1400 1200 1000 800 0 1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 Perodo Figura 8.1: Grfico Fonte: Elaborado pelo autor O
grfico representa uma funo polinomial do 1 grau, usualmente chamada
de funo afim, cuja simbologia y = ax + b. Note que o primeiro valor
assumido pela funo igual a R$1.000,00; e com o passar dos 10 meses,
a funo vai assumindo os valores de uma PA (1.000; 1.100 ; 1.200 ; .
. . ; 2.000) cuja razo vale R$100,00 (os juros). Segundo Souza e
Clemente (2000), o juro representa o custo da imobilizao de uma
unidade capital por certo perodo de tempo. Normalmente, o juro
expresso atravs de uma taxa que incide sobre o valor imobilizado
(base). Juros? E os juros? Os juros so representados em taxas (por
cento), muitas vezes prefixadas por alguma poltica financeira ou
ndice predefinido pelo governo. O importante que ambas (taxas e
coeficientes) so modos de expressar os ndices que determinada gesto
ou diretoria utiliza para controlar e reajustar preos e demais
aplicaes financeiras. E quando aparecem anncios sedutores de
prestaes sem juros? Figura 8.2: Divulgando o Credconstruo Fonte:
http://1.bp.blogspot.com e-Tec Brasil 54 Matemtica Financeira
51. Antes de irmos para a frmula precisamos conhecer alguns
elementos, tais como: O dinheiro que se empresta ou que se pede
emprestado chamado de valor presente ou capital C. A taxa de
porcentagem que se paga ou se recebe pelo aluguel do dinheiro
denominada taxa de juros J. O tempo n deve sempre ser indicado na
mesma unidade a que est submetida taxa i, e em caso contrrio,
deve-se realizar a converso para que tanto a taxa como a unidade de
tempo estejam compatveis, isto , estejam na mesma unidade. O total
pago no final do emprstimo, que corresponde ao capital mais os
juros, denominado valor futuro ou montante M. 8.2 Frmula para
clculo do juro simples J = C.i.t Saiba mais Para calcular os juros
simples de um valor presente ou capital C, durante t perodos com a
taxa percentual i, utilizamos uma variao temporal da funo linear:
f(t) = a.t J = C.i.t Note a semelhana da frmula f(t) com a frmula J
Alguns exemplos resolvidos: 1. Um valor de R$ 4.000,00 foi aplicado
a uma taxa de juros simples de 4% ao ms. Qual seria o valor dos
juros simples durante cinco meses? Resoluo J=C.i.n J = 4.000,00 .
0,04 . 5 J = 4.000,00 . 0,20 J = 800,00 Aula 8 Capitalizao simples
Transformando a taxa percentual em decimal: 4 % = 4/100 = 0,04 55
e-Tec Brasil
52. 2. Qual o valor de um capital que, aplicado taxa de juros
simples de 2% ao ms, rendeu depois de um ano R$240,00 de juros?
Resoluo Como a taxa mensal 2% = 0,02, devemos considerar, para o
tempo de 1 ano, 12 meses, pois tempo e taxa devem estar na
referncia temporal (neste caso em meses). Assim: J = C. i .t 240 =
C . 0,02. 12 240 = C . 0,24 C = 240 0,24 C = 1000 Veja que o
capital aplicado inicialmente foi de R$1.000,00. Um emprstimo de
R$10.000,00 rendeu juros simples de R$2.700,00 ao final de 6 meses.
Qual a taxa mensal de juros do emprstimo? Resoluo: Dados: C =
10.000 mos encontrar a taxa, i ? J = 2.700 t = 6 meses, quere-
Temos: J = C. i .t, isolando o i para facilitar, a formula fica: i
= i= J C.t 2.700 10.000 . 6 i = 2.700 60.000 i = 0,045 i = 4,5% A
taxa de juros do emprstimo foi de 4,5% ao ms. Ao trabalhar com as
frmulas de juros simples devemos nos atentar para algumas
particularidades: a) A taxa percentual i deve ser OBRIGATORIAMENTE
transformada em coeficiente (forma decimal). Por exemplo, se a taxa
for de (10%), devemos dividi-la por 100, transformando-a no
coeficiente (0,10); e-Tec Brasil 56 Matemtica Financeira
53. Em Resumo Forma Percentual Transformao Forma Decimal 12%
a.a. 12 100 0,12 0,5% a.m. 0,5 100 0,005 b) Se o perodo e a taxa de
juros no possurem o mesmo referencial temporal, deve ser feita a
converso de um deles (preferencialmente o mais fcil). Por exemplo:
uma taxa de 5% a.m. e o perodo de 2 anos. Essa situao precisa, ou
melhor, necessita ser convertida: a taxa para ano ou o perodo para
ms: 1 Opo: convertendo o perodo para ms (2 anos equivalem a 24
meses). Portando, teramos a mesma referncia temporal (taxa mensal
de 5% e o perodo de 24 meses). 1 2 Opo: convertendo a taxa para
anos (1 ms equivale a 12 anos). Portando, teramos a mesma referncia
temporal (taxa anual de 0,41% e perodo de 2 anos). Resumo Nesta
aula estudamos o conceito de juros e sua evoluo; como calcul-lo na
capitalizao simples, e determinando o valor dos juros com o
capital, que entendemos por Montante. Vimos tambm alguns exerccios
resolvidos. Atividades de aprendizagem 1. Apresente uma definio
sobre juros? 2. Pesquise: a) O que quer dizer capitalizao simples?
Aula 8 Capitalizao simples 57 e-Tec Brasil
54. b) O que quer dizer a lei 8.078/90 do Cdigo de Defesa do
Consumidor? 3. Nos exerccios abaixo, calcule o que se pede: a)
Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 100.000,00
durante 3 meses a taxa de 1,5 % ao ms b) Qual o juro produzido pelo
capital de R$ 200.000,00 durante 1 ano a taxa de 2 % ao ms. c)
Depositei R$ 12.000,00 durante 2 anos, a taxa de 42 % ao ano.
Quanto recebi de juros? d) Transforme as seguintes unidades numa s:
3 anos e 4 meses em meses 5 anos e 20 dias em dias 3 meses e 5 dias
5 anos, 3 meses e 12 dias em dias e-Tec Brasil 58 Matemtica
Financeira
55. Aula 9 Tipos de Juros e clculo de montante Na aula de hoje
estudaremos as diferenas entre juros ordinrios e exatos. Veremos
tambm a regra do banqueiro. 9.1 Algumas definies usuais Juro o
valor que se paga pelo uso de dinheiro que se toma emprestado,
refere-se ao quanto ser acrescentado parcela de compra para cobrir
as despesas financeiras, que por vezes uma das partes do lucro.
Juro o dinheiro produzido quando o capital investido, refere-se
rentabilidade de fundos de investimento. Por exemplo, a poupana,
ttulos de capitalizao, investimentos de alto e baixo risco. Segundo
Castanheira e Serenato (2008, p. 22) o juro calculado por intermdio
de uma taxa percentual aplicada sobre o capital que sempre se
refere a uma unidade de tempo: ano, semestre, bimestre, trimestre,
ms e dia. Nas operaes que envolvem juros, importante diferenciar os
juros exatos dos ordinrios, Ento preste ateno!!! 9.2 Juros
Ordinrios Definimos como juros ordinrios aquele que trabalha com o
tempo comercial. O tempo comercial define o ms com 30 dias, o mesmo
acontece com o ano comercial, cujo nmero de dias igual a 360. 9.3
Juros Exatos Como o prprio nome diz, considera-se o ms igual ao do
calendrio civil, ou seja, meses com 30 ou 31 dias. No podemos
esquecer o ms de fevereiro que tem 28 dias ou 29, se for bissexto.
J o ano pode ter 365 ou 366 dias (ano bissexto). 59 e-Tec
Brasil
56. Vejamos alguns exemplos: 1. Um capital de R% 5.000,00 foi
aplicado a juros simples durante os meses de maio e junho, a uma
taxa de 24 % ao ano. Calcule os juros ordinrios e os juros exatos.
Juros ordinrios Dados: C = 5.000,00 i = 24 % ao ano = 0,24 a. a N =
2 meses, transformando em ano, temos 2/12 em anos. Substituindo na
formula J = C. i. n, J = 5.000,00 0,24 . 2/12 = 200 Juros exatos
Dados: C = 5.000,00 i = 24 % ao ano = 0,24 a. a N = 2 meses,
transformando em ano, temos 61/365 em anos. Substituindo na formula
J = C. i. n, J = 5.000,00 0,24 . 61/365 = 200,55 9.4 Juros pela
regra do banqueiro Nessa regra, considera-se o tempo tanto no modo
civil juntamente com o tempo comercial. Para facilitar vamos rever
o exemplo acima, mas calculado pela regra do banqueiro, observe:
Dados: C = 5.000,00 J = C. i. n J = 5.000,00 . 0,24 . 61/360 J =
203,33 i = 24 % ao ano = 0,24 a. a Como podemos observar os juros
calculados pela regra do banqueiro maior que os juros exatos e
ordinrios. Os juros do cheque especial utilizado pelos bancos,
seguem uma composio do Mtodo Hamburgus, que considera apenas os
dias em que o saldo negativo. Assim, podemos generalizar a formula
por J = i. Cj . nj , onde j varia de 1 at Z. 9.5 Frmula para clculo
do montante Para calcular o valor futuro ou montante M, durante t
perodos com uma taxa percentual i, sobre um valor presente ou
capital C, utilizamos uma variao temporal da funo afim: f(t) = a.t
+ b bb e-Tec Brasil 60 M=J+C M = C.i.t+ C Matemtica Financeira
57. Note a semelhana da frmula f(t) com a frmula M, que pode
evoluir para: M = C.(1 + i.t) Vejamos alguns exemplos resolvidos 1.
Qual o montante de um capital de R$1.000,00 aplicado taxa de juros
simples de 10 % ao ano pelo prazo de 2 anos ? Resoluo Dados: C =
1.000 i = 10% = 0,1 t = 2 anos Queremos encontrar o montante, ou
seja, o valor de M. Sabemos que a formula M= C.(1 +i. t) M =
1.000.(1 + 0,1. 2) M = 1.000. (1 + 0,2) M = 1.000. (1,2) M = 1.200
O montante, aps 2 anos, taxa de juros simples de 10 % ao ano, ser
de R$1.200,00. 2. Determinar o montante correspondente a uma
aplicao de R$450.000,00 por 225 dias com taxa de juros simples de
5,6% ao ms. Resoluo: Dados: C = 450.000 i = 5,6% ao ms t = 225 dias
M=? Antes de alimentarmos a frmula do montante com os dados,
precisamos converter, pois a taxa est em meses e o perodo est em
dias: 1 Opo: convertendo o perodo para ms (1 ms equivale a 30
dias). Portando, teramos a mesma referncia temporal (taxa mensal de
5,6% e o perodo de 225 meses). 30 1 2 Opo: convertendo a taxa para
dias (1 dia equivale a meses). 30 Portando, teramos a mesma
referncia temporal (taxa diria de 5,6 % e 30 perodo de 225 dias).
Resolvendo pela 1 opo: M = C.(1 +i .t) 225 M = 450.000.(1 + 0,056 .
30 ) 12,6 M = 450.000.(1 + 30 ) M = 450.000.(1 + 0,42) M =
450.000.(1,42) M = 639.000 Aula 9 Tipos de Juros e clculo de
montante 61 e-Tec Brasil
58. Resolvendo pela 2 opo: M = C.(1 +i .t) 0,056 M = 450.000.(1
+ 30 . 225) M = 450.000.(1 + 0,42) M = 450.000.(1,42) M = 639.000 O
montante ser de R$639.000,00 Resumo Vimos nessa aula: juros
ordinrios, juros exato, tempo comercial, civil, clculo do montante
de capitalizao simples. Anotaes e-Tec Brasil 62 Matemtica
Financeira
59. Aula 10 Descontos simples O objetivo da aula proporcionar a
compreenso de como funciona a questo do desconto simples nas
operaes financeiras: o desconto comercial. 10.1 Descontos Quando
uma pessoa contrai uma dvida muito comum o credor emitir um
documento que serve como comprovante desta operao financeira, este
documento chamado de ttulo. O valor que descreve a dvida ou crdito
nesse documento chamado de valor nominal. Muitas empresas possuem o
direito de receber os valores contidos nestes ttulos e utilizam um
produto bancrio chamado de desconto. Este produto visa antecipar o
valor a ser recebido em uma data futura, buscando assim, atender
eventuais necessidades de caixa. Exemplos de ttulos: nota
promissria; duplicata; letras de cmbio e cheques. Assim podemos
definir desconto como sendo: antecipao do pagamento de uma dvida ou
o abatimento proporcional ao tempo de antecipao da dvida. Existem
dois tipos bsicos de descontos simples nas operaes financeiras: o
desconto comercial e o desconto racional. Discutiremos nessa aula
somente desconto comercial. 10.1.1 Desconto comercial ou desconto
por fora Esta modalidade de desconto amplamente utilizada no
mercado, principalmente em operaes bancrias e comerciais de curto
prazo. A taxa de desconto neste sistema incide sobre o montante ou
valor nominal do ttulo (ou dvida); em consequncia disto, gera-se um
valor maior e mais justo de desconto do que no sistema racional.
Este desconto equivale aos juros simples, em que o capital
corresponde ao valor nominal do ttulo. Vamos identificar alguns
elementos do desconto comercial, para facilitar nosso entendimento:
63 e-Tec Brasil
60. N = valor nominal V = valor atual Dc = desconto comercial d
= taxa de descontos simples n = nmero de perodos (tempo de
antecipao) No desconto comercial, a taxa de desconto (d) incide
sobre o valor nominal (N) do ttulo. Logo a frmula que utilizamos :
Dc = N . d . n Em outras palavras, segundo Abreu: ... desconto
comercial (Dc) corresponde ao juro produzido pelo valor nominal (N)
da dvida, considerando-se como prazo o nmero de perodos antecipados
e a aplicao de uma determinada taxa de desconto (d)(2009,p.28).
Observe o exemplo: Um ttulo no valor de R$ 6.500,00, emitido em
10/03/2007 com vencimento para o dia 29/07/2007, foi descontado
taxa de desconto de 30% ao trimestre no dia 10/05/2007. Determine o
valor do desconto recebido na operao. Soluo: O primeiro aspecto a
observar o cenrio que temos. Dessa forma apresentamos uma linha do
tempo, para facilitar nosso raciocnio. Data Emisso Data resgate.
Data do Vencimento. 10/03/200710/05/200729/07/2007 80 dias Os dados
que temos so: N = 6.500,00 - valor nominal D = 30% a.t. n = 80
dias, ou 80/90 trimestres Substituindo na formula Dc = N . d . n
temos: Dc = N . d . n Dc = 6.500,00 . 0,30 . 80/90 Dc = 1.733,33
e-Tec Brasil 64 Matemtica Financeira
61. Viram como fcil!!! Vejamos outro exemplo: Exemplo 2
Considere um ttulo cujo valor nominal seja R$10.000,00. Calcule o
desconto comercial a ser concedido para um resgate do ttulo 3 meses
antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m.
Soluo: V = 10.000,00 . 0,05 . 3 Dc = 500,00 . 3 Dc = 1.500,00 10.2
Valor atual no desconto comercial O valor atual no desconto
comercial a diferena entre o valor da dvida e o valor pago por ela,
depois de se ter efetuado uma antecipao em seu vencimento. Assim
para calcular o valor atual no desconto comercial (Vac) utilizamos
a expresso: Vac = N - Dc Sabendo-se que Dc = N.i.n, podemos
substitu-la e usar a expresso: Vac = N . (1 - d . n) Vamos ver como
se d, na prtica, esse clculo. Suponha que uma dvida de R$ 50.000,00
com vencimento previsto para 25/08/2011 foi quitada em 11/07/2011.
Como podemos descobrir o valor pago dessa dvida, sabendo-se que a
taxa de desconto aplicada foi de 30% ao semestre? A primeira coisa
a verificar saber o que se pede no problema, e nesse caso queremos
saber o valor pago ( valor atual = Vac ) levando em conta as
informaes que temos. Vejamos! N = 50.000,00 valor nominal da dvida;
d = 30% ao semestre, ou seja, taxa de desconto; n = 45 dias, pois
se contarmos do dia 11/07 a 25/08, temos 45 dias corridos. Aula 10
Descontos simples 65 e-Tec Brasil
62. Logo, temos: Vac = N . ( 1 - d . n) Vac = 50.000,00 . ( 1
0,30 . 45/180) = lembre-se tempo com mesma unidade!!! Vac =
50.000,00. ( 1 0,075) Vac = 50.000,00 . 0,925 Vac = 46.250,00 Ou
seja, o valor atual pago foi de R$ 46.250,00. Observe mais uma
situao-exemplo: Uma dvida no valor de R$ 3.500,00 foi paga e o seu
vencimento foi antecipado em 72 dias. Encontre o valor inicial da
dvida sabendo que a taxa de desconto aplicada foi de 18% a. t.
Resoluo: Dados do problema: Vac = 3.500,00; N = queremos descobrir;
d = 18% at; n= 72 dias. Lembre-se que temos o tempo em dias e a
taxa em trimestres. Ao fazermos a converso do tempo para trimestres
encontramos: N = 72/90 (o valor 90 o total de dias do trimestre) =
0,8 trimestres. Assim, substituindo na frmula fica: Vac = N . ( 1 -
d . n) 3.500,00 = N . ( 1 0,18 . 0,8) = lembre-se tempo com mesma
unidade!!! 3.500,00 = N. ( 1 0,144) 3.500,00 = N . 0,856
3.500,00/0,856 = N N = 4.088,78 O valor inicial da dvida (valor
nominal) era de R$ 4.088,78 E ento, pessoal, o exemplo facilitou o
entendimento de desconto comercial e valor atual comercial? Resumo
Entendemos o Desconto como um abatimento em funo do adiantamento do
pagamento. Vimos o desconto comercial, que considera o valor
nominal da dvida bem como o valor atual comercial. e-Tec Brasil 66
Matemtica Financeira
63. Atividades de aprendizagem 1. Um ttulo de R$ 10.000,00, com
vencimento em 23/09/10, foi resgatado em 15/06/10. Qual foi o
desconto recebido se a taxa de juro contratada foi de 27% aa? 2. O
desconto de um ttulo foi de R$ 750,00, adotando-se uma taxa de
desconto de 5% ab. Quanto tempo faltaria para o vencimento do ttulo
se o valor nominal fosse de R$ 20.000,00? 3. Uma nota promissria no
valor de R$ 52.400,00 foi descontada taxa de juros de 5 % at,
faltando 4 meses e 20 dias para seu vencimento. Qual o valor do
desconto e qual o valor recebido (valor atual) pela nota
promissria? Aula 10 Descontos simples 67 e-Tec Brasil
64. 4. Uma nota promissria foi emitida no dia 20/02/11 com o
seu vencimento marcado para o prazo de 5 meses (20/07/11). No dia
12/05/11 foi descontada por R$ 28.300,00. Qual o valor do desconto,
sabendo-se que a taxa de desconto utilizada era de 10% aq? 5. Um
ttulo no valor de R$ 120.000,00 foi descontado por R$ 108.380,00,
faltando 95 dias para o seu vencimento. Qual a taxa de juro
semestral utilizada? e-Tec Brasil 68 Matemtica Financeira
65. Aula 11 escontos simples Continuao D O objetivo da aula
aprofundar a questo dos descontos Simples Racional, aplicados nas
operaes financeiras. 11.1 Desconto racional Tambm chamado de
desconto por dentro, calculado aplicando-se a taxa de juros sobre o
valor atual da dvida. Assim, o desconto racional equivale ao juro
simples, calculado sobre o valor atual do ttulo. Ou seja, aquele em
que a taxa de desconto incide sobre o valor lquido do ttulo,
considerando o prazo de antecipao. Assim temos: Dr = N.i.n 1+i.n Dr
= desconto racional Veja alguns Exemplos: Exemplo 1 Um ttulo de
R$6.000,00 foi descontado taxa de 2,1% a.m. faltando 45 dias para o
vencimento do ttulo. Determine o desconto racional e o valor atual
racional. Soluo: Dados do problema: N = 6.000,00; n = 45 dias; i =
2,1% a.m. = 0,021 a.m. = 0,0007 a.d. OBS: Antes de efetuar as
substituies na frmula lembre-se que deixamos a taxa na unidade de
dias, j que o tempo est em dias. Substituindo na frmula fica: Dr =
N.i.n 6000 . 0,0007 . 45 189 = = = 183,22 1+i.n 1 + 0,0007 . 45
1,0315 V = N DR V = 6000 183,22 V = R$5186,78 69 e-Tec Brasil
66. Exemplo 2 Um ttulo no valor de R$ 48.000,00 foi descontado
taxa de juros de 15% a.s., faltando 120 dias para o seu vencimento.
Determine o valor do desconto racional. Soluo: Dados do problema: N
= 48.000,00; n = 120 dias; i = 15% a.s. Sabemos que 180 um
semestre, logo, transformando o tempo, temos: 120/180 = 0,6666666
ao semestre. Resolvendo, fica: Dr = Dr = N.i.n 1+i.n 48.000,00 .
0,15 . 0,66666 1+ 0,15 . 0,66666 Dr = 4.799,52 1,0999 Dr = 4.363,59
Ateno para o arredondamento!!!! 11. 2 Valor atual racional (Var)
Sendo o valor atual no desconto racional a diferena entre o valor
nominal (valor da dvida) e o valor pago por ela (pago com
desconto), aps ter antecipado seu vencimento. Assim o valor atual
no desconto racional dado por: Var = N - Dr Sabendo-se que Dr = (N.
i . n) / (1 + i . n), ento: V= N 1+i.n Vamos praticar!!! Exemplo 1
Uma dvida de R$ 86.000,00 com vencimento previsto para 18/08/11 foi
paga em 04/07/11. Encontre o valor pago por essa dvida se a taxa de
juro aplicada foi de 30% as. e-Tec Brasil 70 Matemtica
Financeira
67. Soluo: J temos as seguintes informaes: N = 86.000,00; i =
30% as e n = 45 dias (18/08 04/07).Importante: Transformando 45
dias ao semestre, temos: 45/180 = 0,25 as Substituindo temos: Var =
N 1+i.n Var = 86.000.00 1 + 0,30 . 0,25 Var = 86.000.00 1,075 Var =
80.000,00 Exemplo 2 Desafio voc a fazermos juntos!!! Aceita??? Uma
dvida de R$ 45.000,00 foi paga tendo seu vencimento antecipado em
72 dias. Encontre o valor inicial da dvida se a taxa de juros
aplicada foi de 18% a.t. Observao: complete o exemplo. Resoluo:
Dados: Var = __________ , n= 72 dias = ______ao trimestre; i = 18%
a.t. http://www.algosobre.com. br/matematica-financeira/
descontos-simples.html Substituindo, temos: Var = N 1+i.n 45.000,00
= 1 + 0,18