Didatismo e ConhecimentoRACIOCNIO LGICO1Avaliao da habilidade do candidato em entender a estrutura lgica de relaes entre pessoas, lugares, coisas ou eventos, dedu-zir novas informaes e avaliar as condies usadas para estabele-cer a estrutura daquelas relaes. As questes das provas podero tratardasseguintesreas:estruturaslgicas;lgicadeargumen-tao; diagramas lgicos; aritmtica, lgebra e geometria bsica.ESTRUTURAS LGICASA Lgica uma cincia com caractersticas matemticas, mas estfortementeligadaFilosofa.Elacuidadasregrasdobem pensar, ou do pensar correto, sendo, portanto, um instrumento do pensar humano. Aristteles, flsofo grego (384 322 a.C) em sua obra rganon, distribuda em oito volumes, foi o seu principal organizador. George Boole (1815 1864), em seu livro A Anlise Matemtica da Lgica, estruturou os princpios matemticos da lgica formal, que, em sua homenagem, foi denominada lgebra Booleana. NosculoXX,ClaudeShannonaplicoupelaprimeiraveza lgebra booleana em interruptores, dando origem aos atuais com-putadores. Desde 1996, nos editais de concursos j inseriam o Ra-ciocnio Lgico em suas provas.Existem muitas defnies para a palavra lgica, porm no casodonossoestudonorelevanteumaprofundamentonesse ponto, sufciente apenas discutir alguns pontos de vista sobre o assunto.AlgunsautoresdefnemlgicacomosendoaCincia das leis do pensamento, e neste caso existem divergncias com essa defnio, pois o pensamento matria estudada na Psicolo-gia, que uma cincia distinta da lgica (cincia). Segundo Irving Copi, uma defnio mais adequada : A lgica uma cincia do raciocnio, pois a sua idia est ligada ao processo de raciocnio corretoeincorretoquedependedaestruturadosargumentosen-volvidos nele.Lgica:Coernciaderaciocnio,deidias.Modode raciocinar peculiar a algum, ou a um grupo. Sequncia coerente, regularenecessriadeacontecimentos,decoisas.(dicionrio Aurlio),portantopodemosdizerqueaLgicaacinciado raciocnio.Assimconclumosquealgicaestudaasformas ouestruturasdopensamento,isto,seupropsitoestudare estabelecer propriedades das relaes formais entre as proposies. Veremos nas prximas linhas a defnio do que venha a ser uma proposio,bemcomooseuclculo proposicionalantesde chegarmos ao nosso objetivo maior que estudar as estruturas dos argumentos, que sero conjuntos de proposies denominadas pre-missas ou concluses. Dica: A esmagadora maioria das questes de raciocnio lgico exigidasemconcursospblicosnecessitadeumaformaoude outra, de conhecimentos bsicos de matemtica.Esteomotivoparaquefaamparalelamentematriade raciocniolgicopropriamenteditoumarevisodosprincipais tpicos da matemtica de nvel secundrio.Concomitantemente com a reviso acima mencionada, devem estudartodasasgrandesfamliasdeproblemasconsideradasde raciocnio lgico, e a maneira mais rpida de resolv-los.Muitas questes podem ser resolvidas pela simples intuio. Porm,semodevidotreinamento,mesmoosmelhorestero difculdadeemresolv-lasnoexguotempodisponvelnos concursos.GrandepartedosproblemasdeRaciocnioLgico,como nopoderiadeixardeser,serodotipocharadaouquebra-cabeas. Algunsproblemasquecaemnosconcursosexigemmuita criatividade, malcia e sorte, e, a no ser que o candidato j tenha vistocoisasimilar,nopodemserresolvidosnostrsacinco minutos disponveis para cada questo.Muitoscandidatos,mesmodevidamentetreinadosnotero condiesderesolv-los.Nossoconselhoquenodevemse preocupar muito. Esses problemas irrespondveis no tempo hbil nopassamde20%dasquestesdeRaciocnioLgicoexigidas nos concursos pblicos. Uma base slida de matemticaser sufciente para resolver pelomenos50%dosproblemas.Osoutros30%podemser resolvidos pela aplicao direta dos mtodos de raciocnio lgico que estudaro.Portantoveremosalgunsconceitossobrelgicae, posteriormente,algunstestesparaavaliaodoaprendizado.No mais, j servindo como dica, raciocnio lgico deve ser estudado, principalmente, atravs da prtica, ou seja, resoluo de testes.Pode,primeiravista,parecercomplexaadisciplina RaciocnioLgico.Entretanto,elaestaoalcancedetoda pessoa que memorize as regras e exercite bastante. Portanto, mos obra.Proposies Simples e CompostasUmaproposiopodesersimples(tambmdenominada atmica)oucomposta(tambmdenominadamolecular).As proposiessimplesapresentamapenasumaafrmao.Pode-se consider-las como frases formadas por apenas uma orao.Asproposiessimplessorepresentadasporletraslatinas minsculas.Exemplos(1) p: eu sou estudioso; (2) q: Maria bonita: (3) r: 3 + 4 > 12.Umaproposiocompostaformadapelauniodeduasou mais proposies simples. Indica-seumaproposiocompostaporletraslatinas maisculas.SePumaproposiocompostadasproposies simples p, q, r, ..., escreve-se P (p, q, r,...). Quando P estiver claramente defnida no h necessidade de indicarasproposiessimplesentreosparnteses,escrevendo simplesmente P.Exemplos:(4)P:PauloestudiosoeMariabonita.Pcompostadas proposies simples p: Paulo estudioso e q: Maria bonita.(5)Q:Mariabonitaouestudiosa.Qcompostadas proposies simples p: Maria bonita e q: Maria estudiosa.(6) R: Se x = 2 ento x2 + 1 = 5. R composta das proposies simples p: x = 2 e q: x2 + 1 = 5.(7) S: a > b se e somente se b < a. S composta das proposies simples p: a > b e q: b < a.Didatismo e ConhecimentoRACIOCNIO LGICO2Asproposiessimplessoaquelasqueexpressamuma nicaidia.Constituemabasedalinguagemesotambm chamadasdetomosdalinguagem.Sorepresentadasporletras latinas minsculas (p, q, r, s, ...).Asproposiescompostasoaquelasformadasporduas oumaisproposiesligadaspelosconectivoslgicos.So geralmenterepresentadasporletraslatinasmaisculas(P,Q,R, S, ...). O smbolo P (p, q, r), por exemplo, indica que a proposio composta P formada pelas proposies simples p, q e r.ExemplosSo proposies simples:p: A lua um satlite da terra.q: O nmero 2 primo.r: O nmero 2 par.s: Roma a capital da Frana.t: O Brasil fca na Amrica do Sul.u: 2+5=3.4.So proposies compostas:P(q, r): O nmero 2 primo ou par.Q(s, t): Roma a capital da Frana e o Brasil fca na Amrica do Sul.R: O nmero 6 par e o nmero 8 cubo perfeito.No so proposies lgicas:- Roma- O co do menino- 7+1- As pessoas estudam- Quem ?- Que pena!Tabela VerdadeProposioSimples-Segundooprincpiodoterceiro excludo, toda proposio simples p, verdade ou falsa, isto , tem o valor lgico verdade (V) ou o valor lgico falso (F).pVFProposioComposta-Ovalorlgicodequalquer proposio composta depende unicamente dos valores lgicos das proposies simples componentes, fcando por eles univocamente determinados.umdispositivoprticomuitousadoparaadeterminao dovalorlgicodeumaproposiocomposta.Nestedispositivo fguram todos os possveis valores lgicos da proposio composta, correspondentes a todas as possveis atribuies de valores lgicos s proposies simples componentes.Proposio Composta - 02 proposies simplesAssim,porexemplo,nocasodeumaproposiocomposta cujasproposiessimplescomponentessopeq,asnicas possveis atribuies de valores lgicos a p e a q so:p qV VV FF VF FObserve-se que os valores lgicos V e F se alternam de dois emdoisparaaprimeiraproposiopedeumemumparaa segunda proposio q, e que, alm disso, VV, VF, FV e FF so os arranjos binrios com repetio dos dois elementos V e F.Proposio Composta - 03 proposies simplesNocasodeumaproposiocompostacujasproposies simplescomponentessop,qerasnicaspossveisatribuies de valores lgicos a p, a q e a r so:p q rV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F FAnalogamente,observe-sequeosvaloreslgicosVeFse alternamdequatroemquatroparaaprimeiraproposiop,de dois em dois para a segunda proposio q e de um em um para a terceiraproposior,eque,almdisso,VVV,VVF,VFV,VFF, FVV, FVF, FFV e FFF sos os arranjos ternrios com repetio dos dois elementos V e F.Notao: O valor lgico de uma proposio simples p indica-se por V(p). Assim, exprime-se que p verdadeira (V), escrevendo: V(p) = V.Analogamente, exprime-se que p falsa (F), escrevendo: V(p) = F.Exemplosp : o sol verde;q : um hexgono tem nove diagonais;r : 2 raiz da equao x + 3x - 4 = 0V(p) = FV(q) = VV(r) = FConectivosPara compor novas proposies, defnidas como composta, a partir de outras proposies simples, usam-se os conectivos.Osconectivosmaisusadosso:e(v),ou(V),se... ento() e se e somente se().Didatismo e ConhecimentoRACIOCNIO LGICO3Exemplos:1.Mnica uma mulher bonita e o Brasil um grande pas.2.Professor Fbio esperto ou est doente.3.Se eu comprar um carro, ento venderei meu carro antigo.4.Um nmero primo se e somente se for divisvel apenas por 1 e por si mesmo.Conectivo e (v)Sejam os argumentos:p:3 um nmero inteiro.q: a cobra um rptil.Comosargumentosacima,podemoscomporumasentena fechada, que expressa os dois argumentos: 3 um nmero inteiro e a cobra um rptil.A sentena acima pode ser representada como pvq, podemos receber um valor lgico, verdadeiro ou falso.Conceito:Sepeqsoduasproposies,aproposiopvq ser chamada de conjuno. Observe que uma conjuno pvq s verdadeira quando p e q so verdadeiras.Para a conjuno, tem-se a seguinte tabela-verdade:p q pvqV V VV F FF V FF F FAteno:Osconectivossousadosparainterligarduasou mais sentenas. E toda sentena interligada por conectivos ter um valor lgico, isto , ser verdadeira ou falsa.Sentenasinterligadaspeloconectivoepossuiroovalor verdadeirosomentequantotodasassentenas,ouargumentos lgicos, tiverem valores verdadeiros.Conectivo ou (V)O conectivo ou pode ter dois signifcados:1) ou inclusivo:Elisabete bonita ou Elisabete inteligente.(Nada impede que Elisabete seja bonita e inteligente)2) ou exclusivo:Elisabete paulista ou Elisabete carioca.(Se Elisabete paulista, no ser carioca e vice-versa)Ateno:Estudaremosoouinclusivo,poisoelemento emquestopodepossuirduasoumaiscaractersticas,comoo exemplo do item 1, em que Elisabete poder possuir duas ou mais qualidades ou caractersticas.Sejam:p:3 um nmero inteiro.q: o Brasil pentacampeo mundial de futebol.A partir de p e q, podemos compor:pvq: 3umnmerointeiroouoBrasilpentacampeo mundial de futebol.Se p e q so duas proposies, a proposio pvq ser chamada adjuno ou disjuno.Observe que uma adjuno pvq verdadeira quando uma das proposies formadoras, p ou q, verdadeira.Para a adjuno, tem-se a seguinte tabela-verdade:p q pvqV V VV F VF V VF F FAteno: O conectivo v, ou, utilizado para interligar dois oumaisargumentos,resultandonauniodessesargumentos.O valor resultante da unio de dois ou mais argumentos somente ser falso quando todos os argumentos ou proposies forem falsos.Conectivo Se... ento ()Sejam as proposies abaixo:p: 5.4 = 20.q: 3 um nmero primo.A partir de p e q, podemos compor:pq: se 5.4 = 20, ento 3 um nmero primo.Conceito:Sepeqsoduasproposies,aproposio pq chamada subjuno ou condicional. Considere a seguinte subjuno: Se fzer sol, ento irei praia.Podem ocorrer as situaes:1)Fez sol e fui praia. (Eu disse a verdade)2)Fez sol e no fui praia. (Eu menti)3)No fez sol e no fui praia. (Eu disse a verdade)4)Nofezsolefuipraia.(Eudisseaverdade,poiseu no disse o que faria se no fzesse sol. Assim, poderia ir ou no ir praia)Observe que uma subjuno pq somente ser falsa quando a primeira proposio, p, for verdadeira e a segunda, q, for falsa.Para a subjuno, tem-se a seguinte tabela-verdade:p q pqV V VV F FF F VF V VExistem outras maneiras de ler: pq:pcondiosufcienteparaqou,ainda,qcondio necessria pra p.Sejam:p: 18 divisvel por 6.q: 18 divisvel por 2.Podemos compor:pq: se 18 divisvel por 6, ento 18 divisvel por 2, que se pode ler:-18divisvelpor6condiosufcientepara18 divisvel por 2 ou, ainda,-18divisvelpor2condionecessriapara18 divisvel por 6.Ateno: Dizemos que p implica q (pq) quando estamos considerandoumarelaoentreduasproposies,compostasou no,diferentementedosmbolo,quedenotaumaoperao entre duas proposies, resultando numa proposio.Didatismo e ConhecimentoRACIOCNIO LGICO4Conectivo Se e somente se ()Sejam:p:. 8 2 16 = q: 2 um nmero primo.A partir de p e q, podemos compor:pq:. 8 2 16 = se e somente se 2 um nmero primo.Se p e q so duas proposies, a proposio pq1 chamada bijuno ou bicondicional, que tambm pode ser lida como: p condio necessria e sufciente para q ou, ainda, q condio necessria e sufciente para p.Considere, agora, a seguinte bijuno:Irei praia se e somente se fzer sol.Podem ocorrer as situaes:1)Fez sol e fui praia. (Eu disse a verdade)2)Fez sol e no fui praia. (Eu menti)3)No fez sol e fui praia. (Eu menti)4)No fez sol e no fui praia. (Eu disse a verdade)Observequeumabijunosverdadeiraquandoas proposies formadoras so ambas falsas ou ambas verdadeiras.Para a bijuno, tem-se a seguinte tabela-verdade:p q pqV V VV F FF V FF F VDevemos lembrar que pq o mesmo que(pq)v(qp).Assim, dizer Hoje sbado e somente se amanh domingo o mesmo que dizer: Se hoje sbado, ento amanh domingo e, se amanh domingo, ento hoje sbado.Ateno:Dizemosquepequivaleaq(pq)quando estamos considerando uma relao entre duas ou mais proposies, diferentementedosmbolo,quedenotaumaoperaoentre duas proposies, resultando numa nova proposio.Exemplos:1. Dar os valores lgicos das seguintes proposies compostas:a)7 5 2 :1= + pou6 5 2 = +Temos que pvq, com p(V), q(F); portanto, ). (1V pb):2pse8 4 2 = + , ento9 6 2 = +Temos que pq com p(F), q(F); portanto,). (2V p2. Estude os valores lgicos das sentenas abertas compostas:se x-14x+48=0, ento x-2=4Como x-14x+48=0 x=6 ou x=8 e x-2=4 x=6, tem-se:a)(VV) substituindo x por 6, temos o valor lgico V.b)(VF) substituindo x por 8, temos o valor lgico F.c)(FV) no se verifca.d)(FF)substituindoxporqualquernmerorealdiferente de 6 e 8, temos o valor lgico V.3. Sejam as proposies:p: Joana graciosa.q: Ftima tmida.Dar as sentenas verbais para:a)p~qSe Joana graciosa, ento Ftima no tmida.b)~(~pvq) falso que Joana no graciosa ou que Ftima tmida.Ateno: O conectivo usado quando se quer mostrar que dois argumentos so equivalentes.Porexemplo,quandodizemosquetodonmeroparda forma 2n, n N, no o mesmo que dizer que os nmeros pares so divisveis por 2.Sentenas ou ProposiesUma proposio uma afrmao que pode ser verdadeira ou falsa. Ela o signifcado da afrmao, no um arranjo preciso das palavras para transmitir esse signifcado.Por exemplo, Existe um nmero primo par maior que dois uma proposio (no caso, falsa).Um nmero primo par maior que dois existe a mesma proposio, expressa de modo diferente. muito fcil mudar acidentalmente o signifcado das palavras apenasreorganizando-as.Adicodaproposiodeveser considerada algo signifcante.possvelutilizaralingusticaformalparaanalisare reformular uma afrmao sem alterar o signifcado.Assentenasouproposiessooselementosque,na linguagemescritaoufalada,expressamumaidia,mesmoque absurda. Considerar-se-o as que so bem defnidas, isto , aquelas que podem ser classifcadas em falsas ou verdadeiras, denominadas declarativas.Asproposiesgeralmentesodesignadasporletraslatinas minsculas: p, q, r, s...Considere os exemplos a seguir:p: Mnica inteligente.q: Se j nevou na regio Sul, ento o Brasil um pas europeu.r:7>3.s: 8+210Tipos de ProposiesPodemos classifcar as sentenas ou proposies, conforme o signifcado de seu texto, em:-Declarativasouafrmativas:soassentenasemquese afrma algo, que pode ou no ser verdadeiro.Exemplo: Julio Csar o melhor goleiro do Brasil.- Interrogativas: so aquelas sentenas em que se questiona algo.Esse tipo de sentena no admite valor verdadeiro ou falso.Exemplo: Lula estava certo em demitir a ministra?- Imperativas ou ordenativas: so as proposies em que se ordena alguma coisa.Exemplo: Mude a geladeira de lugar.Proposies Universais e ParticularesAs proposies sero classifcadas em:UniversaisParticularesDidatismo e ConhecimentoRACIOCNIO LGICO5Asproposiesuniversaissoaquelasemqueopredicado refere-se totalidade do conjunto. ExemploTodos os homens so mentirosos universal e simbolizamos por Todo S PNesta defnio inclumos o caso em que o sujeito unitrio.Exemplo O co mamfero.Asproposiesparticularessoaquelasemqueopredicado refere-se apenas a uma parte do conjunto. Exemplo:Alguns homens so mentirosos particular e simbolizamos por algum S P.Proposies Afrmativas e NegativasAs proposies tambm se classifcam em:AfrmativasNegativasNo caso de negativa podemos ter:Nenhumhomemmentirosouniversalnegativae simbolizamos por nenhum S P.Alguns homens no so mentirosos particular negativa e simbolizamos por algum S no P.No caso de afrmativa consideramos o item anterior.Chamaremos as proposies dos tipos: Todo S P, algum S P, algum S no P e nenhum S P. Ento teremos a tabela:AFIRMATIVA NEGATIVAUNIVERSAL Todo S P (A) Nenhum S P (E)PARTICULAR Algum S P (I) Algum S no P (O)Diagrama de EulerPara analisar, poderemos usar o diagrama de Euler.1. Todo S P (universal afrmativa A)SouSouP P=S2. Nenhum S P (universal negativa E)S P3. Algum S P (particular afrmativa I)ouou ouSPP=SSPPS4. Algum S no P (particular negativa O)SPouSPouS PPrincpios1Princpiodano-contradio:Umaproposiono pode ser verdadeira e falsa simultaneamente. 2PrincpiodoTerceiroExcludo:Umaproposios podeterdoisvaloresverdades,isto,verdadeiro(V)oufalso (F), no podendo ter outro valor.a) O Curso Pr-Fiscal fca em So Paulo um proposio verdadeira.b) O Brasil um Pas da Amrica do Sul uma proposio verdadeira.c) A Receita Federal pertence ao poder judicirio, uma proposio falsa.Asproposiessimples(tomos)combinam-secomoutras, ousomodifcadasporalgunsoperadores(conectivos),gerando novas sentenas chamadas de molculas. Os conectivos sero re-presentados da seguinte forma: corresponde a no corresponde a e corresponde a ou corresponde a ento corresponde a se somente se Sendoassim,apartirdeumaproposiopodemosconstruir uma outra correspondente com a sua negao; e com duas ou mais, podemos formar: Conjunes: a b (l-se: a e b) Disjunes: ab (l-se: a ou b) Condicionais: a b (l-se: se a ento b) Bicondicionais: ab (l-se: a se somente se b) Exemplo:SeCacildaestudiosaentoelapassarno AFRF Sejam as proposies:p = Cacilda estudiosaq = Ela passar no AFRFDa, poderemos representar a sentena da seguinte forma:Se p ento q (oup q) Didatismo e ConhecimentoRACIOCNIO LGICO6Exerccios1.Doisnmerossomadostotalizam510.Sabe-sequeum deles est para 8, assim como o outro est para 9. Quais so os dois nmeros?2.Umnmeroasomadoaumoutronmerobtotaliza 216.aestpara12,assimcomobestpara15.Qualovalor de a e de b?3. Um nmero a subtrado de um outro nmero b resulta em 54. a est para 13, assim como b est para 7. Qual o valor de a e de b?4. Adiferenaentredoisnmerosiguala52.Omaior deles est para 23, assim como o menor est para 19. Quais so os nmeros?5. A idade de Pedro est para a idade de Paulo, assim como 5 est para 6. Quantos anos tem Pedro e Paulo sabendo-se que as duas idades somadas totalizam 55 anos?6.Opesodeumasacolaemkgestparaopesodeuma outrasacolatambmemkg,assimcomo32estpara28. Quanto pesa cada uma das sacolas, sabendo-se que juntas elas pesam 15kg?7. Asomadedoisnmerosiguala46.Oprimeiroest paraosegundo,assimcomo87estpara51.Quaissoos nmeros?8. Dois nmeros a e b diferem entre si em 18 unidades. a est para b, assim como 825 est para 627. Qual o valor de a e de b?9. Quatro nmeros, 72, 56, 90 e x, todos diferentes de zero, formam nesta ordem uma proporo. Qual o valor da quarta proporcional x?10. Quatro nmeros, x, 15, 15 e 9, todos diferentes de zero, formam nesta ordem uma proporo. Qual o valor da terceira proporcional x?Respostas1)Soluo:Chamemosoprimeironmerodeaeooutro nmerodeb.Doenunciado,tiramosqueaestpara8,assim comobpara9.Utilizando-nosdaterceirapropriedadedas propores temos:Sabemosqueaebsomadosresultamem510,assimcomo aadiode8a9resultaem17.Substituindoestesvaloresna proporo teremos:Portanto:2) Soluo: Recorrendo terceira propriedade das propores montamos a seguinte proporo:Sabemosqueasomadeacombiguala216,assimcomo tambmsabemosque12mais15totaliza27.Substituindotais valores teremos:Portanto:3) Soluo: Recorremos terceira propriedade das propores para montarmos a seguinte proporo:Sabemos que a diferena entre a e b igual a 54, e sabemos tambm que 13 menos 7 d 6. Substituindo tais valores teremos:Portanto:4)Soluo:Vamoschamaronmeromaiordeaeomenor de b. Do enunciado, a est para 23, assim como b est para 19. Ao utilizarmos a terceira propriedade das propores temos:Sabemos que a menos b igual a 52, assim como 23 menos 19 igual a 4. Ao substituirmos estes valores na proporo teremos:Portanto:Didatismo e ConhecimentoRACIOCNIO LGICO75)Soluo:IdentifquemosaidadedePedroporaeaidadedePauloporb. Apartirdoenunciado,temosqueaestparab,assim como 5 est para 6. Utilizando-nos da segunda propriedade das propores temos:Sabemos que a soma a e b resulta em 55, assim como 5 mais 6 resulta em 11. Substituindo estes valores na proporo temos:Para calcularmos o valor de a temos:6) Soluo: Identifquemos o peso da primeira sacola por a e o peso da segunda por b. Como expresso no enunciado, temos que a est para b, assim como 32 est para 28. Da segunda propriedade das propores temos que:Temos que a e b somados resultam em 15, assim como 32 mais 28 resulta em60. Substituindo-os na proporo temos:Calculemos o valor de b:7) Soluo: Identifquemos o primeiro deles por a e o segundo por b. Como dito no enunciado, a est para b, assim como 87est para 51. A segunda propriedade das propores nos diz que:Temos que a mais b d 46, assim como 87 mais 51 resulta em 138. Substituindo-os na proporo temos:Calculemos o valor de b:8) Soluo: Da segunda propriedade das propores temos:Sabemos que a diferena entre a e b resulta em 18, assim como 825 menos 627 resulta em 198. Substituindo tais valores na proporo temos:Para calcularmos o valor de a temos:9) Soluo: De acordo com a quarta proporcional temos:10) Soluo: De acordo com a terceira proporcional temos:Didatismo e ConhecimentoRACIOCNIO LGICO8LGICA DE ARGUMENTAOUm argumento uma srie concatenada de afrmaes com o fm de estabelecer uma proposio defnida. um conjunto de proposies com uma estrutura lgica de maneira tal que algumas delas acarretam ou tem como consequncia outra proposio.Isto , o conjunto de proposies p1,...,pn que tem como consequncia outra proposio q.Chamaremosasproposiesp1,p2,p3,...,pndepremissasdo argumento, e a proposio q de concluso do argumento.Podemos representar por:p1p2p3...pnqExemplos:1. Se eu passar no concurso, ento irei trabalhar. Passei no concurso ________________________ Irei trabalhar2. Se ele me ama ento casa comigo. Ele me ama. __________________________ Ele casa comigo.3. Todos os brasileiro so humanos. Todos os paulistas so brasileiros. __________________________ Todos os paulistas so humanos.4. Se o Palmeiras ganhar o jogo, todos os jogadores recebero o bicho.SeoPalmeirasnoganharojogo,todososjogadores recebero o bicho.__________________________ Todos os jogadores recebero o bicho.Observao:Nocasogeralrepresentamososargumentos escrevendoaspremissaseseparandoporumabarrahorizontal seguida da concluso com trs pontos antes. Veja exemplo extrado do Irving M. Copi.Premissa: Todos os sais de sdio so substncias solveis em gua.Todos os sabes so sais de sdio.____________________________________Concluso: Todos os sabes so substncias solveis em gua.Osargumentos,emlgica,possuemdoiscomponentes bsicos: suas premissas e sua concluso.Porexemplo,em:Todosostimesbrasileirossobonse esto entre os melhores times do mundo. O Brasiliense um time brasileiro.Logo,oBrasilienseestentreosmelhorestimesdo mundo, temos um argumento com duas premissas e a concluso.Evidentemente,pode-seconstruirumargumentovlido apartirdepremissasverdadeiras,chegandoaumaconcluso tambm verdadeira.Mas tambm possvel construir argumentos vlidos a partir de premissas falsas, chegando a concluses falsas.O detalhe que podemos partir de premissas falsas, proceder pormeiodeumainfernciavlidaechegaraumaconcluso verdadeira.Por exemplo:1. Premissa: Todos os peixes vivem no oceano.2. Premissa: Lontras so peixes.3. Concluso: Logo, focas vivem no oceano.H, no entanto, uma coisa que no pode ser feita: a partir de premissas verdadeiras, inferirem de modo correto e chegar a uma concluso falsa.Podemosresumiressesresultadosnumatabeladeregrasde implicao.O smbolo denota implicao; A a premissa, B a concluso.Regras de ImplicaoPremissas Concluso InfernciaA B A BFalsas Falsa VerdadeiraFalsas Verdadeira VerdadeiraVerdadeiras Falsa FalsaVerdadeiras Verdadeira Verdadeira - Se as premissas so falsas e a inferncia vlida, a concluso pode ser verdadeira ou falsa (linhas 1 e 2).-Seaspremissassoverdadeiraseaconclusofalsa,a inferncia invlida (linha 3).-Seaspremissaseainfernciasovlidas,aconcluso verdadeira (linha 4).Desse modo, o fato de um argumento ser vlido no signifca necessariamente que sua concluso seja verdadeira, pois pode ter partido de premissas falsas.Umargumentovlidoquefoiderivadodepremissas verdadeiraschamadodeargumentoconsistente.Esses, obrigatoriamente, chegam a concluses verdadeiras.Premissas:Argumentosdedutveissemprerequeremcerto nmerodeassunes-base.Soaschamadaspremissas.a partir delas que os argumentos so construdos ou, dizendo de outro modo,asrazesparaseaceitaroargumento.Entretanto,algo que uma premissano contexto deumargumentoemparticular pode ser a concluso de outro, por exemplo.As premissas do argumento sempre devem ser explicitadas.A omisso das premissas comumente encarada como algo suspeito, e provavelmente reduzir as chances de aceitao do argumento.Aapresentaodaspremissasdeumargumentogeralmente precedidapelaspalavrasadmitindoque...,jque..., obviamente se... e porque.... imprescindvel que seu oponente concorde com suas premissas antes de proceder argumentao.Didatismo e ConhecimentoRACIOCNIO LGICO9Usarapalavraobviamentepodegerardesconfana.Ela ocasionalmentefazalgumaspessoasaceitaremafrmaesfalsas emvezdeadmitirquenoentendaporquealgobvio.No se deve hesitar em questionar afrmaes supostamente bvias.Inferncia:Umavezquehajaconcordnciasobreas premissas,oargumentoprocedeapassoapassopormeiodo processo chamado inferncia.Nainferncia,parte-sedeumaoumaisproposiesaceitas (premissas) para chegar a outras novas.Se a inferncia for vlida, a nova proposio tambm dever ser aceita.Posteriormente, essa proposio poder ser empregada em novas inferncias.Assim,inicialmente,apenassepodeinferiralgoapartirdas premissas do argumento; ao longo da argumentao, entretanto, o nmero de afrmaes que podem ser utilizadas aumenta.Hvriostiposdeinfernciavlidos,mastambmalguns invlidos.Oprocessodeinfernciacomumenteidentifcado pelas frases Conseqentemente... ou isso implica que....Concluso:Finalmentesechegaraumaproposioque consistenaconcluso,ouseja,noqueseesttentandoprovar. Elaoresultadofnaldoprocessodeinfernciaespodeser classifcadacomconclusonocontextodeumargumentoem particular.Aconclusorespalda-senaspremissaseinferidaapartir delas.Exemplo de argumentoAseguirestexemplifcadoumargumentovlido,masque pode ou no ser consistente.1. Premissa: Todo evento tem uma causa.2. Premissa: O universo teve um comeo.3. Premissa: Comear envolve um evento.4. Inferncia: Isso implica que o comeo do universo envolveu um evento.5. Inferncia: Logo, o comeo do universo teve uma causa.6. Concluso: O universo teve uma causa.Aproposiodoitem4foiinferidadositens2e3.Oitem 1,ento,usadoemconjuntocomproposio4parainferir umanovaproposio(item5).Oresultadodessainferncia reafrmado(numaformalevementesimplifcada)comosendoa concluso.Validade de ArgumentosConformecitamosanteriormente,umaproposio verdadeira ou falsa.No caso de um argumento diremos que ele vlido ou no vlido.Avalidadedeumapropriedadedosargumentosdedutivos quedependedaforma(estrutura)lgicadassuasproposies (premissaseconcluses)enodocontedodelas.Sendoassim podemos ter as seguintes combinaes para os argumentos vlidos dedutivos:a) Premissas verdadeiras e concluso verdadeira. Exemplo:Todos os apartamentos so pequenos. (V)Todos os apartamentos so residncias. (V)__________________________________Algumas residncias so pequenas. (V)b)Algumasoutodasaspremissasfalsaseumaconcluso verdadeira. Exemplo:Todos os peixes tm asas. (F)Todos os pssaros so peixes. (F)__________________________________ Todos os pssaros tm asas. (V)c)Algumasoutodasaspremissasfalsaseumaconcluso falsa. Exemplo:Todos os peixes tm asas. (F)Todos os ces so peixes. (F)__________________________________ Todos os ces tm asas. (F)Todos os argumentos acima so vlidos, pois se suas premissas fossem verdadeiras ento as concluses tambm as seriam.Podemosdizerqueumargumentovlidosequandotodas assuaspremissassoverdadeiras,acarretaquesuaconcluso tambm verdadeira.Portanto, um argumento ser no vlido se existir a possibilidade de suas premissas serem verdadeiras e sua concluso falsa.Observequeavalidadedoargumentodependeapenasda estrutura dos enunciados.ExemploTodas as mulheres so bonitas.Todas as princesas so mulheres.__________________________ Todas as princesas so bonitas.Observequenoprecisamosdenenhumconhecimento aprofundadosobreoassuntoparaconcluirqueoargumento vlido.Vamos substituir mulheres bonitas e princesas por A, B e C respectivamente e teremos:Todos os A so B.Todos os C so A.________________ Todos os C so B.Logo,oqueimportanteaformadoargumentoenoo conhecimentode A,BeC,isto,esteargumentovlidopara quaisquerA,BeC,portanto,avalidadeconseqnciada formadoargumento.Oatributovalidadeaplica-seapenasaos argumentos dedutivos.Argumentos Dedutivos e IndutivosO argumento ser dedutivo quando suas premissas fornecerem prova conclusiva da veracidade da concluso, isto , o argumento dedutivoquandoaconclusocompletamentederivadadas premissas.ExemploTodo ser humano tem me.Todos os homens so humanos.__________________________ Todos os homens tm me.Didatismo e ConhecimentoRACIOCNIO LGICO10Oargumentoserindutivoquandosuaspremissasno fornecerem o apoio completo para retifcar as concluses.ExemploO Flamengo um bom time de futebol.O Palmeiras um bom time de futebol.O Vasco um bom time de futebol.O Cruzeiro um bom time de futebol.______________________________ Todos os times brasileiros de futebol so bons.Portanto,nosargumentosindutivosaconclusopossui informaes que ultrapassam as fornecidas nas premissas.Sendo assim, no se aplica, ento, a defnio de argumentos vlidos ou no vlidos para argumentos indutivos.Argumentos Dedutivos VlidosVimosentoqueanoodeargumentosvlidosouno vlidosaplica-seapenasaosargumentosdedutivos,etambm que a validade depende apenas da forma do argumento e no dos respectivosvaloresverdadesdaspremissas. Vimostambmque no podemos ter um argumento vlido com premissas verdadeiras econclusofalsa. Aseguirexemplifcaremosalgunsargumentos dedutivos vlidos importantes.Afrmao do Antecedente: O primeiro argumento dedutivo vlidoquediscutiremoschama-seafrmaodoantecedente, tambm conhecido como modus ponens.ExemploSeJosforreprovadonoconcurso,entoserdemitidodo servio.Jos foi aprovado no concurso.___________________________ Jos ser demitido do servio.Este argumento evidentemente vlido e sua forma pode ser escrita da seguinte forma:p q Se p, ento q,..qp qpouOutro argumento dedutivo vlido a negao do consequente (tambm conhecido como modus tollens).Obs.:( ) q p equivalentea( ) p q .Esta equivalncia chamada de contra positiva. ExemploSe ele me ama, ento casa comigo equivalente a Se ele no casa comigo, ento ele no me ama;Ento vejamos o exemplo do modus tollens.ExemploSeaumentarmososmeiosdepagamentos,entohaver infao.No h infao.______________________________No aumentamos os meios de pagamentos.Este argumento evidentemente vlido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira:p q Se p, ento q,..p Noq Nopq ouExistetambmumtipodeargumentovlidoconhecido pelo nome de dilena.Geralmente este argumento ocorre quando algum forado a escolher entre duas alternativas indesejveis. ExemploJoo seinscreve noconcurso de MS, porm no gostaria de sairdeSoPaulo,eseuscolegasdetrabalhoestotorcendopor ele.Eis o dilema de Joo:Ou Joo passa ou no passa no concurso.Se Joo passar no concurso vai ter que ir embora de So Paulo.SeJoonopassarnoconcursofcarcomvergonhadiante dos colegas de trabalho._________________________OuJoovaiemboradeSoPauloouJoofcarcom vergonha dos colegas de trabalho.Este argumento evidentemente vlido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira:oup qprp ouq.Se p entors ou rs ento p Se.s rs q Argumentos Dedutivos No Vlidos Existe certa quantidade de artimanhas que devem ser evitadas quandoseestconstruindoumargumentodedutivo.Elasso conhecidascomofalcias.Nalinguagemdodia-a-dia,ns denominamos muitas crenas equivocadas como falcias, mas, na lgica, otermo possuisignifcado maisespecfco:falcia uma falhatcnicaquetornaoargumentoinconsistenteouinvlido (alm da consistncia do argumento, tambm se podem criticar as intenes por detrs da argumentao).Argumentoscontentoresdefalciassodenominados falaciosos.Frequentemente,parecemvlidoseconvincentes,s vezes,apenasumaanlisepormenorizadacapazderevelara falha lgica.Didatismo e ConhecimentoRACIOCNIO LGICO11Comaspremissasverdadeiraseaconclusofalsanunca teremos um argumento vlido, ento este argumento no-vlido, chamaremos os argumentos no-vlidos de falcias.Aseguir,examinaremosalgumasfalciasconhecidasque ocorrem com muita frequncia.Oprimeirocasodeargumentodedutivono-vlidoque veremosoquechamamosdefalciadaafrmaodo consequente.ExemploSe ele me ama ento ele casa comigo.Ele casa comigo._______________________ Ele me ama.Podemos escrever esse argumento como:p q Se p, ento q,ou..pq pqEsteargumentoumafalcia,podemosteraspremissas verdadeiras e a concluso falsa.Outrafalciaquecorrecomfreqnciaaconhecidapor falcia da negao do antecedente.ExemploSe Joo parar de fumar ele engordar.Joo no parou de fumar.________________________ Joo no engordar.Observe que temos a forma:p q Se p, ento q,ou..q Nop No qp Este argumento uma falcia, pois podemos ter as premissas verdadeiras e a concluso falsa.Osargumentosdedutivosnovlidospodemcombinar verdadeoufalsidadedaspremissasdequalquermaneiracoma verdade ou falsidade da concluso.Assim,podemoster,porexemplo,argumentosno-vlidos com premissas e concluses verdadeiras, porm, as premissas no sustentam a concluso.ExemploTodos os mamferos so mortais. (V)Todos os gatos so mortais. (V)___________________________ Todos os gatos so mamferos. (V)Este argumento tem a forma:Todos os A so B.Todos os C so B._____________________ Todos os C so A.Podemos facilmente mostrar que esse argumento no-vlido, pois as premissas no sustentam a concluso, e veremos ento que podemosteraspremissasverdadeiraseaconclusofalsa,nesta forma, bastando substituir A por mamfero, B por mortais e C por cobra. Todos os mamferos so mortais. (V)Todas as cobras so mortais. (V)__________________________ Todas as cobras so mamferas. (F)Podemosusarastabelas-verdade,defnidasnasestruturas lgicas, para demonstrarmos se um argumento vlido ou falso.Outra maneira de verifcar se um dado argumento P1, P2, P3| Cvlidoouno,pormeiodastabelas-verdade,construira condicional associada:(P1P2P3 ...Pn)|Cereconhecerseessacondicionalou no uma tautologia.Seessacondicionalassociadatautologia,oargumento vlido.No sendo tautologia, o argumento dado um sofsma (ou uma falcia).Hargumentosvlidoscomconclusesfalsas,damesma forma que h argumentos no-vlidos com concluses verdadeiras. Logo, a verdade ou falsidade de sua concluso no determinam a validade ou no-validade de um argumento.Oreconhecimentodeargumentosmaisdifcilqueodas premissasoudaconcluso.Muitaspessoasabarrotamtextosde asseressemsequerproduziremalgoquepossaserchamado deargumento.svezes,osargumentosnoseguemospadres descritos acima.Por exemplo, algum pode dizer quais so suas concluses e depois justifc-las.Isso vlido, mas pode ser um pouco confuso.Paracomplicar,algumasafrmaesparecemargumentos, mas no so.Por exemplo: Se a Bblia verdadeira, Jesus foi ou um louco, ou um mentiroso, ou o Filho de Deus.Isso no um argumento, uma afrmao condicional.No explicitaaspremissasnecessriasparaembasarasconcluses, sem mencionar que possui outras falhas.Umargumentonoequivaleaumaexplicao.Suponha que,tentandoprovarqueAlbertEinsteincriaemDeus,algum dissesse:EinsteinafrmouqueDeusnojogadadosporque acreditava em Deus.Isso pode parecer um argumento relevante, mas no .Trata-se de uma explicao da afrmao de Einstein.Paraperceberisso,deve-selembrarqueumaafrmaoda forma X porque Y pode ser reescrita na forma Y logo X.O que resultaria em: Einstein acreditava em Deus, por isso afrmou que Deus no joga dados.Agora fca claro que a afrmao, que parecia um argumento, est admitindo a concluso que deveria estar provando.Ademais,EinsteinnocrianumDeuspessoalpreocupado com assuntos humanos.Didatismo e ConhecimentoRACIOCNIO LGICO12Exerccios1.Identifcaraspremissaseconclusesnosseguintes trechos, cada um dos quais contm apenas um argumento:Foi assinalado que, embora os ciclos de negcio no sejam perodos,soadequadamentedescritospelotermociclose, portanto, so suscetveis de medio.(James Arthur Estey, Ciclos de Negcios)2.Cadaumdosseguintestrechoscontmmaisdeum argumento.Distingui-loseidentifcarsuaspremissase concluses.Ainstituiodolongoaprendizadonofavorvel formao de jovens para a indstria. Um jornaleiro, que trabalha porpea,provavelmenteativo,porqueextraiobenefciode todososesforosresultantesdasuaatividade.Umaprendiz provavelmente preguioso, e quase sempre o , porque no tem qualquer interesse imediato em ser outra coisa.(Adam Smith, A riqueza das naes)3. Apenas alguns dos trechos seguintes contm argumentos. Indicar os que tm argumentos e identifcar suas premissas e concluses.Bem-aventurado aquele que nada espera, pois nunca ser decepcionado.( Alexander Pope, Letter to John Gay)4. Distinguir os argumentos dedutivos e indutivos contidos nos seguintes trechos:Comoostestesdemonstraramqueforamprecisos,pelo menos,2,3segundosparamanobraraculatradorifede Oswald,bvioqueOswaldnopoderiaterdisparadotrs vezesatingindoKennedyduasvezeseConnallyumavez em 5,6 segundos ou menos.5.Indicaraspremissaseconclusesdosargumentos contidos nos seguintes trechos. ilgicoraciocinarassim:Soumaisricodoquetu, portantosousuperiorati.Soumaiseloquentedoquetu, portanto sou superior a ti. mais lgico raciocinar: Sou mais ricodoquetu,portantominhapropriedadesuperiortua. Sou mais eloquente do que tu, portanto meu discurso superior ao teu. As pessoas so algo mais do que propriedade ou fala.(Epicteto, Discursos)Respostas1) Soluo:Premissa: Os ciclos de negcio so adequadamente descritos pelo termo ciclos.Concluso: Os ciclos de negcios so suscetveis de medio.2) Soluo: Primeiro argumento:Premissa:Umjornaleiroquetrabalhaporpeaextraium benefcio de todos os esforos resultantes da sua atividade.Concluso:Umjornaleiroquetrabalhaporpea provavelmente ativo.Segundo argumento:Premissa:Umaprendiznoteminteresseimediatoemser outra coisa, seno preguioso.Concluso:provvelqueumaprendizsejapreguioso,e quase sempre o .Terceiro argumento:Premissa:provvelqueumaprendizsejapreguioso,e quase sempre o .Concluso: A instituio do longo aprendizado no propensa formao de jovens para a indstria.3) Soluo: Possui um argumento.Premissa: Aquele que nada espera nunca ser decepcionado.Concluso: Bem-aventurado aquele que nada espera.4) Soluo: Argumento dedutivo.Premissa:Ostestesdemonstraramqueforamprecisos,pelo menos, 2,3 segundos para manobrar a culatra do rife de Oswald.Concluso: bvio que Oswald no poderia ter disparado trs vezes atingindo Kennedy duas vezes e Connally uma em 5,6 segundos.Emboraapremissapudessetersidoestabelecida indutivamente,opresenteargumentopretendeafrmarquesua concluso deduz-se obviamente da premissa de que Oswald no podia ter disparado trs vezes.5) Soluo:Premissa: Aspessoassoalgomaisdoquesuapropriedade ou fala.Concluso:ilgicoraciocinarassimmeudiscurso superior ao teu.Tambmcadafraseseparadaentreaspasformulaum argumentocujapremissaprecede,ecujasconclusesseseguem palavra portanto.DIAGRAMAS LGICOSSo ditas proposies categricas as seguintes:- Todo A B- Nenhum A B- Algum A B e- Algum A no BProposiesdotipoTodo ABafrmamqueoconjunto A umsubconjuntodoconjuntoB.Ouseja: AestcontidoemB. Ateno: dizer que Todo A B no signifca o mesmo que Todo B A.Didatismo e ConhecimentoRACIOCNIO LGICO13Enunciados da forma Nenhum A B afrmam que os conjuntos A e B so disjuntos, isto , no tem elementos em comum. Ateno: dizerqueNenhum ABlogicamenteequivalenteadizerque Nenhum B A.PorconvenouniversalemLgica,proposiesdaforma Algum A B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B.Contudo,quandodizemosqueAlgumAB,pressupomos que nem todo A B. Entretanto, no sentido lgico de algum, est perfeitamente correto afrmar que alguns de meus colegas esto me elogiando, mesmo que todos eles estejam.Dizer que Algum A B logicamente equivalente a dizer que Algum B A. Tambm, as seguintes expresses so equivalentes: Algum A B = Pelo menos um A B = Existe um A que B.ProposiesdaformaAlgumAnoBestabelecemque oconjunto Atempelomenosumelementoquenopertenceao conjunto B. Temos as seguintes equivalncias: Algum A no B = Algum A no B = Algum no B A. Mas no equivalente a Algum B no A.Nasproposiescategricas,usam-setambmasvariaes gramaticaisdosverbossereestar,taiscomo,so,est,foi, eram, ..., como elo de ligao entre A e B. - Todo A B = Todo A no no B- Algum A B = Algum A no no B- Nenhum A B = Nenhum A no no B- Todo A no B = Todo A no B- Algum A no B = Algum A no B- Nenhum A no B = Nenhum A no B- Nenhum A B = Todo A no B- Todo A B = Nenhum A no B- A negao de Todo A B Algum A no B (e vice-versa)- A negao de Algum A B Nenhum A B (e vice-versa)Verdade ou Falsidade das Proposies CategricasDada a verdade ou a falsidade de qualquer uma das proposies categricas, isto , deTodo A B, Nenhum A B, Algum A B e Algum A no B. pode-se inferir de imediato a verdade ou a falsidade de algumas ou de todas as outras.1.Seaproposio Todo ABverdadeira,entotemosas duas representaes possveis:ABA = B1 2Nenhum A B falsa.Algum A B verdadeira.Algum A no B falsa.2. Se a proposio Nenhum A B verdadeira, ento temos somente a representao:ABTodo A B falsa.Algum A B falsa.Algum A no B verdadeira.3. Se a proposio Algum A B verdadeira, temos as quatro representaes possveis:A B A12ABA = B3 4BNenhum A B falsa.Todo A B indeterminada pode ser verdadeira (em 3 e 4) ou falsa (em 1 e 2).Algum A no B indeterminada pode ser verdadeira (em 1 e 2) ou falsa (em 3 e 4).4.Seaproposio Algum AnoBverdadeira,temosas trs representaes possveis:A B A12A3BBTodo A B falsa.Nenhum A B indeterminada pode ser verdadeira (em 3) ou falsa (em 1 e 2).Algum A B indeterminada pode ser verdadeira (em 1 e 2) ou falsa (em 3).Didatismo e ConhecimentoRACIOCNIO LGICO14Algumvaiperguntar:precisodecorartudoisso?Na realidade, o melhor buscar entender tudo isso! A rigor, conforme veremospelaresoluodaquestoabaixo,conseguiremos solucionarosproblemasdesteassuntopraticamentemedianteo desenho dos Diagramas Lgicos! Ou seja, a coisa bem mais fcil do que aparenta. Exerccio: Considerando todo livro instrutivo como uma proposio verdadeira, correto inferir que:a)Nenhumlivroinstrutivoumaproposio necessariamente verdadeira.b) Algum livro instrutivo uma proposio necessariamente verdadeira.c) Algum livro no instrutivo uma proposio verdadeira ou falsa.d)Algumlivroinstrutivoumaproposioverdadeira ou falsa.e)Algumlivronoinstrutivoumaproposio necessariamente verdadeira.Resoluo:livroinstrutivoA opo A descartada de pronto: nenhum livro instrutivo implicaatotaldissociaoentreosdiagramas.Eestamoscoma situao inversa! A opo B perfeitamente escorreita! Percebam comotodososelementosdodiagramavermelhoestoinseridos no diagrama azul. Resta necessariamente perfeito que algum livro instrutivo.Resposta: opo B.ARITMTICANmeros Naturais Oconjuntodosnmerosnaturaisrepresentadopelaletra maiscula N e estes nmeros so construdos com os algarismos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,quetambmsoconhecidoscomo algarismosindo-arbicos.NosculoVII,osrabesinvadirama ndia, difundindo o seu sistema numrico.Emboraozeronosejaumnmeronaturalnosentidoque tenhasidoprovenientedeobjetosdecontagensnaturais,iremos consider-locomoumnmeronaturalumavezqueeletemas mesmaspropriedadesalgbricasqueosnmerosnaturais.Na verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numerao para suprir a defcincia de algo nulo. Na sequncia consideraremos que os naturais tm incio com o nmero zero e escreveremos este conjunto como: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}Representaremos o conjunto dos nmeros naturais com a letra N. As reticncias (trs pontos) indicam que este conjunto no tem fm. N um conjunto com infnitos nmeros.Excluindo o zero do conjunto dos nmeros naturais, o conjunto ser representado por: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}A construo dos Nmeros Naturais-Todonmeronaturaldadotemumsucessor(nmeroque vem depois do nmero dado), considerando tambm o zero.Exemplos: Seja m um nmero natural.a) O sucessor de m m+1.b) O sucessor de 0 1.c) O sucessor de 1 2.d) O sucessor de 19 20.-Seumnmeronaturalsucessordeoutro,entoosdois nmeros juntos so chamados nmeros consecutivos.Exemplos:a) 1 e 2 so nmeros consecutivos.b) 5 e 6 so nmeros consecutivos.c) 50 e 51 so nmeros consecutivos.- Vriosnmerosformamumacoleodenmerosnaturais consecutivosseosegundosucessordoprimeiro,oterceiro sucessordosegundo,oquartosucessordoterceiroeassim sucessivamente.Exemplos:a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 so consecutivos.b) 5, 6 e 7 so consecutivos.c) 50, 51, 52 e 53 so consecutivos.-TodonmeronaturaldadoN,excetoozero,temum antecessor (nmero que vem antes do nmero dado).Exemplos: Se m um nmero natural fnito diferente de zero.a) O antecessor do nmero m m-1.b) O antecessor de 2 1.c) O antecessor de 56 55.d) O antecessor de 10 9.O conjunto abaixo conhecido como o conjunto dos nmeros naturaispares.Emboraumasequnciarealsejaoutroobjeto matemticodenominadofuno,algumasvezesutilizaremos adenominaosequnciadosnmerosnaturaisparespara representar o conjunto dos nmeros naturais pares: P = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}O conjunto abaixo conhecido como o conjunto dos nmeros naturaismpares,svezestambmchamados,asequnciados nmeros mpares. I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}Igualdade e DesigualdadesDiremosqueumconjunto AigualaumconjuntoBse,e somente se, o conjunto A est contido no conjunto B e o conjunto BestcontidonoconjuntoA.Quandoacondioacimafor satisfeita, escreveremos A = B (l-se: A igual a B) e quando no for satisfeita denotaremos tal fato por: A B (l-se: A diferente de B). Na defnio de igualdade de conjuntos, vemos que no importante a ordem dos elementos no conjunto.Didatismo e ConhecimentoRACIOCNIO LGICO15Exemplo com igualdade: No desenho, em anexo, observamos queoselementosdoconjuntoAsoosmesmoselementosdo conjunto B. Neste caso, A = B.Consideraremos agora uma situao em que os elementos dos conjuntos A e B sero distintos.Sejam A = {a,b,c,d} e B = {1,2,3,d}. Nem todos os elementos do conjunto A esto no conjunto B e nem todos os elementos do conjuntoBestonoconjunto A.Tambmnopodemosafrmar queumconjuntomaiordoqueooutroconjunto.Nestecaso, afrmamos que o conjunto A diferente do conjunto B.Operaes com Nmeros NaturaisNasequncia,estudaremosasduasprincipaisoperaes possveis no conjunto dos nmeros naturais. Praticamente, toda a Matemtica construda a partir dessas duas operaes: adio e multiplicao.A adio de nmeros naturaisAprimeiraoperaofundamentaldaAritmticatempor fnalidade reunir em um s nmero, todas as unidades de dois ou maisnmeros.Antesdesurgirosalgarismosindo-arbicos,as adies podiam ser realizadas por meio de tbuas de calcular, com o auxlio de pedras ou por meio de bacos.Propriedades da Adio-Fechamento:Aadionoconjuntodosnmerosnaturais fechada,poisasomadedoisnmerosnaturaisaindaum nmero natural. O fato que a operao de adio fechada em N conhecido na literatura do assunto como: A adio uma lei de composio interna no conjunto N.- Associativa: Aadionoconjuntodosnmerosnaturais associativa,poisnaadiodetrsoumaisparcelasdenmeros naturaisquaisquerpossvelassociarasparcelasdequaisquer modos,ouseja,comtrsnmerosnaturais,somandooprimeiro comosegundoeaoresultadoobtidosomarmosumterceiro, obteremosumresultadoqueigualsomadoprimeirocoma soma do segundo e o terceiro. (A + B) + C = A + (B + C)- Elemento neutro: No conjunto dos nmeros naturais, existe o elemento neutro que o zero, pois tomando um nmero natural qualqueresomandocomoelementoneutro(zero),oresultado ser o prprio nmero natural.-Comutativa:Noconjuntodosnmerosnaturais,aadio comutativa,poisaordemdasparcelasnoalteraasoma,ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos omesmoresultadoquesesomandoasegundaparcelacoma primeira parcela.Multiplicao de Nmeros Naturaisaoperaoquetemporfnalidadeadicionaroprimeiro nmero denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas so as unidades do segundo nmero denominadas multiplicador.Exemplo4 vezes 9 somar o nmero 9 quatro vezes: 4 x 9 = 9 + 9 + 9 + 9 = 36Oresultadodamultiplicaodenominadoprodutoeos nmerosdadosquegeraramoproduto,sochamadosfatores. Usamos o sinal ou ou x, para representar a multiplicao.Propriedades da multiplicao-Fechamento:AmultiplicaofechadanoconjuntoN dos nmeros naturais, pois realizando o produto de dois ou mais nmeros naturais, o resultado estar em N. O fato que a operao demultiplicaofechadaemNconhecidonaliteraturado assuntocomo: Amultiplicaoumaleidecomposiointerna no conjunto N.- Associativa: Na multiplicao, podemos associar 3 ou mais fatoresdemodosdiferentes,poissemultiplicarmosoprimeiro fatorcomosegundoedepoismultiplicarmosporumterceiro nmeronatural,teremosomesmoresultadoquemultiplicaro terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo. (m . n) . p = m .(n . p) (3 . 4) . 5 = 3 . (4 . 5) = 60- Elemento Neutro: No conjunto dos nmeros naturais existe um elemento neutro para a multiplicao que o 1. Qualquer que seja o nmero natural n, tem-se que: 1 . n = n . 1 = n 1 . 7 = 7 . 1 = 7-Comutativa:Quandomultiplicamosdoisnmerosnaturais quaisquer,aordemdosfatoresnoalteraoproduto,ouseja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos omesmoresultadoquemultiplicandoosegundoelementopelo primeiro elemento. m . n = n . m 3 . 4 = 4 . 3 = 12Propriedade DistributivaMultiplicando um nmero natural pela soma de dois nmeros naturais,omesmoquemultiplicarofator,porcadaumadas parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos. m . (p + q) = m . p + m . q 6 x (5 + 3) = 6 x 5 + 6 x 3 = 30 + 18 = 48Diviso de Nmeros NaturaisDadosdoisnmerosnaturais,svezesnecessitamossaber quantasvezesosegundoestcontidonoprimeiro.Oprimeiro nmero que o maior denominado dividendo e o outro nmero quemenorodivisor.Oresultadodadivisochamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo.Noconjuntodosnmerosnaturais,adivisonofechada, pois nem sempre possvel dividir um nmero natural por outro nmero natural e na ocorrncia disto a diviso no exata.Relaes essenciais numa diviso de nmeros naturais- Em uma diviso exata de nmeros naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo. 35 : 7 = 5- Em uma diviso exata de nmeros naturais, o dividendo o produto do divisor pelo quociente. 35 = 5 x 7- Adivisodeumnmeronaturalnporzeronopossvel pois, se admitssemos que o quociente fosse q, ento poderamos escrever: n 0 = q e isto signifcaria que: n = 0 x q = 0 o que no correto! Assim, a diviso de n por 0 no tem sentido ou ainda dita impossvel.Didatismo e ConhecimentoRACIOCNIO LGICO16Potenciao de Nmeros NaturaisPara dois nmeros naturais m e n, a expresso mn um produto de n fatores iguais ao nmero m, ou seja: mn = m . m . m ... m . m m aparece n vezesOnmeroqueserepetecomofatordenominadobaseque neste caso m. O nmero de vezes que a base se repete denominado expoente que neste caso n. O resultado denominado potncia.Estaoperaonopassadeumamultiplicaocomfatores iguais, como por exemplo: 23 = 2 2 2 = 8 43 = 4 4 4 = 64Propriedades da Potenciao- Uma potncia cuja base igual a 1 e o expoente natural n, denotada por 1n, ser sempre igual a 1. Exemplos:a- 1n = 11...1 (n vezes) = 1b- 13 = 111 = 1c- 17 = 1111111 = 1- Se n um nmero natural no nulo, ento temos que no=1. Por exemplo:- (a) n = 1- (b) 5 = 1- (c) 49 = 1- A potncia zero elevado a zero, denotada por 0o, carente de sentido no contexto do Ensino Fundamental. -Qualquerquesejaapotnciaemqueabaseonmero naturalneoexpoenteiguala1,denotadaporn1,igualao prprio n. Por exemplo:- (a) n = n- (b) 5 = 5- (c) 64 = 64-Todapotncia10nonmeroformadopeloalgarismo1 seguido de n zeros. Exemplos:a- 103 = 1000b- 108 = 100.000.000c- 10o = 1Exerccios1. O consecutivo e o antecedente de um nmero natural n sero respectivamente:2. Se n par, o consecutivo par de n ser?Se n mpar, o consecutivo mpar de n ser? 3.Sejaoquadradoabaixoemquecadaladomede3cm. Quantos quadradinhos de 1cm cabem no quadrado?3cm

4. Com o mesmo quadrado acima, obter o valor de 3?5.Dequantoscubinhosde1cmdelado,isto,um centmetro cbico, precisaremos para construir um cubo com 3cm de comprimento, 3cm de largura e 3cm de altura?6. Faa a potenciao dos seguintes nmeros:a) 2b) 5c) 2d) 647. Qual o valor do nmero natural b, tal que 64 = b b b?8. Qual o elemento do conjunto dos nmeros naturais que divisor de todos os nmeros?9. Realize a diviso nos seguintes nmeros naturais:a) 125 : 5b) 36 : 6c) 49 : 710. Calcule:a) -8 + 5b) -5 7 c) (-10) (-8) + (-12) (-17)d) (-5) + (-10) - 14Respostas1) Soluo: O antecedente de um nmero n ser n 1, pois aquele que antecede o n.J o consecutivo n + 1.2) Soluo: Sendo n par, o seu consecutivo ser n + 2, e sendo impar o consecutivo sendo impar o n ser n + 1.3) Resposta 9 quadradinhos. Soluo: Temos 9 quadradinhos, ento basta apenas fazermos:9 x 1 = 9 quadradinhos 4) Resposta 9.Soluo: Basta apenas multiplicarmos o 3 duas vezes:3 x 3 = 9.5) Resposta 27.Soluo:Paraconstruirmosumcubo,bastaapenas multiplicarmos os lados:3 x 3 x 3 = 27 cubinhos.6) Soluo:a) 2 x 2 x 2 = = 8b) 5 x 5 x 5 == 125c) 2 x 2 == 4d) 6 x 6 x 6 x 6 == 1296Didatismo e ConhecimentoRACIOCNIO LGICO177) Resposta 4.Soluo: R[64] = 4, pois 64 = b b b, ou seja, 64 = b. Esta uma propriedade de potenciao. A base b e o expoente 3. O nmero que elevado ao cubo fornece o resultado 64 o nmero b = 4.8) Resposta 1.Soluo: O nmero 1, pois se dividirmos um nmero natural n por 1 obteremos o prprio n. Por exemplo, 2 mas para 1 garoto, 3 balas para 1 criana, 5 lpis para 1 estudante.9) Soluo:a) 125 : 5 == 25b) 36 : 6 == 6c) 49 : 7 = = 710) Soluo:a) -8 + 5 = = -3b) -5 7 == -12c) (-10) (-8) + (-12) (-17) == 10 + 8 12 + 17 == 25 12 == 13d) (-5) + (-10) 14 == 5 10 14 == 5 24 == -19Conjunto dos Nmeros Inteiros ZDefnimosoconjuntodosnmerosinteiroscomoareunio doconjuntodosnmerosnaturais(N={0,1,2,3,4,...,n,...},o conjunto dos opostos dos nmeros naturais e o zero. Este conjunto denotado pela letra Z (Zahlen=nmero em alemo). Este conjunto pode ser escrito por: Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}O conjunto dos nmeros inteiros possui alguns subconjuntos notveis:- O conjunto dos nmeros inteiros no nulos:Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}; Z* = Z {0}- O conjunto dos nmeros inteiros no negativos:Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}Z+ o prprio conjunto dos nmeros naturais: Z+ = N- O conjunto dos nmeros inteiros positivos:Z*+ = {1, 2, 3, 4,...}- O conjunto dos nmeros inteiros no positivos:Z_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}- O conjunto dos nmeros inteiros negativos:Z*_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1}Mdulo: chama-se mdulo de um nmero inteiro a distncia ou afastamento desse nmero at o zero, na reta numrica inteira. Representa-se o mdulo por | |.O mdulo de 0 0 e indica-se |0| = 0O mdulo de +7 7 e indica-se |+7| = 7O mdulo de 9 9 e indica-se |9| = 9Omdulodequalquernmerointeiro,diferentedezero, sempre positivo.NmerosOpostos:Doisnmerosinteirossoditosopostos um do outro quando apresentam soma zero; assim, os pontos que os representam distam igualmente da origem.Exemplo:Oopostodonmero2-2,eoopostode-22, pois 2 + (-2) = (-2) + 2 = 0Nogeral,dizemosqueooposto,ousimtrico,deaa,e vice-versa; particularmente o oposto de zero o prprio zero.Adio de Nmeros InteirosParamelhorentendimentodestaoperao,associaremosaos nmeros inteiros positivos a idia de ganhar e aos nmeros inteiros negativos a idia de perder.Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+5) + (+3) = (+8)Perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7)Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3)Perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3)O sinal (+) antes do nmero positivo pode ser dispensado, mas o sinal () antes do nmero negativo nunca pode ser dispensado.Propriedadesdaadiodenmerosinteiros:Oconjunto Z fechado para a adio, isto , a soma de dois nmeros inteiros ainda um nmero inteiro.Associativa: Para todos a,b,c em Z:a + (b + c) = (a + b) + c2 + (3 + 7) = (2 + 3) + 7Comutativa: Para todos a,b em Z:a + b = b + a3 + 7 = 7 + 3Elemento Neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em Z, proporciona o prprio z, isto :z + 0 = z7 + 0 = 7Elemento Oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal quez + (z) = 09 + (9) = 0Didatismo e ConhecimentoRACIOCNIO LGICO18Subtrao de Nmeros InteirosA subtrao empregada quando:- Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade;- Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas tem a mais que a outra;-Temosduasquantidadesequeremossaberquantofaltaa uma delas para atingir a outra.A subtrao a operao inversa da adio.Observe que:9 5 = 44 + 5 = 9 diferena subtraendo minuendoConsidere as seguintes situaes:1- Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sio passou de +3 graus para +6 graus. Qual foi a variao da temperatura?Essefatopodeserrepresentadopelasubtrao:(+6)(+3) = +32- Na tera-feira, a temperatura de Monte Sio, durante o dia, era de +6 graus. Noite, a temperatura baixou de 3 graus. Qual a temperatura registrada na noite de tera-feira?Esse fato pode ser representado pela adio: (+6) + (3) = +3Secompararmosasduasigualdades,verifcamosque(+6) (+3) o mesmo que (+5) + (3). Temos:(+6) (+3) = (+6) + (3) = +3(+3) (+6) = (+3) + (6) = 3(6) (3) = (6) + (+3) = 3Dapodemosafrmar:Subtrairdoisnmerosinteiroso mesmo que adicionar o primeiro com o oposto do segundo.Multiplicao de Nmeros InteirosAmultiplicaofuncionacomoumaformasimplifcadade uma adio quando os nmeros so repetidos. Poderamos analisar talsituaocomoofatodeestarmosganhandorepetidamente algumaquantidade,comoporexemplo,ganhar1objetopor30 vezesconsecutivas,signifcaganhar30objetoseestarepetio pode ser indicada por um x, isto : 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30Se trocarmos o nmero 1 pelo nmero 2, obteremos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60Se trocarmos o nmero 2 pelo nmero -2, obteremos: (2) + (2) + ... + (2) = 30 x (-2) = 60Observamosqueamultiplicaoumcasoparticularda adio onde os valores so repetidos.Namultiplicaooprodutodosnmerosaeb,podeser indicadoporaxb,a.bouaindaabsemnenhumsinalentreas letras.Pararealizaramultiplicaodenmerosinteiros,devemos obedecer seguinte regra de sinais:(+1) x (+1) = (+1)(+1) x (-1) = (-1)(-1) x (+1) = (-1)(-1) x (-1) = (+1)Com o uso das regras acima, podemos concluir que:Sinais dos nmeros Resultado do produtoIguais PositivoDiferentes NegativoPropriedadesdamultiplicaodenmerosinteiros:O conjunto Z fechado para a multiplicao, isto , a multiplicao de dois nmeros inteiros ainda um nmero inteiro.Associativa: Para todos a,b,c em Z:a x (b x c) = (a x b) x c2 x (3 x 7) = (2 x 3) x 7Comutativa: Para todos a,b em Z:a x b = b x a3 x 7 = 7 x 3Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o prprio z, isto :z x 1 = z7 x 1 = 7Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso z1=1/z em Z, tal quez x z1 = z x (1/z) = 19 x 91 = 9 x (1/9) = 1Distributiva: Para todos a,b,c em Z:a x (b + c) = (a x b) + (a x c)3 x (4+5) = (3 x 4) + (3 x 5)Diviso de Nmeros InteirosDividendodivisor dividendo:Divisor = quociente 0Quociente . divisor = dividendoSabemos que na diviso exata dos nmeros naturais:40 : 5 = 8, pois 5 . 8 = 4036 : 9 = 4, pois 9 . 4 = 36Vamosaplicaressesconhecimentosparaestudaradiviso exata de nmeros inteiros. Veja o clculo:(20) : (+5) =q (+5) . q = (20) q = (4)Logo: (20) : (+5) = +4Didatismo e ConhecimentoRACIOCNIO LGICO19Considerandoosexemplosdados,conclumosque,para efetuaradivisoexatadeumnmerointeiroporoutronmero inteiro, diferente de zero, dividimos o mdulo do dividendo pelo mdulo do divisor. Da:-Quandoodividendoeodivisortmomesmosinal,o quociente um nmero inteiro positivo.-Quandoodividendoeodivisortmsinaisdiferentes,o quociente um nmero inteiro negativo.- A diviso nem sempre pode ser realizada no conjunto Z. Por exemplo, (+7) : (2) ou (19) : (5) so divises que no podem ser realizadas em Z, pois o resultado no um nmero inteiro.- No conjunto Z, a diviso no comutativa, no associativa e no tem a propriedade da existncia do elemento neutro.1- No existe diviso por zero.Exemplo:(15):0notemsignifcado,poisnoexisteum nmero inteiro cujo produto por zero seja igual a 15.2-Zerodivididoporqualquernmerointeiro,diferentede zero, zero, pois o produto de qualquer nmero inteiro por zero igual a zero.Exemplos: a) 0 : (10) = 0b) 0 : (+6) = 0c) 0 : (1) = 0Potenciao de Nmeros InteirosA potncia an do nmero inteiro a, defnida como um produto de n fatores iguais. O nmero a denominado a base e o nmero n o expoente.an = a x a x a x a x ... x aa multiplicado por a n vezesExemplos:33 = (3) x (3) x (3) = 27(-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125(-7) = (-7) x (-7) = 49(+9) = (+9) x (+9) = 81-Todapotnciadebasepositivaumnmerointeiro positivo.Exemplo: (+3)2 = (+3) . (+3) = +9-Todapotnciadebasenegativaeexpoenteparum nmero inteiro positivo.Exemplo: ( 8)2 = (8) . (8) = +64-Todapotnciadebasenegativaeexpoentemparum nmero inteiro negativo.Exemplo: (5)3 = (5) . (5) . (5) = 125Propriedades da Potenciao:Produtos de Potncias com bases iguais: Conserva-se a base e somam-se os expoentes. (7)3 . (7)6 = (7)3+6 = (7)9QuocientesdePotnciascombasesiguais:Conserva-se abaseesubtraem-seosexpoentes.(+13)8:(+13)6=(+13)86= (+13)2PotnciadePotncia:Conserva-seabaseemultiplicam-se os expoentes. [(+4)5]2 = (+4)5 . 2 = (+4)10Potnciadeexpoente1:sempreigualbase.(+9)1=+9 (13)1 = 13Potncia de expoente zero e base diferente de zero: igual a 1. Exemplo: (+14)0 = 1 (35)0 = 1Radiao de Nmeros InteirosAraizn-sima(deordemn)deumnmerointeiroaa operao que resulta em outro nmero inteiro no negativo b que elevado potncia n fornece o nmero a. O nmero n o ndice da raiz enquanto que o nmero a o radicando (que fca sob o sinal do radical).Araizquadrada(deordem2)deumnmerointeiroaa operaoqueresultaemoutronmerointeirononegativoque elevado ao quadrado coincide com o nmero a.Observao: No existe a raiz quadrada de um nmero inteiro negativo no conjunto dos nmeros inteiros. Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didticos e at mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de:9= 3mas isto est errado. O certo :9= +3Observamos que no existe um nmero inteiro no negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um nmero negativo.Araizcbica(deordem3)deumnmerointeiroaa operao que resulta em outro nmero inteiro que elevado ao cubo seja igual ao nmero a. Aqui no restringimos os nossos clculos somente aos nmeros no negativos.Exemplos(a) 38= 2, pois 2 = 8.(b) 38 = 2, pois (2) = -8.(c) 327 = 3, pois 3 = 27.(d) 327 = 3, pois (3) = -27.Observao: Aoobedecerregradossinaisparaoproduto de nmeros inteiros, conclumos que:(a)Seondicedaraizforpar,noexisteraizdenmero inteiro negativo.(b) Se o ndice da raiz for mpar, possvel extrair a raiz de qualquer nmero inteiro.Exerccios1.Qualomaiorquadradoperfeitoqueseescrevecom dois algarismos?2. Um nmero inteiro expresso por (53 38 + 40) 51 + (90 7 + 82) + 101. Qual esse nmero inteiro?Didatismo e ConhecimentoRACIOCNIO LGICO203. Calcule:a) (+12) + (40)b) (+12) (40) c) (+5) + (16) (+9) (20)d) (3) (6) (+4) + (2) + (15)4. Determine o valor de x de modo a tornar as sentenas verdadeiras:a) x + (12) = 5b) x + (+9) = 0c) x (2) = 6d) x + (9) = 12e) 32 + x = 50f) 0 x = 85.Qualadiferenaprevistaentreastemperaturasno Piau e no Rio Grande do Sul, num determinado dia, segundo as informaes?Tempo no Brasil: Instvel a ensolarado no Sul.Mnima prevista -3 no Rio Grande do Sul.Mxima prevista 37 no Piau.6. Qual o produto de trs nmeros inteiros consecutivos em que o maior deles 10?7. Trs nmeros inteiros so consecutivos e o menor deles +99. Determine o produto desses trs nmeros.8.Copieasigualdadessubstituindooxpornmeros inteiros de modo que elas se mantenham:a) (140) : x = 20b) 144 : x = 4 c) (147) : x = +21 d) x : (+13) = +12e) x : (93) = +45f) x : (12) = 369. Adicionando 846 a um nmero inteiro e multiplicando a soma por 3, obtm-se +324. Que nmero esse?10.Numaadiocomduasparcelas,sesomarmos8 primeiraparcela,esubtrairmos5dasegundaparcela,oque ocorrer com o total?Respostas1) Resposta 9.Soluo: Basta identifcar os quadrados perfeitos.Os nmeros quadrados perfeitos so:1 = 1 (menor que dois algarismos)2 = 43 = 94 = 16 (dois algarismos)5 = 256 = 367 = 498 = 649 = 8110 = 100 (mais que dois algarismos)Logo, o maior quadrado perfeito o 9 = 812) Resposta 270.Soluo:(53 38 + 40) 51 + (90 7 + 82) + 10155 51 + 165 + 101 = 270Portanto, o nmero inteiro 270.3) Soluo:a) (+12) + (40) = 12 40 = -28b) (+12) (40) = 12 + 40 = 52c) (+5) + (16) (+9) (20) = +5 -16 9 + 20 = 25 25 = 0d) (3) (6) (+4) + (2) + (15) = -3 + 6 4 2 15 = 6 24 = -184) Soluo:a) x + (12) = 5 x = -5 + 12 x = 7b) x + (+9) = 0 x = -9c) x (2) = 6 x = 6 2 x = 4d) x + (9) = 12 x = -12 + 9 x = -3e) 32 + x = 50 x = -50 + 32 x = -18f) 0 x = 8 x = -85) Resposta 40. Soluo:A diferena est entre -3 e +37. Se formos ver... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...ser +40.6) Resposta -1320.Soluo:(x) . (x+1) . (x+2) = ?x+2 = -10x= -10 -2x = -12(-12) . (-12+1) . (-12+2) =-12 . -11 . -10 = - 13207) Resposta 999900.Soluo:(x) . (x+1) . (x+2) = ?x= 99(99) . (99+1) . (99+2) =99 . 100 . 101 = 9999008) Soluo:a) (140) : x = 20x = -20 . -140x = 2800b) 144 : x = 4x = -4 . 144x = -576 c) (147) : x = +21 x = 21 . -147x = -3087Didatismo e ConhecimentoRACIOCNIO LGICO21d) x : (+13) = +12x = 12 . 13x = 156

e) x : (93) = +45x = 45 . -93x = -4185f) x : (12) = 36x = -36 . -12x = 4329) Resposta 738.Soluo:x + (-846) . -3 = 324x 846 . -3 = 324-3 (x 846) = 324-3x + 2538 = 3243x = 2538 3243x = 2214x = x = 73810) Resposta 3.Soluo: Seja t o total da adio inicial.Ao somarmos 8 a uma parcela qualquer, o total acrescido de 8 unidades: t + 8Ao subtrairmos 5 de uma parcela qualquer, o total reduzido de 5 unidades: Temos:t + 8 - 5 = t + 3Portanto o total fcar acrescido de 3 unidades.Conjunto dos Nmeros Racionais QUmnmeroracionaloquepodeserescritonaforma nm, onde m e n so nmeros inteiros, sendo que n deve ser diferente de zero. Frequentemente usamos m/n para signifcar a diviso de m por n. Comopodemosobservar,nmerosracionaispodemser obtidosatravsdarazoentredoisnmerosinteiros,razopela qual, o conjunto de todos os nmeros racionais denotado por Q. Assim, comum encontrarmos na literatura a notao:Q = {nm: m e n em Z, n diferente de zero}No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos:- Q* = conjunto dos racionais no nulos;- Q+ = conjunto dos racionais no negativos;- Q*+ = conjunto dos racionais positivos;- Q _ = conjunto dos racionais no positivos;- Q*_ = conjunto dos racionais negativos.Representao Decimal das FraesTomemos um nmero racional qp, tal que p no seja mltiplo de q. Para escrev-lo na forma decimal, basta efetuar a diviso do numerador pelo denominador. Nessa diviso podem ocorrer dois casos:1)Onumeraldecimalobtidopossui,apsavrgula,um nmero fnito de algarismos. Decimais Exatos:52= 0,441= 0,25435= 8,7550153= 3,062) O numeral decimal obtido possui, aps a vrgula, infnitos algarismos(nemtodosnulos),repetindo-seperiodicamente. Decimais Peridicos ou Dzimas Peridicas:31= 0,333... 221= 0,04545...66167 = 2,53030...Representao Fracionria dos Nmeros DecimaisTrata-sedoproblemainverso:estandoonmeroracional escritonaformadecimal,procuremosescrev-lonaformade frao. Temos dois casos:1) Transformamos o nmero em uma frao cujo numerador onmerodecimalsemavrgulaeodenominadorcomposto pelonumeral1,seguidodetantoszerosquantasforemascasas decimais do nmero decimal dado:0,9 = 1095,7 = 10570,76 = 100763,48 = 1003480,005 = 10005= 20012) Devemos achar a frao geratriz da dzima dada; para tanto, vamos apresentar o procedimento atravs de alguns exemplos:Didatismo e ConhecimentoRACIOCNIO LGICO22Exemplo 1 Seja a dzima 0, 333... .Faamosx=0,333...emultipliquemosambososmembros por 10: 10x = 0,333 Subtraindo,membroamembro,aprimeiraigualdadeda segunda:10x x = 3,333... 0,333...9x = 3 x = 3/9Assim, a geratriz de 0,333... a frao 93.Exemplo 2Seja a dzima 5, 1717... .Faamos x = 5,1717... e 100x = 517,1717... .Subtraindo membro a membro, temos:99x = 512 x = 512/99Assim, a geratriz de 5,1717... a frao 99512.Exemplo 3Seja a dzima 1, 23434...Faamosx=1,23434...10x=12,3434...1000x= 1234,34... .Subtraindo membro a membro, temos:990x = 1234,34... 12,34... 990x = 1222

x = 1222/990Simplifcando, obtemos x = 495611, a frao geratriz da dzima 1, 23434... Mduloouvalorabsoluto:adistnciadopontoque representa esse nmero ao ponto de abscissa zero.Exemplo: Mdulo de 23 23. Indica-se 23= 23Mdulo de + 23 23. Indica-se 23+= 23NmerosOpostos:Dizemosque23e 23sonmeros racionaisopostosousimtricosecadaumdelesoopostodo outro. Asdistnciasdospontos 23e 23aopontozerodareta so iguais.Soma (Adio) de Nmeros RacionaisComo todo nmero racional uma frao ou pode ser escrito naformadeumafrao,defnimosaadioentreosnmeros racionais bae dc, da mesma forma que a soma de fraes, atravs de:ba + dc = bdbc ad +Propriedades da Adio de Nmeros RacionaisO conjunto Q fechado para a operao de adio, isto , a soma de dois nmeros racionais ainda um nmero racional.- Associativa: Para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c- Comutativa: Para todos a, b em Q: a + b = b + a- Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o prprio q, isto : q + 0 = q- Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que q + (q) = 0Subtrao de Nmeros RacionaisAsubtraodedoisnmerosracionaispeqaprpria operao de adio do nmero p com o oposto de q, isto : p q = p + (q)Multiplicao (Produto) de Nmeros RacionaisComo todo nmero racional uma frao ou pode ser escrito naformadeumafrao,defnimosoprodutodedoisnmeros racionais ba e dc,damesmaformaqueoprodutodefraes, atravs de:ba x dc = bdacOprodutodosnmerosracionaisaebtambmpodeser indicado por a b, axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.Para realizar a multiplicao de nmeros racionais, devemos obedecer mesma regra de sinais que vale em toda a Matemtica:(+1) (+1) = (+1)(+1) (-1) = (-1)(-1) (+1) = (-1)(-1) (-1) = (+1)Podemos assim concluir que o produto de dois nmeros com o mesmo sinal positivo, mas o produto de dois nmeros com sinais diferentes negativo.Propriedades da Multiplicao de Nmeros RacionaisO conjunto Q fechado para a multiplicao, isto , o produto de dois nmeros racionais ainda um nmero racional.- Associativa: Para todos a, b, c em Q: a ( b c ) = ( a b ) c- Comutativa: Para todos a, b em Q: a b = b a- Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o prprio q, isto : q 1 = qDidatismo e ConhecimentoRACIOCNIO LGICO23-Elementoinverso:Paratodoq= baemQ,qdiferentede zero, existe q-1 = abem Q: q q-1 = 1 bax ab = 1- Distributiva: Para todos a, b, c em Q: a ( b + c ) = ( a b ) + ( a c )Diviso de Nmeros RacionaisA diviso de dois nmeros racionais p e q a prpria operao de multiplicao do nmero p pelo inverso de q, isto : p q = p q-1Potenciao de Nmeros RacionaisA potncia qn do nmero racional q um produto de n fatores iguais. O nmero q denominado a base e o nmero n o expoente.qn = q q q q ... q,(q aparece n vezes)Exemplos:a) 352|.|

\|= |.|

\|52 . |.|

\|52 . |.|

\|52 = 1258b) 321|.|

\| = |.|

\|21 . |.|

\|21 . |.|

\|21= 81c) (5) = (5) . ( 5) = 25d) (+5) = (+5) . (+5) = 25Propriedades da Potenciao: Toda potncia com expoente 0 igual a 1.052|.|

\|+= 1- Toda potncia com expoente 1 igual prpria base. 149|.|

\|=49- Toda potncia com expoente negativo de um nmero racional diferente de zero igual a outra potncia que tem a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente anterior.253|.|

\| = 235|.|

\| = 925-Todapotnciacomexpoentempartemomesmosinalda base.332|.|

\|= |.|

\|32 . |.|

\|32 . |.|

\|32 = 278- Toda potncia com expoente par um nmero positivo.251|.|

\| = |.|

\|51 . |.|

\|51 = 251- Produto de potncias de mesma base. Para reduzir um produto depotnciasdemesmabaseaumaspotncia,conservamosa base e somamos os expoentes.252|.|

\|. 352|.|

\|= 5 3 2525252.52.52.52.52|.|

\|=|.|

\|=|.|

\||.|

\|+-Quocientedepotnciasdemesmabase.Parareduzir umquocientedepotnciasdemesmabaseaumaspotncia, conservamos a base e subtramos os expoentes.3 2 5 2 5232323.2323.23.23.23.2323:23|.|

\|=|.|

\|= =|.|

\||.|

\|- Potncia de Potncia. Para reduzir uma potncia de potncia aumapotnciadeumsexpoente,conservamosabasee multiplicamos os expoentes.6 2 3 2 2 2 2 2 23221212121.21.2121|.|

\|= |.|

\|= |.|

\|= |.|

\||.|

\||.|

\|=(((

|.|

\|+ + +Radiciao de Nmeros RacionaisSe um nmero representa um produto de dois ou mais fatores iguais, ento cada fator chamado raiz do nmero. Vejamos alguns exemplos:Exemplo 14 Representa o produto 2 . 2 ou 22. Logo, 2 a raiz quadrada de 4. Indica-se 4= 2.Exemplo 2 91Representaoproduto 31.31ou231|.|

\|.Logo,31araiz quadrada de 91.Indica-se 91= 31Exemplo 30,216 Representa o produto 0,6 . 0,6 . 0,6 ou (0,6)3. Logo, 0,6 a raiz cbica de 0,216. Indica-se 3216 , 0 = 0,6.Assim, podemos construir o diagrama:N Z QUmnmeroracional,quandoelevadoaoquadrado,do nmero zero ou um nmero racional positivo. Logo, os nmeros racionais negativos no tm raiz quadrada em Q.Didatismo e ConhecimentoRACIOCNIO LGICO24O nmero 9100no tem raiz quadrada em Q, pois tanto 310 como 310+, quando elevados ao quadrado, do 9100.Um nmero racional positivo s tem raiz quadrada no conjunto dos nmeros racionais se ele for um quadrado perfeito.O nmero 32 no tem raiz quadrada em Q, pois no existe nmero racional que elevado ao quadrado d 32.Exerccios1. Calcule o valor das expresses numricas:a) 247 ((

|.|

\|+ |.|

\|436781125b) ((

+|.|

\||.|

\|+25121:163 |.|

\|27492.Escrevaoproduto 7 332.32|.|

\|+|.|

\|+ comoumas potncia. 3.Escrevaoquociente 4 122516:2516|.|

\||.|

\| comouma s potncia. 4. Qual o valor da expresso |.|

\|+|.|

\| 43:2124133?5. Para encher um lbum de fgurinhas, Karina contribuiu com 61dasfgurinhas,enquantoCristinacontribuiucom 43 das fgurinhas. Com que frao das fgurinhas as duas juntas contriburam?6. Ana est lendo um livro. Em um dia ela leu 41 do livro e no dia seguinte leu 61 do livro. Ento calcule:a) A frao do livro que ela j leu.b) A frao do livro que falta para ela terminar a leitura.7. Em um pacote h 54 de 1 Kg de acar. Em outro pacote h 31 . Quantos quilos de acar o primeiro pacote tem a mais que o segundo?8. AruaondeCludiamoraestsendoasfaltada.Os 95 daruajforamasfaltados.Quefraodaruaaindaresta asfaltar?9.Nodiadolanamentodeumprdiodeapartamentos, 61desses apartamentos foi vendido e foi reservado. Assim:a)Qualafraodosapartamentosquefoivendidae reservada?b)Qualafraoquecorrespondeaosapartamentosque no foram vendidos ou reservados?10. Transforme em frao:a) 2,08b) 1,4c) 0,017d) 32,17Respostas1) Soluo:a) 247- ((

|.|

\|+ |.|

\|436781125b) ((

+|.|

\||.|

\|+25121:163 |.|

\|2749mmc:(4;2)=42) Soluo:1032|.|

\|+3) Soluo:82516|.|

\|4) Soluo:|.|

\|+|.|

\| 43:2124133Didatismo e ConhecimentoRACIOCNIO LGICO255) Resposta 1211Soluo: 6) Soluo:a) b) 7) Respostas 157Soluo: 8) Resposta 94Soluo:9) Soluo:a) b) 10) Soluo:a) 2,08 b) 1,4 c) 0,017 d) 32,17 LGEBRAClculos AlgbricosExpresses Algbricas:Soaquelasquecontmnmerose letras.Ex: 2ax + bxVariveis:Soasletrasdasexpressesalgbricasque representam um nmero real e que de princpio no possuem um valor defnido. Valor numrico de uma expresso algbrica o nmero que obtemossubstituindoasvariveispornmeroseefetuamossuas operaes. Ex:Sendox=1ey=2,calculeovalornumrico(VN)da expresso: x + y 1+ 2 = 3Portando o valor numrico da expresso 3.Monmio:Osnmeroseletrasestoligadosapenaspor produtos. Ex: 4x Polinmio: a soma ou subtrao de monmios.Ex: 4x + 2y Termos semelhantes: So aqueles que possuem partes literais iguais (variveis) Ex:2xyze3xyz sotermossemelhantespois possuem a mesma parte literal. Adio e Subtrao de expresses algbricas Paradeterminarmosasomaousubtraodeexpresses algbricas, basta somar ou subtrair os termos semelhantes. Assim: 2 x y z + 3x y z = 5x y z ou 2 x y z -3x y z = -x y z Convm lembrar-se dos jogos de sinais. Na espresso(x + 2 y + 1) (y - 2) = x +2 y + 1 y + 2 = x + y +3 Multiplicaoe Diviso de expresses algbricasNa multiplicao e diviso de expresses algbricas, devemos usar a propriedade distributiva.Exemplos:1) a (x + y) = ax + ay 2) (a + b).(x + y) = ax + ay + bx + by 3) x (x + y) = x + xy Para multiplicarmos potncias de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes. Na diviso de potncias devemos conservar a base e subtrair os expoentes Exemplos:1) 4x 2x = 2x2) (6x - 8x)2x = 3x - 43 ) =Didatismo e ConhecimentoRACIOCNIO LGICO26Resoluo:Para iniciarmos as operaes devemos saber o que so termos semelhantes. Dizemos que um termo semelhante do outro quando suas partes literais so idnticas.Veja:5x2 e 42x so dois termos, as suas partes literais so x2 e x, as letras so iguais, mas o expoente no, ento esses termos no so semelhantes. 7ab2 e 20ab2 so dois termos, suas partes literais so ab2 e ab2, observamosqueelassoidnticas,entopodemosdizerque so semelhantes. Adio e subtrao de monmios S podemos efetuar a adio e subtrao de monmios entre termos semelhantes. E quando os termos envolvidos na operao de adio ou subtrao no forem semelhantes, deixamos apenas a operao indicada.Veja: Dadoostermos5xy2,20xy2,comoosdoistermosso semelhantes eu posso efetuar a adio e a subtrao deles.5xy2 +20xy2devemossomarapenasoscoefcientese conservar a parte literal. 25 xy25xy2-20xy2devemossubtrairapenasoscoefcientese conservar a parte literal. - 15 xy2 Veja alguns exemplos: - x2 - 2x2 + x2 como os coefcientes so fraes devemos tirar o mmc de 6 e 9. 3x2 - 4 x2 + 18 x21817x2 18 -4x2+12y37y35x2devemosprimeirounirostermos semelhantes: 12y37y3+4x25x2agoraefetuamos a somae a subtrao.5y3 x2 como os dois termos restantes no so semelhantes, devemos deixar apenas indicado operao dos monmios. Reduzaostermossemelhantesnaexpresso4x25x-3x+ 2x2.Depoiscalculeoseuvalornumricodaexpresso.4x2 5x - 3x + 2x2 reduzindo os termos semelhantes. 4x2 + 2x2 5x - 3x 6x2 - 8x os termos esto reduzidos, agora vamos achar o valor numrico dessa expresso. Para calcularmos o valor numrico de uma expresso devemos ter o valor de sua incgnita, que no caso do exerccio a letra x. Vamos supor que x = - 2, ento substituindo no lugar do x o -2 termos: 6x2 - 8x 6 . (-2)2 8 . (-2) = 6 . 4 + 16 = 24 + 16 40 Multiplicao de monmios Para multiplicarmos monmios no necessrio que eles sejam semelhantes,bastamultiplicarmoscoefcientecomcoefcientee parteliteralcomparteliteral.Sendoquequandomultiplicamos as partes literais devemos usar a propriedade da potncia que diz: am.an = am+n(basesiguaisnamultiplicaorepetimosabasee somamos os expoentes). (3a2b).(- 5ab3) na multiplicao dos dois monmios, devemos multiplicar os coefcientes 3 . (-5) e na parte literal multiplicamos as que tm mesma base para que possamos usar a propriedade am . an = am + n.3 . ( - 5) . a2 . a . b . b3-15 a2 +1 b1 + 3 -15 a3b4 Diviso de monmiosPara dividirmos os monmios no necessrio que eles sejam semelhantes, basta dividirmos coefciente com coefciente e parte literalcomparteliteral.Sendoquequandodividirmosaspartes literais devemos usar a propriedade da potncia que diz: aman = am-n(basesiguaisnadivisorepetimosabaseediminumosos expoentes), sendo que a 0. (-20x2y3)(-4xy3)nadivisodosdoismonmios,devemos dividir os coefcientes -20 e -4 e na parte literal dividirmos as que tm mesma base para que possamos usar a propriedade aman = am n. -20( 4) . x2x . y3y3 5 x2 1 y3 3 5x1y0 5x Potenciao de monmios Napotenciaodemonmiosdevemosnovamenteutilizar uma propriedade da potenciao:I - (a . b)m = am . bm II - (am)n = am . n Didatismo e ConhecimentoRACIOCNIO LGICO27Veja alguns exemplos:(-5x2b6)2aplicando a propriedade I - (-5)2 . (x2)2 . (b6)2 aplicando a propriedadeII - 25 . x4 . b12 25x4b12BinmioDenomina-se Binmio de Newton, a todo binmio da forma (a + b)n, sendo n um nmero natural. Exemplo:B = (3x - 2y)4 ( onde a = 3x, b = -2y e n = 4 [grau do binmio] ). Exemplos de desenvolvimento de binmios de Newton:a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4 d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5 Nota:Nonecessriomemorizarasfrmulasacima,jqueelas possuem uma lei de formao bem defnida, seno vejamos:Vamos tomar, por exemplo, o item (d) acima:Observequeoexpoentedoprimeiroeltimostermosso iguais ao expoente do binmio, ou seja, igual a 5. A partir do segundo termo, os coefcientes podem ser obtidos a partir da seguinte regra prtica de fcil memorizao: Multiplicamosocoefcientedeapeloseuexpoentee dividimosoresultadopelaordemdotermo.Oresultadosero coefcientedoprximotermo. Assimporexemplo,paraobtero coefciente do terceiro termo do item (d) acima teramos:5 x 4 = 20; agora dividimos 20 pela ordem do termo anterior (2 por se tratar do segundo termo) 20/2 = 10 que o coefciente do terceiro termo procurado.Observe que os expoentes da varivel a decrescem de n at 0 e os expoentes de b crescem de 0 at n. Assim o terceiro termo 10 a3b2 (observe que o expoente de a decresceu de 4 para 3 e o de b cresceude 1 para 2). Usando a regra prtica acima, o desenvolvimento do binmio de Newton (a + b)7 ser:(a + b)7 = a7 + 7 a6b + 21 a5b2 + 35 a4b3 + 35 a3b4 + 21 a2b5 + 7 ab6 + b7 Como obtivemos, por exemplo, o coefciente do 6 termo (21 a2b5)?Pela regra: Coefciente do termo anterior = 35. Multiplicamos 35 pelo expoente de a que igual a 3 e dividimos o resultado pela ordem do termo que 5.Ento,35x3=105edividindopor5(ordemdotermo anterior)vem105/5=21,queocoefcientedosextotermo, conforme se v acima. Observaes:1) O desenvolvimento do binmio (a + b)n um polinmio.2) O desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos .3) Os coefcientes dos termos equidistantes dos extremos , no desenvolvimento de (a + b)n so iguais .4) A soma dos coefcientes de (a + b)n igual a 2n . Frmula do termo geral de um Binmio de Newton Um termo genrico Tp+1 do desenvolvimento de (a + b)n, sendo p um nmero natural, dado por:Tp+1 = an p . bp, onde:Cn.p = denominadoNmeroBinomialeCn.p onmerode combinaes simples de n elementos, agrupados p a p, ou seja, o nmero de combinaes simples de n elementos de taxa p.EstenmerotambmconhecidocomoNmero Combinatrio. Exerccios 1. Determine o 7 termo do binmio (2x + 1)9, desenvolvido segundo as potncias decrescentes de x.2. Qual o termo mdio do desenvolvimento de (2x + 3y)8?3.Desenvolvendoobinmio(2x-3y)3n,obtemosum polinmio de 16 termos. Qual o valor de n? 4. Determine o termo independente de x no desenvolvimento de (x +)6.5. Calcule: (3x+2x-1) + (-2x+4x+2).6. Efetue e simplifque o seguinte calculo algbrico: (2x+3).(4x+1).7. Efetue e simplifque os seguintes clculos algbricos:a) (x - y).(x - xy + y)b) (3x - y).(3x + y).(2x - y)8. Dada a expresso algbrica bc b2, determine o seu va-lor numrico quando b = 2,2 e c = 1,8.9. Calcule o valor numrico da expresso 2x3 10y, quan-do x = -3 e y = -4.10.Umcadernocurtayreais.Gluciacomprou4cader-nos, Cristina comprou 6 cadernos, e Karina comprou 3. Qual o monmio que expressa a quantia que as trs gastaram jun-tas?Respostas1) Resposta 672x3.Soluo: Primeiro temos que aplicar a frmula do termo geral de (a + b)n, onde:a = 2x b = 1n = 9 Como queremos o stimo termo, fazemos p = 6 na frmula do termo geral e efetuamos os clculos indicados. Didatismo e ConhecimentoRACIOCNIO LGICO28Temos ento:T6+1 = T7 = C9,6 . (2x)9-6(1)6 = Portanto o stimo termo procurado 672x3.2) Resposta 90720x4y4.Soluo: Temos:a = 2x b = 3yn = 8 Sabemosqueodesenvolvimentodobinmioter9termos, porque n = 8. Ora sendo T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 os termos do desenvolvimento do binmio, o termo do meio (termo mdio) ser o T5 (quinto termo). Logo, o nosso problema resume-se ao clculo do T5. Para isto, basta fazer p = 4 na frmula do termo geral e efetuar os clculos decorrentes. Teremos:T4+1 = T5 = C8,4 . (2x)8-4 . (3y)4 = (2x)4 . (3y)4 = .16x4 . 81y4Fazendo as contas vem:T5=70.16.81.x4.y4=90720x4y4,queotermomdio procurado. 3) Resposta 5.Soluo: Ora, se o desenvolvimento do binmio possui 16 ter-mos, ento o expoente do binmio igual a 15. Logo, 3n = 15 de onde se conclui que n = 5.4) Resposta 20.Soluo:Sabemosqueotermoindependentedexaquele que no depende de x, ou seja, aquele que no possui x.Temos no problema dado:a = xb = n = 6. Pela frmula do termo geral, podemos escrever: Tp+1 = C6,p . x6-p . ()p = C6,p . x6-p . x-p = C6,p . x6-2p . Ora,paraqueotermosejaindependentedex,oexpoente desta varivel deve ser zero, pois x0 = 1. Logo, fazendo 6 - 2p = 0, obtemos p = 3. Substituindo ento p por 6, teremos o termo procurado. Temos ento:T3+1 = T4 = C6,3 . x0 = C6,3 = Logo, o termo independente de x o T4 (quarto termo) que igual a 20. 5) Soluo: (3x+2x-1) + (-2x+4x+2)3x + 2x 1 2x + 4x + 2 = x + 6x + 16) Soluo:(2x+3).(4x+1)8x + 2x + 12x + 3 =8x + 14x + 37) a - Soluo:(x - y).(x - xy + y)x - xy + xy - xy + xy - y =x - 2xy + 2xy - y =b - Soluo:(3x - y).(3x + y).(2x - y)(3x - y).(6x - 3xy + 2xy - y) =(3x - y).(6x - xy - y) =18x - 3xy - 3xy - 6xy + xy + y =18x - 9xy - 2xy + y8) Resposta -0,88.Soluo:bc b2 = 2,2 . 1,8 2,22 = (Substitumos as letras pelos valores passa-dos no enunciado) 3,96 4,84 = -0,88.Portanto, o valor procurado 0,88.9) Resposta -14.Soluo: 2x3 10y =2.(-3)-10.(-4)=(Substitumosasletraspelosvaloresdo enunciado da questo)2.(27) 10.(-4) = (-54) (-40) = -54 + 40 = -14.Portanto -14 o valor procurado na questo.10) Resposta 13y reais.Soluo:ComoGluciagastou4yreais,Cristina6yreaise Karina 3y reais, podemos expressar essas quantias juntas por:4y + 6y + 3y = (4 + 6 + 3)y = 13yImportante: Numa expresso algbrica, se todos os monmios outermossosemelhantes,podemostornarmaissimplesa expressosomandoalgebricamenteoscoefcientesnumricose mantendo a parte literal.Didatismo e ConhecimentoRACIOCNIO LGICO29GEOMETRIA BSICAA defnio dos entes primitivos ponto, reta e plano quase impossvel, o que se sabe muito bem e aqui ser o mais importante sua representao geomtrica e espacial.Representao, (notao)Pontosserorepresentadosporletraslatinasmaisculas; ex: A, B, C, Retas sero representados por letras latinas minsculas; ex: a, b, c,Planosserorepresentadosporletrasgregasminsculas; ex: ,,,...Representao grfca Postuladosprimitivosdageometria,qualquerpostuladoou axioma aceito sem que seja necessria a prova, contanto que no exista a contraprova.- Numa reta bem como fora dela h infnitos pontos distintos.-Doispontosdeterminamumanicareta(umaesomente uma reta).- Pontos colineares pertencem mesma reta.- Trs pontos determinam um nico plano.- Se uma reta contm dois pontos de um plano, esta reta est contida neste plano.- Duas retas so concorrentes se tiverem apenas um ponto em comum. Observe que. Sendo que H est contido na reta r e na reta s.UmplanoumsubconjuntodoespaoR3detalmodoque quaisquerdoispontosdesseconjuntopodemserligadosporum segmento de reta inteiramente contida no conjunto. UmplanonoespaoR3podeserdeterminadoporqualquer uma das situaes: - Trs pontos no colineares (no pertencentes mesma reta); - Um ponto e uma reta que no contem o ponto; - Um ponto e um segmento de reta que no contem o ponto; - Duas retas paralelas que no se sobrepe; - Dois segmentos de reta paralelos que no se sobrepe; - Duas retas concorrentes; - Dois segmentos de reta concorrentes. Duasretas(segmentosdereta)noespaoR3podemser: paralelas, concorrentes ou reversas. Duas retas so ditas reversas quando uma no tem interseo com a outra e elas no so paralelas. Pode-se pensar de uma reta r desenhada no cho de uma casa e uma reta s desenhada no teto dessa mesma casa. Didatismo e ConhecimentoRACIOCNIO LGICO30UmaretaperpendicularaumplanonoespaoR3,seela intersectaoplanoemumpontoPetodosegmentodereta contidonoplanoquetemPcomoumadesuasextremidades perpendicular reta. Uma reta r paralela a um plano no espao R3, se existe uma reta s inteiramente contida no plano que paralela reta dada. Seja P um ponto localizado fora de um plano. A distncia do ponto ao plano a medida do segmento de reta perpendicular ao plano em que uma extremidade o ponto P e a outra extremidade o ponto que a interseo entre o plano e o segmento.Se o ponto P estiver no plano, a distncia nula. Planos concorrentes no espao R3 so planos cuja interseo uma reta.PlanosparalelosnoespaoR3soplanosquenotem interseo. Quando dois planos so concorrentes, dizemos que tais planos formamumdiedroeonguloformadoentreestesdoisplanos denominado ngulo diedral. Para obter este ngulo diedral, basta tomar o ngulo formado por quaisquer duas retas perpendiculares aos planos concorrentes. Planos normais so aqueles cujo ngulo diedral um ngulo reto (90 graus).Razo entre Segmentos de RetaSegmento de reta o conjunto de todos os pontos de uma reta queestolimitadospordoispontosquesoasextremidadesdo segmento, sendo um deles o ponto inicial e o outro o ponto fnal. Denotamos um segmento por duas letras como, por exemplo, AB, sendo A o incio e B o fnal do segmento.ExemploAB um segmento de reta que denotamos por AB.A _____________ BNo possvel dividir um segmento de reta por outro, mas possvel realizar a diviso entre as medidas dos dois segmentos.Consideremos os segmentos AB e CD, indicados:A ________ Bm(AB) = 2cmC ______________ Dm(CD) = 5 cmA razo entre os segmentos AB e CD, denotado aqui por, AB/CD, defnida como a razo entre as medidas desses segmentos, isto : AB/CD = 2/5Segmentos ProporcionaisProporoaigualdadeentreduasrazesequivalentes.De forma semelhante aos que j estudamos com nmeros racionais, possvel estabelecer a proporcionalidade entre segmentos de reta, atravs das medidas desse segmentos.Vamosconsiderarprimeiramenteumcasoparticularcom quatro segmentos de reta:m(AB) = 2cm A______B P__________Q m(PQ) =4 cmm(CD) = 3cm C__________D R_______________S m(RS) = 6cmArazoentreossegmentosABeCDearazoentreos segmentosPQeRS,sodadasporfraesequivalentes,isto: AB/CD = 2/3; PQ/RS = 4/6 e como 2/3 = 4/6, segue a existncia deumaproporoentreessesquatrosegmentosdereta.Istonos conduz defnio de segmentos proporcionais.Diremosquequatrosegmentosdereta, AB,BC,CDeDE, nesta ordem, so proporcionais se: AB/BC = CD/DEOssegmentosABeDEsoossegmentosextremoseos segmentos BC e CD so os segmentos meios.Aproporcionalidadeac