1. O REI DAS APOSTILAS www.oreidasapostilas.com.brMATEMTICA
PARA CONCURSOS
2. Matemtica para Concursos SumrioNmeros Naturais
------------------------------------------- 03Conjuntos numricos:
racionais e reais ------------------- 05Divisibilidade
------------------------------------------------- 10Nmeros Primos
--------------------------------------------- 12Mximo Divisor Comum
(mdc mmc) ---------------------- 13Nmeros Racionais
------------------------------------------ 15Nmeros Fracionrios
--------------------------------------- 16Nmeros Decimais
------------------------------------------- 21Potenciao
-------------------------------------------------- 23Radiciao
---------------------------------------------------- 24Razes e
Propores ---------------------------------------Mdia
----------------------------------------------------------
25Produtos Notveis -------------------------------------------
27Diviso Proporcional ----------------------------------------
28Regra de Trs: Simples e Composta -----------------------
29Porcentagens -------------------------------------------------
31Juros Simples ------------------------------------------------
32Juros Compostos ---------------------------------------------
34Sistemas de Medidas ----------------------------------------
35Sistema Mtrico Decimal ------------------------------------
45Equaes do 1. grau ----------------------------------------
47Equaes do 2. grau ---------------------------------------
51Sistemas ------------------------------------------------------
56Equaes -----------------------------------------------------
57Progresso aritmtica ---------------------------------------
62Progresso geomtrica ------------------------------------- 64Noes
de trigonometria ------------------------------------ 65Teorema de
Pitgoras --------------------------------------- 68Funes
exponenciais --------------------------------------- 69Logaritmos
---------------------------------------------------Polinmios
----------------------------------------------------Geometria
---------------------------------------------------- 71Noes de
probabilidade ------------------------------------ 73Noes de
estatsticas -------------------------------------- 76 Polcia
Rodoviria Federal 2
3. Matemtica para ConcursosEditado por: Flvio Nascimento Nmeros
NaturaisConjunto dos Nmeros InteirosEste mais um conjunto numrico
que devemos conhecer para futuros estudos, representadopela letra
Z.Conjunto dos Nmeros Naturais representado pela letra N.O conjunto
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14........................},
este conjunto infinito ou seja no tem fim.Este ficou pequeno para a
matemtica, observe os exemplos:a) 9 - 12 = ? b) 8 - 100 = ?Dentro
do conjunto dos nmero naturais no existe resposta para estas
perguntas, ou seja asrespostas esto dentro do conjunto dos nmeros
inteiros.Vamos conhecer este conjunto:O conjunto Z =
{....-5,-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,+5....}, observe que este
conjunto formado por nmeros negativos, zero e nmeros positivos.
Vale lembrar que zero umnmero nulo ou neutro, no negativo e nem
positivo.No seu dia a dia voc j dever ter deparado com nmeros
inteiros.Quando temos um crdito temos um nmero positivo, um dbito
um nmero negativo,temperaturas acima de zero so positivas, abaixo
de zero so negativas, tambm em relaoao nvel do mar, os pases que
esto acima do nvel do mar tem altitudes positivas, abaixo donvel do
mar altitudes negativas, se voc prestar ateno ao seu redor vai
encontrar muitosnmeros negativo e positivos.Reta Numrica
InteiraObserve que a reta tem uma seta que indica a ordem de
crescimento dos nmeros, eles estocrescendo da esquerda para a
direita, -7 menor que -6, 0 maior que -1 e assim em diante. Vamos
comparar alguns nmeros inteiros.a) -5 > -10,b) +8 > -1000,c)
-1 > -200.000,d) -200 < 0,e) -234 < -1,f) +2 > -1,g) g)
-9 < +1 Lembrete:1: Zero maior que qualquer nmero negativo.2: Um
o maior nmero negativo.3: Zero menor que qualquer nmero positivo.4:
Qualquer nmero positivo maior que qualquer nmero negativo.Nmeros
opostos ou simtricosObserve que a distancia do -3 at o zero a mesma
do +3 at o zero, estes nmeros sochamados de opostos ou simtricos.
Polcia Rodoviria Federal 3
4. Matemtica para Concursos Logo:- 2 oposto ou simtrico do + 2,
+ 20 oposto ou simtrico do - 20, - 100 oposto ousimtrico de +
100.Adio e Subtrao de Nmeros Inteiros Exemplos:a) (+3) + (+7) = + 3
+ 7 = +10 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos
nmeros)b) (-9) + (-8) = - 9 - 8 = -17 (tiramos os parentes e
conservamos os sinais dos nmeros)c) (+12) + (-10) = + 12 - 10 = +2
(tiramos os parentes e conservamos os sinais dosnmeros)d) (+15) -
(+25) = + 15 - 25 = 5 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do
nmero queestava depois da subtrao)e) (-18) - (-12) = -18 + 12 = -6
(tiramos os parentes e trocamos o sinal do nmero queestava depois
da subtrao) Lembrete:Para facilitar seu entendimento, efetue esta
operaes pensando em dbito(nmero negativo)e crdito(nmero positivo),
+ 3 + 7, tenho 3 reais se ganhar 7 fico com 10, - 15 + 10, devo15
reais se tenho s dez para pagar ainda fico devendo sete ou seja -7,
- 5 - 8, tenho umadivida de 5 reais fao mais uma divida de 8 eu
fico devendo treze ou seja -13.Multiplicao e Diviso de Nmeros
Inteiros Exemplos:a) (+5) x (+8) = + 40 ( + x + = +)b) (-8) x (-7)
= + 56 (- x - = +)c) (-4) x (+7) = - 28 (- x + = -)d) (+6) x (-7) =
- 42 (+ x - = -)e) (-8) : (-2) = + 4 (- : - = +)f) (+18) : (-6) = -
3 (+ : - = -)g) (+48) : (+2) = + 24 (+ : + = +)h) (-14) : (-7) = +
2 (- : - = +) Lembrete:Observe que a multiplicao ou diviso de
nmeros de mesmo sinal o resultado e semprepositivo, a multiplicao
ou diviso de nmeros de sinais diferentes o resultado
semprenegativo.Potenciao de Nmeros Inteiros Exemplos:a) (+3)2 =
(+3) x (+3) = + 9 b) (-2)5 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = -
32c) (-8)0 = 1 (todo nmero elevado a zero igual a 1 positivo) d)
(+9)0 = 1 (todo nmeroelevado a zero igual a 1 positivo)e) (18)1 =
18 (todo nmero elevado a um igual a ele mesmo) Importante: (-2)2 =
(-2) x (-2) = 4 diferente de - 22 = -(2) x (2) = - (4) = - 4No
primeiro caso tanto o sinal quanto ao nmero esto ao quadrado e no
segundo caso apenaso nmero est elevado ao quadrado.Radiciao de
Nmeros Inteiros Exemplos:a) (lembre-se que 5 x 5 = 25)b) (lembre-se
que 7 x 7 = 49)c) (lembre-se no existe raiz quadrada de nmero
inteiro negativo)d) (observe que neste caso o menos est fora da
raiz, sendo assim existe a raiz)e) (lembre-se (-2) x (-2) x (-2) =
- 8) Neste caso raiz cbica e no raiz quadrada.d) (lembre-se (2) x
(2) x (2) = 8) Polcia Rodoviria Federal 4
5. Matemtica para ConcursosResolvendo Expresses Numricas com
Nmeros Inteiros Primeiro eliminamos os parnteses, como antes a) - [
- 3 + 2 - ( 4 - 5 - 6)] dele tinha um sinal de menos todos os
nmeros = - [ - 3 + 2 - 4 + 5 + 6] saram com sinais trocados, logo
depois eliminamos =3-2+4-5-6 os colchetes, como tambm tinha um
sinal de = 7 - 13 menos todos os nmeros saram com os sinais =-6
trocados, somamos os positivo e o negativos Primeiro resolvemos
dentro do parnteses, depois b) { - 5 + [ - 8 + 3 x (-4 + 9) - 3]}
multiplicamos o resultado por 3, logo aps = { - 5 + [ - 8 + 3 x ( +
5 ) - 3]} eliminamos os colchetes, como antes deste tinha = { - 5 +
[ - 8 + 15 - 3]} um sinal de mais, todo os nmeros saram sem = {- 5
- 8 + 15 - 3} trocar sinal, eliminamos tambm as chaves, = - 5 - 8 +
15 - 3 observe que tambm no teve troca de sinais pelo = - 16 + 15
mesmo motivo anterior, juntamos positivo e =-1 negativos. Conjuntos
numricos: racionais e reaisConjuntoConceito primitivo; no
necessita, portanto, de definio.Exemplo: conjunto dos nmeros pares
positivos: P = {2,4,6,8,10,12, ... }.Esta forma de representar um
conjunto, pela enumerao dos seus elementos, chama-seforma de
listagem. O mesmo conjunto tambm poderia ser representado por uma
propriedadedos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer
do conjunto P acima, poderamosescrever:P = { x | x par e positivo }
= { 2,4,6, ... }.Relao de pertinnciaSendo x um elemento do conjunto
A , escrevemos x 0 A , onde o smbolo 0significa "pertencea".Sendo y
um elemento que no pertence ao conjunto A , indicamos esse fato com
a notao yA.O conjunto que no possui elementos , denominado conjunto
vazio e representado por .Com o mesmo raciocnio, e opostamente ao
conjunto vazio, define-se o conjunto ao qualpertencemtodos os
elementos, denominado conjunto universo, representado pelo smbolo
U.Assim que, pode-se escrever como exemplos:i= { x; x x} e U = {x;
x = x}.SubconjuntoSe todo elemento de um conjunto A tambm pertence
a um conjunto B, ento dizemos queA subconjunto de B e indicamos
isto por A d B.Notas:a) todo conjunto subconjunto de si prprio. ( A
dA)b) o conjunto vazio subconjunto de qualquer conjunto. ( A) idc)
se um conjunto A possui m elementos ento ele possui 2m
subconjuntos.d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um
conjunto A denominadoconjunto das partes de A e indicado por P(A).
Polcia Rodoviria Federal 5
6. Matemtica para ConcursosAssim, se A = {c, d} , o conjunto
das partes de A dado por P(A) = { , {c}, {d}, {c,d}}e) um
subconjunto de A tambm denominado parte de A.Conjuntos numricos
fundamentaisEntendemos por conjunto numrico, qualquer conjunto
cujos elementos so nmeros. Existeminfinitos conjuntos numricos,
entre os quais, os chamados conjuntos numricos fundamentais,a
saber:Conjunto dos nmeros naturaisN = {0,1,2,3,4,5,6,... }Conjunto
dos nmeros inteirosZ = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... }Obs: evidente
que N d Z.Conjunto dos nmeros racionaisQ = {x; x = p/q com p 0Z,q
0Zeq 0 }.Temos ento que nmero racional aquele que pode ser escrito
na forma de uma frao p/qonde p e q so nmeros inteiros, com o
denominador diferente de zero.Lembre-se que no existe diviso por
zero!So exemplos de nmeros racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000,
0,75=3/4, 0,333... = 1/3, 7 =7/1, etc.Notas:a) evidente que N d d Z
Q.b) toda dzima peridica um nmero racional, pois sempre possvel
escrever uma dzimaperidica na forma de uma frao.Exemplo: 0,4444...
= 4/9 _Conjunto dos nmeros irracionaisI = {x; x uma dzima no
peridica}.Exemplos de nmeros irracionais: = 3,1415926... (nmero pi
= razo entre o comprimento de qualquer circunferncia e o
seudimetro)2,01001000100001... (dzima no peridica) 3 =
1,732050807... (raiz no exata).Conjunto dos nmeros reaisR = { x; x
racional ou x irracional}.Notas:a) bvio que N dZdQdRb) I dRc) I cQ
= Rd) um nmero real racional ou irracional, no existe outra
hiptese!Intervalos numricosDados dois nmeros reais p e q, chama-se
intervalo a todo conjunto de todos nmeros reaiscompreendidos entre
p e q , podendo inclusive incluir p e q. Os nmeros p e q so os
limitesdo intervalo, sendo a diferena p - q , chamada amplitude do
intervalo.Se o intervalo incluir p e q , o intervalo fechado e caso
contrrio, o intervalo dito aberto.A tabela abaixo, define os
diversos tipos de intervalos. Polcia Rodoviria Federal 6
7. Matemtica para ConcursosTIPOS REPRESENTAO_ OBSERVAOINTERVALO
FECHADO [p;q] = {x 0 R; p x q} inclui os limites p e qINTERVALO
ABERTO exclui os limites p e q (p;q) = { x 0 R; p < x <
q}INTERVALO FECHADO A ESQUERDA inclui p e exclui q [p;q) = { x 0 R;
p x < q} (p;q] = {x 0 R; p < x q}INTERVALO FECHADO DIREIT
exclui p e inclui qINTERVALO SEMI-FECHAD valores maiores ou iguais
a p. [p; ) = {x 0 R; x p} (- ; q] = { x 0 R; x q}INTERVALO
SEMI-FECHADO valores menores ou iguais a q.INTERVALO SEMI-ABERTO
valores menores do que q. (- ; q) = { x 0 R; x < q}INTERVALO
SEMI-ABERTO (p; ) = { x > p } valores maiores do que p.Nota:
fcil observar que o conjunto dos nmeros reais, (o conjunto R) pode
ser representadona formade intervalo como R = ( - ; + ).Operaes com
conjuntosUnio ( c)Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto
unio A c B = { x; x 0 A ou x 0 B}.Exemplo: {0,1,3} c { 3,4,5 } = {
0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto uniocontempla
todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B.Propriedades
imediatas:a) A cA=Ab) A c = Ac) A c B = B c A (a unio de conjuntos
uma operao comutativa)d) A c U = U , onde U o conjunto
universo.Interseo ( 1)Dados os conjuntos A e B , define-se o
conjunto interseo A 1 B = {x; x 0 A e x 0 B}.Exemplo: {0,2,4,5} 1{
4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto
interseocontempla os elementos que so comuns aos conjuntos A e
B.Propriedades imediatas:a) A 1A=Ab) A 1 i = ic) A 1 B = B 1 A ( a
interseo uma operao comutativa)d) A 1 U = A onde U o conjunto
universo.So importantes tambm as seguintes propriedades :P1. A 1 (
B c C ) = (A 1 B) c ( A 1 C) (propriedade distributiva)P2. A c ( B
1 C ) = (A c B ) 1 ( A c C) (propriedade distributiva)P3. A 1 (A c
B) = A (lei da absoro)P4. A c (A 1 B) = A (lei da absoro) Polcia
Rodoviria Federal 7
8. Matemtica para ConcursosObs: Se A 1 B = , ento dizemos que
os conjuntos A e B so Disjuntos.Diferena A - B = {x ; x 0 Aex
B}.Observe que os elementos da diferena so aqueles que pertencem ao
primeiro conjunto, masno pertencem ao segundo.Exemplos:{ 0,5,7} -
{0,7,3} = {5}.{1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}.Propriedades
imediatas:a) A - = Ab) - A = c) A - A =d) A - B B - A ( a diferena
de conjuntos no uma operao comutativa).Complementar de um
conjuntoTrata-se de um caso particular da diferena entre dois
conjuntos. Assim , que dados doisconjuntos A e B, com a condio de
que B dA , a diferena A - B chama-se, neste caso,complementar de B
em relao a A .Simbologia: CAB = A - B.Caso particular: O
complementar de B em relao ao conjunto universo U, ou seja , U - B
,indicado pelo smbolo B .Observe que o conjunto B formado por todos
os elementos queno pertencem ao conjunto B, ou seja:B = {x; x B}.
bvio, ento, que:a) B 1 B = b) B 1 B = Uc) = Ud) U = _Partio de um
conjuntoSeja A um conjunto no vazio. Define-se como partio de A, e
representa-se por part(A),qualquer subconjunto do conjunto das
partes de A (representado simbolicamente porP(A)), que satisfaz
simultaneamente, s seguintes condies:1 - nenhuma dos elementos de
part(A) o conjunto vazio.2 - a interseo de quaisquer dois elementos
de part(A) o conjunto vazio.3 - a unio de todos os elementos de
part(A) igual ao conjunto A.Exemplo: Seja A = {2, 3, 5}Os
subconjuntos de A sero: {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5},
{2,3,5}, e o conjunto vazio- .Assim, o conjunto das partes de A
ser:P(A) = { {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, }Vamos
tomar, por exemplo, o seguinte subconjunto de P(A):X = { {2}, {3,5}
}Observe que X uma partio de A - cuja simbologia part(A) - pois:a)
nenhum dos elementos de X .b) {2} 1 {3, 5} = c) {2} U {3, 5} = {2,
3, 5} = ASendo observadas as condies 1, 2 e 3 acima, o conjunto X
uma partio do conjunto A.Observe que Y = { {2,5}, {3} } ; W = {
{5}, {2}, {3} }; S = { {3,2}, {5} } sooutros exemplos de parties do
conjunto A.Outro exemplo: o conjunto Y = { {0, 2, 4, 6, 8, ...},
{1, 3, 5, 7, ...} } uma partio doconjunto N dos nmeros naturais,
pois {0, 2, 4, 6, 8, ...} {1, 3, 5, 7, ...} = e {0, 2, 4, 6,8, ...}
U {1, 3, 5, 7, ...} = N . Polcia Rodoviria Federal 8
9. Matemtica para ConcursosNmero de elementos da unio de dois
conjuntosSejam A e B dois conjuntos, tais que o nmero de elementos
de A seja n(A) e o nmero deelementos de B seja n(B).Nota: o nmero
de elementos de um conjunto, tambm conhecido com cardinal do
conjunto.Representando o nmero de elementos da interseo A 1 B por
n(A 1 B) e o nmero de c B por n(A c B) , podemos escrever a
seguinte frmula:elementos da unio An(A c B) = n(A) + n(B) - n(A c
B)Exerccios1) USP-SP - Depois de n dias de frias, um estudante
observa que:a) choveu 7 vezes, de manh ou tarde;b) quando chove de
manh no chove tarde;c) houve 5 tardes sem chuva;d) houve 6 manhs
sem chuva.Podemos afirmar ento que n igual a:a)7b)8c)9d)10e)112) 52
pessoas discutem a preferncia por dois produtos A e B, entre outros
e conclui-se que onmero de pessoas que gostavam de B era:I - O
qudruplo do nmero de pessoas que gostavam de A e B;II - O dobro do
nmero de pessoas que gostavam de A;III - A metade do nmero de
pessoas que no gostavam de A nem de B.Nestas condies, o nmero de
pessoas que no gostavam dos dois produtos igual
a:a)48b)35c)36d)47e)373) UFBA - 35 estudantes estrangeiros vieram
ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, S. Paulo e11, Salvador. Desses
estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e , desses 5, 3
visitaramtambm So Paulo. O nmero de estudantes que visitaram Manaus
ou So Paulo foi:a) 29b) 24c) 11d) 8e) 54) FEI/SP - Um teste de
literatura, com 5 alternativas em que uma nica
verdadeira,referindo-se data de nascimento de um famoso escritor,
apresenta as seguintes alternativas:a)sculo XIXb)sculo XXc)antes de
1860d)depois de 1830e)nenhuma das anterioresPode-se garantir que a
resposta correta :a)ab)bc)cd)de)e Polcia Rodoviria Federal 9
10. Matemtica para Concursos5) - Se um conjunto A possui 1024
subconjuntos, ento o cardinal de A igual a:a) 5b) 6c) 7d) 9e)106) -
Aps um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das
10 pessoaspresentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa
Y e 3 comeram as duas.Quantas no comeram nenhuma ?a) 1b) 2c) 3d)
4e) 07) PUC-SP - Se A = e B = { }, ento:a) A 0Bb) A c B = ic) A =
Bd) A 1B=Be) B d A8) FGV-SP - Sejam A, B e C conjuntos finitos. O
nmero de elementos de A 1 B 30, onmero de elementos de A 1 C 20 e o
nmero de elementos de A 1 B 1 C 15.Ento o nmero de elementos de A 1
(B c C) igual a:a)35b)15c)50d)45e)209) Sendo a e b nmeros reais
quaisquer, os nmeros possveis de elementos do conjuntoA = {a, b,
{a}, {b}, {a,b} } so:a)2 ou 5b)3 ou 6c)1 ou 5d)2 ou 6e)4 ou
5RESULTADO1) c 2) a 3) a 4) c 5) e 6) a 7) a 8) a 9) a
DivisibilidadeCritrios de divisibilidadeSo critrios que nos permite
verificar se um nmero divisvel por outro sem precisarmosefetuar
grandes divises.Divisibilidade por 2 Um nmero natural divisvel por
2 quando ele termina em 0, ou 2, ou4, ou 6, ou 8, ou seja, quando
ele par. Polcia Rodoviria Federal 10
11. Matemtica para ConcursosExemplos : 8490 divisvel por 2,
pois termina em 0. 895 no divisvel por 2, pois no um nmero
par.Divisibilidade por 3 Um nmero divisvel por 3 quando a soma dos
valores absolutos dosseus algarismos for divisvel por 3.Exemplo:870
divisvel por 3, pois a soma de seus algarismos igual a 8+7+0=15,
como 15 divisvelpor 3, ento 870 divisvel por 3.Divisibilidade por 4
Um nmero divisvel por 4 quando termina em 00 ou quando o
nmeroformado pelos dois ltimos algarismos da direita for divisvel
por 4.Exemplo:9500 divisvel por 4, pois termina em 00.6532 divisvel
por 4, pois 32 divisvel por 4.836 divisvel por 4, pois 36 divisvel
por 4.9870 no divisvel por 4, pois no termina em 00 e 70 no
divisvel por 4.Divisibilidade por 5 Um nmero natural divisvel por 5
quando ele termina em 0 ou 5.Exemplos: 425 divisvel por 5, pois
termina em 5. 78960 divisvel por 5, pois termina em 0. 976 no
divisvel por 5, pois no termina em 0 nem em 5.Divisibilidade por 6
Um nmero divisvel por 6 quando divisvel por 2 e por 3 ao
mesmotempo.Exemplos:942 divisvel por 6, porque divisvel por 2 e por
3 ao mesmo tempo.6456 divisvel por 6, porque divisvel por 2 e por 3
ao mesmo tempo.984 no divisvel por 6, divisvel por 2, mas no
divisvel por 3.357 no divisvel por 6, divisvel por 3, mas no
divisvel por 2.Divisibilidade por 8 Um nmero divisvel por 8 quando
termina em 000, ou quando onmero formado pelos trs ltimos
algarismos da direita for divisvel por 8.Exemplos:2000 divisvel por
8, pois termina em 000.98120 divisvel por 8, pois 120 divisvel por
8.98112 divisvel por 8, pois 112 divisvel por 8.78341 no divisvel
por 8, pois 341 no divisvel por 8.Divisibilidade por 9 Um nmero
divisvel por 9 quando a soma dos valores absolutos dosseus
algarismos for divisvel por 9.Exemplo:6192 divisvel por 9, pois a
soma de seus algarismos igual a 6+1+9+2=18, e como 18 divisvel por
9, ento 6192 divisvel por 9.Divisibilidade por 10 Um nmero natural
divisvel por 10 quando ele termina em 0.Exemplos:8970 divisvel por
10, pois termina em 0.5987 no divisvel por 10, pois no termina em
0.Divisibilidade por 11 Um nmero divisvel por 11 quando a diferena
entre as somas dosvalores absolutos dos algarismos de ordem mpar e
a dos de ordem par divisvel por 11.Exemplos:87549 Si (soma das
ordens mpares) = 9+5+8 = 22 Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11
Si - Sp = 22 - 11 = 11 Como 11 divisvel por 11, ento o nmero 87549
divisvel por 11.439087 Si (soma das ordens mpares) = 7+0+3 = 10
Polcia Rodoviria Federal 11
12. Matemtica para Concursos Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4
= 21 Si - Sp = 10 - 21 Como a subtrao no pode ser realizada,
acrescenta-se o menor mltiplo de 11 (diferentede zero) ao minuendo,
para que a subtrao possa ser realizada: 10+11 = 21. Ento temos
asubtrao 21-21 = 0. Como zero divisvel por 11, o nmero 439087
divisvel por 11.Divisibilidade por 12 Um nmero divisvel por 12
quando divisvel por 3 e por 4.Exemplos:1200 divisvel por 12, porque
divisvel por 3 e por 4 ao mesmo tempo.870 no divisvel por 12
divisvel por 3, mas no divisvel por 4.8936 no divisvel por 12
divisvel por 4, mas no divisvel por 3.Divisibilidade por 15 Um
nmero divisvel por 15 quando divisvel por 3 e por 5 aomesmo
tempo.Exemplos:9105 divisvel por 15, porque divisvel por 3 e por 5
ao mesmo tempo.9831 no divisvel por 15 divisvel por 3, mas no
divisvel por 5.680 no divisvel por 15 divisvel por 5, mas no
divisvel por 3. Nmeros PrimosDevemos antes de tudo lembrar o que so
nmeros primos. Definimos como nmeros primosaqueles que so divisveis
apenas por 1 e ele mesmo.Exemplos:2 tem apenas os divisores 1 e 2,
portanto 2 primo.23 tem apenas os divisores 1 e 23, portanto 23
primo.10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 no
primo.Ateno:1 no um nmero primo, porque ele tem apenas um divisor
ele mesmo.2 o nico nmero primo que par.Os nmeros que tm mais de
dois divisores so chamados nmeros compostos.Exemplo: 36 tem mais de
dois divisores ento 36 um nmero composto.Como saber se um nmero
primoDevemos dividir o nmero dado pelos nmeros primos menores que
ele, at obter umquociente menor ou igual ao divisor.Se nenhum das
divises for exata, o nmero primo.Decomposio em fatores primos Todo
nmero natural, maior que 1, pode ser escrito na forma de uma
multiplicao emque todos os fatores so nmeros primos. o que ns
chamamos de forma fatorada de umnmero Decomposio do nmero 36: 36 =
9 x 4 36 = 3 x 3 x 2 x 2 36 = 3 x 3 x 2 x 2 = 22 x 32 No produto 2
x 2 x 3 x 3 todos os fatores so primos. Chamamos de fatorao de 36 a
decomposio de 36 num produto de fatores primos. Ento a fatorao de
36 22 x 32Mtodo Prtico Escrever a Forma Fatorada de um Nmero
Natural Existe um dispositivo prtico para fatorar um nmero.
Acompanhe, no exemplo, ospassos para montar esse dispositivo:
Dividimos o nmero pelo seu menor divisor primo;2 A seguir, dividir
o quociente obtido pelo seu menor divisor primo.3 Proceder dessa
forma, da por diante, at obter o quociente 1.4 A forma fatorada do
nmero120 = 23 x 3 x 5 Polcia Rodoviria Federal 12
13. Matemtica para ConcursosDeterminao dos divisores de um
nmero Na prtica determinamos todos os divisores de um nmero
utilizando os seus fatoresprimos. Vamos determinar, por exemplo, os
divisores de 72:1 Fatoramos o nmero 72.2 Traamos uma linha e
escrevemos o 1 no alto, porque ele divisor de qualquer nmero.3
Multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores j
obtidos e escrevemosesses produtos ao lado de cada fator primo.4 Os
divisores j obtidos no precisam ser repetidos.Ento o conjunto dos
divisores de 72 = {1,2,3,4,6,8,9,12,18,36,72} Mximo Divisor Comum
(mdc) O mximo divisor comum entre dois ou mais nmeros naturais no
nulos (nmeros diferentes de zero) o maior nmero que divisor ao
mesmo tempo de todos eles.No vamos aqui ensinar todos as formas de
se calcular o mdc, vamos nos ater apenas aalgumas delas.Regra das
divises sucessivasEsta regra bem prtica para o calculo do mdc,
observe:Exemplo:Vamos calcular o mdc entre os nmeros 160 e 24.
Polcia Rodoviria Federal 13
14. Matemtica para Concursos 1: Dividimos o nmero maior pelo
menor. 2: Como no deu resto zero, dividimos o divisor pelo resto da
diviso anterior. 3: Prosseguimos com as divises sucessivas at obter
resto zero.O mdc (64; 160) = 32Para calcular o mdc entre trs ou
mais nmeros, devemos coloca-los em ordem decrescente ecomeamos a
calcular o mdc dos dois primeiros. Depois, o mdc do resultado
encontrado e oterceiro nmero dado. E assim por diante.Exemplo:Vamos
calcular o mdc entre os nmeros 18, 36 e 63.Observe que primeiro
calculamos o mdc entre os nmeros 36 e 18, cujo mdc 18,
depoiscalculamos o mdc entre os nmeros 63 e 18(mdc entre 36 e 18).O
mdc (18; 36; 63) = 9.Regra da decomposio simultneaEscrevemos os
nmeros dados, separamos uns dos outros por vrgulas, e colocamos um
traovertical ao lado do ltimo. No outro lado do trao colocamos o
menor dos fatores primos quefor divisor de todos os nmeros de uma s
vs.O mdc ser a multiplicao dos fatores primos que sero
usados.Exemplos: mdc (80; 40; 72; 124) mdc (12;
64)Propriedade:Observe o mdc (4, 12, 20), o mdc entre estes nmeros
4. Voc deve notar que 4 divisor de12, 20 e dele mesmo.Exemplomdc
(9, 18, 27) = 9, note que 9 divisor de 18 e 27.mdc (12, 48, 144) =
12, note que 12 divisor de 48 e 144.Mnimo Mltiplo Comum (mmc) O
mnimo mltiplo comum entre dois ou mais nmeros naturais no
nulos(nmeros diferente de zero), o menor nmero que mltiplo de todos
eles.Regra da decomposio simultnea Polcia Rodoviria Federal 14
15. Matemtica para ConcursosDevemos saber que existe outras
formas de calcular o mmc, mas vamos nos ater apenas adecomposio
simultnea.OBS: Esta regra difere da usada para o mdc, fique atento
as diferenas.Exemplos: mmc (18, 25, 30) = 720 1: Escrevemos os
nmeros dados, separados por vrgulas, e colocamos um trao vertical a
direita dos nmeros dados. 2: Abaixo de cada nmero divisvel pelo
fator primo colocamos o resultado da diviso. O nmeros no divisveis
pelo fator primo so repetidos. 3: Continuamos a diviso at obtermos
resto 1 para todos os nmeros. Observe o exemplo ao lado. mmc (4, 8,
12, 16) = 48 mmc (10, 12, 15) = 60Propriedade:Observe, o mmc (10,
20, 100) , note que o maior deles mltiplo dos menores ao
mesmotempo, logo o mmc entre eles vai ser 100.Exemplo:mmc (150, 50
) = 150, pois 150 mltiplo de 50 e dele mesmommc (4, 12, 24) = 24,
pois 24 mltiplo de 4, 12 e dele mesmo Nmeros RacionaisO conjunto
dos Nmeros Racionais (Q) formado por todos os nmeros que podem
serescritos na forma a/b onde a e b Z e b 0 ( 1 Mandamento da
Matemtica: NO DIVIDIRSPOR ZERO)Exemplos: , 0,25 ou (simplificando)
, -5 ouOperaesAs operaes com nmero racionais segue as mesma regras
de operao das fraes.Adio e SubtraoReduz-se as fraes ao mesmo
denominador. Para isso devemos encontrar o mmc dosdenominadores,
criarmos uma mesma seqncia de frao com o novo denominador
enumerador igual ao resultado da diviso do novo denominador pelo
velho multiplicado pelonumerador velho.Exemplo: o mmc(3,4)=12 ento
dividindo-se 12 por 3 e multiplicando-se por 2, Polcia Rodoviria
Federal 15
16. Matemtica para Concursosdepois dividindo-se 12 por 4 e
multiplicando-se por 3 temosMultiplicaoMultiplica-se os numeradores
e os denominadores obtendo-se assim o resultado. importanteobservar
se o resultado da multiplicao no pode ser simplificado ( dividir o
numerador e odenominador pelo mesmo nmero) , normalmente isso
possvel e evita que se faaoperaes com nmeros muito grandes :
simplificando por 3 temos como resultadoDivisoDeve-se multiplicar a
primeira pelo inverso da segunda simplificando por
2ficamoscomExpressesQuando se resolve expresses numricas devemos
observar o seguinte:a. Deve-se obedecer a seguinte prioridade de
operao:1 - multiplicao e diviso na ordem em que aparecer2 - soma e
subtrao na ordem em que aparecer b. Deve-se primeiro resolver as
operao dentro do parnteses, depois do colchete e por fim da chave,
e dentro de cada separador obedecer as regras do item aExemplos:
resolva a operao que esta dentro do parenteses :mmc(2,3) = 6 1.
Primeiro os parnteses, e no segundo parnteses primeiro a
multiplicao Nmeros FracionriosFraes Polcia Rodoviria Federal
16
17. Matemtica para Concursos Ser representado em nossa apostila
da seguinte forma: a/bO smbolo significa a:b, sendo a e b nmeros
naturais e b diferente de zero.Chamamos:a/b de frao; a de
numerador; b de denominador.Se a mltiplo de b, ento a/b um nmero
natural.Veja um exemplo:A frao 12/3 igual a 12:3. Neste caso, 12 o
numerador e 3 o denominador. Efetuando adiviso de 12 por 3, obtemos
o quociente 4. Assim, 12/3 um nmero natural e 12 mltiplode
3.Durante muito tempo, os nmeros naturais foram os nicos conhecidos
e usados peloshomens. Depois comearam a surgir questes que no
poderiam ser resolvidas com nmerosnaturais. Ento surgiu o conceito
de nmero fracionrio.O significado de uma fraoAlgumas vezes, a/b um
nmero natural. Outras vezes, isso no acontece. Neste caso, qual o
significado de a/b?Uma frao envolve a seguinte idia: dividir algo
em partes iguais. Dentre essas partes,consideramos uma ou algumas,
conforme nosso interesse.Exemplo:Michele comeu 4/7 de um bolo. Isso
significa que o bolo foi dividido em 7 partes iguais, Alineteria
comido 4 partes:Na figura acima, as partes pintadas seriam as
partes comidas por Aline, e a parte branca aparte que sobrou do
bolo.Como se l uma fraoAs fraes recebem nomes especiais quando os
denominadores so 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 etambm quando os
denominadores so 10, 100, 1000, ... 1/2 um meio 2/5 Dois quintos
1/3 um tero 4/7 quatro stimos 1/4 um quarto 7/8 sete oitavos 1/5 um
quinto 12/9 doze nonos 1/6 um sexto 1/10 um dcimo 1/7 um stimo
1/100 um centsimo 1/8 um oitavo 1/1000 um milsimo 1/9 um nono
5/1000 Cinco milsimosFraes PrpriasSo fraes que representam uma
quantidade menor que o inteiro, ou seja representa partedo
inteiro.Exemplos: Polcia Rodoviria Federal 17
18. Matemtica para Concursos , observe que neste tipo de frao o
numerador sempre menor que o denominador.Fraes ImprpriasSo fraes
que representam uma quantidade maior que o inteiro, ou seja
representa umaunidade mais parte dela.Exemplos: , observe que neste
tipo de fraes o numerador sempre maior que odenominador.Fraes
AparentesSo fraes que representam uma unidade, duas unidades
etc.Exemplos: , observe que neste tipo de fraes o numerador sempre
mltiplo do denominador.Fraes EquivalentesDuas ou mais fraes que
representam a mesma quantidade da unidade so equivalentes.Exemplos:
, so fraes equivalentes, ou seja (1/2 a metade de 2/2 e 5/10 a
metadede 10/10)Simplificando FraesQuando multiplicamos ou dividimos
o numerador e o denominador de uma frao pelo mesmonmero, esta no se
altera. Encontramos fraes equivalentes a frao dada.Exemplos:3/4 =
6/8 , observe que numerador e denominador foram multiplicados por
2.12/18 = 4/6 , observe que numerador e denominador foram divididos
por 3.Reduzindo Fraes ao Mesmo DenominadorExemplo: , a primeira
coisa a se fazer encontrar fraes equivalentes s fraes dadas de
talforma que estas tenham o mesmo denominador. Basta determinar o
m.m.c entre osdenominadores, que neste caso 12. , para obtermos,
pegamos o m.m.c, dividimos pelo denominador, pegamos oresultado e
multiplicamos pelo numerador, observe: 12 : 3 = 4, 4 x 2 = 8 e
assim com asoutras fraes.Adio e Subtrao de Fraes1 CasoDenominadores
iguaisPara somar fraes com denominadores iguais, basta somar os
numeradores e conservar odenominador. Polcia Rodoviria Federal
18
19. Matemtica para ConcursosPara subtrair fraes com
denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar
odenominador.Exemplos:2 CasoDenominadores diferentesPara somar
fraes com denominadores diferentes, devemos reduzir as fraes ao
menordenominador comum e, em seguida, adicionar ou subtrair as
fraes equivalentes s fraesdadas. Para obtermos estas fraes
equivalentes determinamos m.m.c entre osdenominadores destas
fraes.Exemplo:Vamos somar as fraes .Obtendo o m.m.c dos
denominadores temos m.m.c(4,6) = 12. 12 : 4 = 3 e 3 x 5 = 15 12 : 6
= 2 e 2 x 1 = 2Multiplicao e Diviso de FraesMultiplicao1
CasoMultiplicando um nmero natural por uma fraoNa multiplicao de um
nmero natural por uma frao, multiplicamos o nmero natural
pelonumerador da frao e conservamos o
denominador.Exemplos:Multiplicando Frao por FraoNa multiplicao de
nmeros fracionrios, devemos multiplicar numerador por numerador,
edenominador por denominador.Exemplos: (o resultado foi
simplificado)DivisoNa diviso de nmeros fracionrios, devemos
multiplicar a primeira frao pelo inverso dasegunda.Exemplos: Polcia
Rodoviria Federal 19
20. Matemtica para ConcursosPotenciao e radiciao de nmeros
fracionriosPotenciaoNa potenciao, quando elevamos um nmero
fracionrio a um determinado expoente,estamos elevando o numerador e
o denominador a esse expoente:Exemplos:RadiciaoNa radiciao, quando
aplicamos a raiz a um nmero fracionrio, estamos aplicando essa
raizao numerador e ao denominador:Exemplos:Fracao geratrizConforme
voc j estudou, todo nmero racional (Conjunto Q), resulta da diviso
de doisnmero inteiros, a diviso pode resultar em um nmero inteiro
ou decimal.Convm lembrar que temos decimais exato. Exemplo: 2,45;
0,256; 12,5689; 12,5689 Temos tambm decimais no exato (dzima
peridica) Exemplo: 2,555555.... ; 45,252525....; 0,123123123...;
456,12454545; 7,4689999.... Voc deve saber, que em uma dzima
peridica a parte decimal que repete, recebe o nomede perodo, a
parte que no repete chamada de ante-perodo, a parte no decimal
aparte inteira.Exemplo:Dzima peridica composta Dzima peridica
simplesEncontrando a Frao Geratriz de uma Dzima PeridicaDzima
peridica simples:Devemos adicionar a parte decimal parte inteira.
Devemos lembra que a parte decimal sertransformada em uma frao cujo
numerador o perodo da dzima e o denominador umnmero formado por
tantos noves quantos sos os algarismos do perodo. Exemplos:Dzima
peridica compostaDevemos adicionar parte inteira uma frao cujo
numerador formado pelo ante-perodo,seguindo de um perodo, menos o
ante-perodo, e cujo denominador formado de tantosnoves quantos so
os algarismos do perodo seguidos de tantos zeros quanto so
osalgarismos do ante-perodo.Exemplos: Polcia Rodoviria Federal
20
21. Matemtica para ConcursosPerodo = 47(implica em dois noves)
Ante-perodo = 1 (implica em um 0)Perodo = 7 Ante-perodo = 0 Nmeros
DecimaisFrao DecimalSo fraes em que o denominador uma potncia de
10.Exemplos:Toda frao decimal escrita na forma de nmero
decimal.Exemplos:Nmeros DecimaisLendo nmero decimais:0,25 = Vinte e
cinco centsimos; 2,24 = Dois inteiros e vinte e quatro
centsimos12,002 = Doze inteiros e dois milsimos; 0,0002 = Dois
dcimos de milsimosTransformando uma frao decimal em nmero
decimal:Observe: Denominador 10 um nmero depois da vrgula,
denominador 100 dois nmerosdepois da vrgula, denominador 1000 trs
nmeros depois da vrgula e assim por diante.Transformando um nmero
decimal em frao decimal:Observe: Um nmero depois da vrgula
denominador 10, dois nmeros depois da vrguladenominador 100, trs
nmeros depois da vrgula denominador 1000 e assim por
diante.Propriedade: Um nmero decimal no se altera ao acrescentarmos
zeros a direita doseu ltimo nmero.Exemplos:0,4 = 0,400 = 0,4000 =
0,400000,23 = 0,230 = 0,2300 = 0,23000 = 0,2300001,2 = 1,20 = 1,200
= 1,2000, 1,20000AdioNa adio de nmeros decimais devemos somar os
nmeros de mesma ordem de unidades,dcimo com dcimo, centsimo com
centsimo.Antes de iniciar a adio, devemos colocar vrgula debaixo de
vrgula. Polcia Rodoviria Federal 21
22. Matemtica para ConcursosExemplos:0,3 + 0,811,42 + 2,037,4 +
1,23 + 3,122SubtraoA subtrao de nmeros decimais efetuada da mesma
forma que a adio.4,4 - 1,21; 2,21 - 1,211; 9,1 -
4,323MultiplicaoEfetuamos a multiplicao normalmente.Em seguida,
contam-se as casas decimais de cada nmero e o produto fica com o
nmero decasas decimais igual soma das casas decimais dos
fatores.Exemplos:4,21 x 2,1; 0,23 x 1,42; 0,42 x 1,2DivisoNa diviso
de nmeros decimais, o dividendo e o divisor devem ter o mesmo nmero
de casasdecimais. Devemos igual-las antes de comear a diviso.7,02 :
3,5111,7 : 2,3423 : 7 Polcia Rodoviria Federal 22
23. Matemtica para ConcursosPotenciaoEfetuamos da mesma forma
que aprendemos com os nmeros naturais.Exemplos:(0,2)2= 0,2 x 0,2 =
0,04; (1,2)2= 1,2 x 1,2 = 1,44; (1,23)0= 1; (23,5)1= 23,5 Potenciao
e Radiciao, Razes, ProporesPotenciao Chamamos de potenciao, um
nmero real a e um nmero natural n, com n 0,escrito na forma an.
Observe o seguinte produto de fatores iguais.2 x 2 x 2 este produto
pode ser escrito da seguinte forma, 23 onde o nmero 3
representaquantas vezes o fator 2 esta sendo multiplicado por ele
mesmo.Expoente, informa quantas vezes o fator vai ser multiplicado
por ele mesmo.Base, informa o fator a ser repetido.Potncia, o
resultado desta operao23 = l-se, dois elevado a 3 potencia ou dois
elevado ao cubo.Exemplos:32 = trs elevado a segunda potncia ou trs
elevado ao quadrado.64 = seis elevado a quarta potncia.75 = sete
elevado a quinta potncia.28 = dois elevado a oitava
potncia.Observaes:1) Todo nmero elevado a expoente um igual a ele
mesmo.21 = 2, 31 = 3, 51 = 5, 61 = 6, 131 = 13, (1,2)1 = 1,2,2)
Todo nmero diferente de zero elevado a expoente zero igual a um.40
= 1, 60 = 1, 80 = 1, 340 = 1, 260 = 1, (3,5)0 = 1, Potncias de base
110 = 1, 11 = 1, 12 = 1, 13 = 1, 112 = 1, toda potncia de 1 igual a
1. Potncias de base 10100 = 1, 102 = 100, 103 = 1000, 104 = 10000,
toda potncia de 10 igual ao nmeroformado pelo algarismo 1 seguido
de tantos zeros quantas forem as unidades do expoente.Propriedades
da Potenciao1) Multiplicao de potncia de mesma base.Somamos os
expoentes e conservamos a base, observe.23 x 22 = 23+2 = 25 = 32
Polcia Rodoviria Federal 23
24. Matemtica para Concursos 3 3+1 43 x3=3 = 3 = 814 x 42 x 43
= 46 = 40962) Diviso de potncia de mesma base.Subtramos os
expoentes e conservamos a base, observe.23 : 22 = 21 = 234 : 32 =
32 = 975 : 73 = 72 = 493) Potncia de potncia.Conservamos a base e
multiplicamos os expoentes.(32)2 = 32x2 = 34 = 81[(32)3]2 = 32x3x2
= 312 = 531441Trabalhando com PotenciaoExemplos:a) 34 = 3 x 3 x 3 x
3 = 81b) 52 = 5 x 5 = 25c) 63 = 6 x 6 x 6 = 216d) 113 = 1e) 230 =
1f) 2340 = 1g) 106 = 1 000 000h) (1,2)2 = 1,2 x 1,2 = 1,44i) (0,5)2
= 0,25j) (0,4)5 = 0,4 x 0,4 x 0,4 x 0,4 x 0,4 x 0,4 = 0,01024k)l)
(- 3)2 = -3 x 3 = 9m) (- 4)3 = - 4 x 4 x 4 = - 64Observao:Lembre-se
que (-3)2 -32.(-3)2 = -3 x 3 = 9-32 = -(3 x 3) = -(9) = -9Potncia
com Expoente NegativoObserve: , ,RadiciaoRadiciao o ato de extrair
a raiz de um nmero, lembrando que temos raiz quadrada, raizcbica,
raiz quarta, raiz quinta e etc...Radiciao a operao inversa da
potenciao (procure revisar este contedo).Lembrando que:Se o ndice
um nmero maior que 1 (n > 1), se este for igual a dois (raiz
quadrada "noescrevemos este valor, o local do ndice fica vazio ou
seja fica entendido que ali est o nmero2"), se for igual a 3 (raiz
cbica "este valor deve aparecer no ndice"), etc...Exemplo: Polcia
Rodoviria Federal 24
25. Matemtica para ConcursosRaiz de um nmero real 1 caso: a
> 0 e n par. 2 caso: a > 0 e n mpar. 3 caso: a < 0 e n
mpar. 4 caso: a < 0 e n par. RazoChama-se de razo entre dois
nmeros racionais a e b, com b 0, aoquociente entre eles.Indica-se
arazo de a para b por ou a : b.Exemplo:Na sala da 6 B de um colgio
h 20 rapazes e 25 moas. Encontre a razo entre o nmero derapazes e o
nmero de moas. (lembrando que razo diviso)Voltando ao exerccio
anterior, vamos encontrar a razo entre o nmero de moas e
rapazes.Lendo Razes:Termos de uma RazoGrandezas EspeciaisEscala, a
razo entre a medida no desenho e o correspondente na medida real.
Polcia Rodoviria Federal 25
26. Matemtica para ConcursosExemplo:Em um mapa, a distncia
entre Montes Claros e Viosa representada por um segmento de7,2 cm.
A distncia real entre essas cidades de 4320km. Vamos calcular a
escala destemapa.As medidas devem estar na mesma unidade, logo
4320km = 432 000 000 cmVelocidade mdia, a razo entre a distncia a
ser percorrida e o tempo gasto. (observeque neste caso as unidades
so diferentes)Exemplo:Um carro percorre 320km em 4h. determine a
velocidade mdia deste carro.Densidade demogrfica, a razo entre o
nmero de habitantes e a rea.Exemplo:O estado do Cear tem uma rea de
148 016 km2 e uma populao de 6 471 800 habitantes.D a densidade
demogrfica do estado do Cear.Razes InversasVamos observar as
seguintes razes.Observe que o antecessor(5) da primeira o
conseqente(5) da segunda.Observe que o conseqente(8) da primeira o
antecessor(8) da segunda.Dizemos que as razes so inversas.Exemplos:
ProporoProporo, uma igualdade entre duas razes. Polcia Rodoviria
Federal 26
27. Matemtica para ConcursosDados os nmeros racionais a, b, c e
d, diferentes de zero, dizemos que eles formam, nessaordem uma
proporo quando a razo de a para b for igual a razo de c para d.Os
extremos so 2 e 10, os meios so 5 e 4.Propriedade Fundamental das
ProporesEm toda proporo, o produto dos meios igual ao produto dos
extremos.Exemplos:b)Trabalhando com ProporoExemplos. Determine o
valor de x nas seguintes propores.a)b)c)d) Calcule y, sabendo que
os nmeros 14, 18, 70 e y formam, nessa ordem, umaproporo. MdiaVoc
escuta a todo momento nos noticirios a palavra mdia.Exemplo: A mdia
de idade da seleo brasileira 23 anos. A mdia de preo da gasolina
1,33 reais. Polcia Rodoviria Federal 27
28. Matemtica para ConcursosMdia aritmtica de dois ou mais
termos o quociente do resultado da diviso da soma dosnmeros dados
pela quantidade de nmeros somado.Exemplos:1. Calcule a mdia
aritmtica entre os nmero 12, 4, 5, 7.observe o que foi feito,
somamos os quatro nmero e dividimos pela quantidade de nmeros.2. O
time de futebol do Cruzeiro de Minas Gerai, fez 6 partidas
amistosas, obtendo osseguintes resultados, 4 x 2, 4 x 3, 2 x 5, 6 x
0, 5 x 3, 2 x 0. Qual a mdia de gols marcadosnestes amistoso?Mdia
Aritmtica Ponderada* Exemplo:1. Um colgio resolveu inovar a forma
de calcular a mdia final de seu alunos.1 bimestre teve peso 2.2
bimestre teve peso 2.3 bimestre teve peso 3.4 bimestre teve peso
3.Vamos calcular a mdia anual de Ricardo que obteve as seguintes
notas em historia. 1 bim =3, 2 bim = 2,5, 3 bim = 3,5 e 4 bim =
3Este tipo de mdia muito usada nos vestibulares, voc j deve ter
ouvido algum colega falarassim, a prova de matemtica para quem faz
engenharia peso 3 e historia peso 1, isto devido a engenharia ser
um curso ligado a cincias exatas. Este peso varia de acordo com
area de atuao do curso. Produtos NotveisVamos relembrar aqui,
identidades especiais, conhecidas particularmente como
ProdutosNotveis.1 Quadrado da soma e da diferena(a + b)2 = a2 + 2ab
+ b2(a b)2 = a2 2ab + b2Das duas anteriores, poderemos concluir que
tambm vlido que:(a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2+b2) ou escrevendo de uma
forma conveniente:2 Diferena de quadrados(a + b).(a b) = a2 b23
Cubo de uma soma e de uma diferena(a + b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 +
b3Para determinar o cubo da diferena, basta substituir na
identidade acima, b por -b, obtendo:(a b)3 = a3 3.a2.b + 3.a.b2 b3
Polcia Rodoviria Federal 28
29. Matemtica para ConcursosUma forma mais conveniente de
apresentar o cubo de soma, pode ser obtida fatorando-se aexpresso
como segue:(a + b)3 = a3 + 3.a.b(a+b) + b3Ou:(a + b)3 = a3 + b3 +
3ab(a + b)Esta forma de apresentao, bastante til.Exemplos:1 A soma
de dois nmeros igual a 10 e a soma dos seus cubos igual a 100. Qual
o valordo produto desses nmeros?SOLUO:Temos: a + b = 10 e a3 + b3 =
100. Substituindo diretamente na frmula anterior, fica:103 = 100 +
3ab(10) de onde tiramos 1000 = 100 + 30.abDa, vem: 900 = 30.ab, de
onde conclumos finalmente que ab = 30, que a
respostasolicitada.Nota: os nmeros a e b que satisfazem condio do
problema acima, no so nmeros reaise sim, nmeros complexos. Voc pode
verificar isto, resolvendo o sistema formado pelasigualdades a+b =
10 e ab = 30. Verifique como exerccio!Alerto para o fato de que
muito trabalhoso. Mas, v l, faa! um bom treinamento sobre asoperaes
com nmeros complexos. Pelo menos, fica caracterizada a importncia
de saber afrmula acima. Sem ela, a soluo DESTE PROBLEMA SIMPLES,
seria bastante penosa!2 - Calcule o valor de F na expresso abaixo,
para:a = -700, b = - 33 , x = 23,48 e y = 9,14345.SOLUO: Com a
substituio direta dos valores dados, os clculos seriam tantos que
seriainvivel! Vamos desenvolver os produtos notveis indicados:Se
voc observar CUIDADOSAMENTE a expresso acima, ver que o numerador e
odenominador da frao so IGUAIS, e, portanto, F = 1, INDEPENDENTE
dos valores de a, b, xe y.Portanto, a resposta igual a 1,
independente dos valores atribudos s variveis a, b, x e y.Resp: 1
Diviso ProporcionalGrandezas Diretamente e Inversamente
Proporcionais Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser
medido, contado. O volume, a massa, a superfcie, o comprimento, a
capacidade, a velocidade, o tempo,so alguns exemplos de grandezas.
No nosso dia-a-dia encontramos varias situaes em que relacionamos
duas ou maisgrandezas. Em uma corrida quanto maior for a
velocidade, menor ser o tempo gasto nessa prova.Aqui as grandezas
so a velocidade e o tempo. Polcia Rodoviria Federal 29
30. Matemtica para Concursos Numa construo , quanto maior for o
nmero de funcionrios, menor ser o tempogasto para que esta fique
pronta. Nesse caso, as grandezas so o nmero de funcionrio e otempo.
Grandezas Diretamente Proporcionais Em um determinado ms do ano o
litro de gasolinacustava R$ 0,50. Tomando como base esse dado
podemos formar a seguinte tabela.Quantidade de Quantidade a
pagargasolina (em litros) (em reais)1 0,502 1,003 1,50Observe:Se a
quantidade de gasolina dobra o preo a ser pago tambm dobra.Se a
quantidade de gasolina triplica o preo a ser pago tambm
triplica.Neste caso as duas grandezas envolvidas, quantia a ser
paga e quantidade de gasolina, sochamadas grandezas diretamente
proporcionais. Duas grandezas so chamadas, diretamente
proporcionais quando, dobrando umadelas a outra tambm dobra;
triplicando uma delas a outra tambm triplica.Observe, que as razes
so iguais.Grandezas inversamente proporcionais Um professor de
matemtica tem 24 livros para distribuir entre os seus
melhoresalunos. Se ele escolher apenas 2 alunos, cada um deles
receber 6 livros. Se ele escolher 4alunos, cada um deles receber 6
livros. Se ele escolher 6 alunos, cada um deles receber
4livros.Observe a tabela:Nmero de alunos Nmeros de
livrosescolhidos. para cada aluno2 124 66 4Se o nmero de aluno
dobra, a quantidade de livros cai pela metade.Se o nmero de alunos
triplica, a quantidade de livros cai para a tera parte. Duas
grandezas so inversamente proporcionais quando, dobrando uma delas,
aoutra se reduz para a metade; triplicando uma delas, a outra se
reduz para a tera parte... eassim por diante. Quando duas grandezas
so inversamente proporcionais, os nmeros que expressamessas
grandezas variam um na razo inversa do outro. Regra de Trs: Simples
e Composta Polcia Rodoviria Federal 30
31. Matemtica para Concursos Consta na histria da matemtica que
os gregos e os romanos conhecessem aspropores, porem no chegaram a
aplica-las na resoluo de problemas. Na idade mdia, os rabes
revelaram ao mundo a regra de trs. Nos sculo XIII, oitaliano
Leonardo de Pisa difundiu os princpios dessa regra em seu livro
Lber Abaci, com onome de Regra de Trs Nmeros Conhecidos.Regra de
trs simples Regra de trs simples um processo prtico para resolver
problemas que envolvamquatro valores dos quais conhecemos trs
deles. Devemos, portanto, determinar um valor apartir dos trs j
conhecidos.Passos utilizados numa regra de trs simples Construir
uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espcie em colunas
emantendo na mesma linha as grandezas de espcies diferentes em
correspondncia. Identificar se as grandezas so diretamente ou
inversamente proporcionais. Montar a proporo e resolver a equao.
Exemplos:a) Se 8m de tecido custam 156 reais, qual o preo de 12 m
do mesmo tecido? Observe que as grandezas so diretamente
proporcionais,aumentando o metro do tecido aumenta na mesma proporo
o preo a ser pago.Observe que o exerccio foi montado respeitando o
sentido das setas.A quantia a ser paga de R$234,00.b) Um carro,
velocidade de 60km/h, faz certo percurso em 4 horas. Se a
velocidade docarro fosse de 80km/h, em quantas horas seria feito o
mesmo percurso? Observe que as grandezas soinversamente
proporcionais, aumentando a velocidade o tempo diminui na razo
inversa.Resoluo:Observe que o exerccio foi montado respeitando os
sentidos das setas.Regra de Trs Composta A regra de trs composta
utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta
ouinversamente proporcionais. Exemplo: a) Em 8 horas, 20 caminhes
descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantoscaminhes sero
necessrios para descarregar 125m3? Aumentando o nmero de horas de
trabalho, podemos diminuir o nmero de caminhes.Portanto a relao
inversamente proporcional (seta para cima na 1 coluna). Polcia
Rodoviria Federal 31
32. Matemtica para Concursos Aumentando o volume de areia,
devemos aumentar o nmero de caminhes. Portanto arelao diretamente
proporcional (seta para baixo na 3 coluna). Devemos igualar a
razoque contm o termo x com o produto das outras razes de acordo
com o sentido das setas.Resoluo:Ser preciso de 25 caminhes.
Porcentagens Toda frao de denominador 100, representa uma
porcentagem, como diz o prprionome por cem.Exemplo:Observe que o
smbolo % que aparece nos exemplos acima significa por cento.Se
repararmos em nosso volta, vamos perceber que este smbolo % aparece
com muitafreqncia em jornais, revistas, televiso e anncios de
liquidao, etc.Exemplos:O crescimento no nmero de matricula no
ensino fundamental foi de 24%.A taxa de desemprego no Brasil
cresceu 12% neste ano.Desconto de 25% nas compras vista. Devemos
lembrar que a porcentagem tambm pode ser representada na forma
denmeros decimal, observe os exemplos.Exemplos: , , ,Trabalhando
com Porcentagem Vamos fazer alguns clculos envolvendo
porcentagens.Exemplos:1. Uma televiso custa 300 reais. Pagando
vista voc ganha um desconto de 10%.Quanto pagarei se comprar esta
televiso vista? (primeiro representamos na forma de frao
decimal)10% de 100 10% x 100300 30 = 270Logo, pagarei 270 reais.2.
Pedro usou 32% de um rolo de mangueira de 100m. Determine quantos
metros demangueira Pedro usou.32% =Logo, Pedro gastou 32 m de
mangueira.3. Comprei uma mercadoria por 2000 reais. Por quanto devo
vende-la, se quero obter umlucro de 25% sobre o preo de custo.O
preo de venda o preo de custo somado com o lucro.Ento, 2000 + 500 =
2500 reais.Logo, devo vender a mercadoria por 2500 reais. Polcia
Rodoviria Federal 32
33. Matemtica para Concursos4. Comprei um objeto por 20 000
reais e o vendi por 25 000 reais. Quantos por cento euobtive de
lucro?Lucro: 25 000 20 000 = 5 000 ( preo de venda menos o preo de
custo) (resultado da diviso do lucro pelo preo de custo)5. O preo
de uma casa sofreu um aumento de 20%, passando a ser vendida por 35
000reais. Qual era o preo desta casa antes deste
aumento?Porcentagem Preo120 35 000100 xLogo, o preo anterior era 29
166,67 Juros Simples A idia de juros todos ns temos, muito comum
ouvirmos este termo em jornais,revistas. Mas o que realmente
significa juros. Juro aquela quantia que cobrada a mais sobre uma
determinada quantia a ser pagaou recebida.Juros Simples ou
simplesmente Juros, so representado pela letra j.O dinheiro que se
empresta ou se deposita chamaremos de Capital e representaremos
pelaletra c.O Tempo que este dinheiro ficara depositado ou
emprestado, representaremos pela letra t.A Taxa a porcentagem que
devera ser cobrada, pelo tempo que o dinheiro ficou depositadoou
emprestado. representado pela letra i.Observe:Capital = c Juros = j
Tempo = t Taxa = iResoluo de ProblemasEstes problemas, podem ser
resolvidos por regra de trs composta, mas para facilitar osclculos
podemos usar uma frmula.Exemplos:1. Quanto rende de juros um
capital de 1 500 reais, durante 3 anos, taxa de 12% aoano?Logo,
rendera de juro 540 reais.2. Qual o capital que rende 2 700 reais
de juros, durante 2 anos, taxa de 15% ao ano? Polcia Rodoviria
Federal 33
34. Matemtica para ConcursosLogo, o capital era de 9 000
reais.3. Por quanto tempo o capital de 6 000 reais esteve
emprestado taxa de 18% ao anopara render 4 320 de juros?Logo,
durante 4 anos4. A que taxa esteve emprestado o capital 10 000
reais para render, em 3 anos,14 400reais de juros?Logo, a taxa de
48%.Observao:Devemos ter o cuidado de trabalharmos com o tempo e
taxa sempre na mesma unidade.Taxa em ano = tempo em anosTaxa em ms
= tempo em msTaxa em dia = tempo em diaExemplos:5. Vamos calcular
os juros produzidos por 25 000 reais taxa de 24% ao ano durante
3meses. Polcia Rodoviria Federal 34
35. Matemtica para Concursos Logo, o juro que este capital vai
render de 2 500 reais. Juros Compostos Chamamos de juros compostos
as operaes financeiras em que o juro cobrado sobre juros. Pense
assim, voc emprestou um certa quantia a um amigo a uma taxa de 2%
ao ms, no ms seguinte os 2% ser cobrado sobre o total do ms
anterior (capital + juros), e assim vai ms a ms. Vale lembrar que,
existe vrios exemplos deste tipo de juros, basta observar o
rendimentos das cadernetas de poupana, cartes de crditos e etc...
Frmula para o clculo de Juros Compostos. M = C x (1 + i)t C =
Capital inicial i = taxa % por perodo de tempo t = nmero de perodos
de tempo M = montante final = (captital + juros) Exemplos de
aplicao da frmula anterior: 1. Aplicou-se a juros compostos uma
capital de R$ 1.400.000.00, a 4% ao ms, durante 3 meses. Determine
o montante produzido neste perodo. C = 1.400.000,00 i = 4% am (ao
ms) t = 3 meses M = ? M = C x (1 + i)t M = 1.400.000 x (1 + 0,04)3
M = 1.400.000 x (1,04)3 M = 1.400.000 x 1,124864 M = 1.574.809,600
O montante R$ 1.574.809,600 Obs: devemos lembrar que 4% = 4/100 =
0,04 2. Qual o capital que, aplicado a juros compostos a 8% ao ms,
produz em 2 meses um montante de R$ 18.915,00 de juros. C = ? i =
8% am (ao ms) t = 2 meses M = 18.915,00 M = C x (1 + i)t 18915 = C
x (1 + 0,08)2 18915= C x (1,08)2 18915 = C x 1,1664 C = 18915 :
1,1664 C = 16.216,56379 O capital R$16.216,56379 Obs: devemos
lembrar que 8% = 8/100 = 0,08 3. Durante quanto tempo esteve
aplicado, em uma poupana, o capital de R$ 180.000,00 para render,
de juros, a importncia de R$ 22.248,00, se a taxa foi de 6% ao ms?
C = 180.000,00 i = 6% am (ao ms) t = ? M = 180.000,00(capital) +
22.248,00(juros) =202.248,00 M = C x (1 + i)t 180000 = 202248 x (1
+ 0,06)t 180000 = 202248 x (1,06)t (1,06)t = 202248 : 180000
(1,06)t = 1,1236 t log1,06 = log1,1236 (transformamos em logaritmo
"faa uma reviso") Polcia Rodoviria Federal 35
36. Matemtica para Concursos O tempo 2 meses. Obs: devemos
lembrar que 6% = 6/100 = 0,06 4. A que taxa ao ms esteve aplicado,
em uma caderneta de poupana, um capital de R$ 1.440,00 para, em 2
meses, produzir um montante de R$ 1.512,90? C = 1.440,00 i = ? % am
(ao ms) t = 2 meses M = 1.512,90 M = C x (1 + i)t 1512,90 = 1440 x
(1 + i)2 (1 + i)2 = 1512,90 : 1440 (1 + i)2 = 1,050625 A taxa 2,5%
ao ms. Sistemas de MedidasreasMedindo SuperfciesAssim como medimos
comprimento, tambm medimos superfcies planas. Quando falamos
emmedir uma superfcie plana, temos que compara-la com outra tomada
como unidade padro everificamos quantas vezes essa unidade de
medida cabe na superfcie que se quer medir.Unidade de Medida de
SuperfcieDevemos saber que a unidade fundamental usada para medir
superfcie o metroquadrado(m2), que corresponde a rea de um quadrado
em que o lado mede 1 m.Quadro de Unidades Usadas para Medir
Superfcies UnidadeMltiplos fundamen Submltiplos talkm 2 hm 2 dam 2
m2 dm 2 cm 2 mm 21.000.000m 2 2 2 2 2 22 10.000m 100m 1m 0,01m
0,0001m 0,000001mObserve que cada unidade 100 vezes maior que a
unidade imediatamente anterior. Polcia Rodoviria Federal 36
37. Matemtica para ConcursosCalculando reasrea de
ParalelogramosLembre-se que paralelogramos so os quadrilteros que
possui os lado opostos paralelos.rea do Paralelogramo:rea do
Retngulo:rea do Quadrado:rea do Losango Polcia Rodoviria Federal
37
38. Matemtica para Concursosrea de TrapziosLembre-se, trapzio
no um paralelogramo. O trapzio possui apenas dois lados paralelos
abase maior e a base menor.rea de tringulosLembre-se, tringulo no
paralelogramo e nem trapzio.rea de um tringulo:rea do tringulo
eqiltero: Tringulo que possui os trs lados iguais. Polcia Rodoviria
Federal 38
39. Matemtica para ConcursosExemplos 1. Vamos calculara a rea
de um terreno quadrado de 25 m de lado.2. Vamos calcular a rea de
um campo de futebol cujas dimenses so, 150m de comprimentopor 75m
de largura. (o campo tem a forma retangular, com esta na horizontal
eu falocomprimento vezes largura)3. Determine a rea de um
paralelogramo em que a altura mede 10cm e sua base mede 6cm.4.
Sabendo-se que a altura de um tringulo mede 8cm e sua base mede
13cm, determine suarea.5. Um losango possui a diagonal maior
medindo 8cm e a menor medindo 6cm. Calcule a readeste losango.6. A
base maior de um trapzio mede 40cm e sua base menor mede 25cm.
Calcule sua reasabendo que sua altura mede 20cm.7. Um tringulo
eqiltero possui os lados iguais a 12cm, determine o valor da sua
rea.Observao:Existes medidas especificas para medir grandes
extenses, como stios, chcaras e fazendas.So elas o hectare e o are.
Polcia Rodoviria Federal 39
40. Matemtica para Concursos1 hectare(ha) = 10.000(m ) 1 are(a)
= 100(m2) 2Exemplos:Uma fazenda possui 120 000 m2 de rea, qual a
sua medida em hectare?120.0000 : 10.000 = 120 ha.Uma fazenda possui
23,4 ha de rea, qual a sua rea em m2 ?23,4 x 10.000 = 234.000 m2
Circunferncia e Crculo Circunferncia: um conjunto de pontos de um
mesmo plano que esto a uma mesmadistncia de um ponto pertencente a
este mesmo plano.Este ponto o centro da circunferncia, a distncia
do centro circunferncia chamamos deraio(r).Exemplo:(O o centro da
circunferncia e o raio da circunferncia)Regio Interior e Exterior
de uma CircunfernciaExemplo:Corda, Dimetro e Raio Corda: um
segmento de reta que toca a circunferncia em dois pontos distintos.
Dimetro: a corda que passa pelo centro e divide a circunferncia em
duas partes iguais. Raio: o segmento de reta que tem uma
extremidade no centro da circunferncia e ooutro na prpria
circunferncia.Exemplo:Arco da CircunfernciaExemplos: Polcia
Rodoviria Federal 40
41. Matemtica para ConcursosSemicircunferncia Devemos notar que
o dimetro divide a circunferncia em duas partes, cada uma
destaspartes chamada de semicircunferncia.Exemplo:Crculo a reunio
da circunferncia com sua regio interna. Centro, raio, corda,
dimetro e arcode um crculo so o centro, o raio, a corda, o dimetro
e o arco da circunferncia.Exemplo:Posies Relativas de Reta e
CircunfernciaReta secante a reta que toca a circunferncia em dois
pontos distintos.Exemplo:Reta tangente a reta que toca a
circunferncia em apenas um ponto.Exemplo:Reta externa Polcia
Rodoviria Federal 41
42. Matemtica para Concursos a reta que no toca nenhum ponto da
circunferncia.Exemplo: Comprimento da Circunferncia O comprimento
de uma circunferncia o nmero que representa os permetros
dospolgonos inscritos nessa circunferncia quando o nmero de lados
aumenta indefinidamente. Podemos entender comprimento como sendo o
contorno da circunferncia.Exemplo:Uma volta completa em torno da
terra.O comprimento de um aro de bicicleta.O comprimento da roda de
um carro.O comprimento da bola central de um campo de
futebol.Calculando pEsta uma constante (seu valor no muda
nunca).Esta surgiu da diviso do comprimento pelo dimetro da
circunferncia. Verificou-se que noimportava o comprimento da
circunferncia, sempre que dividia o comprimento pelo dimetroo
resultado era o mesmo (3,14159265....), para no termos que escrever
este nmero a todoo momento ficou definido que esta seria
representado pela letra p (pi) do alfabeto grego,lembre-se usamos p
apenas com duas casas decimais p = 3,14.Calculando o Comprimento da
CircunfernciaDevemos fazer algumas observaes, veja:Para calcularmos
o comprimento de uma circunferncia usamos a frmula C =
2pr.Exemplos:1. Determine o comprimento de uma circunferncia em que
o raio mede 3 cm.2. Vamos calcular o raio de uma circunferncia
sabendo que o comprimento mede 62,8 m.Calculando a rea de um
CrculoPara calcularmos a rea de um crculo usamos a frmula
.Exemplos: Polcia Rodoviria Federal 42
43. Matemtica para Concursos1. Calcule a rea de um crculo,
sabendo que seu raio mede 4 m.2. Determine o raio de uma
circunferncia sabendo que sua rea igual 314 cm2. Volume Chamamos de
volume de um slido geomtrico, o espao que esse slido ocupa.Medindo
Volume Para medirmos volume, usamos a unidade denominada metro
cbico (m3).O que 1 m3? o volume de um cubo, em que suas arestas
medem 1m.Exemplo:Mltiplos e submltiplos do metro cbico Unidade
Mltiplos fundamental Submltiplos Km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm31 000
000 000 1 000 000 1 000 1 0,001 m3 0,000 001 0,000 000 001 m3 m3 m3
m 3 m3 m3Ateno: Voc deve ter notado que cada unidade maior que a
unidade imediatamenteinferior 1000 vezes ou 1000 vezes menor que a
unidade imediatamente superior.No seu dia a dia, voc deve ter
observado que as unidades mais usadas so, o m3, cm3 edm3.Lendo
unidades de volume 4,35 cm3 = Quatro centmetros cbicos e trinta e
cinco milmetroscbicos ou quatro virgula 35 centmetros cbicos.12,123
m3 = Doze metros cbicos e cento e vinte e trs decmetros cbicos ou
doze vrgulacento e vinte e trs metros cbicos.Transformando
unidades2,234 m3 para dm3 = 2234 dm3 (Observe que a vrgula deslocou
para direita 3 casas)4,4567 dm3 para cm3 = 4456,7 cm3 (Observe que
a vrgula deslocou para direita 3 casas)4567,5 dm3 para m3 = 4,5675
(Observe que a vrgula deslocou para esquerda 3 casas) 45 cm3para m3
= 0,000045 (Observe que a vrgula deslocou para esquerda 6 casas
como no tnhamosmais nmeros completamos com zeros) Polcia Rodoviria
Federal 43
44. Matemtica para ConcursosCalculando volumesParaleleppedo
retngulo:Exemplos:Calcule o volume das seguintes figuras.Volume do
cubo:Exemplos:Determine o volume da seguinte figura.Exemplos:Vamos
calcular o volume de uma caixa cbica, cuja aresta mede 9 m.V = a3V
= (9 m)3V = 729 m3Quantos m3 de gua so necessrios para encher uma
piscina em que as dimenses so:comprimento = 12 m, largura = 6 m e
profundidade = 1,5 m. Polcia Rodoviria Federal 44
45. Matemtica para ConcursosV=cxlxhV = 12 m x 6 m x 1,5 mV =
108 m3 Permetro de um PolgonoPermetro de um PolgonoPermetro de um
polgono a soma das medidas dos seus lados.Permetro do retngulo b -
base ou comprimento h - altura ou largura Permetro = 2b + 2h = 2(b
+ h)Permetro dos polgonos regularesTringulo equiltero QuadradoP =
l+ l + l P = l + l + l+ lP=3l P=4lPentgono HexgonoP=l+l+l+l+l
P=l+l+l+l+l+lP=5 P=6ll - medida do lado do polgono regularP -
permetro do polgono regularPara um polgono de n lados,
temos:P=nlComprimento da CircunfernciaUm pneu tem 40cm de dimetro,
conforme a figura. Pergunta-se:Cada volta completa deste pneu
corresponde na horizontal a quantos centmetros? Polcia Rodoviria
Federal 45
46. Matemtica para ConcursosEnvolva a roda com um barbante.
Marque o incio e o fim desta volta no barbante.Estique o bastante e
mea o comprimento da circunferncia correspondente roda.Medindo essa
dimenso voc encontrar aproximadamente 125,6cm, que um valor um
pouco superior a 3vezes o seu dimetro. Vamos ver como determinar
este comprimento por um processo no experimental.Voc provavelmente
j ouviu falar de uma antiga descoberta matemtica:Dividindo o
comprimento de uma circunferncia (C) pela medida do seu dimetro
(D), encontramossempre um valor aproximadamente igual a
3,14.Assim:O nmero 3,141592... corresponde em matemtica letra grega
(l-se "pi"), que a primeira lera da palavragrega permetro.
Costuma-se considera = 3,14.Logo:Utilizando essa frmula, podemos
determinar o comprimento de qualquer circunferncia.Podemos agora
conferir com auxlio da frmula o comprimento da toda obtido
experimentalmente.C = 2pir C = 2 3,14 20 C = 125,6 cm 3,141592...
Sistema Mtrico DecimalSistema Mtrico DecimalDesde a Antiguidade os
povos foram criando suas unidades de medida. Cada um deles
possuasuas prprias unidades-padro. Com o desenvolvimento do comrcio
ficavam cada vez maisdifceis a troca de informaes e as negociaes
com tantas medidas diferentes. Era necessrioque se adotasse um
padro de medida nico para cada grandeza.Foi assim que, em 1791,
poca da Revoluo francesa, um grupo de representantes de vriospases
reuniu-se para discutir a adoo de um sistema nico de medidas.
Surgia o sistemamtrico decimal. Polcia Rodoviria Federal 46
47. Matemtica para ConcursosMetroA palavra metro vem do gegro
mtron e significa "o que mede". Foi estabelecido inicialmenteque a
medida do metro seria a dcima milionsima parte da distncia do Plo
Norte aoEquador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil o
metro foi adotado oficialmente em1928.Mltiplos e Submltiplos do
MetroAlm da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem
ainda os seus mltiplos esubmltiplos, cujos nomes so formados com o
uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centie mili. Observe o
quadro: Unidade Mltiplos Fundamenta Submltiplos l quilmetro
hectmetro decmetro metro decmetro centmetro milmetro km hm dam m dm
cm mm 1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001mOs mltiplos do metro so
utilizados para medir grandes distncias, enquanto os
submltiplos,para pequenas distncias. Para medidas milimtricas, em
que se exige preciso, utilizamos: mcron () = 10-6 m angstrn () =
10-10 mPara distncias astronmicas utilizamos o Ano-luz (distncia
percorrida pela luz em um ano):Ano-luz = 9,5 1012 kmO p, a
polegada, a milha e a jarda so unidades no pertencentes ao sistemas
mtricodecimal, so utilizadas em pases de lngua inglesa. Observe as
igualdades abaixo: P = 30,48 cm Polegada = 2,54 cm Jarda = 91,44 cm
Milha terrestre = 1.609 m Milha martima = 1.852 mObserve que:1 p =
12 polegadas1 jarda = 3 psLeitura das Medidas de ComprimentoA
leitura das medidas de comprimentos pode ser efetuada com o auxlio
do quadro deunidades. Exemplos: Leia a seguinte medida: 15,048
m.Seqncia prtica1) Escrever o quadro de unidades: km hm dam m dm cm
mm2) Colocar o nmero no quadro de unidades, localizando o ltimo
algarismo da parte inteirasob a sua respectiva. km hm dam m dm cm
mm 1 5, 0 4 83) Ler a parte inteira acompanhada da unidade de
medida do seu ltimo algarismo e a partedecimal acompanhada da
unidade de medida do ltimo algarismo da mesma.15 metros e 48
milmetrosOutros exemplos: 6,07 km l-se "seis quilmetros e sete
decmetros" 82,107 dam l-se "oitenta e dois decmetros e cento e sete
Polcia Rodoviria Federal 47
48. Matemtica para Concursos centmetros". 0,003 m l-se "trs
milmetros". Transformao de UnidadesObserve as seguintes
transformaes: Transforme 16,584hm em m. km hm dam m dm cm mmPara
transformar hm em m (duas posies direita) devemos multiplicar por
100 (10 x 10).16,584 x 100 = 1.658,4Ou seja:16,584hm = 1.658,4m
Transforme 1,463 dam em cm. km hm dam m dm cm mmPara transformar
dam em cm (trs posies direita) devemos multiplicar por 1.000 (10 x
10x 10).1,463 x 1.000 = 1,463Ou seja:1,463dam = 1.463cm. Transforme
176,9m em dam. km hm dam m dm cm mmPara transformar dam em cm (trs
posies esquerda) devemos dividir por 10.176,9 : 10 = 17,69Ou
seja:176,9m = 17,69dam Transforme 978m em km. km hm dam m dm cm
mmPara transformar m em km (trs posies esquerda) devemos dividir
por 1.000.978 : 1.000 = 0,978Ou seja:978m = 0,978km. Sistemas de
Equaes do 1 GrauEquaes do 1 grau com uma varivelEquao toda sentena
matemtica aberta representada por uma igualdade, em que existauma
ou mais letras que representam nmeros desconhecidos. Polcia
Rodoviria Federal 48
49. Matemtica para ConcursosExemplo: X + 3 = 12 4Forma geral:ax
= b, em que x representa a varivel (incgnita) e a e b so nmeros
racionais, com a 0.Dizemos que a e b so os coeficientes da
equao.(ax = b, a forma mais simples da equaodo 1 grau)Exemplos:x -
4 = 2 + 7, (varivel x)2m + 6 = 12 3 ,(varivel m)-2r + 3 = 31,
(varivel r)5t + 3 = 2t 1 , (varivel t)3(b 2) = 3 + b,(varivel b)4 +
7 = 11, ( uma igualdade, mas no possui uma varivel, portanto no uma
equao do1 grau)3x 12 > 13, (possui uma varivel, mas no uma
igualdade, portanto no uma equaodo 1 grau)Obs: Devemos observar
duas partes em uma equao, o 1 membro esquerda do sinal deigual e o
2 membro direita do sinal de igual.Veja:Conjunto Universo: Conjunto
formado por todos os valores que a varivel pode
assumir.Representamos pela letra U.Conjunto Soluo: Conjunto formado
por valores do conjunto U que tornam a sentenaverdadeira.
Representamos pela letra S.Exemplo:Dentre os elementos do conjunto
F = {0, 2, 3, 6, 8, 9}, qual deles torna a sentenamatemtica 2x 4 =
2, verdadeira.2(0) 4 = 2 Errado2(2) 4 = 2 Errado2(3) 4 = 2
Verdadeiro2(6) 4 = 2 Errado2(8) 4 = 2 Errado2(9) 4 = 2
ErradoDevemos observar que o conjunto U = {0, 2, 3, 6, 8, 9}, e
conjunto S = {3}Raiz da equaoUm dado nmero chamado de raiz da
equao, quando este torna a igualdade verdadeira.Verificando se um
dado nmero raiz da equao:Exemplos:1. Vamos verificar se o nmero 4
raiz da equao 9a 4 = 8 + 6a Polcia Rodoviria Federal 49
50. Matemtica para ConcursosEquao 9a 4 = 8 + 6aVamos substituir
a por 4 >> 9(4) 4 = 8 + 6(4) >> 36 4 = 8 + 24 >>
32 = 32Ento, o nmero 4 raiz da equao ou seja conjunto soluo.2.
Vamos verificar se o nmero 3 raiz da equao 2x 3 = 3x + 2.Vamos
substituir x por 3 >> 2(-3) 3 = 3(-3) + 2 >> - 6 3 = -
9 + 2 >> - 9 = - 7 ,sentena falsa 9 diferente de 7 (- 9 -
7).Ento 3 no raiz da equao ou seja no conjunto soluo da
equao.Equaes EquivalentesDuas ou mais equaes que possui o mesmo
conjunto soluo (no vazio) so chamadasequaes equivalentes.Exemplo:1.
Dada as equaes , sendo U = Q.x + 2 = 8, a raiz ou soluo = 6x = 8 2,
a raiz ou soluo = 6x = 6, a raiz ou soluo = 6Podemos observar que
em todas as equaes apresentadas a raiz ou o conjunto soluo omesmo.
Por esse motivo, so chamadas equaes equivalentes.Resolvendo Equaes
do 1 GrauResolver uma equao do 1 grau em um determinado conjunto
universo significa determinara raiz ou conjunto soluo dessa equao,
caso exista soluo.Resoluo:Exemplo:Vamos resolver a equao 5a + 11 =
- 4, sendo U = Q.Aplicando o principio aditivo, vamos adicionar 11
aos dois membros da equao, e isolar otermo que contm a varivel a no
1 membro.5a + 11 = - 45a + 11 + ( 11) = - 4 + ( 11) (adicionamos 11
para podermos eliminar o + 11 do 1 membro)5a = - 4 115a = -
15Aplicando o principio multiplicativo, vamos multiplicar os dois
membros por (1/5)5a . (1/5) = - 15 . (1/5) (multiplicamos os dois
lados por (1/5) para podermos eliminar o 5que multiplica a
varivel)a=-3logo 3 0 Q, S = { - 3}obs:Devemos lembrar que equao uma
igualdade, tudo que fizermos em um membro temosque fazer no outro
para que a igualdade permanea.Modo prtico:Se voc prestou ateno na
resoluo, deve ter observado que o nmero que estava em ummembro com
determinado sinal aparece no outro membro com sinal diferente, e
quem estavamultiplicando aparece no outro membro dividindo. No
processo prtico fazemos assim.5a + 11 = - 45a = - 4 11(observe o
sinal do nmero 11) Polcia Rodoviria Federal 50
51. Matemtica para Concursos5a = -15a = -(1/5) (observe o nmero
5)a=-3S = {- 3}Resolvendo equaes pelo mtodo prtico:Exemplos:1)
Resolva as seguintes equaes do 1 grau com uma varivel sendo U = Qa)
y + 5 = 8y=85 (+5 passou para o 2 membro 5)y=3S = {3}b) 13x 16 = -
3x13x + 3x = 16 (- 3x passou para o 1 membro + 3x)16x = 16x= 16/16
(16 estava multiplicando x, passo para o 2 membro dividindo)x=1S =
{1}c) 3(x 2) (1 x) = 13 (aplicamos a propriedade distributiva da
multiplicao)3x 6 1 + x = 133x + x = 13 + 6 +1 (+6 e +1, passaram
para o 2 membro 6 e 1)4x = 20x= 20/4 (4 passou para o 2 membro
dividindo)x=5S = {5}d) (tiramos o mmc)5t 14 = 8t 20 (cancelamos os
denominadores)5t 8t = -20 + 14- 3t = - 6 (multiplicamos por 1, 1
membro negativo)3t = 6t=2S = {2}2) Vamos resolver a equao 5x 7 = 5x
5, sendo U = Q.5x 7 = 5x 55x 5x = - 5 + 70x = 2x= 2/0No existe
diviso por zero, dizemos que a equao impossvel em Q, ento S = {
}(vazio).3) Vamos resolver a equao 5x 4 = - 4 + 5x.5x 4 = - 4 +
5x5x 5x = - 4 + 40x = 0Dizemos que esta equao indetermina
(Infinitas solues), logo S = Q.4) Determine o conjunto soluo da
equao 18m 40 = 22m, sendo U = N.18m 40 = 22m18m 22m = 40- 4m = 40
(-1)4m = - 40m= -40/4 Polcia Rodoviria Federal 51
52. Matemtica para Concursosm = -10No existe 10 no conjunto
N(naturais), logo S = { }.Usando Equaes para Resolver Problemas do
1 GrauExemplos:1)Um nmero somado com seu dobro igual quinze.
Determine este nmero.x + 2x = 153x = 15x= 15/3x=5O nmero pro