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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASFACULDADE DE ENGENHARIA ELEacuteTRICA E DE COMPUTACcedilAtildeO

EE754 ndash ONDAS GUIADAS

Guias de OndaGuias Metaacutelicos RetangularesProf Lucas Heitzmann Gabrielli

Geometria e condiccedilotildees de contorno

120576 120583

119909

119910

119911119886

119887

119886 ge 119887

O guia retangular eacute envolto por um soacute condutorportanto natildeo apresenta modo TEM

O condutor eacute considerado ideal para a soluccedilatildeo modal(mais tarde introduziremos uma resistecircncia superficialpara o caacutelculo aproximado das perdas ocirchmicas comovisto anteriormente) Dessa maneira sabemos que ocampo eleacutetrico tangencial agraves 4 paredes do guia deve sernulo

119854119899 times (119812cond minus 119812) = 0 hArr 119854119899 times 119812 = 0

119909 isin 0 119886 rArr 119854119909 times 119812 = 0 hArr 119864119910 = 119864119911 = 0

119910 isin 0 119887 rArr 119854119910 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119911 = 0

Modos TMConhecendo a soluccedilatildeo para os modos TM escrevemos

119864119911 = [119860 cos(119896119909119909) + 119861 sin(119896119909119909)] 984671119862 cos(119896119910119910) + 119863 sin(119896119910119910)984672

Utilizando a condiccedilatildeo de contorno 119864119911 = 0 para 119909 = 0 e 119910 = 0 obtemos 119860 = 119862 = 0 Fazendo omesmo para 119909 = 119886 e 119910 = 119887

119896119909 = 119898120587119886

119896119910 = 119899120587119887

119898 119899 sub ℤlowast

Para cada par de iacutendices 119898 e 119899 existe uma soluccedilatildeo de campos para o guia de ondas chamadaTMmn (observe que 119864119909 e 119864119910 tambeacutem obedecem as respectivas condiccedilotildees de contorno)

119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) 119867119911 = 0

119864119909 = minus1198951205731198961199091198962

1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 119867119909 =

119895119896119896119910

1198962119905

1198640120578

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910)

119864119910 = minus119895120573119896119910

1198962119905

1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962

119905

1198640120578

cos(119896119909119909) sin(119896119910119910)

Frequecircncias de corte

A constante de propagaccedilatildeo do modo TMmn e o comprimento de onda guiado seratildeo

1205732 = 1198962 minus 1198962119905 = 1198962 minus 1198962

119909 minus 1198962119910

120582119892 = 2120587120573

Assim quando 119896 = 120596radic120583120576 = 119896119905 teremos 120573 = 0 caracterizando a situaccedilatildeo de corte deste modo

119896119888119898119899 = 120587984976984709119898119886

9847102

+ 984709119899119887

9847102

120582119888119898119899 = 2120587119896119888119898119899

= 2

984975984643119898119886 9846442 + 984643119899

119887 9846442

120596119888119898119899 = 119896119888119898119899radic120583120576= 119888119896119888119898119899 119891119888119898119899 = 119888

2984976984709119898

119886984710

2+ 984709119899

119887984710

2

Modos TEConhecendo a soluccedilatildeo para os modos TE escrevemos

119867119911 = [119860 cos(119896119909119909) + 119861 sin(119896119909119909)] 984671119862 cos(119896119910119910) + 119863 sin(119896119910119910)984672

As condiccedilotildees de contorno devem ser aplicadas diretamente agraves componentes 119864119909 e 119864119910 obtidas daexpressatildeo para 119867119911

119864119909 prop part119867119911part119910

= 119896119910 [119860 cos(119896119909119909) + 119861 sin(119896119909119909)] 984671minus119862 sin(119896119910119910) + 119863 cos(119896119910119910)984672

119864119910 prop part119867119911part119909

= 119896119909 [minus119860 sin(119896119909119909) + 119861 cos(119896119909119909)] 984671119862 cos(119896119910119910) + 119863 sin(119896119910119910)984672

Utilizando a condiccedilatildeo de contorno 119864119910 = 0 para 119909 = 0 e 119909 = 119886 e 119864119909 = 0 para 119910 = 0 e 119910 = 119887obtemos 119861 = 119863 = 0 e

119896119909 = 119898120587119886

119896119910 = 119899120587119887

119898 119899 sub ℤ |119898| + |119899| gt 0

Assim como para os modos TM chamamos os modos definidos pelos iacutendices 119898 e 119899 de TEmn

Modos TE

119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910)

119864119909 =119895119896119896119910

1198962119905

1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 119867119909 = 1198951205731198961199091198962

1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910)

119864119910 = minus1198951198961198961199091198962

1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 119867119910 =

119895120573119896119910

1198962119905

1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910)

As expressotildees para a situaccedilatildeo de corte para os modos TEmn (119896119888119898119899 120582119888119898119899 120596119888119898119899 e 119891119888119898119899) satildeo asmesmas que para o modo TMmn com a diferenccedila que para os modos TE 119898 ou 119899 podem serzero mas natildeo ambos

Modos dominantes e degeneradosO modo de menor frequecircncia de corte eacute chamado modo dominante

bull modo dominante TM TM11

bull modo dominante TE TE10

Modo fundamental (menor frequecircncia de corte entre todos) TE10

Banda de operaccedilatildeo monomodo banda de frequecircncia acima do corte do modo fundamental eabaixo da proacutexima frequecircncia de corte

119891

119887 le 1198862

11989111988810

1198882119886

11989111988820

119888119886

11989111988801

1198882119887

119891

1198862 le 119887 le 119886

11989111988810

1198882119886

11989111988820

119888119886

11989111988801

1198882119887

Modos degenerados (mesmas constantes de propagaccedilatildeo) TEmn e TMmn (119898119899 ne 0)

Relaccedilatildeo de dispersatildeo

119896 = 120596radic1205831205761205732119898119899 gt 0

1205732119898119899 lt 0

11989611988811

11989611988812

11989611988821

11989611988822

11989611988831

11989611988832

11989611988841

11989611988842

119896119909 = 119898120587119886

119896119910 = 119899120587119887

11989611988810 11989611988820 11989611988830 11989611988840

11989611988801

11989611988802

0 120587119886

2120587119886

3120587119886

4120587119886

0

120587119887

2120587119887

Relaccedilatildeo de dispersatildeo

1205732119898119899 = 1205962120583120576 minus 1198962

119888119898119899

1198962119888119898119899 = 1198962

119909 + 1198962119910

Modos propagantes (119896 gt 119896119888119898119899)

120573119898119899 = 9849751198962 minus 1198962119888119898119899

Modos evanescentes (119896 lt 119896119888119898119899)

120573119898119899 = minus119895120572119898119899

120572119898119899 = 9849751198962119888119898119899 minus 1198962

Modo TE10

119812 119815

Modo TE10

Podemos tambeacutem calcular as correntessuperficiais que mais tarde seratildeo utilizadaspara determinar as perdas nos condutores

119817119904 = 119854119899 times 119815

Lembrando que 119854119899 aponta para dentro doguia (o metal eacute o meio de interesse)

119817119904

Modo TE20

119812 119815

Modo TE01

119812 119815

Modo TE11

119812 119815

Modo TE21

119812 119815

Modo TM11

119812 119815

Velocidades de fase e grupo

120596 = 98497511988821205732 minus 1205962119888

(onda plana)120596 = 119888120573

120573

120596

120596119888 119907119892 = d120596d120573

119907119901 = 120596120573

119907119901 = 119888

9849761minus984687 119891119888119891 984688

2

119907119892 = 1198889849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

119891

119907

119888

119891119888

119907119901119907119892 = 1198882

Impedacircncias

Modos propagantes (119891 gt 119891119888)

120578TE = 120596120583120573

= 120578

9849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

120578TM = 120573120596120576

= 1205789849771 minus 984731119891119888119891

9847322

Modos evanescentes (119891 lt 119891119888)

120578TE = 119895120596120583120572

= 119895120578

984975984687119891119888119891 984688

2minus 1

120578TM = minus119895120572120596120576

= minus119895120578984977984731119891119888119891

9847322

minus 1

TETM

119891

|120578120577|

120578

119891119888

Potecircncia e atenuaccedilatildeo dieleacutetricaConsideramos agora apenas o modo fundamental TE10

119812 = minus119895119896119896119909

1205781198670 sin 984709120587119909119886

984710 119854119910 = 1198640 sin 984709120587119909119886

984710 119854119910 119815 = 119895120573119896119909

1198670 sin 984709120587119909119886

984710 119854119909+1198670 cos 984709120587119909119886

984710 119854119911

A potecircncia transmitida por esse modo pode ser calculado como

120034 sdot 119854119911 = 12

real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 = 12

real 984669120578minus1TE984670 |119812119905|2 = 119896120573

21198962119909

120578|1198670|2 sin2 120587119909119886

119875119879 =119886

9849580

119887

9849580

120034 sdot 119854119911 d119910 d119909 = 1198861198871205784

|1198670|2 119891119891119888

984977984753 119891119891119888

9847542

minus 1 = 1198861198874120578

|1198640|29849771 minus 984731119891119888119891

9847322

Como visto anteriormente as perdas no dieleacutetrico de condutividade efetiva 120590119889 satildeo dadas pelaconstante de atenuaccedilatildeo dieleacutetrica

120572119889 = 1205961205831205901198892120573

= 120578120590119889

29849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

Perdas nos condutoresO caacutelculo das perdas ocirchmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magneacuteticoaplicada sobre a resistecircncia superficial dos condutores do guia

120572119888 = 1199011198882119875119879

119901119888 = 984958ℓ

12

119877119904|119817119904|2 dℓ 119817119904 = 119854119899 times 119815

O caminho ℓ da integral 119901119888 eacute composto pelas quatro paredes do guia

Aleacutem disso como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos 119815 deveser tangencial aos condutores logo |119817119904| = |119815|

Efetuando-se os caacutelculos anteriores obtemos

120572119888 = 119877119904120578

9847151119887 + 2

119886 984687119891119888119891 984688

2984716

9849751 minus 984687119891119888119891 984688

2=

984973984972984972

120587120576119891

120590 9847151 minus 984687119891119888119891 984688

2984716

9847891119887

+ 2119886

984731119891119888119891

9847322984790

Baixas perdas

A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)

Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887

119891 [GHz]

120572 119888[N

pm

]

119891119888

001

002

003

004

005

10 20 30 40 500

WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]

90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400

7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170

Acoplamento

Acoplamento eleacutetrico TE10

1205821198924

Acoplamento magneacutetico TE10

Cavidade ressonante

Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria

119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911

119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911

119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0

119909

119910

119911119886

119887

ℓ ge 119886 ge 119887

Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos

119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus

0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911

119864119909 = minus1198951205731198961199091198962

119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+

0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666

119864119910 = minus119895120573119896119910

1198962119905

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus

0 119890119895120573119911984666

Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus

0 = 11986402 e 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp

119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0

119864119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =

119895119896119896119910

1198962119905

1198640120578

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus120573119896119910

1198962119905

1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962

119905

1198640120578

cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Modos TE

Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤlowast

119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)

119864119909 =119895119896119896119910

1198962119905

1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus1198951198961198961199091198962

1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus

119895119896119896119910

1198962119905

1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Frequecircncias de ressonacircncia

Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos

1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962

119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882

984976984709119898119886

9847102

+ 984709119899119887

9847102

+ 984709119901ℓ

9847102

Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)

Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante

Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587

119876 = 2120587 119882119875119871119879

= 2120587119891 119882119875119871

= 120596119882119890 + 119882119898119875119871

A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting

119882119890 = 984958119881

14

120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881

14

120583|119815|2 d119881

119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico

Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda

2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante

a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante

b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia

3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros

4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas

5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm

6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila

a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW

b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW

7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo

8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos

9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas

Page 2: 2b guias-retangular

Geometria e condiccedilotildees de contorno

120576 120583

119909

119910

119911119886

119887

119886 ge 119887

O guia retangular eacute envolto por um soacute condutorportanto natildeo apresenta modo TEM

O condutor eacute considerado ideal para a soluccedilatildeo modal(mais tarde introduziremos uma resistecircncia superficialpara o caacutelculo aproximado das perdas ocirchmicas comovisto anteriormente) Dessa maneira sabemos que ocampo eleacutetrico tangencial agraves 4 paredes do guia deve sernulo

119854119899 times (119812cond minus 119812) = 0 hArr 119854119899 times 119812 = 0

119909 isin 0 119886 rArr 119854119909 times 119812 = 0 hArr 119864119910 = 119864119911 = 0

119910 isin 0 119887 rArr 119854119910 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119911 = 0

Modos TMConhecendo a soluccedilatildeo para os modos TM escrevemos

119864119911 = [119860 cos(119896119909119909) + 119861 sin(119896119909119909)] 984671119862 cos(119896119910119910) + 119863 sin(119896119910119910)984672

Utilizando a condiccedilatildeo de contorno 119864119911 = 0 para 119909 = 0 e 119910 = 0 obtemos 119860 = 119862 = 0 Fazendo omesmo para 119909 = 119886 e 119910 = 119887

119896119909 = 119898120587119886

119896119910 = 119899120587119887

119898 119899 sub ℤlowast

Para cada par de iacutendices 119898 e 119899 existe uma soluccedilatildeo de campos para o guia de ondas chamadaTMmn (observe que 119864119909 e 119864119910 tambeacutem obedecem as respectivas condiccedilotildees de contorno)

119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) 119867119911 = 0

119864119909 = minus1198951205731198961199091198962

1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 119867119909 =

119895119896119896119910

1198962119905

1198640120578

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910)

119864119910 = minus119895120573119896119910

1198962119905

1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962

119905

1198640120578

cos(119896119909119909) sin(119896119910119910)

Frequecircncias de corte

A constante de propagaccedilatildeo do modo TMmn e o comprimento de onda guiado seratildeo

1205732 = 1198962 minus 1198962119905 = 1198962 minus 1198962

119909 minus 1198962119910

120582119892 = 2120587120573

Assim quando 119896 = 120596radic120583120576 = 119896119905 teremos 120573 = 0 caracterizando a situaccedilatildeo de corte deste modo

119896119888119898119899 = 120587984976984709119898119886

9847102

+ 984709119899119887

9847102

120582119888119898119899 = 2120587119896119888119898119899

= 2

984975984643119898119886 9846442 + 984643119899

119887 9846442

120596119888119898119899 = 119896119888119898119899radic120583120576= 119888119896119888119898119899 119891119888119898119899 = 119888

2984976984709119898

119886984710

2+ 984709119899

119887984710

2

Modos TEConhecendo a soluccedilatildeo para os modos TE escrevemos

119867119911 = [119860 cos(119896119909119909) + 119861 sin(119896119909119909)] 984671119862 cos(119896119910119910) + 119863 sin(119896119910119910)984672

As condiccedilotildees de contorno devem ser aplicadas diretamente agraves componentes 119864119909 e 119864119910 obtidas daexpressatildeo para 119867119911

119864119909 prop part119867119911part119910

= 119896119910 [119860 cos(119896119909119909) + 119861 sin(119896119909119909)] 984671minus119862 sin(119896119910119910) + 119863 cos(119896119910119910)984672

119864119910 prop part119867119911part119909

= 119896119909 [minus119860 sin(119896119909119909) + 119861 cos(119896119909119909)] 984671119862 cos(119896119910119910) + 119863 sin(119896119910119910)984672

Utilizando a condiccedilatildeo de contorno 119864119910 = 0 para 119909 = 0 e 119909 = 119886 e 119864119909 = 0 para 119910 = 0 e 119910 = 119887obtemos 119861 = 119863 = 0 e

119896119909 = 119898120587119886

119896119910 = 119899120587119887

119898 119899 sub ℤ |119898| + |119899| gt 0

Assim como para os modos TM chamamos os modos definidos pelos iacutendices 119898 e 119899 de TEmn

Modos TE

119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910)

119864119909 =119895119896119896119910

1198962119905

1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 119867119909 = 1198951205731198961199091198962

1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910)

119864119910 = minus1198951198961198961199091198962

1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 119867119910 =

119895120573119896119910

1198962119905

1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910)

As expressotildees para a situaccedilatildeo de corte para os modos TEmn (119896119888119898119899 120582119888119898119899 120596119888119898119899 e 119891119888119898119899) satildeo asmesmas que para o modo TMmn com a diferenccedila que para os modos TE 119898 ou 119899 podem serzero mas natildeo ambos

Modos dominantes e degeneradosO modo de menor frequecircncia de corte eacute chamado modo dominante

bull modo dominante TM TM11

bull modo dominante TE TE10

Modo fundamental (menor frequecircncia de corte entre todos) TE10

Banda de operaccedilatildeo monomodo banda de frequecircncia acima do corte do modo fundamental eabaixo da proacutexima frequecircncia de corte

119891

119887 le 1198862

11989111988810

1198882119886

11989111988820

119888119886

11989111988801

1198882119887

119891

1198862 le 119887 le 119886

11989111988810

1198882119886

11989111988820

119888119886

11989111988801

1198882119887

Modos degenerados (mesmas constantes de propagaccedilatildeo) TEmn e TMmn (119898119899 ne 0)

Relaccedilatildeo de dispersatildeo

119896 = 120596radic1205831205761205732119898119899 gt 0

1205732119898119899 lt 0

11989611988811

11989611988812

11989611988821

11989611988822

11989611988831

11989611988832

11989611988841

11989611988842

119896119909 = 119898120587119886

119896119910 = 119899120587119887

11989611988810 11989611988820 11989611988830 11989611988840

11989611988801

11989611988802

0 120587119886

2120587119886

3120587119886

4120587119886

0

120587119887

2120587119887

Relaccedilatildeo de dispersatildeo

1205732119898119899 = 1205962120583120576 minus 1198962

119888119898119899

1198962119888119898119899 = 1198962

119909 + 1198962119910

Modos propagantes (119896 gt 119896119888119898119899)

120573119898119899 = 9849751198962 minus 1198962119888119898119899

Modos evanescentes (119896 lt 119896119888119898119899)

120573119898119899 = minus119895120572119898119899

120572119898119899 = 9849751198962119888119898119899 minus 1198962

Modo TE10

119812 119815

Modo TE10

Podemos tambeacutem calcular as correntessuperficiais que mais tarde seratildeo utilizadaspara determinar as perdas nos condutores

119817119904 = 119854119899 times 119815

Lembrando que 119854119899 aponta para dentro doguia (o metal eacute o meio de interesse)

119817119904

Modo TE20

119812 119815

Modo TE01

119812 119815

Modo TE11

119812 119815

Modo TE21

119812 119815

Modo TM11

119812 119815

Velocidades de fase e grupo

120596 = 98497511988821205732 minus 1205962119888

(onda plana)120596 = 119888120573

120573

120596

120596119888 119907119892 = d120596d120573

119907119901 = 120596120573

119907119901 = 119888

9849761minus984687 119891119888119891 984688

2

119907119892 = 1198889849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

119891

119907

119888

119891119888

119907119901119907119892 = 1198882

Impedacircncias

Modos propagantes (119891 gt 119891119888)

120578TE = 120596120583120573

= 120578

9849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

120578TM = 120573120596120576

= 1205789849771 minus 984731119891119888119891

9847322

Modos evanescentes (119891 lt 119891119888)

120578TE = 119895120596120583120572

= 119895120578

984975984687119891119888119891 984688

2minus 1

120578TM = minus119895120572120596120576

= minus119895120578984977984731119891119888119891

9847322

minus 1

TETM

119891

|120578120577|

120578

119891119888

Potecircncia e atenuaccedilatildeo dieleacutetricaConsideramos agora apenas o modo fundamental TE10

119812 = minus119895119896119896119909

1205781198670 sin 984709120587119909119886

984710 119854119910 = 1198640 sin 984709120587119909119886

984710 119854119910 119815 = 119895120573119896119909

1198670 sin 984709120587119909119886

984710 119854119909+1198670 cos 984709120587119909119886

984710 119854119911

A potecircncia transmitida por esse modo pode ser calculado como

120034 sdot 119854119911 = 12

real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 = 12

real 984669120578minus1TE984670 |119812119905|2 = 119896120573

21198962119909

120578|1198670|2 sin2 120587119909119886

119875119879 =119886

9849580

119887

9849580

120034 sdot 119854119911 d119910 d119909 = 1198861198871205784

|1198670|2 119891119891119888

984977984753 119891119891119888

9847542

minus 1 = 1198861198874120578

|1198640|29849771 minus 984731119891119888119891

9847322

Como visto anteriormente as perdas no dieleacutetrico de condutividade efetiva 120590119889 satildeo dadas pelaconstante de atenuaccedilatildeo dieleacutetrica

120572119889 = 1205961205831205901198892120573

= 120578120590119889

29849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

Perdas nos condutoresO caacutelculo das perdas ocirchmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magneacuteticoaplicada sobre a resistecircncia superficial dos condutores do guia

120572119888 = 1199011198882119875119879

119901119888 = 984958ℓ

12

119877119904|119817119904|2 dℓ 119817119904 = 119854119899 times 119815

O caminho ℓ da integral 119901119888 eacute composto pelas quatro paredes do guia

Aleacutem disso como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos 119815 deveser tangencial aos condutores logo |119817119904| = |119815|

Efetuando-se os caacutelculos anteriores obtemos

120572119888 = 119877119904120578

9847151119887 + 2

119886 984687119891119888119891 984688

2984716

9849751 minus 984687119891119888119891 984688

2=

984973984972984972

120587120576119891

120590 9847151 minus 984687119891119888119891 984688

2984716

9847891119887

+ 2119886

984731119891119888119891

9847322984790

Baixas perdas

A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)

Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887

119891 [GHz]

120572 119888[N

pm

]

119891119888

001

002

003

004

005

10 20 30 40 500

WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]

90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400

7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170

Acoplamento

Acoplamento eleacutetrico TE10

1205821198924

Acoplamento magneacutetico TE10

Cavidade ressonante

Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria

119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911

119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911

119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0

119909

119910

119911119886

119887

ℓ ge 119886 ge 119887

Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos

119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus

0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911

119864119909 = minus1198951205731198961199091198962

119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+

0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666

119864119910 = minus119895120573119896119910

1198962119905

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus

0 119890119895120573119911984666

Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus

0 = 11986402 e 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp

119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0

119864119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =

119895119896119896119910

1198962119905

1198640120578

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus120573119896119910

1198962119905

1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962

119905

1198640120578

cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Modos TE

Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤlowast

119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)

119864119909 =119895119896119896119910

1198962119905

1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus1198951198961198961199091198962

1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus

119895119896119896119910

1198962119905

1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Frequecircncias de ressonacircncia

Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos

1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962

119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882

984976984709119898119886

9847102

+ 984709119899119887

9847102

+ 984709119901ℓ

9847102

Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)

Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante

Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587

119876 = 2120587 119882119875119871119879

= 2120587119891 119882119875119871

= 120596119882119890 + 119882119898119875119871

A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting

119882119890 = 984958119881

14

120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881

14

120583|119815|2 d119881

119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico

Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda

2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante

a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante

b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia

3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros

4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas

5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm

6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila

a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW

b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW

7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo

8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos

9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas

Page 3: 2b guias-retangular

Modos TMConhecendo a soluccedilatildeo para os modos TM escrevemos

119864119911 = [119860 cos(119896119909119909) + 119861 sin(119896119909119909)] 984671119862 cos(119896119910119910) + 119863 sin(119896119910119910)984672

Utilizando a condiccedilatildeo de contorno 119864119911 = 0 para 119909 = 0 e 119910 = 0 obtemos 119860 = 119862 = 0 Fazendo omesmo para 119909 = 119886 e 119910 = 119887

119896119909 = 119898120587119886

119896119910 = 119899120587119887

119898 119899 sub ℤlowast

Para cada par de iacutendices 119898 e 119899 existe uma soluccedilatildeo de campos para o guia de ondas chamadaTMmn (observe que 119864119909 e 119864119910 tambeacutem obedecem as respectivas condiccedilotildees de contorno)

119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) 119867119911 = 0

119864119909 = minus1198951205731198961199091198962

1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 119867119909 =

119895119896119896119910

1198962119905

1198640120578

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910)

119864119910 = minus119895120573119896119910

1198962119905

1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962

119905

1198640120578

cos(119896119909119909) sin(119896119910119910)

Frequecircncias de corte

A constante de propagaccedilatildeo do modo TMmn e o comprimento de onda guiado seratildeo

1205732 = 1198962 minus 1198962119905 = 1198962 minus 1198962

119909 minus 1198962119910

120582119892 = 2120587120573

Assim quando 119896 = 120596radic120583120576 = 119896119905 teremos 120573 = 0 caracterizando a situaccedilatildeo de corte deste modo

119896119888119898119899 = 120587984976984709119898119886

9847102

+ 984709119899119887

9847102

120582119888119898119899 = 2120587119896119888119898119899

= 2

984975984643119898119886 9846442 + 984643119899

119887 9846442

120596119888119898119899 = 119896119888119898119899radic120583120576= 119888119896119888119898119899 119891119888119898119899 = 119888

2984976984709119898

119886984710

2+ 984709119899

119887984710

2

Modos TEConhecendo a soluccedilatildeo para os modos TE escrevemos

119867119911 = [119860 cos(119896119909119909) + 119861 sin(119896119909119909)] 984671119862 cos(119896119910119910) + 119863 sin(119896119910119910)984672

As condiccedilotildees de contorno devem ser aplicadas diretamente agraves componentes 119864119909 e 119864119910 obtidas daexpressatildeo para 119867119911

119864119909 prop part119867119911part119910

= 119896119910 [119860 cos(119896119909119909) + 119861 sin(119896119909119909)] 984671minus119862 sin(119896119910119910) + 119863 cos(119896119910119910)984672

119864119910 prop part119867119911part119909

= 119896119909 [minus119860 sin(119896119909119909) + 119861 cos(119896119909119909)] 984671119862 cos(119896119910119910) + 119863 sin(119896119910119910)984672

Utilizando a condiccedilatildeo de contorno 119864119910 = 0 para 119909 = 0 e 119909 = 119886 e 119864119909 = 0 para 119910 = 0 e 119910 = 119887obtemos 119861 = 119863 = 0 e

119896119909 = 119898120587119886

119896119910 = 119899120587119887

119898 119899 sub ℤ |119898| + |119899| gt 0

Assim como para os modos TM chamamos os modos definidos pelos iacutendices 119898 e 119899 de TEmn

Modos TE

119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910)

119864119909 =119895119896119896119910

1198962119905

1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 119867119909 = 1198951205731198961199091198962

1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910)

119864119910 = minus1198951198961198961199091198962

1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 119867119910 =

119895120573119896119910

1198962119905

1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910)

As expressotildees para a situaccedilatildeo de corte para os modos TEmn (119896119888119898119899 120582119888119898119899 120596119888119898119899 e 119891119888119898119899) satildeo asmesmas que para o modo TMmn com a diferenccedila que para os modos TE 119898 ou 119899 podem serzero mas natildeo ambos

Modos dominantes e degeneradosO modo de menor frequecircncia de corte eacute chamado modo dominante

bull modo dominante TM TM11

bull modo dominante TE TE10

Modo fundamental (menor frequecircncia de corte entre todos) TE10

Banda de operaccedilatildeo monomodo banda de frequecircncia acima do corte do modo fundamental eabaixo da proacutexima frequecircncia de corte

119891

119887 le 1198862

11989111988810

1198882119886

11989111988820

119888119886

11989111988801

1198882119887

119891

1198862 le 119887 le 119886

11989111988810

1198882119886

11989111988820

119888119886

11989111988801

1198882119887

Modos degenerados (mesmas constantes de propagaccedilatildeo) TEmn e TMmn (119898119899 ne 0)

Relaccedilatildeo de dispersatildeo

119896 = 120596radic1205831205761205732119898119899 gt 0

1205732119898119899 lt 0

11989611988811

11989611988812

11989611988821

11989611988822

11989611988831

11989611988832

11989611988841

11989611988842

119896119909 = 119898120587119886

119896119910 = 119899120587119887

11989611988810 11989611988820 11989611988830 11989611988840

11989611988801

11989611988802

0 120587119886

2120587119886

3120587119886

4120587119886

0

120587119887

2120587119887

Relaccedilatildeo de dispersatildeo

1205732119898119899 = 1205962120583120576 minus 1198962

119888119898119899

1198962119888119898119899 = 1198962

119909 + 1198962119910

Modos propagantes (119896 gt 119896119888119898119899)

120573119898119899 = 9849751198962 minus 1198962119888119898119899

Modos evanescentes (119896 lt 119896119888119898119899)

120573119898119899 = minus119895120572119898119899

120572119898119899 = 9849751198962119888119898119899 minus 1198962

Modo TE10

119812 119815

Modo TE10

Podemos tambeacutem calcular as correntessuperficiais que mais tarde seratildeo utilizadaspara determinar as perdas nos condutores

119817119904 = 119854119899 times 119815

Lembrando que 119854119899 aponta para dentro doguia (o metal eacute o meio de interesse)

119817119904

Modo TE20

119812 119815

Modo TE01

119812 119815

Modo TE11

119812 119815

Modo TE21

119812 119815

Modo TM11

119812 119815

Velocidades de fase e grupo

120596 = 98497511988821205732 minus 1205962119888

(onda plana)120596 = 119888120573

120573

120596

120596119888 119907119892 = d120596d120573

119907119901 = 120596120573

119907119901 = 119888

9849761minus984687 119891119888119891 984688

2

119907119892 = 1198889849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

119891

119907

119888

119891119888

119907119901119907119892 = 1198882

Impedacircncias

Modos propagantes (119891 gt 119891119888)

120578TE = 120596120583120573

= 120578

9849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

120578TM = 120573120596120576

= 1205789849771 minus 984731119891119888119891

9847322

Modos evanescentes (119891 lt 119891119888)

120578TE = 119895120596120583120572

= 119895120578

984975984687119891119888119891 984688

2minus 1

120578TM = minus119895120572120596120576

= minus119895120578984977984731119891119888119891

9847322

minus 1

TETM

119891

|120578120577|

120578

119891119888

Potecircncia e atenuaccedilatildeo dieleacutetricaConsideramos agora apenas o modo fundamental TE10

119812 = minus119895119896119896119909

1205781198670 sin 984709120587119909119886

984710 119854119910 = 1198640 sin 984709120587119909119886

984710 119854119910 119815 = 119895120573119896119909

1198670 sin 984709120587119909119886

984710 119854119909+1198670 cos 984709120587119909119886

984710 119854119911

A potecircncia transmitida por esse modo pode ser calculado como

120034 sdot 119854119911 = 12

real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 = 12

real 984669120578minus1TE984670 |119812119905|2 = 119896120573

21198962119909

120578|1198670|2 sin2 120587119909119886

119875119879 =119886

9849580

119887

9849580

120034 sdot 119854119911 d119910 d119909 = 1198861198871205784

|1198670|2 119891119891119888

984977984753 119891119891119888

9847542

minus 1 = 1198861198874120578

|1198640|29849771 minus 984731119891119888119891

9847322

Como visto anteriormente as perdas no dieleacutetrico de condutividade efetiva 120590119889 satildeo dadas pelaconstante de atenuaccedilatildeo dieleacutetrica

120572119889 = 1205961205831205901198892120573

= 120578120590119889

29849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

Perdas nos condutoresO caacutelculo das perdas ocirchmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magneacuteticoaplicada sobre a resistecircncia superficial dos condutores do guia

120572119888 = 1199011198882119875119879

119901119888 = 984958ℓ

12

119877119904|119817119904|2 dℓ 119817119904 = 119854119899 times 119815

O caminho ℓ da integral 119901119888 eacute composto pelas quatro paredes do guia

Aleacutem disso como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos 119815 deveser tangencial aos condutores logo |119817119904| = |119815|

Efetuando-se os caacutelculos anteriores obtemos

120572119888 = 119877119904120578

9847151119887 + 2

119886 984687119891119888119891 984688

2984716

9849751 minus 984687119891119888119891 984688

2=

984973984972984972

120587120576119891

120590 9847151 minus 984687119891119888119891 984688

2984716

9847891119887

+ 2119886

984731119891119888119891

9847322984790

Baixas perdas

A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)

Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887

119891 [GHz]

120572 119888[N

pm

]

119891119888

001

002

003

004

005

10 20 30 40 500

WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]

90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400

7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170

Acoplamento

Acoplamento eleacutetrico TE10

1205821198924

Acoplamento magneacutetico TE10

Cavidade ressonante

Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria

119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911

119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911

119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0

119909

119910

119911119886

119887

ℓ ge 119886 ge 119887

Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos

119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus

0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911

119864119909 = minus1198951205731198961199091198962

119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+

0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666

119864119910 = minus119895120573119896119910

1198962119905

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus

0 119890119895120573119911984666

Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus

0 = 11986402 e 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp

119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0

119864119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =

119895119896119896119910

1198962119905

1198640120578

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus120573119896119910

1198962119905

1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962

119905

1198640120578

cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Modos TE

Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤlowast

119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)

119864119909 =119895119896119896119910

1198962119905

1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus1198951198961198961199091198962

1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus

119895119896119896119910

1198962119905

1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Frequecircncias de ressonacircncia

Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos

1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962

119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882

984976984709119898119886

9847102

+ 984709119899119887

9847102

+ 984709119901ℓ

9847102

Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)

Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante

Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587

119876 = 2120587 119882119875119871119879

= 2120587119891 119882119875119871

= 120596119882119890 + 119882119898119875119871

A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting

119882119890 = 984958119881

14

120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881

14

120583|119815|2 d119881

119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico

Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda

2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante

a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante

b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia

3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros

4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas

5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm

6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila

a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW

b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW

7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo

8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos

9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas

Page 4: 2b guias-retangular

Frequecircncias de corte

A constante de propagaccedilatildeo do modo TMmn e o comprimento de onda guiado seratildeo

1205732 = 1198962 minus 1198962119905 = 1198962 minus 1198962

119909 minus 1198962119910

120582119892 = 2120587120573

Assim quando 119896 = 120596radic120583120576 = 119896119905 teremos 120573 = 0 caracterizando a situaccedilatildeo de corte deste modo

119896119888119898119899 = 120587984976984709119898119886

9847102

+ 984709119899119887

9847102

120582119888119898119899 = 2120587119896119888119898119899

= 2

984975984643119898119886 9846442 + 984643119899

119887 9846442

120596119888119898119899 = 119896119888119898119899radic120583120576= 119888119896119888119898119899 119891119888119898119899 = 119888

2984976984709119898

119886984710

2+ 984709119899

119887984710

2

Modos TEConhecendo a soluccedilatildeo para os modos TE escrevemos

119867119911 = [119860 cos(119896119909119909) + 119861 sin(119896119909119909)] 984671119862 cos(119896119910119910) + 119863 sin(119896119910119910)984672

As condiccedilotildees de contorno devem ser aplicadas diretamente agraves componentes 119864119909 e 119864119910 obtidas daexpressatildeo para 119867119911

119864119909 prop part119867119911part119910

= 119896119910 [119860 cos(119896119909119909) + 119861 sin(119896119909119909)] 984671minus119862 sin(119896119910119910) + 119863 cos(119896119910119910)984672

119864119910 prop part119867119911part119909

= 119896119909 [minus119860 sin(119896119909119909) + 119861 cos(119896119909119909)] 984671119862 cos(119896119910119910) + 119863 sin(119896119910119910)984672

Utilizando a condiccedilatildeo de contorno 119864119910 = 0 para 119909 = 0 e 119909 = 119886 e 119864119909 = 0 para 119910 = 0 e 119910 = 119887obtemos 119861 = 119863 = 0 e

119896119909 = 119898120587119886

119896119910 = 119899120587119887

119898 119899 sub ℤ |119898| + |119899| gt 0

Assim como para os modos TM chamamos os modos definidos pelos iacutendices 119898 e 119899 de TEmn

Modos TE

119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910)

119864119909 =119895119896119896119910

1198962119905

1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 119867119909 = 1198951205731198961199091198962

1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910)

119864119910 = minus1198951198961198961199091198962

1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 119867119910 =

119895120573119896119910

1198962119905

1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910)

As expressotildees para a situaccedilatildeo de corte para os modos TEmn (119896119888119898119899 120582119888119898119899 120596119888119898119899 e 119891119888119898119899) satildeo asmesmas que para o modo TMmn com a diferenccedila que para os modos TE 119898 ou 119899 podem serzero mas natildeo ambos

Modos dominantes e degeneradosO modo de menor frequecircncia de corte eacute chamado modo dominante

bull modo dominante TM TM11

bull modo dominante TE TE10

Modo fundamental (menor frequecircncia de corte entre todos) TE10

Banda de operaccedilatildeo monomodo banda de frequecircncia acima do corte do modo fundamental eabaixo da proacutexima frequecircncia de corte

119891

119887 le 1198862

11989111988810

1198882119886

11989111988820

119888119886

11989111988801

1198882119887

119891

1198862 le 119887 le 119886

11989111988810

1198882119886

11989111988820

119888119886

11989111988801

1198882119887

Modos degenerados (mesmas constantes de propagaccedilatildeo) TEmn e TMmn (119898119899 ne 0)

Relaccedilatildeo de dispersatildeo

119896 = 120596radic1205831205761205732119898119899 gt 0

1205732119898119899 lt 0

11989611988811

11989611988812

11989611988821

11989611988822

11989611988831

11989611988832

11989611988841

11989611988842

119896119909 = 119898120587119886

119896119910 = 119899120587119887

11989611988810 11989611988820 11989611988830 11989611988840

11989611988801

11989611988802

0 120587119886

2120587119886

3120587119886

4120587119886

0

120587119887

2120587119887

Relaccedilatildeo de dispersatildeo

1205732119898119899 = 1205962120583120576 minus 1198962

119888119898119899

1198962119888119898119899 = 1198962

119909 + 1198962119910

Modos propagantes (119896 gt 119896119888119898119899)

120573119898119899 = 9849751198962 minus 1198962119888119898119899

Modos evanescentes (119896 lt 119896119888119898119899)

120573119898119899 = minus119895120572119898119899

120572119898119899 = 9849751198962119888119898119899 minus 1198962

Modo TE10

119812 119815

Modo TE10

Podemos tambeacutem calcular as correntessuperficiais que mais tarde seratildeo utilizadaspara determinar as perdas nos condutores

119817119904 = 119854119899 times 119815

Lembrando que 119854119899 aponta para dentro doguia (o metal eacute o meio de interesse)

119817119904

Modo TE20

119812 119815

Modo TE01

119812 119815

Modo TE11

119812 119815

Modo TE21

119812 119815

Modo TM11

119812 119815

Velocidades de fase e grupo

120596 = 98497511988821205732 minus 1205962119888

(onda plana)120596 = 119888120573

120573

120596

120596119888 119907119892 = d120596d120573

119907119901 = 120596120573

119907119901 = 119888

9849761minus984687 119891119888119891 984688

2

119907119892 = 1198889849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

119891

119907

119888

119891119888

119907119901119907119892 = 1198882

Impedacircncias

Modos propagantes (119891 gt 119891119888)

120578TE = 120596120583120573

= 120578

9849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

120578TM = 120573120596120576

= 1205789849771 minus 984731119891119888119891

9847322

Modos evanescentes (119891 lt 119891119888)

120578TE = 119895120596120583120572

= 119895120578

984975984687119891119888119891 984688

2minus 1

120578TM = minus119895120572120596120576

= minus119895120578984977984731119891119888119891

9847322

minus 1

TETM

119891

|120578120577|

120578

119891119888

Potecircncia e atenuaccedilatildeo dieleacutetricaConsideramos agora apenas o modo fundamental TE10

119812 = minus119895119896119896119909

1205781198670 sin 984709120587119909119886

984710 119854119910 = 1198640 sin 984709120587119909119886

984710 119854119910 119815 = 119895120573119896119909

1198670 sin 984709120587119909119886

984710 119854119909+1198670 cos 984709120587119909119886

984710 119854119911

A potecircncia transmitida por esse modo pode ser calculado como

120034 sdot 119854119911 = 12

real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 = 12

real 984669120578minus1TE984670 |119812119905|2 = 119896120573

21198962119909

120578|1198670|2 sin2 120587119909119886

119875119879 =119886

9849580

119887

9849580

120034 sdot 119854119911 d119910 d119909 = 1198861198871205784

|1198670|2 119891119891119888

984977984753 119891119891119888

9847542

minus 1 = 1198861198874120578

|1198640|29849771 minus 984731119891119888119891

9847322

Como visto anteriormente as perdas no dieleacutetrico de condutividade efetiva 120590119889 satildeo dadas pelaconstante de atenuaccedilatildeo dieleacutetrica

120572119889 = 1205961205831205901198892120573

= 120578120590119889

29849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

Perdas nos condutoresO caacutelculo das perdas ocirchmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magneacuteticoaplicada sobre a resistecircncia superficial dos condutores do guia

120572119888 = 1199011198882119875119879

119901119888 = 984958ℓ

12

119877119904|119817119904|2 dℓ 119817119904 = 119854119899 times 119815

O caminho ℓ da integral 119901119888 eacute composto pelas quatro paredes do guia

Aleacutem disso como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos 119815 deveser tangencial aos condutores logo |119817119904| = |119815|

Efetuando-se os caacutelculos anteriores obtemos

120572119888 = 119877119904120578

9847151119887 + 2

119886 984687119891119888119891 984688

2984716

9849751 minus 984687119891119888119891 984688

2=

984973984972984972

120587120576119891

120590 9847151 minus 984687119891119888119891 984688

2984716

9847891119887

+ 2119886

984731119891119888119891

9847322984790

Baixas perdas

A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)

Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887

119891 [GHz]

120572 119888[N

pm

]

119891119888

001

002

003

004

005

10 20 30 40 500

WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]

90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400

7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170

Acoplamento

Acoplamento eleacutetrico TE10

1205821198924

Acoplamento magneacutetico TE10

Cavidade ressonante

Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria

119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911

119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911

119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0

119909

119910

119911119886

119887

ℓ ge 119886 ge 119887

Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos

119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus

0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911

119864119909 = minus1198951205731198961199091198962

119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+

0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666

119864119910 = minus119895120573119896119910

1198962119905

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus

0 119890119895120573119911984666

Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus

0 = 11986402 e 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp

119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0

119864119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =

119895119896119896119910

1198962119905

1198640120578

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus120573119896119910

1198962119905

1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962

119905

1198640120578

cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Modos TE

Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤlowast

119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)

119864119909 =119895119896119896119910

1198962119905

1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus1198951198961198961199091198962

1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus

119895119896119896119910

1198962119905

1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Frequecircncias de ressonacircncia

Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos

1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962

119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882

984976984709119898119886

9847102

+ 984709119899119887

9847102

+ 984709119901ℓ

9847102

Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)

Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante

Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587

119876 = 2120587 119882119875119871119879

= 2120587119891 119882119875119871

= 120596119882119890 + 119882119898119875119871

A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting

119882119890 = 984958119881

14

120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881

14

120583|119815|2 d119881

119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico

Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda

2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante

a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante

b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia

3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros

4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas

5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm

6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila

a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW

b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW

7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo

8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos

9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas

Page 5: 2b guias-retangular

Modos TEConhecendo a soluccedilatildeo para os modos TE escrevemos

119867119911 = [119860 cos(119896119909119909) + 119861 sin(119896119909119909)] 984671119862 cos(119896119910119910) + 119863 sin(119896119910119910)984672

As condiccedilotildees de contorno devem ser aplicadas diretamente agraves componentes 119864119909 e 119864119910 obtidas daexpressatildeo para 119867119911

119864119909 prop part119867119911part119910

= 119896119910 [119860 cos(119896119909119909) + 119861 sin(119896119909119909)] 984671minus119862 sin(119896119910119910) + 119863 cos(119896119910119910)984672

119864119910 prop part119867119911part119909

= 119896119909 [minus119860 sin(119896119909119909) + 119861 cos(119896119909119909)] 984671119862 cos(119896119910119910) + 119863 sin(119896119910119910)984672

Utilizando a condiccedilatildeo de contorno 119864119910 = 0 para 119909 = 0 e 119909 = 119886 e 119864119909 = 0 para 119910 = 0 e 119910 = 119887obtemos 119861 = 119863 = 0 e

119896119909 = 119898120587119886

119896119910 = 119899120587119887

119898 119899 sub ℤ |119898| + |119899| gt 0

Assim como para os modos TM chamamos os modos definidos pelos iacutendices 119898 e 119899 de TEmn

Modos TE

119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910)

119864119909 =119895119896119896119910

1198962119905

1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 119867119909 = 1198951205731198961199091198962

1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910)

119864119910 = minus1198951198961198961199091198962

1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 119867119910 =

119895120573119896119910

1198962119905

1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910)

As expressotildees para a situaccedilatildeo de corte para os modos TEmn (119896119888119898119899 120582119888119898119899 120596119888119898119899 e 119891119888119898119899) satildeo asmesmas que para o modo TMmn com a diferenccedila que para os modos TE 119898 ou 119899 podem serzero mas natildeo ambos

Modos dominantes e degeneradosO modo de menor frequecircncia de corte eacute chamado modo dominante

bull modo dominante TM TM11

bull modo dominante TE TE10

Modo fundamental (menor frequecircncia de corte entre todos) TE10

Banda de operaccedilatildeo monomodo banda de frequecircncia acima do corte do modo fundamental eabaixo da proacutexima frequecircncia de corte

119891

119887 le 1198862

11989111988810

1198882119886

11989111988820

119888119886

11989111988801

1198882119887

119891

1198862 le 119887 le 119886

11989111988810

1198882119886

11989111988820

119888119886

11989111988801

1198882119887

Modos degenerados (mesmas constantes de propagaccedilatildeo) TEmn e TMmn (119898119899 ne 0)

Relaccedilatildeo de dispersatildeo

119896 = 120596radic1205831205761205732119898119899 gt 0

1205732119898119899 lt 0

11989611988811

11989611988812

11989611988821

11989611988822

11989611988831

11989611988832

11989611988841

11989611988842

119896119909 = 119898120587119886

119896119910 = 119899120587119887

11989611988810 11989611988820 11989611988830 11989611988840

11989611988801

11989611988802

0 120587119886

2120587119886

3120587119886

4120587119886

0

120587119887

2120587119887

Relaccedilatildeo de dispersatildeo

1205732119898119899 = 1205962120583120576 minus 1198962

119888119898119899

1198962119888119898119899 = 1198962

119909 + 1198962119910

Modos propagantes (119896 gt 119896119888119898119899)

120573119898119899 = 9849751198962 minus 1198962119888119898119899

Modos evanescentes (119896 lt 119896119888119898119899)

120573119898119899 = minus119895120572119898119899

120572119898119899 = 9849751198962119888119898119899 minus 1198962

Modo TE10

119812 119815

Modo TE10

Podemos tambeacutem calcular as correntessuperficiais que mais tarde seratildeo utilizadaspara determinar as perdas nos condutores

119817119904 = 119854119899 times 119815

Lembrando que 119854119899 aponta para dentro doguia (o metal eacute o meio de interesse)

119817119904

Modo TE20

119812 119815

Modo TE01

119812 119815

Modo TE11

119812 119815

Modo TE21

119812 119815

Modo TM11

119812 119815

Velocidades de fase e grupo

120596 = 98497511988821205732 minus 1205962119888

(onda plana)120596 = 119888120573

120573

120596

120596119888 119907119892 = d120596d120573

119907119901 = 120596120573

119907119901 = 119888

9849761minus984687 119891119888119891 984688

2

119907119892 = 1198889849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

119891

119907

119888

119891119888

119907119901119907119892 = 1198882

Impedacircncias

Modos propagantes (119891 gt 119891119888)

120578TE = 120596120583120573

= 120578

9849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

120578TM = 120573120596120576

= 1205789849771 minus 984731119891119888119891

9847322

Modos evanescentes (119891 lt 119891119888)

120578TE = 119895120596120583120572

= 119895120578

984975984687119891119888119891 984688

2minus 1

120578TM = minus119895120572120596120576

= minus119895120578984977984731119891119888119891

9847322

minus 1

TETM

119891

|120578120577|

120578

119891119888

Potecircncia e atenuaccedilatildeo dieleacutetricaConsideramos agora apenas o modo fundamental TE10

119812 = minus119895119896119896119909

1205781198670 sin 984709120587119909119886

984710 119854119910 = 1198640 sin 984709120587119909119886

984710 119854119910 119815 = 119895120573119896119909

1198670 sin 984709120587119909119886

984710 119854119909+1198670 cos 984709120587119909119886

984710 119854119911

A potecircncia transmitida por esse modo pode ser calculado como

120034 sdot 119854119911 = 12

real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 = 12

real 984669120578minus1TE984670 |119812119905|2 = 119896120573

21198962119909

120578|1198670|2 sin2 120587119909119886

119875119879 =119886

9849580

119887

9849580

120034 sdot 119854119911 d119910 d119909 = 1198861198871205784

|1198670|2 119891119891119888

984977984753 119891119891119888

9847542

minus 1 = 1198861198874120578

|1198640|29849771 minus 984731119891119888119891

9847322

Como visto anteriormente as perdas no dieleacutetrico de condutividade efetiva 120590119889 satildeo dadas pelaconstante de atenuaccedilatildeo dieleacutetrica

120572119889 = 1205961205831205901198892120573

= 120578120590119889

29849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

Perdas nos condutoresO caacutelculo das perdas ocirchmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magneacuteticoaplicada sobre a resistecircncia superficial dos condutores do guia

120572119888 = 1199011198882119875119879

119901119888 = 984958ℓ

12

119877119904|119817119904|2 dℓ 119817119904 = 119854119899 times 119815

O caminho ℓ da integral 119901119888 eacute composto pelas quatro paredes do guia

Aleacutem disso como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos 119815 deveser tangencial aos condutores logo |119817119904| = |119815|

Efetuando-se os caacutelculos anteriores obtemos

120572119888 = 119877119904120578

9847151119887 + 2

119886 984687119891119888119891 984688

2984716

9849751 minus 984687119891119888119891 984688

2=

984973984972984972

120587120576119891

120590 9847151 minus 984687119891119888119891 984688

2984716

9847891119887

+ 2119886

984731119891119888119891

9847322984790

Baixas perdas

A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)

Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887

119891 [GHz]

120572 119888[N

pm

]

119891119888

001

002

003

004

005

10 20 30 40 500

WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]

90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400

7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170

Acoplamento

Acoplamento eleacutetrico TE10

1205821198924

Acoplamento magneacutetico TE10

Cavidade ressonante

Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria

119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911

119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911

119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0

119909

119910

119911119886

119887

ℓ ge 119886 ge 119887

Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos

119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus

0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911

119864119909 = minus1198951205731198961199091198962

119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+

0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666

119864119910 = minus119895120573119896119910

1198962119905

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus

0 119890119895120573119911984666

Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus

0 = 11986402 e 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp

119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0

119864119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =

119895119896119896119910

1198962119905

1198640120578

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus120573119896119910

1198962119905

1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962

119905

1198640120578

cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Modos TE

Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤlowast

119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)

119864119909 =119895119896119896119910

1198962119905

1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus1198951198961198961199091198962

1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus

119895119896119896119910

1198962119905

1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Frequecircncias de ressonacircncia

Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos

1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962

119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882

984976984709119898119886

9847102

+ 984709119899119887

9847102

+ 984709119901ℓ

9847102

Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)

Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante

Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587

119876 = 2120587 119882119875119871119879

= 2120587119891 119882119875119871

= 120596119882119890 + 119882119898119875119871

A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting

119882119890 = 984958119881

14

120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881

14

120583|119815|2 d119881

119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico

Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda

2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante

a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante

b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia

3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros

4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas

5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm

6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila

a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW

b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW

7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo

8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos

9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas

Page 6: 2b guias-retangular

Modos TE

119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910)

119864119909 =119895119896119896119910

1198962119905

1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 119867119909 = 1198951205731198961199091198962

1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910)

119864119910 = minus1198951198961198961199091198962

1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 119867119910 =

119895120573119896119910

1198962119905

1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910)

As expressotildees para a situaccedilatildeo de corte para os modos TEmn (119896119888119898119899 120582119888119898119899 120596119888119898119899 e 119891119888119898119899) satildeo asmesmas que para o modo TMmn com a diferenccedila que para os modos TE 119898 ou 119899 podem serzero mas natildeo ambos

Modos dominantes e degeneradosO modo de menor frequecircncia de corte eacute chamado modo dominante

bull modo dominante TM TM11

bull modo dominante TE TE10

Modo fundamental (menor frequecircncia de corte entre todos) TE10

Banda de operaccedilatildeo monomodo banda de frequecircncia acima do corte do modo fundamental eabaixo da proacutexima frequecircncia de corte

119891

119887 le 1198862

11989111988810

1198882119886

11989111988820

119888119886

11989111988801

1198882119887

119891

1198862 le 119887 le 119886

11989111988810

1198882119886

11989111988820

119888119886

11989111988801

1198882119887

Modos degenerados (mesmas constantes de propagaccedilatildeo) TEmn e TMmn (119898119899 ne 0)

Relaccedilatildeo de dispersatildeo

119896 = 120596radic1205831205761205732119898119899 gt 0

1205732119898119899 lt 0

11989611988811

11989611988812

11989611988821

11989611988822

11989611988831

11989611988832

11989611988841

11989611988842

119896119909 = 119898120587119886

119896119910 = 119899120587119887

11989611988810 11989611988820 11989611988830 11989611988840

11989611988801

11989611988802

0 120587119886

2120587119886

3120587119886

4120587119886

0

120587119887

2120587119887

Relaccedilatildeo de dispersatildeo

1205732119898119899 = 1205962120583120576 minus 1198962

119888119898119899

1198962119888119898119899 = 1198962

119909 + 1198962119910

Modos propagantes (119896 gt 119896119888119898119899)

120573119898119899 = 9849751198962 minus 1198962119888119898119899

Modos evanescentes (119896 lt 119896119888119898119899)

120573119898119899 = minus119895120572119898119899

120572119898119899 = 9849751198962119888119898119899 minus 1198962

Modo TE10

119812 119815

Modo TE10

Podemos tambeacutem calcular as correntessuperficiais que mais tarde seratildeo utilizadaspara determinar as perdas nos condutores

119817119904 = 119854119899 times 119815

Lembrando que 119854119899 aponta para dentro doguia (o metal eacute o meio de interesse)

119817119904

Modo TE20

119812 119815

Modo TE01

119812 119815

Modo TE11

119812 119815

Modo TE21

119812 119815

Modo TM11

119812 119815

Velocidades de fase e grupo

120596 = 98497511988821205732 minus 1205962119888

(onda plana)120596 = 119888120573

120573

120596

120596119888 119907119892 = d120596d120573

119907119901 = 120596120573

119907119901 = 119888

9849761minus984687 119891119888119891 984688

2

119907119892 = 1198889849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

119891

119907

119888

119891119888

119907119901119907119892 = 1198882

Impedacircncias

Modos propagantes (119891 gt 119891119888)

120578TE = 120596120583120573

= 120578

9849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

120578TM = 120573120596120576

= 1205789849771 minus 984731119891119888119891

9847322

Modos evanescentes (119891 lt 119891119888)

120578TE = 119895120596120583120572

= 119895120578

984975984687119891119888119891 984688

2minus 1

120578TM = minus119895120572120596120576

= minus119895120578984977984731119891119888119891

9847322

minus 1

TETM

119891

|120578120577|

120578

119891119888

Potecircncia e atenuaccedilatildeo dieleacutetricaConsideramos agora apenas o modo fundamental TE10

119812 = minus119895119896119896119909

1205781198670 sin 984709120587119909119886

984710 119854119910 = 1198640 sin 984709120587119909119886

984710 119854119910 119815 = 119895120573119896119909

1198670 sin 984709120587119909119886

984710 119854119909+1198670 cos 984709120587119909119886

984710 119854119911

A potecircncia transmitida por esse modo pode ser calculado como

120034 sdot 119854119911 = 12

real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 = 12

real 984669120578minus1TE984670 |119812119905|2 = 119896120573

21198962119909

120578|1198670|2 sin2 120587119909119886

119875119879 =119886

9849580

119887

9849580

120034 sdot 119854119911 d119910 d119909 = 1198861198871205784

|1198670|2 119891119891119888

984977984753 119891119891119888

9847542

minus 1 = 1198861198874120578

|1198640|29849771 minus 984731119891119888119891

9847322

Como visto anteriormente as perdas no dieleacutetrico de condutividade efetiva 120590119889 satildeo dadas pelaconstante de atenuaccedilatildeo dieleacutetrica

120572119889 = 1205961205831205901198892120573

= 120578120590119889

29849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

Perdas nos condutoresO caacutelculo das perdas ocirchmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magneacuteticoaplicada sobre a resistecircncia superficial dos condutores do guia

120572119888 = 1199011198882119875119879

119901119888 = 984958ℓ

12

119877119904|119817119904|2 dℓ 119817119904 = 119854119899 times 119815

O caminho ℓ da integral 119901119888 eacute composto pelas quatro paredes do guia

Aleacutem disso como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos 119815 deveser tangencial aos condutores logo |119817119904| = |119815|

Efetuando-se os caacutelculos anteriores obtemos

120572119888 = 119877119904120578

9847151119887 + 2

119886 984687119891119888119891 984688

2984716

9849751 minus 984687119891119888119891 984688

2=

984973984972984972

120587120576119891

120590 9847151 minus 984687119891119888119891 984688

2984716

9847891119887

+ 2119886

984731119891119888119891

9847322984790

Baixas perdas

A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)

Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887

119891 [GHz]

120572 119888[N

pm

]

119891119888

001

002

003

004

005

10 20 30 40 500

WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]

90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400

7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170

Acoplamento

Acoplamento eleacutetrico TE10

1205821198924

Acoplamento magneacutetico TE10

Cavidade ressonante

Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria

119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911

119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911

119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0

119909

119910

119911119886

119887

ℓ ge 119886 ge 119887

Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos

119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus

0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911

119864119909 = minus1198951205731198961199091198962

119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+

0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666

119864119910 = minus119895120573119896119910

1198962119905

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus

0 119890119895120573119911984666

Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus

0 = 11986402 e 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp

119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0

119864119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =

119895119896119896119910

1198962119905

1198640120578

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus120573119896119910

1198962119905

1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962

119905

1198640120578

cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Modos TE

Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤlowast

119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)

119864119909 =119895119896119896119910

1198962119905

1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus1198951198961198961199091198962

1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus

119895119896119896119910

1198962119905

1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Frequecircncias de ressonacircncia

Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos

1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962

119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882

984976984709119898119886

9847102

+ 984709119899119887

9847102

+ 984709119901ℓ

9847102

Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)

Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante

Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587

119876 = 2120587 119882119875119871119879

= 2120587119891 119882119875119871

= 120596119882119890 + 119882119898119875119871

A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting

119882119890 = 984958119881

14

120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881

14

120583|119815|2 d119881

119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico

Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda

2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante

a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante

b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia

3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros

4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas

5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm

6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila

a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW

b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW

7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo

8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos

9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas

Page 7: 2b guias-retangular

Modos dominantes e degeneradosO modo de menor frequecircncia de corte eacute chamado modo dominante

bull modo dominante TM TM11

bull modo dominante TE TE10

Modo fundamental (menor frequecircncia de corte entre todos) TE10

Banda de operaccedilatildeo monomodo banda de frequecircncia acima do corte do modo fundamental eabaixo da proacutexima frequecircncia de corte

119891

119887 le 1198862

11989111988810

1198882119886

11989111988820

119888119886

11989111988801

1198882119887

119891

1198862 le 119887 le 119886

11989111988810

1198882119886

11989111988820

119888119886

11989111988801

1198882119887

Modos degenerados (mesmas constantes de propagaccedilatildeo) TEmn e TMmn (119898119899 ne 0)

Relaccedilatildeo de dispersatildeo

119896 = 120596radic1205831205761205732119898119899 gt 0

1205732119898119899 lt 0

11989611988811

11989611988812

11989611988821

11989611988822

11989611988831

11989611988832

11989611988841

11989611988842

119896119909 = 119898120587119886

119896119910 = 119899120587119887

11989611988810 11989611988820 11989611988830 11989611988840

11989611988801

11989611988802

0 120587119886

2120587119886

3120587119886

4120587119886

0

120587119887

2120587119887

Relaccedilatildeo de dispersatildeo

1205732119898119899 = 1205962120583120576 minus 1198962

119888119898119899

1198962119888119898119899 = 1198962

119909 + 1198962119910

Modos propagantes (119896 gt 119896119888119898119899)

120573119898119899 = 9849751198962 minus 1198962119888119898119899

Modos evanescentes (119896 lt 119896119888119898119899)

120573119898119899 = minus119895120572119898119899

120572119898119899 = 9849751198962119888119898119899 minus 1198962

Modo TE10

119812 119815

Modo TE10

Podemos tambeacutem calcular as correntessuperficiais que mais tarde seratildeo utilizadaspara determinar as perdas nos condutores

119817119904 = 119854119899 times 119815

Lembrando que 119854119899 aponta para dentro doguia (o metal eacute o meio de interesse)

119817119904

Modo TE20

119812 119815

Modo TE01

119812 119815

Modo TE11

119812 119815

Modo TE21

119812 119815

Modo TM11

119812 119815

Velocidades de fase e grupo

120596 = 98497511988821205732 minus 1205962119888

(onda plana)120596 = 119888120573

120573

120596

120596119888 119907119892 = d120596d120573

119907119901 = 120596120573

119907119901 = 119888

9849761minus984687 119891119888119891 984688

2

119907119892 = 1198889849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

119891

119907

119888

119891119888

119907119901119907119892 = 1198882

Impedacircncias

Modos propagantes (119891 gt 119891119888)

120578TE = 120596120583120573

= 120578

9849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

120578TM = 120573120596120576

= 1205789849771 minus 984731119891119888119891

9847322

Modos evanescentes (119891 lt 119891119888)

120578TE = 119895120596120583120572

= 119895120578

984975984687119891119888119891 984688

2minus 1

120578TM = minus119895120572120596120576

= minus119895120578984977984731119891119888119891

9847322

minus 1

TETM

119891

|120578120577|

120578

119891119888

Potecircncia e atenuaccedilatildeo dieleacutetricaConsideramos agora apenas o modo fundamental TE10

119812 = minus119895119896119896119909

1205781198670 sin 984709120587119909119886

984710 119854119910 = 1198640 sin 984709120587119909119886

984710 119854119910 119815 = 119895120573119896119909

1198670 sin 984709120587119909119886

984710 119854119909+1198670 cos 984709120587119909119886

984710 119854119911

A potecircncia transmitida por esse modo pode ser calculado como

120034 sdot 119854119911 = 12

real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 = 12

real 984669120578minus1TE984670 |119812119905|2 = 119896120573

21198962119909

120578|1198670|2 sin2 120587119909119886

119875119879 =119886

9849580

119887

9849580

120034 sdot 119854119911 d119910 d119909 = 1198861198871205784

|1198670|2 119891119891119888

984977984753 119891119891119888

9847542

minus 1 = 1198861198874120578

|1198640|29849771 minus 984731119891119888119891

9847322

Como visto anteriormente as perdas no dieleacutetrico de condutividade efetiva 120590119889 satildeo dadas pelaconstante de atenuaccedilatildeo dieleacutetrica

120572119889 = 1205961205831205901198892120573

= 120578120590119889

29849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

Perdas nos condutoresO caacutelculo das perdas ocirchmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magneacuteticoaplicada sobre a resistecircncia superficial dos condutores do guia

120572119888 = 1199011198882119875119879

119901119888 = 984958ℓ

12

119877119904|119817119904|2 dℓ 119817119904 = 119854119899 times 119815

O caminho ℓ da integral 119901119888 eacute composto pelas quatro paredes do guia

Aleacutem disso como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos 119815 deveser tangencial aos condutores logo |119817119904| = |119815|

Efetuando-se os caacutelculos anteriores obtemos

120572119888 = 119877119904120578

9847151119887 + 2

119886 984687119891119888119891 984688

2984716

9849751 minus 984687119891119888119891 984688

2=

984973984972984972

120587120576119891

120590 9847151 minus 984687119891119888119891 984688

2984716

9847891119887

+ 2119886

984731119891119888119891

9847322984790

Baixas perdas

A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)

Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887

119891 [GHz]

120572 119888[N

pm

]

119891119888

001

002

003

004

005

10 20 30 40 500

WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]

90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400

7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170

Acoplamento

Acoplamento eleacutetrico TE10

1205821198924

Acoplamento magneacutetico TE10

Cavidade ressonante

Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria

119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911

119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911

119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0

119909

119910

119911119886

119887

ℓ ge 119886 ge 119887

Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos

119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus

0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911

119864119909 = minus1198951205731198961199091198962

119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+

0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666

119864119910 = minus119895120573119896119910

1198962119905

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus

0 119890119895120573119911984666

Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus

0 = 11986402 e 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp

119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0

119864119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =

119895119896119896119910

1198962119905

1198640120578

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus120573119896119910

1198962119905

1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962

119905

1198640120578

cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Modos TE

Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤlowast

119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)

119864119909 =119895119896119896119910

1198962119905

1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus1198951198961198961199091198962

1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus

119895119896119896119910

1198962119905

1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Frequecircncias de ressonacircncia

Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos

1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962

119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882

984976984709119898119886

9847102

+ 984709119899119887

9847102

+ 984709119901ℓ

9847102

Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)

Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante

Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587

119876 = 2120587 119882119875119871119879

= 2120587119891 119882119875119871

= 120596119882119890 + 119882119898119875119871

A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting

119882119890 = 984958119881

14

120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881

14

120583|119815|2 d119881

119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico

Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda

2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante

a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante

b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia

3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros

4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas

5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm

6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila

a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW

b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW

7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo

8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos

9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas

Page 8: 2b guias-retangular

Relaccedilatildeo de dispersatildeo

119896 = 120596radic1205831205761205732119898119899 gt 0

1205732119898119899 lt 0

11989611988811

11989611988812

11989611988821

11989611988822

11989611988831

11989611988832

11989611988841

11989611988842

119896119909 = 119898120587119886

119896119910 = 119899120587119887

11989611988810 11989611988820 11989611988830 11989611988840

11989611988801

11989611988802

0 120587119886

2120587119886

3120587119886

4120587119886

0

120587119887

2120587119887

Relaccedilatildeo de dispersatildeo

1205732119898119899 = 1205962120583120576 minus 1198962

119888119898119899

1198962119888119898119899 = 1198962

119909 + 1198962119910

Modos propagantes (119896 gt 119896119888119898119899)

120573119898119899 = 9849751198962 minus 1198962119888119898119899

Modos evanescentes (119896 lt 119896119888119898119899)

120573119898119899 = minus119895120572119898119899

120572119898119899 = 9849751198962119888119898119899 minus 1198962

Modo TE10

119812 119815

Modo TE10

Podemos tambeacutem calcular as correntessuperficiais que mais tarde seratildeo utilizadaspara determinar as perdas nos condutores

119817119904 = 119854119899 times 119815

Lembrando que 119854119899 aponta para dentro doguia (o metal eacute o meio de interesse)

119817119904

Modo TE20

119812 119815

Modo TE01

119812 119815

Modo TE11

119812 119815

Modo TE21

119812 119815

Modo TM11

119812 119815

Velocidades de fase e grupo

120596 = 98497511988821205732 minus 1205962119888

(onda plana)120596 = 119888120573

120573

120596

120596119888 119907119892 = d120596d120573

119907119901 = 120596120573

119907119901 = 119888

9849761minus984687 119891119888119891 984688

2

119907119892 = 1198889849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

119891

119907

119888

119891119888

119907119901119907119892 = 1198882

Impedacircncias

Modos propagantes (119891 gt 119891119888)

120578TE = 120596120583120573

= 120578

9849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

120578TM = 120573120596120576

= 1205789849771 minus 984731119891119888119891

9847322

Modos evanescentes (119891 lt 119891119888)

120578TE = 119895120596120583120572

= 119895120578

984975984687119891119888119891 984688

2minus 1

120578TM = minus119895120572120596120576

= minus119895120578984977984731119891119888119891

9847322

minus 1

TETM

119891

|120578120577|

120578

119891119888

Potecircncia e atenuaccedilatildeo dieleacutetricaConsideramos agora apenas o modo fundamental TE10

119812 = minus119895119896119896119909

1205781198670 sin 984709120587119909119886

984710 119854119910 = 1198640 sin 984709120587119909119886

984710 119854119910 119815 = 119895120573119896119909

1198670 sin 984709120587119909119886

984710 119854119909+1198670 cos 984709120587119909119886

984710 119854119911

A potecircncia transmitida por esse modo pode ser calculado como

120034 sdot 119854119911 = 12

real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 = 12

real 984669120578minus1TE984670 |119812119905|2 = 119896120573

21198962119909

120578|1198670|2 sin2 120587119909119886

119875119879 =119886

9849580

119887

9849580

120034 sdot 119854119911 d119910 d119909 = 1198861198871205784

|1198670|2 119891119891119888

984977984753 119891119891119888

9847542

minus 1 = 1198861198874120578

|1198640|29849771 minus 984731119891119888119891

9847322

Como visto anteriormente as perdas no dieleacutetrico de condutividade efetiva 120590119889 satildeo dadas pelaconstante de atenuaccedilatildeo dieleacutetrica

120572119889 = 1205961205831205901198892120573

= 120578120590119889

29849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

Perdas nos condutoresO caacutelculo das perdas ocirchmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magneacuteticoaplicada sobre a resistecircncia superficial dos condutores do guia

120572119888 = 1199011198882119875119879

119901119888 = 984958ℓ

12

119877119904|119817119904|2 dℓ 119817119904 = 119854119899 times 119815

O caminho ℓ da integral 119901119888 eacute composto pelas quatro paredes do guia

Aleacutem disso como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos 119815 deveser tangencial aos condutores logo |119817119904| = |119815|

Efetuando-se os caacutelculos anteriores obtemos

120572119888 = 119877119904120578

9847151119887 + 2

119886 984687119891119888119891 984688

2984716

9849751 minus 984687119891119888119891 984688

2=

984973984972984972

120587120576119891

120590 9847151 minus 984687119891119888119891 984688

2984716

9847891119887

+ 2119886

984731119891119888119891

9847322984790

Baixas perdas

A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)

Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887

119891 [GHz]

120572 119888[N

pm

]

119891119888

001

002

003

004

005

10 20 30 40 500

WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]

90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400

7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170

Acoplamento

Acoplamento eleacutetrico TE10

1205821198924

Acoplamento magneacutetico TE10

Cavidade ressonante

Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria

119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911

119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911

119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0

119909

119910

119911119886

119887

ℓ ge 119886 ge 119887

Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos

119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus

0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911

119864119909 = minus1198951205731198961199091198962

119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+

0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666

119864119910 = minus119895120573119896119910

1198962119905

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus

0 119890119895120573119911984666

Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus

0 = 11986402 e 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp

119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0

119864119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =

119895119896119896119910

1198962119905

1198640120578

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus120573119896119910

1198962119905

1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962

119905

1198640120578

cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Modos TE

Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤlowast

119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)

119864119909 =119895119896119896119910

1198962119905

1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus1198951198961198961199091198962

1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus

119895119896119896119910

1198962119905

1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Frequecircncias de ressonacircncia

Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos

1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962

119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882

984976984709119898119886

9847102

+ 984709119899119887

9847102

+ 984709119901ℓ

9847102

Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)

Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante

Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587

119876 = 2120587 119882119875119871119879

= 2120587119891 119882119875119871

= 120596119882119890 + 119882119898119875119871

A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting

119882119890 = 984958119881

14

120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881

14

120583|119815|2 d119881

119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico

Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda

2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante

a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante

b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia

3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros

4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas

5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm

6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila

a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW

b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW

7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo

8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos

9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas

Page 9: 2b guias-retangular

Modo TE10

119812 119815

Modo TE10

Podemos tambeacutem calcular as correntessuperficiais que mais tarde seratildeo utilizadaspara determinar as perdas nos condutores

119817119904 = 119854119899 times 119815

Lembrando que 119854119899 aponta para dentro doguia (o metal eacute o meio de interesse)

119817119904

Modo TE20

119812 119815

Modo TE01

119812 119815

Modo TE11

119812 119815

Modo TE21

119812 119815

Modo TM11

119812 119815

Velocidades de fase e grupo

120596 = 98497511988821205732 minus 1205962119888

(onda plana)120596 = 119888120573

120573

120596

120596119888 119907119892 = d120596d120573

119907119901 = 120596120573

119907119901 = 119888

9849761minus984687 119891119888119891 984688

2

119907119892 = 1198889849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

119891

119907

119888

119891119888

119907119901119907119892 = 1198882

Impedacircncias

Modos propagantes (119891 gt 119891119888)

120578TE = 120596120583120573

= 120578

9849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

120578TM = 120573120596120576

= 1205789849771 minus 984731119891119888119891

9847322

Modos evanescentes (119891 lt 119891119888)

120578TE = 119895120596120583120572

= 119895120578

984975984687119891119888119891 984688

2minus 1

120578TM = minus119895120572120596120576

= minus119895120578984977984731119891119888119891

9847322

minus 1

TETM

119891

|120578120577|

120578

119891119888

Potecircncia e atenuaccedilatildeo dieleacutetricaConsideramos agora apenas o modo fundamental TE10

119812 = minus119895119896119896119909

1205781198670 sin 984709120587119909119886

984710 119854119910 = 1198640 sin 984709120587119909119886

984710 119854119910 119815 = 119895120573119896119909

1198670 sin 984709120587119909119886

984710 119854119909+1198670 cos 984709120587119909119886

984710 119854119911

A potecircncia transmitida por esse modo pode ser calculado como

120034 sdot 119854119911 = 12

real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 = 12

real 984669120578minus1TE984670 |119812119905|2 = 119896120573

21198962119909

120578|1198670|2 sin2 120587119909119886

119875119879 =119886

9849580

119887

9849580

120034 sdot 119854119911 d119910 d119909 = 1198861198871205784

|1198670|2 119891119891119888

984977984753 119891119891119888

9847542

minus 1 = 1198861198874120578

|1198640|29849771 minus 984731119891119888119891

9847322

Como visto anteriormente as perdas no dieleacutetrico de condutividade efetiva 120590119889 satildeo dadas pelaconstante de atenuaccedilatildeo dieleacutetrica

120572119889 = 1205961205831205901198892120573

= 120578120590119889

29849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

Perdas nos condutoresO caacutelculo das perdas ocirchmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magneacuteticoaplicada sobre a resistecircncia superficial dos condutores do guia

120572119888 = 1199011198882119875119879

119901119888 = 984958ℓ

12

119877119904|119817119904|2 dℓ 119817119904 = 119854119899 times 119815

O caminho ℓ da integral 119901119888 eacute composto pelas quatro paredes do guia

Aleacutem disso como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos 119815 deveser tangencial aos condutores logo |119817119904| = |119815|

Efetuando-se os caacutelculos anteriores obtemos

120572119888 = 119877119904120578

9847151119887 + 2

119886 984687119891119888119891 984688

2984716

9849751 minus 984687119891119888119891 984688

2=

984973984972984972

120587120576119891

120590 9847151 minus 984687119891119888119891 984688

2984716

9847891119887

+ 2119886

984731119891119888119891

9847322984790

Baixas perdas

A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)

Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887

119891 [GHz]

120572 119888[N

pm

]

119891119888

001

002

003

004

005

10 20 30 40 500

WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]

90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400

7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170

Acoplamento

Acoplamento eleacutetrico TE10

1205821198924

Acoplamento magneacutetico TE10

Cavidade ressonante

Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria

119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911

119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911

119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0

119909

119910

119911119886

119887

ℓ ge 119886 ge 119887

Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos

119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus

0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911

119864119909 = minus1198951205731198961199091198962

119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+

0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666

119864119910 = minus119895120573119896119910

1198962119905

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus

0 119890119895120573119911984666

Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus

0 = 11986402 e 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp

119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0

119864119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =

119895119896119896119910

1198962119905

1198640120578

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus120573119896119910

1198962119905

1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962

119905

1198640120578

cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Modos TE

Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤlowast

119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)

119864119909 =119895119896119896119910

1198962119905

1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus1198951198961198961199091198962

1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus

119895119896119896119910

1198962119905

1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Frequecircncias de ressonacircncia

Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos

1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962

119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882

984976984709119898119886

9847102

+ 984709119899119887

9847102

+ 984709119901ℓ

9847102

Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)

Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante

Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587

119876 = 2120587 119882119875119871119879

= 2120587119891 119882119875119871

= 120596119882119890 + 119882119898119875119871

A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting

119882119890 = 984958119881

14

120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881

14

120583|119815|2 d119881

119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico

Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda

2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante

a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante

b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia

3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros

4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas

5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm

6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila

a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW

b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW

7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo

8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos

9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas

Page 10: 2b guias-retangular

Modo TE10

Podemos tambeacutem calcular as correntessuperficiais que mais tarde seratildeo utilizadaspara determinar as perdas nos condutores

119817119904 = 119854119899 times 119815

Lembrando que 119854119899 aponta para dentro doguia (o metal eacute o meio de interesse)

119817119904

Modo TE20

119812 119815

Modo TE01

119812 119815

Modo TE11

119812 119815

Modo TE21

119812 119815

Modo TM11

119812 119815

Velocidades de fase e grupo

120596 = 98497511988821205732 minus 1205962119888

(onda plana)120596 = 119888120573

120573

120596

120596119888 119907119892 = d120596d120573

119907119901 = 120596120573

119907119901 = 119888

9849761minus984687 119891119888119891 984688

2

119907119892 = 1198889849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

119891

119907

119888

119891119888

119907119901119907119892 = 1198882

Impedacircncias

Modos propagantes (119891 gt 119891119888)

120578TE = 120596120583120573

= 120578

9849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

120578TM = 120573120596120576

= 1205789849771 minus 984731119891119888119891

9847322

Modos evanescentes (119891 lt 119891119888)

120578TE = 119895120596120583120572

= 119895120578

984975984687119891119888119891 984688

2minus 1

120578TM = minus119895120572120596120576

= minus119895120578984977984731119891119888119891

9847322

minus 1

TETM

119891

|120578120577|

120578

119891119888

Potecircncia e atenuaccedilatildeo dieleacutetricaConsideramos agora apenas o modo fundamental TE10

119812 = minus119895119896119896119909

1205781198670 sin 984709120587119909119886

984710 119854119910 = 1198640 sin 984709120587119909119886

984710 119854119910 119815 = 119895120573119896119909

1198670 sin 984709120587119909119886

984710 119854119909+1198670 cos 984709120587119909119886

984710 119854119911

A potecircncia transmitida por esse modo pode ser calculado como

120034 sdot 119854119911 = 12

real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 = 12

real 984669120578minus1TE984670 |119812119905|2 = 119896120573

21198962119909

120578|1198670|2 sin2 120587119909119886

119875119879 =119886

9849580

119887

9849580

120034 sdot 119854119911 d119910 d119909 = 1198861198871205784

|1198670|2 119891119891119888

984977984753 119891119891119888

9847542

minus 1 = 1198861198874120578

|1198640|29849771 minus 984731119891119888119891

9847322

Como visto anteriormente as perdas no dieleacutetrico de condutividade efetiva 120590119889 satildeo dadas pelaconstante de atenuaccedilatildeo dieleacutetrica

120572119889 = 1205961205831205901198892120573

= 120578120590119889

29849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

Perdas nos condutoresO caacutelculo das perdas ocirchmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magneacuteticoaplicada sobre a resistecircncia superficial dos condutores do guia

120572119888 = 1199011198882119875119879

119901119888 = 984958ℓ

12

119877119904|119817119904|2 dℓ 119817119904 = 119854119899 times 119815

O caminho ℓ da integral 119901119888 eacute composto pelas quatro paredes do guia

Aleacutem disso como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos 119815 deveser tangencial aos condutores logo |119817119904| = |119815|

Efetuando-se os caacutelculos anteriores obtemos

120572119888 = 119877119904120578

9847151119887 + 2

119886 984687119891119888119891 984688

2984716

9849751 minus 984687119891119888119891 984688

2=

984973984972984972

120587120576119891

120590 9847151 minus 984687119891119888119891 984688

2984716

9847891119887

+ 2119886

984731119891119888119891

9847322984790

Baixas perdas

A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)

Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887

119891 [GHz]

120572 119888[N

pm

]

119891119888

001

002

003

004

005

10 20 30 40 500

WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]

90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400

7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170

Acoplamento

Acoplamento eleacutetrico TE10

1205821198924

Acoplamento magneacutetico TE10

Cavidade ressonante

Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria

119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911

119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911

119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0

119909

119910

119911119886

119887

ℓ ge 119886 ge 119887

Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos

119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus

0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911

119864119909 = minus1198951205731198961199091198962

119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+

0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666

119864119910 = minus119895120573119896119910

1198962119905

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus

0 119890119895120573119911984666

Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus

0 = 11986402 e 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp

119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0

119864119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =

119895119896119896119910

1198962119905

1198640120578

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus120573119896119910

1198962119905

1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962

119905

1198640120578

cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Modos TE

Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤlowast

119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)

119864119909 =119895119896119896119910

1198962119905

1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus1198951198961198961199091198962

1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus

119895119896119896119910

1198962119905

1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Frequecircncias de ressonacircncia

Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos

1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962

119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882

984976984709119898119886

9847102

+ 984709119899119887

9847102

+ 984709119901ℓ

9847102

Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)

Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante

Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587

119876 = 2120587 119882119875119871119879

= 2120587119891 119882119875119871

= 120596119882119890 + 119882119898119875119871

A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting

119882119890 = 984958119881

14

120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881

14

120583|119815|2 d119881

119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico

Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda

2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante

a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante

b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia

3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros

4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas

5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm

6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila

a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW

b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW

7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo

8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos

9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas

Page 11: 2b guias-retangular

Modo TE20

119812 119815

Modo TE01

119812 119815

Modo TE11

119812 119815

Modo TE21

119812 119815

Modo TM11

119812 119815

Velocidades de fase e grupo

120596 = 98497511988821205732 minus 1205962119888

(onda plana)120596 = 119888120573

120573

120596

120596119888 119907119892 = d120596d120573

119907119901 = 120596120573

119907119901 = 119888

9849761minus984687 119891119888119891 984688

2

119907119892 = 1198889849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

119891

119907

119888

119891119888

119907119901119907119892 = 1198882

Impedacircncias

Modos propagantes (119891 gt 119891119888)

120578TE = 120596120583120573

= 120578

9849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

120578TM = 120573120596120576

= 1205789849771 minus 984731119891119888119891

9847322

Modos evanescentes (119891 lt 119891119888)

120578TE = 119895120596120583120572

= 119895120578

984975984687119891119888119891 984688

2minus 1

120578TM = minus119895120572120596120576

= minus119895120578984977984731119891119888119891

9847322

minus 1

TETM

119891

|120578120577|

120578

119891119888

Potecircncia e atenuaccedilatildeo dieleacutetricaConsideramos agora apenas o modo fundamental TE10

119812 = minus119895119896119896119909

1205781198670 sin 984709120587119909119886

984710 119854119910 = 1198640 sin 984709120587119909119886

984710 119854119910 119815 = 119895120573119896119909

1198670 sin 984709120587119909119886

984710 119854119909+1198670 cos 984709120587119909119886

984710 119854119911

A potecircncia transmitida por esse modo pode ser calculado como

120034 sdot 119854119911 = 12

real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 = 12

real 984669120578minus1TE984670 |119812119905|2 = 119896120573

21198962119909

120578|1198670|2 sin2 120587119909119886

119875119879 =119886

9849580

119887

9849580

120034 sdot 119854119911 d119910 d119909 = 1198861198871205784

|1198670|2 119891119891119888

984977984753 119891119891119888

9847542

minus 1 = 1198861198874120578

|1198640|29849771 minus 984731119891119888119891

9847322

Como visto anteriormente as perdas no dieleacutetrico de condutividade efetiva 120590119889 satildeo dadas pelaconstante de atenuaccedilatildeo dieleacutetrica

120572119889 = 1205961205831205901198892120573

= 120578120590119889

29849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

Perdas nos condutoresO caacutelculo das perdas ocirchmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magneacuteticoaplicada sobre a resistecircncia superficial dos condutores do guia

120572119888 = 1199011198882119875119879

119901119888 = 984958ℓ

12

119877119904|119817119904|2 dℓ 119817119904 = 119854119899 times 119815

O caminho ℓ da integral 119901119888 eacute composto pelas quatro paredes do guia

Aleacutem disso como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos 119815 deveser tangencial aos condutores logo |119817119904| = |119815|

Efetuando-se os caacutelculos anteriores obtemos

120572119888 = 119877119904120578

9847151119887 + 2

119886 984687119891119888119891 984688

2984716

9849751 minus 984687119891119888119891 984688

2=

984973984972984972

120587120576119891

120590 9847151 minus 984687119891119888119891 984688

2984716

9847891119887

+ 2119886

984731119891119888119891

9847322984790

Baixas perdas

A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)

Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887

119891 [GHz]

120572 119888[N

pm

]

119891119888

001

002

003

004

005

10 20 30 40 500

WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]

90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400

7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170

Acoplamento

Acoplamento eleacutetrico TE10

1205821198924

Acoplamento magneacutetico TE10

Cavidade ressonante

Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria

119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911

119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911

119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0

119909

119910

119911119886

119887

ℓ ge 119886 ge 119887

Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos

119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus

0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911

119864119909 = minus1198951205731198961199091198962

119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+

0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666

119864119910 = minus119895120573119896119910

1198962119905

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus

0 119890119895120573119911984666

Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus

0 = 11986402 e 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp

119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0

119864119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =

119895119896119896119910

1198962119905

1198640120578

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus120573119896119910

1198962119905

1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962

119905

1198640120578

cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Modos TE

Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤlowast

119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)

119864119909 =119895119896119896119910

1198962119905

1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus1198951198961198961199091198962

1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus

119895119896119896119910

1198962119905

1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Frequecircncias de ressonacircncia

Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos

1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962

119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882

984976984709119898119886

9847102

+ 984709119899119887

9847102

+ 984709119901ℓ

9847102

Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)

Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante

Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587

119876 = 2120587 119882119875119871119879

= 2120587119891 119882119875119871

= 120596119882119890 + 119882119898119875119871

A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting

119882119890 = 984958119881

14

120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881

14

120583|119815|2 d119881

119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico

Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda

2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante

a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante

b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia

3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros

4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas

5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm

6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila

a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW

b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW

7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo

8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos

9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas

Page 12: 2b guias-retangular

Modo TE01

119812 119815

Modo TE11

119812 119815

Modo TE21

119812 119815

Modo TM11

119812 119815

Velocidades de fase e grupo

120596 = 98497511988821205732 minus 1205962119888

(onda plana)120596 = 119888120573

120573

120596

120596119888 119907119892 = d120596d120573

119907119901 = 120596120573

119907119901 = 119888

9849761minus984687 119891119888119891 984688

2

119907119892 = 1198889849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

119891

119907

119888

119891119888

119907119901119907119892 = 1198882

Impedacircncias

Modos propagantes (119891 gt 119891119888)

120578TE = 120596120583120573

= 120578

9849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

120578TM = 120573120596120576

= 1205789849771 minus 984731119891119888119891

9847322

Modos evanescentes (119891 lt 119891119888)

120578TE = 119895120596120583120572

= 119895120578

984975984687119891119888119891 984688

2minus 1

120578TM = minus119895120572120596120576

= minus119895120578984977984731119891119888119891

9847322

minus 1

TETM

119891

|120578120577|

120578

119891119888

Potecircncia e atenuaccedilatildeo dieleacutetricaConsideramos agora apenas o modo fundamental TE10

119812 = minus119895119896119896119909

1205781198670 sin 984709120587119909119886

984710 119854119910 = 1198640 sin 984709120587119909119886

984710 119854119910 119815 = 119895120573119896119909

1198670 sin 984709120587119909119886

984710 119854119909+1198670 cos 984709120587119909119886

984710 119854119911

A potecircncia transmitida por esse modo pode ser calculado como

120034 sdot 119854119911 = 12

real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 = 12

real 984669120578minus1TE984670 |119812119905|2 = 119896120573

21198962119909

120578|1198670|2 sin2 120587119909119886

119875119879 =119886

9849580

119887

9849580

120034 sdot 119854119911 d119910 d119909 = 1198861198871205784

|1198670|2 119891119891119888

984977984753 119891119891119888

9847542

minus 1 = 1198861198874120578

|1198640|29849771 minus 984731119891119888119891

9847322

Como visto anteriormente as perdas no dieleacutetrico de condutividade efetiva 120590119889 satildeo dadas pelaconstante de atenuaccedilatildeo dieleacutetrica

120572119889 = 1205961205831205901198892120573

= 120578120590119889

29849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

Perdas nos condutoresO caacutelculo das perdas ocirchmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magneacuteticoaplicada sobre a resistecircncia superficial dos condutores do guia

120572119888 = 1199011198882119875119879

119901119888 = 984958ℓ

12

119877119904|119817119904|2 dℓ 119817119904 = 119854119899 times 119815

O caminho ℓ da integral 119901119888 eacute composto pelas quatro paredes do guia

Aleacutem disso como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos 119815 deveser tangencial aos condutores logo |119817119904| = |119815|

Efetuando-se os caacutelculos anteriores obtemos

120572119888 = 119877119904120578

9847151119887 + 2

119886 984687119891119888119891 984688

2984716

9849751 minus 984687119891119888119891 984688

2=

984973984972984972

120587120576119891

120590 9847151 minus 984687119891119888119891 984688

2984716

9847891119887

+ 2119886

984731119891119888119891

9847322984790

Baixas perdas

A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)

Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887

119891 [GHz]

120572 119888[N

pm

]

119891119888

001

002

003

004

005

10 20 30 40 500

WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]

90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400

7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170

Acoplamento

Acoplamento eleacutetrico TE10

1205821198924

Acoplamento magneacutetico TE10

Cavidade ressonante

Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria

119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911

119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911

119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0

119909

119910

119911119886

119887

ℓ ge 119886 ge 119887

Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos

119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus

0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911

119864119909 = minus1198951205731198961199091198962

119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+

0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666

119864119910 = minus119895120573119896119910

1198962119905

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus

0 119890119895120573119911984666

Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus

0 = 11986402 e 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp

119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0

119864119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =

119895119896119896119910

1198962119905

1198640120578

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus120573119896119910

1198962119905

1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962

119905

1198640120578

cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Modos TE

Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤlowast

119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)

119864119909 =119895119896119896119910

1198962119905

1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus1198951198961198961199091198962

1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus

119895119896119896119910

1198962119905

1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Frequecircncias de ressonacircncia

Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos

1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962

119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882

984976984709119898119886

9847102

+ 984709119899119887

9847102

+ 984709119901ℓ

9847102

Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)

Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante

Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587

119876 = 2120587 119882119875119871119879

= 2120587119891 119882119875119871

= 120596119882119890 + 119882119898119875119871

A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting

119882119890 = 984958119881

14

120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881

14

120583|119815|2 d119881

119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico

Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda

2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante

a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante

b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia

3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros

4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas

5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm

6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila

a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW

b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW

7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo

8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos

9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas

Page 13: 2b guias-retangular

Modo TE11

119812 119815

Modo TE21

119812 119815

Modo TM11

119812 119815

Velocidades de fase e grupo

120596 = 98497511988821205732 minus 1205962119888

(onda plana)120596 = 119888120573

120573

120596

120596119888 119907119892 = d120596d120573

119907119901 = 120596120573

119907119901 = 119888

9849761minus984687 119891119888119891 984688

2

119907119892 = 1198889849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

119891

119907

119888

119891119888

119907119901119907119892 = 1198882

Impedacircncias

Modos propagantes (119891 gt 119891119888)

120578TE = 120596120583120573

= 120578

9849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

120578TM = 120573120596120576

= 1205789849771 minus 984731119891119888119891

9847322

Modos evanescentes (119891 lt 119891119888)

120578TE = 119895120596120583120572

= 119895120578

984975984687119891119888119891 984688

2minus 1

120578TM = minus119895120572120596120576

= minus119895120578984977984731119891119888119891

9847322

minus 1

TETM

119891

|120578120577|

120578

119891119888

Potecircncia e atenuaccedilatildeo dieleacutetricaConsideramos agora apenas o modo fundamental TE10

119812 = minus119895119896119896119909

1205781198670 sin 984709120587119909119886

984710 119854119910 = 1198640 sin 984709120587119909119886

984710 119854119910 119815 = 119895120573119896119909

1198670 sin 984709120587119909119886

984710 119854119909+1198670 cos 984709120587119909119886

984710 119854119911

A potecircncia transmitida por esse modo pode ser calculado como

120034 sdot 119854119911 = 12

real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 = 12

real 984669120578minus1TE984670 |119812119905|2 = 119896120573

21198962119909

120578|1198670|2 sin2 120587119909119886

119875119879 =119886

9849580

119887

9849580

120034 sdot 119854119911 d119910 d119909 = 1198861198871205784

|1198670|2 119891119891119888

984977984753 119891119891119888

9847542

minus 1 = 1198861198874120578

|1198640|29849771 minus 984731119891119888119891

9847322

Como visto anteriormente as perdas no dieleacutetrico de condutividade efetiva 120590119889 satildeo dadas pelaconstante de atenuaccedilatildeo dieleacutetrica

120572119889 = 1205961205831205901198892120573

= 120578120590119889

29849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

Perdas nos condutoresO caacutelculo das perdas ocirchmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magneacuteticoaplicada sobre a resistecircncia superficial dos condutores do guia

120572119888 = 1199011198882119875119879

119901119888 = 984958ℓ

12

119877119904|119817119904|2 dℓ 119817119904 = 119854119899 times 119815

O caminho ℓ da integral 119901119888 eacute composto pelas quatro paredes do guia

Aleacutem disso como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos 119815 deveser tangencial aos condutores logo |119817119904| = |119815|

Efetuando-se os caacutelculos anteriores obtemos

120572119888 = 119877119904120578

9847151119887 + 2

119886 984687119891119888119891 984688

2984716

9849751 minus 984687119891119888119891 984688

2=

984973984972984972

120587120576119891

120590 9847151 minus 984687119891119888119891 984688

2984716

9847891119887

+ 2119886

984731119891119888119891

9847322984790

Baixas perdas

A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)

Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887

119891 [GHz]

120572 119888[N

pm

]

119891119888

001

002

003

004

005

10 20 30 40 500

WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]

90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400

7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170

Acoplamento

Acoplamento eleacutetrico TE10

1205821198924

Acoplamento magneacutetico TE10

Cavidade ressonante

Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria

119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911

119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911

119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0

119909

119910

119911119886

119887

ℓ ge 119886 ge 119887

Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos

119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus

0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911

119864119909 = minus1198951205731198961199091198962

119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+

0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666

119864119910 = minus119895120573119896119910

1198962119905

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus

0 119890119895120573119911984666

Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus

0 = 11986402 e 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp

119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0

119864119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =

119895119896119896119910

1198962119905

1198640120578

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus120573119896119910

1198962119905

1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962

119905

1198640120578

cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Modos TE

Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤlowast

119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)

119864119909 =119895119896119896119910

1198962119905

1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus1198951198961198961199091198962

1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus

119895119896119896119910

1198962119905

1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Frequecircncias de ressonacircncia

Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos

1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962

119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882

984976984709119898119886

9847102

+ 984709119899119887

9847102

+ 984709119901ℓ

9847102

Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)

Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante

Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587

119876 = 2120587 119882119875119871119879

= 2120587119891 119882119875119871

= 120596119882119890 + 119882119898119875119871

A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting

119882119890 = 984958119881

14

120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881

14

120583|119815|2 d119881

119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico

Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda

2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante

a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante

b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia

3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros

4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas

5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm

6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila

a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW

b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW

7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo

8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos

9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas

Page 14: 2b guias-retangular

Modo TE21

119812 119815

Modo TM11

119812 119815

Velocidades de fase e grupo

120596 = 98497511988821205732 minus 1205962119888

(onda plana)120596 = 119888120573

120573

120596

120596119888 119907119892 = d120596d120573

119907119901 = 120596120573

119907119901 = 119888

9849761minus984687 119891119888119891 984688

2

119907119892 = 1198889849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

119891

119907

119888

119891119888

119907119901119907119892 = 1198882

Impedacircncias

Modos propagantes (119891 gt 119891119888)

120578TE = 120596120583120573

= 120578

9849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

120578TM = 120573120596120576

= 1205789849771 minus 984731119891119888119891

9847322

Modos evanescentes (119891 lt 119891119888)

120578TE = 119895120596120583120572

= 119895120578

984975984687119891119888119891 984688

2minus 1

120578TM = minus119895120572120596120576

= minus119895120578984977984731119891119888119891

9847322

minus 1

TETM

119891

|120578120577|

120578

119891119888

Potecircncia e atenuaccedilatildeo dieleacutetricaConsideramos agora apenas o modo fundamental TE10

119812 = minus119895119896119896119909

1205781198670 sin 984709120587119909119886

984710 119854119910 = 1198640 sin 984709120587119909119886

984710 119854119910 119815 = 119895120573119896119909

1198670 sin 984709120587119909119886

984710 119854119909+1198670 cos 984709120587119909119886

984710 119854119911

A potecircncia transmitida por esse modo pode ser calculado como

120034 sdot 119854119911 = 12

real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 = 12

real 984669120578minus1TE984670 |119812119905|2 = 119896120573

21198962119909

120578|1198670|2 sin2 120587119909119886

119875119879 =119886

9849580

119887

9849580

120034 sdot 119854119911 d119910 d119909 = 1198861198871205784

|1198670|2 119891119891119888

984977984753 119891119891119888

9847542

minus 1 = 1198861198874120578

|1198640|29849771 minus 984731119891119888119891

9847322

Como visto anteriormente as perdas no dieleacutetrico de condutividade efetiva 120590119889 satildeo dadas pelaconstante de atenuaccedilatildeo dieleacutetrica

120572119889 = 1205961205831205901198892120573

= 120578120590119889

29849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

Perdas nos condutoresO caacutelculo das perdas ocirchmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magneacuteticoaplicada sobre a resistecircncia superficial dos condutores do guia

120572119888 = 1199011198882119875119879

119901119888 = 984958ℓ

12

119877119904|119817119904|2 dℓ 119817119904 = 119854119899 times 119815

O caminho ℓ da integral 119901119888 eacute composto pelas quatro paredes do guia

Aleacutem disso como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos 119815 deveser tangencial aos condutores logo |119817119904| = |119815|

Efetuando-se os caacutelculos anteriores obtemos

120572119888 = 119877119904120578

9847151119887 + 2

119886 984687119891119888119891 984688

2984716

9849751 minus 984687119891119888119891 984688

2=

984973984972984972

120587120576119891

120590 9847151 minus 984687119891119888119891 984688

2984716

9847891119887

+ 2119886

984731119891119888119891

9847322984790

Baixas perdas

A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)

Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887

119891 [GHz]

120572 119888[N

pm

]

119891119888

001

002

003

004

005

10 20 30 40 500

WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]

90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400

7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170

Acoplamento

Acoplamento eleacutetrico TE10

1205821198924

Acoplamento magneacutetico TE10

Cavidade ressonante

Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria

119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911

119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911

119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0

119909

119910

119911119886

119887

ℓ ge 119886 ge 119887

Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos

119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus

0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911

119864119909 = minus1198951205731198961199091198962

119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+

0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666

119864119910 = minus119895120573119896119910

1198962119905

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus

0 119890119895120573119911984666

Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus

0 = 11986402 e 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp

119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0

119864119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =

119895119896119896119910

1198962119905

1198640120578

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus120573119896119910

1198962119905

1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962

119905

1198640120578

cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Modos TE

Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤlowast

119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)

119864119909 =119895119896119896119910

1198962119905

1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus1198951198961198961199091198962

1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus

119895119896119896119910

1198962119905

1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Frequecircncias de ressonacircncia

Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos

1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962

119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882

984976984709119898119886

9847102

+ 984709119899119887

9847102

+ 984709119901ℓ

9847102

Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)

Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante

Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587

119876 = 2120587 119882119875119871119879

= 2120587119891 119882119875119871

= 120596119882119890 + 119882119898119875119871

A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting

119882119890 = 984958119881

14

120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881

14

120583|119815|2 d119881

119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico

Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda

2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante

a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante

b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia

3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros

4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas

5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm

6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila

a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW

b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW

7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo

8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos

9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas

Page 15: 2b guias-retangular

Modo TM11

119812 119815

Velocidades de fase e grupo

120596 = 98497511988821205732 minus 1205962119888

(onda plana)120596 = 119888120573

120573

120596

120596119888 119907119892 = d120596d120573

119907119901 = 120596120573

119907119901 = 119888

9849761minus984687 119891119888119891 984688

2

119907119892 = 1198889849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

119891

119907

119888

119891119888

119907119901119907119892 = 1198882

Impedacircncias

Modos propagantes (119891 gt 119891119888)

120578TE = 120596120583120573

= 120578

9849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

120578TM = 120573120596120576

= 1205789849771 minus 984731119891119888119891

9847322

Modos evanescentes (119891 lt 119891119888)

120578TE = 119895120596120583120572

= 119895120578

984975984687119891119888119891 984688

2minus 1

120578TM = minus119895120572120596120576

= minus119895120578984977984731119891119888119891

9847322

minus 1

TETM

119891

|120578120577|

120578

119891119888

Potecircncia e atenuaccedilatildeo dieleacutetricaConsideramos agora apenas o modo fundamental TE10

119812 = minus119895119896119896119909

1205781198670 sin 984709120587119909119886

984710 119854119910 = 1198640 sin 984709120587119909119886

984710 119854119910 119815 = 119895120573119896119909

1198670 sin 984709120587119909119886

984710 119854119909+1198670 cos 984709120587119909119886

984710 119854119911

A potecircncia transmitida por esse modo pode ser calculado como

120034 sdot 119854119911 = 12

real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 = 12

real 984669120578minus1TE984670 |119812119905|2 = 119896120573

21198962119909

120578|1198670|2 sin2 120587119909119886

119875119879 =119886

9849580

119887

9849580

120034 sdot 119854119911 d119910 d119909 = 1198861198871205784

|1198670|2 119891119891119888

984977984753 119891119891119888

9847542

minus 1 = 1198861198874120578

|1198640|29849771 minus 984731119891119888119891

9847322

Como visto anteriormente as perdas no dieleacutetrico de condutividade efetiva 120590119889 satildeo dadas pelaconstante de atenuaccedilatildeo dieleacutetrica

120572119889 = 1205961205831205901198892120573

= 120578120590119889

29849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

Perdas nos condutoresO caacutelculo das perdas ocirchmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magneacuteticoaplicada sobre a resistecircncia superficial dos condutores do guia

120572119888 = 1199011198882119875119879

119901119888 = 984958ℓ

12

119877119904|119817119904|2 dℓ 119817119904 = 119854119899 times 119815

O caminho ℓ da integral 119901119888 eacute composto pelas quatro paredes do guia

Aleacutem disso como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos 119815 deveser tangencial aos condutores logo |119817119904| = |119815|

Efetuando-se os caacutelculos anteriores obtemos

120572119888 = 119877119904120578

9847151119887 + 2

119886 984687119891119888119891 984688

2984716

9849751 minus 984687119891119888119891 984688

2=

984973984972984972

120587120576119891

120590 9847151 minus 984687119891119888119891 984688

2984716

9847891119887

+ 2119886

984731119891119888119891

9847322984790

Baixas perdas

A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)

Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887

119891 [GHz]

120572 119888[N

pm

]

119891119888

001

002

003

004

005

10 20 30 40 500

WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]

90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400

7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170

Acoplamento

Acoplamento eleacutetrico TE10

1205821198924

Acoplamento magneacutetico TE10

Cavidade ressonante

Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria

119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911

119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911

119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0

119909

119910

119911119886

119887

ℓ ge 119886 ge 119887

Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos

119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus

0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911

119864119909 = minus1198951205731198961199091198962

119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+

0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666

119864119910 = minus119895120573119896119910

1198962119905

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus

0 119890119895120573119911984666

Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus

0 = 11986402 e 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp

119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0

119864119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =

119895119896119896119910

1198962119905

1198640120578

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus120573119896119910

1198962119905

1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962

119905

1198640120578

cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Modos TE

Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤlowast

119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)

119864119909 =119895119896119896119910

1198962119905

1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus1198951198961198961199091198962

1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus

119895119896119896119910

1198962119905

1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Frequecircncias de ressonacircncia

Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos

1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962

119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882

984976984709119898119886

9847102

+ 984709119899119887

9847102

+ 984709119901ℓ

9847102

Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)

Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante

Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587

119876 = 2120587 119882119875119871119879

= 2120587119891 119882119875119871

= 120596119882119890 + 119882119898119875119871

A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting

119882119890 = 984958119881

14

120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881

14

120583|119815|2 d119881

119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico

Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda

2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante

a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante

b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia

3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros

4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas

5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm

6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila

a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW

b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW

7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo

8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos

9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas

Page 16: 2b guias-retangular

Velocidades de fase e grupo

120596 = 98497511988821205732 minus 1205962119888

(onda plana)120596 = 119888120573

120573

120596

120596119888 119907119892 = d120596d120573

119907119901 = 120596120573

119907119901 = 119888

9849761minus984687 119891119888119891 984688

2

119907119892 = 1198889849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

119891

119907

119888

119891119888

119907119901119907119892 = 1198882

Impedacircncias

Modos propagantes (119891 gt 119891119888)

120578TE = 120596120583120573

= 120578

9849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

120578TM = 120573120596120576

= 1205789849771 minus 984731119891119888119891

9847322

Modos evanescentes (119891 lt 119891119888)

120578TE = 119895120596120583120572

= 119895120578

984975984687119891119888119891 984688

2minus 1

120578TM = minus119895120572120596120576

= minus119895120578984977984731119891119888119891

9847322

minus 1

TETM

119891

|120578120577|

120578

119891119888

Potecircncia e atenuaccedilatildeo dieleacutetricaConsideramos agora apenas o modo fundamental TE10

119812 = minus119895119896119896119909

1205781198670 sin 984709120587119909119886

984710 119854119910 = 1198640 sin 984709120587119909119886

984710 119854119910 119815 = 119895120573119896119909

1198670 sin 984709120587119909119886

984710 119854119909+1198670 cos 984709120587119909119886

984710 119854119911

A potecircncia transmitida por esse modo pode ser calculado como

120034 sdot 119854119911 = 12

real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 = 12

real 984669120578minus1TE984670 |119812119905|2 = 119896120573

21198962119909

120578|1198670|2 sin2 120587119909119886

119875119879 =119886

9849580

119887

9849580

120034 sdot 119854119911 d119910 d119909 = 1198861198871205784

|1198670|2 119891119891119888

984977984753 119891119891119888

9847542

minus 1 = 1198861198874120578

|1198640|29849771 minus 984731119891119888119891

9847322

Como visto anteriormente as perdas no dieleacutetrico de condutividade efetiva 120590119889 satildeo dadas pelaconstante de atenuaccedilatildeo dieleacutetrica

120572119889 = 1205961205831205901198892120573

= 120578120590119889

29849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

Perdas nos condutoresO caacutelculo das perdas ocirchmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magneacuteticoaplicada sobre a resistecircncia superficial dos condutores do guia

120572119888 = 1199011198882119875119879

119901119888 = 984958ℓ

12

119877119904|119817119904|2 dℓ 119817119904 = 119854119899 times 119815

O caminho ℓ da integral 119901119888 eacute composto pelas quatro paredes do guia

Aleacutem disso como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos 119815 deveser tangencial aos condutores logo |119817119904| = |119815|

Efetuando-se os caacutelculos anteriores obtemos

120572119888 = 119877119904120578

9847151119887 + 2

119886 984687119891119888119891 984688

2984716

9849751 minus 984687119891119888119891 984688

2=

984973984972984972

120587120576119891

120590 9847151 minus 984687119891119888119891 984688

2984716

9847891119887

+ 2119886

984731119891119888119891

9847322984790

Baixas perdas

A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)

Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887

119891 [GHz]

120572 119888[N

pm

]

119891119888

001

002

003

004

005

10 20 30 40 500

WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]

90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400

7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170

Acoplamento

Acoplamento eleacutetrico TE10

1205821198924

Acoplamento magneacutetico TE10

Cavidade ressonante

Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria

119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911

119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911

119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0

119909

119910

119911119886

119887

ℓ ge 119886 ge 119887

Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos

119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus

0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911

119864119909 = minus1198951205731198961199091198962

119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+

0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666

119864119910 = minus119895120573119896119910

1198962119905

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus

0 119890119895120573119911984666

Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus

0 = 11986402 e 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp

119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0

119864119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =

119895119896119896119910

1198962119905

1198640120578

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus120573119896119910

1198962119905

1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962

119905

1198640120578

cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Modos TE

Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤlowast

119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)

119864119909 =119895119896119896119910

1198962119905

1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus1198951198961198961199091198962

1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus

119895119896119896119910

1198962119905

1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Frequecircncias de ressonacircncia

Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos

1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962

119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882

984976984709119898119886

9847102

+ 984709119899119887

9847102

+ 984709119901ℓ

9847102

Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)

Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante

Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587

119876 = 2120587 119882119875119871119879

= 2120587119891 119882119875119871

= 120596119882119890 + 119882119898119875119871

A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting

119882119890 = 984958119881

14

120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881

14

120583|119815|2 d119881

119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico

Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda

2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante

a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante

b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia

3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros

4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas

5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm

6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila

a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW

b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW

7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo

8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos

9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas

Page 17: 2b guias-retangular

Impedacircncias

Modos propagantes (119891 gt 119891119888)

120578TE = 120596120583120573

= 120578

9849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

120578TM = 120573120596120576

= 1205789849771 minus 984731119891119888119891

9847322

Modos evanescentes (119891 lt 119891119888)

120578TE = 119895120596120583120572

= 119895120578

984975984687119891119888119891 984688

2minus 1

120578TM = minus119895120572120596120576

= minus119895120578984977984731119891119888119891

9847322

minus 1

TETM

119891

|120578120577|

120578

119891119888

Potecircncia e atenuaccedilatildeo dieleacutetricaConsideramos agora apenas o modo fundamental TE10

119812 = minus119895119896119896119909

1205781198670 sin 984709120587119909119886

984710 119854119910 = 1198640 sin 984709120587119909119886

984710 119854119910 119815 = 119895120573119896119909

1198670 sin 984709120587119909119886

984710 119854119909+1198670 cos 984709120587119909119886

984710 119854119911

A potecircncia transmitida por esse modo pode ser calculado como

120034 sdot 119854119911 = 12

real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 = 12

real 984669120578minus1TE984670 |119812119905|2 = 119896120573

21198962119909

120578|1198670|2 sin2 120587119909119886

119875119879 =119886

9849580

119887

9849580

120034 sdot 119854119911 d119910 d119909 = 1198861198871205784

|1198670|2 119891119891119888

984977984753 119891119891119888

9847542

minus 1 = 1198861198874120578

|1198640|29849771 minus 984731119891119888119891

9847322

Como visto anteriormente as perdas no dieleacutetrico de condutividade efetiva 120590119889 satildeo dadas pelaconstante de atenuaccedilatildeo dieleacutetrica

120572119889 = 1205961205831205901198892120573

= 120578120590119889

29849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

Perdas nos condutoresO caacutelculo das perdas ocirchmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magneacuteticoaplicada sobre a resistecircncia superficial dos condutores do guia

120572119888 = 1199011198882119875119879

119901119888 = 984958ℓ

12

119877119904|119817119904|2 dℓ 119817119904 = 119854119899 times 119815

O caminho ℓ da integral 119901119888 eacute composto pelas quatro paredes do guia

Aleacutem disso como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos 119815 deveser tangencial aos condutores logo |119817119904| = |119815|

Efetuando-se os caacutelculos anteriores obtemos

120572119888 = 119877119904120578

9847151119887 + 2

119886 984687119891119888119891 984688

2984716

9849751 minus 984687119891119888119891 984688

2=

984973984972984972

120587120576119891

120590 9847151 minus 984687119891119888119891 984688

2984716

9847891119887

+ 2119886

984731119891119888119891

9847322984790

Baixas perdas

A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)

Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887

119891 [GHz]

120572 119888[N

pm

]

119891119888

001

002

003

004

005

10 20 30 40 500

WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]

90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400

7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170

Acoplamento

Acoplamento eleacutetrico TE10

1205821198924

Acoplamento magneacutetico TE10

Cavidade ressonante

Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria

119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911

119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911

119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0

119909

119910

119911119886

119887

ℓ ge 119886 ge 119887

Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos

119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus

0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911

119864119909 = minus1198951205731198961199091198962

119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+

0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666

119864119910 = minus119895120573119896119910

1198962119905

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus

0 119890119895120573119911984666

Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus

0 = 11986402 e 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp

119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0

119864119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =

119895119896119896119910

1198962119905

1198640120578

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus120573119896119910

1198962119905

1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962

119905

1198640120578

cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Modos TE

Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤlowast

119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)

119864119909 =119895119896119896119910

1198962119905

1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus1198951198961198961199091198962

1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus

119895119896119896119910

1198962119905

1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Frequecircncias de ressonacircncia

Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos

1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962

119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882

984976984709119898119886

9847102

+ 984709119899119887

9847102

+ 984709119901ℓ

9847102

Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)

Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante

Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587

119876 = 2120587 119882119875119871119879

= 2120587119891 119882119875119871

= 120596119882119890 + 119882119898119875119871

A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting

119882119890 = 984958119881

14

120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881

14

120583|119815|2 d119881

119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico

Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda

2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante

a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante

b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia

3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros

4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas

5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm

6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila

a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW

b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW

7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo

8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos

9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas

Page 18: 2b guias-retangular

Potecircncia e atenuaccedilatildeo dieleacutetricaConsideramos agora apenas o modo fundamental TE10

119812 = minus119895119896119896119909

1205781198670 sin 984709120587119909119886

984710 119854119910 = 1198640 sin 984709120587119909119886

984710 119854119910 119815 = 119895120573119896119909

1198670 sin 984709120587119909119886

984710 119854119909+1198670 cos 984709120587119909119886

984710 119854119911

A potecircncia transmitida por esse modo pode ser calculado como

120034 sdot 119854119911 = 12

real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 = 12

real 984669120578minus1TE984670 |119812119905|2 = 119896120573

21198962119909

120578|1198670|2 sin2 120587119909119886

119875119879 =119886

9849580

119887

9849580

120034 sdot 119854119911 d119910 d119909 = 1198861198871205784

|1198670|2 119891119891119888

984977984753 119891119891119888

9847542

minus 1 = 1198861198874120578

|1198640|29849771 minus 984731119891119888119891

9847322

Como visto anteriormente as perdas no dieleacutetrico de condutividade efetiva 120590119889 satildeo dadas pelaconstante de atenuaccedilatildeo dieleacutetrica

120572119889 = 1205961205831205901198892120573

= 120578120590119889

29849751 minus 984687119891119888119891 984688

2

Perdas nos condutoresO caacutelculo das perdas ocirchmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magneacuteticoaplicada sobre a resistecircncia superficial dos condutores do guia

120572119888 = 1199011198882119875119879

119901119888 = 984958ℓ

12

119877119904|119817119904|2 dℓ 119817119904 = 119854119899 times 119815

O caminho ℓ da integral 119901119888 eacute composto pelas quatro paredes do guia

Aleacutem disso como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos 119815 deveser tangencial aos condutores logo |119817119904| = |119815|

Efetuando-se os caacutelculos anteriores obtemos

120572119888 = 119877119904120578

9847151119887 + 2

119886 984687119891119888119891 984688

2984716

9849751 minus 984687119891119888119891 984688

2=

984973984972984972

120587120576119891

120590 9847151 minus 984687119891119888119891 984688

2984716

9847891119887

+ 2119886

984731119891119888119891

9847322984790

Baixas perdas

A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)

Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887

119891 [GHz]

120572 119888[N

pm

]

119891119888

001

002

003

004

005

10 20 30 40 500

WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]

90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400

7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170

Acoplamento

Acoplamento eleacutetrico TE10

1205821198924

Acoplamento magneacutetico TE10

Cavidade ressonante

Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria

119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911

119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911

119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0

119909

119910

119911119886

119887

ℓ ge 119886 ge 119887

Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos

119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus

0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911

119864119909 = minus1198951205731198961199091198962

119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+

0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666

119864119910 = minus119895120573119896119910

1198962119905

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus

0 119890119895120573119911984666

Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus

0 = 11986402 e 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp

119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0

119864119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =

119895119896119896119910

1198962119905

1198640120578

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus120573119896119910

1198962119905

1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962

119905

1198640120578

cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Modos TE

Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤlowast

119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)

119864119909 =119895119896119896119910

1198962119905

1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus1198951198961198961199091198962

1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus

119895119896119896119910

1198962119905

1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Frequecircncias de ressonacircncia

Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos

1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962

119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882

984976984709119898119886

9847102

+ 984709119899119887

9847102

+ 984709119901ℓ

9847102

Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)

Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante

Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587

119876 = 2120587 119882119875119871119879

= 2120587119891 119882119875119871

= 120596119882119890 + 119882119898119875119871

A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting

119882119890 = 984958119881

14

120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881

14

120583|119815|2 d119881

119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico

Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda

2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante

a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante

b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia

3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros

4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas

5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm

6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila

a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW

b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW

7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo

8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos

9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas

Page 19: 2b guias-retangular

Perdas nos condutoresO caacutelculo das perdas ocirchmicas considera a corrente superficial gerada pelo campo magneacuteticoaplicada sobre a resistecircncia superficial dos condutores do guia

120572119888 = 1199011198882119875119879

119901119888 = 984958ℓ

12

119877119904|119817119904|2 dℓ 119817119904 = 119854119899 times 119815

O caminho ℓ da integral 119901119888 eacute composto pelas quatro paredes do guia

Aleacutem disso como os campos foram calculados considerando-se os condutores perfeitos 119815 deveser tangencial aos condutores logo |119817119904| = |119815|

Efetuando-se os caacutelculos anteriores obtemos

120572119888 = 119877119904120578

9847151119887 + 2

119886 984687119891119888119891 984688

2984716

9849751 minus 984687119891119888119891 984688

2=

984973984972984972

120587120576119891

120590 9847151 minus 984687119891119888119891 984688

2984716

9847891119887

+ 2119886

984731119891119888119891

9847322984790

Baixas perdas

A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)

Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887

119891 [GHz]

120572 119888[N

pm

]

119891119888

001

002

003

004

005

10 20 30 40 500

WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]

90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400

7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170

Acoplamento

Acoplamento eleacutetrico TE10

1205821198924

Acoplamento magneacutetico TE10

Cavidade ressonante

Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria

119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911

119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911

119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0

119909

119910

119911119886

119887

ℓ ge 119886 ge 119887

Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos

119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus

0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911

119864119909 = minus1198951205731198961199091198962

119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+

0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666

119864119910 = minus119895120573119896119910

1198962119905

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus

0 119890119895120573119911984666

Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus

0 = 11986402 e 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp

119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0

119864119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =

119895119896119896119910

1198962119905

1198640120578

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus120573119896119910

1198962119905

1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962

119905

1198640120578

cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Modos TE

Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤlowast

119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)

119864119909 =119895119896119896119910

1198962119905

1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus1198951198961198961199091198962

1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus

119895119896119896119910

1198962119905

1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Frequecircncias de ressonacircncia

Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos

1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962

119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882

984976984709119898119886

9847102

+ 984709119899119887

9847102

+ 984709119901ℓ

9847102

Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)

Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante

Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587

119876 = 2120587 119882119875119871119879

= 2120587119891 119882119875119871

= 120596119882119890 + 119882119898119875119871

A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting

119882119890 = 984958119881

14

120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881

14

120583|119815|2 d119881

119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico

Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda

2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante

a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante

b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia

3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros

4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas

5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm

6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila

a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW

b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW

7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo

8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos

9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas

Page 20: 2b guias-retangular

Baixas perdas

A partir do resultado anterior fica claroque para minimizar as perdas seriadesejaacutevel maximizar o valor de 119887 (umavez que o valor de 119886 eacute definido pelafrequecircncia de trabalho)

Qual o impacto de aumentar-se ovalor de 119887

119891 [GHz]

120572 119888[N

pm

]

119891119888

001

002

003

004

005

10 20 30 40 500

WR90120590 = 58 times 107 Sfraslm

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]

90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400

7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170

Acoplamento

Acoplamento eleacutetrico TE10

1205821198924

Acoplamento magneacutetico TE10

Cavidade ressonante

Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria

119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911

119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911

119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0

119909

119910

119911119886

119887

ℓ ge 119886 ge 119887

Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos

119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus

0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911

119864119909 = minus1198951205731198961199091198962

119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+

0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666

119864119910 = minus119895120573119896119910

1198962119905

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus

0 119890119895120573119911984666

Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus

0 = 11986402 e 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp

119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0

119864119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =

119895119896119896119910

1198962119905

1198640120578

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus120573119896119910

1198962119905

1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962

119905

1198640120578

cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Modos TE

Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤlowast

119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)

119864119909 =119895119896119896119910

1198962119905

1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus1198951198961198961199091198962

1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus

119895119896119896119910

1198962119905

1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Frequecircncias de ressonacircncia

Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos

1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962

119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882

984976984709119898119886

9847102

+ 984709119899119887

9847102

+ 984709119901ℓ

9847102

Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)

Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante

Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587

119876 = 2120587 119882119875119871119879

= 2120587119891 119882119875119871

= 120596119882119890 + 119882119898119875119871

A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting

119882119890 = 984958119881

14

120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881

14

120583|119815|2 d119881

119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico

Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda

2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante

a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante

b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia

3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros

4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas

5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm

6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila

a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW

b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW

7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo

8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos

9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas

Page 21: 2b guias-retangular

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]2300 032 ndash 049 23000 times 115002100 035 ndash 053 21000 times 105001800 041 ndash 062 18000 times 90001500 049 ndash 075 15000 times 75001150 064 ndash 096 11500 times 5750975 075 ndash 112 9750 times 4875770 096 ndash 146 7700 times 3850650 6 112 ndash 170 6500 times 3250510 145 ndash 220 5100 times 2550430 8 170 ndash 260 4300 times 2150340 9A 220 ndash 330 3400 times 1700284 10 260 ndash 395 2840 times 1340229 11A 330 ndash 490 2290 times 1145187 12 395 ndash 585 1872 times 0872159 13 490 ndash 705 1590 times 0795137 14 585 ndash 820 1372 times 0622112 15 705 ndash 1000 1122 times 0497102 700 ndash 1100 1020 times 0510

WR WG Banda Dimensotildees(EIA) (Europa) [GHz] [pol]

90 16 820 ndash 1240 0900 times 040075 17 1000 ndash 1500 0750 times 037562 18 1240 ndash 1800 0622 times 031151 19 1500 ndash 2200 0510 times 025542 20 1800 ndash 2650 0420 times 017034 21 2200 ndash 3300 0340 times 017028 22 2650 ndash 4000 0280 times 014022 23 3300 ndash 5000 0224 times 011219 24 4000 ndash 6000 0188 times 009415 25 5000 ndash 7500 0148 times 007412 26 6000 ndash 9000 0122 times 006110 27 7500 ndash 11000 0100 times 00508 28 9000 ndash 14000 00800 times 00400

7 (6) 29 11000 ndash 17000 00650 times 003255 30 14000 ndash 22000 00510 times 002554 31 17200 ndash 26000 00430 times 002153 32 22000 ndash 33000 00340 times 00170

Acoplamento

Acoplamento eleacutetrico TE10

1205821198924

Acoplamento magneacutetico TE10

Cavidade ressonante

Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria

119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911

119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911

119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0

119909

119910

119911119886

119887

ℓ ge 119886 ge 119887

Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos

119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus

0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911

119864119909 = minus1198951205731198961199091198962

119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+

0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666

119864119910 = minus119895120573119896119910

1198962119905

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus

0 119890119895120573119911984666

Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus

0 = 11986402 e 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp

119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0

119864119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =

119895119896119896119910

1198962119905

1198640120578

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus120573119896119910

1198962119905

1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962

119905

1198640120578

cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Modos TE

Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤlowast

119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)

119864119909 =119895119896119896119910

1198962119905

1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus1198951198961198961199091198962

1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus

119895119896119896119910

1198962119905

1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Frequecircncias de ressonacircncia

Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos

1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962

119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882

984976984709119898119886

9847102

+ 984709119899119887

9847102

+ 984709119901ℓ

9847102

Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)

Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante

Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587

119876 = 2120587 119882119875119871119879

= 2120587119891 119882119875119871

= 120596119882119890 + 119882119898119875119871

A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting

119882119890 = 984958119881

14

120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881

14

120583|119815|2 d119881

119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico

Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda

2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante

a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante

b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia

3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros

4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas

5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm

6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila

a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW

b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW

7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo

8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos

9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas

Page 22: 2b guias-retangular

Acoplamento

Acoplamento eleacutetrico TE10

1205821198924

Acoplamento magneacutetico TE10

Cavidade ressonante

Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria

119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911

119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911

119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0

119909

119910

119911119886

119887

ℓ ge 119886 ge 119887

Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos

119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus

0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911

119864119909 = minus1198951205731198961199091198962

119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+

0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666

119864119910 = minus119895120573119896119910

1198962119905

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus

0 119890119895120573119911984666

Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus

0 = 11986402 e 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp

119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0

119864119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =

119895119896119896119910

1198962119905

1198640120578

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus120573119896119910

1198962119905

1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962

119905

1198640120578

cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Modos TE

Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤlowast

119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)

119864119909 =119895119896119896119910

1198962119905

1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus1198951198961198961199091198962

1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus

119895119896119896119910

1198962119905

1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Frequecircncias de ressonacircncia

Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos

1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962

119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882

984976984709119898119886

9847102

+ 984709119899119887

9847102

+ 984709119901ℓ

9847102

Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)

Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante

Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587

119876 = 2120587 119882119875119871119879

= 2120587119891 119882119875119871

= 120596119882119890 + 119882119898119875119871

A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting

119882119890 = 984958119881

14

120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881

14

120583|119815|2 d119881

119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico

Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda

2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante

a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante

b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia

3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros

4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas

5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm

6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila

a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW

b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW

7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo

8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos

9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas

Page 23: 2b guias-retangular

Cavidade ressonante

Quando o guia retangular eacute fechado em umaextremidade o onda que se se propaga em direccedilatildeoa ela eacute refletida de volta no sentido contraacuterio Sefecharmos o guia formando uma caixa retangularas ondas propagando-se em ambas a direccedilotildees iratildeose interferir e gerar uma onda estacionaacuteria

119812tot = 119812+119890minus119895120573119911 + 119812minus119890+119895120573119911

119815tot = 119815+119890minus119895120573119911 + 119815minus119890+119895120573119911

119911 isin 0 ℓ rArr 119854119911 times 119812 = 0 hArr 119864119909 = 119864119910 = 0

119909

119910

119911119886

119887

ℓ ge 119886 ge 119887

Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos

119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus

0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911

119864119909 = minus1198951205731198961199091198962

119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+

0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666

119864119910 = minus119895120573119896119910

1198962119905

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus

0 119890119895120573119911984666

Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus

0 = 11986402 e 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp

119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0

119864119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =

119895119896119896119910

1198962119905

1198640120578

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus120573119896119910

1198962119905

1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962

119905

1198640120578

cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Modos TE

Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤlowast

119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)

119864119909 =119895119896119896119910

1198962119905

1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus1198951198961198961199091198962

1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus

119895119896119896119910

1198962119905

1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Frequecircncias de ressonacircncia

Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos

1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962

119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882

984976984709119898119886

9847102

+ 984709119899119887

9847102

+ 984709119901ℓ

9847102

Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)

Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante

Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587

119876 = 2120587 119882119875119871119879

= 2120587119891 119882119875119871

= 120596119882119890 + 119882119898119875119871

A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting

119882119890 = 984958119881

14

120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881

14

120583|119815|2 d119881

119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico

Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda

2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante

a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante

b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia

3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros

4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas

5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm

6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila

a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW

b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW

7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo

8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos

9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas

Page 24: 2b guias-retangular

Modos TMTomamos como soluccedilatildeo a superposiccedilatildeo de campos com sentidos de propagaccedilatildeo reversos

119864119911 = 119864+0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890minus119895120573119911 + 119864minus

0 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910)119890119895120573119911

119864119909 = minus1198951205731198961199091198962

119905cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) 984665119864+

0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus0 119890119895120573119911984666

119864119910 = minus119895120573119896119910

1198962119905

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) 984665119864+0 119890minus119895120573119911 minus 119864minus

0 119890119895120573119911984666

Aplicando as novas condiccedilotildees de contorno obtemos 119864+0 = 119864minus

0 = 11986402 e 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤ Temosassim a definiccedilatildeo dos modos ressonantes TMmnp

119864119911 = 1198640 sin(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911) 119867119911 = 0

119864119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198640 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 =

119895119896119896119910

1198962119905

1198640120578

sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus120573119896119910

1198962119905

1198640 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus1198951198961198961199091198962

119905

1198640120578

cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Modos TE

Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤlowast

119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)

119864119909 =119895119896119896119910

1198962119905

1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus1198951198961198961199091198962

1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus

119895119896119896119910

1198962119905

1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Frequecircncias de ressonacircncia

Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos

1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962

119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882

984976984709119898119886

9847102

+ 984709119899119887

9847102

+ 984709119901ℓ

9847102

Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)

Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante

Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587

119876 = 2120587 119882119875119871119879

= 2120587119891 119882119875119871

= 120596119882119890 + 119882119898119875119871

A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting

119882119890 = 984958119881

14

120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881

14

120583|119815|2 d119881

119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico

Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda

2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante

a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante

b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia

3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros

4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas

5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm

6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila

a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW

b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW

7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo

8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos

9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas

Page 25: 2b guias-retangular

Modos TE

Um procedimento anaacutelogo para os modos TE resulta na definiccedilatildeo dos modos ressonantes TEmnpcom 120573 = 119901120587

ℓ 119901 isin ℤlowast

119864119911 = 0 119867119911 = 1198670 cos(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911)

119864119909 =119895119896119896119910

1198962119905

1205781198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119909 = minus1205731198961199091198962

1199051198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) cos(120573119911)

119864119910 = minus1198951198961198961199091198962

1199051205781198670 sin(119896119909119909) cos(119896119910119910) sin(120573119911) 119867119910 = minus

119895119896119896119910

1198962119905

1198670 cos(119896119909119909) sin(119896119910119910) cos(120573119911)

Frequecircncias de ressonacircncia

Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos

1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962

119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882

984976984709119898119886

9847102

+ 984709119899119887

9847102

+ 984709119901ℓ

9847102

Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)

Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante

Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587

119876 = 2120587 119882119875119871119879

= 2120587119891 119882119875119871

= 120596119882119890 + 119882119898119875119871

A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting

119882119890 = 984958119881

14

120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881

14

120583|119815|2 d119881

119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico

Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda

2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante

a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante

b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia

3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros

4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas

5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm

6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila

a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW

b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW

7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo

8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos

9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas

Page 26: 2b guias-retangular

Frequecircncias de ressonacircncia

Para ambos os modos as 3 componentes do vetor de onda 119896119909 119896119910 e 120573 assumem somente valoresdiscretos obrigando tambeacutem a frequecircncia a assumir valores discretos

1205962120583120576 = 1198962119909 + 1198962

119910 + 1205732 rArr 119891119898119899119901 = 1198882

984976984709119898119886

9847102

+ 984709119899119887

9847102

+ 984709119901ℓ

9847102

Da mesma forma que para os modos guiados encontramos modos degenerados (com mesmasfrequecircncias de ressonacircncia) e um modo fundamental (de menor frequecircncia de ressonacircncia)

Sabendo que ℓ ge 119886 ge 119887 qual eacute o modo fundamental da cavidade ressonante

Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587

119876 = 2120587 119882119875119871119879

= 2120587119891 119882119875119871

= 120596119882119890 + 119882119898119875119871

A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting

119882119890 = 984958119881

14

120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881

14

120583|119815|2 d119881

119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico

Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda

2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante

a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante

b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia

3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros

4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas

5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm

6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila

a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW

b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW

7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo

8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos

9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas

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Fator de qualidadeO fator de qualidade de um ressonador a uma certa frequecircncia eacute definido como a razatildeo entre aenergia nele armazenada e a energia dissipada ao longo de um periacuteodo de oscilaccedilatildeo multiplicadopor um fator 2120587

119876 = 2120587 119882119875119871119879

= 2120587119891 119882119875119871

= 120596119882119890 + 119882119898119875119871

A potecircncia ocirchmica dissipada eacute calculada como nos guiasmdashatraveacutes da corrente superficialmdashcom adiferenccedila de que a integraccedilatildeo eacute efetuada nas paredes da cavidade natildeo apenas em uma seccedilatildeo Asenergias eleacutetrica em magneacutetica satildeo calculadas como visto no teorema de Poynting

119882119890 = 984958119881

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120576|119812|2 d119881 119882119898 = 984958119881

14

120583|119815|2 d119881

119876 [1] fator de qualidade119875119871 [W] potecircncia meacutedia dissipada em um periacuteodo (incluindo perdas ocirchmicas dieleacutetricas etc)119882119890 [J] energia meacutedia armazenada no campo eleacutetrico119882119898 [J] energia meacutedia armazenada no campo magneacutetico

Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda

2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante

a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante

b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia

3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros

4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas

5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm

6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila

a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW

b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW

7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo

8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos

9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas

Page 28: 2b guias-retangular

Exerciacutecios1 Projete um guia retangular com dimensotildees 119886 e 119887 (119886 ge 119887) que opere em condiccedilatildeo monomodoentre 9 GHz e 14 GHz Considerando espaccedilo livre no interior do guia determine as dimensotildees quegarantiratildeo operaccedilatildeo monomodo nesta banda

2 Um guia retangular de dimensotildees 225 cm por 1125 cm eacute operado no modo dominante

a Considere que o meio interno do guia eacute espaccedilo livre e calcule a frequecircncia de corte para omodo dominante

b Considere que se deseja reduzir a frequecircncia de corte do modo dominante por um fator 3 semalterar as dimensotildees do guia Determine a constante dieleacutetrica relativa do meio que deve serutilizado para preencher o guia

3 Uma seccedilatildeo de guia retangular para banda X (82 GHz a 124 GHz) preenchida por ar e comcomprimento ℓ eacute usada como uma linha de atraso Considere que as dimensotildees internas do guiasatildeo 2286 cm por 1016 cm e ele opera no modo fundamental Determine o comprimento daseccedilatildeo para que o atraso a 10 GHz seja de 2 micros

4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas

5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm

6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila

a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW

b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW

7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo

8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos

9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas

Page 29: 2b guias-retangular

4 Um guia para banda X com dimensotildees 2286 cm por 1016 cm eacute feito de cobre (120590 =576 times 107 Sfraslm) e eacute preenchido com poliestireno (120576119903 = 256 tan 120575 = 4 times 10minus4) Considereque a frequecircncia de operaccedilatildeo seja 615 GHz e determine o coeficiente de atenuaccedilatildeo devido agravecondutividade finita das paredes e agraves perdas dieleacutetricas

5 Calcule o comprimento ℓ gt 2 cm de uma cavidade retangular que proporcionaraacute umaressonacircncia em 10 GHz Considere a excitaccedilatildeo no modo fundamental e as dimensotildees restantesda cavidade 2 cm e 1 cm

6 Um guia retangular preenchido com ar eacute utilizado para transmitir potecircncia para uma antenaradar O guia deve seguir as seguintes especificaccedilotildees os dois modos de mais baixa ordem satildeoTE10 e TE20 a frequecircncia de operaccedilatildeo eacute 3 GHz e deve cair exatamente na metade da bandaentre as frequecircncias de corte desses modos o campo eleacutetrico maacuteximo dentro do guia natildeo deveexceder a tensatildeo de ruptura do ar (3 MVm) com um fator 3 de margem de seguranccedila

a Determine as menores dimensotildees possiacuteveis para tal guia caso a potecircncia transmitidarequerida seja de 1 MW

b Quais as dimensotildees do guia para obter-se a maacutexima potecircncia transmitida possiacutevel Qual eacute ovalor dessa potecircncia em MW

7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo

8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos

9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas

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7 Deseja-se projetar um guia retangular preenchido com ar para operar a 5 GHz com velocidadede grupo de 081198880 Quais satildeo as dimensotildees do guia caso ele tambeacutem deva transmitir a maacuteximapotecircncia e apresentar a maacutexima banda de operaccedilatildeo Qual eacute a frequecircncia de corte do guia e sualargura de banda de operaccedilatildeo

8 Determine os quatro modos mais baixos que podem propagar-se em um guia WR159 e emum WR90 Calcule as frequecircncias (em GHz) e comprimentos de onda (em cm) de corte dessesmodos

9 Projete um guia retangular para a frequecircncia de 3 GHz com paredes de cobre e dieleacutetricoar de maneira que o modo TE10 se propague com 30 de margem de seguranccedila (frequecircncia deoperaccedilatildeo 30 acima da frequecircncia de corte) e que o modo seguinte esteja 20 abaixo da suafrequecircncia de corte Calcule a atenuaccedilatildeo devido ao cobre em dBm Para os 3 modos seguintesao TE10 calcule as constantes de atenuaccedilatildeo em dBm ignorando as perdas ocirchmicas