ET720 – Sistemas de Energia Eletrica I

Capıtulo 5: Linhas de transmissao

5.1 Introducao

I Componentes de uma linha de transmissao:

(1) condutores

(2) isoladores (cadeia de isoladores de porce-lana ou vidro)

(3) estruturas de suporte (torres, postes)

(4) cabos para-raios (cabos de aco colocados

no topo da estrutura para protecao contraraios)

PSfrag replacements

(1)

(2) (3)

(4)

5.2 Classes de tensao

I Sigla Denominacao Valores tıpicos de tensao (de linha)

LV low voltage < 600 V

MV medium voltage 13,8 23 34,5 69 kV

HV high voltage 115 138 230 kV

EHV extra high voltage 345 440 500 600DC 765 kV

UHV ultra high voltage 1100 kV

– 1 –

5.3 Tipos de condutores

I Material

No passado: cobre

Atualmente: cobre, alumınio(∗)

(∗) mais barato, mais leve, requer area da secao reta maior que o cobre para asmesmas perdas

I Aereos, subterraneos

I Unidades mais comumente usadas:

comprimento: metro [m], pe (foot) [ft], milha (mile) [mi]

1 ft = 0,3048 m1 mi = 1609 m

area da secao reta: milimetro quadrado [mm2], circular mil [CM](∗)

(∗) 1 CM = area de um condutor de um milesimo de polegada (mil) de

diametro

– 2 –

I Condutores de alumınio (linhas aereas):

Sigla (Ingles/Portugues) Significado (Ingles/Portugues)

AAC / CA all aluminum conductor (alumınio puro)

AAAC / AAAC all aluminum alloy conductor (liga de alumıniopura)

ACSR / CAA aluminum conductor steel reinforced (alumınio comalma de aco)

ACAR / ACAR aluminum conductor alloy reinforced (alumınio com

alma de liga de alumınio)

outros para aplicacoes especiais

ACSR (alumınio com alma de aco): aco mais barato que alumınio, a almade aco o faz ser mais resistente a tracao (admite lances maiores) → e o

mais utilizado

– 3 –

liga de alumınio: alumınio + magnesio/silıcio, por exemplo

os condutores sao nus (nao ha camada isolante)

condutores sao torcidos para uniformizar a secao reta. Cada camada etorcida em sentido oposto a anterior (evita que desenrole, empacotamento

e melhor)

PSfrag replacements

ACSR (CAA) AAC (CA)

Cabos de cobre (linhas subterraneas): solidos ou encordoados. Condutores

isolados com papel impregnado em oleo. Existem outros tipos de isolacao

PSfrag replacements

Conductor

– 4 –

Exemplo

Determine a area de alumınio e a area externa total do condutor ACSR 26/7Linnet em cm2.

De acordo com a tabela A.3, o condutor Linnet apresenta as seguintes

caracterısticas:

Area de alumınio : 336.400 CM

Diametro externo : 0,721 in2

Calculando a area de alumınio em cm2:

1 CM = π(

0,0012

)2in2

336.400 CM = SAl

⇒SAl = 0,264 in2 = 1,7 cm2

que corresponderia a um condutor de alumımio de 1,47 cm de diametro. A areaexterna total e:

Sext = π

(0,721

2

)2

= 0,408 pol2 = 2,634 cm2

Visualizando:

PSfrag replacementsdiametro equivalente

de alumınio1,47 cm

diametro externo1,83 cm

– 5 –

5.4 Projeto de linhas de transmissao

I Fatores eletricos:

Determinam o tipo de condutor, a area e o numero de condutores por fase

Capacidade termica: condutor nao deve exceder limite de temperatura,

mesmo sob condicoes de emergencia quando pode estar temporariamentesobrecarregado

Numero de isoladores: manter distancias fase-estrutura, fase-fase etc. Deve

operar sob condicoes anormais (raios, chaveamentos etc.) e em ambientespoluıdos (umidade, sal etc.)

Esses fatores determinam os parametros da linha relacionados com o modeloda linha

I Fatores mecanicos:

Condutores e estruturas sujeitos a forcas mecanicas (vento, neve etc.)

I Fatores ambientais:

Uso da terra (valor, populacao existente etc.)

Impacto visual (estetico)

I Fatores economicos:

Linha deve atender todos os requisitos a um mınimo custo

– 6 –

5.5 Parametros das linhas de transmissao

PSfrag replacements

torre

isoladores

condutor

ifuga

i

campo eletrico

campo magnetico

I Resistencia (R)

Dissipacao de potencia ativa devido a passagem de corrente

I Condutancia (G)

Representacao de correntes de fuga entre condutores e pelos nos isoladores(principal fonte de condutancia)

Depende das condicoes de operacao da linha (umidade relativa do ar, nıvel de

poluicao, etc.)

E muito variavel, em funcao dos fatores acima

Seu efeito e em geral desprezado (sua contribuicao no comportamento geral

de operacao da linha e muito pequena)

I Indutancia (L)

Deve-se aos campos magneticos criados pela passagem das correntes

– 7 –

I Capacitancia (C)

Deve-se aos campos eletricos: carga nos condutores por unidade de diferenca

de potencial entre eles

I Com base nessas grandezas que representam fenomenos fısicos que ocorremna operacao das linhas, pode-se obter um circuito equivalente (modelo) para

a mesma, como por exemplo:

PSfrag replacements

Fonte GG CC

R X

Carga

Linha de transmissao

5.6 Resistencia (R)

I Causa a dissipacao de potencia ativa:

R =potencia dissipada no condutor

I2ef

I Resistencia CC:

R0 = ρ`

AΩ

ρ − resistividade do material (Ω · m)` − comprimento (m)

A − area da secao reta (m2)

– 8 –

I Cobre recozido a 20: ρ = 1,77 × 10−8 Ω · m

Alumınio a 20: ρ = 2,83 × 10−8 Ω · m

I ρ depende da temperatura → R0 varia com a temperatura (ρ aumenta → R0

aumenta):

R2

R1=

T + t2T + t1

em que a constante T depende do material:

T =

234,5 cobre recozido com 100% de condutividade241,0 cobre tempera dura com 97,3% de condutividade

228,0 alumınio tempera dura com 61% de condutividade

PSfrag replacements

t

t1

t2

R1 R2

T

R

– 9 –

I R0 aumenta de 1 a 2% para cabos torcidos (fios de alumınio torcidos, p.ex.

cabos ACSR)

Para se ter x metros de cabo, necessita-se de 1,01x a 1,02x metros de fiospara depois agrupa-los e torce-los

I Em corrente alternada a distribuicao de corrente nao e uniforme pela secaoreta do condutor → a corrente concentra-se na periferia do condutor

“Area util” para passagem da corrente diminui → RAC > R0 → efeito pelicular

(“skin effect”)

Exemplo

Um cabo AAAC Greeley (6201-T81) apresenta as seguintes caracterısticas (dados

de tabela):

resistencia CC a 20 0,07133 Ω/km

resistencia CA a 50 0,08202 Ω/kmcoeficiente de variacao com a temperatura (α) 0,00347 C−1

Calcule o aumento percentual da resistencia devido ao efeito pelicular,considerando a seguinte equacao para a variacao da resistencia em funcao da

temperatura:

R2 = R1 [1 + α (t2 − t1)]

A resistencia CC a 50 e:

R500 = R20

0 [1 + α (50 − 20)]

= 0,07133 · [1 + 0,00347 · (50 − 20)] = 0,07876 Ω/km

– 10 –

A relacao entre as resistencias CA (dada) e CC (calculada) a 50 e:

R50CA

R500

=0,08202

0,07876= 1,0414

ou seja, o efeito pelicular faz com que a resistencia CA aumente em 4,14%

5.7 Indutancia (L)

I Relacionada com os campos magneticos produzidos pela passagem decorrente pelo condutor → corrente produz campo magnetico

PSfrag replacements

H

H

HH

i

i

⊗

– 11 –

I Fluxo concatenado com uma corrente (λ): e aquele que enlaca a corrente

lıquida

Fluxo concatenado externo ao condutor: a corrente produz um campomagnetico (φ). O fluxo externo concatenado com a corrente enlaca toda acorrente, portanto:

PSfrag replacements

i

fluxo magnetico (φ)

⊗λ = φ

Fluxo concatenado interno ao condutor: o fluxo interno concatenado com

a corrente a uma distancia x do centro do condutor de raio R e:

PSfrag replacements

iφ

x

Rλ λ = φ( x

R

)2

Assumindo densidade de corrente (distribuicao de carga por area)uniforme, a corrente enlacada a uma distancia x e proporcional a corrente

total. Aparece portanto na expressao de λ a relacao entre areas(πx2/πR2

)

– 12 –

Fluxo concatenado com uma bobina:

PSfrag replacements

i

iii

i

φ

⊗⊗⊗λ

λ = 3 φ

A bobina tem 3 espiras. Logo, o fluxo concatenado “enxerga” tres vezes acorrente i

I Lei de Faraday:

e =d

dtλ

Relacao entre tensao e corrente para o indutor:

e = Ld

dti

Dividindo uma equacao pela outra, obtem-se uma expressao para a indutancia:

L =d

diλ

– 13 –

Se o circuito magnetico possui permeabilidade magnetica constante:

L =λ

iH (∗)

(∗)

L =d

diλ =

d

diNφ = N

d

diBA = NA

d

diµH = NA

d

diµ

Ni

`=

N2A

`

d

diµi

Se o circuito magnetico possui permeabilidade magnetica constante:

L =N2Aµ

`

d

dii =

N2Aµ

`× (i/i)

=N2Aµi

`i=

Ni

`· NAµ

i= H

NAµ

i

= µHNA

i=

BNA

i=

φN

i=

λ

i

5.7.1 Indutancia de um condutor

I Deve-se calcular a indutancia devido ao fluxo interno, indutancia devido aofluxo externo e a indutancia total

I Consideracao: o condutor esta isolado, isto e, outros condutores estao muito

afastados e os seus campos magneticos nao o afetam

– 14 –

Indutancia devido ao fluxo interno

I Considerar um condutor solido pelo qual circula uma corrente i

I Lei de Ampere:

∮

c

H d` = ic

“a intensidade de campo magnetico (A/m) ao longo de qualquer contorno e

igual a corrente que atravessa a area delimitada por este contorno”

Esta expressao e valida para CC ou CA (utilizar fasores neste caso)

I Considerar a seguinte situacao (condutor visto de frente):

PSfrag replacements

R

xdx

d`

φ

I Resolvendo a equacao de Ampere:

H (2π x) =πx2

πR2i → H =

x

2πR2i A/m

– 15 –

I Densidade de fluxo:

B = µr µ0 H Wb/m2

em que µ0 = 4π · 10−7 H/m e a permeabilidade do vacuo e µr e a

permeabilidade relativa do material

I Considerar o elemento tubular de espessura dx e comprimento `:

PSfrag replacements

dx

`

dS

H

dS = ` dx

O fluxo magnetico e igual a densidade de fluxo B vezes a area da secao

transversal que o campo atravessa (H ⊥ dS):

dφ = B dS Wb

Da figura tem-se dS = ` dx e:

dφ = µrµoH`dx Wb

– 16 –

O fluxo por unidade de comprimento do condutor e (dividindo por `):

dφ = µrµoHdx Wb/m

I O fluxo concatenado com a corrente e proporcional a area de raio x:

dλ =x2

R2dφ

=x2

R2µrµ0Hdx

=x2

R2µrµ0

x

2πR2︸ ︷︷ ︸

H

idx

= µrµ0x3

2πR4idx Wb/m

Integrando:

λint =

∫ R

0

µrµ0x3

2πR4idx =

µrµ0

8πi Wb/m

e independe do raio do condutor, dependendo somente do material e daintensidade da corrente

– 17 –

I A indutancia devido ao fluxo interno e dada por:

Lint =d

diλint

(∗)=

λint

i→ Lint =

µrµ0

8πH/m

(∗) considerando permeabilidade constante

e e constante. Para materiais como o alumınio, cobre, ar, agua, tem-se µr = 1

e:

Lint =1

2· 10−7 H/m

Outra maneira de obter a indutancia devido ao fluxo interno e atraves da

energia armazenada no campo magnetico, que e dada por:

E =1

2Linti

2 J

Considerando um cilindro de base circular com raio x e comprimento `, aenergia armazenada tambem pode ser obtida por:

d

dVE =

1

2µrµ0H

2

em que V e o volume do cilindro:

V = πx2`

– 18 –

Portanto:

d

dxV = 2πx`

Por unidade de comprimento:

dV = 2πx dx

Logo:

dE =1

2µrµ0H

22πx dx =1

2µrµ0

(ix

2πR2

)2

2πx dx

Para a obtencao da energia, deve-se integrar de 0 a R, o que resulta em:

E =1

2µrµ0i

2 1

8π

que, comparando com a primeira expressao da energia fornece:

Lint =µrµ0

8πH/m

– 19 –

Indutancia devido ao fluxo externo

I Considere a seguinte situacao em que se deseja obter o fluxo concatenadoexterno ao condutor:

PSfrag replacements

dxx

φ

i

I A corrente total i e enlacada. Aplicando a Lei de Ampere:

∮

c

H d` = i

2πxH = i

H =i

2πx

I Densidade de campo magnetico:

B(∗)= µ0H =

µ0i

2πx(∗) µr = 1 (ar)

– 20 –

I Fluxo magnetico (lembrando do elemento tubular de comprimento ` e

espessura dx):

dφ = BdS = B`dx

I Fluxo por unidade de comprimento:

dφ = Bdx =µ0i

2πxdx

I O fluxo concatenado e igual ao fluxo pois o mesmo enlaca toda a corrente

uma vez:

dλ = dφ = Bdx =µ0i

2πxdx

I O fluxo concatenado externo deve ser calculado entre dois pontos externos aocondutor:

PSfrag replacementsdxx

φ

i

P1

P2

D1

D2

– 21 –

I O fluxo entre dois pontos P1 e P2 quaisquer externos ao condutor e obtido

pela integracao de dλ:

λext = λ12 =

∫ D2

D1

dλ

em que D1 e D2 sao as distancias dos pontos ao condutor (considera-se quer x). Logo:

λ12 =

∫ D2

D1

µ0i

2π

dx

x=

µ0i

2πln

(D2

D1

)

Wb/m

I Indutancia devido ao fluxo externo entre os dois pontos:

L12(∗)=

λ12

i=

µ0

2πln

(D2

D1

)

= 2 · 10−7 ln

(D2

D1

)

H/m

(∗) considerando permeabilidade constante

5.7.2 Indutancia de uma linha monofasica

I Considerar a linha monofasica:PSfrag replacements

D

r1 r2i −i ⊗ Hipotese simplificadora:

r1 D e r2 D

– 22 –

I O fato da corrente no condutor 1 ser i e a corrente no condutor 2 ser −i faz

com que o calculo de H para uma distancia maior que a distancia entre oscondutores seja nula, pois neste caso a corrente total enlacada sera nula

(itotal = i + (−i) = 0):

PSfrag replacements

⊗ 00

I Indutancia externa entre os condutores produzida pelo condutor 1:

Uma linha de fluxo com raio maior ou igual a D + r2 e com centro nocondutor 1 nao estara concatenada com o circuito, nao induzindo portanto

nenhuma tensao. Em outras palavras, a corrente enlacada por esta linhade fluxo e nula, uma vez que a corrente no condutor 2 e igual e de sentidooposto a do condutor 1

Uma linha de fluxo externa ao condutor 1 e com raio menor ou igual a

D − r2 envolve uma vez a corrente total

As linhas de fluxo com raios entre D − r2 e D + r2 cortam o condutor 2 →envolvem uma fracao da corrente do condutor 2 que varia entre 0 e 1

– 23 –

I Simplificacoes:

Admitir D r1, r2 → (D − r1) ≈ (D − r2) ≈ D

Considerar condutor 2 como um ponto, localizado a uma distancia D docentro do condutor 1

Entao:

L1,ext =µ0

2πln

D

r1

I Indutancia externa entre os condutores produzida pelo condutor 2 (lembrar a

hipotese simplificadora r2 D e o condutor 1 e representado por um pontolocalizado no centro do condutor):

L2,ext =µ0

2πln

D

r2

I Indutancias internas: como considera-se que cada condutor “enxerga” o outro

como um ponto, o fluxo externo de um condutor nao afeta o fluxo interno dooutro. Entao:

L1,int =µrµ0

8π=

1

2· 10−7 H/m

L2,int =µrµ0

8π=

1

2· 10−7 H/m

– 24 –

I Indutancia total devido ao condutor 1:

L1 = L1,int + L1,ext

=µrµ0

8π+

µ0

2πln

(D

r1

)

Considerando que a permeabilidade relativa dos materiais mais comuns das

linhas (cobre, alumınio) e unitaria e que µo = 4π · 10−7 H/m:

L1 =µ0

2π

[1

4+ ln

(D

r1

)]

= 2 · 10−7 ·[

ln(

e1/4)

+ ln

(D

r1

)]

= 2 · 10−7 ·[

ln

(e1/4D

r1

)]

= 2 · 10−7 ·[

ln

(D

r1e−1/4

)]

= 2 · 10−7 ln

(D

r′1

)

H/m

A expressao acima e parecida com a do fluxo externo, so que engloba tambem

o fluxo interno. Equivale, portanto, ao fluxo externo de um condutor com raio:

r′1 = r1e−1/4 = 0, 7788 r1

que e chamado de raio efetivo ou GMR – Geometric Mean Radius ou RMG –Raio Medio Geometrico

– 25 –

I Indutancia total devido ao condutor 2: o procedimento e o mesmo usado para

o condutor 1, resultando em:

L2 = L2,int + L2,ext

=µrµ0

8π+

µ0

2πln

(D

r2

)

= 2 · 10−7 ·[

ln

(D

r2e−1/4

)]

= 2 · 10−7 ln

(D

r′2

)

H/m

onde:

r′2 = r2e−1/4 = 0, 7788 r2

e o raio efetivo ou GMR – Geometric Mean Radius do condutor 2.

I Indutancia total: e a soma das indutancias dos condutores 1 e 2:

L = L1 + L2

= 2 · 10−7 ·[

ln

(D

r′1

)]

+ 2 · 10−7 ·[

ln

(D

r′2

)]

= 2 · 10−7 ·[

ln

(D2

r′1r′2

)]

= 4 · 10−7 ·[

ln

(

D√

r′1r′2

)]

H/m

– 26 –

a indutancia depende da distancia entre os fios, dos raios dos condutores e

do meio (µr e µ0 estao embutidos no termo 4 · 10−7)

a indutancia independe da corrente

I Se os condutores tiverem o mesmo raio:

r′1 = r′2 = r′

e a indutancia sera:

L = 4 · 10−7 · ln(

D

r′

)

H/m

Exemplo

Determine a indutancia de uma linha monofasica cuja distancia entre condutorese de 1,5 m e o raio dos condutores e igual a 0,5 cm

Os dois condutores tem mesmo raio. O raio efetivo (GMR) e:

r′ = 0,7788 · 0,5 · 10−2 = 0,0039 m

A indutancia da linha vale:

L = 4 · 10−7 · ln(

1,5

0,0039

)

= 2,38 µH/m

– 27 –

Exemplo

A corrente pela linha de transmissao monofasica do exemplo anterior e igual a120 A (rms), 60 Hz. Uma linha telefonica, cuja distancia entre condutores e de

10 cm, esta situada no mesmo plano dessa linha, afastada de 1 m, conformemostra a figura a seguir. Calcule a tensao induzida na linha telefonica em Volts

por metro de condutor. Considere que o raio dos condutores da linha telefonica emuito menor que as distancias entre condutores do problema

PSfrag replacements

1,5 m

1,0 m

10 cm

Linha de transmissao Linha telefonica

A tensao induzida na linha telefonica e o resultado de um fluxo concatenado entreos dois condutores da linha, produzido pelas correntes nos condutores da linha de

transmissao

Neste caso, o fluxo concatenado com a linha telefonica tem duas componentes,uma devido a corrente do condutor 1 (i) e a outra devido a corrente no condutor

2 (−i). Lembrando que:

dλ =µ0i

2πxdx

e chamando as componentes de fluxo concatenado de λ1 e λ2, tem-se:

λ1 = 2 · 10−7 · i ·∫ 2,6

2,5

1

xdx = 2 · 10−7 · i · ln

(2,6

2,5

)

λ2 = 2 · 10−7 · (−i) ·∫ 1,1

1,0

1

xdx = −2 · 10−7 · i · ln

(1,1

1,0

)

– 28 –

Notar que a corrente no condutor 2 tem sentido contrario a do condutor 2. O

fluxo concatenado total e:

λ = λ1 + λ2 = 2 · 10−7 · i ·[

ln

(2,6

2,5

)

− ln

(1,1

1,0

)]

= −1,1218 · 10−8 · i Wb/m

A corrente pelos condutores vale:

i(t) = 120 ·√

2 · sen (2πft) A

em que f e a frequencia e considerou-se o angulo de fase da corrente nulo

(referencia angular) Logo a expressao do fluxo fica:

λ = −1,3462 · 10−6 ·√

2 · sen (2πft) Wb/m

A tensao induzida na linha por unidade de comprimento vale:

v(t) =d

dtλ = 2πf ·(−1,3462) ·10−6 ·

√2 ·cos (2πft) = −5,0750 ·10−4 ·

√2 ·cos (2πft) V/m

cujo valor eficaz e:

Vef = 5,0750 · 10−4 V/m = 0,5075 V/km

Este e o valor da tensao induzida na linha telefonica por unidade de comprimento

da linha de transmissao

– 29 –

5.7.3 Fluxo concatenado com um condutor de um grupo de condutores

I Considere o grupo de n condutores:PSfrag replacements

I1

I2

I3

In

1

2

3

n

D1P

D2P

D3P

DnP

P

I A soma algebrica das correntes nos condutores e nula:

n∑

i=1

Ii = 0

I Ideia: calcular o fluxo concatenado com um condutor do grupo de condutores,

por exemplo, o condutor 1

O fluxo concatenado dependera das contribuicoes das correntes I1 (do propriocondutor), I2, I3 . . . In

– 30 –

I Fluxo concatenado com o condutor 1 devido a corrente I1: e composto por

duas parcelas → fluxo interno e fluxo externo

O fluxo externo sera calculado ate o ponto P somente (e um ponto de loca-

lizacao arbitraria e nao influencia no resultado final)

De acordo com os resultados obtidos anteriormente:

λ1P1 = 2 · 10−7 · I1 · ln(

D1P

r′1

)

Wb/m

em que r′1 e o raio efetivo. λ1P1 ja inclui os fluxos interno e externo ate oponto P

I Fluxo concatenado com o condutor 1 devido a corrente I2:

λ1P2 = 2 · 10−7 · I2 · ln(

D2P

D12

)

Wb/m

A expressao geral para o fluxo concatenado com o condutor i devido a corrente

Ij e:

λiP j = 2 · 10−7 · Ij · ln(

DjP

Dij

)

Wb/m

– 31 –

I Fluxo concatenado com o condutor 1 devido as correntes de todos os condu-

tores:

λ1P = 2 · 10−7 ·[

I1 · ln(

D1P

r′1

)

+ I2 · ln(

D2P

D12

)

+ . . . + In · ln(

DnP

D1n

)]

= 2 · 10−7 · [I1 · ln (D1P ) + I2 · ln (D2P ) + . . . + In · ln (DnP )] +

2 · 10−7 ·[

I1 · ln(

1

r′1

)

+ I2 · ln(

1

D12

)

+ . . . + In · ln(

1

D1n

)]

Como I1 + I2 + . . . + In = 0 → In = − (I1 + I2 + . . . + In−1). Entao:

λ1P = 2 · 10−7 ·[

I1 · ln(

D1P

DnP

)

+ I2 · ln(

D2P

DnP

)

+ . . . + In−1 · ln(

D(n−1)1P

DnP

)

+

I1 · ln(

1

r′1

)

+ I2 · ln(

1

D12

)

+ . . . + In · ln(

1

D1n

)]

Se considerarmos o ponto P tendendo ao infinito (P → ∞), os termos

DkP/DnP tenderao a 1 e, portanto, seus logaritmos tenderao a zero. Logo, ofluxo concatenado com o condutor 1 vale (fazendo P → ∞):

λ1P = 2 · 10−7 ·[

I1 · ln(

1

r′1

)

+ I2 · ln(

1

D12

)

+ . . . + In · ln(

1

D1n

)]

Wb/m

I O afastamento do ponto P para o infinito e equivalente a inclusao de todo ofluxo concatenado com o condutor 1

– 32 –

I Lembre que a expressao do fluxo concatenado acima e a de um condutor

pertencente a um grupo de condutores cuja soma das correntes seja nula

I A expressao e valida tanto para valores instantaneos (usar correntes ins-

tantaneas) como para fasores (usar fasores das correntes)

5.7.4 Indutancia de linhas com condutores compostos (mais de um condutor por

fase)

I Considere a seguinte linha monofasica:

PSfrag replacements

a

b c

n

a′

b′ c′n′

condutor X condutor Y

I Caracterısticas da linha:

Condutor composto: condutores encordoados, cabos.

A fase X (condutor X) e composto por n fios identicos em paralelo e

conduz uma corrente I uniformemente distribuıda pelos fios. A correnteem cada fio e I/n.

A fase Y (condutor Y) e composto por m fios identicos em paralelo e

conduz uma corrente −I uniformemente distribuıda pelos fios. A correnteem cada foi e −I/m.

– 33 –

I Obtencao do fluxo concatenado com o fio a da fase X: deve-se levar em

consideracao o efeito de todas as correntes por todos os fios, inclusive oproprio fio a.

I De acordo com os resultados anteriores:

λa = 2 · 10−7 · I

n·(

ln1

r′a+ ln

1

Dab+ . . . + ln

1

Dan

)

︸ ︷︷ ︸

fase X

−2 · 10−7 · I

m·(

ln1

Daa′

+ ln1

Dab′+ . . . + ln

1

Dam

)

︸ ︷︷ ︸

fase Y

que resulta em:

λa = 2 · 10−7 · I · lnm√

Daa′Dab′ . . .Dam

n

√r′aDab . . .Dan

Wb/m

I Em geral considera-se: r′a = Daa = 0,7788ra

I A indutancia do fio a e:

La =λa

I/n= 2 · n · 10−7 · ln

m√

Daa′Dab′ . . .Dam

n

√r′aDab . . .Dan

H/m

– 34 –

I Para o fio b:

Lb = 2 · n · 10−7 · lnm√

Dba′Dbb′ . . .Dbm

n√

DbaDbb . . .Dbn

H/m

I Para os outros fios da fase X o processo e semelhante.

I A indutancia da fase X e calculada verificando-se que os fios a, b, . . . , n estaoem paralelo:

1

LX=

n∑

i=1

1

Li

I Utiliza-se tambem uma forma aproximada, que fornece bons resultados e

simplifica bastante as deducoes. Primeiro, calcula-se a indutancia media dafase X:

Lav =La + Lb + . . . + Ln

n

Assume-se agora que a fase X e composta por n fios de indutancia Lav em

paralelo. Portanto, a indutancia da fase X vale:

LX =Lav

n=

La + Lb + . . . + Ln

n2H/m

– 35 –

I Esta expressao e mais conveniente pois, substituindo os valores de La, Lb,

etc. obtem-se:

LX = 2 · 10−7 · lnmn

√

(Daa′Dab′ . . .Dam) (Dba′Dbb′ . . .Dbm) . . . (Dna′Dnb′ . . .Dnm)n2√

(DaaDab . . .Dan) (DbaDbb . . .Dbn) . . . (DnaDnb . . .Dnn)H/m

I Entao:

LX = 2 · 10−7 · ln Dm

DsXH/m

I Numerador: produto das distancias dos fios da fase X e da fase Y:

Dm = mn

√

(Daa′Dab′ . . .Dam) (Dba′Dbb′ . . .Dbm) . . . (Dna′Dnb′ . . .Dnm)

Dm e a Distancia Media Geometrica – DMG, ou Geometric Mean Distance –

GMD, ou DMG mutua

I Denominador: produto das distancias dos fios da fase X:

DsX = n2√

(DaaDab . . .Dan) (DbaDbb . . .Dbn) . . . (DnaDnb . . .Dnn)

DsX e o Raio Medio Geometrico – RMG, ou Geometric Mean Radius – GMR,

ou DMG propria da fase X

– 36 –

I A indutancia da fase Y e obtida de maneira identica a da fase X e resulta em

LY :

LY = 2 · 10−7 · ln Dm

DsYH/m

I A indutancia da linha e dada por:

L = LX + LY

I Caso as fases X e Y sejam identicas, tem-se:

L = 4 · 10−7 · ln Dm

DsH/m

em que Ds = DsX = DsY

I Relembrando a expressao da indutancia de uma fase de uma linha monofasica

com um condutor por fase:

L1 = 2 · 10−7 · ln(

D

r′1

)

H/m

e comparando com a indutancia da fase X da linha com condutores compostosLX, percebe-se que a expressao de L1 e um caso particular da expressao de L1:

Condutor unico por fase Condutores multiplos por fase

Distancia entre fases (D) Distancia media geometrica – DMG (Dm)

Raio efetivo do condutor (r′1) Raio medio geometrico – RMG (Ds)

– 37 –

Exemplo

Calcule a indutancia da linha monofasica mostrada a seguir.

PSfrag replacements

a

b

c

d

e

lado X lado Y

6 m

6 m

r = 0,25 cm r = 0,50 cm

9 m

Calculo da DMG entre os lados X e Y (Dm):

Dm = 6

√

DadDaeDbdDbeDcdDce = 10,743 m

em que:

Dad = Dbe = 9 m

Dae = Dbd = Dce =√

62 + 92 =√

117 m

Dcd =√

92 + 122 = 15 m

– 38 –

RMG do lado X (DsX):

DsX = 9

√

DaaDabDacDbaDbbDbcDcaDcbDcc = 0,481 m

em que:

Daa = Dbb = Dcc = e−1/4r = 0,7788 · 0,25 · 10−2 = 1,9470 · 10−3 m

Dab = Dba = Dbc = Dcb = 6 m

Dac = Dca = 12 m

RMG do lado Y (DsY ):

DsY = 4

√

DddDdeDedDee = 0,153 m

em que:

Ddd = Dee = e−1/4r = 0,7788 · 0,50 · 10−2 = 3,8940 · 10−3 m

Dde = Ded = 6 m

Indutancias dos lados X e Y:

LX = 2 · 10−7 · ln Dm

DsX= 6,212 · 10−7 H/m

LY = 2 · 10−7 · ln Dm

DsY= 8,503 · 10−7 H/m

– 39 –

Indutancia completa da linha por unidade de comprimento:

L = LX + LY = 14,715 · 10−7 H/m

Exercıcio

Calcule a indutancia e a reatancia por unidade de comprimento a 60 Hz da linha

monofasica mostrada na figura a seguir. Verifique que a DMG e praticamenteigual a distancia entre os centros das fases quando esta e muito maior que as

distancias entre os condutores de uma mesma fase.

PSfrag replacements

a b c d

lado X lado Y

12 m

45 cm 5 cm

(Resposta: 1,9413 µH/m, 0,732 mΩ/m)

5.7.5 Uso de tabelas

I Existem tabelas com varias informacoes sobre os condutores: resistencia,reatancias, RMG, etc.

I As tabelas fornecem a reatancia para certas frequencias (por exemplo 60 Hz),ao inves da indutancia.

– 40 –

I A reatancia de um condutor (simples ou composto) vale:

XL = 2πfL = 2πf · 2 · 10−7 · ln Dm

Ds

(Ω

m× 1609 m

1 mi

)

= 2,022 · 10−3 · f · ln Dm

DsΩ/mi

= 2,022 · 10−3 · f · ln 1

Ds︸ ︷︷ ︸

Xa

+ 2,022 · 10−3 · f · ln Dm︸ ︷︷ ︸

Xd

Ω/mi

em que:

Xa − reatancia indutiva para espacamento unitario (por exemplo, 1 pe se

esta for a unidade utilizada) – depende da frequencia e do raio docondutor

Xd − fator de espacamento da reatancia indutiva – depende da frequencia

e do espacamento entre condutores

Exemplo

Determine a reatancia indutiva por milha de uma linha monofasica com asseguintes caracterısticas:

frequencia 60 Hz

tipo dos cabos Partridge

distancia entre os centros dos cabos 20 ft

– 41 –

Tem-se portanto:

PSfrag replacements

20′

aco

alumınio26Al / 7St

Area = 266.800 CM

Conforme definido anteriormente:

1 CM = π

(0,001

2

)2

in2 = 0,7854 · 10−6 in2

Logo, para o cabo Partridge:

Area = 266.800 CM = 0,2095 in2

que resulta em um diametro de 0,5165 in. Da tabela de condutores obtem-se:

Diametro externo = 0,642 in > 0,5165 in !

A razao da diferenca e que a area em CM fornecida na tabela refere-se a area dealumınio, enquanto que o diametro e externo, o que inclui o espacamento entre

os condutores.

Alem disso, o raio e igual a 0,5165/2 = 0,2583 in, ou 0,0215 ft. Pela tabela dedados dos condutores tem-se:

RMG = 0,0217 ft 6= (0,7788 · 0,0215) !

– 42 –

Razao da diferenca entre os RMG: o RMG (0,7788 · 0,0215) e calculado

considerando um condutor solido. No entanto, o condutor Partridge eencordoado, e o RMG deve ser calculado por:

RMG = 26·26

√

DaaDabDac . . .

Da tabela A.3 de dados dos condutores, o RMG para o condutor e Ds = 0,0217 ft.

Pode-se utilizar diretamente a equacao da indutancia e obter a reatancia porcondutor:

X = 2,022 · 10−3 · 60 · ln 20

0,0217= 0,828 Ω/mi

e a reatancia total sera XL = 2 X = 1,656 Ω/mi

Ou entao:

• da tabela A.3 a reatancia indutiva para um pe de afastamento eXa = 0,465 Ω/mi

• da tabela A.4, para um espacamento de 20 ft o fator de espacamento eXd = 0,3635 Ω/mi

• a reatancia indutiva de um cabo sera X = Xa + Xd = 0,8285 Ω/mi

• a reatancia indutiva da linha (2 cabos): XL = 2X = 1,657 Ω/mi

– 43 –