4.3Convergência,MédiaeVariânciaAmostraiseasDensidades“t”e“F”
TeoremadoLimiteCentral(Lindeberg-LévyCLT)Sejaumasequênciadevar.aleatóriasiidcomEntão:EmtermosdaDistribuiçãoAcumuladadavariávelaleatória,tem-se.
{ }nX
( ) ( ) ( ) .itodopara,XVareXE ii ∞∈== 02σµ
( ) ( ) .XnX,,NXn n
iin
dn/
∑=
−=⎯→⎯−
1
121
10σ
µ
( )xGn
( )σ
µ−n/ Xn 21
( )( )
∫∞
∞−
−
∞→ =2
21
21 x
nn exGlimπ
4.3Convergência,MédiaeVariânciaAmostraiseasDensidades“t”e“F”
Ex.4.18(M.c.5):Sejaumasequênciadevar.aleatóriasiidcomdensidadesQui-
Quadradocomgraudeliberdadev=1,ouseja,PelaadiVvidadedaDensidadeQuidrado,.Alémdisto,comv=1:Assim,com,PeloTeoremadoLimiteCentral:
{ }nX.i~X i ∀2
1χ
2
1n
n
ii ~X χ∑
=
( ) ( ) ivXVarevXE ii ∀==== 221
2
1121121
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=∑∑==
n/Xn
n/XnY
n
ii
/
n
ii
/n σ
µ
Yn =Xi
i=1
n
∑ − n⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2nd⎯ →⎯ N 0,1( ).
4.3Convergência,MédiaeVariânciaAmostraiseasDensidades“t”e“F”E,assim,como,Comoumaaplicação,assumaque.Então:Umaaproximaçãoparatalprobabilidadeseria,pois:
( ).,NY dn 10⎯→⎯
( )n,nN~nnYXa
n
n
ii 22
1+=∑
=
250
2
1χχ =∑
=n
n
ii ~X
( ) ( ) 95005015671567 250
250 ,,,P,P =−=≥−=≤ χχ
( ) ( ) 9599075110050567
100
50567 50
50 ,,ZP,ZP,ZP =≤=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −≤
−=≤
4.3Convergência,MédiaeVariânciaAmostraiseasDensidades“t”e“F”
AlémdeconhecerdistribuiçõeslimitesouqueservemcomoaproximaçõesparacaracterísVcaspopulacionaisdeinteresse,comonamaioriadasvezesageraçãodeinformaçõessobretaiscaracterísVcaséfeitaatravésdauVlizaçãodeamostrasdaspopulações(inferênciaesta^sVca),énecessárioqueoprocessodeamostragempermitaestabeleceralgumamedidaquanVtaVvadeconfiançadeascaracterísVcasestabelecidasaparVrdeamostrasreflitamaquelasdapopulação.
AmostraAleatória:Umaamostraaleatóriadetamanhondeumapopulaçãoéumaamostra
emqueasobservaçõessãoobVdasaparVrdeexperimentosindependenteseidênVcos.
Assim,asobservaçõesamostraispodemserconsideradascomresultadosdevariáveisaleatóriasiid.
4.3Convergência,MédiaeVariânciaAmostraiseasDensidades“t”e“F”
Exemplo:escolhaaleatóriade100alunosdeEconomiaeregistrodesuaidade,comreposiçãonapopulaçãodeestudantesdeEconomiadaUFPE.
Observ.:nocasodeamostrasdepopulaçãofinita,aamostragemaleatórianão
seaplicariacasonãohouvessereposição.Nestescasos,contudo,anoçãodeindependênciaseriaaproximadaparaotamanhopopulacional(N)grande.
AparVrdaamostraaleatóriadeumapopulação,asinformaçõessobreesta
populaçãosão,emgeral,obVdasaparVrdemedidas,sumáriosoufunçõesdasobservaçõesdaamostra.
4.3Convergência,MédiaeVariânciaAmostraiseasDensidades“t”e“F”
Esta^sVca:Umaesta^sVcaéumafunçãorealdevariáveisaleatóriasobserváveisque
independedeparâmetrosdesconhecidos,sendoelamesmaumavariávelaleatória.
Ex.4.19:X,umavariávelaleatóriadefinidacomoaparceladediassemempregoao
longodoanodeumtrabalhador.Esta^sVcaY:pontospercentuaisacimade30%dosdiasdoano,Mas,nãoéumaesta^sVca,jáqueaebsãodeconhecidos.
( )30100 ,X.Y −=
( )bXaW −=
4.3Convergência,MédiaeVariânciaAmostraiseasDensidades“t”e“F”Duasesta^sVcasmerecemdestaques:MédiaAmostraleVariânciaAmostral.MédiaAmostral:Amédiaamostraléaesta^sVcacorrespondenteàmédiaaritméVcados
valoresnumaamostraaleatória.Formalmente,ondeéumaamostraaleatóriadetamanhon.VariânciaAmostral:Sejaumaamostraaleatóriadetamanhon.Entãoaesta^sVca
conhecidacomovariânciaamostralédefinidacomo:
∑=
−=n
iiXnX
1
1
( )nX,....,X1
nX,....,X1
( ) ( )amostralmédiaXnXonde,XXnSn
ii
n
iin ∑∑
=
−
=
− =−=1
12
1
12
4.3Convergência,MédiaeVariânciaAmostraiseasDensidades“t”e“F”
Háumconjuntoderesultadosbastanteúteiscomrespeitoaestasduasesta^sVcas.
Teorema4.6Sejaumaamostraaleatóriadeumapopulaçãocommédiaµe
variânciaEntão:a.b.Prova:a.
nX,....,X1.∞<2σ
E Xn( ) = µ e Var Xn( ) = σ2
n,X ~ N µ,σ
2
n⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟.
( ) 22 1σ
nnSE n−
=
( ) ( ) ===⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∑∑∑=
−
=
−
=
−n
ii
n
ii
n
iin nXEnXnEXE
1
1
1
1
1
1 µ
iidsãoXquejá,n.nn i
n
iµµµ === −
=
− ∑ 1
1
1
4.3Convergência,MédiaeVariânciaAmostraiseasDensidades“t”e“F”b.
( ) ( ) =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∑∑∑===
−n
ii
n
ii
n
iin XVar
nXVar
nXnVarXVar
12
12
1
1 11
( ) ( ) ( ) 011 22
12
===⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∑=
jii
n
ii X,XCovquejá,
nXVar
nnXVar
nσ
( ) 22 1σ
nnSE n−
=
( )( ) ( )
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −−+=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
∑∑==
n
XXE
n
XXESE
n
ini
n
ini
n1
2
1
2
2µµ
( ) ( )( ) ( ){ }=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −+−−+−=
∑=
n
XXXXE
n
innii
1
22 2 µµµµ
( ) ( )( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −= ∑∑∑===
n/XEn/XXEn/XEn
in
n
ini
n
ii
1
2
11
2 2 µµµµ
4.3Convergência,MédiaeVariânciaAmostraiseasDensidades“t”e“F”
ComoMasjáque,
( ) ∑ ∑∑ −=−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
,XnnXX ni
n
ii µµµ
1
( ) ( ) ( )( ) ( ) ⇒⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −= ∑∑∑===
n/XEn/XXEn/XESEn
in
n
ini
n
iin
1
2
11
22 2 µµµµ
( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ] =−+−−−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −= ∑=
n/XnEn/XXnEn/XESE nn
n
iin
2
1
22 2 µµµµ
( ) ( ) ( )[ ]n/XnEn/XESEn
iin
2
1
22 −−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −= ∑=
µµ
( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )n
XVarXEXEXEXE nnnn
222222 σ
µµ ==−=−=−
( ) ( ) ( )[ ] =−=−−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −= ∑= n
n/XnEn/XESEn
iin
222
1
22 σσµµ
( ) ( )n.nSE n
22 1 σ−=
4.3Convergência,MédiaeVariânciaAmostraiseasDensidades“t”e“F”
Teorema4.7Sejaumaamostraaleatóriadeumapopulaçãocommédiaµe
variânciaEntão:a.plimb.Prova:a.ComoepelaDesigualdadedeMarkov:
nX,....,X1.∞<2σ
µ=nX
( ) ( )102
,N~n/
X dn
σ
µ−
( ) .,XPlimXlimp nnn 01 >=<−⇒= ∞→ εεµµ
( ) 02
== ∞→∞→ nlimXVarlim nnn
σ
( ) ,n/XP n 2
2
1ε
σεµ −≥<−
4.3Convergência,MédiaeVariânciaAmostraiseasDensidades“t”e“F”
assim:b.TalresultadoseguediretamentedoTeoremadoLimiteCentraltomandoa
amostraaleatóriacomoumasequênciadevariáveisaleatórias:
( ) ⇒=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−≥<− ∞→∞→ 11
2
2
ε
σεµ
n/limXPlim nnn
( ) ,n/XP n 2
2
1ε
σεµ −≥<−
( ) .XlimpouXPlim nnn µεµ ==<−∞→ 1
( ) ( )102
,N~n/
X dn
σ
µ−
( ) ( ).,N~Xn dn
/
1021
σ
µ−
4.3Convergência,MédiaeVariânciaAmostraiseasDensidades“t”e“F”
Teorema4.8Sejame,respecVvamente,amédiaevariânciaamostraldeuma
amostradetamanhondeumadistribuiçãoNormalcommediaµevariânciaEntão,
a.b.sãoindependentesc.Provaa.
nX 2nS
.2σ
( )n/,N~X n2σµ
2nn SeX
212
2
−nn ~
nSχ
σ
( )n/,N~X n2σµ
4.3Convergência,MédiaeVariânciaAmostraiseasDensidades“t”e“F”Note-se,primeiro,que.Fazendo.ComoosXssãoindependentes,Lembrandoquee,assim,,vem
( ) ( ) ( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
++ nin
n
X....Xnt
XtX eEeEtM ( ),X....XY ni ++=
( ) ( )n/tMeEtM Y
Ynt
Xn=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ⇒=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∫ ∫ ∫
++
nn
XntX
ntX....X
nt
X dx.....dxxf......xfe.....e...eEtM nini
n 11
( ) ( ) ( ) ( )( )nXXXX n/tMn/tM........n/tMtMnn
==11
( )2σµ ,N~X ( )( )2
22 n/tn/t
X een/tMσ
µ=
4.3Convergência,MédiaeVariânciaAmostraiseasDensidades“t”e“F”QuecorrespondeàFunçãoGeradoradeMomentosdeumvariável
aleatóriacomdistribuiçãoNormalcommédiaµevariância.Ouseja,
( ) ( )( )( ) ( )
==⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡== 22
2222 n/tt
nn/t
n/tnXX eeeen/tMn/tM
n
σµ
σµ
( )( )2
22 n/tt
X een/tMn
σµ=
n/2σ
( ).n/,N~X n2σµ
4.3Convergência,MédiaeVariânciaAmostraiseasDensidades“t”e“F”
DistribuiçãotdeStudentEmgeral,oparâmetroédesconhecido,oqueimpede,aprincípio,o
conhecimentodavariabilidadede(tomadocomumaesVmaVvaouaproximaçãoparaµ).
Alémdisto,perceba-sequeseéumaamostraaleatóriadeumapopulaçãocomDistribuiçãoNormalcommédiaµevariância,
ou,padronizando,.EstaúlVmainferência,casooparâmetrosfosseconhecido,poderiaser
uVlizadaparafazerinferênciasarespeitodeµaparVrdeinformaçõesde.Mas,novamente,háadificuldadedafaltadeconhecimentoquantoao
valorde.
2σnX
nX,....,X12σ
( )n/,N~X n2σµ
( )10,N~n/
X nσ
µ−
2σ
nX2σ
4.3Convergência,MédiaeVariânciaAmostraiseasDensidades“t”e“F”
AalternaVvasugeridaporW.S.Gosset(pseudônimoStudent)foisubsVtuirporumaesVmaVvaparaesteparâmetro,,oquegeraaesta^sVca
“t”:Talesta^sVca,naverdade,podeserdefinidadeformamaisgeral.Sejamevariáveisaleatóriasindependentes.Entãoa
esta^sVcatpodeserdefinidacomo:Ouseja,avariávelaleatóriaTcom“v“grausdeliberdadeéobVdacomoa
razãoentreumaNormapadrãoearaizquadradadeumaQui-Quadradodivididapeloseugraudeliberdade.
2σ 2σ̂
n/ˆX
t n
σ
µ−=
( )10,N~Z 2v~Y χ
v/YZTv =
4.3Convergência,MédiaeVariânciaAmostraiseasDensidades“t”e“F”AFunçãoDensidadedaesta^sVcaT,porsuavez,édadapor:-- Parâmetro:v>0.Dadaadefiniçãodaesta^sVca,suadensidade(acimarepresentada)pode
serobVdaaparVrdasdensidadesNormalPadrãoeQui-Quadradocomvgrausdeliberdade.
Prova:exercícioparaacasa(usarofatodasvariáveisseremindependentes).
( )( )
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
Γ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +Γ
=21
2
1221 v
vt
v/v
v
v;tfπ
4.3Convergência,MédiaeVariânciaAmostraiseasDensidades“t”e“F”
MédiaeVariância:Se,então:sev>1sev>2Prova:exercícioparacasa.
( )vf~T Tv
( ) 0=vTE
( )2−
=vvTVar v
4.3Convergência,MédiaeVariânciaAmostraiseasDensidades“t”e“F”Teorema4.9Seesão,respecVvamente,amédiaeavariânciaamostralde
umaamostraaleatóriadetamanho“n“derivadadeumapopulaçãocomDistribuiçãoNormalcommédiaµevariância,então,para
,temdistribuiçãotdeStudentcomn–1
grausdeliberdade,ouseja,Prova:Note-seque
nX 2nS
2σ
n
/
Snnˆ
21
1⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=σ ( )σ
µˆXn n
/ −21
( )( ) 1211
−−
−n/
n
n t~n/SX µ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
11
11 2
2
2
221
21
2121
−
−=
−
−=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
−=
−
−
n.n
S
n//X
nnS
n
/X
Snn
XnˆXn
n
n
n/
n
n
/n
/n
/
σ
σµ
σ
σµµ
σ
µ
4.3Convergência,MédiaeVariânciaAmostraiseasDensidades“t”e“F”
Como,peloTeorema4.8,e,então:,onde.Portanto,temdistribuiçãotcomn–1grausdeliberdadequando
( ) ( ) ( )
11
2
2
21
−
−=
−
n.n
S
n//XˆXn
n
nn/
σ
σµ
σ
µ
( ) ( ) ( )10,N~n//X n σµ− ( )212
2
−nn ~nS
χσ
( )11
21
−=
−
− n/YZ
ˆXn
n
n/
σ
µ( )211 −− nn ~Y χ
( )σ
µˆXn n
/ −21
.Snnˆ n
/ 21
1⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=σ
4.3Convergência,MédiaeVariânciaAmostraiseasDensidades“t”e“F”
Teorema4.10:Assumaque,,equeZe
sejamindependentes.Assim,temdistribuiçãotcomvgrausdeliberdade.Nestasituação,quando
,então.Astabeladadistribuiçãot,emgeral,fornecemaprobabilidadedavariável
aleatóriaexcederdeterminadovalor“c”:,paradiferentesvaloresdoparâmetrov(graudeliberdade)evaloresdeα
(porexemplo,0.01,0.025,0.05).
( ) 21 /v v/Y/ZT = ( )10,N~Z ( )
2vv ~Y χ vY
vT
∞→v ( )10,NT dv ⎯→⎯
( ) ( ) α==≥ ∫∞
cTv dtv;tfctP
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