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2 Noes da esttica clssica1

2.1 Princpios e conceitos fundamentaisEmbora o estudo da Mecnica se tenha iniciado no tempo de Aristteles (364-322 A. C.) e Arquimedes (287-212 A. C.), ela teve que esperar at Newton (1642-1727) para encontrar uma formulao satisfatria de seus princpios fundamentais e sua validade permaneceu imutvel at Einstein (1905). Apesar de suas limitaes terem sido reconhecidas, a mecnica newtoniana ainda permanece sendo a base das cincias atuais de Engenharia. Mecnica pode ser definida como a cincia que descreve e prediz as condies de repouso ou movimento de corpos sob a ao de foras. E dividida em trs partes: mecnica dos corpos rgidos, mecnica dos corpos deformveis e mecnica dos fluidos. A Mecnica dos corpos rgidos subdividida em Esttica e Dinmica; a primeira se refere a corpos em repouso e a segunda, a corpos em movimento. Neste curso, os corpos so considerados perfeitamente rgidos (pequenas deformaes no influenciam apreciavelmente as condies de equilbrio ou de movimento da estrutura considerada). A Resistncia dos Materiais a parte da mecnica dos corpos deformveis. Os conceitos bsicos usados na Mecnica so os de espao, tempo, massa e fora: O conceito de espao associado noo de posio de um ponto P. A posio de um ponto pode ser definida por trs comprimentos medidos a partir de um ponto de referncia, ou de origem, segundo trs direes dadas. Esses comprimentos so conhecidos como as coordenadas de P. O tempo ou instante em que o evento ocorre, tambm deve ser dado. Para definir um evento no suficiente definir sua posio no espao. O conceito de massa usado para caracterizar e comparar os corpos com base em certas experincias mecnicas fundamentais. Dois corpos de mesma massa, por exemplo, sero atrados pela terra da mesma maneira; eles oferecero tambm a mesma resistncia a uma variao do movimento de translao.

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Mecnica vetorial para engenheiros - Ferdinand P. Beer e E. Russell Johnston, Jr.; McGraw-Hill, 1976

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A fora representa a ao de um corpo sobre outro. Pode ser exercida por contato ou distncia (caso de foras gravitacionais ou magnticas). Uma fora representada por um vetor e caracterizada pelo seu ponto de aplicao, sua intensidade, direo e sentido.

Na mecnica newtoniana, espao, tempo e massa so conceitos absolutos, independentes um do outro. Por outro lado a fora resultante que atua sobre um corpo depende da massa do corpo e da maneira como sua velocidade varia com o tempo. Por partcula entendemos uma pequena poro da matria que pode ser considerada como se ocupasse um ponto no espao. Um corpo rgido uma combinao de um grande nmero de partculas que ocupam posies fixas, relativamente uma outra. O estudo da mecnica elementar repousa em seis princpios fundamentais baseados na demonstrao experimental.

A Lei do Paralelogramo para a Adio de Foras. Estabelece que duas foras atuantes sobre uma partcula possam ser substitudas por uma nica fora, chamada resultante, obtida pela diagonal do paralelogramo cujos lados so iguais s foras dadas.

O Princpio da Transmissibilidade. Estabelece que as condies de equilbrio ou de movimento de um corpo rgido permanecero inalteradas se uma fora que atua num dado ponto do corpo rgido substituda por outra de mesma intensidade, direo e sentido, mas atuante num ponto diferente, desde que as duas foras tenham a mesma linha de ao.

Primeira lei de Newton. Se a fora resultante que atua sobre uma partcula zero, a partcula permanecer em repouso (se estava originalmente em repouso) ou mover-se- com velocidade constante e em linha reta (se estava originalmente em movimento).

Segunda lei de Newton. Se a fora resultante que atua sobre uma partcula no zero, a partcula ter uma acelerao proporcional intensidade da resultante e na direo desta. Esta lei pode ser expressa como F = ma, onde F, m e a representam respectivamente, a fora resultante que atua sobre a partcula, sua massa e sua acelerao.

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Terceira lei de Newton. As foras de ao e reao entre corpos em contato tm a mesma intensidade, mesma linha de ao e sentidos opostos.

Lei da Gravitao de Newton. Enuncia que duas partculas de massas M e m so mutuamente atradas com foras iguais e opostas F e -F de intensidade F dada pela frmula:

F =G

Mm r2

onde r a distncia entre as partculas e G a constante de gravitao.

Um caso particular de grande importncia o da atrao da Terra sobre uma partcula localizada na sua superfcie. A fora F exercida pela Terra sobre a partcula ento definida como o peso P da partcula. Sendo M a massa da Terra, m a massa da partcula e r o raio R da Terra, e introduzindo a constante g:g= GM , a intensidade P do peso de uma partcula pode ser expressa como: P = mg R2

Observa-se que o valor de g varia com a posio do ponto considerado. Depende da altura do ponto considerado e tambm de sua latitude, pois a Terra no esfrica. Na maioria dos clculos de engenharia suficientemente preciso supor g = 9,81 m/s2.

2.2 Sistema Internacional de UnidadesHistrico

Em 1948 a 9 Conferncia Geral de pesos e Medidas (CGM) iniciou estudos para o estabelecimento de um "Sistema pratico de Medidas a ser adotado por todos os pases signatrios da Conveno do Metro". A 10 CGPM (1954) adotou como unidades de base deste "Sistema Prtico de Unidades" as unidades das seis grandezas seguintes: comprimento massa tempo intensidade de corrente eltrica temperatura termodinmica intensidade luminosa metro quilograma segundo ampre kelvin candela m kg s A K cd

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A 11 CGPM (1960) adotou o nome "Sistema Internacional de Unidades" com abreviao internacional "SI" e estabeleceu regras para os prefixos, para as unidades derivadas e as unidades suplementares e a 14 CGPM (1969) introduziu a "Unidade de Quantidade de Matria como a stima unidade de base do Sistema Internacional de Unidades. quantidade de matria mol mol

Unidades Derivadas

As unidades derivadas so constitudas, a partir das unidades de base, por expresses algbricas. Muitas dentre essas unidades derivadas receberam nome especial e smbolo particular, que podem ser utilizados por sua vez, para expressar outras unidades derivadas. A seguir so apresentadas algumas das Unidades Derivadas mais comuns na engenharia civil.

Unidades Derivadas expressas a partir das Unidades de Base

superfcie volume velocidade acelerao massa especfica

metro quadrado metro cbico metro por segundo metro por segundo ao quadrado quilograma por metro cbico

m2 m3 m/s m/s2 kg/m3

Unidades Derivadas possuidoras de nomes especiais

fora presso

newton pascal

N Pa

m kg s-2 m-1 kg s-2

Unidades Derivadas expressas com emprego de nomes especiais

momento de uma fora tenso superficial

metro newton newton / metro

N.m N/m

m2 kg s-2 kg s-2

Unidades Suplementares

As unidades suplementares so aquelas que, a critrio do usurio, podem ser consideradas como unidades de base ou derivadas. Esta categoria comporta apenas duas unidades: a de ngulo plano e a de ngulo slido. angulo plano radiano rad

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Mltiplos e submltiplos decimais das unidades SI

1012 109 106 103 102 101

tera giga mega quilo hecto deca

T G M k h da

10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12

deci centi mili micro nano pico

d c m n p

Unidades no pertencentes ao Sistema Internacional

minuto hora dia grau minuto segundo litro tonelada

min h d ' " t

(em uso com o Sistema Internacional) 1 min = 60 s 1h = 60 min = 1d = 24 h = = ( /180 ) rad 1 1' = (1/60) = 1" = (1/60)' = = = 1 dm3 1 1t = 103 kg

3600 s 86400 s ( /10800) rad ( /648000 ) rad 10-3 m3

No Brasil o sistema de unidades MKS (metro, kilograma-fora, segundo) foi reconhecido como sistema oficial at a adoo do Sistema Internacional de Unidades SI. A principal diferena entre estes sistemas se d nas grandezas que empregam a unidade de medida Fora.

MKS: denomina-se quilograma-fora (kgf) ou quiloponde (kp) a fora que produz, na massa de um quilograma, a acelerao da gravidade (g = 9,8 m/s),

SI: denomina-se Newton (N) a fora que produz, na massa de um quilograma, a acelerao de 1,0 m/s.

Converses

1 kgf (kp) 1N 1 Pa 1 Kgf/cm2

= 9,8 N = 0,102 kgf (kp) = 1 N/m2 = 0,102 MPa

=

1 MPa 1 MPa 1 MPa 1 MPa 1 MPa

= 1 N/mm2 0,1 KN/cm2 10,2 kgf/cm2 0,1 KN/cm2 = 1 MN/m2

Obs.: usualmente se trabalha com a acelerao da gravidade g = 10,0 m/s

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2.2.1 Preciso NumricaA preciso do resultado de um problema depende de dois fatores: a preciso dos dados fornecidos e a dos clculos realizados. A preciso do resultado no pode superar a destes dois fatores. Por exemplo, se a carga de uma ponte de 750 kN com um possvel erro de 1 kN, o erro relativo que mede o grau de preciso do dado 1 / 750 = 0,0013 = 0,13 % Em problemas de engenharia, raramente os dados so conhecidos com uma preciso maior que 0,2%. Portanto desnecessrio realizar os clculos com preciso maior.

2.3 Noes de clculo vetorial Foras coplanares.Uma fora representa a ao de um corpo sobre outro. Ela caracterizada por seu ponto de aplicao, sua intensidade, direo e sentido. A intensidade de uma fora dada por um nmero (em N ou kN), a sua direo definida pela reta ao longo da qual a fora atua e caracterizada pelo ngulo que forma com algum eixo fixo e, finalmente, o sentido da fora indicado por uma seta.10 kN A 30

Os vetores so definidos como entes matemticos que possuem intensidade, direo e sentido. Um vetor usado para representar uma fora que atua em uma dada partcula tem bem definido o seu ponto de aplicao e, esse vetor dito fixo e no pode ser deslocado sem modificar as condies do problema. Independentemente de terem ou no o mesmo ponto de aplicao, dois vetores de mesma intensidade, direo e sentido so ditos iguais e, podem ser indicados pela mesma letra. As foras, como vetores, se adicionam de acordo com a lei do paralelogramo. Outras entidades tambm seguem a lei de adio do paralelogramo: os deslocamentos, as velocidades, as aceleraes e os momentos, so outros exemplos de quantidades fsicas que possuem intensidade e direo e que so adicionadas de acordo com a lei do paralelogramo. Todas estas grandezas podem ser representadas matematicamente por vetores, enquanto aquelas que no possuem direo, tais como volume, massa ou energia, so representadas por nmeros ordinrios ou escalares.

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Lei do paralelogramo para a adio de duas foras

Duas foras P e Q, atuantes sobre uma partcula A podem ser substitudas por uma nica fora R que tem o mesmo efeito sobre a partcula. Esta fora chamada de resultante das foras P e Q e pode ser obtida pela construo de um paralelogramo, usando P e Q como lados do paralelogramo. A diagonal que passa por A representa a resultante.F1 A F2 A F2 F1 R A R

Como o paralelogramo construdo com os vetores P e Q no depende da ordem segundo a qual P e Q so tomados, conclumos que a adio de dois vetores comutativa e escrevemos: PQ = QP Da lei do paralelogramo, tem-se um mtodo conhecido como a regra do tringulo: como o lado do paralelogramo oposto a Q igual a Q em magnitude e direo, pode-se desenhar apenas a metade do paralelogramo. A soma dos dois vetores pode ser ento determinada pelo reposicionamento de P e Q, de modo que a origem de um vetor esteja sobre a extremidade do outro, e unindo a origem de P com a extremidade de Q, ou seja, a adio vetorial comutativa

A B R B

Regra do tringulo

R A

O vetor negativo de um dado vetor P definido como sendo um vetor que tem a mesma intensidade e direo de P e sentido oposto ao de P. O vetor negativo de P representado por -P. Os vetores P e -P so comumente referidos como vetores iguais e opostos. A subtrao de um vetor definida como a adio do correspondente vetor negativo. Ento, o vetor P - Q, que representa a diferena entre os vetores P e Q obtida pela adio do vetor P ao vetor -Q. Escrevemos A soma de trs vetores P, Q e S ser, por definio, obtida pela adio inicial dos vetores P e Q e adicionando o vetor S ao vetor P+Q. Analogamente, a soma de quatro vetores ser obtida pela adio do quarto vetor soma dos trs primeiros. Este raciocnio vlido para a soma de n vetores.

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A soma de n vetores pode ser feita pelo mtodo da regra do tringulo, fazendo com que a origem de um vetor coincida com a extremidade do anterior e unindo a origem do primeiro vetor com a extremidade do ltimo. Isso conhecido como a regra do polgono para a adio dos vetores.A B C

Regra do polgono R=A+B+C+D+E+F

R

D E F

Fundamentos de trigonometriac

Dado um tringulo de lados A, B e Cb

B A C a

Lei dos senos:

A B C = = sen a sen b sen c

Lei dos co-senos:

C = A2 + B 2 2. A.B.cos c

cos a =

B 2 + C 2 A2 2.B.C

A = B.cos c + C.cos b

Exemplo 01. Determinar a resultante do sistema de foras.10 10 A F1 = 150 N F2 = 100 N 15 F2 15 F1 R F1 F2 10

R

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10 F1 65 15 F2 = 15+90+10=115

Lei dos co-senos:

C = A2 + B 2 2. A.B.cos c

R = 1002 + 1502 2.100.150.cos115

R = 205,607 N

Lei dos senos:

A B = sen a sen b

R F1 sen 115.F1 0,90631 150 = sen = = = 0,90631 = 39,76 sen 115 sen R 212,55

= + 15 = 54,76

A fora resultante de 205,61 N, 54,76 com a horizontal.

Exemplo 02.

y

y' F = 200 N

Decompor a fora de 200 N em componentes nas direes dos eixos ortogonais xy e xy e nas direes x e y.A 30

40 x'

x

y' y F = 200 N Fy 40 Fx xy x Fx' 30 a) Fy' F = 200 N 40 x' Eixo xy 30 b)

A Eixo

Eixo xy cos 40 = Fx / F Fx = 153,21 N cos 50 = Fx / F Fx = 128,56 N

Eixo xy

= 30

= 20

cos 70 = Fx / F Fx = 187,94 N cos 20 = Fx / F Fx = 68,40 N

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Eixos y e x

y 60 60 70 50 50 40 30 60 30 Fy

Fx 70 F = 200

Lei dos senos:x'

A B C = = sen a sen b sen c

Fx ' 200 sen 50 = Fx ' = 200 = 176,91 N sen 50 sen 60 sen 60 Fy 200 sen 70 = Fy = 200 = 217,01 N sen 70 sen 60 sen 60

Exemplo 03. Decompor a fora F de 500 N em duas componentes nas direes das barras AB

e AC de modo que a componente na direo AC fique dirigidaB

de A para C e tenha mdulo de 400 N. Determinar o ngulo .

30 AC = 400 N 60 A F = 500 N 30 C 60 120- F = 500 N

Lei dos senos:

500 400 400 = sen (120- ) = sen 60 sen 60 sen (120- ) 500 120- = 43,85 = 76,15

sen (120-) = 0,866 x 0,8 = 0,68928

Exemplo 04.

o suporte da figura abaixo est submetido a duas foras F1 e F2.A 20

Considerando que a resultante deve ser vertical e de mdulo FR = 1000 N, Determinar: a) os mdulos de F1 e F2 quando = 30; b) os mdulos de F1 e F2 quando F2 mnimo.

F2

F1

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a)F2 30 20 F1

b)F2 70 20 F1

FR = 1000 N

FR = 1000 N

F1 = 652,7 N e F2 = 446,5 N

F1 = 342 N e F2 = 939,7 NA menor distncia do ponto A ao lado do paralelogramo quando F1 e F2 so perpendiculares

2.4 Equilbrio de uma PartculaQuando a resultante de todas as foras que atuam sobre uma partcula zero, esta partcula est em equilbrio. Uma partcula submetida ao de duas forasF1 = 100 N A F2 = 100 N

estar em equilbrio quando essas duas foras tiverem a mesma intensidade a mesma linha de ao e sentidos opostos, pois, neste caso, a resultante das duas foras zero.

Determine a intensidade de T3 e sua direo para que o sistema esteja em equilbrio.150 N T1 60 N T1 30 T2 F T3

T2 T3 F = 250 N 60 A

Observe o polgono das foras a esquerda.

Para a condio de equilbrio, o polgono de foras precisa ser fechado, i.:

Primeira Lei do Movimento de Newton.

Se a fora resultante que atua sobre uma partcula zero, esta partcula permanece em repouso (se estava originalmente em repouso) ou se move ao longo de uma reta com

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velocidade constante (se originalmente, estava em movimento). Desta lei e da definio de equilbrio conclui-se que uma partcula em equilbrio est em repouso ou movimenta-se sobre uma reta com velocidade constante. Quando efeito global das foras sobre uma partcula zero a partcula dita em equilbrio. O polgono fechado uma expresso grfica do equilbrio de A. Para exprimir algebricamente as condies de equilbrio de uma partcula, escrevemosR = F = 0

Decompondo cada fora F em componentes retangulares, temos

( Fx i + Fy i ) = 0

ou

( Fx ) i + ( Fy ) j = 0

Concluindo-se que a condio necessria e suficiente para o equilbrio de uma partcula :Fx = 0 e Fy = 0

Soluo: 1) Fx = 0 2) Fy = 0 tg =T 3 . cos = T 2 . cos 60 +T 1

F = T 3 . sen + T 2 . sen 60 e dividindo a segunda pela primeira

F T 2 . sen 60 = 0,8896 T 2 . cos 60 +T 1

= 41, 656

e

T 3 = 180, 688 N

2.4.1 Diagrama de corpo livre.Um grande nmero de problemas que envolvem estruturas reais pode ser reduzido, no entanto, a problemas referentes ao equilbrio de uma partcula. Isto feito escolhendo-se uma partcula conveniente e esquematizando-se em um diagrama separado, todas as foras que sobre ela so exercidas. Tal diagrama chamado diagrama de corpo livre. Como exemplo, consideremos que um caixote entre dois prdios, pesando 70 N, est sendo colocado sobre um caminho, que o remover. O caixote sustentado por um cabo vertical ligado a duas cordas que passam por polias fixadas nos prdios. Qual a fora de trao em cada uma das cordas AB e AC.

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B a) C 50 A 30 b) TAB TAC 50 30 A 70 N c)

50 d)

50 TAB

RAB RAC 30

TAC 30

Para resolver este problema, necessrio o traado de um diagrama de corpo livre, que mostre a partcula em equilbrio e, neste caso o ponto A adequado para servir como corpo livre para este problema e o diagrama de corpo livre mostrado na figura b). Na figura c) mostra-se a os segmentos de reta RAB e RAC construdos, respectivamente, a partir do final e da origem do vetor da fora. A interseco dos dois segmentos de reta define a construo do polgono de foras (figura d) fechado, ou seja, em equilbrio.

Soluo pela Lei dos senos: TAB = 70 x sen 60/sen 80 = 61,56 N TAC = 70 x sen 40/sen 80 = 45,69 N

TAC 70 TAB = = sen 60 sen 40 sen 80

Soluo algbrica: Fx = 0 Fy = 0 TAB cos 50 = TAC cos 30 TAB = TAC cos 30 = 1,3473 TAC cos 50

TAB sen 50 + TAC sen 30 = 70 e

1,3473 TAC . 0,766 + TAC 0,5 = 70

TAC = 45,689 N

TAB = 1,3473 TAC = 61,557 N

Exerccio 01 - Numa operao de descarga de navio, um automvel de 1750 kgf suportado

por um cabo. Uma corda amarrada ao cabo em A e puxada a fim de que o automvel seja centralizado na posio desejada. O ngulo entre o cabo e a vertical de 2, enquanto o ngulo entre a corda e a horizontal de 30. Qual a trao nesta corda?

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Exerccio 02 - Determinar a intensidade, a direo e sentido da menor fora F que manter a

caixa em equilbrio. Observar que a fora exercida pelos roletes sobre a caixa perpendicular ao plano inclinado.

Exerccio 03 - Um pequeno barco est ancorado por trs cordas amarradas a pilastras s

margens do rio. A corrente exerce uma fora de arrasto sobre o barco no sentido da jusante. As traes nas cordas A e B so medidas e encontrados os valores A = 120 kgf e B = 80 kgf. Determinar a intensidade da fora exercida pela corrente e a trao na corda C.

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Exerccio 04 - Um parafuso utilizado para escorar trs cabos de sustentao como est

indicado. dada a tenso em cada cabo. Determinar a intensidade, direo e sentido da fora exercida pela fundao sobre o parafuso.

Exerccio 05 - Duas foras P = 1000 kgf e Q = 1200 kgf so

aplicadas a esta conexo de avio. Sabendo que a conexo est em equilbrio, determinar os esforos T1 e T2.Exerccio 06 - Duas foras P e Q so aplicadas conexo do

avio. Em certo instante, quando a conexo est em equilbrio, medido que T1 = 560 kgf e T2 = 120 kgf. Determinar os valores correspondentes de P e Q,Exerccio 07 - Uma partcula A est em equilbrio sob a ao

das quatro foras indicadas. Determinar a intensidade, direo e sentido de Q.Exerccio 08 - Uma caixa de 600 kgf suportada por vrios

arranjos de corda e roldanas, como mostra a figura. Determinar, para cada arranjo, a tenso na corda. (A tenso na corda a mesma em cada lado da roldana).

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Exerccio 09 - Resolver as partes b e d deste exerccio supondo que a extremidade da corda

est fixada caixa.

Exerccio 10 - Um caixote de 750 kgf levantado

por um cabo de guindaste CD. Uma ala A CB de 1,5 m de comprimento afixada ao caixote de cada uma das maneiras mostradas. Determinar a tenso na ala em cada caso.

Exerccio 11 - Uma arca mvel e seu contedo pesam 370

kgf. Determinar a menor braadeira ACB que pode ser usada para erguer a arca carregada, se a tenso na braadeira no pode exceder a 450 kgf.

2.5 Equilbrio de corpos rgidosUm corpo rgido composto por inmeras partculas, assim, estar em equilbrio quando todas suas partculas estiverem. Em outras palavras, um corpo rgido sob a ao de uma ou mais foras, estar em equilbrio quando as foras externas atuantes sobre ele formam um sistema de foras equivalentes a zero, isto , quando as foras externas podem ser reduzidas a uma fora nula e um conjugado nulo. As condies necessrias e suficientes para o equilbrio de um corpo rgido so: Fx = 0, Fy = 0 e M(i) = 0

Observe que em um corpo rgido em duas dimenses as foras, as reaes dos apoios e as conexes da uma Estrutura esto contidas no plano da figura. Quando o sentido de uma fora ou de um conjugado desconhecido no previsvel, devemos tom-lo arbitrariamente; o sinal da resposta obtida indicar, ento, se o sentido adotado correto ou no.

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Exemplo 01 - Para a viga abaixo, traar o diagrama de corpo livre e determinar as reaes de

apoio sabendo-se que a viga tem uma massa de 17 N por metro linear.400 N HA MA A 6,0 m B VA 2,0 m 3,0 m B P1 P2

P1 = 400 . 6 . 1/2 = 1200 N P2 = pv . 6 = (17 . 10) . 6 = 1020 N

aplicada no centro do tringulo = 1/3 da base aplicada no centro da viga

Fx = 0 Fy = 0 M(A) = 0

(no tem foras horizontais aplicadas) P1 + P2 = VA

HA = 0

VA = 1200 + 1020 = 2220 N M(A) = 2400 + 3060 = 5460 N.m

P1 . 2,0 + P2 . 3,0 = M(A)

Veja que M(i) = 0, ou seja, a somatria de momentos em qualquer ponto nula.

Exemplo 02 Determinar as reaes de apoio da viga representada pela figura abaixo,

desprezando o peso prprio da viga no clculo.F1 = 600 N 40 A 2,0 m C 3,0 m F2 = 100 N D 2,0 m B RVA RHA F1 cos 40 C D RVB F1 sen 40 F2

Soluo: Fx = 0 Fy = 0 M(A) = 0 RHA + F1 cos 40 = 0 RHA + 459,63 = 0 RHA = - 459,63 N

RVA + RVB = F1 sem 40 + F2

RVB = - RVA + 385,67 + 100 RVB = (385,67 . 2 + 100 . 5) / 7 RVB = 181,62 N

F1 . sen 40 . 2,0 + F2 . 5,0 = RVB . 7,0

26 RVA = - RVB + 385,67 + 100

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RVA = 304,05 N

Veja que foi obtido um valor negativo para RHA, ou seja, sentido contrrio ao disposto.

Exemplo 03 Determinar as reaes de apoio da estrutura representada pela figura abaixo.F1 = 700 N 1,0 m F2 = 800 N F1 = 700 N 1,0 m F2 = 800 N

2,0 m

2,0 m RHA 0,25 m A B A RVA

0,25 m B RVB

Fx = 0 Fy = 0 M(A) = 0

RHA + F2 = 0 RVA + RVB = 700,0

RHA + 800,0 = 0

RHA = - 800,0 N RVB = - RVA + 700 RVB = (800 . 2) RVB = 1600,0 N

RVB . 1,0 - F2 . 2,0 = 0.

RVA = 700 - RVB

RVA = - 900,0 N

Veja que foram obtidos valores negativos para RHA e RVA, ou seja, sentidos contrrios ao disposto.