Acrópole, Atenas, Grécia

Euclides viveu na Grécia no tempo de Ptolomeu I, por volta de 300 aC.

Escreveu os ELEMENTOS, um livro que reuniu todo o conhecimento matemático Grego até aquela época.

O livro tornou-se famoso ainda na época de Euclides e veio a ser o segundo livro mais editado depois da Bíblia. Foi considerado livro essencial na formação intelectual durante séculos.

Os Elementos foi o primeiro livro científico escrito e se tornou o paradigma para muito do que se escreveu em ciência, desde então.

Euclides baseou sua obra em um conjunto de 5 axiomas, os quais passaremos a apresentar.

Os Elementos é composto de 13 volumes.

Axioma I: Pode-se traçar uma única reta ligando dois pontos

Axioma II: Pode-se continuar de uma única maneira uma reta (ligando dois pontos) em uma reta infinita.

Axioma III. Pode-se traçar um círculo com qualquer centro e qualquer raio.

Axioma IV. Todos os ângulos retos são iguais.

m

n

m n

Axioma V

m n

m n =

Axioma V – Uma proposição equivalente

Axiomas Implícitos

1 - Retas são ilimitadas

2 – Retas são contínuas

3 – Axioma de Pasch

BM = MC

Proposição 16 (Teorema do ângulo externo)

Prova

A

B

C D

E

M

ABM = ECM

MCE < <MCD =

AM = MEAMB =CME

Proposição 27

m

n

m n =

Prova

Se e m n teremos um triângulo com um ângulo externo igual a um interno não adjacente.

Contradição com Prop. 16

Proposição 28

m n =

m

n

Axioma V

m

n

m n =

Proposição 28m

n

m n =

Proposição 29

m

n

m paralela a n

Teorema da soma dos ângulos de um triângulo

Prova: Trace n paralela a m.

m

n

Equivalente do Axioma V é uma proposição V’ que satisfaz às seguintes condições.

V’ é um teorema na Geometria gerada pelos axiomas I, II, III, IV e V.

V é um teorema na Geometria gerada pelos axiomas I, II, III, IV e V’.

V’ [I, II, III, IV, V]

V [I, II, III, IV, V’]

V’ ~ V

V1: Axioma de Playfair

Por um ponto fora de uma reta pode-se traçar uma única reta paralela à reta dada.

m

A

V1 [I, II, III, IV, V]

Existência: Baseada nos primeiros 4 axiomas.

Unicidade:

Pelo axioma V,

m n

m

n

V1: Axioma de Playfair

Por um ponto fora de uma reta pode-se traçar uma única reta paralela à reta dada.

Axioma V:

m n

m

n

V [I, II, III, IV, V1]

m

n’ Pelos 4 primeiros axiomas n’ é paralela a m. Por V1 a reta n’ é a única paralela a m por A. Logo, a reta n interceptará m.

n

A

V2 – A soma dos ângulos de um triângulo é 180o

V2 [I, II, III, IV, V] já foi demonstrado.

Vamos mostrar: V [I, II, III, IV, V2]

Lema 1: Em [I, II, III, IV, V2] um ângulo externo de um triângulo é igual a soma dos ângulos internos não adjacentes

Lema 2. Em [I, II, III, IV e V2], dado um > 0, por um ponto A fora de uma reta m podemos traçar uma reta n que corta a reta m formando um ângulo menor do que .

m

A

n

<

B1 B2

1

1

AB1 = B1B2 1 = /4

AB2 = B2B3 2 = 1/2 = /8

B3

2

2

AB3 = B3B4 3 = 2/2 = /16

B4

3

3

ABn = BnBn+1 n = n-1/2 = /(2n+1)

Escolha agora n suficientemente grande!

Vamos mostrar: V [I, II, III, IV, V2]

m

A

B

n

n’

Pelos Lema 2, existe uma reta passando por A cortando m segundo um ângulo < . Formamos então um triângulo ABC

C

O ângulo BAC > 90- e logo o ângulo CAD < . Portanto a reta n’ corta BC pelo axioma de Pasch.

D

V3 – Existem dois triângulos semelhantes e não congruentes

É claro que V3 [I, II, III, IV, V].

Vamos mostrar que:

V [I, II, III, IV, V3].

A

B

C

A’

B’

C’

E

F

Observamos que V3 acarreta que, no quadrilátero ABFE, a soma dos ângulos internos é 360o

Proposição L1 – Em [I, II, III, IV] a soma dos ângulos de um triângulo é menor ou igual a 180o.

Proposição L2 – Em [I, II, III, IV], se existir um triângulo cuja soma dos ângulos internos é 180o então a soma dos ângulos de qualquer triângulo é 180o.

Para provar V, é suficiente provar V2.

Já vimos que, em [I, II, III, IV, V3] existe um paralelogramo ABCD cuja soma dos ângulos internos é 360o.

A B

CD

Trace BD formando dois triângulos. A soma dos ângulos dos dois juntos é 360o. Por L1, segue-se que cada um deles tem soma igual a 180o. Por L2 concluímos a validade de V2.

V4 – Existem duas retas eqüidistantes e distintas.

É claro que V4 [I, II, III, IV, V].

Vamos mostrar que:

V [I, II, III, IV, V4].

O

P

Q

RS

T

De [I, II, III, IV, V4] concluímos que o triângulo

OSQ tem soma dos ângulos igual a 180o.

  V5 – Por 3 pontos não colineares passa um círculo

  V6 – Se 3 ângulos de um quadrilátero são retos então o último também é reto.

  V7 – Por qualquer ponto dentro de um ângulo podemos traçar uma reta que corta os seus dois lados.

  V8 – Vale o teorema de Pitágoras  V9 – Duas retas paralelas a uma terceira são

paralelas.  V10 – Se uma reta corta uma de duas

paralelas então corta a outra.

Moral da História.• Sem o quinto postulado teremos uma geometria

em que:– A soma dos ângulos de um triângulo não é 180o

– Não existem triângulos semelhantes. Portanto, não existe a trigonometria.

– Não vale o Teorema de Pitágoras– Retas que não se interceptam passando por um

ponto não são únicas– Não existem retas eqüidistantes.

Mas... na época de Gauss (século XVII) foram descobertas

geometrias em que o quinto postulado não vale.

Tal descoberta é referida por alguns Autores como a revolução da

Geometria

fimMuito

Obrigado

Alguns Teoremas de Legendre

Proposição L1 – Em [I, II, III, IV] a soma dos ângulos de um triângulo é menor ou igual a 180o.

Lema 3: Dado ABC existe A’B’C’ satisfazendo a :

1 – Soma dos ângulos do triângulo ABC = Soma dos ângulos do triângulo A’B’C’.

2 – Um dos ângulos do triângulo A’B’C’ é menor ou igual a metade do menor ângulo do triângulo ABC.

Prova de L1. Suponha que a soma dos ângulos do triângulo ABC seja 180o + e seja seu menor ânguloUsando o Lema n vezes, podemos construir um cuja soma dos ângulos é ainda 180o+ mas um dos ângulos é n 2n. Escolhendo n tão grande que n< concluímos que a soma dos dois outros ângulos somam mais de 180o, o que é absurdo.

Prova do Lema 3:

A

B

C

Suponha que  é o menor ângulo do triângulo ABC. Chame-o de . Marque um ponto M em CB de modo que CM=MB. Trace AM e o prolongue até o ponto D tal que AM=MD. Trace BD.

MD

Temos então ACM = BDM. Segue-se que a soma dos ângulos do triângulo ADB é igual a soma dos ângulos do ABC.

No triângulo ADB o menor ângulo será em A ou em D. Mas estes ângulos são iguais aos ângulos em que foi dividido o ângulo . Logo um deles é menor ou igual a /2 .

12

1

Corolário: Em [I, II, III, IV], se existe um triângulo cuja soma dos ângulos seja 180o

então todo triângulo formado ligando um de seus vértices ao lado oposto tem soma dos ângulos igual a 180o.

A

B

C D

_________________

Mas e Logo

e

Proposição L2 – Em [I, II, III, IV], se existir um triângulo cuja soma dos ângulos internos é 180o então a soma dos ângulos de qualquer triângulo é 180o.

Afirmo: Se existir um triângulo cuja soma dos ângulos for 180o, então existe um triângulo retângulo isósceles com a mesma propriedade.

A B

C

D E

Baixe uma perpendicular do vértice do maior ângulo ao lado oposto. Cada um dos triângulos formados terá soma dos ângulos igual a 180o

Se DB > CD, marque em DB um ponto E tal que DE=CD Trace CE. É imediato que a soma dos ângulos de CDE é 180o. Se DB < CD, escolha E no lado CD.

Afirmo: Se existe um triângulo retângulo isósceles com soma dos ângulos igual a 180o, então existe uma família de triângulos retângulos isósceles com lados arbitrariamente grandes cuja soma dos ângulos é 180o.

Afirmo: Se existe uma família de de triângulos retângulos isósceles com lados arbitrariamente grandes cuja soma dos ângulos é 180o, então a soma dos ângulos de qualquer triângulos retângulo é 180o.

A B

C

D

E

Afirmo: Se existe um triângulo cuja soma dos ângulos é 180o então a soma dos ângulos de qualquer triângulo é 180o.

fim mesmo!Muito

Obrigado