Algebra A - Aula 02Teorema da fatoracao unica,
Propriedade fundamental dos primos, numerosprimos
Elaine Pimentel
Departamento de Matematica, UFMG, Brazil
2o Semestre - 2010
Teorema da fatoracao unica
I p e primo: p 6= 1 e os unicos divisores de p sao p e 1.
I Numero (diferente de 1) nao primo = composto.
I Teorema da fatoracao unica: Dado um inteiro positivon ≥ 2 podemos sempre escreve-lo, de maneira unica, na forma:
n = pe11 . . . . .p
ekk
onde 1 < p1 < p2 < . . . < pk sao numeros primos e e1, . . . , eksao inteiros positivos (multiplicidades).
Existencia da fatoracao
Algoritmo ingenuo: Dado n ≥ 2 inteiro positivo, tente dividir npor cada um dos inteiros de 2 a n − 1. Se algum desses inteiros(digamos k) dividir n, entao achamos um fator de n.Perguntas:
1. k e primo ou composto?
2. Quando se deve parar a busca? Em n − 1?
Existencia da fatoracao
Respostas:
1. k e primo. Se k composto, k = a.b com 1 < a, b < k . Mask|n, entao existe c inteiro tal que n = k.c. Logo,
n = a.b.c
ABSURDO! Logo, k e primo.
2. Podemos parar o algoritmo em√
n. De fato, n = k .c ouc = n
k . Como k e o menor fator de n, k ≤ c . Logo, k ≤ nk ou
seja, k2 ≤ n→ k ≤√
n.
Algoritmo de fatoracao
Etapa 1. F = 2;Etapa 2. Se n/F e inteiro, escreva “F fator de n” e pare;Etapa 3. Incremente F de uma unidade; Se F >
√n escreva “n e
primo” e pare; se nao, volte para a Etapa 2.
Existencia da fatoracao
I Algoritmo acima: acha todos os fatores primos de n.
I n→ q1. Proximo passo: nq1→ q2 A seguir, n
q1.q2→ q3
I Paramos em nq1.q2.....qs−1
= qs , com qs primo.
I Observe que q1 ≤ q2 ≤ . . . ≤ qs−1 ≤ qs e
n >n
q1>
n
q1.q2> . . . >
n
q1.q2. . . . .qs> 0,
ou seja, o algoritmo sempre termina.
I Exemplo: n = 450 = 2.3.3.5.5
Eficiencia do algoritmo ingenuo de fatoracao
I Algoritmo simples mas muito ineficiente!
I Exemplo n primo com 100 ou mais algarismos. Logo,n ≥ 10100 e portanto
√n ≥ 1050. Logo serao 1050 loops para
determinar que n e primo. Se o computador executa 1010
divisoes/s, levaremos 1050
1010 = 1040 segundos, ou seja, 1031
anos... Tempo estimado de existencia do universo: 1011 anos!
I Algoritmo bom para numeros pequenos.
I Nao existe (atualmente) algoritmo de fatoracao eficiente paratodos os inteiros.
I Nao se sabe se tal algoritmo nao existe ou se nao fomosespertos o suficiente para inventa-lo...
Fatoracao por Fermat
I Eficiente quando n tem um fator primo nao muito menor que√n.
I Ideia: tentar achar numeros inteiros positivos x e y tais quen = x2 − y 2.
I Caso mais facil: n = r 2 (x = r e y = 0).
I Se y > 0, entaox =
√n + y 2 >
√n
Notacao: escrevemos [r ] como a parte inteira do numero real r .
Algoritmo de Fermat
I Etapa 1: Faca x = [√
n]; se n = x2, pare.
I Etapa 2: Incremente x de uma unidade e calculey =√
x2 − n.
I Etapa 3: Repita a etapa 2 ate encontrar um valor inteiro paray , ou ate que x = n+1
2 . No primeiro caso, n tem fatores x + ye x − y ; no segundo, n e primo.
Exemplon = 1342127. Temos que x = 1158. Mas
x2 = 11582 = 1340964 < 1342127
Logo, passamos a incrementar x ate que√x2 − n
seja inteiro ou x = n+12 , que nesse caso vale 671064:
x√
x2 − n1159 33, 971160 58, 931161 76, 111162 90, 091163 102, 181164 113
Logo, x = 1164 e y = 113. Os fatores procurados saox + y = 1277 e x − y = 1051.
Algoritmo de Fermat
Demonstracao: se n e primo, entao o unico valor possıvel para x ex = n+1
2 .x e y sao inteiros positivos tais que n = x2 − y 2. Ou seja,
n = (x − y)(x + y)
Como estamos supondo n primo, temos que x − y = 1 ex + y = n. Logo,
x =1 + n
2e y =
n − 1
2
como querıamos.Obs: RSA - Se p e q sao muito proximos, entao n = p.q efacilmente fatoravel pelo algoritmo de Fermat.
Propriedade fundamental dos primos
Lema: Sejam a, b, c inteiros positivos e suponhamos que a e bsao primos entre si. Entao:
1. Se b divide o produto a.c entao b divide c .
2. Se a e b dividem c entao o produto a.b divide c.
Propriedade fundamental dos primos
1. mdc(a, b) = 1. Pelo Algoritmo euclideano estendido, existemα e β tais que
α.a + β.b = 1
Entao,α.a.c + β.b.c = c
Como b divide a.c pela hipotese (1) e como b divide β.b.c,entao b divide c.
2. Se a divide c , entao c = at. Mas b tambem divide c . Comomdc(a, b) = 1, pela afirmacao (1), b divide t. Logo, t = b.kpara algum inteiro k e portanto,
c = a.t = a.b.k
Propriedade fundamental dos primos
Podemos usar o lema acima para provar se seguinte propriedade:Propriedade fundamental dos primos: Seja p um primo e a e binteiros positivos. Se p divide o produto a.b, entao p divide a ou pdivide b.A demonstracao fica como exercıcio (facam!).
Unicidade
Seja n o menor inteiro positivo que admite duas fatoracoesdistintas. Podemos escrever:
n = pe11 . . . . .p
ekk = qr1
1 . . . . .qrss
onde p1 < p2 < . . . < pk e q1 < q2 < . . . < qs sao primos ee1, . . . , ek , r1, . . . , rs sao inteiros positivos.Como p1 divide n, pela propriedade fundamental dos primos p1
deve dividir um dos fatores do produto da direita. Mas um primoso pode dividir outro se forem iguais. Entao p1 = qj para algum jentre 1 e s. Logo,
n = pe11 . . . . .p
ekk = qr1
1 . . . . .qrjj . . . . .q
rss
= qr11 . . . . .p
rj1 . . . . .q
rss
Unicidade
Podemos entao cancelar p1 que aparece em ambos os lados daequacao, obtendo
m = pe1−11 . . . . .pek
k = qr11 . . . . .p
rj−11 . . . . .qrs
s
onde m e um numero menor que n que apresenta duas fatoracoesdistintas. ABSURDO pois isso contraria a minimalidade de n.
Exercıcios propostos - Capıtulo 2
1. Prove a propriedade fundamental dos primos.
2. Demonstre que, se p e um numero primo, entao√
p e umnumero irracional.
3. Livro texto: 2, 4, 5, 8, 11, 12.
Numeros primos
Ate agora:
I propriedades basicas dos numeros inteiros;
I dois algoritmos fundamentais;
Nessa aula, discutiremos metodos ingenuos para encontrar primos.
Formulas PolinomiaisConsidere o polinomio:
f (x) = an.xn + an−1.x
n−1 + . . .+ a1.x + a0
onde an, an−1, . . . , a1, a0 sao numeros inteiros e que satisfaz acondicao:
f (m) e primo, para todo inteiro positivo m
Exemplo
Seja f (x) = x2 + 1 Logo,
x f (x)1 22 53 104 17
...8 659 82
Formulas PolinomiaisTeorema: Dado um polinomio f (x) com coeficientes inteiros,existe uma infinidade de inteiros positivos m tais que f (m) ecomposto.Prova: Consideraremos f do tipo:
f (x) = a.x2 + b.x + c
Podemos supor a > 0. Suponhamos que exista m tal quef (m) = p onde p e primo. Calculando f (m + hp):
f (m + hp) = a(m + hp)2 + b(m + hp) + c= (am2 + bm + c) + p(2amh + aph2 + bh)= p(1 + 2amh + aph2 + bh)
Basta tomarmos:
h >−b − 2am
a.p
Conclusao: nao existe uma formula polinomial (em umavariavel) para primos.
Formulas exponenciais: numeros de Mersenne
I Numeros de Mersenne: M(n) = 2n − 1
I Numeros perfeitos: sao iguais a metade da soma de seusdivisores. Ex: 6 = 12/2 e 12 = 1 + 2 + 3 + 6
I Nenhum primo e perfeito.
I Resultado: 2n−1.(2n − 1) e perfeito se 2n − 1 e primo.
I Outro resultado: Todo numero perfeito par possui a formaacima. Ex: 6 = 22−1(22 − 1)
I O que nao se sabe: se existem numeros perfeitos ımpares.
I Pergunta: Quais sao os numeros de Mersenne primos?Exemplos: quando n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61.... Observeque os expoentes sao todos primos, mas nem todos primosfazem parte dessa lista. Por exemplo,
M(11) = 2047 = 23.89
Formulas exponenciais: numeros de Fermat
I Numeros de Fermat: F (n) = 22n + 1
I Exemplos de numeros de Fermat primos: n = 0, 1, 2, 3, 4.F (5) = 18446744073709551617 e composto!
I Poucos primos de Fermat sao conhecidos.Ate hoje, nao sedescobriu nenhum F (n) primo com n ≥ 5.
Formulas fatoriais
p# e o produto de todos os primos menores ou iguais a p. Ex:5# = 2.3.5 = 30Se p e q sao primos sucessivos, entao
p# = q#.p
Estaremos interessados nos numeros da forma p# + 1. Emborap# + 1 nem sempre seja primo (Ex. 13# + 1 = 30031 = 59.509),podemos mostrar que nao tem nenhum fator primo menor ou iguala p. Desta forma, temos um algoritmo para calcular primo.Pergunta: qual e o problema de tal algoritmo?Observacao final: p# + 1 quase nunca e primo!
Infinidade de primos
Teorema: Existe uma infinidade de primosProva:Digamos que exista uma quantidade finita de primos:
{p1, p2, . . . , pk}
Podemos supor que esses primos estao ordenados, de modo que pk
e o maior deles. Considere o numero p#k + 1. Como vimos, esse
numero possui fator primo maior que pk . ABSURDO!
Crivo de Eratostenes
O crivo de Eratostenes e o mais antigo dos metodos para encontrarprimos.
Etapa 1: Listamos os numeros ımpares de 3 a n.
Etapa 2: Procure o primeiro numero k da lista. Risque os demaisnumeros da lista, de k em k .
Etapa 3: Repita a etapa 2 ate chegar em n.
Observacoes:
1. Podemos parar em√
n...
2. Podemos comecara riscar a partir de k2...
Crivo de Eratostenes revisado
Etapa 1: Crie um vetor v de n−12 posicoes, preenchidas com o valor 1;
faca P = 3.
Etapa 2: Se P2 > n, escreva os numeros 2j + 1 para os quais a j-esimaentrada de v e 1 e pare;
Etapa 3: Se a posicao (P−1)2 de v esta preenchida com 0 incremente P
de 2 e volte a Etapa 2.
Etapa 4: Atribua o valor P2 a uma nova variavel T ; substitua por zeroo valor da posicao (T−1)
2 e incremente T de 2P; repita ateque T > n; incremente P de 2 e volte a Etapa 2.
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