Força cortante
O comportamento estrutural face à força cortantepara vigas de alvenaria, é, de um modo geral,similar aos das vigas de concreto armado.
As fissuras de flexão surgem primeiro, e depois dese expandirem em forma de leque, se inclinam emdireção aos apoios.
Com o incremento do carregamento as fissurasinclinadas em seções próximas aos apoios tendema se desenvolver, e levam à ruptura da viga portração diagonal.
307
FORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTE
12 3
12
Fissura de flexão: ortogonal ao eixo da viga
Fissura devida à tração diagonal: inclinação de cerca de 450 em relação ao eixo da viga
σ1
σ1
σ2σ2
F F
F F
Vigas sem armadura transversal
308
FORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTE
Estado de tensões
σ2
σ2σ1
σ1
σσ1σ2 0σ2
σ2
σ1
σ1
450
σc σc
τ
τ
τ
τ
τMÁ X
τ
MÁ Xτ
Cisalhamento puro
450
Estado plano de tensões
309
FORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTE
Tipos de rupturas de vigas de alvenaria
Tração diagonal: ruptura dos blocos
Tração diagonal: ruptura das juntas
Tração diagonal e ancoragem inadequada
A armadura
longitudinal
se desloca
σ1
σ1
σ1
σ1
σ1
σ1
310
FORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTE
Vd – encavilhamento da armadura
(EFEITO DE PINO)
Asw, fsw – área da armadura transversal e tensão no aço transversal, respectivamente;
Vm – força cortante resistida pela
zona de compressão;
Vext – força cortante atuante.
∑ =++n
extdswswm VVfAV
Mecanismos interno
Vext
Vd
Vm
h dx
s
Aswfsw
T
C
Reação de apoio
A zona de compressãofunciona como umengaste para os consolesformadas pelas partessituadas entre duasfissuras.
311
FORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTE
Modelo da treliça clássica1) A viga tem um banzo comprimido formado pela
zona comprimida situada acima da linha neutra.2) O banzo tracionado é formado pela armadura de
flexão.3) A união dessas duas regiões é realizada por
tirantes verticais ou inclinados, que formam a armadura transversal da viga.
4) Entre as fissuras inclinadas de θ=450 tem-se uma região de concreto comprimida, formando as bielas de compressão.
5) Admite-se que a alvenaria (grout) não resista à tração.
312
Força cortanteForça cortanteForça cortanteForça cortante
Tração na armadura transversal
Se num espaçamento s há uma barra transversal, num comprimento horizontal z(1+cotg α) tem-se
n= (1+cotg α)z/s barras.
FissuraBanzo comprimido
Banzo tracionado
Biela
313
Força cortanteForça cortanteForça cortanteForça cortante
Equilíbrio vertical
( )
( ) senασAcotgα1sz
V
0senαnVV
0F
ααSd
αSd
+=
=−
=∑
Essa fórmula permite calcular a armadura transversal inclinada de um ângulo α para resistir à força cortante de projeto VSd.
Entretanto, a armadura só será efetiva se as bielas comprimidas (grout) resistirem à força cortante atuante.
314
Força cortanteForça cortanteForça cortanteForça cortante
Compressão na biela
A análise da tensão na biela é realizada considerando-se um plano inclinado que passa por uma barra transversal.
Biela comprimida
315
Força cortanteForça cortanteForça cortanteForça cortante
( )
( )
( )
( )αsenα cos22
senαz
AB
αsenα cos22
cos
4cos αsen
4sen α cos-αcoscos
4-α-αsen
2
cossenα
zAB
+=
+=
+==
=∴=+
=
ψ
ππϕψ
πψπϕ
π
ψ
Relações geométricas
316
Força cortanteForça cortanteForça cortanteForça cortante
Equilíbrio vertical:
( )
( )αcotg1zbV
αcotg1αsenαcos
αsenαcoszbV
4b.AB.sen
V
04
AB.senV
0F
Sdc
Sdc
Sdc
cSd
+=
+=+
+==
==
=∑
σ
σπ
σ
πσ .
Tensão de compressão na biela
317
Força cortanteForça cortanteForça cortanteForça cortante
hd
kx
B
B
s
CALV
Asfs
Z=kxd
α450
σc
σc
Parâmetros para dimensionamento
As normas brasileiras adotam a treliça clássica deRitter-Mörsch para o dimensionamento á forçacortante, e prescrevem uma tensão cisalhanteadmissível convencional.
318
Força cortanteForça cortanteForça cortanteForça cortante
Tensão cisalhante característica
−
≤=
vk
vkvd
f
fbd
Vdτ
tensão cisalhante característica (Tabela).
319
Força cortanteForça cortanteForça cortanteForça cortante
Para vigas de seção retangular:
b=largura da seção; d=altura útil
Para viga T:
b=largura da alma; d=altura útil.
O coeficiente de ponderação para a alvenaria(combinações normais) é 2,0.
320
Força cortanteForça cortanteForça cortanteForça cortante
mvd
γτ v kf
<Paredes: neste caso não é preciso usar armadura
Vigas (flexão simples): usar armaduram
vdγ
τ17,5ρ0,35 +
≥
MPa0,7≤vdτLimite da tensão de cisalhamento:
Tensão de cisalhamento
Armaduras
321
Força cortanteForça cortanteForça cortanteForça cortante
Força cortante resistida pela alvenaria: bdfV v da =
Armadura transversal:( )
d0,5f
sVVA
y d
adsw
−=
OBS.: as normas brasileiras consideram uma tensão para o aço igual a 50% da tensão de escoamento de cálculo; o aço está em regime elástico linear.
O Eurocode 6 considera fyd.
322
Força cortanteForça cortanteForça cortanteForça cortante
Para vigas o espaçamento da armadura transversal deve ser: s≤0,5d ou 30 cm.
Para paredes o espaçamento da armadura trnasversal deve ser: s≤60 cm.
Espaçamento da armadura
Para av≤2d (efeito de arco), sendo a distância da forçaaplicada até o apoio considera-se a tensão cisalhantecaracterística:
Forças próximas aos apoios
MPa0,7a
2dff v k
*
v k ≤=
A força concentrada é considerada principal quandocontribui com pelo menos 70% da força cortante junto aoapoio.
nsx ≅
1nsh
xh
tg45 ≅≅=o
sd
sh
n ≅=
0Vd ≅
sdfAVfnAVV swswmswswmext +=+=
sx
Fissura
450 d h
Formulação teóricaTensão cisalhante
n=número de estribos que costuram a fissura
desprezando-se o encavilhamento da armadura
323
FORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTE
{ bdsdfAVV swswmext ÷=−
mmext
bdVV
ττ −=−
0m =τEspaçamento dos estribos verticais τb
fAs swsw=
Desprezando-se a força cortante resistida pela zona de compressão, tem-se a favor da segurança:
324
FORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTE
Tensão cisalhanteVigas sem armadura transversal
( ) dZZ Zdxb0Fx +=+⋅⇒=∑ τ
kdd
b
dx
KzdM+dMM
AsZ Z+dZ
CALV
( )b.dxτ
O braço de alavanca Kzd é considerado constante no trecho analisado.
325
FORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTE
dkdMM
dZZ z
+=+
dkM
Z z
= dxdM
V =
dxdM
dbk1
z
=τ
Com as fórmulas:
tem-se
( )dkbV
z
=τ
Sendo o braço de alavanca resulta para a tensão de cisalhamento:
zdk z =
bzV
=τ
A adoção dessa tensão de cisalhamento é uma maneira convencional de efetuar o dimensionamento, pois as rupturas ocorrem por tração diagonal devido à tensão principal de tração σ1.
326
FORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTE
PAREDES:
Vdx
dM ;
z
dMMdTT ;
z
MT =
+=+=
bz
V
dx
dM
bz
1=∴⋅= ττ
t
L
V
V
327
FORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTE
Tensão cisalhante devida à flexão
Tensão cisalhanteLtV
=τ
Roteiro:I) tensão cisalhante:
bdV
=τDFCd
V
d
NOTA: a força cortante a ser adotada nos cálculos será a da seção afastada de d (altura útil) da face do apoio.
328
FORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTE
DFCV
d
Estribos para resistir à força cortante
Estribos para resistir à força cortante
Não é necessário o uso de armadura transversal
s/2 d/2
s/2
d/2
Distribuição da armadura transversal
Vm
329
FORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTE
Não é necessário usar armadura transversal.
ii) verificar:
iii) verificar:
iv) armadura transversal:
( ) ( )
×−==⇒
−=
mmm
d0,5f10VV
sA
ad0,5fsVV
A2
sw
3adsw
swsw
adsw
330
FORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTE
mvd
γτ v kf
<
mvd
γτ
1,75ρ0,35 +≥
Neste caso, calcular a armadura transversal.
MPa0,7≤vdτ
bdfV v da =
v) espaçamento dos estribos verticais:
Normas ⇒⇒⇒⇒ s deve ser tal que pelo menos um estribo costure a fissura, logo smáx < d.
OBS.: ao se adotar ⇒⇒⇒⇒ s ≤≤≤≤ 0,5d certamente se terá pelo menos um estribo costurando a fissura.
s
d
Fissura
331
FORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTE
Armadura transversal (estribos)
4,0mm5,0mm;6,3mm;16,0mm12,5mm;10,0mm;
usuaist → φ
1 TRAMO 2 TRAMOS(ABERTO)
2 TRAMOS(FECHADO)
332
FORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTE
b) barras paralelas dobradas ou estribos inclinados:
NOTAS: barras dobradas.
a) uma barra dobrada:
senα0,5fVV
Asw
adsw
⋅
−=
( )( )αcossenαd0,5f
sVVA
sw
adsw
+
−=
estribos inclinados
sα
α
α
333
FORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTE
Exemplo Dimensionar à força cortante a seção transversal deblocos de concreto com dimensões 190 mm x 400 mm,com altura útil d=360 mm, adotando-se os coeficientes deponderação 2,0 e 1,15 para o grout e para o aço,respectivamente.
Dados de projeto: aço CA – 50A; Vk=30 kN; AS=7,0 cm2
VSd=1,4x30=42 kN
334
Força cortanteForça cortanteForça cortanteForça cortante
Tensão cisalhante de cálculo:
MPa0,70,613601901042 3
vd <≅×
×=τ
335
Força cortanteForça cortanteForça cortanteForça cortante
Tensão cisalhante característica:
MPa0,531,02%17,50,3517,5ρ0,35fvk ≅×+=+=
MPa0,272,00,53
0,61m
vd ≅=>=γ
τ v kf Calcular a armadura transversal.
Armadura transversal:d0,5f
VVa
s
A
y d
adsw
sw −==
kN18,47103601900,27bdfV -3
v da ≅×××==
MPa435f
fm
y k
y d ==γ
( )/mcm3,01
3604350,5
1018,4742a 2
4
sw ≅××
×−=
1,02%3619
7,0
bd
Aρ s
v d ≅×
==
Estribos c206,3m213,01
0,322φ≅
×
336
Força cortanteForça cortanteForça cortanteForça cortante
Exemplo Usar os dados do exemplo anterior, mas com Vk=38 kN.
VSd=1,4x38=53,2 kN
MPa0,70,783601901053,2 3
vd >≅×
×=τ Aumentar a seção
transversal.
Notas:
O limite 0,7 MPa é muito baixo.
A resistência da biela dessa viga atende as prescrições do Eurocode 6.
Exemplo (Eurocode 6)Dimensionar à força cortante a seção transversal de blocos vazados de concreto com dimensões 140 mm x 400 mm, com altura útil d=360 mm, adotando-se os coeficientes de segurança 2,5 para o grout C12 e 1,15 para o aço.
DADOS DE PROJETO: aço CA – 50A; Vk=38 kN.
VSd=1,4x38=53,2 kN fvb=0,27 MPa (tabela EC6)
Rd1Sd
m
vbRd1
VV
kN5,4N54432,5
3601400,27bdfV
>
≅=××
==γ
Calcular a armadura transversal
337
Força cortanteForça cortanteForça cortanteForça cortante
( )
( )
( )
cm6,3c19m0,19339
322s
mmm339101
1,15500
3600,9
105,4-53,4
αsenαcot1f
0,9d
VVs
Aa
90α
23
s
y k
Rd1Sdswsw
0
φ
γ
∴=×
=
=
×+××
×=
+
−=
=
=
/
Armadura transversal:
338
Força cortanteForça cortanteForça cortanteForça cortante
( )
( ) kN47,81011,15500
3393600,9V
αsenαcot1f
sA
0,9dV
Rd2
s
y kswRd2
=×+××××=
+
=
γ
Compressão na biela:
Verificação:
VSd≤VRd1+VRd2≤0,3fkbd/ mγ
5,4+47,8=53,2 kN<0,3X10X140X360/(2,5x1000)=60,5 kN
OK!!!!
339
Força cortanteForça cortanteForça cortanteForça cortante
ExemploDeterminar a tensão de cisalhamento na seção ilustrada. Fatores de ponderação: 2,0 e 1,15.
190 (mm)
600
500
DFC500
V
500
17 kN
2.100 mm
340
FORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTE
ρs=0,5%
kN 12,95V =
MPa0,7MPa 0,19500190
1012,91,4bd
1,4V 3
vd <≅×
××==τ
341
FORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTE
MPa 0,440,5%17,50,3517,5ρ ≅×+=+= 0,35fvk
MPa0,22f
MPa 0,19m
v kvd =<=
γτ
Adotar armadura mínima
mm52cm0,47550190,05%0,05%bdA 2mínsw, φ∴=××==
Adotar estribos ϕ=5 mm cada 25 cm.
Espaçamento dos estribos s=0,5d=25 cm.
ExemploDetalhar a armadura calculada para resistir à força cortante.
140 (mm)
40030
0
mmm
182s
Aa
2sw
sw ==
342
FORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTEFORÇA CORTANTE
1a OPÇÃO: φφφφt = 5 mm Aφφφφ = 20 mm2
OK! cm 152d
m 0,1118220
s =<≅=
Um tramo1 φφφφ 5 c 11
cm 152d
m 0,221,82
0,202s =>≅
×=
2a OPÇÃO: φφφφt = 5 mm
15 c 5 cm 15s Adotar φ∴=ou
Dois tramos
Aderência
Formulação teórica
Equilíbrio
( ) dTTdTTdx =−+=⋅τ
Tensão de aderência
Força de tração
A força de tração na armadura varia em função da variação do momento de flexão.
zdMM
dTT+
=+dxz
MT =
τ
343
ADERÊNCIAADERÊNCIAADERÊNCIAADERÊNCIA
Resistência de aderência característica
zV
dxdM
z1
zM
dxd
dxdT
=⋅=
==τ
344
ADERÊNCIAADERÊNCIAADERÊNCIAADERÊNCIA
Tipo deaderência
Barras corrugadas
Barraslisas
Entre aço eargamassa
0,10 0,00
Entre aço egrout
2,20 1,50
Nos cálculos, em geral, adota-se z=0,9d .
ExemploVerificar a tensão de aderência nas barras
corrugadas da seção ilustrada.
mm 118312,5p ≅××=∑ π
MPa1,102,20
MPa 1,58450118
10601,4
m
3
bd =>=×
××=
γτ
( )z.p
1,4Vbd ∑
=τ
kN 60V =
20060
0
500
(mm)3 φφφφ 12,5
Força cortante atuante:
Tensão de aderência:
345
ADERÊNCIAADERÊNCIAADERÊNCIAADERÊNCIA
Não atende
cm45500,90,9dz =×==
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