12.009
Análise deAnálise de
InvestimentInvestimentosos
Análise de Investimentos
Aspectos Matemáticos do Retorno de Investimento
22.009
Aspectos Matemáticos do Retorno de Investimento
A matemática financeira utilizada na análise de viabilidade econômica de projetos, também conhecida por engenharia econômica ou, simplesmente, de cálculo de finanças.
A porcentagem (ou percentagem) é considerada como uma “unidade” do sistema financeiro, uma medida universal, um padrão de medidas no mundo dos negócios e, principalmente, do lucro empresarial.
Matematicamente, é representada por uma razão especial cujo conseqüente é igual a 100, ou seja, é o resultado da comparação de uma parte com o todo.
Análise de Investimentos
Lucro e medida por meio de porcentagem
32.009
Aspectos Matemáticos do Retorno de Investimento
O lucro expresso em forma de porcentagem passa a representar um resultado final a ser passível de comparações com n grandezas de uma empresa ou também com outros percentuais de nossa economia.
Taxas do mercado empresarial: IGP do mês, IPC/FIPE do mês, Inflação do ano, Taxa FIF de curto prazo, TJLP, Poupança, Taxa do mercado futuro, Juros do CDB, juros do CDI etc.
Análise de Investimentos
Lucro e medida por meio de porcentagem
42.009
Aspectos Matemáticos do Retorno de Investimento
No mundo dos negócios, principalmente nos assuntos financeiros, podemos cometer alguns erros, é necessário analisar algumas situações especiais:
Uma venda com lucro:
Preço de Venda $ 1.000Custo da Venda $ (700)Lucro $ 300
Se quisermos representar o lucro de $ 300 em forma de porcentagem:
• Lucro sobre o preço de venda = $ 300 / $ 1.000 = 30,00%• Lucro sobre o preço de custo = $ 300 / $ 700 = 42,86%
Análise de Investimentos
Lucro e medida por meio de porcentagem
52.009
Aspectos Matemáticos do Retorno de Investimento
Nesta situação, podem existir pelo menos duas taxas que representam a mesma situação:
• Uma calculada POR DENTRO sobre uma base menor e, portanto, apresentando um percentual MAIOR.
Lucro sobre o preço de custo = $ 300 / $ 700 = 42,86%
• A outra calculada POR FORA sobre uma base maior e, portanto, apresentando um percentual MENOR.
Lucro sobre o preço de venda = $ 300 / $ 1.000 = 30,00%
Análise de Investimentos
Lucro e medida por meio de porcentagem
62.009
Aspectos Matemáticos do Retorno de InvestimentoAnálise de Investimentos
Lucro e medida por meio de porcentagem
$ 1.000 $ 700 $ 300
30% (TF)
42,86% (TD)
Onde:TD = Taxa POR DENTROTF = Taxa POR FORA
72.009
Aspectos Matemáticos do Retorno de InvestimentoAnálise de Investimentos
Lucro e medida por meio de porcentagem
Taxa Nominal de Desconto
Juros cobrados
Taxa Efetiva
Um exemplo de uma transação financeira que opera com Juros Simples é o desconto.
Um desconto de duplicata no valor de $ 1.000, a uma taxa de 10% ao mês, por três meses:
10% (antecipada)
$ 1.000 x 10% x 3 = $ 300
$ 1.000 $ 700
13
- 1 x 100
82.009
Aspectos Matemáticos do Retorno de InvestimentoAnálise de Investimentos
Lucro e medida por meio de porcentagem
Portanto, essa taxa de 10% ao período, nessa operação de desconto representa, na realidade, um custo efetivo (ou uma taxa efetiva) de 12,62% ao mês, ou 316% ao ano.
Usando o mesmo exemplo, suponhamos que, com base em uma taxa efetiva de 10% ao período, queiramos descobrir qual a taxa nominal (desconto) para aquela determinada operação de desconto:
$ 1.000 $ 700
13
- 1 x 100
92.009
Aspectos Matemáticos do Retorno de InvestimentoAnálise de Investimentos
Lucro e medida por meio de porcentagem
TND = ( 1 + i ) - 1
( 1 + i ) . n
n
x 100n
Onde: TND = Taxa Nominal de Desconto ao período (antecipada)i = Taxa Efetiva ao períodon = número de períodos
TND = ( 1 + 0,1 ) - 1
( 1 + 0,1 ) . 3
3
x 1003
= 8,29%
Ou seja, para uma taxa efetiva de 10% ao mês, numa operação de desconto para três meses, a taxa nominal de desconto deveria ser 8,29%, e não 10% ao período anunciado.
102.009
Análise de InvestimentosAspectos Matemáticos do Retorno de Investimento
As taxas de juros devem ser eficientes para remunerar:
• o risco envolvido na operação;
• a perda do poder de compra do capital motivada pela inflação;
• a remuneração do capital, como forma de compensar sua privação por determinado período de tempo.
A unidade de medida de juros é chamada de taxa de juros ou simplesmente taxa.
A taxa corresponde à remuneração paga pelo uso, durante determinado período de tempo.
Conceito de Taxa de Juros
112.009
Análise de InvestimentosAspectos Matemáticos do Retorno de Investimento
Consiste na aplicação de um índice oficial para o reajustamento periódico do valor nominal de:
- títulos da dívida pública e privados (depósitos a prazo fixo, poupança)
- ativos financeiros institucionais(FGTS, PIS,...)
- créditos fiscais e ativos patrimoniais das empresas
Os índices de correção monetária são calculados de acordo com a taxa oficial de inflação, tendo por objetivo compensar a desvalorização da moeda.
Conceito de Correção Monetária
122.009
Análise de InvestimentosAspectos Matemáticos do Retorno de Investimento
Equivalência de Símbolos
Equivalência de Símbolos
C (Capital) PV (Present Value) Valor Presente
M (Montante) FV (Future Value) Valor Futuro
i (taxa) i (interest) Taxa de Juros
t (tempo) n (number of periods) Número de Períodos
P (Prestação) PMT (Payment) Pagamento, Parcela
132.009
Análise de InvestimentosAspectos Matemáticos do Retorno de Investimento
a.d. = ao dia
a.m. = ao mês
a.b. = ao bimestre
a.t. = ao trimestre
a.s. = ao semestre
a.a. = ao ano
p.p. = pelo período de ....... dias
Períodos
142.009
Análise de InvestimentosAspectos Matemáticos do Retorno de Investimento
CHS Multiplico o valor do Visor por -1
f CLX
i
PV
n
g CLX
Apaga valoresarmazenados
Número de períodos
Taxa de Juros
Valor Presente
PMT
FV
Pagamento, Parcela, Prestação
Valor Futuro
RCL
STO De 0 a 9 armazeno informações.
Recupero informaçõesarmazenadas em STOde 0 a 9.
1/x Divide 1 por qualquer número que estiver no Visor.
y xEleva qualquer número digitado anteriormente (y) pelo último número digitado (x)
Teclas mais utilizadas
152.009
Análise de InvestimentosAspectos Matemáticos do Retorno de Investimento
Juros SimplesQuando a taxa de juros incide sempre sobre o Capital Inicial.
J = Valor dos Juros
C = Capital
i = Taxa de juros
n = Prazo
Onde:
Considerando uma taxa de juros de 10% a.m.
Período
Capital Juros Total
1 1.000,00 100,00 1.100,00
2 1.000,00 100,00 1.200,00
3 1.000,00 100,00 1.300,00
4 1.000,00 100,00 1.400,00
5 1.000,00 100,00 1.500,00
1.000,00
10%
100,00
x 5
500,00
OU
162.009
Análise de InvestimentosAspectos Matemáticos do Retorno de Investimento
Para aplicar na fórmula a Taxa de Juros sempre deve estar na forma de coeficiente (dividir por 100)
Juros Simples
172.009
Análise de InvestimentosAspectos Matemáticos do Retorno de Investimento
Onde: M = Montante
C = Capital
i = Taxa de juros
n = Prazo
Para aplicar na fórmula a Taxa de Juros sempre deve estar na forma de coeficiente (dividir por 100)
Juros Simples - Montante
182.009
Análise de InvestimentosAspectos Matemáticos do Retorno de Investimento
Considerando:
C = 90.000,00
i = 30% a.m.
n = 30 dias
M = ?
Montante = 90.000,00 x [ 1 + ( 0,3 x 1 ) ]
Montante = 90.000,00 x [ 1 + ( 0,3 ) ]
Montante = 90.000,00 x [ 1,3 ]
Para aplicar na fórmula a Taxa de Juros sempre deve estar na forma de coeficiente (dividir por 100)
Juros Simples - Montante
192.009
Análise de InvestimentosAspectos Matemáticos do Retorno de Investimento
J = Valor dos Juros
C = Capital
i = Taxa de juros
n = Prazo
Onde:
Se:
Então:
Para aplicar na fórmula a Taxa de Juros sempre deve estar na forma de coeficiente (dividir por 100)
Juros Simples – Determinação da Taxa de Juros
202.009
Análise de InvestimentosAspectos Matemáticos do Retorno de Investimento
Considerando:
C = 100.000,00
J = 40.000,00
n = 90 dias
i = ?
90 dias / 30 dias = 3 meses
% a.m.
i = 40.000,00 x 100
100.000,00 x 3
i =
40.000,00 x 100
300.000,00
i =
0,13333333 x 100
Juros Simples – Determinação da Taxa de Juros
212.009
Análise de InvestimentosAspectos Matemáticos do Retorno de Investimento
Juros Simples – Determinação da Taxa de Juros
222.009
Análise de InvestimentosAspectos Matemáticos do Retorno de Investimento
Os Juros Simples na verdade não existem. É um artifício matemático para simplificar os cálculos de juros. Porém, sempre é considerada a sistemática de juros compostos.
Exemplo: Aplicação Financeira C.D.B. (Renda Fixa)
Valor Aplicado : 300.000
Valor Resgatado : 930.657
Juros Ganho em 1 ano ( R$) : 630.657
Juros Ganho em 1 ano ( % ) : 630.657
300.000 = 210,22% a.a.
Ganho Mensal ( % ) : 210,22%
12 meses = 17,52% a.m.
A verdadeira remuneração da Renda Fixa = 9,89% a.m.
232.009
Análise de InvestimentosAspectos Matemáticos do Retorno de Investimento
Duas taxas serão equivalentes em Juros Compostos, se quando aplicadas sobre um mesmo Capital, num mesmo prazo, produzirem um mesmo Montante.
PV PV
n n
i ik
FV
i = taxa anual
ik = taxa equivalente a i
k = número de períodos por ano
FVi = FVik taxas equivalentes
Taxas Equivalentes
242.009
Análise de InvestimentosAspectos Matemáticos do Retorno de Investimento
Quero saber i a tendo i k
Uso :
Quando o período (n) da taxa conhecida for inferior ao período da taxa desejada.
dia ano
x 100
Taxas Equivalentes
252.009
Análise de InvestimentosAspectos Matemáticos do Retorno de Investimento
Quero saber i a tendo i k
Uso : Quando o período (n) da taxa conhecida for inferior ao período da taxa desejada.
dia ano
x 100
Exemplos :
Qual a taxa anual equivalente a :
Taxas Equivalentes
262.009
Análise de InvestimentosAspectos Matemáticos do Retorno de Investimento
Quero saber i a tendo i k
Uso : Quando o período (n) da taxa conhecida for inferior ao período da taxa desejada.
dia ano
x 100
Taxas Equivalentes
Qual a taxa anual equivalente a :
0,5 ENTER
360 y x
100 :
1 +
1 -
100 x
0,5
0,005
1,005
6,02257
5,02257
502,26
VisorTeclas
272.009
Análise de InvestimentosAspectos Matemáticos do Retorno de Investimento
Taxas Equivalentes
Quero saber i k tendo i a
Uso :
Quando o período (n) da taxa conhecida for superior ao período da taxa desejada.
ano dia
1
x 100
282.009
Análise de InvestimentosAspectos Matemáticos do Retorno de Investimento
Taxas EquivalentesQuero saber i k tendo i a
Uso : Quando o período (n) da taxa conhecida for superior ao período da taxa desejada.
ano dia
1
x 100
Qual a taxa diária equivalente a :
502,26 ENTER
360 y x
100 :
1 +
1 -
100 x
502,26
5,0226
6,0226
1,00500
0,00500
0,5
VisorTeclas
1/x
292.009
Análise de InvestimentosAspectos Matemáticos do Retorno de Investimento
Taxas Equivalentes
1) Qual a Taxa Equivalente a 815 % a.a. :
302.009
Análise de InvestimentosAspectos Matemáticos do Retorno de Investimento
Taxas Equivalentes2) Calcular as Taxas Equivalentes:
312.009
Análise de InvestimentosAspectos Matemáticos do Retorno de Investimento
J.Simples
J.Compostos
Gráfico das Distorções dos Juros Simples X Juros Compostos
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