““Análise de Padrões Gradientes de Análise de Padrões Gradientes de Deformações Topológicas em Deformações Topológicas em

Variedades Dinâmicas”Variedades Dinâmicas”

Cristiane P. Camilo*, Reinaldo R. Rosa*, Nandamudi Vijaykumar*, Fernando M. Ramos* e Marcelo Rebouças**

* Núcleo para Simulação e Análise de Sistemas Complexos (NUSASC)

Laboratório Associado de Computação e Matemática Aplicada (LAC)Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE)

São José dos Campos – SP**Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (CBPF)

Rio de Janeiro – RJ

Objetivo:Objetivo:

Caracterização da resposta local devido à deformação topológica em variedades dinâmicas extensas.

Neste trabalho nós apresentamos uma variedade dinâmica 2D baseada em uma função escalar Laplaciana em uma superfície triangular. Essa superfície é dividida em duas classes de regiões:

(a)onde uma deformação local máxima ocorre e (b)onde o efeito desta deformação alcança.

A aplicação da análise de padrões gradientes nestas regiões para uma oscilação com dois modos em uma superfície Laplaciana, mostra que a deformação topológica é detectável por meio da caracterização da quebra de simetria local da variedade. Nós discutimos e apresentamos também a detectabilidade da deformação em variedade não trivial e sua aplicação para caracterização das deformações devido à torções no campo gravitacional.

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O que são problemas de variedades O que são problemas de variedades dinâmicas com deformações topológicas?dinâmicas com deformações topológicas?

São problemas de contorno livre para um: {(t): 0t<T} Compacto suave fechado.

Com curvatura média k e velocidade normal V que obedecem a relação:V = k

Onde: Operador de Laplace - Beltrami e k Independe da orientação.

Assumindo-se que uma solução suave para (1) e fazendo A(t) denotar a área de , definimos uma função A(t) suave com derivada temporal dada por:

onde o || é computado com respeito a métrica de (1)

0)()()(

2

)()(

dskdskkdsVtAdt

d

ttt

)(t

)(t

(2)

(1)

(1) Mayer, U. F. Comp. And Applied Mathematics. 20:3 (2001)

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Exemplos:

Figura 1 – Exemplos de variedades dinâmicas e suas possíveis deformações.

(*,t)

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A pergunta fundamental:A pergunta fundamental:

“Para uma dada deformação global em uma variedade , como podemos caracterizá-la (detectá-la) a partir de uma região distante

da máxima deformação?”)(t

Um estudo sobre essa caracterização é feito através da análise dos padrões gradientes gerados localmente.

A figura a seguir mostra dois exemplos de deformação oscilatória de uma superfície Laplaciana

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Figura 2. Exemplo de deformação oscilatória de uma superfície Laplaciana (a) com 1 modo de amplitude e (b) com 2 modos de amplitude.

(a) (b)

deformação local

deformação global

Conceito de modo de amplitude: “Identifica os níveis de amplitude, considerando a quantidade de máximos e mínimos da estrutura”

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Dada uma matriz M temos as seguintes operações:

1. M

2. A M

3. Td [] L Pontos

I Linhas

As possíveis deformações são computadas através do parâmetro de fragmentação assimétrica, dado pela seguinte equação (2):

g3 =

onde g3 é o terceiro momento gradiente extraído da matriz M*

Análise de Padrões Gradientes:Análise de Padrões Gradientes:

LLI LI

(2) R. R. Rosa, A. S. Sharma, J. A. Valdivia, Physica A 257:509 (1998) R. R. Rosa, A. S. Sharma, J. A. Valdivia, Int. J. Mod. Phys. C 10(1):147 (1999)

(3)

* todo M pode ser representado por 3 momentos gradientes, na forma: M= g1eig2 g3

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Aplicação em Variedades Protótipos:Aplicação em Variedades Protótipos:

Vibração oscilatória com dois modos:

Figura 3. Vibração oscilatória com 2 modos de amplitude em tripleto.

Figura 4. Exemplos de sítios de operação.

Membrana com 6 exemplosde sítios de operação local:

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Estudo da variabilidade do terceiro momento Estudo da variabilidade do terceiro momento gradiente:gradiente:

Figura 5. Valores de g3 para cada sítio de operação - azul: membrana com mínima deformação, vermelho: membrana com máxima deformação.

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Dinâmica de campo gravitacional sobre topologia Dinâmica de campo gravitacional sobre topologia Garrafa de Klein.Garrafa de Klein.

Modelo 2-D - Farrar - MelottModelo 2-D - Farrar - Melott(3)(3)

Figura 6 – Figuras (a) e (b), exemplos de padrões que surgem atravésde torções no campo gravitacional.

(3) Farrar K. A.; Melott, A. Computers in Physics, 4:185 (1990)

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Teste de sensibilidade do terceiro momento Teste de sensibilidade do terceiro momento gradiente (ggradiente (g33):):

(a) (b) (c)

Figura 7 – Figura (a) imagem sem deformação = 0, (b) imagem com mínima deformaçãoe parâmetro de deformação = 0,2 e (c) imagem com máxima deformação e = 1.

Para o teste de sensibilidade, calculamos g3 nas 5 sub-matrizes em cada uma das imagens (100x100) acima (sítios de operação), com as seguintes dimensões: 25x25, 20x20, 15x15, 10x10 e 5x5, localizados nas extremidades de cada, os resultados são mostrados a seguir:

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(a) Sub-matriz 25x25 (b) Sub-matriz 20x20 (c) Sub-matriz 15x15

Resultados:Resultados:

(d) Sub-matriz 10x10 (e) Sub-matriz 5x5

Figura 8 – Resultados do teste de sensibilidade.

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Conclusão:Conclusão:

A partir dos estudos realizados, verificamos que o momento gradiente g3 é localmente sensível à deformação global (mínima e máxima, figura 5). Notamos que as deformações locais não são homogêneas, pois dependem da sua localização com relação ao tipo de deformação global, e sensível a deformação de estruturas localizadas, como podemos observar na seqüência de resultados da figura 8, principalmente para as sub-variedades 25x25, 20x20 e 15x15. Para as escalas inferiores, o momento gradiente é sensível à deformação, mas não aos padrões de amplitude. Portanto, sua aplicação em padrões topológicos gerados por modelos gravitacionais, restringe-se a raios de aspecto até 10% da escala global.

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