ANÁLISE E PROJETO NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
DIAGRAMA DE BODE
• Sistemas Dinâmicos Lineares, para entradas 𝑥 𝑡 =𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 geram uma saída 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜃) onde os
valores de 𝐴 e 𝜃 dependem apenas do valor de 𝜔.
• Faz sentido então definir um gráfico para as funções
𝐴 𝜔 e 𝜃 𝜔 .
DIAGRAMA DE BODE
• São dois gráficos:
• O gráfico de magnitude representa |𝐺(𝑗𝜔)|, mas é
plotado em escala logarítmica e a magnitude é
representada em decibéis (20 log10 |𝐺(𝑗𝜔)|)
• O gráfico de fase representa ∠𝐺 𝑗𝜔 em graus, com a
frequência também em escala logarítmica.
EXEMPLO
• Diagrama de Bode da
função de transferência:
𝐺 𝑠 =20
20 + 𝑠
ESBOÇO DO DIAGRAMA DE BODE
• É possível esboçar o Diagrama de Bode levando
em consideração a localização dos polos e zeros.
• A FT deve ser colocada na forma:
𝐺 𝑠 = 𝐾𝜏𝑧1𝑠 + 1 𝜏𝑧2𝑠 + 1 𝜏𝑧3𝑠 + 1 …
𝜏𝑝1𝑠 + 1 𝜏𝑝2𝑠 + 1 𝜏𝑝3𝑠 + 1 …
EFEITO DO GANHO CONSTANTE
• O ganho constante 𝐾 equivale no gráfico de
magnitude à uma reta em 20 log10 𝐾 .
• O ganho constante 𝐾 equivale no gráfico de fase à
um reta no ângulo 0° caso 𝐾 ≥ 0 ou uma reta no
ângulo −180° caso 𝑘 < 0
EFEITO DE POLOS REAIS
• Na frequência 𝜔 = 𝑝 o gráfico de magnitude do
diagrama de Bode começa a decair 20𝑑𝐵/𝑑𝑒𝑐.
• O gráfico de fase do diagrama de Bode apresenta
uma queda de 90° entre 0,1𝑝 e 10𝑝, ficando
estável após esse intervalo.
EFEITO DE ZEROS REAIS
• Na frequência 𝜔 = 𝑧 o gráfico de magnitude do
diagrama de Bode começa a subir 20𝑑𝐵/𝑑𝑒𝑐.
• O gráfico de fase do diagrama de Bode apresenta
uma subida de 90° entre 0,1𝑧 e 10𝑧, ficando
estável após esse intervalo.
PAR DE POLOS COMPLEXOS
• Um par de polos complexos pode ser representado na forma 𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2
• No gráfico de magnitude, esse par de polos gera um
pico de −20 log10 2𝜁 1 − 𝜁2 [𝑑𝐵] na frequência
𝜔 = 𝜔𝑛.
• No gráfico de fase, ocorre uma queda de 180° entre as
frequências 𝜔𝑛
10𝜁e 𝜔𝑛10
𝜁
PAR DE ZEROS COMPLEXOS
• Um par de zeros complexos pode ser representado na forma 𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2
• No gráfico de magnitude, esse par de zeros gera um
vale de −20 log10 2𝜁 1 − 𝜁2 [𝑑𝐵] na frequência
𝜔 = 𝜔𝑛.
• No gráfico de fase, ocorre uma subida de 180° entre as
frequências 𝜔𝑛
10𝜁e 𝜔𝑛10
𝜁
DIAGRAMA DE NYQUIST
• O Diagrama de Nyquist é uma representação
paramétrica de uma função de transferência,
usualmente utilizado para análise de estabilidade.
DIAGRAMA DE NYQUIST
• O denominador de uma Função de Transferência
em malha fechada é dado por:
𝐹 𝑠 = 1 + 𝐿 𝑠
Onde 𝐿 𝑠 = 𝐶 𝑠 𝑃(𝑆)
Sendo 𝒑 o número de polos em 𝐿(𝑠) com parte real
positiva (polos instáveis).
DIAGRAMA DE NYQUIST
• Se 𝑝 = 0, o sistema em MF é estável quando a
curva do Diagrama de Nyquist não circula o ponto
(−1, 0).
• Para um 𝐿(𝑠) qualquer, o sistema em malha
fechada é estável se o número de vezes que o ponto
(−1,0) é circulado no sentido anti horário é igual a
𝑝.
MARGEM DE GANHO
• A Margem de Ganho é dada por 1
𝐿 𝑗𝜔𝑥, onde 𝜔𝑥
é a frequência na qual ∠𝐿(𝑠) = −180°. Se
aplicarmos um ganho em malha aberta igual à
Margem de Ganho torna o sistema em malha
fechada marginalmente estável.
MARGEM DE FASE
• A Margem de Fase é dada por 180° + ∠𝐿(𝑗𝜔𝑐), onde ωc é a frequência para a qual |𝐿(𝑗𝜔)| = 1.
Adicionando esse atraso de fase, o sistema fica
marginalmente estável em malha fechada. Para um
sistema de segunda ordem, 𝜁 ≈ 0,01𝜃𝑀𝐹, onde
𝜃𝑀𝐹 é o ângulo da margem de fase em graus.
MARGENS DE ESTABILIDADE
• Usualmente dizemos que um sistema é estável ou
instável, as margens de ganho e fase são margens de
segurança, que nos dão informações quanto a quão
estável o sistema é, ou seja, quanto maior as
margens de ganho e fase menos provável é que o
sistema fique instável por uma variação de
parâmetros.
MARGENS DE ESTABILIDADE
DIAGRAMAS DE NYQUIST
1 + 𝑠
4 + 𝑠210 1 + 3𝑠 1 + 4𝑠
1 + 𝑠 2 + 𝑠 5 + 𝑠 6 + 𝑠
100
𝑠 100 + 3𝑠 + 𝑠2
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