Análise e proposta de atividades
sobre a trigonometria no triângulo
retângulo
PAULO ROBERTO DOS SANTOS
ANÁLISE E PROPOSTA DE
ATIVIDADES SOBRE A
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO
RETÂNGULO
Paulo Roberto dos Santos
Cintia A. Bento dos Santos
ANÁLISE E PROPOSTA DE
ATIVIDADES SOBRE A
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO
RETÂNGULO
Universidade Cruzeiro Do Sul
2014
© 2014
Universidade Cruzeiro do Sul
Pró-Reitoria de Pós-Graduação e Pesquisa
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Reitor da Universidade Cruzeiro do Sul – Profa. Dra. Sueli Cristina Marquesi
PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA
Pró-Reitor – Profa. Dra. Tania Cristina Pithon-Curi
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
Coordenação – Profa. Dra. Norma Suely Gomes Allevato
Banca examinadora
Profa. Dra. Cintia A. Bento dos Santos
Profa. Dra. Norma Suely Gomes Allevato
Prof. Dr. Marcio Eugen Klingenschmid Lopes dos Santos
FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL DA
UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL
S237a
Santos, Paulo Roberto dos.
Análise e proposta de atividades sobre a trigonometria no
triângulo retângulo / Paulo Roberto dos Santos. -- São Paulo: Universidade Cruzeiro do Sul, 2014.
32 p. : il. Produto educacional (Mestrado em ensino de Ciências e
Matemática). 1. Educação matemática. 2. Trigonometria – Ensino médio 3.
Construção do conhecimento - Matemática 4. Matemática – Ensino e aprendizagem. I. Título II. Série.
CDU: 51:37
Sumário
1 APRESENTAÇÃO ................................................................................................................... 5
2 A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS DE VERGNAUD .......................................... 6
3 O PRODUTO ........................................................................................................................... 9
3.1 ATIVIDADE 1 ........................................................................................................................ 9
3.2 ATIVIDADE 2 ...................................................................................................................... 12
3.3 ATIVIDADE 3 ...................................................................................................................... 14
3.4 ATIVIDADE 4 ...................................................................................................................... 15
3.5 SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES PROPOSTA ................................................................ 16
4 ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR ................................................................................... 27
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................................ 29
REFERÊNCIAS ........................................................................................................................ 32
Paulo Roberto dos Santos
5
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
1 APRESENTAÇÃO
Este produto educacional foi construído a partir da dissertação intitulada
“Um estudo sobre a trigonometria no triângulo retângulo”, defendida em 2014,
cujo objetivo foi verificar as revelações que alunos de um 2º ano de Ensino
Médio de uma escola pública estadual da cidade de São Paulo têm sobre o
conhecimento trigonométrico; como mobilizam tal conhecimento, introduzido no
Ensino Fundamental, para resolverem tarefas e como este pode ser útil para a
construção de novos conhecimentos.
Santos (2014) é mestre em Ensino de Ciências e Matemática pela
Universidade Cruzeiro do Sul (UNICSUL); licenciado em Matemática pelo
Centro Universitário Sant´Anna (UNISANT´ANNA); especialista em Matemática
para Professores do Ensino Fundamental II e do Ensino Médio pela
Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP); professor de Matemática do
Ensino Fundamental II e Médio da rede pública do Estado de São Paulo desde
1999; e professor de Matemática do Ensino Fundamental II e Médio da
Prefeitura de São Paulo desde 2004.
Com base na prática docente, pode-se observar que uma parcela
significativa de alunos chega ao Ensino Médio sem a devida clareza da
trigonometria no triângulo retângulo; não possui conhecimentos disponíveis
aprendidos em séries anteriores e nem os reconhecem no momento de fazer
conexões no estudo da trigonometria.
Nesse sentido, este material é destinado a professores de Matemática,
alunos de graduação em Matemática, pesquisadores e interessados pela área,
e tem por finalidade apresentar a descrição e análise de atividades realizadas
em sala de aula, constituídas de duas sequências de atividades que tiveram
por objetivos, em um primeiro momento, levantar os conhecimentos
trigonométricos prévios de alunos do 2º ano do Ensino Médio e, em um
segundo momento, construir conceitos de trigonometria no triângulo retângulo.
Paulo Roberto dos Santos
6
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
2 A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS DE VERGNAUD
Nesta seção apresentaremos resumidamente a Teoria dos Campos
Conceituais do pesquisador francês Gerard Vergnaud (1996, 1998, 2012) que
estruturou nossa pesquisa.
Para Vergnaud (2012), parte de nosso conhecimento é resultante de
habilidades e a utilização da linguagem é especialmente importante para
realizar a simbolização e a conceitualização. Outro ponto que se destaca na
Teoria dos Campos Conceituais é que, para Vergnaud (2012), o
desenvolvimento do conhecimento de Matemática não pode se reduzir ao
desenvolvimento das operações lógicas. Pretende-se, com essa teoria,
entender como alunos constroem conceitos e como fazem as conexões entre
conhecimentos novos e antigos.
Em sua teoria, Vergnaud (1996) refere-se a campos conceituais porque,
para ele, um conceito depende de várias situações e uma situação depende de
um conjunto de conceitos, pois uma situação não se forma a partir de um único
conceito.
Na referência anterior a campos conceituais, Vergnaud (1996) utiliza os
termos conceito e situação.
Segundo Vergnaud (1996), um conceito é a reunião de três conjuntos:
conjunto das situações que dão sentido ao conceito;
conjunto de invariantes operatórios (objetos,
propriedades e relações) de que o indivíduo fará uso para
compreender as situações (o significado);
conjunto das representações simbólicas (linguagem
natural, símbolos, gráficos, diagramas) que o indivíduo utilizará
para representar o conceito, as suas propriedades e as
situações (o significante).
Para estudar o desenvolvimento e o funcionamento de um conceito, é
Paulo Roberto dos Santos
7
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
necessário considerar simultaneamente os três conjuntos.
O conceito de situação, conforme Vergnaud (1996), está associado ao
sentido de tarefa, isto é, uma situação complexa pode ser analisada como uma
combinação de tarefas, sendo importante conhecer a sua natureza e as
dificuldades próprias. O desempenho em cada subtarefa é importante para o
desempenho final, ou seja, o fracasso em uma subtarefa implica o fracasso
global, mas a dificuldade de uma tarefa não é constituída pela soma ou
multiplicação das dificuldades de cada subtarefa. Portanto, são as situações
que dão sentido aos conceitos.
Para Vergnaud (2009), pode-se aprender e se desenvolver em qualquer
idade, pois um indivíduo é capaz de adaptar-se às situações por meio de uma
evolução da organização de sua atividade.
Quando se analisa a atividade em situação, ou seja, os procedimentos,
as ações e as representações realizadas pelo aluno, consegue-se verificar em
que etapa se dá sua aprendizagem, e deve-se observar e analisar os erros, os
acertos e também as dificuldades demonstradas. Vergnaud (2009) defende que
o aluno organiza sua atividade por meio de esquemas e um esquema está
sempre associado a uma situação.
Ainda segundo Vergnaud (1996), o funcionamento cognitivo de um
sujeito ou de um grupo de sujeitos em situação apoia-se em um conjunto de
esquemas disponíveis, formados anteriormente por cada um dos sujeitos. O
esquema é, portanto, um conceito fundamental, pois é uma função
temporalizada com argumentos, que permitem gerar várias sequências de
ações e de tomadas de informação, em função dos valores das variáveis da
situação.
O esquema é composto, essencialmente, pelos conhecimentos de
conceito-em-ação e teorema-em-ação, denominados de invariantes
operatórios, e por inferências (indispensáveis à prática do esquema). O
conceito-em-ação não é um conceito, nem um teorema-em-ação é um
Paulo Roberto dos Santos
8
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
teorema, pois conceito e teorema devem ser necessariamente explícitos. Um
conceito-em-ação é um conceito implícito válido como pertinente, e um
teorema-em-ação é uma proposição aceita como verdadeira. Ambos
constroem-se em estreita interação. Portanto, o reconhecimento de invariantes
é a chave da generalização de um esquema.
Para Vergnaud (1996), a tese subjacente à Teoria dos Campos
Conceituais é a de que uma boa representação didática, necessariamente,
sustenta-se no conhecimento da dificuldade das tarefas cognitivas, nos
obstáculos com que se depara, do repertório dos procedimentos, e das
possíveis representações.
Paulo Roberto dos Santos
9
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
3 O PRODUTO
Este produto consiste, a princípio, em apresentar exemplos de uma
sequência de atividades analisada com base na Teoria dos Campos
Conceituais contida em nossa dissertação (SANTOS, 2014) que foi
desenvolvida com 16 alunos de duas turmas do 2º ano do Ensino Médio,
período noturno. Procurava-se levantar o que os alunos revelavam em relação
aos conhecimentos matemáticos, referentes ao estudo de trigonometria,
verificar como eles demonstravam mobilizar tais conhecimentos aprendidos no
Ensino Fundamental ao resolverem tarefas de trigonometria e, também, como
realizavam a conexão entre conhecimentos novos e antigos.
Por último, propor uma sequência de atividades que em nossa
dissertação teve-se a pretensão de construir conceitos de trigonometria no
triângulo retângulo.
A seguir apresentamos a análise de quatro atividades contidas em nossa
dissertação:
3.1 ATIVIDADE 1
Figura 1
Fonte: Elaborada pelo autor
Paulo Roberto dos Santos
10
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Esse problema permitiu verificar o conhecimento acerca da identificação
dos triângulos retângulos com suas devidas justificativas. Dados 6 triângulos
diferentes sem os valores dos ângulos internos, os alunos deveriam localizar 2
Triângulos Retângulos.
Verificou-se que 11 alunos erraram, 1 aluno não respondeu e 4 alunos
acertaram parcialmente o problema, ou seja, localizaram o triângulo retângulo
visualmente mais fácil; mas o segundo triângulo retângulo, cuja base era a
hipotenusa, não foi reconhecido por nenhum estudante. Nesse caso, teve-se
por hipótese que o aluno não está acostumado com esse tipo de disposição do
triângulo retângulo ou não tem o hábito de confirmar a medida de um ângulo
reto, indicando como reto um ângulo próximo de 90º.
Dentre os alunos que acertaram parcialmente, três apresentaram
justificativas corretas, indicando saberem o que é um triângulo retângulo, e
apenas um não justificou.
Dentre os estudantes que responderam incorretamente, 3 apresentaram
as seguintes justificativas:
“Se você completar o triângulo retângulo com outro igual a ele
mesmo, ele se torna um retângulo”;
“Acho que são esses três, pois começo a seguir a linha do
retângulo”;
“Pela semelhança ao retângulo, e ser a mais aproximada.”.
Nesses casos, os alunos associaram o triângulo retângulo à figura
geométrica de um retângulo. Isso fez refletir que a palavra “retângulo”, usada
para qualificar um tipo de triângulo, poderia ser vista por alguns alunos como
nome, o que caracterizaria um conceito-em-ação em situações em que o
conceito de triângulo retângulo fosse evocado.
Também se observaram, nas respostas incorretas, as seguintes
justificativas:
Paulo Roberto dos Santos
11
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
“Todos são triângulos, todos, além de triângulos, têm suas três
pontas”;
“Triângulo retângulo é que todos os lados têm a mesma medida”;
“Por ter lados iguais, o nº 1, 2 e 3”.
No primeiro caso, é possível que o aluno não tenha percebido que se
tratava de um triângulo específico, e, nos demais, os alunos podem ter tomado
o triângulo retângulo pelo equilátero. As outras respostas foram:
“Os dois (triângulos escolhidos pela aluna) são parecidos”;
“Os três últimos são, eles não deixam de ser um triângulo, mas
eles são compridos e, por isso, são triângulos retângulos”;
“São triângulos retângulos porque não são equiláteros e
isósceles”.
Considerando que, para Vergnaud, “os conceitos-em-ação permitem
identificar os objetos, as propriedades e as relações” (VERGNAUD, 2009, p.
22), observou-se que os alunos mobilizaram os seguintes conceitos-em-ação
quanto ao conhecimento do triângulo retângulo:
Ângulo de 90º;
Triângulo;
Retângulo.
Pôde-se, também, reconhecer alguns teoremas-em-ação que foram
evocados:
“Triângulo retângulo possui um ângulo de 90º”;
“Se completar um triângulo retângulo com outro igual, ele se torna
um retângulo”;
“São triângulos retângulos, pois seguem a linha do retângulo”;
“São triângulos retângulos, pela semelhança ao retângulo”.
Sendo assim, pôde-se considerar que apenas uma pequena parte do
grupo sabia corretamente o que é um triângulo retângulo, entretanto, a
Paulo Roberto dos Santos
12
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
disposição da figura ou a necessidade de confirmação do ângulo reto poderia
ser um elemento a dificultar o reconhecimento.
3.2 ATIVIDADE 2
Figura 2
Fonte: Centurión, Jakubovic e Lellis, 2003.
Esse problema solicitava localizar 3 triângulos semelhantes dentre 6
triângulos dados. Nesse caso, observou-se que o número de alunos que deixou
a questão em branco aumentou para 3. Dez alunos indicaram incorretamente:
5 justificaram que eram semelhantes por serem triângulos retângulos, e 5
responderam que eram semelhantes devido a ângulos semelhantes, ou seja,
mais da metade dos alunos não escolheu e também não apresentou
justificativas adequadas. Houve 3 escolhas corretas, no entanto justificaram
que os triângulos eram semelhantes por possuírem ângulos semelhantes, ou
seja, os estudantes podem ter associado ângulo semelhante a ângulo
congruente.
Observou-se que os alunos mobilizaram os seguintes conceitos-em-
ação nesse problema de semelhança:
Ângulos;
Triângulos;
Paulo Roberto dos Santos
13
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Triângulos retângulos;
Soma das medidas dos ângulos internos de triângulos.
Nos 3 problemas indicados corretamente, pôde-se reconhecer os
seguintes teoremas-em-ação evocados pelos alunos:
“Os triângulos [...] são semelhantes, pois todos os resultados da
soma de seus ângulos equivalem a 180º, e possuem 50º, 38º, e
92º graus”, ou seja, a soma das medidas dos ângulos internos é
180º e possuem ângulos internos correspondentes congruentes;
“Porque a soma dá 180°”, isto é, porque a soma das medidas dos
ângulos internos é 180º;
“[...] Por ter ângulos semelhantes”, isto é, por ter as medidas dos
ângulos internos correspondentes congruentes.
Nos 5 problemas com indicações parcialmente corretas, observou-se
que, em um dos casos, o aluno justificou “pois parecem ter a mesma forma,
porém invertidos de maneiras diferentes”, e, nos demais, os alunos
apresentaram as justificativas seguintes:
“Pelas dimensões, ângulos são semelhantes”;
“[...] Eles se assemelham em graus”;
“São semelhantes por causa dos ângulos”;
“Porque cada um tem a mesma medida e somando-as dá 180º”
Nesses casos, pôde-se considerar que os alunos evocaram o teorema-
em-ação “os triângulos são semelhantes, então as medidas dos ângulos
internos correspondentes são iguais”, embora também se tenham observado
referências às dimensões dos triângulos e à soma das medidas dos ângulos
internos.
Verificou-se que, em quatro das indicações, um dos três triângulos
escolhidos não indicava a medida dos ângulos internos e, em uma das
indicações, o triângulo escolhido apresentava as medidas de dois ângulos
Paulo Roberto dos Santos
14
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
internos de 45º, ou seja, mesmo evocando corretamente o teorema-em-ação,
os alunos indicaram incorretamente um dos triângulos. Esse erro poderia estar
relacionado à determinação da medida de um dos ângulos internos de qualquer
triângulo, dados os outros dois, sabendo que a soma de suas medidas é 180º.
Nos 3 problemas com indicações incorretas, obtiveram-se as seguintes
justificativas:
“[...] pois contém os mesmos ângulos (90º) e é um ângulo reto”;
“Todos são triângulos retângulos.”;
“Porque triângulos retângulos são sempre iguais”
Pode-se dizer que, nesses casos, os alunos evocaram o teorema-em-
ação “os triângulos são semelhantes, porque são triângulos retângulos (ou
possuem um ângulo reto)”.
Descartaram-se 5 problemas, pois, em 2 deles, os alunos não indicaram
os 3 triângulos semelhantes e, nos outros, escreveram que não sabiam
resolver ou não lembravam.
Apesar do fato do problema dar destaque aos ângulos e não aos lados,
verificou-se que nenhum aluno mencionou a propriedade da proporcionalidade.
Tal fato poderia estar relacionado ao seu desconhecimento ou esquecimento.
3.3 ATIVIDADE 3
No problema a seguir, os alunos deveriam determinar a medida da
hipotenusa de um triângulo retângulo, aplicando o teorema de Pitágoras, dadas
as medidas dos catetos na malha quadriculada.
Paulo Roberto dos Santos
15
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Figura 3
Fonte: Elaborada pelo autor
Nesse problema, 4 alunos não responderam, 11 alunos responderam
incorretamente e apenas 1 aluno pôde-se considerar que acertou a questão,
pois evocou o teorema corretamente, errando apenas no final para determinar
o valor da raiz quadrada.
Dentre os alunos que apresentaram respostas incorretas, duas alunas
tentaram resolver: a primeira aluna não conseguiu explicitar corretamente o
teorema de Pitágoras; e a segunda resolveu o problema fazendo uso da razão
entre os lados do triângulo retângulo, ou seja, não conseguiu fazer a conexão
entre a solução do problema e o teorema de Pitágoras. O restante dos alunos
apresentou as soluções incorretas, sem explicitar os cálculos, o que
impossibilitou qualquer análise dos esquemas desenvolvidos por eles.
Observou-se a mobilização dos seguintes conceitos-em-ação nesse tipo
de problema:
Teorema de Pitágoras;
Medidas em malhas quadriculadas.
3.4 ATIVIDADE 4
O problema 17 pedia para que fossem calculadas as razões
trigonométricas seno, cosseno e tangente em relação a um dos ângulos
agudos em 2 triângulos retângulos em posições diferentes.
Paulo Roberto dos Santos
16
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Figura 4
Fonte: Elaborada pelo autor
Nesse caso, foi obtida apenas uma resposta considerada correta, 2
respostas parcialmente corretas, 5 respostas incorretas e 8 atividades ficaram
sem respostas.
Observou-se que os 2 casos parcialmente corretos ocasionaram-se do
fato de que os alunos não haviam respondido a todos os itens, no entanto, os
itens já respondidos estavam corretos. Dentre os 5 casos de respostas
incorretas, em 4 deles, os alunos apresentaram as medidas dos lados dos
triângulos retângulos como se fossem os valores do seno, cosseno e tangente,
ou seja, mobilizaram os conceitos-em-ação de seno, cosseno e tangente como
sendo as medidas dos lados do triângulo retângulo.
Após análise do instrumento I de nossa dissertação, teve-se convicção
de que tais conteúdos precisariam ser priorizados na elaboração do
instrumento de pesquisa II, para que esses alunos pudessem evoluir em seus
conhecimentos. Dessa forma, proporemos a sequência de atividades a seguir,
desenvolvida com os alunos de nossa pesquisa.
3.5 SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES PROPOSTA
A sequência de atividades desse instrumento teve por objetivo construir
conceitos trigonométricos no triângulo retângulo. As atividades que
compuseram esse instrumento foram constituídas em quatro partes (atividades
Paulo Roberto dos Santos
17
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
1, 2, 3 e 4).
Na primeira parte, foi ilustrada a figura de uma rampa com o desenho de
um triângulo retângulo sobreposto, mostrando que, a partir de um percurso,
podem-se associar uma altura e um afastamento. Em seguida, foi definido
índice de subida e pediu-se para os alunos desenharem a representação de
uma rampa e calcularem suas razões, utilizando a nomenclatura proposta. Em
um segundo momento, perguntou-se o tipo de triângulo desenhado em relação
ao ângulo e solicitou-se, também, a verificação da validade da relação de
Pitágoras em relação aos lados medidos. A seguir, é mostrada a atividade
proposta:
Figura 5
Fonte: Elaborada pelo autor
Paulo Roberto dos Santos
18
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Nessa parte da sequência, pensou-se na ideia de trazer o elemento
básico da trigonometria para o contexto do aluno, ou seja, possibilitar o
reconhecimento da figura do triângulo retângulo, associando-o a elementos
próximos de seu cotidiano, nesse caso, as rampas de acesso. Nessa situação,
o aluno trabalharia o aspecto experimental, desenhando a representação de
uma rampa e medindo seus lados com instrumentos adequados e, também,
produziria conhecimento de natureza operacional, realizando alguns cálculos
de razões de lados do triângulo retângulo e de verificação do teorema de
Pitágoras, sem necessitar explicá-los.
Esperava-se que o aluno, nessa fase, conseguisse associar a
representação do triângulo retângulo a elementos que estão ao seu redor e
também que retomasse conteúdos já estudados em anos anteriores, como
razões e o teorema de Pitágoras, conseguindo realizar cálculos de natureza
operacional, ou seja, esperava-se que o aluno mobilizasse conceitos-em-ação
fundamentais, como o de triângulo retângulo, de razões e do teorema de
Pitágoras, para a construção dos conceitos de razões trigonométricas no
triângulo retângulo.
Na segunda parte, dado um triângulo retângulo maior ABC, dividido em
outros dois triângulos retângulo menores, de vértice B comum a todos os
triângulos retângulos, solicitou-se aos alunos medirem os lados e calcularem
todas as razões entre os lados. Em seguida, pediu-se para que os alunos
calculassem todas as razões dos possíveis triângulos retângulos que
conseguissem perceber. A atividade proposta foi a seguinte:
Paulo Roberto dos Santos
19
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Figura 6 – parte 1
Fonte: Elaborada pelo autor
Paulo Roberto dos Santos
20
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Figura 6 – parte 2
Fonte: Elaborada pelo autor
O objetivo dessa atividade era fazer o aluno perceber que, nos triângulos
retângulos semelhantes, a razão entre dois lados correspondentes quaisquer
de um dos triângulos é igual e que os ângulos internos correspondentes são
congruentes. Nessa fase, o aluno interagiria com o meio, trocando informações
quanto a razões e a ângulos internos dos triângulos retângulos observados,
sendo estimulado a explicar, de forma escrita, sua conclusão a respeito da
semelhança dos triângulos estudados. Como o conceito de proporcionalidade é
essencial para a constituição dos conceitos de razões trigonométricas no
triângulo retângulo, foi reforçada, ao final, a formação desse conceito,
Paulo Roberto dos Santos
21
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
solicitando aos estudantes a construção de um par de triângulos retângulos
semelhantes com as devidas justificativas. Dessa forma, procurou-se sanar
quaisquer dúvidas ainda existentes sobre a semelhança dos triângulos
retângulos estudados.
Esperava-se, nessa fase, ampliar a visão do aluno para a representação
geométrica de um triângulo retângulo, a fim de que percebesse que, nos
triângulos semelhantes, as razões entre dois lados correspondentes quaisquer
seria a mesma, registrando todos os argumentos na forma escrita e, por fim,
desenvolvendo autonomia para percepção de semelhança em triângulos
retângulos quaisquer. Dessa forma, acreditava-se, sobretudo, que o aluno
conseguiria por si mesmo construir o teorema-em-ação “se dois triângulos são
semelhantes, então, os ângulos correspondentes são congruentes e as razões
entre os lados correspondentes são iguais”.
Na terceira parte, foi pedida, inicialmente, a construção de um triângulo
retângulo ABC com os ângulos agudos A , B (com a horizontal) e reto em C ,
indicando o cateto oposto, adjacente e a hipotenusa a partir do ângulo B .
Após, foi proposta uma mudança de nomenclatura, ou seja, solicitou-se que os
alunos trabalhassem com a nomenclatura matemática da trigonometria. A partir
disso, estabeleceram-se os conceitos de seno, cosseno e tangente dos
ângulos agudos A e B . A seguir, apresenta-se a atividade proposta:
Paulo Roberto dos Santos
22
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Figura 7
Fonte: Elaborada pelo autor
Paulo Roberto dos Santos
23
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Essa parte da sequência didática teve por objetivo elaborar o conceito
das razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente). Tinha-se a convicção
de que a incorporação da nomenclatura trigonométrica é importante para
sistematização das fórmulas das razões trigonométricas no triângulo retângulo.
Além disso, na próxima fase, o aluno poderia utilizar a linguagem matemática
para as devidas comprovações, isto é, por meio do seno, cosseno e tangente
de um ângulo agudo, o aluno oportunamente faria as demonstrações e as
provas que permitiriam ampliar seus conhecimentos sobre trigonometria no
triângulo retângulo.
A validação desses conhecimentos foi proposta ao aluno por meio de
três situações: Na primeira, percebendo que a soma das medidas dos ângulos
A e B era 90º, o aluno deveria provar que a relação é válida para qualquer
triângulo retângulo, usando a soma das medidas dos ângulos internos; a
segunda pedia para o aluno justificar o que aconteceria com o ângulo agudo B ,
seno, cosseno e tangente de B quando aumentasse o lado AC; e a terceira
situação pedia para escrever as relações de tg B e tg A , a partir das razões sen
B /cos B e sen A /cos A .
Nessa fase da sequência, esperava-se que o aluno fizesse uma prova
simples da soma (igual a 90º) dos ângulos agudos de um triângulo retângulo,
ou seja, espera-se que o mesmo fizesse a demonstração, manipulando
algebricamente os termos da equação da soma das medidas dos ângulos de
um triângulo qualquer, e percebesse o teorema-em-ação envolvido na situação:
“se dois ângulos agudos são complementares, então, o seno de um ângulo
agudo é igual ao cosseno de seu complemento”, generalizando, dessa forma, a
noção de complementaridade para qualquer triângulo retângulo.
Quanto ao estado do seno, cosseno e tangente de B e ao próprio
ângulo agudo, aumentando o lado AC, desejava-se que o aluno, no
desenvolvimento de seu raciocínio, mobilizasse os invariantes operatórios,
demonstrando as mudanças aritmeticamente a partir das razões ou, o mais
esperado, utilizando algum esquema geométrico. E, por último, almeja-se que o
Paulo Roberto dos Santos
24
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
aluno demonstrasse que as razões sen B /cos B e sen A /cos A são iguais a tg B
e tg A por meio de manipulação algébrica. Pensava-se, entretanto tratar-se de
uma questão que talvez poucos alunos conseguissem realizar, não por ser uma
questão considerada difícil, mas por envolver uma divisão de frações
algébricas, operação que os alunos geralmente evitam.
Na quarta parte da sequência, pediu-se a construção de vários
triângulos retângulos, dado um como modelo, com o ângulo B aumentando de
10º em 10º. Feitas as medidas dos lados dos triângulos, solicitou-se ao aluno
preencher uma tabela determinando os valores do sen B , cos B e tg B . A
seguir, apresenta-se a atividade desenvolvida:
Figura 8 – parte 1
Fonte: Elaborada pelo autor
Paulo Roberto dos Santos
25
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Figura 8 – parte 2
Fonte: Elaborada pelo autor
Paulo Roberto dos Santos
26
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Essa atividade teve por objetivo determinar os valores das razões
trigonométricas (seno, cosseno e tangente), variando de 10º em 10º, e analisar
o comportamento dessas razões para B , variando de 0º a 90º. Essa fase seria
ministrada fundamentalmente pelo professor para formalizar coletivamente as
noções de um triângulo retângulo, de sen, cos e tg de um ângulo agudo,
generalizando essas razões para futuras aplicações desses conhecimentos
matemáticos.
A atividade ainda ofereceu oportunidades para o aluno construir
triângulos retângulos, inscritos em ¼ de circunferência de raio 1 dm (10 cm),
medindo seus lados, comparando as medidas, e analisar, também, os valores
do sen B , cos B e tg B da tabela a ser preenchida, possibilitando-o refletir sobre
o comportamento das razões trigonométricas quando B aumenta de 0º a 90º.
Esse modelo de construção de triângulos retângulos ainda permitiria ao aluno
fazer analogias com os modelos já estudados e também possibilitaria os
primeiros contatos do aluno com os comportamentos dos triângulos retângulos
no ciclo trigonométrico.
Conduzida pelo professor, essa atividade possibilitaria ao aluno perceber
que o cálculo das razões (seno e cosseno) tornar-se-ia mais simples se a
medida da hipotenusa fosse igual a um e ainda era possível relacionar o seno e
o cosseno de um ângulo agudo do triângulo retângulo por meio do teorema de
Pitágoras, noção da qual o aluno, naquele momento, já dispunha.
Ao final dessa atividade, esperava-se que o aluno percebesse que,
aumentando B , o valor do sen B tenderia a aumentar e cos B tenderia a
diminuir. Quando B atingisse 90º, o valor do sen B seria máximo e valeria um,
enquanto cos B teria valor mínimo igual a zero. Mas, nessa situação, a figura
do triângulo retângulo deixaria de existir. O professor também poderia explorar
a mesma ideia para o caso de B igual a 0º. Era esperado, ainda, que o aluno
compreendesse que, na Matemática, as representações e fórmulas não
surgem ao acaso, o uso da hipotenusa unitária facilitaria o estudo das razões
seno e cosseno e a relação do seno e cosseno poderia ser explicada a partir
do teorema de Pitágoras.
Paulo Roberto dos Santos
27
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
4 ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR
Os conhecimentos prévios são fundamentais na Teoria dos Campos
Conceituais de Vergnaud (1996), pois, segundo Pais (2005), “a formação de
um conceito é realizada a partir de componentes anteriores, por meio de uma
síntese coordenada pelo sujeito. Esses componentes podem ser noções
fundamentais ou ainda outros conceitos elaborados anteriormente [...]”, (PAIS,
2005, p. 61), ou seja, para a construção do conceito de razões trigonométricas
no triângulo retângulo, podem-se destacar os conteúdos precedentes de
ângulos, razões, proporções, semelhança e o teorema de Pitágoras que,
normalmente, deveriam ter sido aprendidos até o 9º ano do Ensino
Fundamental.
Por meio do instrumento I de nossa pesquisa, a Teoria dos Campos
Conceituais pôde ajudar na análise das dificuldades, evidenciando alguns dos
invariantes operatórios mobilizados pelos alunos.
Dessa forma, sugerimos que o professor, ao analisar uma determinada
atividade proposta aos alunos, tente evidenciar os teoremas-em-ação
verdadeiros em que se deseja a construção pelos estudantes e, também, os
teoremas-em-ação falsos, passíveis de serem construídos.
A análise dos dados do instrumento II de nossa dissertação evidenciou
que a maioria dos alunos conseguiu construir o conceito de seno, cosseno e
tangente e, ainda, ampliou esses conhecimentos. Alguns teoremas-em-ação
importantes foram construídos ao longo dessa sequência, mas não foram
percebidos por todos os estudantes. Alguns alunos também não conseguiram
chegar sozinhos à solução de alguns problemas.
Sendo assim, a tarefa do professor é essencial no sentido de promover a
explicitação das ideias dos alunos por meio de algum esquema. Em nosso
estudo, realizar a atividade de forma coletiva ajudou a promover conjuntamente
a explicitação das ideias dos estudantes. Alunos que não apresentaram algum
tipo de esquema na resolução de um problema, geralmente, tiveram dificuldade
Paulo Roberto dos Santos
28
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
de chegar à sua solução.
Nas situações de aprendizagens do instrumento II de nosso estudo,
foram propostas atividades em que os alunos estabeleceram os conceitos,
principalmente por meio de construções geométricas.
Observou-se, entretanto, que alguns alunos apresentaram dificuldades
em suas construções, decorrentes, geralmente, da falta de habilidade no
manuseio de instrumentos de medidas (régua, esquadro e transferidor), de
erros de medição das figuras desenhadas ou de imprecisão de medidas
obtidas. Essas dificuldades foram amenizadas à medida que eles progrediram
dentro da sequência de atividades.
Considerando tais dificuldades e o foco conceitual desse instrumento,
sugerimos que, em futuras atividades, seja utilizado um software de geometria
dinâmica, como o Geogebra, que permita trabalhar alguns aspectos quanto à
noção de trigonometria no triângulo retângulo e que ajude a revelar as
dificuldades dos alunos. Acreditamos que esse tipo de instrumento poderia dar
mais dinamicidade às atividades; auxiliaria na percepção visual das figuras
construídas pelos alunos; permitiria obter medidas mais precisas, sem os erros
causados pelos próprios alunos ou provocados por manuseio incorreto de
instrumentos de medida; ajudaria a explicitar determinados conhecimentos que
o aluno utiliza quando resolve uma determinada atividade.
.
Paulo Roberto dos Santos
29
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Apresentamos neste produto educacional que a Teoria dos Campos
Conceituais permitiu ter uma visão mais clara da natureza da problemática em
nosso estudo sobre a trigonometria no triângulo retângulo.
Nossa pesquisa obteve alguns resultados relevantes, apontados a
seguir:
Constatou-se que a maioria absoluta dos alunos não dispõe dos
invariantes operatórios necessários no que se refere ao triângulo retângulo e à
semelhança de triângulos. Nesse ponto, já se configura uma situação que
possivelmente compromete a construção do conceito das razões
trigonométricas no triângulo retângulo, pois, para a construção do conceito de
razões, são necessárias a disponibilidade e mobilização de conceitos-em-ação
e teoremas-em-ação fundamentais. Verificou-se, também, que a grande
maioria dos alunos não conseguiu sequer mobilizar o teorema de Pitágoras e
que poucos alunos dispunham dos conceitos-em-ação trigonométricos sobre a
relação dos lados do triângulo retângulo e de seus ângulos agudos.
Desse modo, pôde-se constatar que a mobilização dos conceitos-em-
ação de seno, cosseno e tangente exige a utilização de uma diversidade de
variantes operatórios que não foram reconhecidos pela maioria dos alunos
diante de algumas situações, ou seja, a mobilização de conceitos
trigonométricos exige a disponibilidade de conceitos e teoremas-em-ação dos
quais os estudantes não dispunham naquele momento, fato verificado pelos
educandos, com apenas um acerto no problema sobre razões trigonométricas.
O instrumento I de nossa pesquisa serviu de orientação para a etapa
seguinte, fornecendo elementos para elaboração das situações de
aprendizagem próprias.
A segunda etapa refere-se às situações de aprendizagem que buscaram
construir conceitos de trigonometria no triângulo retângulo. Para atingir esse
objetivo, concluiu-se ser necessária a formação dos invariantes operatórios
Paulo Roberto dos Santos
30
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
pertinentes aos conceitos de trigonometria no triângulo retângulo, que são a
base da conceitualização, e uma mudança de postura na relação de ensino-
aprendizagem.
A socialização das resoluções, com o professor mediando o processo de
ensino-aprendizagem, permitiu a percepção de outras dificuldades que outros
alunos ainda detinham e também auxiliou os estudantes a completarem seus
próprios esquemas.
Vergnaud (2009), no entanto, também ressalta que a apropriação dos
conhecimentos por um indivíduo depende de sua própria atividade, construindo
e reconstruindo os conceitos, e também da ajuda e da qualidade das
mediações que ele recebe do meio.
A análise do instrumento II permitiu inferir que as situações propostas
foram relevantes, pois a maior parte dos estudantes conseguiu compreender o
conceito das razões trigonométricas no triângulo retângulo, definido por
Vergnaud (2009) por um conjunto de situações, um conjunto de invariantes
operatórios e um conjunto de representações, e ampliar ainda esses
conhecimentos.
Considerando que os esquemas referem-se a situações, a partir da
resolução das atividades propostas foi possível perceber que os alunos
mobilizaram diferentes esquemas para resolver os mesmos problemas. A partir
da análise desses esquemas, conseguiu-se identificar a natureza das
dificuldades desses alunos.
Nesse contexto, é possível concluir que a tarefa de explicitação dos
esquemas dos alunos necessita ser fundamentalmente enfatizada, ou seja, o
professor precisa promover meios para que o aluno possa externalizar algum
esquema, pois o desenvolvimento cognitivo desse aluno consiste no
desenvolvimento de um vasto repertório de esquemas.
A Teoria dos Campos Conceituais mostrou-se muito eficaz para o estudo
das dificuldades dos alunos. Por meio dela, verificou-se, ainda, que alguns
Paulo Roberto dos Santos
31
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
teoremas falsos não foram totalmente desestabilizados, necessitando de um
trabalho mais longo e com mais situações de aprendizagem. Concorda-se com
Vergnaud (2009) em que:
[...] a apropriação de uma cultura por um indivíduo depende necessariamente de sua própria atividade, o que compreende seu próprio trabalho de construção ou reconstrução dos conceitos constitutivos dessa cultura. Ela depende também fortemente da ajuda que ele recebe do meio em que está inserido e, portanto, da qualidade das mediações de que ele se beneficia. (VERGNAUD, 2009, p. 35).
.
Paulo Roberto dos Santos
32
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
REFERÊNCIAS
CENTURIÓN, M.; JAKUBOVIC, J.; LELLIS, M. Novo matemática na medida
certa, 9ºano. São Paulo: Scipione, 2003.
PAIS, Luiz Carlos. Didática da matemática: uma análise da influência
francesa. Belo Horizonte: Autêntica, 2005.
SANTOS, P. R. Um estudo sobre a trigonometria no triângulo retângulo.
2014. 156 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática) -
Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2014.
VERGNAUD, G. A teoria dos campos conceituais. In: BRUN, J. Didáctica das
matemáticas. Lisboa: Instituto Piaget, 1996. p. 155-191.
______. A comprehensive theory of representation for mathematics education.
Journal of Mathematical Behavior, v. 17, n. 2, p. 167-181, 1998.
______. O que é aprender?. In: BITTAR, M.; MUNIZ, C. A. (Org.). A
aprendizagem matemática na perspectiva da teoria dos campos
conceituais. Curitiba: CRV, 2009. p. 13-35.
______. Construção do conhecimento matemático e a teoria dos campos
conceituais (conferência). In: SIPEMAT - SIMPÓSIO INTERNACIONAL DE
PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 3., 2012, Fortaleza. Anais...
Fortaleza/CE: SIPEMAT, 2012.
Top Related