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Teoria de Semelhança e Modelos Reduzidos
Análise Dimensional
G. Silva - DEC/FCT/UNL
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. Revisão de conceitos da Física
. Grandezas caracterizadoras de fenómenos físicos
(velocidade, aceleração, pressão, força, atrito)
. Caracterização dimensional
La Mb Tc
. Validade de leis físicas versus sistemas de unidades
h= Nº. Alunos x 0.085
(h em metros)
i.e. valor numérico de grandezas depende de escala de medida de sistema de unidades
Relações funcionais que representem leis físicas têm que ser dimensionalmente homogéneas
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Fórmulas Dimensionalmente Incorrectas
SedimentologiaFórmulas de Transporte Sólido
Dynamique Fluviale, J. C. Lebreton, Eyrolles
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Qualquer grandeza secundária pode exprimir-se atravésde um produto de potências das grandezas primárias.
# Quer relacionar-se o espaço z percorrido na queda de umobjecto de massa m, com o tempo t consumido. Pode admitir-se que as quantidades envolvidas são (m, t, g, z)
• cba tmgz α=
• [ ] [ ] cba2 TMTLL −=
• 2gtz
b0ca20
a1α=∴
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−=
=
i.e. z é proporcional a gt2 sem intervenção de m.
Passos associados à análise dimensional
1. Definir que variáveis devem integrar o modelo
para representar o fenómeno.
2. Definir as quantidades primárias.
3. Exprimir, dimensionalmente, cada uma das
restantes quantidades em termos das quantidades
primárias.
Bridgman
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( ) ( )2p m
H Area Areah
λ = ⇒ = λ
( )( )( ) ( )
( ) ( )2
pp m
m
p m
AreaForça Força ForçaArea Area
Força Força
⎡ ⎤σ = ⇒ =⎢ ⎥⎣ ⎦
= λ
- Se a escala transversal for diferente de λ, é essa escalatransversal que deve ser considerada para converteras forças e garantir iguais tensões.
- Não.
1. Se quiser mudar as dimensões da barra, à escala h/H, o que fazer com as forças, para gerar iguais tensões?
2. E se quiser usar escala transversal diferente, ao distorcer coluna, haverá outras consequências?
Porém, se se pretendesse estudar encurvadura, a distorção interviria:
P
P
HQ
Q
h
4
transversal2Euler 2p
longitudinal
2
forças transversalp m
2p
I(P ) EEuler H
λ⎧⎧ ⎛ ⎞ λ == απ ⎜ ⎟ ⎪⎪ λ⎝ ⎠ ⇒⎨ ⎨⎪ ⎪ λ = λσ = σ⎩ ⎩
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Teorema de Buckingham ou dos Pis
É condição necessária e suficiente para que haja
homogeneidade dimensional que a relação entre as
variáveis caracterizadoras de um fenómeno se possa
escrever sob a forma de expressão que dependa apenas
de números adimensionais.
Existindo n grandezas físicas a considerar, sendo p as
grandezas ou quantidades primárias, então pode achar-se
( ) 0...,,,F pn21 =ΠΠΠ −
ou
( )pn321 ...,,,f −ΠΠΠ=Π
Um enunciado mais dirigido a aplicações apresenta-se a seguir
Buckingham, E. On physically similar systems; illustrations of the useof dimensional equations. Phys. Rev. 4, 345-376 (1914).
Buckingham, E. The principle of similitude. Nature 96, 396-397 (1915). Buckingham, E. Model experiments and the forms of empirical equations
Trans. A.S.M.E. 37, 263-296 (1915).
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Dh05.0T n=
hn= altura de prédio em pés;
D = dimensão paralela à direcção de aplicação de força em pés;
T período fundamental estimado, em segundos
Fórmula UBC Período fundamental de Edifício
Fórmulas Dimensionalmente Incorrectas
Fórmula de Manning (1889)
V = C R 2/3 S1/2(Velocidade, raio hidráulico, declive)
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Enunciado 2
• Teorema dos PisSe a equação f(q1,q2,...,qn)=0 for a única
relação entre q1,q2,...,qn e se for válidaquaisquer que sejam as unidades em que sãomedidas aquelas quantidades, então existe
f(Π1, Π2,..., Πm)=0
em que Π1, Π2,...,Πn são produtos adimensionaisdos q's.
Se k for o número mínimo de quantidadesprimárias necessárias para exprimir as dimensões dos q's, então é
n-m=k
Langhaar, Dimensional Analysis and the Theory of Models, Wiley, 1951, acrescenta que o número de Π's (independentes) é igual à diferença entre o número total de variáveis e a característica da matriz dimensional.
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PROPRIEDADE
Montando a matriz dimensional, o teorema implica que o
número de Π’s independentes é igual à diferença entre
o número total de variáveis e a característica dessa
matriz.
Exemplo #1O escoamento de certos fluidos a partir de um reservatório depende de p= pressão, v= velocidade, l= característica geométrica longitudinal do contentor, λ= característica geométrica transversal, η= característica geométrica das irregularidades da parede, ρ = massa volúmica do fluido, μ= viscosidade dinâmica,σ= coeficiente de tensão superficial, e= coeficiente de compressibilidade volumétrica
10 grandezas : três da dinâmica do escoamento:p, v, g;três da geometria: l, λ e η; e quatro do fluido:ρ, μ, σ, ε
3 quantidades primárias; portanto, 7 grandezas adimensionais e independentes
10
221000021211110000010113111111
−−−−−−
−−−−
TML
lgvp σεμρλη
Matriz Dimensional
pC1 vC2 lC 3λC 4 ηC5 ρC6 μC 7 σC8 εC9 gC10 = cons tan te
pC1 vC2 gC3 iC4 ηC5 λC6 ρC 7 μC8 εC9 σC10 = constan te
L−C1 + C2 + C3 + C4 + C5 + C6 − 3C7 − C8 −C 9 . MC1 +C7 +C8 + C9 +C10 .
. T−2C1 −C 2 − 2C3 −C 8 −2C 9 −2C10 = L0M0T0
−1 1 1 1 1 1 −3 −1 −1 01 0 0 0 0 0 1 1 1 1−2 −1 −2 0 0 0 0 −1 −2 −2
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C8
C9
C10
=000
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Escolhendo por exemplo C2, C3 e C8como independentes, com menor ≠0
1 1 −10 0 1−1 −2 −1
C2
C3
C8
= −
−C1 + C4 + C5 + C6 − 3C7 − C9C1 + C7 + C9 + C10−2C1 − 2C9 − 2C10
Π1 = pρv2 , Π2 = λ
l, Π3 = η
l, Π4 = μ
ρvl
Π5 = σρvl2 , Π6 = ε
ρv2 , Π7 = glv2
f(p
ρv2 ,λl
,ηl
,μ
ρvl,
σρvl2 ,
ερv2 ,
glv2 ) = 0
i.e.
ou
pρv2 = Φ(
λl
,ηl
μρvl
,σ
ρvl2 ,ε
ρv2 ,glv2 )
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F=ghv
ρvlm
= R
σρvl2 ⇒
σρvh2 =W
Froude
Reynolds
Weber
corresponde ao quociente das forças de inércia
pelas de gravidade
[ρ dx dy dz (dv/dt)] : [ρ g dx dy dz], com dz/dt=v.
Por isso, se o número de Froude for alto é um índice
revela maior importância relativa das forças de inércia
F =
vgl
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Se se usar no modelo o mesmo material, como o volume diminui proporcionalmente a λ3 , as forças volúmicas também assim diminuem.
Resulta que as tensões associadas a essas forças, porque as áreas apenas são divididas pelo quadrado de λ, são diminuidas no modelo àescala geométrica.
lm
t m lm
=lp
t p lp
lm
l p
=tm
tp
λgeom[ ]1 / 2= λtempo[ ]
F =
vgl
λ geom
Semelhança de Froude e resistência mecânica
Em modelo construido para satisfazer a semelhança de Froude, e.g. em casos de estudo de estabilidadede quebramares, a preservação de
implica
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ρmvmlm
μm
=ρpvplp
μp
vm
gmhm
=vp
gphp
⎧
⎨ ⎪ ⎪
⎩ ⎪ ⎪
vm
vp
=lp
lm
vm
hm
=vp
hp
⎧
⎨ ⎪ ⎪
⎩ ⎪ ⎪
vm
vp
=lp
lm
vm
vp
= hm
hp
⎧
⎨ ⎪ ⎪
⎩ ⎪ ⎪
λv[ ]=1/λgeom
λv[ ]= λgeom
⎧ ⎨ ⎩
Satisfação simultânea de semelhança de Froude e de Reynolds?
Impossível !
Para escoamentos turbulentos, no modelo e no protótipo,
se os números de Reynolds estiverem acima da zona de
transição de escoamento laminar para turbulento,
ainda que diferentes, a semelhança é satisfatória (Teoria da Semelhança", V. F. Mota, ed. URGS).
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Considerandos sobre Froude e Reynolds
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Reading – Ocean Engineering- MIT Free Ware
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Ver página da cadeira!
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