AAnnáálliissee ddee SSiisstteemmaass ddee PPoottêênncciiaa
Profª. Carmen Lucia Tancredo Borges
Edição: Prof. Sergio Sami Hazan Leonardo Ney de A. Guerra
EE - UFRJ Departamento de Eletrotécnica
Março 2005
PROGRAMA 1. Modelos de Redes de Potência em Regime Permanente
1.1.Modelos dos Componentes de Redes. 1.2.Equações nodais. 1.3.Matrizes de admitância e impedância nodal. 1.4.Métodos de modificação e redução dos modelos das redes.
2. Estudos de Fluxo de Potência 2.1.Formulação do problema. 2.2.Métodos de solução: Gauss-Seidel, Newton-Raphson, Desacoplado Rápido e
Linearizado. 2.3.Utilização do fluxo de potência: controle do fluxo de potência ativa, controle
de tensão, etc. 3. Estudos de Estabilidade
3.1.Tipos de estudos de estabilidade. 3.2.Modelos de geradores e cargas; equações de oscilação. 3.3.Estabilidade em regime permanente: coeficiente de sincronização. 3.4.Estabilidade transitória: critério de áreas iguais; solução numérica da equação
de oscilação; introdução ao estudo de sistemas multimáquinas. 4. Programação da Geração
4.1.Operação ótima de geradores ligados a uma barra. 4.2.Programação ótima da geração em sistemas térmicos; fórmula de perdas. 4.3.Introdução à programação ótima de geração em sistemas hidrotérmicos.
Bibliografia
1. John J. Grainger e William D. Stevenson, Power System Analysis, Mc Graw-Hill Ed., 1994.
2. W.D. Stevenson Jr., Elements of Power System Analysis, 4th Edition, McGraw-Hill,
1982 [Tradução, 2º edição] (Cap. 7, 8, 9 e 14). 3. O. Elgerd, Electric Energy System Theory: An Introduction, McGraw-Hill, 1971
(Cap. 7, 8 e 12). 4. A. Monticelli, Fluxo de Carga em Redes de Energia Elétrica, Edgar Blucher, 1983
(Cap. 1-6).
Índice
Capítulo 1 – Modelo dos Componentes de um Sistema Elétrico de Potência ......................................... 5
1.1 – Elementos de um sistema elétrico de potência ......................................................................... 5
1.2 – Modelos da linha de transmissão............................................................................................. 5 1.2.1 – Modelo da linha curta (até 80 km)................................................................................................... 5 1.2.2 – Modelo de linha média (entre 80 km e 240 km).............................................................................. 6 1.2.3 – Modelo da linha longa (acima de 240 km) ...................................................................................... 7
1.3 – Modelo do transformador ....................................................................................................... 8 1.3.1 – Transformador monofásico de dois enrolamentos ........................................................................... 8 1.3.2 – Transformador monofásico de três enrolamentos............................................................................ 9 1.3.3 – Transformador trifásico ou banco de três transformadores monofásicos. ..................................... 11 1.3.4 – Transformador com comutação automática de tape - modelo pi .................................................. 12
1.4 – Modelo do gerador ................................................................................................................14
1.5 – Modelo da carga ....................................................................................................................14 1.5.1 – Representação da carga para fluxo de potência ............................................................................. 14 1.5.2 – Representação da carga para estudo de estabilidade ..................................................................... 14 1.5.3 – Representação da carga para estudo de curto-circuito................................................................... 15 1.5.4 – Representação da carga pelo modelo ZIP...................................................................................... 15
Capítulo 2 – Equações da Rede Elétrica em Regime Permanente .........................................................16
2.1 – Objetivo ................................................................................................................................16
2.2 – Tipos de representação ..........................................................................................................16
2.3 –Equações nodais .....................................................................................................................16 2.3.1 – Equivalência de fontes................................................................................................................... 16 2.3.2 – Equações nodais da rede quando modelada por admitâncias ........................................................ 17 2.3.3 – Características de YBARRA .............................................................................................................. 19 2.3.4 – Características de ZBARRA............................................................................................................... 19 2.3.5 – Interpretação física dos elementos de YBARRA e ZBARRA ................................................................ 21
2.3.5.1 – Elementos de YBARRA...............................................................................................22 2.3.5.2 – Elementos de ZBARRA ...............................................................................................22
2.4 – Redução da rede ....................................................................................................................25 2.4.1 – Objetivo ......................................................................................................................................... 25 2.4.2 – Eliminação de barra ....................................................................................................................... 25
2.4.2.1 – Eliminação da barra onde não existe fonte de corrente .............................................25 2.4.2.2 – Eliminação de barra onde existe fonte de corrente independente ..............................29
2.4.3 – Equivalentes de rede...................................................................................................................... 32
2.5 – Montagem da matriz YBARRA com elementos acoplados ..........................................................32
2.6 – Modificação da matriz admitância de barra ............................................................................35
2.7 – Montagem e Modificação da matriz impedância de barra .......................................................35 2.7.1 – Modificação direta da matriz impedância de barra........................................................................ 35
2.7.1.1 – O elemento é ligado entre a barra nova p e a referência ...........................................36 2.7.1.2 – O elemento é ligado entre a barra nova p e a barra existente k .................................37 2.7.1.3 – O elemento é ligado entre a barra existente k e a referência .....................................37 2.7.1.4 – O elemento é ligado entre a barra existente k e a barra existente j ............................38
2.7.2 – Montagem direta da matriz impedância de barra........................................................................... 40 2.7.3 – Exclusão de um elemento de impedância zb da matriz ZBARRA...................................................... 42 2.7.4 – Modificação do valor da impedância que liga duas barras............................................................ 42
2.8 – Obtenção dos elementos da coluna da matriz impedância de barra a partir da matriz admitância de barra..........................................................................................................................................42
2.8.1 – Obtenção de uma coluna da matriz impedância de barra .............................................................. 42
Análise de Sistemas de Potência
2
2.8.2 – Obtenção da diferença entre duas colunas da matriz impedância de barra.................................... 43
Capítulo 3 – Fluxo de Potência ...........................................................................................................45
3.1 – Introdução .............................................................................................................................45 3.1.1 – Dados de entrada ........................................................................................................................... 45 3.1.2 – Condição de geração e carga ......................................................................................................... 45
3.1.2.1 – Geração...................................................................................................................45 3.1.2.2 – Carga ......................................................................................................................45
3.1.3 – Restrições operativas ..................................................................................................................... 45 3.1.4 – Dispositivos de controle ................................................................................................................ 45 3.1.5 – Solução da rede.............................................................................................................................. 45 3.1.6 – Aplicações...................................................................................................................................... 46 3.1.7 – Modelo da rede .............................................................................................................................. 46 3.1.8 – Modelo matemático do fluxo de potência...................................................................................... 46 3.1.9 – Métodos de solução ....................................................................................................................... 46
3.1.9.1 – Métodos baseados em YBARRA..................................................................................46 3.1.9.2 – Métodos baseados em ZBARRA ..................................................................................47 3.1.9.3 – Método de Newton-Raphson ...................................................................................47 3.1.9.4 – Métodos desacoplados.............................................................................................47 3.1.9.5 – Fluxo de potência linear ..........................................................................................47
3.2 – Formulação do problema de fluxo de potência em variáveis complexas ..................................47 3.2.1 – Equações do fluxo de potência em variáveis reais e na forma polar ............................................. 48 3.2.2 – Conceito de barra flutuante ou swing ou slack.............................................................................. 51 3.2.3 – Tipos de barras............................................................................................................................... 51
3.2.3.1 – Barra flutuante ou swing ou slack ou Vθ .................................................................51 3.2.3.2 – Barra de carga ou PQ ..............................................................................................51 3.2.3.3 – Barra de tensão controlada ou PV............................................................................51
3.2.4 – Sistema de equações do fluxo de potência .................................................................................... 51 3.2.4.1 – Subsistema 1 ...........................................................................................................52 3.2.4.2 – Subsistema 2 ...........................................................................................................52
3.3 – Fluxo de Potência pelo Método de Gauss-Seidel ....................................................................53 3.3.1 – Revisão do método de Jacobi ........................................................................................................ 53 3.3.2 – O método de Gauss-Seidel ............................................................................................................ 54 3.3.3 – Critério de convergência do método de Gauss-seidel.................................................................... 55 3.3.4 – Fórmula geral do método de Gauss-Seidel aplicado ao fluxo de potência .................................... 55 3.3.5 – Melhoria do método de Gauss-Seidel............................................................................................ 55 3.3.6 – Tratamento no caso de existir barra PV......................................................................................... 55
3.4 – Fluxo de potência pelo Método de Newton-Raphson ..............................................................58 3.4.1 – Revisão do método no caso monovariável, f(x) = 0 ...................................................................... 58 3.4.2 – Revisão do método no caso multivariável, F(x) = [0] ................................................................... 59 3.4.3 – Aplicação do método de Newton-Raphson na solução do fluxo de potência ................................ 59 3.4.4 – Matriz jacobiana geral ................................................................................................................... 60 3.4.5 – Matriz Jacobiana aplicada à solução do fluxo de potência............................................................ 60 3.4.6 – Algoritmo da Solução do Fluxo de Potência pelo Método de Newton-Raphson: ......................... 61 3.4.7 – Elementos das submatrizes H, N, M, L do Jacobiano ................................................................... 63 3.4.8 – Estrutura do jacobiano................................................................................................................... 63
3.5 – Expressões do fluxo de potência ativa e reativa nos diversos ramos e shunts ..........................67 3.5.1 – Linha de transmissão média ou longa............................................................................................ 67 3.5.2 – Linha de transmissão curta ............................................................................................................ 69 3.5.3 – Transformador ............................................................................................................................... 70 3.5.4 – Elementos shunt............................................................................................................................. 71
3.6 – Fluxo de potência pelo Método Desacoplado Rápido .............................................................76 3.6.1 – Fluxo de potência pelo Método de Newton desacoplado .............................................................. 76 3.6.2 – Considerações sobre as matrizes H e L do método de Newton desacoplado................................. 76 3.6.3 – Formulação final do método Desacoplado Rápido........................................................................ 77 3.6.4 – Artifícios matemáticos para melhorar o desempenho do método desacoplado rápido na presença de ramos com elevada relação r/x.............................................................................................................. 83
Análise de Sistemas de Potência
3
3.6.4.1 – Artifício da compensação ........................................................................................83 3.6.4.1.1 – Compensação série...........................................................................................83 3.6.4.1.2 – Compensação paralela ......................................................................................83
3.6.4.2 – Método BX de van Amerongen................................................................................83 3.6.4.3 – Esquema iterativo flexível .......................................................................................83
3.7 – Fluxo de potência linearizado ou fluxo de potência DC..........................................................84 3.7.1 – Simplificações propostas ............................................................................................................... 84 3.7.2 – Desprezando as perdas do sistema................................................................................................. 84
3.7.2.1 – Formulação matricial...............................................................................................85 3.7.3 – Considerando as perdas do sistema ............................................................................................... 86
3.7.3.1 – Formulação matricial...............................................................................................88 3.7.3.2 – Metodologia de solução...........................................................................................88
3.7.4 – Resumo do método linearizado ..................................................................................................... 88
3.8 – Utilização do estudo de fluxo de potência. .............................................................................91
3.9 – Controles e Limites ...............................................................................................................94 3.9.1 – Modos de representação ................................................................................................................ 94 3.9.2 – Ajustes alternados.......................................................................................................................... 94 3.9.3 – Controle de tensão em barras PV .................................................................................................. 95 3.9.4 – Limites de tensão em barras PQ .................................................................................................... 95 3.9.5 – Transformadores em-fase com controle automático de tap ........................................................... 96 3.9.6 – Transformadores defasadores com controle automático de fase.................................................... 97 3.9.7 – Controle de intercâmbio entre áreas .............................................................................................. 98 3.9.8 – Controle de tensão em barras remotas ........................................................................................... 99 3.9.9 – Cargas variáveis com a tensão....................................................................................................... 99
Capítulo 4 – Estabilidade de Sistemas de Potência ............................................................................100
4.1 – Introdução ...........................................................................................................................100
4.2 – Tipos de instabilidade ..........................................................................................................100
4.3 – Tipos de perturbação ...........................................................................................................100
4.4 – Tipos de estudos de estabilidade ..........................................................................................100
4.5 – Conceitos básicos da máquina síncrona................................................................................101 4.5.1 – Princípio de funcionamento......................................................................................................... 101
4.6 – Dinâmica do rotor da máquina síncrona ...............................................................................102 4.6.1 – Equação de oscilação da máquina síncrona................................................................................. 102 4.6.2 – Tipos de estudos .......................................................................................................................... 105
4.7 – Equivalente de máquina ou máquina equivalente .................................................................105 4.7.1 – Valor da constante H na base do sistema ..................................................................................... 105 4.7.2 – Máquinas coerentes ..................................................................................................................... 105 4.7.3 – Máquinas não coerentes............................................................................................................... 106
4.8 – Equação potência-ângulo .....................................................................................................107
4.9 – Conceitos sobre o regime transitório da máquina síncrona ................................................... 112
4.10 – Critério das áreas iguais..................................................................................................... 113 4.10.1 – Potência elétrica transmitida igual a zero durante o curto ......................................................... 113 4.10.2 – Ângulo crítico de eliminação da falta para potência elétrica nula transmitida durante a falta................................................................................................................................................................. 114 4.10.3 – Tempo crítico de eliminação de falta ......................................................................................... 115 4.10.4 – Análise de casos......................................................................................................................... 116 4.10.5 – Ângulo crítico de eliminação da falta com transmissão de potência elétrica diferente de zero durante a falta .......................................................................................................................................... 117
4.11 – Coeficiente de potência sincronizante ................................................................................ 119 4.11.1 – Análise da equação de oscilação linearizada ............................................................................. 119 4.11.2 – Análise gráfica da potência elétrica para pequenas oscilações .................................................. 121
Análise de Sistemas de Potência
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4.12 – Estudo de estabilidade multi-máquinas ..............................................................................122 4.12.1 – Modelo clássico de estabilidade ................................................................................................ 122 4.12.2 – Etapas do estudo ........................................................................................................................ 123
4.13 – Fatores que afetam a estabilidade do sistema......................................................................125
Capítulo 5 – Operação Econômica de Sistemas de Potência ..............................................................126
5.1 – Introdução ...........................................................................................................................126
5.2 – Características das unidades geradoras.................................................................................126
5.3 – Operação Econômica de Sistemas de Potência - problema da programação da geração .........127 5.3.1 – Sistema térmico ........................................................................................................................... 127 5.3.2 – Sistema hidro-térmico.................................................................................................................. 127
5.4 – Despacho econômico em sistemas térmicos..........................................................................127 5.4.1 – Característica das unidades térmicas convencionais.................................................................... 127 5.4.2 – Caso particular de 2 geradores sem perda na transmissão........................................................... 128
5.4.2.1 – Método dos multiplicadores de Lagrange...............................................................129 5.4.3 – Extensão para o caso de n geradores ........................................................................................... 132 5.4.4 – Consideração de limite na capacidade de geração, sem se considerar as perdas na transmissão 132 5.4.5 – Inclusão das perdas na transmissão ............................................................................................. 137
Análise de Sistemas de Potência
5
Capítulo 1 Modelo dos Componentes de um Sistema Elétrico de Potência 1.1 – Elementos de um sistema elétrico de potência
a) Linha de transmissão; b) Transformador de potência; c) Gerador; d) Carga.
Existe mais de um modelo para cada um dos elementos listados. Para cada tipo de estudo existe um
modelo específico do elemento.
Os modelos apresentados a seguir consideram:
a) A rede em regime permanente; b) O sistema elétrico simétrico e equilibrado, logo somente componentes de seqüência positiva; c) Valores em por unidade.
A Figura 1.1 mostra um pequeno sistema elétrico de potência onde T1 e T2 são transformadores.
Figura 1.1 – Sistema elétrico de potência 1.2 – Modelos da linha de transmissão
O modelo da linha de transmissão depende do comprimento da mesma. A seguir a modelagem de cada um dos três comprimentos típicos. 1.2.1 – Modelo da linha curta (até 80 km)
Neste caso a capacitância da linha, por ser pequena, é desprezada, sendo a linha representada pelos parâmetros série, ou seja, a resistência e a indutância. A Figura 1.2 mostra o modelo da linha curta.
Figura 1.2 – Modelo da linha curta
G
Linha de transmissão
T1 T2 Gerador
Cargas
jω×LSI& RI&r
SV& RV&
Análise de Sistemas de Potência
6
Da Figura 1.2 pode-se tirar as seguintes equações:
Ljrz ×+= ω
RS II && = , (1.1)
RRS IzVV &&& ×+= . (1.2) Explicitando-se as variáveis da receptora vem:
SR II && = ,
SSR IzVV &&& ×−= . 1.2.2 – Modelo de linha média (entre 80 km e 240 km)
Neste caso considera-se a capacitância da linha concentrada em ambas as extremidades da mesma. A linha é representada pelo modelo pi-nominal, mostrado na Figura 1.3.
Figura 1.3 – Modelo da linha de comprimento médio
Da Figura 1.3 pode-se tirar as seguintes equações:
1IzVV RS&&& ×+= ,
RR VyII &&& ×+=21 .
Substituindo-se a corrente 1I& na equação acima e agrupando termos vem:
RRS IzVyzV &&& ×+×⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ×+=
21 . (1.3)
SS VyII &&& ×+=21 .
Substituindo-se na equação de SI& a corrente 1I& e a tensão SV& e agrupando termos vem:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡×+×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ×+×+×+= RRRRS IzVyzyVyII &&&&&
21
22,
RRS IyzVyyzI &&& ×⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ×++×
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛×+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛×=
21
22
2
2
. (1.4)
Explicitando-se as variáveis da receptora, considere o sistema formado pelas Equações 1.3 e 1.4.:
RRS IbVaV &&& ×+×= ,
RRS IdVcI &&& ×+×= .
cbdadcba
×−×==Δ ,
SV&
1I&
z SI& RI&
RV& y/2 y/2
Análise de Sistemas de Potência
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SSS
SV IbVd
dIbV
R&&
&
&& ×−×==δ ,
SSS
SI VcIa
IcVa
R&&
&
&& ×−×==δ .
Substituindo-se valores vem:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+××−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ×+×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ×+
×−×⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ×+
=×−××−×
=
yyzzyzyz
IzVyz
cbdaIbVdV
SSSS
R
421
21
21
2
&&&&
& ,
SSR IzVyzV &&& ×−×⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ×+=
21 .
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+××−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ×+×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ×+
×⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛×+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛×−×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ×+
=×−××−×
=
yyzzyzyz
VyyzIyz
cbdaVcIaI
SSSS
R
421
21
22
221
2
2&&
&&& ,
SSR IyzVyyzI &&& ×⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ×++×
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛×+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛×−=
21
22
2
2
.
Observação: 1=×−× cbda .
1.2.3 – Modelo da linha longa (acima de 240 km)
O modelo da linha longa é determinado considerando-se os parâmetros da linha distribuídos, o que resulta em equações diferenciais parciais, as quais são ajustadas a um modelo pi-equivalente, mostrado na Figura 1.4.
Figura 1.4 – Modelo da linha longa
Os valores dos parâmetros da Figura 1.4 estão mostrados a seguir.
llsenhZz eequivalent ×
××=
γγ )(
2)2tanh(
llYy eequivalent ×
××=
γγ
yz×=γ , constante de propagação, lzZ ×= e lyY ×= , onde l é o comprimento da linha.
RI&SI& 1I&
SV& RV& yequivalente/2
zequivalente
yequivalente/2
Análise de Sistemas de Potência
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1.3 – Modelo do transformador 1.3.1 – Transformador monofásico de dois enrolamentos
A Figura 1.5 mostra o modelo completo de um transformador monofásico de dois enrolamentos.
Figura 1.5 – Modelo completo do transformador monofásico de dois enrolamentos
A Figura 1.6 mostra o modelo completo do transformador monofásico de dois enrolamentos com
todos os parâmetros referidos ao primário, onde a grandeza com primo designa grandeza refletida.
Figura 1.6 – Modelo completo do transformador com parâmetros referidos ao primário
Considerando-se que a corrente de magnetização do transformador é muito menor que a corrente de
carga, e também considerando-se que o transformador é um equipamento de rendimento elevado, maior que 98%, pode-se, sem perda de exatidão, desprezar o ramo paralelo e a resistência série do transformador, resultando no modelo da Figura 1.7, onde 21 'xxxeq += .
Figura 1.7 – Modelo do transformador monofásico desprezando-se o ramo paralelo e a resistência dos
enrolamentos
1I& r1 x1
1V& 2V&
2I& r2 x2
rf xm
1I& r1 x1
1V& 2'V&
2I&r'2 x'2
rf xm
2V&
2I&
1V&
1I& xeq
2'V&2V&
Análise de Sistemas de Potência
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1.3.2 – Transformador monofásico de três enrolamentos
A Figura 1.8 mostra o esquema de um transformador monofásico de três enrolamentos.
Figura 1.8 – Construção do transformador monofásico de três enrolamentos
Dos ensaios de curto-circuito tem-se:
SPPS xxx '+= , as grandezas base são do enrolamento primário,
TPPT xxx '+= , as grandezas base são do enrolamento primário,
TSST xxx '+= , as grandezas base são do enrolamento secundário. Referindo-se todos os parâmetros ensaiados a uma mesma base tem-se PSx , PTx , STx e,
resolvendo-se o sistema de três equações vem que:
)(5,0 STPTPSP xxxx −+×= )(5,0 PTSTPSS xxxx −+×= )(5,0 PSSTPTT xxxx −+×=
A Figura 1.9 mostra o circuito equivalente do transformador de três enrolamentos, onde o ponto de
encontro dos três enrolamentos é fictício e não tem qualquer relação com o neutro do sistema.
Figura 1.9 – Circuito equivalente de um transformador de três enrolamentos
Exemplo 1.1. Um transformador trifásico de três enrolamentos com tensões 132/33/6,6 kV tem as seguintes
reatâncias em pu, medidas entre enrolamentos e referidas a 30 MVA, 132 kV: 15,0=PSx , 09,0=PTx , 08,0=STx . O enrolamento secundário de 6,6 kV alimenta uma carga balanceada com corrente de
2.000,0 A com fator de potência em atraso de 0,8 e o enrolamento terciário de 33 kV alimenta um reator de 0,50j Ω/fase conectado em estrela. Calcular a tensão no enrolamento primário de 132 kV para que a tensão no enrolamento secundário seja de 6,6 kV.
TV&
PV& SV&
SV& PV&
xP
xS
xT
TV&
P S
T
Análise de Sistemas de Potência
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Solução: Na base de 30 MVA e 132 kV vem:
08,0)08,009,015,0(5,0)(5,0 =−+×=−+×= STPTPSP xxxx pu, 07,0)09,008,015,0(5,0)(5,0 =−+×=−+×= PTSTPSS xxxx pu, 01,0)15,008,009,0(5,0)(5,0 =−+×=−+×= PSSTPTT xxxx pu.
Valores base do enrolamento terciário: VB3 = 33 kV, SB3 = 30 MVA, 3,36/ 3
233 == BBB SVZ Ω,
86,524)3( 333 =×= BBB VSI A. Valores base do enrolamento secundário: VB2 = 6,6 kV, SB2 = 30 MVA, 45,1/ 2
222 == BBB SVZ Ω,
32,624.2)3( 222 =×= BBB VSI A. Valores base do enrolamento primário: VB1 = 132 kV, SB1 = 30 MVA, 8,580/ 1
211 == BBB SVZ Ω,
22,131)3( 111 =×= BBB VSI A. Corrente secundária em pu: I2 = 2.000/IB2 = 2.000/2.624,32 = 0,76 pu. O fator de potência é 0,8 em
atraso, 02 87,3676,0 −∠=I& e 000,1 ∠=SV& .
Reatância terciária em pu: x3 = 50,0/36,3 = 1,38 pu. Para se encontrar a solução do exemplo basta agora resolver o circuito equivalente da Figura 1.10
onde todos os valores estão em pu.
Figura 1.10 – Circuito equivalente do transformador de três enrolamentos do Exemplo 1.1
Tomando-se as correntes de malha 1I& e 2I& monta-se o seguinte sistema de equações:
PVIjjIj &&& =−∠−×++× )87,3676,0()38,101,0(08,0 011 ,
0)87,3676,0()38,101,0(0,00,187,3676,007,0 1000 =−−∠×++∠+−∠× Ijjj & .
Agrupando termos vem:
01 13,5306,147,1 ∠=−× PVIj && ,
1000 39,113,5306,10,00,113,5305,0 Ij &×=∠+∠+∠ .
0001 93,6136,19039,1/07,2889,1 −∠=∠∠=I& ,
001 76,413,113,5306,147,1 ∠=∠−×= IjVP&& .
j1,38
TV&
j0,08
j0,07
j0,01
PV&
P S
T
zL
2I&mV&
1I&
3I&
SV&
Análise de Sistemas de Potência
11
Outro método de solução: O potencial do ponto M é:
2IxVV SSM&&& ×+= ,
04,003,136,203,113,5305,00,187,3676,007,000,1 0000 jjVM +=∠=∠+=−∠×+∠=& . Corrente no enrolamento terciário:
00
00
3 63,8774,09039,137,203,1
38,101,036,203,1
−∠=∠∠
=+∠
=+
=jjxx
VILT
P&
& .
A corrente no enrolamento primário é:
000321 93,6136,120,164,063,8774,087,3676,0 −∠=−=−∠+−∠=+= jIII &&& .
Tensão na reatância de dispersão do enrolamento primário:
001 07,2811,093,6136,108,0 ∠=−∠×=×= jIxV PXP&& .
Tensão nos terminais do enrolamento primário:
°∠=+=∠+∠=+= 76,413,109,013,137,203,107,2811,0 00 jVVV MXPP&&& ,
logo a tensão primária deve ser de 4,14913,1132 =× kV. 1.3.3 – Transformador trifásico ou banco de três transformadores monofásicos.
A modelagem do transformador trifásico em estudos de curto-circuito é, em geral, diferente da modelagem de três transformadores monofásicos. Na construção do transformador trifásico tipo núcleo envolvido, diferentemente do transformador tipo núcleo envolvente, é suposto que a soma dos fluxos das três fases é instantaneamente nulo, não havendo, portanto caminho de retorno para estes fluxos. Para regime permanente simétrico e equilibrado os modelos são iguais.
Atenção deve ser dispensada com relação à defasagem entre as tensões de linha primária e secundária.
Sob condições balanceadas não existe corrente de neutro, logo os elementos de circuito que por ventura estão conectados ao neutro não são representados no diagrama de impedâncias.
Se o transformador estiver ligado em delta-delta (Δ-Δ) ou estrela-estrela (Y-Y), a modelagem é idêntica ao modelo monofásico.
Se o transformador estiver ligado em estrela-delta (Y-Δ) ou delta-estrela (Δ-Y), existe defasagem de 300 entre as tensões terminais primárias e secundárias.
A norma brasileira diz que, independentemente do tipo da ligação ser Y-Δ ou Δ-Y, as tensões de linha secundárias devem estar atrasadas de 300 em relação às tensões de linha primárias.
A Figura 1.11 mostra um transformador trifásico Y-Δ com relação de transformação monofásica N1:N2. Determinação do ângulo das tensões de linha na ligação Y-Δ, seqüência de fase abc. É suposto que o lado estrela seja o enrolamento primário.
Figura 1.11 – Transformador Y-Δ e diagramas fasoriais das tensões terminais
abV&
bcV&
caV&
ANV&
CNV&
BNV&
ABV&
A
B
C
a
b
c
N
N1:N2
N1:N2
N1:N2
Análise de Sistemas de Potência
12
A Figura 1.11 mostra que as tensões ANV& , BNV& , CNV& do lado Y estão em fase com as tensões abV& ,
bcV& , caV& do lado delta, respectivamente. Relação de transformação monofásica: N1:N2. Relação de transformação das tensões de linha N1 Y-Δ N2; 0
20
1 0:303 ∠+∠× NN .
Se ANV& está em fase com abV& , 0303 +∠×= ANAB VV && ,
1
2
NNVV ANab ×= && ,
0
2
1 303+∠
××=
NNVV abAB
&& ,
0
1
2 303
−∠×
×=N
NVV ABab&& .
A Figura 1.12 mostra o modelo do transformador em pu escolhendo-se as bases de tensão com a
mesma relação de transformação das tensões de linha.
Figura 1.12 – Transformador trifásico Y-Δ e seu modelo equivalente em pu
Da Figura 1.12 vem:
021 30∠=VV && ,
2
1)(
2
)(1 3
NN
VV
base
base ×= ,
eqx do modelo do transformador trifásico em pu não muda com o tipo de ligação do transformador trifásico, pois esta reatância vem do ensaio em curto. 1.3.4 – Transformador com comutação automática de tape - modelo pi
LTC: load tap change ou TCAT: transformador com comutação automática de tape. O tape passa a ser uma variável do modelo. A admitância do modelo pode ser colocada do lado unitário ou do lado do tape. Assume-se que o valor da admitância não varia com a posição do tape.
A Figura 1.13 representa um transformador com comutação automática de tape com relação 1:t. A seguir a dedução do modelo equivalente do TCAT a partir da Figura 1.13, que será igualado ao circuito pi da Figura 1.14, onde A, B e C são admitâncias.
Figura 1.13 – Diagrama esquemático de um transformador com tape
1:t iV&
jV&
iI& kI&
y
jI& kV&
1V&Y-Δ
2V&
xeq
2V& 1V&
Análise de Sistemas de Potência
13
tVV
j
i 1=
&
&, ij VtV && ×= .
)()( kikjk VVtyVVyI &&&&& −××=−×= ,
kik VyVytI &&& ×−××= . (1.5)
tII
j
i =&
&, kj II && = , logo ki ItI && ×= .
Substituindo-se nesta equação o valor de kI& da Equação 1.5 vem:
kii VytVytI &&& ××−××= 2 . (1.6)
Figura 1.14 – Modelo pi de um circuito elétrico genérico
Equações do modelo pi da Figura 1.14. )(1 ki VVAI &&& −×= ,
kk VCII &&& ×−= 1 , kkik VCVAVAI &&&& ×−×−×= ,
kik VCAVAI &&& ×+−×= )( . (1.7)
1IVBI ii&&& +×= , kiii VAVAVBI &&&& ×−×+×= ,
kii VAVBAI &&& ×−×+= )( . (1.8) Igualando-se as equações (1.5, 1.7) e (1.6, 1.8) vem:
Ayt =× , ytCCytyCAy ×−=⇒+×=→+= )1( ,
yttBytytBAytBBAyt ×−=⇒×−×=→−×=→+=× )( 2222 . O modelo pi do transformador com tape está mostrado na Figura 1.15.
Figura 1.15 – Modelo pi do transformador com tape 1:t
Se 1=t , ou seja, se o transformador está operando na relação nominal, o circuito equivalente se
reduz ao modelo conhecido, como mostrado na Figura 1.16, onde zy 1= .
Figura 1.16 – Circuito equivalente do transformador com tape para 1=t
1I&
C B
A iV& kV&
kI&iI&
1I&iI&
(1–t)×y (t2–t)×y
t×y iV& kV&
kI&
SV&y
SI& RI&
RV&
Análise de Sistemas de Potência
14
1.4 – Modelo do gerador
A Figura 1.17 mostra o modelo do gerador síncrono de rotor cilíndrico (pólos lisos).
Figura 1.17 – Modelo do gerador de rotor cilíndrico
ra = resistência da armadura, XS = reatância síncrona, que é a soma da reatância Xa , devido a reação da armadura e da reatância
Xl devido a dispersão. Pode-se desprezar a resistência da armadura nas máquinas em que a resistência da armadura é
muito menor que XS. Regime permanente: SX , Regime transitório ou dinâmico: reatância transitória (x'd) ou sub-transitória (x''d).
1.5 – Modelo da carga
A representação da carga depende muito do tipo de estudo realizado. A carga pode ser representada por potência constante, corrente constante ou impedância constante. É importante que se conheça a variação das potências ativas e reativas com a variação da tensão. Em uma barra típica a carga é composta de motores de indução (50 a 70%), aquecimento e iluminação (20 a 30%) e motores síncronos (5 a 10%). Embora seja exato considerar as características PV e QV de cada tipo de carga para simulação de fluxo de carga e estabilidade, o tratamento analítico é muito complicado. Para os cálculos envolvidos existem três maneiras de se representar a carga. 1.5.1 – Representação da carga para fluxo de potência
A Figura 1.18 mostra a representação da carga como potência ativa e reativa constantes.
Figura 1.18 – Representação da carga com potência constante para estudo de fluxo de potência 1.5.2 – Representação da carga para estudo de estabilidade
Neste caso a atenção não é com a dinâmica da carga, mas sim com a dinâmica do sistema. Por esta razão a carga é representada por impedância constante como mostra a Figura 1.19.
Figura 1.19 – Representação da carga para estudo de estabilidade com impedância constante
PL + jQL
k
z
k
tV&E&
jXS ra
∼
Análise de Sistemas de Potência
15
1.5.3 – Representação da carga para estudo de curto-circuito
Cargas estáticas e pequenas máquinas são desprezadas. Somente as máquinas de grande porte contribuem para o curto, logo apenas estas máquinas são consideradas. 1.5.4 – Representação da carga pelo modelo ZIP
Neste modelo parte da carga é representada por impedância constante, parte da carga é representada por corrente constante e parte da carga é representada por potência constante.
Carga = ctectecte PIZ ++ , )min(2 )( alno
piz PpVpVpP ×+×+×= , 0,1=++ piz ppp ,
onde: pz é a parcela da carga representada como Z constante, pi é a parcela da carga representada como I constante, pp é a parcela da carga representada como P constante.
)min(2 )( alno
piz QqVqVqQ ×+×+×= , 0,1=++ piz qqq ,
onde: qz é a parcela da carga representada como Z constante, qi é a parcela da carga representada como I constante, qp é a parcela da carga representada como P constante.
Análise de Sistemas de Potência
16
Capítulo 2 Equações da Rede Elétrica em Regime Permanente
2.1 – Objetivo
Determinação das matrizes que representam a rede elétrica de corrente alternada em regime permanente senoidal para uso computacional.
2.2 – Tipos de representação a) Modelo com parâmetros de admitância; b) Modelo com parâmetros de impedância.
As equações da rede serão extraídas utilizando-se a análise nodal da rede, pois esta apresenta
desempenho computacional mais eficiente.
2.3 –Equações nodais 2.3.1 – Equivalência de fontes
As fontes da Figura 2.1 são equivalentes se IzE g
&& ×= , gg zy 1= .
Figura 2.1 – Equivalência entre fonte de corrente e fonte de tensão
A notação usada no presente texto é: • Letra maiúscula com índice duplo corresponde a um elemento da matriz; • Letra minúscula com índice simples ou duplo corresponde à impedância ou admitância de um
elemento do sistema.
E& ∼
zg R E D E
V&
1I&
1I& R E D E
V& zg I&
R E D E
V& yg I&
1I&
Análise de Sistemas de Potência
17
2.3.2 – Equações nodais da rede quando modelada por admitâncias
Seja o sistema da Figura 2.2, onde E3 representa um motor.
Figura 2.2 – Sistema exemplo para as equações nodais da rede
Utilizando-se o modelo de cada elemento, o sistema fica como mostra a Figura 2.3.
Figura 2.3 – Sistema exemplo com os modelos dos elementos da rede
A Figura 2.4 mostra o diagrama da rede da Figura 2.3 em que cada fonte de tensão em série com
impedância foi transformada em fonte de corrente em paralelo com a admitância e as impedâncias das linhas foram transformadas em admitâncias.
2E&∼ 1E&
zt1 zg1 zg2 zt2
∼
∼ 3E&
z11 z22
z33
zt3
zm3
z13
z12
1 2
3
z23
3
2
T1 T2
∼
1E&
∼
2E&
∼ 3E&
1
T3
Análise de Sistemas de Potência
18
Figura 2.4 – Diagrama unifilar do sistema exemplo com admitâncias
11
1
11
11
tg zzE
zEI
+==
&&& ,
11111
11
tg zzzy
+== ,
22
2
22
22
tg zzE
zEI
+==
&&& ,
22222
11
tg zzzy
+== ,
33
3
33
33
tm zzE
zEI
+==
&&& ,
33333
11
tm zzzy
+== ,
124
1z
y = , 23
51
zy = ,
136
1z
y = .
Equações nodais do circuito da Figura 2.4. Barra 1: )()()( 0113162141 VVyVVyVVyI &&&&&&& −×+−×+−×= ,
Barra 2: )()()( 0221243252 VVyVVyVVyI &&&&&&& −×+−×+−×= ,
Barra 3: )()()( 0331362353 VVyVVyVVyI &&&&&&& −×+−×+−×= . Barra 0: )()()()( 303202101321 VVyVVyVVyIII &&&&&&&&& −×+−×+−×=−−− . A equação da barra 0 é linearmente dependente das outras três equações. Basta somar as equações
das barras 1, 2, 3 para verificar. Agrupando-se termos das equações das barras 1, 2, 3 vem:
362416411 )( VyVyVyyyI &&&& ×−×−×++= ,
352542142 )( VyVyyyVyI &&&& ×−×+++×−= , (2.1)
365325163 )( VyyyVyVyI &&&& ×+++×−×−= . Colocando-se as Equações 2.1 na forma matricial, tem-se para a matriz admitância nodal BARRAY :
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
×⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
++−−−++−−−++
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
65356
55424
64641
3
2
1
VVV
yyyyyyyyyyyyyyy
III
&
&
&
&
&
&
. (2.2)
A Equação 2.2 é da forma VYI BARRA
&& ×= , onde: I& é o vetor de injeção de corrente na rede por
fontes independentes, V& é o vetor de tensão nas barras em relação à referência e BARRAY é a matriz de admitância de barra ou matriz de admitância nodal.
y1 1I& 3I&2I&
y2 y3
y4 y5
y6
0
1 2 3
Análise de Sistemas de Potência
19
2.3.3 – Características de YBARRA 1) Simétrica; 2) Complexa; 3) Quadrada de dimensão n, onde n é o número de barras do sistema sem contar a barra de
referência; 4) Esparsa, mais de 95% dos elementos é nulo, o que é uma vantagem; 5) Os elementos da diagonal principal são positivos; 6) Os elementos fora da diagonal principal são negativos; 7) Os elementos da diagonal principal Ykk são o somatório das admitâncias diretamente ligadas à
barra k; 8) Os elementos fora da diagonal principal Ykj são o simétrico da soma das admitâncias que
ligam as barras k e j.
As características 7 e 8 acima permitem a montagem direta da matriz YBARRA por inspeção da rede.
Pode-se também escrever a equação VYI BARRA&& ×= como IZV BARRA
&& ×= , onde 1−= BARRABARRA YZ . A matriz ZBARRA é conhecida como matriz de impedância de barra ou matriz de impedância nodal.
2.3.4 – Características de ZBARRA
1) Simétrica; 2) Complexa; 3) Quadrada de dimensão n, onde n é o número de barras do sistema sem contar a barra de
referência; 4) Matriz cheia.
Exemplo 2.1 Escrever as equações nodais da rede na forma matricial, ou seja, escrever VYI BARRA
&& ×= que
corresponde ao diagrama unifilar da Figura 2.5, sabendo-se que 005,1 ∠=aE& , 07,365,1 −∠=bE& , 005,1 ∠=cE& , zg = j1,15, zt = j0,1, z13 = j0,25, z14 = j0,2, z24 = j0,2, z34 = j0,125, z23 = j0,4 em valores por
unidade.
Figura 2.5 – Diagrama unifilar do exemplo 2.1
A Figura 2.6 mostra o diagrama unifilar de impedâncias do circuito da Figura 2.5.
2
∼
aE& 1
∼
cE&
∼
bE&
4
3
Análise de Sistemas de Potência
20
Figura 2.6 – Diagrama unifilar de impedâncias do circuito da Figura 2.5
A Figura 2.7 mostra o diagrama unifilar de admitâncias onde todas as fontes de tensão foram
transformadas em fontes de corrente. A seguir os cálculos para a determinação dos parâmetros do sistema da Figura 2.7
Figura 2.7 – Diagrama unifilar de admitâncias do circuito da Figura 2.5
∼
07,365,1 −∠=bE&
∼
005,1 ∠=aE& 1
∼
005,1 ∠=cE&
4
3
2
j1,15+j0,1
j0,2
j1,15+j0,1
j1,15+j0,1 j0,2
j0,125
j0,25
j0,4
y8 = –j5,0
1
4
3
2
01 902,1 −∠=I&
y5 = –j2,5
y7 = –j8,0
y4 = –j4,0
y1 = –j0,8
y2=–j0,8
y3 = –j0,8
y6 = –j5,0
02 87,1262,1 −∠=I&
03 902,1 −∠=I&
0
Análise de Sistemas de Potência
21
2,1902,125,105,1 0
0
1 jjzz
EItg
a −=−∠=∠
=+
=&
& ,
96,072,087,1262,125,1
7,365,1 00
2 jjzz
EItg
b −−=−∠=−∠
=+
=&
& ,
2,1902,125,105,1 0
0
3 jjzz
EItg
c −=−∠=∠
=+
=&
& .
8,025,111 jjy −== , 8,025,112 jjy −== , 8,025,113 jjy −== , 0,425,014 jjy −== , 5,24,015 jjy −== , 0,52,016 jjy −== , 0,8125,017 jjy −== , 0,52,018 jjy −== .
De acordo com a regra de montagem da matriz BARRAY pode-se escrever:
8,90,50,48,011 jjjjY −=−−−= , 3,80,55,28,022 jjjjY −=−−−= ,
3,150,85,20,48,033 jjjjjY −=−−−−= , 0,180,50,80,544 jjjjY −=−−−= ,
0,02112 == YY , 0,43113 jYY == , 0,54114 jYY == , 5,23223 jYY == , 0,54224 jYY == , 0,84334 jYY == .
O sistema de equações com a matriz admitância de barra fica então:
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
×
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−∠−∠−∠
4
3
2
1
0
0
0
0,180,80,50,50,83,155,20,40,55,23,80,00,50,40,08,9
0,0902,1
87,1262,1902,1
VVVV
jjjjjjjjjjjjjj
&
&
&
&
.
O cálculo das admitâncias é simples quando as resistências são desprezadas. A diagonal principal é
negativa e os elementos fora da diagonal principal são positivos.
2.3.5 – Interpretação física dos elementos de YBARRA e ZBARRA
Seja o circuito da Figura 2.8.
Figura 2.8 – Interpretação física dos elementos de BARRAY e BARRAZ
y1 1I& 3I&2I&
y2 y3
y4 y5
y6
0
1 2 3
Análise de Sistemas de Potência
22
2.3.5.1 – Elementos de YBARRA
Seja a equação que descreve o circuito da Figura 2.8 pela matriz admitância de barra:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
×⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
VVV
YYYYYYYYY
III
&
&
&
&
&
&
.
Os elementos da matriz admitância de barra podem ser calculados pelo ensaio em curto-circuito
onde: kkY : admitância própria de curto-circuito da barra k,
ikY : admitância de transferência de curto-circuito entre as barras i e k. Ensaio de curto-circuito na barra 1 da Figura 2.8: curto-circuito em todas as barras a exceção da
barra 1. Tem-se portanto 032 ==VV && .
[ ]1
31
21
11
3
2
1
VYYY
III
&
&
&
&
×⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
01331
01221
01111
32
32
32
==
==
==
=⇒
=⇒
=⇒
VV
VV
VV
VIY
VIY
VIY
&&
&&
&&
&&
&&
&&
.
A expressão geral de cada elemento da matriz admitância de barra relaciona o efeito à causa e é:
kjVk
iik
jVIY
≠=
=,0&
&
&.
Verificação: ensaio de curto-circuito na barra 1 da Figura 2.8, ou seja, todas as tensões de barra,
com exceção da barra 1 são zero.
)()()( 3162140111 VVyVVyVVyI &&&&&&& −×+−×+−×= ,
⇒×++= 16411 )( VyyyI &&11641
1
1 YyyyVI
=++=&
&.
)()()( 3251240222 VVyVVyVVyI &&&&&&& −×+−×+−×= ,
2141
2142 Yy
VIVyI =−=⇒×−=&
&&& .
),()()( 1362350333 VVyVVyVVyI &&&&&&& −×+−×+−×=
3161
3163 Yy
VIVyI =−=⇒×−=&
&&& .
2.3.5.2 – Elementos de ZBARRA
Seja a equação que descreve o circuito da Figura 2.8 pela matriz impedância de barra:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
×⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
III
ZZZZZZZZZ
VVV
&
&
&
&
&
&
.
Os elementos da matriz impedância de barra podem ser calculados pelo ensaio em circuito aberto
onde: kkZ : impedância própria de circuito aberto da barra k,
ikZ : impedância mútua de circuito aberto entre as barras i e k.
Análise de Sistemas de Potência
23
Ensaio de circuito aberto na barra 1 da Figura 2.8: fontes de corrente inoperantes ou mortas em todas as barras com exceção da barra 1. Tem-se portanto 032 == II && .
[ ]1
31
21
11
3
2
1
IZZZ
VVV
&
&
&
&
×⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
01331
01221
01111
32
32
32
==
==
==
=⇒
=⇒
=⇒
II
II
II
IVZ
IVZ
IVZ
&&
&&
&&
&&
&&
&&
.
A expressão geral de cada elemento da matriz impedância de barra relaciona o efeito à causa e é:
kjIk
iik
jIV
Z≠=
=,0&
&
&.
Observações: 1) se a corrente 1I& (corrente injetada na rede durante o ensaio) é de 1 pu, 111 VZ &= , 221 VZ &= ,
331 VZ &= , ou seja, os elementos da coluna são numericamente iguais às tensões. 2) Zkk é a impedância equivalente da rede vista entre a barra k e a referência com as demais fontes
de corrente inoperantes, ou seja, é a impedância do equivalente de Thèvenin, )(Thkkkk ZZ = .
Pelo significado físico dos elementos de YBARRA e ZBARRA evidencia-se que não há reciprocidade
entre estes elementos, ou seja, kmkm ZY 1≠ .
Exemplo 2.2 Resolva as equações nodais do Exemplo 2.1 para encontrar a matriz impedância de barra pela
inversão da matriz admitância de barra. Calcule então as tensões de barra.
Solução: Invertendo-se a matriz BARRAY com auxílio da função inv( ) do MATLAB obtém-se:
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
×
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
4
3
2
1
020,10
96,072,020,10
4733,04232,04126,04142,04232,04558,03922,04020,04126,03922,04872,03706,04142,04020,03706,04774,0
VVVV
jj
j
jjjjjjjjjjjjjjjj
&
&
&
&
.
O vetor tensão de barra é encontrado efetuando-se a multiplicação indicada, ou seja:
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−∠−∠−∠−∠
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
0
0
0
0
4
3
2
1
97,11432,136,11434,124,14427,171,10436,1
2971,04009,12824,04059,13508,03830,12668,04111,1
jjjj
VVVV
&
&
&
&
.
Exemplo 2.3 Um capacitor com reatância de 5 pu nas bases do sistema é conectado entre a barra 4 e a referência
do circuito da Figura 2.7. Calcular a corrente que passa pelo capacitor e a nova tensão da barra 4. A impedância do capacitor é: 0,5jzC −= pu. Z44 é a impedância equivalente da rede vista da barra 4.
4V& é a tensão da barra 4 antes do capacitor ser colocado.
Z44 é obtido invertendo-se a matriz BARRAY . A matriz BARRAZ está mostrada acima, logo Z44 = j0,47
e 4V& , também mostrado acima vale 04 97,11432,1 −∠=V& . A Figura 2.9 mostra o circuito de Thèvenin em
questão.
Análise de Sistemas de Potência
24
Figura 2.9 – Equivalente de Thèvenin por elemento de BARRAZ
Solução:
00
44
4 03,783163,00,54733,0
97,11432,10,5
∠=−
−∠=
−=
jjjZVIcapacitor
&& .
A nova tensão da barra 4 passa a ser: 00 97,11582,10,503,783163,0 −∠=−×∠ j . Notar que a nova tensão na barra 4 aumentou de valor. Exemplo 2.4 Se uma corrente de 003,783163,0 ∠− pu é injetada na barra 4 do exemplo 2.2 (esta é a mesma
corrente que passa pelo capacitor) com todas as outras fontes mantidas, encontre as tensões nas barras 1, 2, 3, 4. Notar que não existe capacitor neste exemplo.
Considerando-se todas as fontes inoperantes, as tensões nodais somente devidas a esta corrente injetada pode ser calculada a partir da matriz ZBARRA. Basta multiplicar a matriz ZBARRA pelo vetor corrente, ou seja, basta multiplicar a coluna 4 da matriz ZBARRA pela corrente 003,783163,0 ∠− . Efetuando-se esta operação vem:
00
4141 97,111309,04142,003,783163,0 −∠=×∠−=×= jIZV && pu,
004242 97,111304,04126,003,783163,0 −∠=×∠−=×= jIZV && pu,
00
4343 97,111337,04232,003,783163,0 −∠=×∠−=×= jIZV && pu,
004444 97,111496,04733,003,783163,0 −∠=×∠−=×= jIZV && pu.
Para se determinar as novas tensões nas barras pode-se utilizar a superposição, adicionando-se as
tensões das barras somente devidas às fontes de corrente 1I& , 2I& , 3I& com as tensões das barras devidas
à fonte de corrente de 003,783163,0 ∠− .
0001 81,10567,197,111309,071,10436,1 −∠=−∠+−∠=V& pu,
000
2 04,14557,197,111304,024,14427,1 −∠=−∠+−∠=V& pu,
0003 41,11568,197,111337,036,11434,1 −∠=−∠+−∠=V& pu,
000
4 97,11582,197,111496,097,11432,1 −∠=−∠+−∠=V& pu. Observar que a tensão da barra 4 é a mesma da do exemplo 2.3.
capacitorI&
4V& ∼
Z44
–j5,0 0
4
Análise de Sistemas de Potência
25
2.4 – Redução da rede 2.4.1 – Objetivo
As matrizes impedância de barra e admitância de barra de um sistema elétrico real são muito grandes, dimensão da ordem de milhares. Nos estudos não é necessário se conhecer a tensão em todas as barras do sistema, logo seguem técnicas para reduzir a dimensão da rede, eliminando-se trechos não prioritários da rede para o estudo em questão.
2.4.2 – Eliminação de barra
Seja a rede elétrica representada pela matriz admitância de barra. A eliminação se processa para
duas diferentes situações: a) não existe fonte de corrente na barra a ser eliminada, b) existe fonte de corrente na barra a ser eliminada.
2.4.2.1 – Eliminação da barra onde não existe fonte de corrente
Particionamento da matriz. Ordenam-se as equações de tal forma que todas as barras sem fonte
fiquem juntas e na parte inferior da matriz.
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
×
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
==
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
VVVVV
YYY
YY
IIIII
BBtABBA
ABAA
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
.
Supondo-se 0=BI& ,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
B
A
BBtAB
ABAA
B
A
VV
YYYY
II
&
&
&
&,
BABAAAA VYVYI &&& ×+×= ,
AtABBBBBBBA
tABB VYYVVYVYI &&&&& ××−=→=×+×= −10 .
Substituindo-se o valor de BV& na equação de AI& vem:
AtABBBABAAAA VYYYVYI &&& ×××−×= −1 .
Agrupando-se termos vem:
( ) AY
tABBBABAAA VYYYYI
A
&4444 34444 21
& ×××−= −1 , que está na forma AAA VYI && ×= .
A ordem da matriz YA neste exemplo é a do número de barras com fonte de corrente. Exemplo 2.5. Eliminação de apenas uma barra do sistema de três barras da Figura 2.8 com 03 =I& .
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
×⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
333231
232221
131211
2
1
0 VVV
YYYYYYYYY
II
&
&
&
&
&
[ ] [ ]32311
3323
13
2221
1211 YYYYY
YYYY
YA ××⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡= − .
AI&
BI& BV&
AV&
AI&
BI& BV&AV&
Análise de Sistemas de Potência
26
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
×−
×−
×−
×−
=
33
322322
33
312321
33
321312
33
311311
YYYY
YYYY
YYYY
YYYY
YA .
Esta matriz representa um sistema equivalente ao sistema de três barras, agora com dimensão 2×2. Colocando-se de forma escalar tem-se que a eliminação da barra n é:
nn
njinijij Y
YYYY
×−=' ,
que é chamada de eliminação de Kron. Para maior eficiência computacional deve-se evitar a inversão da matriz YBB. O procedimento é
então o de eliminar uma barra por vez, aplicando-se a eliminação de Kron tantas vezes quanto o número de barras a serem eliminadas.
A partir de YA pode-se desenhar o circuito equivalente. No exemplo tem-se agora duas barras, mostradas na Figura 2.10 onde os elementos da nova matriz YBARRA 2 × 2 são:
3111 ''' yyY += , 3222 ''' yyY += , 32112 ''' yYY −== . Resolvendo-se o sistema acima determina-se y'1, y'2, y'3.
Figura 2.10 – Sistema equivalente ao sistema de três barras
Exemplo 2.6 Eliminar as barras 3 e 4 do sistema da Figura 2.11 sabendo-se que estas não têm fonte. Desenhar o
circuito equivalente com estes nós eliminados e calcular as potências ativa e reativa injetadas ou absorvidas em cada barra. 0
1 902,1 −∠=I& , 02 87,1262,1 −∠=I& .
Figura 2.11 – Sistema para a eliminação das barras 3 e 4
1I& y'12I&
y'2
y'3
0
1 2
1
43
2
1I&
y5 = –j2,5
y7=–j8,0
y4 = –j4,0
y1 = –j0,8
y2 = –j0,8
y6 = –j5,0
y8 = –j5,0 2I&
Análise de Sistemas de Potência
27
VYI BARRA&& ×=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
=
0,180,80,50,50,85,145,20,40,55,23,80,00,50,40,08,9
jjjjjjjjjjjjjj
YBARRA .
Eliminação da barra 4.
41,80,18
0,50,58,9'11 jj
jjjY −=−
×−−= ,
39,10,18
0,50,50,0'' 2112 jj
jjYY =−
×−== ,
22,60,18
0,80,50,4'' 3113 jj
jjjYY =−
×−== ,
91,60,18
0,50,53,8'22 jj
jjjY −=−
×−−= ,
72,40,18
0,80,55,2'' 3223 jj
jjjYY =−
×−== ,
94,100,18
0,80,85,14'33 jj
jjjY −=−
×−−= .
Após a eliminação da barra 4 a matriz YBARRA fica:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
94,1072,422,672,492,639,122,639,141,8
'jjjjjjjjj
Y BARRA .
Eliminando-se agora a barra 3 vem:
87,494,10
22,622,641,8'' 11 jj
jjjY −=−
×−−= ,
07,494,10
72,422,639,1'''' 2112 jj
jjjYY =−
×−== ,
87,494,10
72,472,491,6'' 22 jj
jjjY −=−
×−−= .
Após a eliminação das barras 4 e 3 a matriz YBARRA fica:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
87,407,407,487,4
''jj
jjY BARRA .
A Figura 2.12 mostra o sistema de duas barras, que tem a matriz YBARRA como acima, equivalente ao
sistema da Figura 2.11 de quatro barras.
2 43 1
2 31
Análise de Sistemas de Potência
28
Figura 2.12 – Circuito equivalente após a eliminação das barras, sem fonte, 4 e 3
Para se calcular os valores dos elementos do circuito da Figura 2.12 basta aplicar as regras da
construção da matriz YBARRA e resolver o sistema. Tem-se então:
87,4'''''' 31)11( jyyY BARRA −=+= , 87,4'''''' 32)22( jyyY BARRA −=+= ,
07,4'''''' 3)21()12( jyYY BARRABARRA =−== . Resolvendo-se o sistema vem:
07,4'' 3 jy −= , 80,007,487,4'''' 21 jjjyy −=+−== . Para se calcular a potência injetada em cada barra, basta calcular primeiramente as tensões nas
barras. Tem-se que:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡×⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
2
1
87,407,407,487,4
VV
jjjj
II
&
&
&
&,
onde o vetor corrente é conhecido. Utilizando-se o programa MATLAB para inverter a matriz YBARRA com a função inv(YBARRA) vem:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡×⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
2
1
68,057,057,068,0
II
jjjj
VV
&
&
&
&,
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−∠−∠
×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡0
0
2
1
87,1262,1902,1
68,057,057,068,0
jjjj
VV&
&,
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−∠−∠
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡0
0
2
1
14,2042,173,1642,1
49,034,141,036,1
jj
VV&
&.
000*
111 27,7371,1902,173,1642,1 ∠=∠×−∠=×= IVS &&& ,
64,149,01 jS +=& ,
000*222 73,10671,187,1262,114,2042,1 ∠=∠×−∠=×= IVS &&& ,
64,149,02 jS +−=& . Perdas na linha de transmissão:
021 63,710849,00806,00268,0 ∠=+=− jVV && ,
0021312 37,183460,0)63,710849,0()07,4()('' −∠=∠×−=−×= jVVyI &&& .
y''1 01 902,1 −∠=I& 0
2 87,1262,1 −∠=I&y''2
y''3
0
1 2
Análise de Sistemas de Potência
29
Potência injetada na linha a partir da barra 1: )37,183460,0()73,1642,1( 00*
12112 ∠×−∠=×= IVS &&& ,
014,049,064,149,0 012 jS +=∠=& .
Potência injetada na linha a partir da barra 2:
)37,1835,0()14,2042,1( 00*21221 ∠−×−∠=×= IVS &&& ,
015,049,022,17849,0 021 jS +−=∠=& .
029,02112 jSS =+ && . A potência reativa consumida na linha também pode ser calculada por:
029,007,434,0'' 23
212 ==yI .
Perda reativa na admitância do gerador 1:
621,18,042,1'' 21
211 =×=×= yVQ .
Perda reativa na admitância do gerador 2:
621,18,042,1'' 22
222 =×=×= yVQ .
Perda reativa total: Qtotal = 0,029 + 1,621 + 1,621 = 3,271. Potência total injetada no sistema:
64,149,064,149,021 jjSSStotal +−+=+= &&& ,
27,3jStotal =& .
2.4.2.2 – Eliminação de barra onde existe fonte de corrente independente
A eliminação de barra onde existe fonte de corrente é semelhante a eliminação de Gauss. Este método também vale quando não existe fonte de corrente na barra eliminada, sendo a fonte de corrente nula um caso particular.
A eliminação de Gauss consiste em transformar a matriz do sistema em uma matriz triangular superior. Com isto encontra-se o valor de uma variável e, por substituição todas as demais variáveis. Quando da eliminação de barra com fonte pode ocorrer que uma barra, originalmente sem fonte, fique com fonte.
A eliminação de Gauss consiste de duas etapas: a) normalização da primeira equação, b) eliminação da variável pivotada nas outras equações.
Seja o sistema VYI BARRA
&& ×= de dimensão três por três, escrito na forma estendida a seguir.
3232131333 IVYVYVY &&&& =×+×+× ,
1212111313 IVYVYVY &&&& =×+×+× ,
2222121323 IVYVYVY &&&& =×+×+× .
a) Normalização da primeira equação. Dividindo-se a primeira linha por 33Y e mantendo-se as outras linhas inalteradas vem:
33
32
33
321
33
3131
YIV
YYV
YYV
&&&& =×+×+× ,
1212111313 IVYVYVY &&&& =×+×+× ,
2222121323 IVYVYVY &&&& =×+×+× .
Análise de Sistemas de Potência
30
b) Eliminação da variável pivotada 3V& nas demais equações. Basta fazer a operação assinalada a seguir, onde o termo primo substitui a linha original.
11322' LYLL ×−=
12333' LYLL ×−=
33
32
33
321
33
3131
YIV
YYV
YYV
&&&& =×+×+× ,
133
31312
33
3213121
33
3113113 '0 I
YIYIV
YYYYV
YYYYV &
&&&&& =
×−=×⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ×−+×⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ×−+× ,
233
32322
33
3223221
33
3123213 '0 I
YIYIV
YYYYV
YYYYV &
&&&&& =
×−=×⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ×−+×⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ×−+× .
O sistema ficou então reduzido a:
1212111 ''' IVYVY &&& =×+× ,
2222121 ''' IVYVY &&& =×+× .
A formação do termo ijY ' é a mesma da redução de Kron para a eliminação da barra n, ou
seja,nn
njinijij Y
YYYY
×−=' .
A formação das novas correntes injetadas é nn
ninii Y
IYII&
&& ×−=' para a eliminação da barra n.
A Figura 2.13 mostra o circuito equivalente sem a barra 3.
Figura 2.13 – Redução de sistema de três barras com fonte de corrente na barra eliminada
Exemplo 2.7. Eliminar as barras 4 e 3 do sistema da Figura 2.7, cuja equação VYI BARRA
&& ×= está repetido a seguir.
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
×
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−∠−∠−∠
4
3
2
1
0
0
0
0,180,80,50,50,83,155,20,40,55,23,80,00,50,40,08,9
0,0902,1
87,1262,1902,1
VVVV
jjjjjjjjjjjjjj
&
&
&
&
.
Eliminação da barra 4 do sistema da Figura 2.7.
41,80,18
0,50,58,9'11 jj
jjjY −=−
×−−= ,
y'11'I&2'I& y'2
y'3
0
1 2
Análise de Sistemas de Potência
31
39,10,18
0,50,50,0'' 2112 jj
jjYY =−
×−== ,
22,60,18
0,80,50,4'' 3113 jj
jjjYY =−
×−== ,
91,60,18
0,50,53,8'22 jj
jjjY −=−
×−−= ,
72,40,18
0,80,55,2'' 3223 jj
jjjYY =−
×−== ,
74,110,18
0,80,83,15'33 jj
jjjY −=−
×−−= .
Após a eliminação da barra 4 o sistema fica:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
×⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−∠−∠−∠
3
2
1
0
0
0
74,1172,422,672,491,639,122,639,141,8
902,187,1262,1
902,1
VVV
jjjjjjjjj
&
&
&
.
Eliminação da barra 3.
11,574,11
22,622,641,8'' 11 jj
jjjY −=−
×−−= ,
89,374,11
72,422,639,1'''' 2112 jj
jjjYY =−
×−== ,
01,574,11
72,472,491,6'' 22 jj
jjjY −=−
×−−= .
000
01 9084,184,164,0902,1
74,11902,122,6902,1' −∠=−=−−∠=
−−∠×
−−∠= jjj
jI& ,
000
02 53,11661,148,087,1262,1
74,11902,172,487,1262,1' −∠=−−∠=
−−∠×
−−∠= jj
jI& .
Após a eliminação da barra 3 o sistema fica:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−∠−∠
2
10
0
01,589,389,311,5
53,11661,19084,1
VV
jjjj
&
&.
A Figura 2.14 mostra o circuito equivalente do sistema no qual foram eliminadas a barra 4, que não
tinha fonte, e a barra 3, que tinha fonte.
Figura 2.14 – Circuito equivalente com eliminação de barra que contém fonte
02 53,11661,1'' −∠=I&0
1 9084,1'' −∠=I&
–j3,89
0
1 2
–j1,22 –j1,12
2 31
Análise de Sistemas de Potência
32
2.4.3 – Equivalentes de rede
Usa-se o equivalente de rede para substituir parte de um circuito, no qual não existe interesse para determinado estudo, por seu equivalente. A Figura 2.15 mostra a rede original e a Figura 2.16 o equivalente da rede externa.
Figura 2.15 – Circuito original
Figura 2.16 – Rede externa substituída por equivalente
2.5 – Montagem da matriz YBARRA com elementos acoplados
A Figura 2.17 mostra um trecho de circuito em que existe admitância ou impedância mútua entre alguns elementos do sistema elétrico.
A polaridade da tensão induzida é importante.
Figura 2.17 - Parte de circuito com impedância mútua
Polaridade relativa da corrente.
klmijijji IzIzVV &&&& ×+×=− ,
ijmklkllk IzIzVV &&&& ×+×=− . Em forma matricial vem:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
kl
ij
klm
mij
lk
ji
II
zzzz
VVVV
&
&
&&
&&,
onde a matriz Z é denominada de matriz impedância primitiva do elemento. Passando-se para admitância vem:
Rede
interna
Rede
externa
1
2
3
Rede interna
1'I&
2'I&
3'I&
ya
yb
2
1
3
zkl
zm
kI& lI&
klI& lkI&
zij iI& jI&ijI& jiI&
l k
j i
Análise de Sistemas de Potência
33
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
lk
ji
klm
mij
kl
ij
VVVV
yyyy
II
&&
&&
&
&,
onde a matriz Y é chamada de matriz admitância primitiva do elemento. Expandindo-se a equação acima vem:
lmkmjijiijij VyVyVyVyI &&&&& ×−×+×−×= ,
lmkmjijiijji VyVyVyVyI &&&&& ×+×−×+×−= ,
lklkkljmimkl VyVyVyVyI &&&&& ×−×+×−×= ,
lklkkljmimlk VyVyVyVyI &&&&& ×+×−×+×−= .
Sabendo-se que iij II && = , jji II && = , kkl II && = , llk II && = e colocando-se a equação acima em forma matricial tem-se:
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
×
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
l
k
j
i
klklmm
klklmm
mmijij
mmijij
l
k
j
i
VVVV
yyyyyyyy
yyyyyyyy
IIII
&
&
&
&
&
&
&
&
.
Notar que os dois blocos com yij e ykl são termos da matriz YBARRA sem mútua.
Regra prática para a montagem da matriz YBARRA com mútuas: 1) Determinar a matriz Z primitiva dos elementos com mútua; 2) Inverter a matriz Z primitiva do elemento para encontrar a matriz Y primitiva; 3) Montar a matriz YBARRA sem considerar a admitância mútua ym; 4) Incluir o efeito das mútuas somando-se ym aos elementos da matriz referentes aos terminais
igualmente marcados e subtraindo-se ym dos elementos da matriz referentes aos terminais marcados diferentemente.
A Figura 2.18 mostra o circuito equivalente do circuito da Figura 2.17 com mútuas.
Figura 2.18 - Circuito equivalente com elementos acoplados
Exemplo 2.8. Sejam z12 = z34 = j0,25 pu e zm = j0,15 pu como mostrados na Figura 2.19. Determinar a matriz
YBARRA do sistema.
Figura 2.19 - Circuito referente ao exemplo
yij
ykl
ym
ym
–ym –ym
l k
j i
z34
zm
z12 1
3
2
4
Análise de Sistemas de Potência
34
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
34
12
43
21
25,015,015,025,0
II
jjjj
VVVV
&
&
&&
&&,
onde a matriz acima é a matriz Z primitiva. A matriz Y primitiva é a inversa de Z primitiva.
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
25,675,375,325,6
jjjj
YPRIMITIVA ,
75,3jym = , 25,63412 jyy −== . i) Sem acoplamento.
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
=
25,625,60025,625,600
0025,625,60025,625,6
jjjj
jjjj
YBARRA
ii) Considerando-se o acoplamento.
Basta acrescentar +ym em (1,3), (2,4), (3,1), (4,2) e acrescentar –ym em (1,4), (2,3), (3,2), (4,1).
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+−−−+
+−−−+−
=
25,625,675,3075,3025,625,675,3075,30
75,3075,3025,625,675,3075,3025,625,6
jjjjjjjj
jjjjjjjj
YBARRA .
Exemplo 2.9. Sejam 25,02313 jzz == pu, 15,0jzm = pu. Determinar a matriz admitância de barra do circuito da
Figura 2.20.
Figura 2.20 - Exercício de cálculo da matriz admitância de barra com mútuas
Inicialmente determina-se a matriz impedância primitiva, invertendo-se esta determina-se a matriz
admitância primitiva, determina-se a matriz admitância de barra sem se considerar as mútuas e depois inclui-se as mútuas seguindo os passos do algoritmo.
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
25,015,015,025,0
jjjj
ZPRIMITIVA , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
25,675,375,325,6
jjjj
YPRIMITIVA .
i) matriz admitância de barra sem se considerar as admitâncias mútuas é:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=−−
−=
25,625,65,1225,625,625,625,6025,6025,6
jjjjjjjjj
YBARRA .
ii) matriz admitância de barra com as admitâncias mútuas
Com a polaridade indicada no enunciado do exercício, my+ deve ser adicionado aos elementos (3,3), (1,2), (3,3), (2,1) e my− deve ser adicionado aos elementos (3,2), (1,3), (3,1), (2,3). Incluindo-se as mútuas na matriz acima vem:
z13
z23
zm
1I&
2I&
3I& 3
2
1
Análise de Sistemas de Potência
35
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
++−=−−=−=−=−+−=+−
=75,375,35,120,575,325,65,275,325,65,2
75,325,65,225,675,3075,325,65,275,3025,6
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjj
YBARRA .
A seguir os cálculos que comprovam a exatidão da matriz YBARRA encontrada com a utilização da
regra acima.
211331 IzIzVV m&&&& ×+×=− ,
223132 IzIzVV m&&&& ×+×=− .
321 III &&& −=+ , logo
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
2
1
23
13
32
31
II
zzzz
VVVV
m
m&
&
&&
&&, ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
32
31
23
13
2
1
VVVV
yyyy
II
m
m&&
&&
&
&,
31321131323131131 )( VyyVyVyIVyVyVyVyI mmmm&&&&&&&&& ×−−+×+×=⇒×−×+×−×= ,
32322312323223312 )( VyyVyVyIVyVyVyVyI mmmm&&&&&&&&& ×−−+×+×=⇒×−×+×−×= ,
3231322311321 )2()()( VyyyVyyVyyII mmm&&&&& ××−−−+×++×+=+ ,
323132231133 )2()()( VyyyVyyVyyI mmm&&&& ××+++×−−+×−−= .
Em forma matricial vem:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
×⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
×++−−−−−−−−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
23132313
2323
1313
3
2
1
2 VVV
yyyyyyyyyyyyyyy
III
mmm
mm
mm
&
&
&
&
&
&
, que confere com o exercício.
2.6 – Modificação da matriz admitância de barra
A inclusão ou retirada de um elemento da rede utiliza o mesmo procedimento já visto na montagem da matriz admitância de barra com ou sem mútuas. Para a eliminação da barra utiliza-se a redução de Kron. 2.7 – Montagem e Modificação da matriz impedância de barra
A matriz impedância de barra pode ser modificada para refletir mudanças na rede elétrica. Estas mudanças podem ser a adição de elemento, retirada de elemento ou modificação no valor da impedância do elemento.
Até o momento as maneiras de se calcular a matriz impedância de barra são: a) Inversão da matriz admitância de barra, b) Ensaio de circuito aberto. Nenhum destes métodos é utilizado na prática devido ao tempo necessário para o cálculo.
2.7.1 – Modificação direta da matriz impedância de barra
Seja o sistema original da Figura 2.21 composto de n barras, cuja matriz impedância de barra é conhecida como ORIGINALZ .
Análise de Sistemas de Potência
36
Figura 2.21 - Sistema a ser modificado
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nnnn
n
n
ORIGINAL
ZZZ
ZZZZZZ
Z
L
MMMM
L
L
21
22221
11211
A inclusão de um novo elemento denominado bz atende a uma das quatro possibilidades a seguir.
2.7.1.1 – O elemento é ligado entre a barra nova p e a referência
Modificação da matriz impedância de barra pela inclusão de um elemento que possui impedância própria bz ligado entre uma barra nova p e a referência. Seja o sistema original composto de duas barras. A Figura 2.22 mostra este sistema acrescido de uma nova barra denominada p.
Figura 2.22 - Sistema original acrescido de elemento entre barra nova p e a referência
A matriz ORIGINALZ do sistema da Figura 2.22 é:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2221
1211
ZZZZ
ZORIGINAL
Recordando o que foi explicado quando da interpretação física dos elementos da matriz impedância
de barra, o valor dos elementos da coluna da matriz impedância de barra é a tensão da barra dividida pela corrente injetada em determinada barra, com todas as outras fontes mortas. Se esta corrente tiver o valor unitário, a tensão será numericamente igual à impedância. Ensaiando-se a barra 1 com corrente unitária, tem-se que a tensão na barra p =3 devido a esta corrente é nula, o mesmo acontecendo com a corrente injetada na barra 2. Quando a corrente injetada na barra p = 3 é unitária, a tensão que aparece na barra p = 3 é zb.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
b
BARRA
zZZZZ
Z00
00
2221
1211
Regra 1: inclui-se nova linha e nova coluna na matriz impedância de barra original, sendo nulos os
elementos fora da diagonal principal. O elemento da diagonal principal é o valor da impedância zb do elemento. Os valores dos elementos da matriz impedância de barra original não sofrem alteração.
Sistema original
k
m
n
z1 z2 zb
z12 1 2
p = 3
Análise de Sistemas de Potência
37
2.7.1.2 – O elemento é ligado entre a barra nova p e a barra existente k
Modificação da matriz impedância de barra pela inclusão de um elemento que possui impedância própria bz ligado entre uma barra nova p e uma barra existente k. Seja o sistema original composto de duas barras. A Figura 2.23 mostra este sistema acrescido de uma nova barra denominada p.
Figura 2.23 - Sistema original acrescido de elemento entre uma barra nova p e uma barra existente k
A matriz ORIGINALZ do sistema da Figura 2.23 é:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2221
1211
ZZZZ
ZORIGINAL
Injetando-se corrente unitária na barra 1, a tensão na barra p = 3 é a mesma que a tensão da barra k
= 2. Injetando-se corrente na barra k = 2 a tensão na barra p = 3 também é a mesma que a tensão da barra k = 2. Injetando-se corrente na barra p = 3, a tensão será a impedância vista da barra k = 2 adicionada de zb.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+=
b
BARRA
zZZZZZZZZZ
Z
222221
222221
121211
Regra 2: inclui-se nova linha e nova coluna na matriz impedância de barra original, onde os
elementos fora da diagonal principal são iguais aos elementos da linha e da coluna k (barra onde o novo elemento é conectado) e o elemento da diagonal principal é )( bkk zZ + . Os valores dos elementos da matriz impedância de barra original ficam idênticos. 2.7.1.3 – O elemento é ligado entre a barra existente k e a referência
Modificação da matriz impedância de barra pela inclusão de um elemento que possui impedância própria bz ligado entre uma barra existente k e a referência. Seja o sistema original composto de duas barras. A Figura 2.24 mostra este sistema acrescido da nova impedância.
Figura 2.24 - Sistema original acrescido de elemento entre uma barra existente e a referência
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2221
1211
ZZZZ
ZORIGINAL
Este caso é abordado em duas etapas, mostradas na Figura 2.25.
z1 z2
zb z12 1 k = 2
p = 3
z1 z2 zb
z12 1
k = 2
Análise de Sistemas de Potência
38
1) O elemento novo é incluído entre uma barra k existente e uma barra nova (n+1) fictícia, 2) curto circuita-se a barra fictícia para a terra pela redução de Kron.
Figura 2.25 - Procedimento para a inclusão de um elemento entre uma barra existente k e a referência
Etapa 1: inclusão do elemento entre uma barra existente k = 2 e uma barra nova fictícia (n+1) = 3.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
×⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
222221
222221
121211
3
2
1
III
zZZZZZZZZZ
VVV
b&
&
&
&
&
&
Etapa 2: curto circuita-se a barra fictícia (n+1) = 3 para a referência e procede-se à eliminação de
Kron para eliminar a barra (n+1) = 3. A eliminação de Kron foi deduzida para a matriz admitância de barra e IB = 0. O mesmo se aplica à matriz impedância de barra e 0=BV& .
Regra 3: é o caso 2 com eliminação de Kron. Inclui-se temporariamente uma nova linha e uma nova coluna na matriz impedância de barra original onde os elementos fora da diagonal principal são iguais aos elementos da linha e da coluna k, e o elemento da diagonal principal é )( bkk zZ + referente à barra fictícia (n+1). Elimina-se a barra fictícia aplicando-se a redução de Kron. 2.7.1.4 – O elemento é ligado entre a barra existente k e a barra existente j
Modificação da matriz impedância de barra pela inclusão de um elemento que possui impedância própria bz ligado entre uma barra existente k e uma barra existente j. Seja o sistema original composto de duas barras. A Figura 2.26 mostra este sistema acrescido da nova impedância.
Figura 2.26 - Sistema original acrescido de elemento entre uma barra existente k e uma barra existente j
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2221
1211
ZZZZ
ZORIGINAL
Este caso é abordado nas duas etapas mostradas na Figura 2.27. 1) Inclusão do elemento entre barra existente k e entre barra fictícia (n + 1), 2) curto circuitam-se a barra fictícia (n + 1) e a barra j.
+z1 z2
zb z12 1
k = 2 n+1=3z1 z2
zb z12 1
k = 2 n+1=3
z1 z2
z12
zb
k = 1 j = 2
Análise de Sistemas de Potência
39
Figura 2.27 - Procedimento para a inclusão de um elemento entre barras existentes
Etapa 1: inclusão de elemento entre a barra k = 1 existente e uma barra fictícia 3)1( =+n . A matriz do sistema com a barra fictícia é:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
×⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
111211
212221
111211
3
2
1
III
zZZZZZZZZZ
VVV
b&
&
&
&
&
&
Etapa 2: as tensões 2=jV& e 31=+nV& são iguais logo, fazendo-se a linha (n + 1) = 3 menos a linha j =
2 e colocando-se o resultado na linha (n + 1) = 3 vem:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
×⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−−−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
211122122111
212221
111211
2
1
0 III
zZZZZZZZZZZZZ
VV
b&
&
&
&
&
. (2.1)
Para tornar a matriz acima simétrica efetua-se a coluna (n + 1) = 3 menos a coluna j = 2 no lugar da
coluna (n + 1) = 3.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
×⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−−+−−−−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
2112221122122111
22212221
12111211
2
1
0 III
zZZZZZZZZZZZZZZZZ
VV
b&
&
&
&
&
. (2.2)
Expandindo-se as três linhas das Equações 2.1 vem:
3112121111 IZIZIZV &&&& ×+×+×= , (2.3)
3212221212 IZIZIZV &&&& ×+×+×= , (2.4)
321112221212111 )()()(0 IzZZIZZIZZ b&&& ×+−+×−+×−= . (2.5)
Expandindo-se as três linhas das Equações 2.2 vem:
3123112121111 IZIZIZIZV &&&&& ×−×+×+×= , (2.6)
3223212221212 IZIZIZIZV &&&&& ×−×+×+×= , (2.7)
3211222112221212111 )()()(0 IzZZZZIZZIZZ b&&& ×+−−++×−+×−= . (2.8)
Para que as Equações 2.3, 2.4 e 2.5 fiquem iguais, respectivamente, às Equações 2.6, 2.7 e 2.8,
basta somar 312 IZ &× na Equação 2.6, 322 IZ &× na Equação 2.7 e 32212 )( IZZ &×− na Equação 2.8, ou seja,
basta somar 3I& ao 2I& do vetor corrente da Equação 2.2. A barra (n + 1) = 3 é fictícia, sem fonte de corrente, logo pode-se aplicar a redução de Kron. A equação fica então:
z1 z2
z12
zb
+
n+1=3k = 1 j = 2
z1 z2
z12
zb
k = 1 j = 2
Análise de Sistemas de Potência
40
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+×⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−−+−−−−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
32
1
2112221122122111
22212221
12111211
2
1
0 III
I
zZZZZZZZZZZZZZZZZ
VV
b&
&&
&
&
&
.
Regra 4: inclui-se temporariamente nova linha e nova coluna na matriz impedância de barra
original, onde os elementos fora da diagonal principal são iguais à diferença entre os elementos das colunas/linhas k e j e o elemento da diagonal principal vale bjkkjjjkk zZZZZ +−−+ . Elimina-se a linha e a coluna da barra fictícia aplicando-se a redução de Kron. 2.7.2 – Montagem direta da matriz impedância de barra
a) É um processo mais rápido que montar a matriz admitância de barra e depois inverter; b) Trabalha-se diretamente com a lista dos componentes da rede; c) A matriz impedância de barra é montada passo a passo, incluindo-se um componente de cada
vez, recaindo em um dos quatro casos de modificação da matriz impedância de barra já vistos; d) Restrição: a matriz impedância de barra deve ser iniciada por componente ligado à referência.
Quando não existir tal elemento, uma barra é tomada como referência.
Exemplo 2.10. Montar a matriz impedância de barra passo a passo para o sistema da Figura 2.28.
Figura 2.28 - Sistema exemplo para a montagem da matriz impedância de barra
Dados dos ramos em pu.
Barras Impedância Admitância Número do elemento de para (pu) (pu)
1 0 1 j0,25 –j4,00 2 0 3 j0,20 –j5,00 3 1 2 j0,08 –j12,50 4 2 3 j0,06 –j16,67 5 2 3 j0,06 –j16,67 6 1 3 j0,07 –j14,29
Elemento 1 ligado entre a referência e a barra nova 1. Caso 2.4.7.1.
[ ]25,0jZBARRA =
Elemento 2 ligado entre a referência e a barra nova 3. Caso 2.4.7.1.
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
20,000,000,025,0
jj
ZBARRA
~ ~
1 2 3
6 5
4 3
2 1
11
1 31
3
Análise de Sistemas de Potência
41
Elemento 3 ligado entre a barra 1 existente e a barra nova 2. Caso 2.4.7.2.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+=+==
b
BARRA
zZjjjjj
jjZ
1108,025,033,000,025,000,020,000,025,000,025,0
Rearrumando-se a matriz BARRAZ para que a ordem das colunas corresponda ao número das barras
vem:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
20,000,000,0033,025,000,025,025,0
jjjjj
ZBARRA
Elemento 4 ligado entre a barra 2 existente e a barra 3 existente. Caso 2.4.7.4.
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−−+=−−
=
b
BARRA
zZZZZjjjjjj
jjjjjj
Z
3223332259,020,033,025,020,020,000,000,0
33,000,033,025,025,000,025,025,0
Após a aplicação da redução de Kron na barra 4 vem:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
1322,01119,00847,01119,01454,01102,00847,01102,01441,0
jjjjjjjjj
ZBARRA .
Elemento 5 ligado entre a barra 2 existente e a barra 3 existente. Caso 2.4.7.4. Ao invés de se inserir um a um os elementos, pode-se inserir o paralelo dos elementos 4 e 5, no
caso 03,0j .
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−−+=−−
06,01119,01119,01322,01454,01138,00203,00335,00255,00203,01322,01119,008477,0
0335,01119,01454,01102,00255,00847,01102,01441,0
jjjjjjjjjjjjj
jjjjjjjj
Aplicando-se a redução de Kron na barra 4 vem:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
1286,01179,00892,01179,01355,01027,00892,01027,01384,0
jjjjjjjjj
Elemento 6 ligado entre a barra 1 existente e a barra 3 existente. Caso 2.4.7.4.
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−−+=−−−−
07,00892,00892,01286,01384,01286,00394,00152,00492,00394,01286,01179,00892,00152,01179,01355,01027,0
0492,00892,01027,01384,0
jjjjjjjjjjjjjjjjj
jjjj
3 21
1
3 2
321123
42 31
1
2
3 4
Análise de Sistemas de Potência
42
Aplicando-se a redução de Kron na barra 4 vem:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
1188,01141,01014,01141,01340,01074,01014,01074,01231,0
jjjjjjjjj
ZBARRA
Utilizando-se o programa MATLAB para inverter diretamente a matriz YBARRA encontra-se para
BARRAZ :
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
63,5234,3329,1434,3384,4550,1229,1450,1279,30
jjjjjjjjj
YBARRA ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
1188,01141,01015,01141,01341,01074,01015,01074,01232,0
jjjjjjjjj
ZBARRA .
Observação: Para maior eficiência do processo, fecha-se o laço o mais cedo possível para se aplicar
a redução de Kron em matriz de dimensão menor.
2.7.3 – Exclusão de um elemento de impedância zb da matriz ZBARRA
Basta incluir um elemento de impedância própria de valor bz− , pois o paralelo de bz com bz− é um circuito aberto, com a aplicação de dois dos quatro casos de modificação da matriz impedância de barra. 2.7.4 – Modificação do valor da impedância que liga duas barras
Basta inserir um elemento que em paralelo com o valor já existente forneça o valor desejado. Para se transformar o valor de zx no valor zy entre as barras k e m, como mostra a Figura 2.29, basta inserir o elemento zb de tal forma que ybx zzz =// .
Figura 2.29 - Modificação do valor original zx da matriz impedância de barra, zx//zb=zy
2.8 – Obtenção dos elementos da coluna da matriz impedância de barra a partir da matriz admitância de barra
a) Utilizado quando não é necessária toda a matriz impedância de barra, b) É necessária uma coluna da matriz impedância de barra, alguns elementos de uma coluna da
matriz impedância de barra, diferença entre duas colunas da matriz impedância de barra, etc. Em estudos de curto-circuito calcula-se, a partir da matriz YBARRA, apenas uma coluna da matriz
ZBARRA, a de interesse, não sendo necessário determinar toda a matriz ZBARRA.
2.8.1 – Obtenção de uma coluna da matriz impedância de barra
Se a matriz impedância de barra for multiplicada pelo vetor que contém 1 na linha k e zero no resto vem:
zx
k m
zy
k m
⇒
Análise de Sistemas de Potência
43
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
×
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
Nk
k
k
NNNkN
Nk
Nk
Z
ZZ
ZZZ
ZZZZZZ
M
M
M
M
LL
MMMMM
MMMMM
LL
LL
2
1
1
2221
1111
0
1
0
ou seja,
)(kBARRAkBARRA ZlZ =× , coluna k da matriz impedância de barra.
Pré multiplicando-se a equação acima pela matriz admitância de barra vem:
)(k
BARRABARRAkI
BARRABARRA ZYlZY ×=××44 344 21
,
KK
BARRABARRA lZY =× )( , sistema de equações lineares com incógnita )(KBARRAZ .
Procedimento para solução da equação acima: a) montar a matriz BARRAY , b) fatorar a matriz BARRAY em LU , ou seja, BARRAYUL =× ,
c) solucionar o sistema k
H
kBARRA lZUL =××43421)( em duas etapas,
primeira etapa: solucionar klHL =× ,
segunda etapa: solucionar HZU kBARRA =× )( .
O custo computacional do processo está em calcular as matrizes L e U.
2.8.2 – Obtenção da diferença entre duas colunas da matriz impedância de barra
Seja
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=−
01
1
0M
jkl
)( jkBARRAjkBARRA ZlZ −
− =× , )( jk
BARRABARRAjkBARRABARRA ZYlZY −− ×=×× ,
jkjk
BARRABARRA lZY −− =× )( , resolvido por decomposição LU da matriz YBARRA, mostrado anteriormente,
jkjk
BARRA lZUL −− =×× )( .
Exemplo 2.11. Calcular a diferença dos elementos (ZBARRA(44) – ZBARRA(45)) da matriz ZBARRA, conhecendo-se a matriz
YBARRA.
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−
=
0,200,00,200,00,00,00,200,00,00,20
0,200,00,360,160,00,00,00,162,260,100,00,200,00,100,30
jjjj
jjjjjj
jjj
YBARRA
Coluna k Coluna j
Análise de Sistemas de Potência
44
)54()44()45()44( BARRABARRABARRABARRA ZZZZ −=− , logo só é preciso calcular a coluna 4 da matriz ZBARRA.
a) fatoração LU.
Basta fazer no programa MATLAB o comando [L, U] = lu(ybarra) que o programa retorna as matrizes L e U.
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=××
0,00,10,00,00,0
)4(43421
HBARRAZUL .
Primeira etapa: 4lHL =× ,
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
×
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−
−−
0,00,10,00,00,0
0,198,081,00,00,00,00,119,029,067,00,00,00,170,00,00,00,00,00,133,00,00,00,00,00,1
5
4
3
2
1
HHHHH
.
Solução: 0,0321 === HHH ,
0,10,10,1)0,1(0,1 4445454545444 ==⇒×−=→=×+× HLHLHHLHL , 98,00,10,198,00,0 554545555454 =×=×−=→=×+× LHLHHLHL .
Segunda etapa: HZU BARRA =× )4( ,
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
×
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−
98,000,100,000,000,0
20,000,000,000,000,076,385,300,000,000,000,2067,480,2400,000,0
00,067,600,1687,2200,000,000,2000,000,1000,30
)54(
)44(
)34(
)24(
)14(
BARRA
BARRA
BARRA
BARRA
BARRA
ZZZZZ
jjj
jjjjjj
jjj
00,5)20,0(98,0555)54(5)54(55 jjUHZHZU BARRABARRA =−==→=× ,
44
)54(454)44(4)54(45)44(44 U
ZUHZHZUZU BARRA
BARRABARRABARRA×−
=→=×+× ,
15,585,3
0,576,30,1)44( j
jjjZ BARRA =
−×−
= ,
15,05444 jZZ =− . Por inversão direta da matriz YBARRA com auxílio do programa MATLAB obtém-se:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
11,500,506,500,500,500,515,500,500,510,506,500,506,500,500,500,500,500,500,500,500,510,500,500,510,5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj
Z BARRA .
Pode-se verificar da matriz ZBARRA que Z44 – Z45 = j5,1500–j5,0000 = j0,1500, que confere com o
cálculo anterior.
Análise de Sistemas de Potência
45
Capítulo 3 Fluxo de Potência 3.1 – Introdução
É o mais freqüente estudo feito nos sistemas elétricos de potência. É o estudo que fornece a solução de uma rede elétrica, em regime permanente, para uma dada condição de operação, isto é, para uma dada condição de carga e geração, sujeitas a restrições operativas e à ação de dispositivos de controle. 3.1.1 – Dados de entrada
• Dados da rede elétrica, resistência e reatância dos elementos, • Geração ativa e reativa nas barras do sistema, • Carga ativa e reativa nas barras do sistema.
3.1.2 – Condição de geração e carga 3.1.2.1 – Geração
São os valores da potência ativa (PG) e da potência reativa (QG) geradas nas barras ou o valor da potência ativa (PG) e módulo da tensão gerada (V), no caso de barras de tensão controlada. 3.1.2.2 – Carga
São os valores de potência ativa (PL) e potência reativa (QL) consumidas em cada barra do sistema onde a carga existir, consideradas constantes. 3.1.3 – Restrições operativas
São, entre outros, os limites para o fluxo de potência nas linhas e transformadores, o módulo das tensões nas barras, a capacidade de geração das máquinas. 3.1.4 – Dispositivos de controle
Ajudam a controlar algumas grandezas tais como: a) A tensão ou fluxo de reativo, modelado por transformadores com tap, injeção de reativo etc; b) Controle do fluxo de potência ativa (transformador defasador, intercâmbio entre áreas etc.)
para atender potência comprada/vendida contratada. 3.1.5 – Solução da rede
a) Calculam-se as tensões nas barras em módulo e ângulo; b) Calculam-se os fluxos de potência ativa e potência reativa nos elementos da rede.
Análise de Sistemas de Potência
46
3.1.6 – Aplicações
a) Ferramenta para análise da adequação de uma topologia do sistema para uma dada condição de geração e carga. Utilizado no planejamento, operação e controle do sistema de potência;
b) Utilizado como parte integrante de outros estudos, tais como: • Curto-circuito: cálculo das tensões pré falta; • Estabilidade: calcula a condição inicial e também calcula a solução da rede em cada passo
de integração; • Confiabilidade: conhecendo-se os dados probabilísticos de falha dos diversos componentes
da rede, estimar a probabilidade de falha de suprimento ao consumidor, a fim de torná-la menor que um percentual especificado através de investimento no sistema. O fluxo de potência serve para a verificação da adequação de cada estado com falha;
• Análise de contingência estática: o fluxo de potência é usado para analisar cada contingência (saída de equipamento por exemplo) da rede elétrica;
• Fluxo de potência ótimo: este estudo fornece a melhor topologia/configuração para minimizar o custo de operação ou minimizar as perdas. É um fluxo de potência com as restrições de um problema de otimização.
3.1.7 – Modelo da rede
Para o estudo de fluxo de potência, supõe-se o sistema equilibrado, logo só se usa a rede de seqüência positiva. Este estudo é baseado em modelo nodal e matriz admitância de barra,
VYI BARRA&& ×= .
Observação: em sistemas de distribuição usa-se a modelagem trifásica para o cálculo do fluxo de potência, pois o sistema de distribuição é essencialmente desequilibrado. 3.1.8 – Modelo matemático do fluxo de potência
a) Sistema de equações algébricas não lineares para representar a rede; b) Conjunto de inequações para representar as restrições; c) Conjunto de equações/inequações para representar o controle.
O esforço computacional está quase que todo na solução do sistema de equações, daí o uso de
método eficiente de solução. 3.1.9 – Métodos de solução
O primeiro método computacional utilizado para a solução do fluxo de potência, foi o de J. B. Ward e H. W. Hale e surgiu em junho de 1956 com o artigo ''Digital computer solution of power-flow problems''. 3.1.9.1 – Métodos baseados em YBARRA
Estes métodos têm como vantagem a formulação simples e pouca necessidade de memória devido a esparsidade de YBARRA ser maior que 95%. Como exemplo o método de Gauss-Seidel.
A desvantagem destes métodos é a convergência lenta devido ao fraco acoplamento entre variáveis (influência pequena entre barras), sendo necessárias cerca de 200 iterações para se chegar na solução do problema.
Análise de Sistemas de Potência
47
3.1.9.2 – Métodos baseados em ZBARRA
Convergem mais rápido, pois a matriz é cheia, porém necessita de muita memória pelo mesmo motivo e o custo da montagem da matriz BARRAZ é elevado. 3.1.9.3 – Método de Newton-Raphson
Tem como vantagem ser robusto, pois converge quase sempre e com poucas iterações. Além disto a convergência independe da dimensão do sistema. Usa a matriz BARRAY e a partir desta é montada a matriz jacobiana. É atualmente o método mais utilizado. 3.1.9.4 – Métodos desacoplados
Este método é uma particularização do método de Newton-Raphson em que se deixa apenas a dependência entre a tensão e a potência reativa (V e Q) e entre a potência ativa e o ângulo da tensão da barra (P e θ).
O método desacoplado rápido surgiu em 1974 e é atribuído a Brian Stott e Alsaç. Tem como vantagem ser rápido e utilizar pouca memória. A desvantagem é que só pode ser aplicado a sistemas com características apropriadas. 3.1.9.5 – Fluxo de potência linear
Este é um método aproximado de solução que analisa somente o fluxo de potência ativa, também chamado de fluxo DC. 3.2 – Formulação do problema de fluxo de potência em variáveis complexas
Seja a barra k com geração, carga e linhas. A Figura 3.1 exemplifica esta barra.
Figura 3.1 – Barra com geração, carga e linhas
Nos estudos de fluxo de potência calcula-se a injeção líquida de potência em cada barra, ou seja, calcula-se para cada barra k:
LkGkk PPP −= ,
LkGkk QQQ −= ,
kkk jQPS +=& . Considerando-se a injeção líquida de potência, a Figura 3.2 é a representação da Figura 3.1 para se
adequar à equação VYI BARRA&& ×= onde kI& é a injeção de corrente na barra k.
~
PGk
QGk
PLk QLk
k
Geração
Análise de Sistemas de Potência
48
Figura 3.2 – Figura 3.1 com injeção de potência líquida na barra
***
k
kkk
k
kkkkkkkk V
jQPIV
jQPIjQPIVS&
&&
&&&& −=⇒
+=→+=×= .
Das equações nodais tem-se:
∑=
×=n
mmkmk VYI
1
&& ,
∑=
×=n
mmkmk VYI
1
*** && ,
que só se aplicam às barras conectadas com a barra k.
As equações do fluxo de potência na forma complexa são:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛××=×=+= ∑
=
n
mmkmkkkkkk VYVIVjQPS
1
*** &&&&& , k = 1, n, (3.1)
que é a injeção líquida de potência na barra k em função dos parâmetros da rede e das tensões nas barras. 3.2.1 – Equações do fluxo de potência em variáveis reais e na forma polar
É comum o desmembramento da equação complexa em duas equações reais, para P e para Q. { }kk SP &Re= ,
{ }kk SQ &Im= .
a) Equação para a potência ativa P.
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛××= ∑
=
*
1
*Re m
n
mkmkk VYVP && , k = 1, n.
Sabendo-se que kkk VV θ∠=& , mmm VV θ∠=& , kmkmkm jBGY += vem:
( )⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−∠×−×∠= ∑
=
n
mmmkmkmkkk VjBGVP
1
Re θθ , k = 1, n.
Colocando-se kkV θ∠ para dentro do somatório vem:
( )⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−∠×−×∠= ∑=
n
mmmkmkmkkk VjBGVP
1
Re θθ , k = 1, n,
Pk
~
Qk
k
Análise de Sistemas de Potência
49
( )⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−×−∠×= ∑=
n
mkmkmmkmkk jBGVVP
1
)(Re θθ , k = 1, n,
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−∠××−−∠××= ∑=
n
mmkkmmkmkkmmkk BVjVGVVP
1
)()(Re θθθθ , k = 1, n.
Chamando-se (θk – θm) de θkm e extraindo-se a parte real vem:
{ }∑=
−×××+×××=n
mkmkmmkkmkmmkk BVVGVVP
1
0 )90cos()cos( θθ , k = 1, n.
Colocando-se Vk para fora do somatório, Vm em evidência e utilizando-se a identidade
)()90cos( 0 αα sen=− vem:
{ }⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡×+×××= ∑
=
n
mkmkmkmkmmkk senBGVVP
1
)()cos( θθ , k = 1, n. (3.2)
b) Equação para a potência reativa Q.
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛××= ∑
=
*
1
*Im m
n
mkmkk VYVQ && , k = 1, n.
Sabendo-se que kkk VV θ∠=& , mmm VV θ∠=& , kmkmkm jBGY += vem:
( )⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−∠×−×∠= ∑
=
n
mmmkmkmkkk VjBGVQ
1
Im θθ , k = 1, n.
Colocando-se kV para dentro do somatório vem:
( )⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−∠×−×∠= ∑=
n
mmmkmkmkkk VjBGVQ
1
Im θθ , k = 1, n,
( )⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−×−∠×= ∑=
n
mkmkmmkmkk jBGVVQ
1
)(Im θθ , k = 1, n,
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−∠××−−∠××= ∑=
n
mmkkmmkmkkmmkk BVjVGVVQ
1
)()(Im θθθθ , k = 1, n.
Chamando-se (θk – θm) de θkm e extraindo-se a parte real vem:
{ }∑=
−×××+×××=n
mkmkmmkkmkmmkk senBVVsenGVVQ
1
0 )90()( θθ , k = 1, n.
Colocando-se Vk para fora do somatório, Vm em evidência e utilizando-se a identidade
)cos()90( 0 αα −=−sen vem:
{ }⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡×−×××= ∑
=
n
mkmkmkmkmmkk BsenGVVQ
1
)cos()( θθ , k = 1, n. (3.3)
Análise de Sistemas de Potência
50
Exemplo 3.1. Escrever as equações do fluxo de potência da Figura 3.3 na forma complexa e na forma de variável
real polar.
Figura 3.3 – Circuito exemplo da formulação das equações do fluxo de potência
Equações na forma complexa. De acordo com a Equação 3.1 vem:
( )*3132121111111 VYVYVYVjQPS GG&&&&& ×+×+××=+= ,
( )*3232221212222 VYVYVYVjQPS GG&&&&& ×+×+××=+= ,
( )*3332321313333 VYVYVYVjQPS LL&&&&& ×+×+××=−−= .
Equações em variáveis reais e na forma polar. De acordo com as Equações 3.2 e 3.3 vem:
{ } { }[ +×+××+×+×××= )()cos()()cos( 12121212211111111111 θθθθ senBGVsenBGVVP { }])()cos( 131313133 θθ senBGV ×+××+ ,
{ } { }[ +×+××+×+×××= )()cos()()cos( 22222222221212121122 θθθθ senBGVsenBGVVP
{ }])()cos( 232323233 θθ senBGV ×+××+ ,
{ } { }[ +×+××+×+×××= )()cos()()cos( 32323232231313131133 θθθθ senBGVsenBGVVP { }])()cos( 333333333 θθ senBGV ×+××+ .
{ } { }[ +×−××+×−×××= )cos()()cos()( 12121212211111111111 θθθθ BsenGVBsenGVVQ
{ }])cos()( 131313133 θθ ×−××+ BsenGV ,
{ } { }[ +×−××+×−×××= )cos()()cos()( 22222222221212121122 θθθθ BsenGVBsenGVVQ { }])cos()( 232323233 θθ ×−××+ BsenGV ,
{ } { }[ +×−××+×−×××= )cos()()cos()( 32323232231313131133 θθθθ BsenGVBsenGVVQ
{ }])cos()( 333333333 θθ ×−××+ BsenGV .
3
2 1E&
∼ ∼
2E& 1
PG1 + jQG1 PG2 + jQG2
PL3 + jQL3
Análise de Sistemas de Potência
51
3.2.2 – Conceito de barra flutuante ou swing ou slack
As perdas do sistema não estão representadas nas equações do fluxo de potência. A barra flutuante é responsável pelo suprimento de todas as perdas do sistema e por isto não tem a geração fixada. A geração da barra flutuante é calculada após a solução do problema.
Do Exemplo 3.1 tem-se portanto que totaisativasperdasLGG PPPP __321 +=+ , que só são conhecidas após a solução do fluxo de potência.
Suponha que a barra 1 do exemplo 3.1 seja flutuante, logo 11 GG jQP + não é um dado do problema, logo elimina-se a primeira equação do sistema posto na forma complexa, logo o sistema fica:
( )*3232221212222 VYVYVYVjQPS GG
&&&&& ×+×+××=+= ,
( )*3332321313333 VYVYVYVjQPS LL&&&&& ×+×+××=−−= .
A equação relativa a barra 1 foi eliminada. Tem-se 2 equações e três incógnitas. O processo
consiste em fixar uma incógnita, no caso 1V& . Após se encontrar a solução, 2V& e 3V& , calculam-se P1 e Q1. A barra flutuante é uma barra de tensão controlada e referência de ângulo para o sistema. 3.2.3 – Tipos de barras 3.2.3.1 – Barra flutuante ou swing ou slack ou Vθ
Esta barra existe para suprir as perdas do sistema, desconhecidas até a solução da rede. Só existe uma barra flutuante em todo o sistema.
Dados de entrada: Vk, θk. Calculado nesta barra: Pk, Qk.
3.2.3.2 – Barra de carga ou PQ
Não existe qualquer controle de tensão nesta barra. A maioria das barras é deste tipo, cerca de 95% do total de barras.
Dados de entrada: Pk, Qk. Calculado nesta barra: Vk, θk. A barra de carga pode ter gerador, só que este fornecerá P e Q constantes durante todo o processo
de cálculo. 3.2.3.3 – Barra de tensão controlada ou PV
Existem dispositivos de controle que permitem manter o módulo da tensão e a injeção de potência ativa em valores especificados tais como gerador e compensador síncrono. Algumas das barras do sistema são deste tipo, representando 5% do total de barras.
Dados de entrada: Pk, Vk. Calculado nesta barra: Qk, θk.
3.2.4 – Sistema de equações do fluxo de potência
Devido à variedade de tipos de barras, o sistema de equações que descreve o sistema elétrico é dividido em dois subsistemas.
Análise de Sistemas de Potência
52
3.2.4.1 – Subsistema 1
Este subsistema contém as equações que devem ser resolvidas para se encontrar a solução do fluxo de potência, ou seja, módulo e ângulo das tensões nas barras.
),( θVPP kk = , { }PVPQk ,∈ , barras de carga e de tensão controlada, ),( θVQQ kk = , { }PQk∈ , barras de carga.
3.2.4.2 – Subsistema 2
As incógnitas aqui contidas são determinadas por substituição das variáveis calculadas no sub-sistema 1.
),( θVPP kk = , { }θVk ∈ , barra flutuante, ),( θVQQ kk = , { }PVVk ,θ∈ , barra flutuante e barras de tensão controlada.
Exemplo 3.2. Escrever as equações do sistema da Figura 3.4 na forma real polar, separando-as nos subsistemas 1
e 2. As variáveis especificadas estão mostradas na própria Figura 3.4.
Figura 3.4 – Sistema do exemplo 3.2
Subsistema 1 na forma real polar.
{ }⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡×+×××= ∑
=
3
1222222 )()cos(
mmmmmm senBGVVP θθ ,
{ }⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡×+×××= ∑
=
3
1333333 )()cos(
mmmmmm senBGVVP θθ ,
{ }⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡×−×××= ∑
=
3
1333333 )cos()(
mmmmmm BsenGVVQ θθ .
A solução das três equações acima fornece θ2, θ3, V3. Para se determinar as outras variáveis (P1, Q1, Q2) basta substituir as variáveis calculadas no
subsistema 1 no subsistema 2.
1E&
3
2
∼ ∼ 2E&
1
V1, θ1
Q3P3
V2, P2
Análise de Sistemas de Potência
53
Subsistema 2 na forma real polar.
{ }⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡×+×××= ∑
=
3
1111111 )()cos(
mmmmmm senBGVVP θθ ,
{ }⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡×−×××= ∑
=
3
1111111 )cos()(
mmmmmm BsenGVVQ θθ ,
{ }⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡×−×××= ∑
=
3
1222222 )cos()(
mmmmmm BsenGVVQ θθ .
Observação: Número de equações para solucionar um sistema elétrico
Seja sistema elétrico com n barras onde l destas barras são barras de tensão controlada e uma é a barra flutuante.
O número de equações do sistema na forma real polar é 22 −−× ln . Seja o caso do sistema brasileiro com 2.000 barras sendo 100 barras de tensão controlada. O
número de equações a serem resolvidas é 898.32100000.4 =−− . Conclui-se deste número que o método de solução deve ser eficiente. 3.3 – Fluxo de Potência pelo Método de Gauss-Seidel 3.3.1 – Revisão do método de Jacobi
Seja sistema de equações lineares
nnnnnnnn
nn
nn
bxaxaxaxaxa
bxaxaxaxaxabxaxaxaxaxa
=×++×+×+×+×
=×++×+×+×+×=×++×+×+×+×
L
LLLLLLLLLLLLLLL
L
L
44332211
22424323222121
11414313212111
Reescrevendo-se o sistema para explicitar as variáveis da diagonal principal vem:
( )
( )
( )1144332211
2424323121222
2
1414313212111
1
1
1
1
−− ×−−×−×−×−×−×=
×−−×−×−×−×=
×−−×−×−×−×=
nnnnnnnnnn
n
nn
nn
xaxaxaxaxaba
x
xaxaxaxaba
x
xaxaxaxaba
x
L
LLLLLLLLLLLLLLL
L
L
(3.4)
O método de Jacobi consiste em iniciar o processo de solução com valores arbitrados. Sejam
)0()0(2
)0(1 ,,, nxxx L os valores arbitrados para a primeira iteração, onde o sobrescrito corresponde a
iteração. A partir deste conjunto, substituindo-o nas Equações 3.4 obtém-se o conjunto )1()1(2
)1(1 ,,, nxxx L
mais próximo da solução procurada. A próxima etapa consiste em substituir nas Equações 3.4 os valores recém obtidos. O processo se repete até que convergência seja obtida. Aplicando-se a primeira iteração ao sistema de Equações 3.4 vem:
( )( )
( ))0(11
)0(44
)0(33
)0(22
)0(11
)1(
)0(2
)0(424
)0(323
)0(1212
22
)1(2
)0(1
)0(414
)0(313
)0(2121
11
)1(1
1
1
1
−− ×−−×−×−×−×−×=
×−−×−×−×−×=
×−−×−×−×−×=
nnnnnnnnnn
n
nn
nn
xaxaxaxaxaba
x
xaxaxaxaba
x
xaxaxaxaba
x
L
LLLLLLLLLLLLLLLLLL
L
L
Análise de Sistemas de Potência
54
3.3.2 – O método de Gauss-Seidel
Este método, da mesma forma que o método de Jacobi, não é atualmente utilizado para solucionar um sistema elétrico de potência por ser muito lento, porem é muito didático. Encontra utilização na melhoria dos valores arbitrados para início de um outro método mais eficiente.
O método de Gauss-Seidel é um aperfeiçoamento do método de Jacobi e difere deste somente quanto ao conjunto de valores substituídos nas Equações 3.4. A diferença é que os valores substituídos são aqueles mais recentes, ou seja, à medida que os valores são determinados, estes são utilizados no processo de substituição, ou seja,
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×−×−×= ∑ ∑
−
= +=
++1
1 1
)()1()1( 1 k
m
n
km
imkm
imkmk
kk
ik xaxab
ax , k = 1, n.
Seja conjunto de valores arbitrados )0()0(
2)0(
1 ,,, nxxx L . Notar que a condição inicial da variável )0(1x é
desnecessária para este sistema, porém no caso geral a mesma variável pode aparecer em ambos os lados do sinal de igual. As variáveis calculadas são utilizadas na mesma iteração, ou seja, para a primeira iteração:
( )( )
( ))1(11
)1(44
)1(33
)1(22
)1(11
)1(
)0(2
)0(424
)0(323
)1(1212
22
)1(2
)0(1
)0(414
)0(313
)0(2121
11
)1(1
1
1
1
−− ×−−×−×−×−×−×=
×−−×−×−×−×=
×−−×−×−×−×=
nnnnnnnnnn
n
nn
nn
xaxaxaxaxaba
x
xaxaxaxaba
x
xaxaxaxaba
x
L
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
L
L
Generalizando-se o processo vem:
( )( )
( ))1(11
)1(44
)1(33
)1(22
)1(11
)1(
)(2
)(424
)(323
)1(1212
22
)1(2
)(1
)(414
)(313
)(2121
11
)1(1
1
1
1
+−−
+++++
++
+
×−−×−×−×−×−×=
×−−×−×−×−×=
×−−×−×−×−×=
innn
in
in
in
inn
nn
in
inn
iiii
inn
iiii
xaxaxaxaxaba
x
xaxaxaxaba
x
xaxaxaxaba
x
L
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
L
L
O método de Gauss-Seidel usa formulação das equações do sistema elétrico de potência em
números complexos, o que resulta em uma equação por barra, excetuando-se a barra flutuante. *
1
*⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛××=×=+= ∑
=
n
mmkmkkkkkk VYVIVjQPS &&&&& , k ≠ flutuante,
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛××=×=−= ∑
=
n
mmkmkkkkkk VYVIVjQPS
1
*** &&&&& , k ≠ flutuante.
Seja o sistema de três barras mostrado na Figura 3.4, onde a barra 1 é a barra flutuante e não existe
barra de tensão controlada (PV). ( )323222121
*222 VYVYVYVjQP &&&& ×+×+××=− , logo:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×−×−
−×= 323121*
2
22
222
1 VYVYV
jQPY
V &&&
& ,
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×−×−
−×= 232131*
3
33
333
1 VYVYV
jQPY
V &&&
& .
Análise de Sistemas de Potência
55
Do sistema acima as seguintes variáveis são conhecidas: →11,θV constantes durante todo o processo, pois pertencem à barra flutuante,
→3322 ,,, QPQP constantes durante todo o processo, pois pertencem à barra PQ. As variáveis calculadas são 3322 ,,, θθ VV .
3.3.3 – Critério de convergência do método de Gauss-seidel
ε≤−=Δ − )1()( ik
ikk VVV && especificado, geralmente entre 10–4 e 10–6.
O método de Gauss-Seidel nem sempre converge, além de ser lento. Para que haja convergência é importante que o conjunto de valores arbitrados esteja próximo da solução. 3.3.4 – Fórmula geral do método de Gauss-Seidel aplicado ao fluxo de potência
A seguir a fórmula geral do método de Gauss-Seidel onde i corresponde a iteração e { }nk ,2∈ é a barra do sistema. Esta equação considera a barra 1 flutuante.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×−×−
−×= ∑∑
+=
−
=
++n
km
imkm
k
m
imkmi
k
kk
kk
ik VYVY
VjQP
YV
1
)(1
1
)1()(*
)1( 1 &&&
& , k = 2,n. (3.5)
3.3.5 – Melhoria do método de Gauss-Seidel
O fator de aceleração α é utilizado na tentativa de se chegar na solução do sistema de equações com menos iterações.
Figura 3.5 – Fator de aceleração
)()1()1( i
ki
ki
k VVV −=Δ ++ , )1()()1)(( ++ Δ×+= i
ki
kiacelerado
k VVV α . Na prática, para os sistemas elétricos de potência, o valor de α é 1,6. Este método é utilizado para as primeiras iterações do método de Newton-Raphson.
3.3.6 – Tratamento no caso de existir barra PV
Problema: Qk não é especificado e Vk é especificado. Solução: a) Calcular )(calculado
kQ a cada iteração com a equação:
( ) IVSIVSIVS &&&&&&&& ×=→×=→×= ****** ,
{ }IVQjQPSjQPS &&&& ×−=→−=→+= ** Im , logo
V(0) V(1) V(acelerado)(1)
solução
Análise de Sistemas de Potência
56
{ })1()1()1)(( Im +++ ×−= ik
ik
icalculadok IVQ && ,
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛××−= ∑
=
+++n
m
imkm
ik
icalculadok VYVQ
1
)1()1(*)1)(( Im && . (3.6)
b) Calcular o valor da tensão:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×−×−
−×= ∑∑
+=
−
=
++
+n
km
imkm
k
m
imkm
k
icalculadokk
kk
iprovisóriok VYVY
VjQP
YV
1
)(1
1
)1(*
)1)(()1)(( 1 &&
&& .
Desta equação sai calculado )1)(()1)(( ++ ∠ iprovisório
kiprovisório
kV θ . Como Vk é especificado, só aproveito o argumento da tensão provisória calculada, logo
)1)(()()1( ++ ∠= iprovisóriok
doespecificak
ik VV θ& .
Exemplo 3.3. Desenvolver as três primeiras iterações do método de Gauss-Seidel do sistema mostrado na Figura
3.6.
Figura 3.6 – Sistema do exemplo 3.3
Considerar condição inicial flat-start, ou seja, 0)0(
2 0=θ , 0)0(
3 00,1 ∠=V& . Determinação da matriz YBARRA
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−=
0,50,100,50,100,50,50,100,100,100,100,100,10
jjjjjjjjjjjj
YBARRA = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
0,150,50,100,50,150,100,100,100,20
jjjjjjjjj
.
Dados fixos: 0
1 00,1 ∠=V& , 0,32 =GP , 1,12 =V , 5,43 −=LP , 5,03 −=LQ .
Condições iniciais: 0)0(2 0=θ , 0)0(
3 00,1 ∠=V& . Variáveis livres: 2GQ .
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×−×−
−×= ∑∑
+=
−
=
++n
km
imkm
k
m
imkmi
k
kk
kk
ik VYVY
VjQP
YV
1
)(1
1
)1()(*
)1( 1 &&&
& , k = 2,n.
Formulação complexa. A barra 1 é a barra flutuante.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×−×−
−×= 323121*
2
22
222
1 VYVYV
jQPY
V GG &&&
& , substituindo-se os valores fixos vem:
QL3 = 0,5 pu
2E&
1E&
3
2
∼ ∼
1
1V& =1,0∠00
PL3 = 4,5 pu
PG2 = 3,0 pu V2 = 1,1 pu
–j5,0
–j10,0
–j10,0
Análise de Sistemas de Potência
57
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×−×−
−∠−
×−
= 32
22 0,50,10,10
1,10,3
0,151 VjjjQ
jV G &&
θ.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×−×−
+−×= 232131*
3
33
333
1 VYVYV
jQPY
V LL &&&
& , substituindo-se os valores fixos vem:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∠×−×−
+−×
−= 01,10,50,10,105,05,4
0,151
*3
3 jjV
jj
V&
& .
Estimar valor de 2GQ , pois pertence a barra de tensão controlada. Aplicando-se a Equação 3.6 vem:
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛××−= ∑
=
++n
mmkm
ik
icalciladok VYVQ
1
)1(*)1)(( Im &&
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛××−=→ ∑
=
n
mmm
calculado VYVQ1
2*2
)(2 Im && .
Expandindo-se a expressão de Q vem:
( ){ }323222121*2
)(2 Im VYVYVYVQ estimado &&&& ×+×+××−= .
Substituindo-se os valores fixos vem:
( ){ }3320
2)(
2 0,51,10,1500,10,101,1Im θθθ ∠×+∠×−∠××−∠−= VjjjQ estimado . Primeira iteração.
( ){ }0000)(2 00,10,501,10,1500,10,1001,1Im ∠×+∠×−∠××∠−= jjjQ estimado ,
{ } 65,165,1Im )(2
)(2 =⇒−−= estimadoestimado QjQ .
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∠×−×−
−∠−
×−
= 0
22 00,10,50,10,10
1,165,10,3
0,151 jjjj
Vθ
& ,
( ) 02 39,911,15,1673,2
0,15∠=−×= jjV& . Como a tensão 2V é especificada tem-se: 0
2 39,91,1 ∠=V& .
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∠×−×−
∠
+−×
−= 0
03 39,91,10,50,10,1000,1
5,05,40,15
1 jjjj
V& .
( )03 39,91,10,50,105,05,4
0,151
∠×−−+−×−
= jjjj
V&
( )03 61,805,55,95,4
0,15−∠+−−×= jjV&
( )43,590,05,95,40,153 jjjV −+−−×=&
( )93,1460,30,153 jjV −−×=&
03 57,1302,124,099,0 −∠=−= jV&
Análise de Sistemas de Potência
58
3.4 – Fluxo de potência pelo Método de Newton-Raphson 3.4.1 – Revisão do método no caso monovariável, f(x) = 0
Solução de sistemas algébricos não lineares.
Figura 3.7 – Revisão monovariável do método de Newton-Raphson
Algoritmo:
1) Arbitrar condição inicial x(0) e fixar a iteração i = 0.
2) Calcular ( ))(ixf e verificar a convergência. Se ( ) ε≤)(ixf , parar.
3) Fazer 1+= ii . Linearizar a função em torno de ( ))(, )()( ii xfx usando parte da série de Taylor,
)(
)(
)()()(
)(
)()()( i
x
iii xdx
xdfxfxxfi
Δ×+=Δ+ .
4) Solucionar o sistema linearizado
( ) 0)( )(
)(
)(
)(=Δ×+ i
x
i xdx
xdfxfi
,
que tem como solução:
( )( ) )(
)()(
)()( ix
ii
dxxdfxfx −=Δ .
5) Atualizar a solução do problema
)()()1( iii xxx Δ+=+ .
6) Voltar ao passo 2.
x
f(x)
x(0)x(1)x(2)
f(x(0))
f(x(3))
f(x(1))
f(x(2)) x(3)
Análise de Sistemas de Potência
59
3.4.2 – Revisão do método no caso multivariável, F(x) = [0]
Sejam [ ]tnfffF L21=
[ ]tnxxxx L21=
1) Arbitrar condição inicial x(0) e fixar a iteração i = 0.
2) Calcular ( ))(ixF e verificar a convergência. Se ( ){ } ε≤)(max ixF , parar.
3) Fazer 1+= ii . Linearizar a função em torno de ( ))(, )()( ii xFx usando parte da série de Taylor,
( ) ( ) ( ) )()()()()( iiiii xxJxFxxF Δ×+=Δ+ ,
onde ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∂∂
=xFJ é a matriz jacobiana.
4) Solucionar o sistema linearizado
( ) ( ) 0)()()( =Δ×+ iii xxJxF , cuja solução é a solução de ( ) ( ) )()()( iii xxJxF Δ×−= ,
que é do tipo xAb ×= .
5) Atualizar a solução do problema
)()()1( iii xxx Δ+=+ .
6) Voltar ao passo 2. 3.4.3 – Aplicação do método de Newton-Raphson na solução do fluxo de potência
Equações básicas do subsistema 1, a serem solucionadas:
{ }⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡×+×××= ∑
=
n
mkmkmkmkmmkk senBGVVP
1
)()cos( θθ , { }PVPQk ,∈ ,
{ }⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡×−×××= ∑
=
n
mkmkmkmkmmkk BsenGVVQ
1
)cos()( θθ , { }PQk ∈ .
Resíduos de potência (power mismatches)
),()()( θVPPP calculadok
doespecificakk −=Δ , { }PVPQk ,∈ ,
),()()( θVQQQ calculadok
doespecificakk −=Δ , { }PQk ∈ .
Sistema a ser solucionado pelo método de Newton-Raphson:
⎩⎨⎧
=Δ=Δ
00
k
k
QP
{ }{ }PQk
PVPQk∈
∈ ,.
Análise de Sistemas de Potência
60
Considera-se sistema com n barras, sendo que: Barras PQ: barras de 1 a l, Barras PV: barras de l + 1 a n – 1, Barra Vθ: barra n.
[ ]tln QQQPPPF ΔΔΔΔΔΔ= − LL 21121
[ ]tln VVVx LL 21121 −= θθθ
( ) )()()()( )( iiii xxJxF Δ×−= , que em forma matricial é: )(
)()( i
ii
VJ
QP
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
×−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ θ
, que está na forma xAb ×= .
Atualização das variáveis de estado: )()()1( iii
VVV ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+ θθθ
.
Convergência: { } pP ε≤Δmax e { } qQ ε≤Δmax .
3.4.4 – Matriz jacobiana geral
Seja [ ]tnfffF L21= e as variáveis x1, x2, ..., xn.
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=×
n
nnn
n
n
nn
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
J
L
MMMM
L
L
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
)( .
3.4.5 – Matriz Jacobiana aplicada à solução do fluxo de potência
1
111
1
111 θ∂
Δ∂=→
∂∂
=PJ
xfJ ,
( )1
1
1
)(1
1
)(1
)(1
1
1
θθθθ ∂∂
−=∂
∂−=
∂−∂
=∂Δ∂ PPPPP calculadocalculadooepecificad
.
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
−=
−
−
−
−−−
−
−−−
−
−
+−×+−
l
lll
n
lll
ln
ln
l
nnn
n
nnn
ln
ln
lnln
VQ
VQ
VQQQQ
LMVQ
VQ
VQQQQ
VQ
VQ
VQQQQ
VP
VP
VPPPP
NHVP
VP
VPPPP
VP
VP
VPPPP
J
LL
MMMMMM
LL
LL
LL
MMMMMM
LL
LL
21121
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
2
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
2
1
1
1
)1()1(
θθθ
θθθ
θθθ
θθθ
θθθ
θθθ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
LMNH
J
Análise de Sistemas de Potência
61
θ∂∂
=−×−PH nn )1()1( ,
VPN ln ∂∂
=×− )1( ,
θ∂∂
=−×QM nl )1( ,
VQL ll ∂∂
=× .
)()()( iii
VLMNH
QP
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ θ
.
RESUMO DO MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
Equações do subsistema 1:
( )∑=
×+×××=n
mkmkmkmkmmkk senBGVVP
1
)()cos( θθ , { }PVPQk ,∈ ,
( )∑=
×−×××=n
mkmkmkmkmmkk BsenGVVQ
1
)cos()( θθ , { }PQk∈ .
Sistema a ser solucionado:
)()( calculadok
doespecificakk PPP −=Δ , { }PVPQk ,∈ ,
)()( calculado
kdoespecifica
kk QQQ −=Δ , { }PQk∈ . Sistema matricial:
)()(
)( ii
i
VJ
QP
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
×−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ θ
que está na forma xAb ×= .
Atualizando-se as variáveis vem:
)()()1( iii
VVV ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+ θθθ
,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
LMNH
J
θ∂∂
=−×−PH nn )1()1( ,
VPN ln ∂∂
=×− )1(
θ∂∂
=−×QM nl )1( ,
VQL ll ∂∂
=×
3.4.6 – Algoritmo da Solução do Fluxo de Potência pelo Método de Newton-Raphson:
1) Montar a matriz YBARRA. 2) Arbitrar condições iniciais das variáveis de estado ),( )0()0( Vθ e fazer i = 0. 3) Calcular kPΔ e kQΔ e verificar convergência. Se { } pkP ε≤Δmax e { } qkQ ε≤Δmax parar.
)()( calculadok
doespecificakk PPP −=Δ , { }PVPQk ,∈ ,
)()( calculadok
doespecificakk QQQ −=Δ , { }PQk ∈ .
4) Fazer 1+= ii . Montar a matriz jacobiana J(i).
Análise de Sistemas de Potência
62
5) Solucionar o sistema linearizado )(
)()( i
ii
VJ
QP
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
×−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ θ
.
6) Atualizar a solução do problema
)()()1( iii
VVV ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+ θθθ
.
7) Voltar para o passo 3.
Exemplo 3.4. No sistema da Figura 3.8 são dados: 332211 ,,,,, QPVPV θ . Calcular no processo iterativo 332 ,, Vθθ .
Após a convergência calcular 211 ,, QQP .
Figura 3.8 – Sistema do exemplo 3.4
A equação do subsistema 1 é:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΔΔΔ
×−=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΔΔΔ
3
3
2
3
3
2
VJ
QPP
θθ
,
)(
3
3
2)(
3
3
2)1(
3
3
2iii
VVV ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΔΔΔ
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
θθ
θθ
θθ
.
Matriz jacobiana, no caso de dimensão 3, (n - 1 + l) = 3 - 1 + 1.
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
−=
3
32
3
3
2
3
3
3
3
3
2
3
3
2
3
2
2
2
VQQQVPPPVPPP
J
θθ
θθ
θθ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
333332
333332
232322
LMMNHHNHH
J
3
2 1E&
∼
2E&
∼
1
V, θ P, V
P, Q
Análise de Sistemas de Potência
63
3.4.7 – Elementos das submatrizes H, N, M, L do Jacobiano
{ })cos()( kmkmkmkmmkm
kkm BsenGVVPH θθ
θ×−×××=
∂∂
= ,
{ }⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡×−×××−×−=
∂∂
= ∑∈km
kmkmkmkmmkkkkk
kkk BsenGVVBVPH )cos()(2 θθ
θ,
{ })()cos( kmkmkmkmkm
kkm senBGV
VPN θθ ×+××=
∂∂
= ,
{ }∑∈
×+××+×=∂∂
=km
kmkmkmkmmkkkk
kkk senBGVGV
VPN )()cos( θθ ,
{ })()cos( kmkmkmkmmkm
kkm senBGVVQM θθ
θ×+×××−=
∂∂
= ,
{ }⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡×+×××+×−=
∂∂
= ∑∈km
kmkmkmkmmkkkkk
kkk senBGVVGVQM )()cos(2 θθ
θ,
{ })cos()( kmkmkmkmkm
kkm BsenGV
VQL θθ ×−××=∂∂
= ,
{ }∑∈
×−××+×−=∂∂
=km
kmkmkmkmmkkkk
kkk BsenGVBV
VQL )cos()( θθ .
onde kk se refere ao termo da diagonal (k) e km se refere ao termo fora da diagonal (linha k, coluna m). 3.4.8 – Estrutura do jacobiano
1) Os elementos fora da diagonal principal correspondentes a barras não diretamente conectadas são nulos, ou seja, o jacobiano é altamente esparso.
{ })cos()( kmkmkmkmmkkm BsenGVVH θθ ×−×××= . Se as barras k e m não estão diretamente conectadas, 0== kmkm BG , logo 0=kmH .
2) As matrizes H, N, M, L têm estrutura semelhante à da matriz YBARRA, exceto pelas linhas e
colunas não representadas. Se todas as barras forem PQ, a estrutura do jacobiano será semelhante a estrutura de YBARRA, e as submatrizes (H, M, N, L) são quadradas. As matrizes H, N, M, L são simétricas em estrutura. Se existe H12 existe H21, no caso de matriz quadrada.
3) O jacobiano é assimétrico em valores, assim como H, M, N, L, porém são simétricos em
estrutura, isto é, em relação a posição dos zeros, pois )()( mkkm sensen θθ −= e )cos()cos( mkkm θθ = .
Análise de Sistemas de Potência
64
Exemplo 3.5. Escrever a matriz jacobiana do sistema da Figura 3.9 em termos dos elementos das matrizes H, M,
N, L.
Figura 3.9 – Sistema do exemplo 3.5
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΔΔΔΔΔ
×
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΔΔΔΔΔ
2
1
3
2
1
222322
111311
3231333231
222322
111311
2
1
3
2
1
0000
0000
VV
LMMLMM
NNHHHNHH
NHH
QQPPP
θθθ
Exemplo 3.6. A Figura 3.10 mostra um sistema elétrico formado por duas barras. Resolvê-lo pelo método de
Newton-Raphson. Considerar a tolerância em ΔP = ε = 0,003. Considerar 0)0(2 0=θ . (Dados em pu na
base do sistema).
Figura 3.10 – Sistema exemplo para o método de Newton-Raphson
Dados das barras
Barra Tipo P Q V θ 1 Vθ ––– ––– 1,0 0,0 2 PV –0,4 ––– 1,0 –––
Dados da linha
Linha r x bshunt
1-2 0,2 1,0 0,02
(0,2 + j1,0) Vθ PV
jbshunt = j0,02 jbshunt = j0,02
2 1
3 2
14
∼
V, θ
∼
P, Q
P, V P, Q
Compensador síncrono
Análise de Sistemas de Potência
65
1) Montar YBARRA 96,019,0)0,12,0(112 jjY −=+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−+−−
=94,019,096,019,096,019,094,019,0
jjjj
YBARRA .
BARRABARRABARRA jBGY += ,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
19,019,019,019,0
BARRAG ,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
94,096,096,094,0
BARRAB .
2) Teste de convergência com relação às condições iniciais, i = 0
{ }⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡×+×××= ∑
=
n
mkmkmkmkmmkk senBGVVP
1
)()cos( θθ ,
{ } { }[ ])()cos()()cos( 22222222221212121122 θθθθ senBGVsenBGVVP ×+××+×+×××= , { } { }[ ]22221212121122 )()cos( GVsenBGVVP ×+×+×××= θθ , { }[ ]1923076922,00,1)(9615384613,0)cos(1923076922,00,10,1 21212 ×+×+×−××= θθ senP ,
1923076922,0)(9615384613,0)cos(1923076922,0 222 +×+×−= θθ senP ,
1923076922,0)0(9615384613,0)0cos(1923076922,0 002 +×+×−= senP ,
00,0)0(2 =P .
0,04,04,0 )0(2
)(2
)(22 −−=−−=−=Δ PPPP calculadodoespecifica ,
4,02 −=ΔP . ε>Δ 2P , não convergiu. O processo começa.
3) Processo iterativo de Newton-Raphson Primeira iteração, i = i + 1 = 1.
{ 2222
θΔ×−=ΔH
JP .
{ } }]{[ )cos()()cos()( 2222222222121212112222
222 θθθθ ×−××+×−×××−×−= BsenGVBsenGVVBVH ,
{ } { }[ ]2222121212112222
222 )cos()( BVBsenGVVBVH ×+×−×××−×−= θθ ,
94,0)cos(96,0)(19,094,0 212122 −×+×+= θθsenH ,
96,0)1(22 =H .
[ ] )4,0(96,01
21
222 −×=Δ×=Δ − PHθ ,
416,02 −=Δθ rad.
416,0416,00,02)0(
2)1(
2 −=−=Δ+= θθθ rad.
19,0)416,0(96,0)416,0cos(19,02 +−×+−×−= senP ,
37,0)1(2 −=P .
03,037,040,02 −=+−=ΔP . 03,02 −=ΔP . ε>Δ 2P . Não convergiu. O processo continua.
Segunda iteração, i = i + 1 = 2.
94,0)416,0cos(96,0)416,0(19,094,022 −−×+−×+= senH ,
.80,0)2(22 =H
Análise de Sistemas de Potência
66
[ ] )03,0(80,01
21
222 −×=Δ×=Δ − PHθ ,
034,02 −=Δθ rad.
45,0034,0416,0)1(2
)2(2 −=−−=Δ+= θθθ rad.
19.0)45,0(96,0)45,0cos(19,02 +−×+−×−= senP ,
399,0)2(2 −=P .
001,0399,040,02 −=+−=ΔP . ε<Δ 2P . O processo convergiu. Solução encontrada para todas as variáveis de estado, ou seja, V e θ.
45,00,1222 −∠=∠= θVV& rad 079,250,1 −∠= .
4) Solução do subsistema 2: substituição das variáveis.
{ }⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡×+×××= ∑
=
n
mkmkmkmkmmkk senBGVVP
1
)()cos( θθ .
Expandindo-se a equação acima para este exemplo:
{ } { }[ ])()cos()()cos( 12121212211111111111 θθθθ senBGVsenBGVVP ×+××+×+×××= . Simplificando-se a expressão vem:
{ } { }[ ])()cos( 12121212211111 θθ senBGVGVVP ×+××+××= . Substituindo-se valores fixos vem:
{ } {[ )}](96,0)cos(19,00,119,00,10,1 12121 θθ senP ×+×−×+××= . Substituindo-se os valores encontrados no processo iterativo vem:
)45,0(96,0)45,0cos(19,019,01 senP ×+×−= , 44,01 =P pu.
{ }⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡×−×××= ∑
=
n
mkmkmkmkmmkk BsenGVVQ
1
)cos()( θθ .
Expandindo-se a equação acima para este exemplo e simplificando-a:
{ } { }[ ])cos()( 12121212211111 θθ ×−××+−××= BsenGVBVVQ . Substituindo-se valores fixos vem:
{ } {[ )}]cos(96,0)(19,00,194,00,10,1 12121 θθ ×−+×−×+××= senQ . Substituindo-se os valores encontrados no processo iterativo vem:
)45,0cos(96,0)45,0(19,094,01 ×−+×−= senQ , 3
1 1089,7 −×−=Q pu.
{ }⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡×−×××= ∑
=
n
mkmkmkmkmmkk BsenGVVQ
1
)cos()( θθ .
Expandindo-se a equação acima para este exemplo e simplificando-a:
{ } { }[ ]22221212121122 )cos()( BVBsenGVVQ −×+×−×××= θθ . Substituindo-se valores fixos vem:
{ }[ 942,00,1)cos(962,0)(192,00,10,1 21212 ×+×−×−××= θθsenQ .
Análise de Sistemas de Potência
67
0,44
-7,89x10-3 0,16
-0,40
Substituindo-se os valores encontrados no processo iterativo vem: 94,0)45,0cos(96,0)45,0(19,02 +−×−−×−= senQ ,
16,02 =Q pu.
Figura 3.11 – Solução do fluxo de potência
3.5 – Expressões do fluxo de potência ativa e reativa nos diversos ramos e shunts 3.5.1 – Linha de transmissão média ou longa
Figura 3.12 – Modelo da linha de transmissão média e longa
*kmkkmkmkm IVjQPS &&& ×=+= , *mkmmkmkmk IVjQPS &&& ×=+= ,
kkk VV θ∠=& ,
mmm VV θ∠=& ,
kmkmkm jbgy += ,
kmkmkmkmkmkmkmkmkmkmkm jxrbgjbbggjbgz −=+−+=+= )()()(1 2222 .
Cálculo de Pkm e Qkm:
kshuntmkkmkm VjbVVyI &&&& ×+−×= )( , onde kmI& é a corrente injetada na linha de transmissão a partir da barra k. Arrumando-se termos vem:
mkmkshuntkmkm VyVjbyI &&& ×−×+= )( ,
mmkmkmkkshuntkmkmkm VjbgVjbjbgI θθ ∠×+−∠×++= )()(& ,
mmkmkmkkshuntkmkmkm VjbgVjbjbgI θθ −∠×−−−∠×−−= )()(*& .
mkmkkmkmkshuntkmkmkmkkm VVjbgVjbjbgIVS θθ −∠××−−×−−=×= )()( 2*&&& ,
mkmkkmmkmkkmkshuntkkmkkmkm VVjbVVgVjbVjbVgS θθθθ −∠××+−∠××−×−×−×= 222& .
jbshunt = j0,02 jbshunt = j0,02
2 1
sérieI&kmI& m k
ykm
jbshunt jbshunt
mkI&
kV& mV&
01∠ 45,01 −∠
Análise de Sistemas de Potência
68
{ } 02 90)cos(Re +−∠×××+−×××−×== mkmkkmmkmkkmkkmkmkm VVbVVgVgSP θθθθ& ,
)()cos(2mkmkkmmkmkkmkkmkm senVVbVVgVgP θθθθ −×××−−×××−×= ,
{ } 022 90)(Im +−∠××+−×××−×−×−== mkmkkmmkmkkmkshuntkkmkmkm VVbsenVVgVbVbSQ θθθθ& ,
)cos()(22mkmkkmmkmkkmkshuntkkmkm VVbsenVVgVbVbQ θθθθ −×××+−×××−×−×−= .
Cálculo de Pmk e Qmk:
mshuntkmkmmk VjbVVyI &&&& ×+−×= )( , onde mkI& é a corrente injetada na linha de transmissão a partir da barra m. Arrumando-se termos vem:
kkmmshuntkmmk VyVjbyI &&& ×−×+= )( ,
kkkmkmmmshuntkmkmmk VjbgVjbjbgI θθ ∠×+−∠×++= )()(& ,
kkkmkmmmshuntkmkmmk VjbgVjbjbgI θθ −∠×−−−∠×−−= )()(*& .
kmmkkmkmmshuntkmkmmkmmk VVjbgVjbjbgIVS θθ −∠××−−×−−=×= )()( 2*&&& ,
kmmkkmkmmkkmmshuntmkmmkmmk VVjbVVgVjbVjbVgS θθθθ −∠××+−∠××−×−×−×= 222& .
{ } 02 90)cos(Re +−∠××+−×××−×== kmmkkmkmmkkmmkmmkmk VVbVVgVgSP θθθθ& ,
)()cos(2kmmkkmkmmkkmmkmmk senVVbVVgVgP θθθθ −×××−−×××−×= .
{ } 022 90)(Im +−∠××+−×××−×−×−== kmmkkmkmmkkmmshuntmkmmkmk VVbsenVVgVbVbSQ θθθθ& ,
)cos()(22kmmkkmkmmkkmmshuntmkmmk VVbsenVVgVbVbQ θθθθ −×××+−×××−×−×−= .
Cálculo das perdas: As perdas ativas podem ser calculadas como:
)cos(222mkmkkmmkmkkmmkkmperdas VVgVgVgPPP θθ −××××−×+×=+= .
Perdas resistivas na linha.
)( 22**kmkmkmsériesériekmsériesériePerdas bggIIrIIP +××=××= &&&& ,
( ) ( ) ( ) ( ) )( 22**kmkmkmmkkmkmmkkmkmPerdas bggVVjbgVVjbgP +×−×−×−×+= && ,
( ) ( )mmkkmmkkkmPerdas VVVVgP θθθθ −∠−−∠×∠−∠×= ,
( )22mkmmkmkmkkkmPerdas VVVVVVgP +−∠×−−∠×−×= θθθθ ,
)cos(222mkmkkmmkmkkmPerdas VVgVgVgP θθ −××××−×+×= , expressão idêntica à expressão de
mkkm PP + . As “perdas” reativas podem ser calculadas como (armazenada nos campos elétrico e magnético):
( ) ))cos(2 2222mshuntkshuntmmkmkkkmmkkmperdas VbVbVVVVbQQQ ×−×−−−×××+−×=+= θθ .
Perdas reativas na linha.
2222* )( mshuntkshuntkmkmkmsériesériePerdas VbVbbgbIIQ ×−×−+××−= && ,
( ) ( ) 22**mshuntkshuntmkmkkmPerdas VbVbVVVVbQ ×−×−−×−×−= &&&& ,
( ) 222***mshuntkshuntmkmmkkkkmPerdas VbVbVVVVVVVbQ ×−×−−×+×+×−×= &&&& ,
( ) 2222 )cos(2 mshuntkshuntmmkmkkkmPerdas VbVbVVVVbQ ×−×−−−×××+−×= θθ , expressão idêntica à expressão de mkkm QQ + .
Análise de Sistemas de Potência
69
Tem-se, portanto, para perda de potência:
mkkmperdas
km PPP +=)(
mkkmperdas
km QQQ +=)( 3.5.2 – Linha de transmissão curta
Figura 3.13 – Modelo da linha de transmissão curta
kmkmkmkkm jQPIVS +=×= *&&& .
)( mkkmkm VVyI &&& −×= , onde kmI& é a corrente que circula na linha de transmissão.
)()( mkkmkmkm VVjbgI &&& −×+= ,
)()( ***mkkmkmkm VVjbgI &&& −×−= ,
)()( **
mkkmkmkkm VVjbgVS &&&& −×−×= ,
)()( *2kmkmmkkkm jbgVVVS −××−= &&& ,
**22mkkmmkkmkkmkkmkm VVjbVVgVjbVgS &&&&& ××+××−×−×= ,
{ } )()cos(Re 2
mkmkkmmkmkkmkkmkmkm senVVbVVgVgSP θθθθ −×××−−×××−×== & ,
{ } 02 90Im +−∠××+−∠××−−== mkmkkmmkmkkmkkmkmkm VVbVVgVbSQ θθθθ& ,
)cos()(2mkmkkmmkmkkmkkmkm VVbsenVVgVbQ θθθθ −×××+−×××−×−= ,
mkmkmkmmk jQPIVS +=×= *&&& .
)( kmkmmk VVyI &&& −×= , onde mkI& é a corrente que circula na linha de transmissão.
)()( kmkmkmmk VVjbgI &&& −×+= ,
)()( ***kmkmkmmk VVjbgI &&& −×−= ,
)()( **
kmkmkmmmk VVjbgVS &&&& −×−×= ,
)()( *2kmkmkmmmk jbgVVVS −××−= &&& ,
**22kmkmkmkmmkmmkmmk VVjbVVgVjbVgS &&&&& ××+××−×−×= ,
{ } )()cos(Re 2
kmkmkmkmkmkmmkmmkmk senVVbVVgVgSP θθθθ −×××−−×××−×== & ,
{ } 02 90Im +−∠××+−∠××−−== kmkmkmkmkmkmmkmmkmk VVbVVgVbSQ θθθθ& ,
)cos()(2kmkmkmkmkmkmmkmmk VVbsenVVgVbQ θθθθ −×××+−×××−×−= ,
kmI& m k
ykm
mkI&
kV& mV&
Análise de Sistemas de Potência
70
Perdas resistivas na linha:
+−×××−−×××−×=+ )()cos(2mkmkkmmkmkkmkkmmkkm senVVbVVgVgPP θθθθ
)()cos(2kmkmkmkmkmkmmkm senVVbVVgVg θθθθ −×××−−×××−×+ ,
)cos(2)( 22mkmkkmmkkmmkkm VVgVVgPP θθ −××××−+×=+ ,
)( 22**
kmkmkmkmkmkmkmkmPerdas bggIIrIIP +××=××= &&&& ,
( ) ( ) ( ) ( ) )( 22**kmkmkmmkkmkmmkkmkmPerdas bggVVjbgVVjbgP +×−×−×−×+= && ,
( ) ( )mmkkmmkkkmPerdas VVVVgP θθθθ −∠−−∠×∠−∠×= ,
( )22mkmmkmkmkkkmPerdas VVVVVVgP +−∠×−−∠×−×= θθθθ ,
)cos(222mkmkkmmkmkkmPerdas VVgVgVgP θθ −××××−×+×= , expressão idêntica a da expressão de
mkkm PP + . Perdas reativas na linha:
+−×××+−×××−×−= )cos()(2mkmkkmmkmkkmkkmkm VVbsenVVgVbQ θθθθ
)cos()(2kmkmkmkmkmkmmkm VVbsenVVgVb θθθθ −×××+−×××−×−
)cos(2)( 22mkmkkmmkkmmkkm VVbVVbQQ θθ −××××++×−=+ ,
)( 22**
kmkmkmkmkmkmkmkmPerdas bgbIIxIIQ +××−=××−= &&&& ,
( ) ( ) ( ) ( ) )( 22**kmkmkmmkkmkmmkkmkmPerdas bgbVVjbgVVjbgQ +×−×−×−×+−= && ,
( ) ( )mmkkmmkkkmPerdas VVVVbQ θθθθ −∠−−∠×∠−∠×−= ,
( )22mkmmkmkmkkkmPerdas VVVVVVbQ +−∠×−−∠×−×−= θθθθ ,
)cos(2)( 22mkmkkmmkkmPerdas VVbVVbQ θθ −××××−+×−= , expressão idêntica à expressão de
mkkm QQ + . Perda de potência ativa: mkkm
perdaskm PPP +=)( ,
Perda de potência reativa: mkkmperdas
km QQQ +=)( . 3.5.3 – Transformador
Figura 3.14 – Modelo de um transformador com tape
A Figura 3.14 mostra o modelo de um transformador com tape, cuja admitância é colocada do lado do tape.
kkmmkkmkm VyttVVytI &&&& ××−+−××= )()()( 2 ,
mkmkkmkm VytVytI &&& ××−××= 2 .
kmkmkmkkm jQPIVS +=×= *&&& .
kmI& m k
t × ykm
(t2–t) × ykm (1–t) × ykm
mkI&
mkV& kmV&
Análise de Sistemas de Potência
71
mkmkmkmmk VytVVytI &&&& ××−+−××= )1()()( ,
mkmkkmmk VyVytI &&& ×+××−= .
mkmkmkmmk jQPIVS +=×= *&&& .
)()cos()( 2kmkmmkkmkmmkkmkkm senbVtVgVtVgtVP θθ −−=
)()cos()( 2kmkmmkkmkmmkkmkkm sengVtVbVtVbtVQ θθ −+−=
)()cos(2
kmkmmkkmkmmkkmmmk senbVtVgVtVgVP θθ +−=
)()cos(2kmkmmkkmkmmkkmmmk sengVtVbVtVbVQ θθ ++−=
)]cos(2)[( 22)(
kmmkmkkmmkkmperdas VtVVtVgPPP θ−+=+= ,
)]cos(2)[( 22)(kmmkmkkmmkkm
perdas VtVVtVbQQQ θ−+−=+= .
3.5.4 – Elementos shunt
Figura 3.15 – Capacitor shunt
A Figura 3.15 mostra um capacitor ligado na barra k. A potência reativa gerada pelo mesmo é
shuntkshunt bVQ ×= 2)( . Caso fosse um reator, a potência reativa injetada na barra seria
shuntkshunt bVQ ×−= 2)( , ou seja, a potência reativa estaria sendo consumida.
Figura 3.16 – Resistor shunt
A Figura 3.16 mostra um resistor ligado na barra k. A potência ativa gerada pelo mesmo é
shuntkshunt gVP ×−= 2)( , ou seja, há consumo de potência ativa.
Cálculo do fluxo de potência nas linhas do sistema da Figura 3.11, Exemplo 3.6.
0157,0437,087,250,1)96,019,0(01)02,096,019,0( 0012 ∠=−∠×−−∠×+−= jjjI& rad.
3*12
012 1082,6437,000,1 −×−=×∠= jIS && .
069,3430,087,250,1)02,096,019,0(00,1)96,019,0( 0021 ∠=−∠×+−+∠×−−= jjjI& rad.
16,040,0069,3430,045,00,1*21221 jIVS +−=−∠×−∠=×= &&& .
037,040,0437,0 =−=perdasP ,
154,016,01082,6 3 =+×−= −perdasQ .
Balanço de potência:
037,040,0437,021 +=→+= perdasPPP ,
154,016,01082,6 321 =+×−→=+ −
perdasQQQ .
Q(shunt) jbshunt
k
P(shunt) rshunt = 1/gshunt
k
Análise de Sistemas de Potência
72
Injeção de potência no elemento shunt. 02,002,00,1 2)(
2)(
1 =×== shuntshunt QQ pu.
Exemplo 3.7. Refazer o exemplo 3.6 considerando-se uma barra flutuante e uma barra de carga como mostra a
Figura 3.17. (Dados em pu na base do sistema).
Figura 3.17 – Sistema do exemplo 3.7
Dados: V1 = 1,0, θ1 = 00, 30,02 −=P , 07,02 =Q , tolerância para convergência em ΔP é igual a tolerância para convergência em ΔQ = ε = 0,003.
Condição inicial: 0,1)0(2 =V , 0)0(
2 0=θ . Calcular no processo iterativo: 22 ,Vθ . Após a convergência calcular: P1, Q1.
Solução: 1. Determinação da matriz YBARRA
BARRABARRABARRA jBGY += , calculada no exemplo 3.6.
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
19,019,019,019,0
BARRAG ,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
94,096,096,094,0
BARRAB .
2. Verificação de convergência.
{ }⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡×+×××= ∑
=
n
mkmkmkmkmmkk senBGVVP
1
)()cos( θθ , { }PVPQk ,∈ .
Expandindo-se esta expressão para o presente exemplo vem:
{ } { }[ ])()cos()()cos( 22222222221212121122 θθθθ senBGVsenBGVVP ×+××+×+×××= . Simplificando-se a expressão vem:
{ } { }[ ]22221212121122 )()cos( GVsenBGVVP ×+×+×××= θθ . Substituindo-se os valores fixos para este exemplo vem:
{ } { }[ ]19,0)(96,0)cos(19,01 2212122 ×+×+×−××= VsenVP θθ . Avaliando-se a expressão lembrando que V2 = 1,0 e θ21 = 00 vem:
{ } { }[ ]19,00,119,00,12 ×+−×=P ,
0,0)0(2 =P .
30,00,030,0)(2
)(22 −=+−=−=Δ calculadodoespecifica PPP
{ }⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡×−×××= ∑
=
n
mkmkmkmkmmkk BsenGVVQ
1
)cos()( θθ , { }PQk∈ .
(0,2 + j1,0) Vθ PQ
jbshunt = j0,02 jbshunt = j0,02
2 1
Análise de Sistemas de Potência
73
Expandindo-se esta expressão para o presente exemplo vem: { } { }[ ])cos()()cos()( 22222222221212121122 θθθθ ×−××+×−×××= BsenGVBsenGVVQ .
Simplificando-se a expressão vem:
{ } { }[ ]22221212121122 )cos()( BVBsenGVVQ −×+×−×××= θθ . Substituindo-se os valores fixos para este exemplo vem:
{ } { }[ ]94,0)cos(96,0)(19,01 2212122 ×+×−×−××= VsenVQ θθ . Avaliando-se a expressão lembrando que V2 = 1,0 e θ21 = 00 vem:
( )[ ]94,096,00,12 +−×=Q ,
02,0)0(2 −=Q .
09,002,007,0)(2
)(22 =+=−=Δ calculadodoespecifica QQQ .
Teste de convergência. ΔP2 = ⎪–0,30⎪ > 0,003, não convergiu, o processo continua, ΔQ2 = 0,09 > 0,003, não convergiu, o processo continua.
3. Primeira iteração do processo de cálculo.
As incógnitas do processo são θ2 e V2 logo
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
2
2
2222
2222
2
2
VLMNH
QP θ
.
{ }⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡×−×××−×−= ∑
∈kmkmkmkmkmmkkkkkk BsenGVVBVH )cos()(2 θθ .
Expandindo-se esta expressão para o presente exemplo vem:
{ } { }[ ]2222121212112222
222 )cos()( BVBsenGVVBVH −×+×−×××−×−= θθ . Substituindo-se os valores fixos para este exemplo vem:
} { }]{[ 94,0)cos(96,0)(19,00,1)94,0( 2212122
222 ×+×−×−××−−×−= VsenVVH θθ Avaliando-se esta expressão vem:
94,096,094,022 −+=H ,
96,0)0(22 =H .
{ }∑
∈
×+××+×=km
kmkmkmkmmkkkkk senBGVGVN )()cos( θθ ,
Expandindo esta expressão para o presente exemplo vem:
{ } { })()cos()()cos( 22222222221212121122222 θθθθ senBGVsenBGVGVN ×+××+×+××+×= , { } { }22221212121122222 )()cos( GVsenBGVGVN ×+×+××+×= θθ
Substituindo-se os valores fixos para este exemplo vem:
{ } { }19,0)(96,0)cos(19,019,0 221211222 ×+×+×−×+×= VsenVVN θθ . Avaliando-se esta expressão vem:
19,01)119,0(0,119,00,122 ×+×−×+×=N , 19,019,019,022 +−=N ,
.19,0)0(22 =N
Análise de Sistemas de Potência
74
{ }⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡×+×××+×−= ∑
∈kmkmkmkmkmmkkkkkk senBGVVGVM )()cos(2 θθ ,
Expandindo esta expressão para o presente exemplo vem:
{ } { }][ )()cos()()cos( 2222222222121212112222
222 θθθθ senBGVsenBGVVGVM ×+××+×+×××+×−= . Simplificando-se a expressão vem:
{ } { }[ ]2222121212112222
222 )()cos( GVsenBGVVGVM ×+×+×××+×−= θθ . Substituindo-se os valores fixos para este exemplo vem:
{[ } { }]19,0)(96,0)cos(19,00,10,119,00,1 221212
22 ×+×+×−××+×−= VsenM θθ . Avaliando-se esta expressão vem:
19,019,019,022 +−−=M ,
19,0)0(22 −=M .
{ }∑
∈
×−××+×−=km
kmkmkmkmmkkkkk BsenGVBVL )cos()( θθ .
Expandindo esta expressão para o presente exemplo vem:
{ } { })cos()()cos()( 22222222221212121122222 θθθθ ×−××+×−××+×−= BsenGVBsenGVBVL . Simplificando-se a expressão vem:
{ } { }22221212121122222 )cos()( BVBsenGVBVL ×+×−××+×−= θθ . Substituindo-se os valores fixos para este exemplo vem:
} { }{ 94,0)cos(96,0)(19,00,1)94,0( 22121222 −×+×−×−×+−×−= VsenVL θθ . Avaliando-se esta expressão com V2 e θ2 vem:
94,096,094,022 +−=L ,
92,0)0(22 =L .
Valores numéricos:
96,0)0(22 =H ,
19,0)0(22 =N ,
19,0)0(22 −=M ,
92,0)0(22 =L .
Os valores numéricos do sistema ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
VLMNH
QP θ
são:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
2
2
92,019,019,096,0
09,030,0
Vθ
.
Utilizando-se a regra prática para inverter uma matriz 2 × 2 que consiste em trocar os
elementos da diagonal principal e trocar apenas o sinal dos demais elementos e dividir a matriz assim formada pelo determinante da matriz original vem:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−×⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −×=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
09,030,0
96,019,019,092,0
92,01
2
2
Vθ
,
Análise de Sistemas de Potência
75
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−×=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
0288,029,0
92,01
2
2
Vθ
,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
031,0318,0
2
2
Vθ
.
Atualizando-se valores:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
031,01318,000,0
2
2)0(
2
)0(2
)1(2
)1(2
VVVθθθ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
031,1318,0
)1(2
)1(2
Vθ
4. Verificação da Convergência:
{ }[ { }]19,003,1)31,0(96,095,019,0103,12 ×+−×+×−××=P ,
[ ]19,030,018,003,12 +−−×=P ,
29,0)1(2 −=P .
{ }[ ]94,003,195,096,0)31,0(19,003,12 ×+×−−×−×=Q , [ ]97,091,006,003,12 +−×=Q ,
12,003,12 ×=Q ,
12,0)1(2 =Q .
01,029,030,0)(
2)(
22 −=+−=−=Δ calculadodoespecifica PPP ,
05,012,007,0)(2
)(22 −=−=−=Δ calculadodoespecifica QQQ .
Teste de convergência. ΔP2 = ⎪–0,005883725⎪ > 0,003, não convergiu, o processo continua, ΔQ2 = ⎪–0,0515650666⎪ > 0,003, não convergiu, o processo continua.
5. Segunda iteração
330,0)2(2 −=θ
978,0)2(2 =V
Convergência:
001,02 −=ΔP , 002,02 −=ΔQ .
Convergiu pois são menores que 0,003.
6. Após a convergência, calcular as injeções de potência P1 e Q1.
{ } { }[ ])()cos()()cos( 12121212211111111111 θθθθ senBGVsenBGVVP ×+××+×+×××= ,
{ } { })()cos( 121212122111 θθ senBGVGP ×+××+= , { } 3186,0)33,0(96,0)33,0cos(19,0978,019,01 =×+×−×+= senP .
0097,01 −=Q .
Observação: Estudar exemplo 8.1 do Stevenson por Newton-Raphson, contendo um sistema de 5 barras sendo uma flutuante, 1 PV e 3 PQ.
Análise de Sistemas de Potência
76
3.6 – Fluxo de potência pelo Método Desacoplado Rápido 3.6.1 – Fluxo de potência pelo Método de Newton desacoplado
Este método é baseado no forte acoplamento entre as variáveis Pθ e QV, ou seja, VPP∂∂
>>∂∂θ
e
θ∂∂
>>∂∂ QVQ . Por este motivo as matrizes
VPM∂∂
= e θ∂∂
=QN são desprezadas. O sistema fica então:
)()()(
00 iii
VLH
QP
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ θ
.
Ficam então definidos dois sistemas de equações que são:
[ ] [ ] [ ] )()()( iii HP θΔ×=Δ ,
[ ] [ ] [ ]iii VLQ Δ×=Δ ,
que são conhecidos como o método de Newton desacoplado. 3.6.2 – Considerações sobre as matrizes H e L do método de Newton desacoplado
Estas considerações objetivam transformar as matrizes H e L em matrizes constantes.
1) Divisão das equações de resíduo pelo respectivo módulo da tensão com a finalidade de acelerar a convergência.
k
calculadok
doespecificak
k
k
VVPP
VP ),()()( θ−
=Δ , k = 1, n-1 (a barra flutuante é a excluída),
k
calculadok
doespecificak
k
k
VVQQ
VQ ),()()( θ−
=Δ , k = 1, l (barras PQ).
O sistema fica então:
[ ] [ ]
[ ] [ ]⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
Δ×=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
Δ×=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
)()()(
)()()(
'
'
iii
iii
VLVQ
HVP θ
.
Cada termo dos vetores ΔP e ΔQ está dividido por sua tensão, onde:
{ })cos()(' kmkmkmkmmk
kmkm BsenGV
VHH θθ ×−××== ,
{ }⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡×−××−×−== ∑
∈kmkmkmkmkmmkkk
k
kkkk BsenGVBV
VHH )cos()(' θθ ,
)cos()(' kmkmkmkmk
kmkm BsenG
VLL θθ ×−×== ,
{ }∑∈
×−×××+−==km
kmkmkmkmmk
kkk
kkkk BsenGV
VB
VLL )cos()(1' θθ .
Análise de Sistemas de Potência
77
2) Hipóteses para o cálculo dos elementos de H' e L' a) Sistema pouco carregado. Com esta consideração assume-se θkm pequeno e em
conseqüência cos(θkm) ≅ 1. b) Em linhas de EAT e UAT a relação Bkm//Gkm é alta, de 5 a 20, logo
Bkm >> Gkm × sen(θkm), ou seja, despreza-se o termo Gkm × sen(θkm). c) As reatâncias transversais nas barras (reatores, capacitores, cargas) são muito maiores do
que a reatância série, logo kkkk QVB >>× 2 . d) As tensões Vk e Vm estão sempre próximas de 1,0 pu.
Aplicando-se as considerações anteriores no cálculo dos elementos das matrizes H’ e L’, chega-se a: [ ] [ ]kmkm BH −≅' , [ ] [ ]kkkk BH −≅' , [ ] [ ]kmkm BL −≅' , [ ] [ ]kkkk BL −≅' . As matrizes de coeficientes tornam-se, desta forma, constantes durante todo o processo iterativo,
passando a ser chamadas de:
H'→B' L'→B''
Melhorias no desempenho do método são obtidas desprezando-se as resistências série e as
reatâncias shunt na montagem de B'.
3.6.3 – Formulação final do método Desacoplado Rápido Os elementos de B' e B'' são definidos como:
kmkm x
B 1' −= , (3.7a)
∑Ω∈
=km km
kk xB 1' , (3.7b)
kmkm BB −='' , (3.8a)
kkkk BB −='' , (3.8b)
onde: Ωk é o conjunto das barras diretamente conectados com a barra k excetuando-se a própria barra k; xkm é a reatância do ramo km; Bkm e Bkk correspondem à parte imaginária dos elementos km e kk respectivamente da matriz YBARRA.
O método desacoplado rápido então é formulado como:
[ ] [ ]θΔ×=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ 'BVP , de dimensão n – 1, a barra flutuante é excluída,
[ ] [ ]VBVQ
Δ×=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ '' , de dimensão l, número de barras PQ.
Análise de Sistemas de Potência
78
Exemplo 3.8 Formular as equações do fluxo de potência desacoplado rápido do circuito da Figura 3.18.
Figura 3.18 – Circuito do exemplo 3.8
Dados das barras:
Barra Tipo PG QG PL QL V θ 1 Vθ ––– ––– 0,0 0,0 1,0 0,0 2 PV 0,4 ––– 0,0 0,0 1,0 ––– 3 PQ 0,0 0,0 1,0 0,4 ––– –––
Dados das linhas, ε = 0,003:
Linha r x bshunt (total)
1-2 0,01 0,1 1,0 1-3 0,01 0,1 1,0 2-3 0,01 0,1 1,0
Condições iniciais: 0,13 =V e 0,032 ==θθ .
9,999,01,001,0
11 jjjxr
y −=+
=+
= .
1) Montagem da matriz YBARRA
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+−+−+−−+−+−+−−
80,1898,190,999,090,999,090,999,080,1898,190,999,090,999,090,999,080,1898,1
jjjjjjjjj
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
=98,199,099,099,098,199,099,099,098,1
BARRAG ,
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
80,1890,990,990,980,1890,990,990,980,18
BARRAB .
3
2
∼
1E&
∼
2E&
1
j0,5 j0,5
j0,5 j0,5
j0,5 j0,5
Análise de Sistemas de Potência
79
2) Sistema de equações do método desacoplado rápido
)(
3
2
3332
2322
)(
3
3
2
2
'''' i
i
BBBB
VP
VP
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
Δ
Δ
θθ
, apenas a barra flutuante não está representada.
[ ] [ ] )(333
)(
3
3 '' ii
VBVQ
Δ×=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
3) Cálculo de B' e B''
Sistema Pθ Aplicando-se as Equações 3.7 vem:
0,101,0
11''23
3223 −=−=−==x
BB
0,201,0
11,0
111'2321
22 =+=+=xx
B
0,201,0
11,0
111'3231
33 =+=+=xx
B
Sistema QV Aplicando-se as Equações 3.8 vem:
80,18'' 33 =−= BB
4) Mismatch do processo iterativo
)(
3
2)(
3
2)1(
3
2iii
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
θθ
θθ
θθ
)(3
)(3
)1(3
iii VVV Δ+=+ Primeira iteração Pθ
),(4,0 )0()0()(22 θVPP calculado−=Δ ,
),(0,1 )0()0()(23 θVPP calculado−−=Δ , onde
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
0,10,10,1
)0(V e ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
0,00,00,0
)0(θ .
{ }[ { }+×−××+×+×−××= )(80,18)cos(98,1)(90,9)cos(99,0 22222212112)(
2 θθθθ senVsenVVP calculado + { }])(90,9)cos(99,0 23233 θθ senV ×+×−×
{ } { } { }[ ]99,098,10,199,00,1 3)(
2 −×+×+−×= VP calculado
0,0)(2 =calculadoP
{ }[ { }+×+×−×+×+×−××= )(90,9)cos(99,0)(90,9)cos(99,0 32322313113
)(3 θθθθ senVsenVVP calculado
+ { }])(80,18)cos(98,1 33333 θθ senV ×−××
{ }[ +×+×−××= )(90,9)cos(99,00,1 31313
)(3 θθ senVP calculado
{ } { }]98,1)(90,9)cos(99,00,1 33232 ×+×+×−×+ Vsen θθ
0,0)(3 =calculadoP
arbitrado→ ←arbitrado ←arbitrado
Análise de Sistemas de Potência
80
4,00,04,02 =−=ΔP 0,10,00,13 −=−−=ΔP
Não convergiu.
5) Primeira iteração Pθ: atualizar )1(2θ e )1(
3θ ,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
Δ
Δ
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
Δ
Δ
3
2
3332
2322
3
2
3
3
2
2
''''
0,1
0,1θθ
BBBB
P
P
VP
VP
.
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
Δ
Δ
3
2
2
2
0,200,100,100,20
0,1
0,1θθ
P
P
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡×=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
0,14,0
0,200,100,100,20
3001
3
2
θθ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
×=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
0533,00067,0
0,160,2
3001
3
2
θθ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡→⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡0533,00067,0
0533,00067,0 )1(
3
2)1()0(
3
2)1(
3
2
θθ
θθ
θθ
6) Primeira iteração QV: atualizar )1(
3V .
),(4,0 )1()0()(33 θVQQ calculado−−=Δ , onde
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
)1(3
)1(2
)1(0,0
θθθ
80,18'' 333 =−==Δ BBQ . Solucionar e atualizar )1(3V .
O processo continua até a convergência tanto da iteração Pθ como QV Exemplo 3.9 Resolver o sistema da Figura 3.19 pelo método desacoplado rápido. (Dados em pu na base do
sistema).
Figura 3.19 – Circuito do exemplo 3.9
P2 = –0,30; Q2 = 0,07; ε = 0,003.
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−+−−
=94,019,096,019,096,019,094,019,0
jjjj
YBARRA .
(0,2 + j1,0) Vθ PQ
jbshunt = j0,02 jbshunt = j0,02
2 1
Análise de Sistemas de Potência
81
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
19,019,019,019,0
BARRAG ,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
94,096,096,094,0
BARRAB .
1. Sistema de equações.
[ ] [ ]2222
2 ' θΔ×=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ BVP ,
[ ] [ ] )(222)1(
2
2 '' ii VB
VQ
Δ×=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ Δ− .
0,10,1
11'12
22 ===x
B
94,0'' 2222 =−= BB 2. Processo iterativo
Primeira iteração Pθ
( )[ ]22221212121122 )()cos( GVsenBGVVP ×+×+×××= θθ , ( )[ ]19,0)(96,0)cos(19,00,1 2212122 ×+×+×−××= VsenVP θθ ,
substituindo-se na primeira iteração vem:
0,00,00,12 2=
==
θVP ; 3,00,03,03,0 )(
22 −=−−=−−=Δ calculadoPP ,
convergência: 0,3 > 0,003 logo não convergiu.
3,00,10,13,0
22 −=Δ→Δ×=− θθ ,
3,0)1(2 −=θ
Primeira iteração QV
( )[ ]22221212121122 )cos()( BVBsenGVVQ ×−×−×××= θθ , ( )[ ]94,0)cos(96,0)(19,00,1 22222 ×+×−×−××= VsenVQ θθ .
Se 0,12 =V e 3,02 −=θ , 0798,02 =Q ,
0098,00798,007,007,0 )(22 =−=−=Δ calculadoQQ
ε>0098,0 , o processo continua.
2222
2 '' VBVQ
Δ×=Δ
0104,094,00,1
0098,022 −=Δ→Δ×=
− VV
9896,00104,00,12 =−=V
Análise de Sistemas de Potência
82
Segunda iteração Pθ
274,03,0
9896,0222
−=−=
=θVP ,
)(
2)(
22calculadodoespecifica PPP −=Δ
026,0274,03,02 −=+−=ΔP Convergência: 0,026 > ε, 0 processo continua. Atualização:
2222
2 ' θΔ×=Δ BVP
0256,00,19896,0
026,022 −=Δ→Δ×=
− θθ
3256,00256,03,02 −=−−=θ Segunda iteração QV
0814,03256,0
9896,0222
=−=
=θVQ
0114,00814,007,02 −=−=ΔQ Convergência: 0,0114 > ε, o processo continua. Monta-se o sistema:
0122,094,09896,00114,0
22 −=Δ→Δ×=− VV
9774,00122,09896,02 =−=V . Terceira iteração Pθ
295,02 −=P 005,02 −=ΔP
Convergência: 0,005 > ε, o processo continua. 3307,02 −=θ
Terceira iteração QV
0716,02 =Q 0016,02 −=ΔQ
Convergência: 0,0016 < ε, convergiu, logo não atualizo as variáveis e testo o outro sistema de equações.
Quarta iteração Pθ
229,03307,0
9774,0222
−=−=
=θVP
001,0229,030,02 −=+−=ΔP Convergência: 0,001 < ε, logo todo o processo convergiu. Solução encontrada:
3307,09774,02 −∠=V& radianos.
Análise de Sistemas de Potência
83
3. Após a convergência do processo iterativo, calculam-se as grandezas abaixo da mesma forma como descrito anteriormente:
⎯ Fluxos nas linhas; ⎯ Injeção na barra flutuante 11,QP ; ⎯ Fluxos na rede; ⎯ Perdas.
3.6.4 – Artifícios matemáticos para melhorar o desempenho do método desacoplado rápido na presença de ramos com elevada relação r/x
A pequena defasagem angular entre barras, a relação )sen( kmkmkm GB θ×>> , as tensões próximas de 1,0 pu e o fluxo nas linhas ser maior que o fluxo transversal são sempre verdadeiros nos sistemas de potência. A exceção é a relação x/r alta. A seguir artifícios matemáticos para contornar este restrição. 3.6.4.1 – Artifício da compensação 3.6.4.1.1 – Compensação série
Figura 3.20 – Exemplo da compensação série 3.6.4.1.2 – Compensação paralela
Figura 3.21 – Exemplo de compensação paralela
3.6.4.2 – Método BX de van Amerongen
O método desacoplado rápido convencional é conhecido como método XB pois a matriz B' só utiliza x, a reatância do elemento, e B'' só utiliza b, o negativo da parte imaginária da matriz YBARRA.
No método BX, B' só utiliza b e B'' só utiliza x. Este tem melhor desempenho quando a relação r/x é alta.
3.6.4.3 – Esquema iterativo flexível
O esquema não flexível faz sucessivamente uma iteração Pθ e uma iteração QV até a convergência do processo. O método flexível faz, por exemplo, devido a maior dificuldade da convergência da equação QV, uma iteração Pθ e duas iterações QV. Se o sistema estiver muito carregado, o número de iterações QV aumenta.
r x
mk
r x x' –x'
mk
j
r/x alto
r/x'' pequeno
x + x' = x''
x2 x3
r1 x1
mk A impedância da linha 1 em paralelo com a linha 2 é r + jx
Análise de Sistemas de Potência
84
3.7 – Fluxo de potência linearizado ou fluxo de potência DC
O fluxo de potência linearizado é baseado no acoplamento Pθ e só leva em conta o fluxo de potência ativo.
As equações do fluxo de potência ativa no ramo km são:
)()cos(2kmmkkmkmmkkmkkmkm senVVbVVgVgP θθ ×××−×××−×= , (3.9a)
)()cos(2kmmkkmkmmkkmmkmmk senVVbVVgVgP θθ ×××+×××−×= . (3.9b)
As perdas no trecho ativos no ramo km valem:
)cos(222kmmkkmmkmkkmmkkmkm VVgVgVgPPPperdas θ××××−×+×=+= .
3.7.1 – Simplificações propostas
a) 0,1≅= mk VV pu. b) kmθ pequeno, logo kmkmsen θθ ≅)( .
3.7.2 – Desprezando as perdas do sistema
kmkmkmkm
km
kmkm
km
kmkm
kmkm
kmkmkmkmkmkm jbg
xrxj
xrr
xrjxr
jxryjxrz +=
+−
+=
+−
=+
=→+= 2222221
Fazendo-se 0=kmr , tem-se 0=kmg e km
km xb 1
−= .
Aplicando-se as simplificações a) e b) nas Equações 3.9a e 3.9b, e desprezando-se as perdas chega-se na seguinte equação do fluxo de potência linearizado:
)( kmmkkmkm senVVbP θ×××−= ,
kmkm
km xP θ×××⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−= 0,10,11 ,
km
kmkm x
P θ= .
O fluxo de potência ativo é proporcional ao ângulo, daí o nome do método. A equação acima mostra uma importante diferença entre o fluxo de potência ac e o fluxo de
potência dc. O método ac limita a potência máxima transmitida pelo ramo, ao contrário do método dc. A Figura 3.22 exemplifica esta afirmação.
Figura 3.22 – Potência máxima transmitida pelo ramo
Pkm
)()( CAkm
CCkm θθ sem solução CA θkm
Pkm = θkm / xkm
Pkm = sen(θkm) / xkm
Análise de Sistemas de Potência
85
Os dois métodos fornecem praticamente a mesma solução para ângulos pequenos. O fluxo dc converge mesmo para valores altos de Pkm, o que embora seja um resultado errado, fornece indicativo de quanto a capacidade do ramo foi excedida.
Sabe-se que ∑Ω∈
=)( km
kmk PP , onde kΩ é o conjunto de todas as barras conectadas com a barra k a
exceção da própria barra k.
∑∑Ω∈Ω∈
=→=)()( kk m km
kmk
mkmk x
PPP θ .
Separando-se o somatório em dois, lembrando que θkm = θk – θm vem:
∑∑Ω∈Ω∈
×−×=)()(
11
kk mm
kmk
m kmk xx
P θθ .
3.7.2.1 – Formulação matricial
θ×= 'BP onde: B' é a mesma matriz do modelo desacoplado rápido, ou seja,
kmkm x
B 1' −= ,
∑Ω∈
=)(
1'km km
kk xB .
P é o vetor de injeção líquida de potência ativa na barra, θ é o vetor de fase da tensão de barra. A ordem de B' é (n–1), a barra flutuante é excluída pois a potência injetada nesta barra é
desconhecida. Exemplo 3.10 Calcular o fluxo nas linhas do sistema da Figura 3.23. Utilizar o método linearizado.
Figura 3.23 – Sistema do exemplo 3.10
Não é necessário montar a matriz YBARRA. Montagem da matriz B', de dimensão 2, pois a barra flutuante é excluída.
3
2 1 x12 = 1/3
x13 = 1/2 x23 = 1/2
θ1 = 00
P1 = 1,5 P2 = –0,5
P3 = –1,0
Análise de Sistemas de Potência
86
0,511'2312
22 =+=xx
B ,
0,411'3213
33 =+=xx
B ,
0,21''23
3223 −=−==x
BB .
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
3
2
3332
2322
3
2
''''
θθ
BBBB
PP
, ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡×⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
3
2
0,40,20,20,5
0,15,0
θθ
,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡→⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡×=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡8/34/1
0,15,0
0,50,20,20,4
161
3
2
3
2
θθ
θθ
rad.
Fluxos de potência nos ramos.
43
3/14/1
12
1212 ===
xP θ pu.
43
2/18/3
13
1313 ===
xP θ pu.
41
2/18/34/1
23
2323 =
+−==
xP θ pu.
Atenção: Pij = Pji pois não há perda. 3.7.3 – Considerando as perdas do sistema
Equações do fluxo de potência ativa: )()cos(2
kmmkkmkmmkkmkkmkm senVVbVVgVgP θθ ×××−×××−×= ,
)()cos(2kmmkkmkmmkkmmkmmk senVVbVVgVgP θθ ×××+×××−×= .
Aplicando-se as simplificações anteriores, ou seja: a) 0,1≅= mk VV pu.
b) kmθ pequeno, logo kmkmsen θθ ≅)( e 2
)cos(12
1)cos(22km
kmkm
kmθ
θθ
θ =−→−= .
c) Como rkm << xkm, kmkmkmkm
km
kmkm
km
kmkm
kmkm
kmkmjbg
xrxj
xrr
xrjxr
jxr+=
+−
+=
+−
=+ 2222221 ,
22kmkm
kmkm xr
rg+
= e km
km xb 1
−= .
chega-se a equação do fluxo de potência ativa no ramo considerando as perdas.
)()cos( kmkmkmkmkmkm senbggP θθ ×−×−= ,
{ }km
kmkmkmkm x
sengP )()cos(1 θθ +−×= ,
km
kmkmkmkm x
gP θθ+×=
2
2.
Análise de Sistemas de Potência
87
E para a potência no sentido contrário:
)()cos( kmkmkmkmkmmk senbggP θθ ×+×−= ,
{ }km
kmkmkmmk x
sengP )()cos(1 θθ −−×= ,
km
kmkmkmmk x
gP θθ−×=
2
2.
Sabemos que a perda total em km vale:
222
22 kmkmkm
kmkmkm
km
kmkmkmmkkmkm g
xg
xgPPPperdas θ
θθθθ×=−×++×=+= ,
logo as expressões kmP e mkP carregam cada uma a metade das perdas do ramo. A potência injetada na barra k pode ser escrita como:
∑ ∑ ∑Ω∈ Ω∈ Ω∈
+×==)( )( )(
2
21
k k km m m km
kmkmkmkmk x
gPP θθ ,
∑Ω∈
+=)( km km
kmkk x
PperdasP θ ,
∑Ω∈
=−)( km km
kmkk x
PperdasP θ ,
onde:
kk PperdasP − é a nova injeção líquida no sistema sem perdas;
kPperdas é a metade do somatório das perdas nos ramos diretamente conectados na barra k. Representa-se kPperdas como carga adicional na barra, onde essa carga representa a metade das
perdas nos ramos diretamente ligados à barra. Conclusão: as perdas são representadas como cargas adicionais, obtidas dividindo-se em partes
iguais as perdas nos ramos entre suas barras terminais. O esquema fica como exemplificado na Figura 3.24.
Figura 3.24 – Representação das perdas no fluxo de potência linearizado
221312
1PperdasPperdasPperdas += ,
222312
2PperdasPperdasPperdas += ,
221323
3PperdasPperdasPperdas += .
3
2 1
Pperdas1
Pperdas2
Pperdas3
Análise de Sistemas de Potência
88
3.7.3.1 – Formulação matricial
θ×=− 'BPperdasP .
3.7.3.2 – Metodologia de solução 1) Calcula-se a solução do sistema desprezando-se as perdas, θ
~'×= BP .
2) Calcula-se a perda total do ramo com o θ~ e a representa como carga adicional no sistema,
∑Ω∈
××=)(
2~21
kmkmkmgPperdas θ .
3) Calcula-se a solução do sistema considerando-se as perdas, θ×=− 'BPperdasP .
4) Calculam-se os fluxos nos ramos utilizando-se a solução θ, km
kmkm x
P θ= .
3.7.4 – Resumo do método linearizado
Fluxo de potência linearizado ou fluxo DC 1) Desprezando-se as perdas,
θ×= 'BP
kmkmkm xP θ=
2) Considerando-se as perdas, 2~
kmkmkm gPperdas θ×= , metade para cada lado do ramo. θ×=− 'BPperdasP
Exemplo 3.11. Calcular o fluxo de potência do sistema da Figura 3.25 pelo método linearizado ou dc
considerando-se as perdas.
Figura 3.25 – Sistema do exemplo 3.11
Dados: 10,005,012 jz += pu, 08,004,013 jz += pu,
05,0025,023 jz += pu. A barra 1 é a barra flutuante e a base é de 100,0 Mva.
3
2 1
θ1 = 00
P1
P2 = 40 MW
P3 = 80 MW
~ ~
Análise de Sistemas de Potência
89
Solução: Montagem da matriz B'
0,300,200,1005,01
10,0111'
231222 =+=+=+=
xxB
5,320,205,1205,01
08,0111'
231333 =+=+=+=
xxB
0,2005,011''
232332 −=−=−==
xBB
Flow sem perdas.
θ×= 'BP ,
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡×⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡− 3
2~~
5,320,200,200,30
8,04,0
θθ ,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡×=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
0278,00052,0
8,04,0
0,300,200,205,32
0,5751
~~
3
2
θθ rad.
Cálculo das perdas.
2~kmkmkm gPperdas θ×= ,
0,410,005,0
05,0222
122
12
1212 =
+=
+=
xrrg ,
0,508,004,0
04,0222
132
13
1313 =
+=
+=
xrrg ,
0,805,0025,0
025,0222
232
23
2323 =
+=
+=
xrrg .
Perdas nos ramos:
2~kmkmkm gPperdas θ×= ,
322121212 101089,00052,00,4~ −×=×=×= θgPperdas ,
322131313 108715,30278,00,5~ −×=×=×= θgPperdas ,
( ) 322232323 100892,40278,00052,00,8~ −×=+−×=×= θgPperdas .
A perda do ramo é representada nas barras terminais, metade do valor destas perdas para cada lado.
333
23122 10097,2
210086,410108,0
2−
−−
×=×+×
=+
=PperdasPperdasPperdas ,
333
23133 10975,3
210086,410864,3
2−
−−
×=×+×
=+
=PperdasPperdasPperdas .
Solução do sistema com perdas:
θ×=− 'BPperdasP ,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
×−−×−
−
−
3
23
3
5,320,200,200,30
10975,38,010097,24,0
θθ
,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡×=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡02810,000547,0
8040,03979,0
0,300,200,205,32
0,5751
3
2
θθ
.
Análise de Sistemas de Potência
90
Cálculo dos fluxos nos ramos.
km
kmkm x
P θ= ,
05470,010,0
00547,0
12
1212 ===
xP θ pu, 47,512 =P MW,
35125,008,0
02810,0
13
1313 ===
xP θ pu, 13,3513 =P MW,
( ) 45260,005,0
02810,000547,0
23
2323 =
+−==
xP θ pu, 26,4523 =P MW.
Cálculo da geração na barra flutuante.
113121 PperdasPPP ++= ,
333
13121 10986,1
210864,310108,0
2−
−−
×=×+×
=+
=PperdasPperdasPperdas pu,
40794,010986,135125,005470,0 31 =×++= −P pu, 794,401 =P MW.
Resumo dos dois exemplos de cálculo, com e sem perdas. ⎯ Solução sem perdas:
052,0~
12
1212 ==
xP θ pu ou 5,2 MW,
348,0~
13
1313 ==
xP θ pu ou 34,8 MW,
452,0~
23
2323 ==
xP θ pu ou 45,2 MW.
Figura 3.26 – Fluxos de potência da solução sem perdas
3
2 1 5,2 MW
34,8 MW 45,2 MW
θ1 = 0
P1 = 40 MW
P2 = 40 MW
P3 = 80 MW
~ ~ 2~θ
3~θ
Análise de Sistemas de Potência
91
⎯ Solução com perdas:
Figura 3.27 – Fluxos de potência da solução com perdas 3.8 – Utilização do estudo de fluxo de potência.
1) Análise do comportamento do sistema em de carga leve, média e pesada.
Figura 3.28 - Curva de carga típica
2) Determinação da compensação shunt (em derivação) capacitiva necessária para manter a tensão
dentro de limites aceitáveis. Roda-se fluxo em carga pesada. Verifica-se a existência de barra com tensão abaixo da
recomendável. Determina-se para esta barra a injeção de reativo 2VBQ shuntshunt ×= . Roda-se novamente o programa de fluxo de potência, sendo que este reativo é um dado de entrada, para se conhecer o novo perfil de tensão. A tensão na barra não depende apenas da injeção de reativo injetado nesta. Outra maneira de se fazer com que a tensão nesta barra aumente é modelar esta como barra de tensão controlada.
Figura 3.29 – Barra com compensação shunt
3
2 1 5,47 MW
35,13 MW 45,26 MW
θ1 = 0
P1 = 40,79 MW
P2 = 40 MW
P3 = 80 MW
~ ~
0,3975 MW
0,1986 MW
0,2097 MW
P(t)
t
3
2 1
~
Qshunt
Análise de Sistemas de Potência
92
3) Determinação da compensação shunt indutiva necessária em carga leve a fim de manter a tensão terminal das linhas dentro de limites aceitáveis.
A configuração do sistema em carga leve é diferente da configuração do sistema em carga pesada, pois existem reatores/capacitores, linhas em paralelo, máquinas.
Figura 3.30 – Compensação shunt capacitiva
4) Determinação da compensação série capacitiva necessária em carga pesada, de modo a aumentar a capacidade de transmissão da linha.
Figura 3.31 – Compensação série capacitiva
)( 1212
21 θsenx
VVP ××
=
5) Verificação do intercâmbio entre áreas. O sistema elétrico é dividido em áreas, como por exemplo a área Furnas, a área CEMIG, a
área Light. Existe compra e venda de energia entre áreas, logo é necessário previsão do quanto de energia negociar. A tecnologia FACTS, “flexible ac transmission system”, viabilizou o intercâmbio programado de energia.
área Sudeste área Sul
Figura 3.32 – Troca de energia entre áreas
~
V1, θ1 V2, θ2
21~
Qshunt
P12
~ ~
~ ~
Análise de Sistemas de Potência
93
6) Determinação da máxima transação de potência entre duas barras. Determinação da máxima potência que uma barra de geração pode suprir a determinada carga.
Figura 3.33 – Máxima transação de potência
7) Análise do colapso de tensão correspondente ao aumento da carga do sistema, curva P-V. Abaixo de determinado nível de tensão, provocado pelo aumento de carga, a tensão
colapsa, não existindo caminho de volta.
Figura 3.34 – Curva do nariz
Procedimento para se determinar o ponto de colapso de tensão: aumenta-se gradativamente
2LP e 2LQ e 3LP e 3LQ no sistema exemplo da Figura 3.35 até que o programa de fluxo de potência não convirja. A melhor abordagem é usar o fluxo de potência continuado, baseado em método predictor-corrector.
Figura 3.35 – Estudo de colapso de tensão
Ponto de colapso de tensão. Neste ponto a matriz jacobiana é singular e o fluxo de potência não converge.
3
2
∼
1
PL2 QL2
PL3 QL3
Operação recomendada Operação arriscada
P
V
3
4 1
~
2
Análise de Sistemas de Potência
94
3.9 – Controles e Limites
Um sistema de energia elétrica tem uma série de dispositivos de controle que influem diretamente nas condições de operação e, portanto devem ser incluídos na modelagem do sistema para que se possa simular corretamente seu desempenho. À formulação básica do problema de fluxo de carga devem, então, ser incorporadas as equações que representam esses dispositivos de controle bem como as inequações associadas aos limites de operação do sistema.
Entre os controles geralmente representados em programas de fluxo de carga temos: Controle de tensão:
• Controle de magnitude de tensão nodal por injeção de reativos; • Controle de magnitude de tensão nodal por ajuste de tap.
Controle de potência ativa:
• Controle de fluxo de potência ativa; • Controle de intercâmbio entre áreas.
Os limites de operação mais comuns são:
• Limites de injeção de potência reativa em barras PV; • Limites de tensão em barras PQ; • Limites de taps de transformadores; • E limites de fluxos em circuitos.
A referência básica para o texto a seguir é o livro “Fluxo de Carga em Redes de Energia Elétrica ” de Alcir Monticelli.
3.9.1 – Modos de representação
Existem basicamente três maneiras de representar os controles mencionados anteriormente:
a) Classificação por tipo de barra (PQ, PV, Vθ, etc) e o agrupamento das equações
correspondentes nos subsistemas 1 e 2. b) Mecanismos de ajuste executados alternadamente com a solução iterativa do Subsistema 1,
ou seja, durante o cálculo de uma iteração as variáveis de controle permanecem inalteradas e, entre uma iteração e outra, essas variáveis são reajustadas procurando-se fazer que as variáveis controladas se aproximem cada vez mais dos respectivos valores especificados.
c) Incorporação de equações e variáveis adicionais ao Subsistema 1 ou substituição de equações e variáveis dependentes desse subsistema por novas equações e/ou variáveis.
Em relação ao processo de resolução das equações básicas do fluxo de carga, a introdução da
representação de controles automáticos traz algumas complicações adicionais que devem ser observadas. A convergência do processo iterativo geralmente fica mais lenta. A interferência entre controles que são eletricamente próximos pode levar, em algumas situações, à não-convergência do processo iterativo. Além disso, a ocorrência de soluções múltiplas para um mesmo problema torna-se bastante freqüente quando os dispositivos de controle são incluídos na modelagem do sistema.
3.9.2 – Ajustes alternados
O processo de ajustes iterativos, efetuados alternadamente com as iterações do processo de resolução do Subsistema 1, objetiva manter a variável controlada z em um valor especificado zesp, corrigindo-se convenientemente a variável de controle u:
Δu = α Δz = α (zesp – zcal)
em que Δu é a correção na variável de controle; Δz é o erro na variável controlada (valor especificado menos valor calculado); e α é a relação de sensibilidade entre as variáveis u e z.
O esquema geral do procedimento de ajuste é descrito a seguir:
Análise de Sistemas de Potência
95
i) Definir os valores iniciais; ii) Obter uma solução inicial do Subsistema 1, que fornece o estado do sistema. (Solução obtida
com tolerâncias maiores ou com número de prefixado de iterações); iii) Estimar os valores atuais das variáveis controladas zcal e verificar se os erros Δz já estão
dentro das tolerâncias especificadas; dependendo dos erros ΔP e ΔQ e das equações do Subsistema 1, o processo iterativo pode já estar terminado; se não estiver, ir para iv;
iv) Determinar os novos valores das variáveis de controle utilizando-se das relações do tipo, avaliando-se previamente, quando necessário, os fatores de sensibilidade α;
v) Efetuar mais uma iteração no processo de resolução do Subsistema 1 e voltar ao passo iii.
A convergência desse processo iterativo depende tanto da evolução dos controles quanto da resolução do Subsistema 1, sendo que, em geral, são os controles que determinam a convergência do processo como um todo. Deve-se notar, finalmente, que o efeito dos dispositivos de controle e os limites de operação só devem ser incorporados ao processo iterativo de resolução após ter sido obtida uma convergência parcial na resolução do Subsistema 1. Com este ato se evita problemas como a atuação indevida de dispositivos de controle e violações de limites motivados pela escolha de valores iniciais muito distantes do ponto solução.
3.9.3 – Controle de tensão em barras PV
Nas barras de geração e nas barras em que são ligados compensadores síncronos, o controle da magnitude da tensão nodal é feito pelo ajuste da corrente de campo de máquinas síncronas, que podem operar sobre ou subexcitadas, injetando ou absorvendo reativos da rede de transmissão; o mesmo tipo de controle pode ser conseguido também pela atuação de dispositivos estáticos.
Em um programa de cálculo de fluxo de carga o controle de tensão é feito da forma descrita a seguir. Considere uma barra PV na qual Vk = Vk
esp e, inicialmente, Qkmin < Qk
cal < Qkmax. Imagine, por
exemplo, que a cada iteração, aumente a injeção de reativos Qkcal necessário para manter a tensão no
valor especificado até que o limite Qkmax seja atingido. A partir daí, a tensão Vk tenderá a cair devido à
insuficiência de suporte de potência reativa. Raciocínio análogo vale quando é atingido a limite Qkmin,
caso em que a magnitude de tensão Vk tenderá a subir. As injeções de potência reativa nas barras PV devem, portanto, ser recalculadas ao final da cada iteração utilizando-se os valores atualizados do estado da rede, para observar se esses valores estão dentro dos limites especificados ou não. Se Qk
cal cair fora dos limites, o tipo da barra é redefinido, passando de PV para PQ, com a injeção de reativos fixada no limite violado (Qk
esp = Qklim). Ao mesmo tempo, a magnitude Vk da tensão da barra é liberada,
passando a ser recalculada a cada iteração. Quando ocorre uma mudança de tipo de barra (de PV para PQ), devem ser inseridas na matriz Jacobiana as linhas relativas às derivadas δQk / δθm e δQk / δVm, e as colunas correspondentes às derivadas em relação a Vk, isto é, δPm / δVk e δQm / δVk. A mesma observação vale em relação à matriz B’’.
Após uma barra PV ter sido transformada em PQ, deve-se testar, a cada iteração subsequente, a possibilidade de essa barra voltar ao seu tipo original. Considere-se, por exemplo, um caso em que a injeção de reativos esteja fixada no limite máximo, ou seja, Qk
esp = Qkmax. A variável Vk
correspondente, recalculado a cada iteração, poderá ser maior, menor ou igual ao valor especificado Vk
esp. Se Vkcal < Vk
esp, nada se altera, pois, para se aumentar a magnitude de tensão Vkcal, dever-se-ia
aumentar a injeção de reativos na barra, o que seria impossível já que Qkesp = Qk
max. Entretanto, se Vkcal
> Vkesp, para se diminuir a magnitude de tensão Vk
cal, basta que a injeção de reativos na barra seja diminuída, o que é perfeitamente viável, pois Qk
esp = Qkmax. Isso significa que, se Qk
esp = Qkmax e Vk
cal > Vk
esp, a barra poderá ser reconvertida a seu tipo original, ou seja, ao tipo PV. Por raciocínio análogo, chega-se à conclusão de que isso também é possível quando Qk
esp = Qkmin e Vk
cal < Vkesp.
3.9.4 – Limites de tensão em barras PQ
Em programas de cálculo de fluxo de carga, as magnitudes das tensões das barras PQ são recalculadas a cada iteração durante o processo de resolução do Subsistema 1. Quando o valor calculado de Vk cai fora dos limites Vk
min e Vkmax, o tipo da barra na qual ocorre a violação é
redefinido, passando de PQ para PV, com magnitude de tensão especificada no limite violado (Vkesp =
Vklim). Ao mesmo tempo, a injeção de reativo Qk nessa barra é liberada, passando a ser recalculada a
cada iteração. Considera-se, por exemplo, que a magnitude da tensão seja especificada no valor mínimo, ou seja, Vk
esp = Vkmin. Neste caso, na iteração em que ocorre a fixação no limite, o valor
Análise de Sistemas de Potência
96
calculado de injeção de reativos na barra será Qkcal = Qk
esp + ΔQk, em que ΔQk é um valor positivo (Capacitor shunt ligado a barra). Analogamente, quando a violação ocorre no limite superior, isto é, Vk
esp = Vkmax, o incremento de ΔQk na injeção será negativo (Indutor shunt ligado a barra).
Como decorrência das alterações no Subsistema 1, quando ocorre essa mudança de tipo de barra (de PQ para PV), devem-se remover da matriz Jacobiana a linha que contém as derivadas δQk / δθm e δQk / δVm, e a coluna correspondente às derivadas em relação a Vk, isto é, δPm / δVk e δQm / δVk. Comentário análogo vale para a matriz B’’.
Após uma barra PQ ter sido transformada em PV, deve-se testar, a cada iteração subsequente, a possibilidade de essa barra voltar ao seu tipo original. Considera-se que a magnitude de tensão esteja fixada no limite mínimo, isto é, Vk
esp = Vkmin. A variável Qk correspondente, recalculada a cada
iteração, poderá ser maior, menor ou igual ao valor especificado Qkesp. Se Qk
cal > Qkesp, nada se altera,
pois a injeção extra de reativos, ou seja, ΔQk = Qkcal - Qk
esp > 0, é indispensável para não deixar a magnitude de tensão Vk cair abaixo de Vk
min. Entretanto, se Qkcal < Qk
esp, a injeção incremental ΔQk será negativa, significando que, se ela for eliminada, a magnitude de tensão Vk aumentará, entrando na faixa permitida. Isso significa que, se Vk
esp = Vkmin e Qk
cal < Qkesp, a barra poderá ser reconvertida a seu tipo
original, isto é, ao tipo PQ. Por raciocínio análogo, chega-se à conclusão de que isso também é possível quando Vk
esp = Vkmax e Qk
cal > Qkesp.
3.9.5 – Transformadores em-fase com controle automático de tap
Os transformadores com controle automático de tap podem ser utilizados na regulação de magnitudes de tensões nodais. Considere um transformador em-fase com terminais k e m, cuja relação de transformação akm deve ser variada para controlar a magnitude de Vm de uma das tensões terminais. Os fluxos de potência em um transformador em-fase obedecem ao mesmo tipo de equação que os fluxos em uma linha de transmissão, com a única diferença de que, em lugar de Vk, aparece akmVk:
Pkm = (akmVk)2gkm – (akmVk)Vmgkmcosθkm – (akmVk)Vmbkmsenθkm
Qkm = -(akmVk)2bkm + (akmVk)Vmbkmcosθkm – (akmVk)Vmgkmsenθkm
A relação de sensibilidade
Δakm = αΔVm pode ser utilizada na determinação da correção Δakm a ser introduzida na variável de controle akm objetivando corrigir o erro
ΔVm = Vmesp - Vm
cal em que Vm
esp é o valor especificado e Vmcal é o valor calculado na iteração mais recente. Se a barra k,
que é o terminal oposto do transformador, for rígida, ou seja, se a magnitude de tensão Vk for pouco suscetível às variações de relação de transformação akm, então o fator de sensibilidade α será aproximadamente unitário.
A barra m passa a ser classificada como sendo do tipo PQV, isto é, as variáveis Pm, Qm e Vm são especificadas. Com isso, o Subsistema 1 fica com uma incógnita a menos (Vm), que é então substituída no vetor de variáveis dependentes pela relação de transformação akm. Esquematicamente, a matriz Jacobiana passa a ter a seguinte forma geral:
NPQ NPV
NPQV ∆P
=
δP δθ
δP δV
δP δa .
∆θ NPQ NPV NPQV
∆V NPQ NPQ NPQV ∆Q
δQ δθ
δQ δV
δQ δa ∆a NT = NPQV
onde NPQ é o número de barras PQ; NPV é o número de barras PV; NT é o número de transformadores com controle automático e tap; e NPQV é o número de barras PQV.
Análise de Sistemas de Potência
97
3.9.6 – Transformadores defasadores com controle automático de fase
Esse tipo de transformador pode ser utilizado para regular o fluxo de potência ativa nos ramos onde são inseridos. Os fluxos de potência através de um defasador puro obedecem ao mesmo tipo de equação que os fluxos em uma linha de transmissão, com a única diferença de que, em vez de abertura angular θkm, aparece o ângulo θkm + ϕkm, em que ϕkm é a fase do defasador.
Pkm = Vk2gkm – VkVmgkmcos(θkm + ϕkm) – VkVmbkmsem(θkm + ϕkm)
Qkm = -Vk2bkm – VkVmbkmcos(θkm + ϕkm) – VkVmgkmsem(θkm + ϕkm)
A simulação do controle do fluxo de potência ativa através do defasador pode ser feita utilizando-
se a relação de sensibilidade
Δϕkm = αΔPkm em que Δϕkm é a correção introduzida na variável de controle ϕkm e ΔPkm é o erro.
ΔPkm = Pkmesp - Pkm
cal sendo Pkm
esp o valor especificado do fluxo no defasador e Pkmcal o valor calculado na iteração mais
recente. O significado do fator de sensibilidade α pode ser mais bem entendido pela análise do circuito
equivalente linearizado da figura a seguir, no qual o sistema é reduzido a dois nós terminais do defasador. O equivalente é caracterizado por dois parâmetros, a reatância equivalente xkm
eq e as injeções equivalentes Pk
eq e Pmeq. Note-se que xkm
eq é a reatância equivalente entre os nós k e m, excluindo-se o defasador. As duas leis de Kirchhoff aplicadas ao circuito da figura resultam em:
Pkeq = Pkm + Pkm
eq = Constante
ϕkm – xkmPkm + xkmeqPkm
eq = 0
Assim: ϕkm – (xkm + xkm
eq)Pkm + xkmeqPkm
eq = 0
Seja ΔPkm a alteração provocada no fluxo Pkm pela correção Δϕkm no ângulo do defasador; Assim:
Δϕkm – (xkm + xkmeq) ΔPkm = 0
ou seja, o fator de sensibilidade α é dado por:
α = Δϕkm / ΔPkm = xkm + xkmeq
Esse fator pode ser interpretado da seguinte maneira. Se, além do defasador, existem caminhos
alternativos de baixa reatância entre os nós k e m, a reatância equivalente xkmeq será pequena, o que
implica um α próximo a xkm, ou seja, α será suficiente para produzir uma alteração significativa no fluxo Pkm. Por outro lado, se o único caminho entre k e m for pelo próprio defasador (xkm
eq = ∞ ) ou, se os caminhos paralelos apresentarem reatância muito elevadas (xkm
eq > xkm), então Pkm será insensível, ou praticamente insensível, às variações de ϕkm.
Da mesma forma que ocorre com os transformadores em-fase, em vez de se efetuarem as correções, pode-se representar o efeito dos transformadores defasadores redefinindo-se o Subsistema 1. Para cada
Pkeq
θk
Pkmeq
xkmeq
xkm ϕkm
Pkm Pmeq = - Pk
eq
θm
Análise de Sistemas de Potência
98
defasador, é incluída uma nova equação que relaciona ∆Pkm com ∆φkm, ou seja, o Subsistema 1 fica acrescido de uma equação ΔPkm=0 e uma incógnita φkm. Esquematicamente, a matriz Jacobiana passa a ter a seguinte forma geral:
∆P δP δθ
δP δV
δP δφ ∆θ
∆Q = δQ δθ
δQ δV
δQ δφ . ∆V
ND ∆PD δPD δθ
δPD δV
δPD δφ ∆φ ND
3.9.7 – Controle de intercâmbio entre áreas
Em uma rede interligada é necessário que sejam controlados os intercâmbios de potência ativa entre as várias áreas que compõem o sistema. Em uma rede com NA áreas são controlados os intercâmbios de NA–1 áreas, pois o intercâmbio de uma delas fica definido pelas demais. O intercâmbio líquido de potência ativa de uma área é definido como a soma algébrica dos fluxos nas linhas e nos transformadores que interligam essa área com as demais (as exportações são consideradas positivas e as importações, negativas). A cada área do sistema é associada uma barra de folga (slack), sendo que a barra de folga de uma das áreas funciona também como barra de folga do sistema (em geral é uma barra do tipo Vθ, que serve também como referência angular para o sistema). Com exceção da barra de folga do sistema, as injeções de potência ativa nas barras de folga das demais áreas são ajustadas para manter os intercâmbios líquidos dessas áreas nos valores especificados. Note-se que o controle de intercâmbio regula o intercâmbio total de uma área, ou seja, mantém em um valor especificado a soma algébrica dos intercâmbios individuais nas linhas e nos transformadores que interligam a área com o resto do sistema. Se, além do intercâmbio líquido, for necessário o controle do fluxo de potência ativa em uma ligação especifica, deve-se utilizar um transformador defasador.
Uma maneira de se considerar o controle de intercâmbio entre áreas consiste em intercalarem-se as correções dadas pela relação de sensibilidade entre duas iterações consecutivas do processo iterativo de resolução do Subsistema 1. Neste caso temos:
ΔPFi = ΔPIi
em que α = 1; ΔPFi é a correção na geração da barra de folga da área i; e APIi é o erro no intercâmbio liquido da barra i, dado por
ΔPIi = PIiesp - PIi
cal sendo PIi
esp o valor especificado para o intercâmbio da área i e PIical, o valor calculado na iteração mais
recente. A representação do controle de intercâmbio entre áreas também pode ser feito por alterações
introduzidas no Subsistema 1. As barras de folga das áreas, com exceção da barra de folga do sistema (barra Vθ), são classificadas como do tipo V (só as magnitudes das tensões nodais são especificadas), ou seja, as injeções de potência ativa nessas barras deixam de ser especificadas e as equações dos resíduos correspondentes (Pi
esp - Pical = 0) saem do Subsistema 1 e Pk passa a ser calculada no
Subsistema 2. No lugar dessa equação é introduzida a equação de intercâmbio da área:
PIiesp - PIi
cal = 0
mantendo-se dessa forma a igualdade entre o número de equações e incógnitas do Subsistema 1. Esquematicamente, a matriz Jacobiana passa a ter a seguinte forma geral:
NPQ NPV ∆P
δP δθ
δP δV
δP δ θF ∆θ NPQ
NPV
NPQ ∆Q = δQ δθ
δQ δV
δQ δ θF . ∆V NPQ
NV ∆PI δPI δθ
δPI δV
δPI δ θF ∆θF NV = NA - 1
Análise de Sistemas de Potência
99
3.9.8 – Controle de tensão em barras remotas
Esse tipo de controle pode ser executado tanto por transformadores em-fase como por injeção de reativos. No caso do controle por transformadores automáticos, a única diferença em relação ao que foi visto é que a barra cuja tensão é controlada não é um dos terminais do transformador. Dessa forma, no essencial, continuam válidas todas as observações feitas naquela seção.
O controle remoto de magnitude de tensão por injeção de reativos apresenta algumas diferenças em relação ao caso em que a injeção de reativos é utilizada para controlar a tensão da própria barra. A barra de controle é classificada como do tipo P, enquanto a barra cuja magnitude de tensão é controlada, é classificada como do tipo PQV. Uma barra do tipo P é representada no Subsistema 1 por uma equação (Pk
esp – Pkcal = 0), uma barra tipo PQV contribui com duas equações (Pk
esp – Pkcal = 0 e
Qkesp – Qk
cal = 0). Por outro lado, a uma barra do tipo P estão associadas duas incógnitas (Vk,θk) do Subsistema 1 e a uma barra do tipo PQV corresponde uma única incógnita (θk). Dessa forma, um par formado por uma barra do tipo P (barra de controle) e uma barra do tipo PQV (barra controlada) contribuem para o Subsistema 1com três equações e três incógnitas. Esquematicamente, a matriz Jacobiana passa a ter a seguinte forma geral:
NPQVNPQNPV
NP
∆P
=
δP δθ
δP δV
. ∆θ
NPQV NPQ NPV NP
NPQVNPQ ∆Q δQ
δθ δQ δV ∆V NPQ
NP 3.9.9 – Cargas variáveis com a tensão
A representação de cargas por injeções constantes de potência ativa e reativa nem sempre corresponde ao comportamento real do sistema. A rigor, a modelagem por injeção de potência constante só seria inteiramente correta se as magnitudes das tensões nodais das cargas permanecessem iguais aos respectivos valores nominais. Entretanto, em algumas aplicações do cálculo do fluxo de carga, como é o caso dos programas de análise de estabilidade transitória, a modelagem das cargas tem efeito direto sobre os resultados, a modelagem por potência constante (independente da tensão) é, em geral, mais crítica que a modelagem por admitância constante (a carga varia com o quadrado da magnitude da tensão). Nesse tipo de aplicação, freqüentemente são observados casos estáveis classificados como instáveis, simplesmente porque não foram consideradas as variações das cargas com as magnitudes das tensões.
Um modelo geral para cargas ativas e reativas é dado pelas expressões: Pk
esp = (ap + bpVk + cpVk2)Pk
nom
Qkesp = (aq + bqVk + cqVk
2)Qknom
em que a + b + c = 1, ou seja, para Vk = 1 p.u., as cargas Pk
esp e Qkesp assumem os valores nominais
Pknom e Qk
nom. Essa alteração na definição das cargas provoca algumas pequenas mudanças na montagem da matriz Jacobiana, pois agora Pk
esp e Qkesp deixam de ser constantes e passam a ser funções
de Vk. São afetados os elementos Nkk e Lkk das submatrizes N e L, que, passam a ser dados por: Nkk = - (bp + 2cpVk)Pk
nom + Vk-1(Pk + Vk
2Gkk) Lkk = - (bq + 2cqVk)Qk
nom + Vk-1(Qk - Vk
2Bkk)
em que Pk e Qk são os valores calculados em função da estimativa mais recente do estado da rede, durante o processo iterativo de resolução das equações do fluxo de carga.
Análise de Sistemas de Potência
100
Capítulo 4 Estabilidade de Sistemas de Potência 4.1 – Introdução
Estabilidade de um sistema é a propriedade que o sistema tem de permanecer em um estado de equilíbrio em regime permanente ou atingir um estado de equilíbrio após ser submetido a uma perturbação.
A preocupação do estudo de estabilidade é em relação à resposta dinâmica do sistema frente a perturbação. 4.2 – Tipos de instabilidade
a) Perda de sincronismo: é um fenômeno de instabilidade angular (posição angular do rotor); b) Colapso de tensão: caso de instabilidade de tensão.
4.3 – Tipos de perturbação
a) Grandes perturbações: curto-circuito, variação brusca de carga, perda de geradores, perda de linha;
b) Pequenas perturbações: variações normais da carga. 4.4 – Tipos de estudos de estabilidade
a) Angular i) Grande perturbação: estabilidade transitória; ii) Pequena perturbação: estabilidade em regime permanente para carga leve, carga média e
carga pesada ou estabilidade dinâmica, onde se considera o controle de tensão e o controle de velocidade;
b) Tensão
i) Grande perturbação; ii) Pequena perturbação.
A estabilidade transitória analisa o ângulo interno da máquina com o tempo. A solução deste estudo
é um gráfico ângulo versus tempo, exemplificado na Figura 4.1. O objetivo deste estudo é o conhecimento de um conjunto de medidas que façam com que o sistema como um todo permaneça estável para determinados eventos.
Figura 4.1 - Ângulo delta × tempo
t
δ(t)
Análise de Sistemas de Potência
101
4.5 – Conceitos básicos da máquina síncrona
A Figura 4.2 mostra um esquema da máquina síncrona de pólos salientes, onde se pode ver a parte fixa da máquina ou estator, onde estão colocados os três conjuntos de bobinas onde serão induzidas as tensões, e a parte móvel ou rotor, o qual é alimentado com corrente contínua.
Figura 4.2 - Esquema da máquina síncrona 4.5.1 – Princípio de funcionamento
Com a maquina desconectada da rede alimenta-se o enrolamento do rotor com corrente contínua, o que gera um fluxo magnético estacionário φF. Gira-se o eixo do rotor com o auxílio de uma máquina motriz e este fluxo magnético, que agora gira, enlaça os enrolamentos do estator, produzindo uma tensão induzida nestes enrolamentos.
ppf
mecânicoωπω ×
=××
=24 ,
onde: mecânicoω é a velocidade angular do rotor em radianos mecânicos/segundo,
ω é a velocidade angular da tensão em radianos elétricos/segundo, f é a freqüência elétrica em Hz, p é o número de pólos da máquina síncrona, δ é o ângulo de carga.
Figura 4.3 - Torques no rotor do gerador síncrono
Se a máquina alimenta uma carga, existe circulação de correntes nas bobinas do estator, as quais criam um campo φE, mostrado na Figura 4.2. Tem-se, portanto a velocidade mecânica e o torque mecânico em um mesmo sentido e o torque eletromagnético ou apenas elétrico no sentido contrário, mostrados na Figura 4.3.
O ângulo delta varia de acordo com o torque mecânico aplicado. Se a vazão de água da máquina motriz é aumentada, aumentando a potência mecânica entregue para o gerador, e a potência elétrica é
Tmecânico
ωmecânico
Te
φF ωmecânico
δ
φE
c'
c
b'
b
a'
a
Campo magnético devido à circulação de correntes nas bobinas do estator.
Análise de Sistemas de Potência
102
mantida constante, o ângulo delta aumenta. Se por outro lado a potência elétrica entregue pelo gerador aumenta, mantida a vazão de água constante, o ângulo delta aumenta. A preocupação deste estudo está no balanço eletro-mecânico entre a potência mecânica fornecida ao gerador e a potência elétrica gerada. A Figura 4.4 mostra o circuito equivalente da maquina síncrona em regime permanente.
Figura 4.4 - Circuito equivalente da maquina síncrona em regime permanente
A partir da Figura 4.4 pode-se escrever:
IjXVE St&×+∠=∠ 00δ
Considera-se para o estudo de estabilidade transitória (modelo clássico) que a tensão interna da
máquina | E& | é constante. Assume-se com isto que o controle de tensão é rápido.
Potência elétrica fornecida pela máquina síncrona em regime permanente:
)(δsenX
VEPS
te ×
×= .
4.6 – Dinâmica do rotor da máquina síncrona 4.6.1 – Equação de oscilação da máquina síncrona
A Figura 4.5 mostra os torques envolvidos e o sentido de rotação da máquina.
Figura 4.5 - Rotor da máquina síncrona
onde: θmecânico é o deslocamento angular do rotor em relação a um referencial fixo em radianos mecânicos, Tmecânico é o torque mecânico em Nm, Te é o torque eletromagnético ou torque elétrico líquido, já descontado atrito, ventilação e outros, em Nm.
Da Figura 4.5 pode-se escrever:
2
2
dtdJTTT mecânico
emecânicoaθ
×=−= Nm, (4.1)
onde: J é o momento de inércia do rotor em kgm2, Ta é o torque de aceleração em Nm.
jXS
∼ δ∠E 00∠tV )cos(φ
I&
Tmecânico
ωmecânico
Te
rotor, ωmecânico
θmecânico
Referencial fixo
Análise de Sistemas de Potência
103
Se a máquina está em regime permanente,
emecânico TT = , 0=aT , 02
2=
dtd mecânicoθ ,
e a velocidade do rotor é ωmecânico, igual a velocidade ωSmecânico, velocidade síncrona do rotor. Quando mecânicoT é diferente de eT , 0≠aT e Smecânicomecânico ωω ≠ .
Como o interesse é com relação ao desvio da velocidade do rotor em relação à velocidade síncrona,
o referencial agora gira com a velocidade síncrona ωSmecânico, como mostra a Figura 4.6.
Figura 4.6 - Rotor com referencial que gira na velocidade síncrona
Da Figura 4.6 pode-se escrever: mecânicoSmecânicomecânico t δωθ +×= ,
dtd
dtd mecânico
Smecânicomecânico δ
ωθ
+= ,
ou seja, a velocidade do rotor dtd mecânicoθ é a soma da velocidade síncrona do rotor com o deslocamento angular do rotor em relação a velocidade síncrona e
2
2
2
2
dtd
dtd mecânicomecânico δθ
= , (4.2)
ou seja, a aceleração do rotor em relação ao referencial fixo é a mesma que a aceleração do deslocamento angular do rotor.
Substituindo-se a Equação 4.2 em 4.1 vem:
2
2
dtdJTTT mecânico
emecânicoaδ
×=−= Nm. (4.3)
Multiplicando-se toda a Equação 4.3 por mecânicoω vem:
2
2
dtdJTTT mecânico
mecânicomecânicoemecânicomecânicomecânicoaδ
ωωωω ××=×−×=× .
Chama-se mecânicoJ ω× de momento angular. Em operação estável a velocidade da máquina não difere de maneira significante da velocidade síncrona. Define-se SmecânicoJM ω×= de constante de inércia da máquina medida na velocidade síncrona, logo:
2
2
dtdMPPP mecânico
emecânicoaδ
×=−= . (4.4)
Devido à variedade de potências e tamanhos das máquinas, os fabricantes fornecem os dados das
máquinas com a constante H. Com isto a gama de valores tabelados fica bastante reduzida.
θmecânico
δmecânico
velocidade do rotor ωmecânico
velocidade síncrona ωSmecânico
Referencial fixo
Análise de Sistemas de Potência
104
Define-se a constante H da máquina como a razão entre a energia cinética armazenada no rotor da máquina na velocidade síncrona e sua potência elétrica trifásica aparente,
SsíncronavelocidadenarotornoarmazenadacinéticaEnergiaH _______
= , MJ/MVA, s
S
M
S
JH
SmecânicoSmecânico ωω ××=
××= 2
121 2
s,
Smecânico
SHMω
××=
2 MJ/rad. Mec (4.5)
Substituindo-se a Equação 4.5 na Equação 4.4 vem:
2
22dt
dSHPPP mecânico
Smecânicoemecânicoa
δω
×××
=−= , (4.6)
onde δmecânico é a defasagem angular do rotor em relação ao eixo que gira na velocidade síncrona
ωSm do rotor. Colocando-se a Equação 4.6 em pu, dividindo-a pela potência aparente nominal da máquina vem:
2
22dt
dHPPP mecânico
Smecânicoemecânicoa
δω
××
=−= pu.
Sabendo-se que mecânicop ωω )2/( ×= , relação entre a velocidade angular elétrica e a velocidade
angular mecânica e que mecânicop δδ ×= )2/( , relação entre o ângulo elétrico e o ângulo mecânico vem:
2
22dtdHPPP
Semecânicoa
δω
××
=−= pu. (4.7)
onde: H é a constante da máquina em MJ/MVA ou segundos,
fS ××= πω 2 está em radianos elétricos por segundo, δ está em radianos elétricos, Pa, Pmecânico, Pe estão em pu na base da máquina.
A Equação 4.7 é a equação de oscilação da máquina síncrona (swing equation). Ela relaciona uma perturbação de potência com o desvio do ângulo delta em relação a posição de equilíbrio. A solução da equação de oscilação fornece o gráfico do ângulo delta em função do tempo. A Figura 4.7 exemplifica sistema estável e sistema instável.
Figura 4.7 - Curvas de oscilação da máquina
t
δ(t)
t
δ(t)
Análise de Sistemas de Potência
105
4.6.2 – Tipos de estudos
1) Uma máquina versus barra infinita, que representa o resto do sistema; 2) Máquina 1 oscilando contra a máquina 2; 3) Multimáquinas.
Observação: a estabilidade é uma propriedade relativa (defasagem angular entre as máquinas )( 12δ ) e, em geral, a referência é a maior máquina.
4.7 – Equivalente de máquina ou máquina equivalente 4.7.1 – Valor da constante H na base do sistema
geradorgerador SH → , sistema
dobaseS _
sistemadobase
geradorgerador
sistemadobasena S
SHH
___
×= .
4.7.2 – Máquinas coerentes
A Figura 4.8 mostra duas máquinas coerentes, pois no evento de uma perturbação estas oscilam juntas.
Figura 4.8 - Máquinas coerentes
A diferença do módulo do ângulo delta das duas máquinas, 21 δδ − , é desprezível. Representam-se as duas máquinas G1 e G2 por uma única máquina equivalente, Gequivalente.
δδδ == 21 .
G1: 21
21
112
dtdHPP
Semecânico
δω
××
=− ,
G2: 22
22
222
dtdHPP
Semecânico
δω
××
=− .
Somando-se as duas equações obtém-se a seguinte equação para a máquina equivalente:
2
22:dtdHPPG
Semecânicoeequivalent
δω
××
=− , onde 21 HHH += , 21 mecânicomecânicom PPP += e 21 eee PPP += .
G2
G1 ~
~ δ1
t
δ(t)
δ2
Análise de Sistemas de Potência
106
Exemplo 4.1. Sejam os dois geradores a seguir.
500:1G MVA, 8,41 =H MJ/MVA, 333.1:2G MVA, 27,32 =H MJ/MVA, e a potência base do sistema Sbase = 100 MVA.
Se G1 e G2 são coerentes, determinar a constante H da máquina equivalente na base do sistema.
59,67100
333.127,3100
5008,4=
×+
×=H MJ/MVA,
onde H é a constante equivalente na base do sistema que é de 100 MVA, o primeiro termo é a
constante H da máquina 1 na base do sistema e o segundo termo é a constante H da máquina 2 na base do sistema. 4.7.3 – Máquinas não coerentes
A Figura 4.9 mostra sistema de duas máquinas não coerentes.
Figura 4.9 - Máquinas não coerentes
G1: 21
21
112
dtdHPP
Semecânico
δω
××
=− ,
G2: 22
22
222
dtdHPP
Semecânico
δω
××
=− .
Explicitando-se o termo de segunda derivada em ambas as equações vem:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −×=
1
1121
2
2 HPP
dtd emecânicoSωδ , (4.8)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −×=
2
2222
2
2 HPP
dtd emecânicoSωδ . (4.9)
Fazendo-se a diferença entre as Equações 4.8 e 4.9 obtém-se:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−
−×=−
2
22
1
1122
2
21
2
2 HPP
HPP
dtd
dtd emecânicoemecânicoSωδδ .
Chamando-se 21 δδ − de 12δ , multiplicando-se a equação por Sω2 e rearrumando-se termos vem:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=×
2
2
1
1
2
2
1
1212
22HP
HP
HP
HP
dtd eemecânicomecânico
S
δω
.
Multiplicando-se a equação por ( )212112 HHHHH +×= vem:
G2 G1 ~ ~ δ12
δ(t)
t
Análise de Sistemas de Potência
107
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+×
−+×
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
×−
+×
=××
21
12
21
21
21
12
21
21212
2122
HHHP
HHHP
HHHP
HHHP
dtdH eemecânicomecânico
S
δω
, que está na forma
1212212
2122
emecânicoS
PPdt
dH−=×
× δω
,
onde:
21
2112 HH
HHH+×
= , 21
122112 HH
HPHPP mecânicomecânicomecânico +
×−×= e
21
122112 HH
HPHPP eee +
×−×= .
A solução da equação de oscilação é a diferença entre 1δ e 2δ , mostrada na Figura 4.10.
Figura 4.10 - Solução com máquinas não coerentes
Exemplo 4.2. G1 é gerador síncrono e G2 motor síncrono, conectados por rede puramente reativa. Desprezando-se as perdas vem:
mecânicomecânicoG PPP =−= 11 ,
eee PPP =−= 21 , mecânicomecânico PP =12 , ee PP =12 ,
emecânicoS
PPdt
dH−=×
×212
2122 δ
ω.
4.8 – Equação potência-ângulo
Esta equação reúne o modelo do balanço eletromecânico, equação de oscilação, com o modelo elétrico do sistema, que são as equações do fluxo de potência, ou seja,
emecânicoS
PPdtdH
−=××
2
22 δω
.
Hipóteses: 1) A potência mecânica fornecida para a máquina é constante devido à dinâmica lenta do
regulador de velocidade da máquina motriz, logo toda a perturbação só está na potência elétrica. Se mecânicoe PP = a máquina está em regime permanente e gira na velocidade síncrona Sω , se mecânicoe PP < a máquina acelera, se mecânicoe PP > a máquina freia.
2) A variação da velocidade é pequena )( ωΔ , esta não afeta a tensão interna da máquina, logo E&
é constante. 3) Modelo da máquina síncrona.
A Figura 4.11 mostra o modelo da máquina síncrona, onde dx' é a reatância transitória de eixo direto.
4) Os ângulos de carga são medidos em relação a uma referência única, a referência do sistema.
t
δ12
Análise de Sistemas de Potência
108
Figura 4.11 - Modelo da máquina síncrona
Seja gerador ligado ao sistema e este ligado a outro gerador como mostrado na Figura 4.12(a).
(a)
(b)
Figura 4.12 - Representação do sistema e das máquinas As tensões nas barras 1 e 2 são as de interesse, pois guardam o ângulo delta da tensão interna. A
rede, sistema acrescido com dx' , mostrado na Figura 4.12(b), é representada pela matriz admitância de barra,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2221
1211
YYYY
YBARRA .
Pela equação do fluxo de potência,
{ }∑=
×+×××=n
mkmkmkmkmmkk senBGVVP
1
)()cos( θθ ,
que para a barra 1 fica,
)()cos( 12122112122111211 δδ senBEEGEEGEP ×××+×××+×= .
Substituindo-se nesta equação )()cos( 12121212121212 θθ senYjYjBGY ×+×=+= vem:
)()()cos()cos( 121212211212122111211 δθδθ sensenYEEYEEGEP ××××+××××+×= .
Colocando-se termos em evidência fica:
( ))()()cos()cos( 12121212122111211 δθδθ sensenYEEGEP ×+××××+×= .
Lembrando-se que )()()cos()cos()cos( bsenasenbaba ×+×=− vem:
)cos( 1212122111211 θδ −×××+×= YEEGEP .
Chamando-se 2/1212 πγθ += vem:
)()2/cos()cos( 121212121212 γδπγδθδ −=−−=− sen .
δ∠E
jx'd
∼ α∠tV
1 2~ ~ Sistema com
x'd das máquinas
E1∠δ1 E2∠δ2
jx'd1
~ ~ Sistema
1E& 2E& jx'd21 2
Análise de Sistemas de Potência
109
)( 1212122111211 γδ −×××+×= senYEEGEP , que é a equação potência-ângulo. Esta equação é da
forma:
=1P teconsP tan )( 1212 γδ −×+ senPmáximo , mostrada na Figura 4.13.
Figura 4.13 - Gráfico da equação potência-ângulo
Caso particular: somente reatâncias, desprezam-se as resistências.
011 =G , 12
121
xY = , 02/2/2/1212 =−=−= πππθγ .
ePsenx
EEP =××
= )( 1212
211 δ ,
onde 12x é a reatância de transferência entre as barras 1 e 2. A Figura 4.14 mostra a potência versus o ângulo delta de sistema representado somente por reatâncias.
Figura 4.14 - Potência em sistema representado somente por reatâncias
Exemplo 4.3. Determinar a curva potência-ângulo, Pe × δ, do sistema da Figura 4.15 nas condições de operação a
seguir, sabendo-se que a barra a é barra infinita.
Figura 4.15 - Sistema do Exemplo 4.3 onde a barra a é uma barra infinita x'd = 0,20; Pe = 1,0 pu, logo Pmecânico = 1,0 pu; Vt = 1,0 pu (tensão terminal do gerador); H = 5
MJ/MVA ou 5 s.
P1
δ12 γ12 γ12+π/2
Pconstante + Pmáximo
Pconstante
π/2 δ12
Pmáximo
P1
j0,40
j0,40
j0,10
Pe
000,1 ∠=aE&
G1 G2
a
Análise de Sistemas de Potência
110
a) Condição normal de operação
A Figura 4.16 mostra o diagrama de impedâncias do sistema da Figura 4.15 em condição normal de operação.
Figura 4.16 - Diagrama de impedâncias pré falta do sistema da Figura 4.15
)( 12)_(1
1)_)(1( δsenx
EEP permanenteregimea
apermanenteregimeae ×
×=
&&,
5,04,0//4,01,02,0)_(1 jjjjjx permanenteregimea =++= .
Potência elétrica transmitida entre as barras t e a.
)()_()_)((
tpermanenteregimeta
atpermanenteregimetae sen
xVVP δ×
×= .
3,04,0//4,01,0)_( jjjjx permanenteregimeta =+= .
Substituindo-se valores vem: 0)_)(( 46,173,0)()(
3,00,10,10,1 =⇒=→×
×== ααα sensenP permanenteregimeta
e .
IjVE t&&& ×+= 20,01 , 0
0073,8012,1
3,000,146,170,1
3,0∠=
∠−∠=
−=→
jjEVI at&&
& ,
01
00001 44,2844,2805,173,890012,120,046,170,1 =→∠=+∠×+∠= δE& . Se 0
2 0=δ vem:
)(10,2)(5,0
0,105,1 )_)(1()_)(1( δδ senPsenP permanenteregimeae
permanenteregimeae ×=⇒×
×= .
b) Curto-circuito trifásico no meio da linha inferior
A Figura 4.17 mostra o diagrama de impedâncias do sistema da Figura 4.15 quando submetido
a curto trifásico no centro de uma das linhas de transmissão.
Figura 4.17 - Diagrama de impedâncias do sistema da Figura 4.15 sob falta
)( 1)(1
1))(1( δsenx
EEP faltaa
afaltaae ×
×= .
≡
j0,40 1E&
j0,10 j0,20
000,1 ∠=aE&
G1
j0,40
G2 Vt = 1,0∠α
1 a 2
j0,20 1E&
j0,10 j0,20
000,1 ∠=aE&
G1
j0,40
G2
j0,20
1 a 2 ≡
Análise de Sistemas de Potência
111
Método para resolver a rede: determinar YBARRA, no caso de dimensão 3 e depois reduzi-la para a dimensão igual ao número de geradores. A Figura 4.18 mostra a rede redesenhada com a falta, as barras renumeradas e agora com as admitâncias dos elementos.
Figura 4.18 - Diagrama de admitâncias do sistema da Figura 4.15 sob falta
Utilizando-se o algoritmo de construção da matriz YBARRA vem:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
83,1050,233,350,250,700,033,300,033,3
jjjjjjj
YBARRA .
Deseja-se a reatância de transferência entre as barras 1 e 2. Fazendo-se a eliminação da barra 3 por
Kron vem:
308,283,10
33,333,333,3'11 jj
jjjY −=−
×−−= ,
769,083,10
50,233,300,021'12' jj
jjYY =−
×−== ,
923,683,10
5,250,250,7'22 jj
jjjY −=−
×−−= .
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
923,6769,0769,0308,2
'jj
jjY BARRA .
A admitância de transferência entre as barras 1 e 2 é: 769,01212 jYy −=−= ,
300,1769,0
112 =
−=
jx .
)(808,0)(300,1
0,105,1 ))(1())(1( δδ senPsenP faltaae
faltaae ×=⇒×
×= , onde as duas tensões são constantes.
c) Os dois disjuntores da linha inferior são abertos para a eliminação da falta
A Figura 4.19 mostra o diagrama de impedâncias do sistema da Figura 4.15 com a linha sob
falta removida.
Figura 4.19 - Diagrama de impedâncias do sistema da Figura 4.15 com a linha sob falta removida
)(5,1)(70,0
0,105,1)( )_)(1()_(
12
21)_)(1( δδδ senPsensenx
VEP faltapósaefaltapós
faltapósae ×=⇒×
×=×
×= ,
onde as duas tensões são constantes.
–j2,5
–j5,0 –j5,0
1E&
–j3,33
000,1 ∠=aE&
G1 G2
1 2
3
j0,10j0,20 j0,40
1E& 000,1 ∠=aE& G1 G2
1 a 2≡
Análise de Sistemas de Potência
112
d) Equações de oscilação dos três casos abordados.
1. Antes da falta
)(1,20,10,377
0,102
2δδ sen
dtd
×−=× .
2. Durante a falta
)(808,00,10,377
0,102
2δδ sen
dtd
×−=× .
3. Após a falta
)(5,10,10,377
0,102
2δδ sen
dtd
×−=× .
A Figura 4.20 resume as três curvas obtidas, potência elétrica versus ângulo, e o ponto de operação
antes da falta.
Figura 4.20 - Figura com os casos a, b, c estudados
4.9 – Conceitos sobre o regime transitório da máquina síncrona
O sistema exemplo da Figura 4.15 opera em regime permanente no ponto a mostrado na Figura 4.21. Em t = 0 ocorre curto-circuito trifásico temporário nos terminais do gerador com potência elétrica transmitida igual a zero e a máquina passa a operar no ponto b. Durante o curto a potência elétrica transmitida é igual a zero (Pe = 0,0), a máquina acelera e o ângulo delta aumenta. Quando t = tcrítico e δ = δcrítico o curto é eliminado, ficando o sistema com a mesma configuração inicial. A máquina volta a operar na senóide, no ponto d, e começa a frear pois mecânicoe PP > , porém devido a inércia do rotor o ângulo delta continua a aumentar. No caso do sistema ser estável para esta perturbação e para este tempo de limpeza da falta, o ponto e, para o qual a velocidade do rotor é a síncrona, não pode passar de δmáximo. Neste caso (estável) a máquina desacelera, porém não fica no ponto de operação a devido a inércia do rotor, indo então até o ponto f, onde a velocidade é a síncrona. Novamente a máquina acelera e continua a oscilar até se estabilizar no ponto a, pois a configuração do sistema é a mesma antes da falta e após a eliminação da falta.
Figura 4.21 - Oscilação da máquina para falta trifásica e potência elétrica transmitida nula
A Tabela 4.1 resume o balanço de potência em cada um dos pontos de interesse da curva potência-ângulo da Figura 4.21.
2,10
1,50
Pmecânico = 1,0 0,808
δ0 δ
curva pré falta, 2 linhas curva pós falta, 1 linha curva em falta, 2 linhas+falta
Pe
f
ad e
δmáximo = π – δ0
Pmecânico
Pe
δcrítico δ0
Pmáximo
δ2
ωR0
δ cb
ωR0
ωR0
Análise de Sistemas de Potência
113
Ponto de operação
Balanço de potência
Aceleração 22 dtd δ
Velocidade angular
a Pe = Pmecânico 0 ωS
b→c Pe < Pmecânico + > ωS
d→e Pe > Pmecânico – > ωS
e Pe > Pmecânico – ωS
e→a Pe > Pmecânico – < ωS a→f Pe < Pmecânico + < ωS
f Pe < Pmecânico + ωS
Tabela 4.1 - Balanço de potência em regime transitório
Critério das áreas iguais: A1 acelera e A2 freia. →> 21 AA instável.
A máquina pode operar em regime permanente até 900.
4.10 – Critério das áreas iguais
O critério das áreas iguais é usado para analisar a estabilidade transitória de uma máquina contra uma barra infinita ou para examinar a estabilidade transitória de duas máquinas, sem a necessidade de solucionar a equação de oscilação. A seguir conceitos para esta análise.
4.10.1 – Potência elétrica transmitida igual a zero durante o curto
A3 = A4, onde a área vai até o eixo Pmecânico. A máquina não pode passar, na parte descendente da curva, da potência mecânica.
Figura 4.22 – Critério das Áreas Iguais
Seja a equação swing,
emecânicoS
PPdtdH
−=××
2
22 δω
. Se
Rω é a velocidade do rotor em relação à velocidade síncrona, ω é a velocidade do rotor,
Sω é a velocidade síncrona, então dtdSR δωωω =−= . Multiplicando-se o membro da esquerda da equação swing por Rω e o
membro da direita por dtdδ e lembrando-se que dtddtd Rωδ =22 vem:
( )dtdPP
dtdH
emecânicoR
RS
δωωω
×−=××× 2 ,
( ) δωω
dPPdHemecânicoR
S−=× 2 ,
δmáximo = π – δ0
Pmecânico
Pe
δcrítico δ0
A1
A2
Pmáximo
δ2
ωR0
δ
Análise de Sistemas de Potência
114
( )∫∫ −=×2
0
22
0
δ
δ
ω
ω
δωω
dPPdHemecânicoR
S
R
R
,
( ) ( )∫ −=−×2
0
20
22
δ
δ
δωωω
dPPHemecânicoRR
S.
Considerando-se que tanto no ponto δ0 quanto no ponto δ2 a velocidade do rotor é a síncrona, isto
é, ω = ωS, ωR0 = ωR2 = 0,
( )∫ =−2
0
0δ
δ
δdPP emecânico ,
que resume o critério das áreas iguais, que pode ser aplicado a quaisquer dois pontos em que a
velocidade do rotor é a velocidade síncrona. Integrando-se a equação acima vem:
( ) ( )∫∫ =−+−2
0
0δ
δ
δ
δ
δδcrítico
crítico
dPPdPP emecânicoemecânico ,
( ) ( )444 3444 21444 3444 21
2
2
1
0
A
mecânicoe
A
emecânico
crítico
crítico
dPPdPP ∫∫ −=−δ
δ
δ
δ
δδ ,
a potência elétrica é assumida zero, pois a falta é na barra do gerador. A Figura 4.23 mostra as
áreas A1 e A2.
4.10.2 – Ângulo crítico de eliminação da falta para potência elétrica nula transmitida durante a falta
Figura 4.23 - Critério das áreas iguais Se críticoabertura δδ > o sistema é instável.
21 AA =
( ) 01
0
δδδδ
δ
×−×=−= ∫ mecânicocríticomecânicoemecânico PPdPPAcrítico
, pois a potência elétrica transmitida
durante a falta é zero.
( ) ( )∫∫ −×=−=máximo
crítico
máximo
crítico
dPsenPdPPA mecânicomáximomecânicoe
δ
δ
δ
δ
δδδ )(2 ,
máximomecânicocríticomecânicocríticomáximomáximomáximo PPPPA δδδδ ×−×+×+×−= )cos()cos(2 .
δmáximo = π – δ0
Pmecânico
Pe
δcrítico δ0
A1
A2
Pmáximo
δ
Análise de Sistemas de Potência
115
Igualando-se A1 e A2 vem:
)cos()()cos( 0 máximomáximomáximo
mecânicocrítico P
Pδδδδ +−×= .
Sabendo-se que 0δπδ −=máximo e )cos()cos( 0δδ −=máximo vem:
)( 00δδ senPPP máximoemecânico ×== ,
)cos()2()()cos( 000 δδπδδ −×−×= sencrítico . Tirando-se o valor de críticoδ vem:
{ })cos()2()(cos 0001 δδπδδ −×−×= − sencrítico radianos. (4.10)
A fórmula de críticoδ , para potência elétrica transmitida igual a zero durante a falta, só depende de
0δ , logo a estabilidade do sistema só depende do ponto de operação.
4.10.3 – Tempo crítico de eliminação de falta
Este tempo está associado ao ângulo críticoδ . Para o período de aceleração A1 vem:
( )H
PPPHdt
d mecânicoSemecânico
S
××
=−×
=222
2 ωωδ , pois a potência elétrica transmitida durante a falta é
zero, e a velocidade relativa do rotor é:
tH
PdtH
Pdtd mecânicoS
tmecânicoS
R ××
×=
××
== ∫ 220
ωωωδ ,
0
2
0042
δωω
ωδ +×
××=
×××
== ∫∫ HtPdt
HtPdt mecânicoS
tmecânicoS
t
R , pois em t = 0 o ângulo é 0δ .
O tempo crítico que corresponde ao delta crítico é:
( )mecânicoS
críticocrítico P
Ht×
××−=
ωδδ 40 segundos onde os ângulos estão em radianos. Válida somente quando
a potência elétrica transmitida durante o defeito é zero. Se o tempo de eliminação do defeito (tabertura) for maior que o tempo crítico (tcrítico) o sistema será
instável. Exemplo 4.4. Determinar o tempo crítico e o ângulo crítico para o sistema da Figura 4.24 operando em regime
permanente quando ocorre falta trifásica na saída do gerador. 5=H MJ/MVA = 5 s.
Figura 4.24 - Sistema exemplo
Determinação do ângulo de operação em regime permanente )( 0δ . Do exemplo anterior 0,1)(10,2 =×= δsenPe pu 496,044,28 0
0 ==→δ radianos. Por substituição
direta da fórmula determina-se o ângulo crítico, { })cos()2()(cos 0001 δδπδδ −×−×= − sencrítico ,
426,1=críticoδ radianos ou 072,81=críticoδ , mostrado na Figura 4.25.
j0,10 000,1 ∠=aE&
G1
j0,40
j0,40
G2
Análise de Sistemas de Potência
116
Figura 4.25 - Curva potência ângulo do sistema exemplo antes da falta
22,00,10,377
20)496,0426,1(=
××−
=críticot segundos, ou 13 ciclos.
4.10.4 – Análise de casos
Seja o sistema da Figura 4.24. 1) Falta trifásica no meio da linha eliminada instantaneamente pelo desligamento da linha e
posteriormente religada com sucesso
A falta ocorre quando a máquina opera em regime permanente com ângulo δ0. Na ocorrência do curto esta passa a operar na curva inferior, pois a linha em falta foi aberta instantaneamente. A máquina oscila e após algum tempo tem como ponto de repouso o ângulo δ1 pois neste ponto Pe = Pmecânico. Quando em δ1 a linha é religada e a máquina volta a operar na curva superior. Esta oscila até repousar em δ0. A Figura 4.26 mostra o exposto.
Figura 4.26 - Curvas potência ângulo em caso de defeito
2) Falta trifásica no meio da linha, que é posteriormente eliminada pela abertura da linha em falta e depois religada com sucesso. Em críticoδ ocorre o desligamento da linha em falta. Em tδ ocorre o religamento da linha. A máquina opera em regime permanente em δ0. Quando ocorre o curto-circuito trifásico, esta passa a operar na curva inferior e acelera. Quando em δcrítico a linha é aberta e a máquina passa a operar na curva do meio. Devido a inércia do rotor o ângulo δ continua a abrir (aumentar) e, quando em δt a linha é religada com sucesso e a máquina passa a operar na curva superior. A Figura 4.27 mostra o exposto.
Figura 4.27 - Falta não removida instantaneamente O sistema é estável se com apenas 1 linha o ponto de equilíbrio é 1δ .
δmáximo
Pmecânico
Pe
δcrítico δ0
=
=
δ
2 linhas 1 linha 2 linhas+falta
δmáximo
Pmecânico = 1,0
Pe
δcrítico δt δ0 δ1 δ
δmáximo
Pmecânico
Pe
δcrítico δ0 δ1
=
=
δ
2 linhas 1 linha
Análise de Sistemas de Potência
117
4.10.5 – Ângulo crítico de eliminação da falta com transmissão de potência elétrica diferente de zero durante a falta
A Figura 4.28 mostra o sistema a ser estudado e a Figura 4.29 mostra as três diferentes curvas
potência-ângulo.
Figura 4.28 - Sistema exemplo
Figura 4.29 - Curvas potência-ângulo
O sistema da Figura 4.28 opera em regime permanente com o ângulo interno da máquina 0δ e com
emecânico PP = quando ocorre curto-circuito trifásico no centro da linha inferior. A máquina passa então a operar na curva inferior da Figura 4.29 e acelera. A limpeza da falta acontece em δcrítico com a abertura da linha em falta, e a máquina passa a operar na curva do meio. Devido a inércia do rotor o ângulo delta continua a abrir (aumentar). A limpeza da falta tem que ser tal que A1 ≤ A2.
O ângulo delta crítico ( críticoδ ) de abertura será na condição A1 = A2.
( )∫ −=crítico
dPPA faltaemecânico
δ
δ
δ0
)(1 , ( )∫ −=
máximo
crítico
dPPA mecânicofaltapós
e
δ
δ
δ)_(2 .
Sabendo-se que a potência transmitida em regime permanente é:
),()_( δsenPP máximo
permanenteregimee ×=
)()( 1
)()( δδ senPrsen
PP
P máximomáximo
faltamáximofalta
e ××=×=,
)()( 2
)_()_( δδ senPrsen
PP
P máximomáximo
faltapósmáximofaltapós
e ××=×=, onde
máximo
faltamáximo
PP
r)(
1 =, máximo
faltapósmáximo
PP
r)_(
2 =.
( ) ( ) ( ] crítico
crítico
máximocríticomecânicomáximomecânico PrPdsenPrPA δδ
δ
δ
δδδδδ0
0
)cos()( 1011 −××−−×=××−= ∫,
)cos()cos( 01101 δδδδ ××−××+×−×= máximocríticomáximomecânicocríticomecânico PrPrPPA .
000,1 ∠=aE& G1 G2
δ0 δ1 δcrítico δmáximo
Pmecânico
Pe
δ
2 linhas 1 linha 2 linhas+falta
Análise de Sistemas de Potência
118
( ) ( ] ( ]∫ ×−−××=−××=máximo
crítico
máximo
crítico
máximo
crítico mecânicomáximomecânicomáximo PPrdPsenPrAδ
δ
δδ
δδ δδδδ )cos()( 222 ,
)cos()cos( 222 máximomáximocríticomáximomáximomecânicocríticomecânico PrPrPPA δδδδ ××−××+×−×= . Igualando-se as expressões de A1 e A2 vem: ( ) ( )+−×=××− 012 )cos( δδδ máximomecânicocríticomáximo PPrr
)cos()cos( 012 δδ ××−××+ máximomáximomáximo PrPr ,
( )
12
0120 )cos()cos()cos(
rr
rrPP
máximomáximomáximo
mecânico
crítico −
×−×+−×=
δδδδδ ,
( )
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
×−×+−×= −
12
01201
)cos()cos(cos
rr
rrPP
máximomáximomáximo
mecânico
crítico
δδδδδ ,
mecânicomáximomáximo PsenPr =××→−= )(180 1210 δδδ , mecânico
faltapóse PP =)_( ,
)( 0δsenPP máximomecânico ×= .
Não existe fórmula analítica para a determinação do tempo crítico se a potência elétrica for
diferente de zero durante a falta.
Exemplo 4.5: Calcular o ângulo crítico de limpeza da falta trifásica do sistema da Figura 4.30 cujos dados são os
mesmos dos mostrados na Figura 4.15.
Figura 4.30 – Sistema exemplo
)(10,2)_( δsenP faltapré
e ×= ,
)(808,0)( δsenP faltae ×= ,
)(50,1)_( δsenP faltapóse ×= ,
0,1=mecânicoP pu. Cálculo do ângulo de operação em regime permanente.
4963,044,28)(10,2 000 ==→×= δδsenPmecânico radianos.
10,250,1
2 =r , 10,2808,0
1 =r
Cálculo do ângulo delta máximo.
73,0)(50,10,1 11 =→×= δδsen radianos ou 01 81,41=δ ,
41,273,0 =−= πδmáximo radianos ou 019,138 ,
000,1 ∠=aE& G1 G2
Análise de Sistemas de Potência
119
( )
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
×−×+−×= −
12
01201
)cos()cos(cos
rr
rrPP
máximomáximomáximo
mecânico
crítico
δδδδδ ,
substituindo valores vem:
( )
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
−
×−×+
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−
−×= −
10,2808,0
10,25,1
)4963,0cos(10,2808,0)41,2cos(
10,25,1
10,2808,0
10,25,1
4963,041,210,20,1
cos 1críticoδ .
44,1=críticoδ rad 076,82= . Quando a potência transmitida foi zero, o ângulo foi de 81,690.
4.11 – Coeficiente de potência sincronizante
O coeficiente de potência sincronizante (SP) é um indicador da estabilidade do ponto de operação da máquina. A Figura 4.31 mostra a curva potência-ângulo de uma máquina. Conhecendo-se a potência mecânica fornecida ao gerador, existem dois pontos de operação possíveis, δ0 e (π – δ0). O objetivo é identificar quais destes pontos são aceitáveis. Um ponto de operação é aceitável se quando neste ponto de operação a máquina não perde o sincronismo para pequenas alterações da potência elétrica de saída da máquina.
Figura 4.31 - Pontos de operação possível
4.11.1 – Análise da equação de oscilação linearizada
Análise da estabilidade para pequenas perturbações é o mesmo que análise linearizada da estabilidade.
Seja máquina operando com as condições iniciais δ0, )0(eP . Nestas condições
)( 0
)0( δsenPP máximoe ×= . Seja a perturbação δδδ Δ+= 0 , que implica em eee PPP Δ+= )0( . A expressão geral da potência elétrica transmitida é: )(δsenPP máximoe ×= . Substituindo-se a perturbação nesta equação vem:
( ) eemáximomáximoe PPsensenPsenPP Δ+=×Δ+Δ××=Δ+×= )0(000 )cos()()cos()()( δδδδδδ .
Como o ângulo Δδ é incremental, 1)cos( ≅Δδ e δδ Δ≅Δ )(sen .
δδδ Δ××+×=Δ+ )cos()( 00)0(
máximomáximoee PsenPPP . O primeiro termo da potência elétrica é aquela da condição inicial, idêntica à potência mecânica, e
o segundo termo é a variação incremental da potência elétrica. δδ Δ××=Δ )cos( 0máximoe PP .
π – δ0
Pmecânico
δ0 δ
Pe
Análise de Sistemas de Potência
120
O coeficiente de potência sincronizante é definido como: )cos( 0δ×= máximoP PS . Verifica-se que
)cos( 0δ×máximoP é a tangente da curva potência ângulo no ponto de operação δ0, ou seja,
0δδδ =
=ddPS e
P , inclinação da tangente à curva Pe no ponto δ0.
Figura 4.31 - Coeficiente de potência sincronizante Seja a equação de oscilação da máquina síncrona
2
22dtdHPP
Semecânico
δω
××
=− . Substituindo-se os valores da perturbação:
( )2
022
dtdHSP
SPe
δδω
δΔ+
××
=Δ×−=Δ− .
Como δ0 é constante,
( ) 022
2=Δ×
××
+Δ
δωδ
HS
dtd PS , que é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem cuja
solução depende do sinal de SP. Resolvendo-se esta equação pelo polinômio característico vem:
02
2 =××
+HSS PSω ,
HSS PS
××−
±=212ω .
Se SP > 0, HSjS PS
××
±=212ω , que corresponde a movimento oscilatório de amplitude constante.
Se SP < 0, HSS PS
××
±=212ω , que corresponde a uma exponencial crescente e uma exponencial
decrescente, portanto instável. Solução geral no domínio do tempo.
tStS eBeAt ×× ×+×=Δ 21)(δ .
Seja HSPS
n ××
=2
2 ωω .
Se SP > 0, tjtj nn eBeAt ××− ×+×=Δ ωωδ )( .
Figura 4.32 - Solução para SP positivo
Se SP < 0, tt nn eBeAt ××− ×+×=Δ ωωδ )( .
π – δ0
Pmecânico
Pe
δ0 δ
SP > 0 SP < 0
δ δ0
t
Análise de Sistemas de Potência
121
Figura 4.33 - Solução para SP negativo
4.11.2 – Análise gráfica da potência elétrica para pequenas oscilações
Figura 4.34 - Interpretação do coeficiente de potência sincronizante
Observando-se a Figura 4.34 conclui-se que se: • no ponto de operação δ0, o aumento do ângulo de carga (δ0 + Δδ) implica em um aumento em
Pe ( ee PP Δ+)0( ). Conseqüentemente, como Pe > Pmecânico, a máquina freia, tendendo a retornar ao ponto de operação original. Raciocínio análogo aplica-se quando Pe < Pmecânico (a máquina acelera). Ou seja, o ponto de operação δ0 é um ponto de equilíbrio estável.
• no ponto de operação π – δ0, o aumento do ângulo de carga (π – δ0 + Δδ) implica em um redução em Pe ( ee PP Δ−)0( ). Conseqüentemente, como Pe < Pmecânico,a máquina acelera, tendendo a aumentar ainda mais o ângulo δ. Raciocínio análogo aplica-se quando Pe > Pmecânico (a máquina freia). Ou seja, o ponto de operação π – δ0 é um ponto de equilíbrio instável.
Conclusão. Os pontos de operação aceitáveis são aqueles onde o coeficiente de potência sincronizante é positivo, ou seja, 0900 <≤ δ .
A freqüência angular natural da oscilação é:
HSPS
n ××
=2ω
ω [radianos elétricos/segundo].
A freqüência natural de oscilação é:
HSf PS
n ××
××
=22
1 ωπ
[Hz].
δ
δ0
δ0, δ0 + Δδ, π – δ0 – Δδ, π – δ0
Pe
)0(eP = Pmecânico
ee PP Δ+)0(
δ0
Análise de Sistemas de Potência
122
Exemplo 4.6
O sistema da Figura 4.35 está na condição normal de operação em regime permanente, com 0
0 44,28=δ , H = 5 MJ/MVA, 60 Hz, sendo )(10,2 δsenPe ×= . Determinar a freqüência angular natural de oscilação nω da máquina sabendo-se que esta sofreu um pequeno distúrbio elétrico temporário. Determinar também a freqüência natural de oscilação fn.
Figura 4.35 – Sistema Exemplo
Figura 4.36 – Curva de Ângulo de Potência
85,1)cos(10,2 0 =→×= PP SS δ ,
34,80,10
85,10,377=
×=nω radianos elétricos/segundo,
33,12
=×
=π
ωnnf Hz, valor típico para sistema de 60 Hz, e T = 1/fn = 0,753 s.
4.12 – Estudo de estabilidade multi-máquinas
O estudo de estabilidade multi-máquina serve para analisar a estabilidade transitória do sistema. É aplicado para qualquer número de máquinas.
4.12.1 – Modelo clássico de estabilidade
O modelo clássico de estabilidade considera: 1) Injeção de potência mecânica constante durante todo o período de análise. 2) Potência de amortecimento desprezível. 3) Que o modelo da máquina síncrona consiste de fonte de tensão interna em série com a
reatância de eixo direto ( dx' ).
4) Que a posição angular do rotor coincide com a fase da tensão interna, ou seja, δ∠= EE& . 5) Que as cargas do sistema são representadas por modelo de impedância constante. 6) Em geral, apenas o curto-circuito trifásico para efeito de estudo.
000,1 ∠=aE& G1 G2
δ0
Pmecânico
Pe
δ
Análise de Sistemas de Potência
123
4.12.2 – Etapas do estudo
1) A condição pré falta é obtida da solução do fluxo de potência, que fornece V, θ, P, Q em cada barra.
2) Calcular, a partir da solução do fluxo de potência em cada barra, a tensão interna das máquinas, ou seja, determinar E& como exemplificado na Figura 4.37.
Figura 4.37 - Determinação da tensão interna das máquinas
IjxVE dt&&& ×+= ' ,
**
**
tVjQP
VSIIVS −
==→×=&
&&&&& .
3) Conversão das cargas modeladas por potência constante para o modelo de impedância constante.
Figura 4.38 - Conversão das cargas para modelo de impedância constante
O modelo de representação da carga é impedância constante, porém, como se precisa montar a
matriz YBARRA, modela-se esta carga como admitância.
2V
jQPy −= ou
VIy &
&= .
4) Montagem da matriz YBARRA aumentada.
Incluir as cargas modeladas por impedância constante assim como as reatâncias transitórias dos geradores na matriz YBARRA, resultando na matriz )(aumentada
BARRAY . A dimensão da matriz YBARRA será aumentada do número de geradores de interesse.
Figura 4.39 - Matriz YBARRA aumentada
5) Redução da matriz )(aumentadaBARRAY à dimensão do número de geradores (n).
x'd k
P Q ⇒=∠ tVV &θ
k
tVV &=∠θ
E&
I&
m
P + jQ ⇒ θ∠V m
θ∠Vy
YBARRA
y2 y1
2E& 1E&
x'd1
x'd2
)(aumentadaBARRAY
Análise de Sistemas de Potência
124
A matriz resultante é a matriz admitância de barra pré falta em regime permanente, isto é, )_()( faltapré
BARRAreduzida
BARRA YY =
Figura 4.40 - Matriz admitância de barra reduzida
6) Modificação da matriz )(aumentadaBARRAY para representar as condições de falta e redução à dimensão
do número de geradores. )__( faltadereduzida
BARRAY , load flow de falta.
7) Modificação da matriz )(aumentadaBARRAY para representar as condições pós falta e redução à dimensão
do número de geradores. )__( faltapósreduzida
BARRAY , load flow pós falta.
8) Equações de oscilação dos geradores nas condições de falta e pós falta.
• Condição de falta
2
22dt
dHPP i
Seimecânicoi
δω
××
=− , i = 1, n, onde )_( faltapréeimecânicoi PP = , calculado no fluxo de
potência.
Resolve-se o sistema de equações de oscilação das máquinas com o uso de um método de integração de t = 0, instante da aplicação da falta, até o tempo de eliminação da falta. A cada passo de integração resolve-se o load-flow e atualiza-se a potência elétrica, pois o ângulo delta varia, logo varia a potência elétrica injetada.
Figura 4.41 - Ângulo de carga para um sistema com uma máquinas • Condição pós falta.
2
2)_( 2
dtdHPP i
S
faltapóseimecânicoi
δω
××
=− , i = 1, n.
Usa-se agora o método de integração do tempo de eliminação da falta até o tempo final de simulação, normalmente em torno de 10 segundos. A cada passo de integração resolve-se o fluxo de potência agora com a matriz )__( faltapósreduzida
BARRAY . A saída do programa são n gráficos ti ×δ , um para cada máquina, que devem ser analisados por comparação. A Figura 4.42 exemplifica os gráficos de saída
)(reduzida
BARRAY
2E&1E&
1 2
t
δ δ0
falta eliminada
Análise de Sistemas de Potência
125
para sistema de três máquinas. Os gráficos são em relação a uma máquina de referência, normalmente a máquina 1.
Figura 4.42 – Ângulo de carga para um sistema com três máquinas
Notar que se o tempo final de simulação for t1, haverá a falsa interpretação de que a máquina 2 é instável.
4.13 – Fatores que afetam a estabilidade do sistema
1) Tempo de eliminação da falta; 2) Ponto de operação em regime permanente (SP >>> 0); 3) Tipo da falta: trifásica, bifásica e monofásica, em ordem decrescente de severidade; 4) Localização da falta; 5) Impedância de transferência entre a máquina e o sistema, compensação série das linhas,
diminuir a reatância e aumentar a potência transmitida; 6) Características construtivas da máquina, inércia; 7) Controle de velocidade; 8) Condição pós falta; 9) Abertura monopolar dos disjuntores; 10) Reatância transitória da máquina influi na impedância de transferência; 11) Linhas em paralelo.
t
δ(t)
δ02
δ01
δ03
t1
Análise de Sistemas de Potência
126
Capítulo 5 Operação Econômica de Sistemas de Potência 5.1 – Introdução
A frase a seguir resume a operação econômica de um sistema de potência. “A operação do sistema elétrico de potência, para qualquer condição de carga, requer que a
contribuição de cada unidade geradora seja determinada de modo a que o custo da potência fornecida seja mínimo”.
A programação da geração consiste em estabelecer metas de geração de cada unidade para diferentes horizontes de tempo, de modo que o custo seja mínimo.
• Plurianuais (5 a 10 anos); • Anuais; • Mensais; • Diárias; • Horárias (despacho na próxima hora); • Instantâneo (despacho econômico).
Os fatores levados em consideração para a programação da geração são:
• Econômico (custo da geração); • Capacidade do sistema de transmissão; • Segurança (confiabilidade do suprimento, mínimo risco de falta de energia elétrica).
5.2 – Características das unidades geradoras
1) Unidades térmicas a carvão, óleo, ou gás natural; a) Custo da operação depende diretamente da potência gerada; b) Não há, a princípio, limitação na quantidade de potência gerada em um período de tempo.
2) Unidades nucleares;
a) O custo de operação é praticamente constante para qualquer potência gerada, pois a maior parte do custo é para a manutenção, e é muito elevado;
b) Usadas como usinas de base.
3) Unidades hidrelétricas. a) O custo de operação é praticamente zero, pois só depende do custo de manutenção; b) Decisões operativas (quanto despachar na máquina) possuem acoplamento temporal, isto é,
decisão tomada agora influi em decisão futura. A previsão da vazão dos rios é feita por séries históricas;
c) Usinas em cascata; d) Afluência de rios; e) Grandes reservatórios (regulação plurianual).
A programação da geração é mais simples em sistemas térmicos, pois o combustível pode ser
estocado, ao contrário dos sistemas hidráulicos, que têm o combustível previsto.
Análise de Sistemas de Potência
127
5.3 – Operação Econômica de Sistemas de Potência - problema da programação da geração 5.3.1 – Sistema térmico
a) Comissionamento de unidades (unit commitment); Devido ao fato da carga total de um sistema elétrico de potência variar no decorrer do dia e
atingir diferentes valores de pico de um dia para o outro, a concessionária de energia elétrica tem que decidir com antecedência quais geradores serão ligados, quando conectá-los ao sistema e também a seqüência em que os geradores devem ser desligados e por quanto tempo. O método computacional para tomar tais decisões é conhecido como comissionamento de unidades.
i) Decidir quais unidades estarão 'on-line'; ii) Questão do custo do 'start up' e 'shutdown'; iii) Questão de reserva girante; iv) Horizonte de 24 horas;
b) Despacho econômico.
i) Decidir qual a melhor (custo mínimo) repartição de carga para as unidades 'on-line', ii) Levar em consideração as perdas do sistema de transmissão e outras restrições operativas
(segurança, confiabilidade etc). 5.3.2 – Sistema hidro-térmico
a) Solucionar o mesmo problema para as unidades térmicas. b) Solucionar o problema aumentado para as unidades hidrelétricas, no qual é preciso minimizar o
custo acrescido do risco de falta de água. 5.4 – Despacho econômico em sistemas térmicos 5.4.1 – Característica das unidades térmicas convencionais
A Figura 5.1 mostra a planta de uma usina térmica.
Figura 5.1 - Planta de uma usina térmica
Existe relação entre a vazão de combustível H e a potência elétrica de saída Pe. A Figura 5.2 mostra
a curva entrada-saída ou 'Heat-rate characteristic'.
Figura 5.2 - Curva típica entrada-saída de uma turbina
H ou C
Pe
potência elétrica turbinacombustível
H: vazão em Btu/hora
caldeira
gerador
serviços auxiliares
A turbina consome H Btu/hora ou tem um custo C em $/hora.
Análise de Sistemas de Potência
128
Como a curva varia incrementalmente, qual a relação CP Δ×Δ , ou seja, qual a curva de custo incremental. A Figura 5.3 mostra a curva de custo incremental referente à Figura 5.2.
Figura 5.3 - Curva de custo incremental
=dPdC custo marginal em $/MWh, modelo do mercado atacadista de energia (MAE).
5.4.2 – Caso particular de 2 geradores sem perda na transmissão
A Figura 5.4 mostra um sistema formado por duas unidades geradoras diretamente ligadas à carga.
Figura 5.4 - Sistema sem perdas na transmissão
O problema consiste em minimizar o custo da geração das duas máquinas, sujeito a restrição 021 =−+ DPPP , o que consiste em resolver o seguinte problema de otimização: ( ) ( ) ( )221121,)min( PCPCPPCf +== , função objetivo, sujeito a
021 =−+= DPPPh , função restrição. A solução do problema são os valores de 1P e 2P de custo mínimo e que satisfaz ao conjunto de
restrições. Seja a função objetivo:
22
212121 )()(),()min( PPPCPCPPCf +=+== , sujeita a
restrição: 021 =−+ DPPP . A Figura 5.5 mostra a função objetivo e a função restrição em três dimensões e também em
projeção vista de C.
Figura 5.5 - Função custo com restrição
P2
P1 ~
~PD
PD PD
C
P1 P2
–∇h
∇h
∇f
PD/2 PD
PD
PD/2
P1
P2
PC
ΔΔ ($/MWh)
)(mínimoeP P1 )(máximo
eP Pe (MW)
linear para o
intervalo válido
Análise de Sistemas de Potência
129
Propriedades do gradiente de uma função. a) É sempre perpendicular à curva de nível da função.
Definição do gradiente da função vetorial f:
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
=∇
nxf
xf
f M1
.
b) O gradiente aponta para a direção de máximo crescimento local.
No ponto ótimo (mínimo) a curva de nível da função objetivo é tangente à curva da função
restrição. No ponto ótimo o gradiente da função objetivo f∇ está alinhado com a função restrição h∇
(mesma direção), logo são linearmente dependentes, logo 0=∇×−∇ hf λ , que é a expressão que rege o processo de otimização. λ é conhecido como multiplicador de Lagrange. 5.4.2.1 – Método dos multiplicadores de Lagrange a) Construir a função (objetivo ou custo) aumentada ou Lagrangeano.
hfL ×−= λ b) A solução ótima ocorre quando 0=∇L
0
1
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂∂∂
∂∂
=∇
λLxL
xL
Ln
M no ponto ótimo.
Interpretação da solução para o caso dos dois geradores.
0=∇L
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂∂∂∂∂
=∇
0
0
0
2
1
λLPLPL
L , onde cada termo do gradiente do lagrangeano deve ser zero.
( )DPPPPPL −+×−+= 21
22
21 λ . Na solução tem-se:
02 11
=−×=∂∂ λPPL ,
02 22
=−×=∂∂ λPPL ,
( ) 021 =−+−=∂∂
DPPPLλ
.
Análise de Sistemas de Potência
130
Resolvendo-se o sistema acima vem: 21 λ=P , 22 λ=P ,
DP=λ . Solução: 2/221 λ=== DPPP . Caso geral:
( )DPPPCCL −+×−+= 2121 λ ,
1
1
1
1
1 dPdC
dPdC
PL
=→−=∂∂ λλ ,
2
2
2
2
2 dPdC
dPdC
PL
=→−=∂∂ λλ ,
( ) ,021 =−+−=∂∂
DPPPLλ
0=h .
Conclusão: A condição necessária para que um ponto de operação seja de custo mínimo é que os custos
incrementais dos geradores sejam iguais a um valor λ, que por sua vez pode ser calculado pelo método
dos multiplicadores de Lagrange. A Figura 5.6 mostra a condição λ==2
2
1
1
dPdC
dPdC , onde DPPP =+ 21
ˆˆ .
Figura 5.6 - Ponto de operação de mínimo custo
Exemplo 5.1.
A Figura 5.7 mostra dois geradores que alimentam carga de 500,0 MW no próprio barramento do gerador. Determinar o custo total mínimo de geração )(mínimo
TC .
2111 002,00,70,400 PPC ×+×+= ($/h),
2222 003,00,80,400 PPC ×+×+= ($/h).
Figura 5.7 - Sistema sem perdas na transmissão
P2
P1 ~
~PD = 500 MW
2
2
dPdC
2̂P
1
1
dPdC
1̂P
λ
P1 P2
Análise de Sistemas de Potência
131
Solução: 21 CCf += ,
0,5002121 −+=−+= PPPPPh D , 0,0=∇→×−= LhfL λ é a solução procurada.
0,7004,00,0004,00,7 111
−=−×→=−×+=∂∂ λλ PPPL ,
0,8006,00,0006,00,8 222
−=−×→=−×+=∂∂ λλ PPPL ,
0,5000,00,500 2121 =+→=−+=∂∂ PPPPLλ
.
Colocando-se o sistema em forma matricial vem:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡×⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
0,5000,80,7
0,00,10,10,1006,00,00,10,0004,0
2
1
λPP
. Invertendo-se a matriz do sistema vem:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
×⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−−−
×λ2
1
0,5000,80,7
000024,0004,0006,0004,00,10,1006,00,10,1
01,01 P
Pt
ou ainda
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⇒
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
×⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−×=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
6,80,1000,400
0,5000,80,7
000024,0004,0006,0004,00,10,1006,00,10,1
0,100 2
1
2
1
λλPP
PP
A solução do sistema é:
0,4001 =P MW, 0,1002 =P MW,
6,8=λ $/MWh. Custo mínimo total:
00,750.4003,00,80,400002,00,70,400 222
211
)( =×+×++×+×+= PPPPC mínimoT $/h.
Outras restrições que devem ser consideradas no processo de otimização: • Capacidade da máquina; • Perdas na transmissão; • Capacidade da transmissão. Se a otimização envolver perda reativa, o problema fica não linear. Será, portanto necessário usar
um programa de fluxo de potência ótimo, que consiste em rodar um load flow sujeito a restrições, como mínima perda nas linhas e mínimo custo de geração.
Análise de Sistemas de Potência
132
5.4.3 – Extensão para o caso de n geradores A Figura 5.8 mostra um sistema com n geradores que alimenta carga. Não existe perda nem
restrição na capacidade das máquinas.
Figura 5.8 - Sistema com n geradores sem perdas na transmissão Objetivo: ( ) ( ) ( ) ( )nn PCPCPCCf +++== K2211min , sujeito a restrição: 021 =−+++= Dn PPPPh K . A solução ótima é:
λ====n
n
dPdC
dPdC
dPdC
K2
2
1
1 . A Figura 5.9 mostra a solução ótima, onde Dn PPPP =+++ ˆˆˆ21 K .
Figura 5.9 - Ponto de operação de mínimo custo para sistema com n geradores
Dn PPPP =+++ ˆˆˆ21 K
5.4.4 – Consideração de limite na capacidade de geração, sem se considerar as perdas na transmissão
Entende-se por limite na capacidade de geração se pelo menos uma das máquinas não puder atender à geração para ela especificada. Seja o sistema da Figura 5.10.
Figura 5.10 - Sistema sem perdas com limite de geração em cada máquina
P2
P1 ~
~PD
Pn ~
M
P2
P1 ~
~ PD
Pn ~
M
nP̂1̂P 2̂P
1
1
dPdC
λ 2
2
dPdC
n
n
dPdC
…
P P P
Análise de Sistemas de Potência
133
Objetivo: ∑== )()min( ii PCCf , sujeito a restrição:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
≤≤
≤≤
=−
=
∑=
)()(
)(11
)(1
1
0
máximonn
mínimon
máximomínimo
n
iDi
PPP
PPP
PP
h
LLLLLLLLL
, n×2 restrições de desigualdade.
Não se pode usar o multiplicador de Lagrange com esta formulação, pois este só funciona para
igualdade nas equações de restrição. Estratégia de solução
)(21
)( máximoiii
máximoii PsPPP =+⇒≤ ,
)(22
)( mínimoiii
mínimoii PsPPP =−⇒≥ ,
onde 2
1is e 22is são positivos e são chamadas de variáveis de folga. O problema fica agora com n×3
variáveis e pode-se usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Noção intuitiva. Rodar o problema sem se considerar as restrições. Se pelo menos um gerador
ultrapassar o limite, estes têm a geração fixada no limite. Os demais geradores são despachados obedecendo a regra dos custos incrementais iguais. Pode-se também ajustar máquina a máquina. A Figura 5.11 mostra solução encontrada que não atende restrição das três máquinas.
Figura 5.11 - Sistema de três máquinas em que a solução não atende às restrições
Solução considerando as restrições:
1)(
3)(
21 P̂PPPP mínimomáximoD ≠−−= .
)()( máximoii
mínimoi
i
i PPPdPdC
≤≤→= λ
)(máximoii
i
i PPdPdC
=→< λ
)(mínimoii
i
i PPdPdC
=→> λ
2
2
dPdC
)(2
mínimoP 2̂P )(2
máximoP
3
3
dPdC
)(3
mínimoP 3̂P )(3
máximoP
1
1
dPdC
)(1
mínimoP 1̂P )(1
máximoP
λ
Análise de Sistemas de Potência
134
Exemplo 5.2 Determinar λ para diferentes condições de carga. Sejam duas máquinas ligadas ao mesmo barramento da carga, isto é, sem perdas, e que todas as
máquinas estão o tempo todo ligadas.
0,8008,0 11
1 +×= PdPdC $/MWh,
4,60096,0 22
2 +×= PdPdC $/MWh,
0,250.10,250 ≤≤ DP MW, 0,6250,100 1 ≤≤ P MW, 0,6250,100 2 ≤≤ P MW.
a) Condição de carga mínima: PD = 250,0 MW
λ==2
2
1
1
dPdC
dPdC ,
λ=+×= 0,8008,0 11
1 PdPdC ,
λ=+×= 4,60096,0 22
2 PdPdC ,
0,021 =−+= DPPPddLλ
onde PD = 250,0.
Montando-se o sistema vem:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡×⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
0,2504,60,8
0,00,10,10,10096,00,00,10,0008,0
2
1
λPP
.
Invertendo-se a matriz do sistema com auxílio do programa MATLAB vem:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⇒
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
×⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
3636,85455,2044545,45
0,2504,60,8
0044,04545,05455,04545,08182,568182,565455,08182,568182,56
2
1
2
1
λλPP
PP
.
A solução é: λ = 8,3636 $/MWh, P1 = 45,4545 MW: passou do limite inferior que é de 100,0 MW 0,1001 =→ P MW, P2 = 204,5455 MW: deve ser ajustado para P2 = 250,0 – 100,0 → P2 = 150,0 MW por causa do
limite de P1.
Se 0,1001 =P MW 80,80,80,100008,011
1 =+×==→ λdPdC $/MWh,
Se 0,1502 =P MW 84,74,60,1500096,022
2 =+×==→ λdPdC $/MWh.
A Figura 5.12 mostra a solução encontrada para a carga mínima especificada.
Análise de Sistemas de Potência
135
Figura 5.12 - Solução para carga mínima e carga máxima Determinação do custo total
∫ ∫∫∫ +×++×=+=100
0
150
02211
02
2
2
01
1
1 )4,60096,0()0,8008,0(21
dPPdPPdPdPdCdP
dPdCC
PP
total ,
( ] ( ]15002
22
10001
21 4,60048,00,8004,0 PPPPCtotal ×+×+×+×= ,
00,908.10,9600,1080,8000,40 =+++=totalC $/h. b) Condição de carga máxima: PD = 1.250,0 MW
λ==2
2
1
1
dPdC
dPdC ,
λ=+×= 0,8008,0 11
1 PdPdC ,
λ=+×= 4,60096,0 22
2 PdPdC ,
0,021 =−+= DPPPddLλ
onde PD = 1.250,0.
Montando-se o sistema vem:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡×⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
0,250.14,60,8
0,00,10,10,10096,00,00,10,0008,0
2
1
λPP
.
A matriz do sistema é a mesma de quando em carga mínima, logo:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⇒
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
×⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
7728,120341,6599659,590
0,250.14,60,8
0044,04545,05455,04545,08182,568182,565455,08182,568182,56
2
1
2
1
λλPP
PP
.
P
1
1
dPdC
0 45,4 100 625
2
2
dPdC
0 100 150 204,5 625
λ=13,0 λ=12,4 λ=8,80 λ=8,36 λ=8,00 λ=7,84 λ=7,36 λ=6,40
Análise de Sistemas de Potência
136
A solução é:
77,12=λ $/MWh, 03,6592 =P MW passou do limite superior que é de 625,0 → P2 = 625,0 MW, 96,5901 =P MW deve ser ajustado para P1 = 1.250,0 – 625,0 → P1 = 625,0 MW, 0,6251 =P MW 0,130,80,625008,01 =+×=→ λ $/MWh, 0,6252 =P MW 4,124,60,6250096,02 =+×=→ λ $/MWh.
A Figura 5.12 mostra estes valores. c) Tomada de carga para valores 250,0 < PD < 1.250,0
Se preciso de 1,0 MW, a máquina 2 é que deve suprir esta potência pois tem custo menor. Isto ocorre até λ = 8,8. i) De PD > 250,0 MW até λ2 = λ1 = 8,8 que corresponde a PD = 350,0 MW → P2 supre demanda.
0,2508,8 22 =⇒= Pλ MW. ii) Se PD = 350,0 MW, λ2 = λ1 = 12,4 que corresponde a PD = 1.175 MW → P1 e P2 suprem demanda juntos com o mesmo λ. λ1 = 12,4 → P1 = 550,0 MW. iii) De PD > 1.175,0 MW, até 1.250,0 MW → P1 supre a demanda.
Resumo do despacho de carga nas várias condições de carga.
PD (MW) P1 (MW) P2 (MW) λ ($/MWh) Comentário 250,0 100,0 150,0 7,84 P2 assume a carga 350,0 100,0 250,0 8,80 P2 assume a carga 500,0 182,0 318,0 9,45 P1 e P2 assumem a carga 700,0 291,0 409,0 10,33 P1 e P2 assumem a carga 900,0 400,0 500,0 11,20 P1 e P2 assumem a carga
1.100,0 509,0 591,0 12,07 P1 e P2 assumem a carga 1.175,0 550,0 625,0 12,40 P1 e P2 assumem a carga 1.250,0 625,0 625,0 13,00 P1 assume a carga
Análise de Sistemas de Potência
137
5.4.5 – Inclusão das perdas na transmissão
Seja a Figura 5.13 onde o gerador G1 está diretamente ligado na barra de carga e o gerador G2 está ligado na barra de carga por linha de transmissão.
Objetivo: ∑== )()min( ii PCCf , sujeito à restrição: ∑=
=−−n
iLDi PPP
1
0 onde PL representa a perda
total do sistema de transmissão.
Figura 5.13 - Despacho ótimo em sistema com perdas
Equações para representar as perdas: • Equações do fluxo de potência; • Equação das perdas, )( iL PfP = .
Seja sistema exemplo da Figura 5.14.
Figura 5.14 - Sistema exemplo para representar as perdas
*333
*222
*111 IIrIIrIIrPL
&&&&&& ××+××+××= , 213 III &&& += , *2
*1
*3 III &&& += .
Substituindo-se 3I& e *
3I& na equação de PL vem:
)()( *2
*1213
*222
*111 IIIIrIIrIIrPL +×+×+××+××= &&&&&& ,
( )*12
*21
*22
*113
222
211 IIIIIIIIrIrIrPL
&&&&&&&& ×+×+×+××+×+×= ,
( ) ( ) ( )*12
*213
2232
2131 IIIIrIrrIrrPL ×+××+×++×+= &&& .
)cos(2 1221
*12
*21 α×××=×+× IIIIII &&& , onde 12α é a diferença entre os ângulos dos fasores 1I& e 2I& .
( ) ( ) ( )12213
2232
2131 cos(2 α××××+×++×+= IIrIrrIrrPL .
)cos()cos(
θθ
×=⇒××=
VPIIVP .
Substituindo-se valores na equação de PL vem:
( ) ( ))cos()cos(
)cos(2)(cos)(cos 22
2
11
1123
222
2
2232
122
1
2131
θθα
θθ ××
××××+
××+
+×
×+=
VP
VPr
VPrr
VPrrPL ,
1221222
2112
1 2 BPPBPBPPL ×××+×+×= , onde:
)(cos 122
1
3111 θ×
+=
VrrB ,
)(cos 222
2
3222 θ×
+=
VrrB ,
)cos()cos()cos(
2121
12312 θθ
α×××
×=
VVrB são chamados de
coeficientes das perdas.
PL G2
G1 ~
~ PD
r3
PL
P1
2I&~ ~
r1 r2
1I&
3I&
P2
Análise de Sistemas de Potência
138
O problema se resume a: Objetivo: ∑== )()min( ii PCCf , sujeito a restrição: ∑ =−− 0)( iLDi PPPP . Como as equações de restrição só envolvem igualdades pode-se usar o método dos multiplicadores
de Lagrange. ( )∑ ∑ −−×−= )()( iLDiii PPPPPCL λ . No ponto de operação ótima 0=∇L logo:
∑ =−−=∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−×−=
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−×−=
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−×−=
∂∂
0)(
1
1
1
22
2
2
11
1
1
iLDi
n
L
n
n
n
L
L
PPPPLdPdP
dPdC
PL
dPdP
dPdC
PL
dPdP
dPdC
PL
λ
λ
λ
λ
LLLLLLLLLLL
Conclusão: deve-se trabalhar com um mesmo custo incremental, comum para todos os geradores,
só que agora o custo incremental é:
i
Li
i
dPdPdP
dC
−×=
1
1λ onde o fator
i
Li
dPdPp
−=
1
1 é chamado de fator de penalidade e i
L
dPdP é a perda
incremental devido ao gerador i. As máquinas são agora despachadas com ii
i pdPdC
×=λ .
Exemplo 5.3. Determinar o despacho ótimo do sistema da Figura 5.15 onde PD = 500,0 MW.
Figura 5.15 - Sistema exemplo de operação ótima com perda na transmissão
11 0,70,400 PC ×+= $/h,
22 0,80,400 PC ×+= $/h, 2
1005,0 PPL ×= ,
( )212121 005,00,5000,80,70,800 PPPPPL ×−−+×−×+×+= λ .
( ) 001,00,10,7 11
=×−×−= PdPdL λ ,
( ) 0,800,10,82
=⇒=×−= λλdPdL ,
0005,00,500 2121 =×−−+= PPP
ddLλ
.
Solução:
5,121 =P MW,
78125,05,12005,0 2 =×=LP MW, 28125,4885,1278125,00,5002 =−+=P MW.
PL G1
G2 ~
~ PD
Análise de Sistemas de Potência
139
Se não houver perda, ou seja, o mesmo sistema, porém sem a equação de PL ter-se-ia:
( )0,5000,80,70,800 2121 −+×−×+×+= PPPPL λ ,
0,700,71
=⇒=−= λλdPdL ,
0,800,82
=⇒=−= λλdPdL , resultado compatível com usina nuclear, pois o custo incremental é
constante. A Figura 5.16 mostra esta condição.
Figura 5.16 - Custo incremental de usina nuclear
A solução ótima neste caso sem perda consiste em despachar toda a carga pela máquina 1, pois esta
apresenta custo incremental menor que a outra máquina, logo P1 = 500,0 e P2 = 0,0. A característica de custo das máquinas térmicas é quadrática. Exemplo 5.4. Mesmo sistema anterior com PD = 500,0 MW, porém com os seguintes custos e restrições:
2111 002,00,70,400 PPC ×+×+= $/h,
2222 002,00,70,400 PPC ×+×+= $/h,
0,500002,0 2121 −×−+= PPPh ,
0,4000,70 1 ≤≤ P , 0,4000,70 2 ≤≤ P ,
21002,0 PPL ×= .
( )0,500002,0002,0002,00,70,70,800 2
1212
22
121 −×−+×−×+×+×+×+= PPPPPPPL λ ,
( ) 0004,00,1004,00,71 1111
1
1=×−×−×+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−×−= PP
dPdP
dPdC
dPdL L λλ ,
0004,00,71 222
2
2=−×+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−×−= λλ P
dPdP
dPdC
dPdL L ,
∑ =−×−+=−−= 00,500002,0)( 2121 PPPPPPP
ddL
iLDiλ.
Solução do sistema não linear:
0004,0004,00,7 11 =××+−×+ PP λλ ,
2004,00,7 P×+=λ ,
12
12 002,00,500 PPP −×+= . Substituindo-se a expressão de P2 na expressão de λ vem:
12
1 004,0002,0004,00,500004,00,7 PP ×−××+×+=λ ,
12
16 004,0100,80,9 PP ×−××+= −λ .
2
2
dPdC
P2
8,01
1
dPdC
7,0
P1
Análise de Sistemas de Potência
140
Substituindo-se esta última expressão de λ na expressão não usada vem: 0004,0)004,01089(004,01089004,07 11
21
61
21
61 =×××−××++×+××−−×+ −− PPPPPP
que ao se agrupar termos fornece:
0,00,2100,44100,24100,32 132
163
19 =−××+××−×× −−− PPP .
Multiplicando-se esta equação por 106 vem:
0,0100,2100,440,24100,32 61
321
31
3 =×−××+×−×× − PPP .
Utilizando-se o programa MATLAB e a função roots vem: pol = [0.032 –24 44000 –2000000]; raiz = roots(pol) fornece como única raiz real para P1 o valor 46,563. Em conseqüência as perdas
são PL = 4,34, 83,8)004,00,1/()004,00,7( 11 =×−×+= PPλ e 77,4572 =P . Tanto o valor de P1 quanto o valor de P2 estão fora dos limites especificados.
Solução: P1 = 46,56 MW, valor abaixo do mínimo. Ajusta-se este valor para P1 = 70,0, valor mínimo. Com
este valor as perdas são: 8,9002,0 21 =×= PPL MW.
P2 = 500,0 – 70,0 + 9,8 = 439,8 MW, valor acima do máximo valor de P2. A abordagem seguinte consiste em fixar o gerador 2 para seu limite máximo, pois este não
apresenta perdas, e o custo é o mesmo que o do gerador 1. P2 = 400,0. Os restantes 100,0 MW e as perdas serão supridas pelo gerador 1, logo basta escrever
211 002,00,100 PP ×+= que em se arrumando termos fornece a equação 00,100002,0 1
21 =+−× PP . As
raízes desta equação são 361,8034 e 138,197. A solução tomada é o menor destes valores, P1 = 138,197. As perdas são 1966,381966,138002,0 2 =×=LP MW. Com estes valores de potências 89,161 =λ e
60,82 =λ . O custo total é:
)002,00,7400()002,00,70,400( 222
21121 PPPPCCCtotal ×+×++×+×+=+= ,
57,925.400,520.357,405.1 =+=totalC . Observação: A solução de perda mínima não é necessariamente a de menor custo. Pode-se usar mais de uma função objetivo para minimização, como por exemplo no problema de
minimizar custos e perdas. Outro exemplo é utilizar uma função objetivo para minimizar o risco de déficit. Exemplo 5.5. Mesmo sistema anterior com PD = 500,0 MW, porém com os seguintes custos e restrições:
2111 002,00,70,400 PPC ×+×+= $/h,
2222 002,00,80,400 PPC ×+×+= $/h,
0,500002,0 2
121 −×−+= PPPh ,
0,4000,70 1 ≤≤ P , 0,4000,70 2 ≤≤ P ,
2
1002,0 PPL ×= .
Análise de Sistemas de Potência
141
( )0,500002,0002,0002,00,80,70,800 2121
22
2121 −×−+×−×+×+×+×+= PPPPPPPL λ ,
( ) 0004,00,1004,00,71 1111
1
1=×−×−×+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−×−= PP
dPdP
dPdC
dPdL L λλ ,
0004,00,81 222
2
2=−×+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−×−= λλ P
dPdP
dPdC
dPdL L ,
∑ =−×−+=−−= 00,500002,0)( 2121 PPPPPPP
ddL
iLDiλ.
Solução do sistema não linear:
0004,0004,00,7 11 =××+−×+ PP λλ ,
2004,00,8 P×+=λ ,
12
12 002,00,500 PPP −×+= . Substituindo-se a expressão de P2 na expressão de λ vem:
12
1 004,0002,0004,00,500004,00,8 PP ×−××+×+=λ ,
12
16 004,0100,80,10 PP ×−××+= −λ .
Substituindo-se esta última expressão de λ na expressão não usada vem:
0004,0)004,010810(004,010810004,07 112
16
12
16
1 =×××−××++×+××−−×+ −− PPPPPP
Que ao se agrupar termos fornece: 0,00,3100,48100,24100,32 1
321
631
9 =−××+××−×× −−− PPP . Multiplicando-se esta equação por 106 vem:
0,0100,3100,480,24100,32 61
321
31
3 =×−××+×−×× − PPP . Utilizando-se o programa MATLAB e a função roots vem: pol = [0.032 –24 48000 –3000000], raiz = roots(pol) fornece como única raiz real para P1 o valor 64,3953596717. Em conseqüência as
perdas são PL = 8,29, 78,9)004,00,1/()004,00,7( 11 =×−×+= PPλ e 38,4452 =P . Tanto o valor de P1 quanto o valor de P2 estão fora dos limites especificados.
Solução: P1 = 64,39 MW, valor abaixo do mínimo. Ajusta-se este valor para P1 = 70,0, valor mínimo. Com
este valor as perdas são: 80,9002,0 21 =×= PPL MW.
P2 = 500,0 – 70,0 + 9,8 = 439,8 MW, valor acima do máximo valor de P2. A abordagem seguinte consiste em fixar o gerador 2 para seu limite máximo, pois este não
apresenta perdas. P2 = 400,0. Os restantes 100,0 MW e as perdas serão supridas pelo gerador 1, logo basta escrever
211 002,00,100 PP ×+= que em se arrumando termos fornece a equação 00,100002,0 1
21 =+−× PP . As
raízes desta equação são 361,8034 e 138,1966. A solução tomada é o menor destes valores, P1 = 138,1966. As perdas são 1966,381966,138002,0 2 =×=LP MW. Com estes valores de potências
8885,161 =λ e 6000,82 =λ . O custo total é:
)002,00,8400()002,00,70,400( 222
21121 PPPPCCCtotal ×+×++×+×+=+= ,
57,325.500,920.357,405.1 =+=totalC .
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