Download - Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

Transcript
Page 1: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 1/44

 

Controle de Sistemas Mecânicos

Sistemas FluídicosSistemas Fluídicos

Sistema de nível de reservatório

Sistema de dois níveis independentes

Sistema de dois níveis dependentes

Page 2: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 2/44

 

Controle de Sistemas Mecânicos

Sistema simplesSistema simples

qs

qe

p

u(t)

d(t)

Primeira ordem: controle de nível de líquido

em reservatório

Page 3: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 3/44

 

Controle de Sistemas Mecânicos

Controle de nível de líquido em tanqueControle de nível de líquido em tanque

Pode-se notar:

o reservatório uma tubulação de

entrada do fluido

uma tubulação desaída

duas válvulas quecontrolam as duasvazões

três instrumentos para

medição das vazões eda pressão diferencialna base do reservatório

dois sinais de controle

qs

qe

p

u(t)

d(t)

 

Page 4: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 4/44

Controle de Sistemas Mecânicos

Controle de nível Controle de nível 

 

Parâmetro Valor Unidade Variável

Altura do tanque 4 m H

  Nível máximo 3 m Hmax

Área da base 4*pi m2 A

Volume 37,68 m3 V

Curso das válvulas 0-25 mm d

Pressão 0-6 Bar pResistência 140 s/m2 R 

 Alguns

dadostécnicos

do

sistema

 

Page 5: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 5/44

Controle de Sistemas Mecânicos

Representação em blocosRepresentação em blocos

Processo

Vazão de entrada - Vazão de saída

(m3 /s)

Nível do tanque

(m)

O sistema pode ser representado na forma

entradas - saídas

 

Page 6: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 6/44

Controle de Sistemas Mecânicos

Funcionamento básicoFuncionamento básico

A variação do volume do líquido no reservatório é

a diferença entre as vazões de entrada e a desaída

Pode ser representada pela equação diferencial

ordinária de primeira ordem

)()(

)(

t qt qdt 

t dV 

 se−=

 

Page 7: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 7/44

Controle de Sistemas Mecânicos

Vazão de saída e altura da colunaVazão de saída e altura da coluna

A vazão de saída depende diretamente da altura

da coluna do líquido, para uma dada posição daválvula de saída.

Adota-se então o coeficiente de resistência dado

na tabela para relacionar a altura da coluna e avazão de saída respectiva

)(1)( t h R

t q s = )(1)( t h R

t q s =

Escoamento laminar Escoamento laminar  Escoamento turbulentoEscoamento turbulento

 

Page 8: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 8/44

Controle de Sistemas Mecânicos

Equação diferencial respectivaEquação diferencial respectiva

Considerando escoamento laminar na

restrição de saída e o volume como

)()()(

t qt qdt 

t dV  se −= )(

1)( t h

 Rt q s =)()( t  Aht V  =

)(1

)()(

t h R

t qdt 

t dh A e −=

)()()(

t  Rqt hdt 

t dh RA e=+

 

Page 9: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 9/44

Controle de Sistemas Mecânicos

Mudança de variável Mudança de variável 

Introduzindo as variáveis de perturbação

Substituindo na equação diferencial temos

eee qqq

hhh

ˆ

ˆ

+=

+=

)(ˆ)()(ˆ)()(ˆ

t q Rt q Rt ht hdt 

t hd  RA ee +=++

  

Page 10: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 10/44

Controle de Sistemas Mecânicos

E.D. em torno do equilíbrioE.D. em torno do equilíbrio

No regime estacionário temos

Portanto

Logo a E.D. em torno do equilíbrio fica

)()( t q Rt h e=

)(ˆ)()(ˆ)()(ˆ

t q Rt q Rt ht hdt 

t hd  RA ee +=++

ee qq

hh

=

=

)(ˆ)(ˆ)(ˆ

t q Rt hdt 

t hd  RA e=+

 

Page 11: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 11/44

Controle de Sistemas Mecânicos

FTO para a planta em questãoFTO para a planta em questão

)(ˆ140)(ˆ)(ˆ

1759 t qt hdt 

t hd e=+

Usando os dados da tabela encontram-se

e portanto

ou ainda

1401759*4*140 === Re pi RA

)(ˆ)(ˆ)(ˆ

t q Rt h

dt 

t hd  RA e=+

)(ˆ11759

140)(ˆ t q

 pt h e

+=

  

Page 12: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 12/44

Controle de Sistemas Mecânicos

Generalizando a E.D. do SPOGeneralizando a E.D. do SPO

Equação diferencial ordinária de primeira

ordem genérica

onde τ é chamado de constante de tempo e K 0 

de ganho estático

)(ˆ)(ˆ)(ˆ

t q Rt h

dt 

t hd  RA e=+

 R K  =0 RA=τ )()(

)(0 t u K t  y

dt 

t dy=+τ 

 

Page 13: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 13/44

Controle de Sistemas Mecânicos

Parâmetros SPOParâmetros SPO

A constante de tempo τ está associada à

velocidade com que o sistema responde• menor constante de tempo o sistema é mais rápido

• maior constante de tempo o sistema é mais lento

• maior constante de tempo, mais tempo para atingir oregime permanente.

O ganho estático K 0 está diretamente associado a

resposta estática equivalente para uma entrada

unitária

 

Page 14: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 14/44

Controle de Sistemas Mecânicos

Raiz do PC de um SPORaiz do PC de um SPO

Dado o SPO na forma padronizada

O PC da equação geral de um SPO 

 A raiz do PC pode ser encontrada facilmente através da

equação algébrica

1)( += p p PC  τ 

01 =+ pτ τ 

α 1

−=

)()()(0 t u K t  y

dt 

t dy=+τ 

Raiz real 

 

Page 15: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 15/44

Controle de Sistemas Mecânicos

Posição geométrica da raiz Posição geométrica da raiz 

τ 

1−

 

Page 16: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 16/44

Controle de Sistemas Mecânicos

Diagrama de blocos de SPODiagrama de blocos de SPO

Isolando o termo de maior ordem temos

)()()(

0 t u K t  ydt 

t dy=+τ  )(

1)()( 0 t  yt u

 K t  y

τ τ −=&

)(t  y&

-

)(t  y

∫ )(t u

τ 

0 K 

τ 

1

 

Page 17: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 17/44

Controle de Sistemas Mecânicos

Sistema simplesSistema simples

qs

qe

p

u(t)

d(t)

Primeira ordem: controle de nível de líquido

em reservatório com escoamento turbulento

 

Page 18: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 18/44

Controle de Sistemas Mecânicos

Equação diferencial respectivaEquação diferencial respectiva

Considerando escoamento laminar na

restrição de saída e o volume como

)()()(

t qt qdt 

t dV  se −= )(

1)( t h

 Rt q s =)()( t  Aht V  =

)(1

)()(

t h R

t qdt 

t dh A e −=

)()()(

t  Rqt hdt 

t dh RA e=+

 

Page 19: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 19/44

Controle de Sistemas Mecânicos

Expandindo em serie de Taylor Expandindo em serie de Taylor 

Linearizando o termo não linear da E.D. temos

Substituindo na equação temos

))()(()(2

1)()( t ht h

t ht ht h −+=

)())()(()(2

1

)(

)(t  Rqt ht ht ht hdt 

t dh

 RA e=−++

 

Page 20: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 20/44

Controle de Sistemas Mecânicos

Mudança de variável Mudança de variável 

Introduzindo as variáveis de perturbação

Substituindo na equação já linearizada temos

eee qqq

hhh

ˆ

ˆ

+=

+=

)(ˆ)()(ˆ)(2

1)(

)(ˆ

t q Rt q Rt ht h

t hdt 

t hd  RA ee +=++

  

Page 21: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 21/44

Controle de Sistemas Mecânicos

E.D. em torno do equilíbrioE.D. em torno do equilíbrio

No regime estacionário temos

Portanto

Logo a E.D. em torno do equilíbrio fica

)()( t q Rt h e=

)(ˆ)()(ˆ)(2

1)(

)(ˆt q Rt q Rt h

t ht h

dt 

t hd  RA ee +=++

ee qq

hh

=

=

)(ˆ)(ˆ)(2

1)(ˆt q Rt h

t hdt 

t hd  RA e=+

 

Page 22: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 22/44

Controle de Sistemas Mecânicos

Dois tanques independentesDois tanques independentes

q2

qe

p1

u(t)

d1(t)

qs

p2

d2(t)

Considerar a planta abaixo, onde o nível do segundo

tanque não interfere com a vazão do primeiro

  

Page 23: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 23/44

Controle de Sistemas Mecânicos

Diagrama de blocosDiagrama de blocos

Nível 2

P1

qe(t)

Vazão de

entrada

P2

Nível 1

y2(t)y

1(t)

Podem ser considerados dois blocos em cascata

)()()( 1011

1 1t u K t  y

dt t dy =+τ  )()()( 202

22 2

t u K t  ydt 

t dy =+τ 

)()()(

tanqueumdenívelE.D.

t  Rqt hdt 

t dh RA e=+

-

)(1 t  y

∫ 

)(t u

1

01

τ 

 K 

1

1

τ 

-

)(2 t  y

∫ 2

02

τ 

 K 

2

1

τ 

01

1

 K 

)(1 t u )(2 t u

 

Page 24: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 24/44

Controle de Sistemas Mecânicos

Função de transferência global Função de transferência global 

)()1)((

)( 1

21

2

21

022 t u

 p p

 K t  y+++

=τ τ τ τ 

Encontra-se facilmente e EDG correspondente

)1)(1(1

1

1)(

)(

)(

)(

21

02

2

02

011

012

1

2

++=

++==

 p p

 K 

 p

 K 

 K  p

 K 

t q

t h

t u

t  y

e τ τ τ τ 

)()()(

)()(

10222

212

22

21 t u K t  ydt 

t dy

dt 

t  yd  =+++ τ τ τ τ 

   

Page 25: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 25/44

Controle de Sistemas Mecânicos

Dois tanques interligadosDois tanques interligados

)()(4)( t d t ut  y −=

q2

qe

p1

u(t)

d1(t)

qs

d2(t)

p22

h

1h

Os dois tanques abaixo não são independentes

 

Page 26: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 26/44

Controle de Sistemas Mecânicos

Modelagem matemáticaModelagem matemática

)(11

)(1 21

111

1

211

2

2

1

1 hh R A

q Adt 

dh

hh R

q

qqdt 

dh

 Ae

e −−=⇒

−=

−=

Podem-se escrever as seguintes equações:

• Tanque 1:

 

Page 27: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 27/44

Controle de Sistemas Mecânicos

Modelagem matemáticaModelagem matemática

222

2112

2

2

2

222 1)(

11

h R A

hh R Adt 

dh

h R

q

qqdt dh A

 s

 s

−−=⇒

=

−=

Podem-se escrever as seguintes equações:

• Tanque 2:

 

Page 28: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 28/44

Controle de Sistemas Mecânicos

Diagrama de blocosDiagrama de blocos

-

)(1 t  y∫ 

)(t u

1

1 A

11

1

 R A

-

)(2 t  y∫ 

12

1 R A

2212

11

 R A R A

+

11

1

 R A

Observe o acoplamento entre os dois níveis

 

Page 29: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 29/44

Controle de Sistemas Mecânicos

Equação diferencial de 2 Equação diferencial de 2 aa ordemordem

Pode-se mostrar que a FTO e a EDG de 2 a

ordem respectivas são

1)()()(

)(

212211

2

2211

2

1

2

++++=

 p R A R A R A p R A R A

 R

t u

t  y

)()()(

)()(

)( 1222

21212

2

2

21 t u Rt  y

dt 

t dy R A

dt 

t  yd =++++ τ τ τ τ 

Notar a similaridade com a EDG anterior 

 

Page 30: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 30/44

Controle de Sistemas Mecânicos

ExercícioExercício

Encontrar a função de transferência

operacional dos dois tanques interligados,saída h2 e entrada q e

 

Page 31: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 31/44

Controle de Sistemas Mecânicos

Função de transferênciaFunção de transferência

 Aplicar operador p para obter FT h2/qe

)(1121

111

1 hh R A

q Adt 

dhe −−=

1221

222

111

 R A

 R A

 R A

=

=

=

τ 

τ 

τ 

)(11 21

11

1 hhq A

 ph e −−= τ 

2

11

1

1

111hq Ah p e

τ τ  += 

 

 

 

+ 2

11

1

1

1 111 hq A

h pe

τ τ τ  +=

  

   +

 

Page 32: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 32/44

Controle de Sistemas Mecânicos

ContinuaçãoContinuação

2

22

21

12

2 1)(

1h

 R Ahh

 R Adt 

dh−−=

2

2

21

21

2

1)(

1hhh ph

τ τ −−=

1

21

2

221

111hh p

τ τ τ =

 

  

 ++

1221

222

111

 R A

 R A

 R A

=

=

=

τ 

τ 

τ 

 

Page 33: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 33/44

Controle de Sistemas Mecânicos

ContinuaçãoContinuação

1

21

2

221

111hh p

τ τ τ =

 

  

 ++ 2

11

1

1

1 111hq

 Ah

 pe

τ τ 

τ +=

 

  

  +

  

   +

 

  

  +=

  

   ++ 2

11

1

121

2

221

11

1

1111 hq A p

h p eτ 

τ 

τ τ τ τ 

 

  

 +=

 

  

  + 

  

 ++ 2

1121

2

1

1

221

111111hq

 Ah

 p p e

τ τ τ 

τ 

τ τ 

 

Page 34: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 34/44

Controle de Sistemas Mecânicos

ContinuaçãoContinuação

 

  

  += 

  

  + 

  

  ++ 21121

21

1

221

111111 hq A

h p

 p eτ τ τ 

τ 

τ τ 

( )   

   +=+

  

   ++ 2

1121

121

221

11111 hq A

h p p eτ τ 

τ τ 

τ τ 

 

  

 +=

 

  

 +++++ 2

1121

12

2212

1

21

12

1

1111hq

 Ah p p p p e

τ τ 

τ 

τ τ τ 

τ 

τ 

τ τ 

 

Page 35: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 35/44

Controle de Sistemas Mecânicos

ContinuaçãoContinuação

 

 

 

 +=

 

 

 

  +++++2

1121

12

212

21221221121

2

2121 11)(hq

 A

h p p

e

τ τ 

τ 

τ τ 

τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ 

 

  

 +=+++++ 2

1121

2121221221221121

2

2121

11))(( hq

 Ah p p e

τ τ 

τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ 

  

   +=

  

   +++++ 2

1121

12

2212

1

21

12

11111 hq

 Ah p p p p e

τ τ 

τ 

τ τ τ 

τ 

τ 

τ τ 

 

 

 

 

+=+++++ 2

1

21

1

21221221221121

2

2121 ))(( hq Ah p p eτ 

τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ 

 

  

 +=+++++ 22

1

21221221221121

2

2121 ))(( hq A

h p p e τ τ τ 

τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ 

 

Page 36: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 36/44

Controle de Sistemas Mecânicos

ContinuaçãoContinuação

 

  

 +=+++++ 22

1

21221221221121

22121 ))(( hq

 Ah p p e τ 

τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ 

eq A

h p p1

2122121221121

2

2121 ))((τ τ 

τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ  =++++

eq A

h p p121

21221

21

212

21 )1)((τ 

τ τ τ τ 

τ 

τ τ τ τ  =++++

 

Page 37: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 37/44

Controle de Sistemas Mecânicos

ContinuaçãoContinuação

eq A

h p p121

21221

21

212

21 )1)((τ 

τ τ τ τ 

τ 

τ τ τ τ  =++++

1221

222

111

 R A

 R A R A

=

==

τ 

τ τ 

eq Rh p R A p 222121

2

21 )1)(( =++++ τ τ τ τ 

1)()()(

)(

2121

2

21

22

++++=

 p R A p

 R

t q

t h

e τ τ τ τ 

 

Page 38: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 38/44

Controle de Sistemas Mecânicos

Generalizando a E.D. do SSOGeneralizando a E.D. do SSO

Para um SSO, a EDG é

Fazendo uso do operador derivativo,

FTO e o PC 

012

2)( a pa pa p PC  ++=

)()()()(

0012

2

2 t ubt  yadt 

t dya

dt 

t  yd a =++

)()( 001

2

2 t ubt  ya pa pa =++

( )01

2

2

0

)(

)(

a pa pa

b

t u

t  y FTO

++==

 

Page 39: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 39/44

Controle de Sistemas Mecânicos

Definindo os parâmetros padronizadosDefinindo os parâmetros padronizados

Parâmetros padronizados

2

0

aa

n =ω 

20

1

2 aa

a=

ζ 

0

00

a

b K  =

Freqüência natural não amortecidaFreqüência natural não amortecida

Fator de amortecimentoFator de amortecimento

Ganho estáticoGanho estático

nζω τ 

1= Constante de tempoConstante de tempo

 

Page 40: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 40/44

Controle de Sistemas Mecânicos

ED e FTO padronizada do SSOED e FTO padronizada do SSO

Substituindo os parâmetros na EDG 

temos a equação diferencial padronizada (EDP) SSO 

e a FTO 

2

0

a

an =ω 

20

1

2 aaa=ζ 

0

00

ab K  =

)()()2( 20

22 t u K t  y p p nnn ω ω ζω  =++

)()()()(0012

2

2 t ubt  yadt 

t dyadt 

t  yd a =++

)2()(

22

20

nn

n

 p p

 K  p P 

ω ζω 

ω 

++=

 

Page 41: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 41/44

Controle de Sistemas Mecânicos

Raízes do PC de um SSORaízes do PC de um SSO

02 22 =++ nn p p ω ζω 

O PC da equação geral de um SSO 

 As raízes do PC podem ser encontradas facilmente através da

equação algébrica

 As duas raízes podem ser:

22

2)( nn p p p PC  ω ζω  ++=

122,1 −±−= ζ ω ζω α  nn

 –Reais diferentes –Reais iguais

 –Um par complexo conjugado

 

Page 42: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 42/44

Controle de Sistemas Mecânicos

Variação do fator de amortecimentoVariação do fator de amortecimento

ζ > 1: as raízes são reais simples

ζ = 1: raízes reais duplas

ζ < 1: raízes complexas conjugadas

122,1 −±−= ζ ω ζω α  nn

122,1 −±−= ζ ω ζω α  nn

nω α  −=2,1

22,1 1 ζ ω ζω α  −±−= nn j

 

Page 43: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 43/44

Controle de Sistemas Mecânicos

Relações geométricas das raízesRelações geométricas das raízes

ζ = const . ℑ

ω ζ n 1 2−

−ζω n

θ 

α 

ω σ λ  i+=

cosα =ω n const = .

nω 

ω σ λ  i−= 21 ζ ω  −− n

ω ω ζ d n= −1 2

ζ α  =)cos(

 

Page 44: Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos

5/7/2018 Apostila Controle - 05 - Sistemas Fluídicos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-controle-05-sistemas-fluidicos 44/44

Controle de Sistemas Mecânicos

ReferênciaReferência

Tanques interligados

Ogata pg 79,100-101