Universidade Federal de Santa Catarina Departamento de Engenharia MecânicaGrupo de Análise e Projeto Mecânico
Introdução à Dinâmica de Rotores
Prof. José Carlos Pereira
Florianópolis, janeiro de 2005
SUMÁRIO
1 - INTRODUÇÃO1 - INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................................................................................................... 44
Modelo massa/molaModelo massa/mola ...................................................................................................................................................................................................... 55
Movimento de um sistema rotativoMovimento de um sistema rotativo .................................................................................................................................................... 77
Análise do modelo Jeffcott rotorAnálise do modelo Jeffcott rotor ........................................................................................................................................................ 1100
Significado físico das soluçõesSignificado físico das soluções............................................................................................................................................................ 1122
Três formas de reduzir a amplitude do giro síncronoTrês formas de reduzir a amplitude do giro síncrono .................................................................................... 1133
Algumas definições sobre amortecimentoAlgumas definições sobre amortecimento ........................................................................................................................ 1144
Efeito de mancais flexíveisEfeito de mancais flexíveis .......................................................................................................................................................................... 1144
Instabilidade em rotoresInstabilidade em rotores.................................................................................................................................................................................... 1188
Efeito da anisotropia dos mancais no amortecimentoEfeito da anisotropia dos mancais no amortecimento .................................................................................. 1199
2 - EQUAÇÕES DE ENERGIA DOS ELEMENTOS DE ROTOR2 - EQUAÇÕES DE ENERGIA DOS ELEMENTOS DE ROTOR.................................................................... 2233
2.1 - Energia cinética do disco2.1 - Energia cinética do disco................................................................................................................................................................ 2233
2.1 - Energia de deformação do eixo em flexão2.1 - Energia de deformação do eixo em flexão ........................................................................................................ 2255
2.3 - Energia de deformação do eixo devido a uma força axial2.3 - Energia de deformação do eixo devido a uma força axial ...................................................... 3300
2.4 – Mancais2.4 – Mancais ........................................................................................................................................................................................................................ 3311
2.5 – Equações de movimento do rotor2.5 – Equações de movimento do rotor .................................................................................................................................. 3322
3 – MÉTODO DE RAYLEIGH-RITZ3 – MÉTODO DE RAYLEIGH-RITZ ............................................................................................................................................................ 3333
3.1 – Rotor isotrópico bi-apoiado3.1 – Rotor isotrópico bi-apoiado ...................................................................................................................................................... 3333
3.1.1 – Diagrama de Campbell para rotores isotrópicos................................... 34
3.1.2 – Resposta do rotor a um desbalanceamento .......................................... 37
3.1.3 – Diagrama de Campbell do rotor com uma força axial........................... 43
3.1.4 – Resposta do rotor à uma força assíncrona............................................ 47
3.1.5 – Resposta do rotor à uma força fixa no espaço...................................... 49
3.2 – Rotor anisotrópico bi-apoiado3.2 – Rotor anisotrópico bi-apoiado .............................................................................................................................................. 5533
3.3 – Efeito dos termos de acoplamento nos mancais3.3 – Efeito dos termos de acoplamento nos mancais .................................................................................. 5599
3.4 – Efeito do amortecimento dos mancais3.4 – Efeito do amortecimento dos mancais .................................................................................................................. 6633
3.5 – Efeito do amortecimento interno3.5 – Efeito do amortecimento interno ...................................................................................................................................... 6666
3.3 – Rotor isotrópico em balanço3.3 – Rotor isotrópico em balanço .................................................................................................................................................. 7711
4 – RESPOSTA TRANSIENTE DO ROTOR4 – RESPOSTA TRANSIENTE DO ROTOR.................................................................................................................................. 7788
4.1 – Equações e soluções4.1 – Equações e soluções............................................................................................................................................................................ 7788
4.2 – Exemplos de aplicação4.2 – Exemplos de aplicação...................................................................................................................................................................... 8822
Rotor isotrópicoRotor isotrópico .............................................................................................................................................................................................................. 8822
Rotor anisotrópicoRotor anisotrópico ...................................................................................................................................................................................................... 8855
4.3 – Fadiga em eixos de rotores4.3 – Fadiga em eixos de rotores........................................................................................................................................................ 8899
5 – BALANCEAMENTO EM ROTORES5 – BALANCEAMENTO EM ROTORES.............................................................................................................................................. 9944
5.1 – Introdução5.1 – Introdução .............................................................................................................................................................................................................. 9944
5.2 – Princípio básico do balanceamento5.2 – Princípio básico do balanceamento ............................................................................................................................ 9944
5.3 – Método dos Coeficientes de Influência5.3 – Método dos Coeficientes de Influência .................................................................................................................. 9966
6 – MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS APLICADO À DINÂMICA DE ROTORES6 – MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS APLICADO À DINÂMICA DE ROTORES
........................................................................................................................................................................................................................................................................ 110088
5.1 – Matrizes de um elemento de disco5.1 – Matrizes de um elemento de disco ............................................................................................................................ 110099
5.2 – Matrizes de um elemento de eixo5.2 – Matrizes de um elemento de eixo ................................................................................................................................ 111100
5.3 – Matrizes de rigidez e de amortecimento dos mancais5.3 – Matrizes de rigidez e de amortecimento dos mancais.............................................................. 111155
5.4 – Efeito de uma massa desbalanceadora5.4 – Efeito de uma massa desbalanceadora ............................................................................................................ 111166
5.5 – Equações de movimento do rotor5.5 – Equações de movimento do rotor .............................................................................................................................. 111188
5.6 – Propriedades dos modos5.6 – Propriedades dos modos .......................................................................................................................................................... 112211
5.7 – Técnica de montagem das matrizes globais5.7 – Técnica de montagem das matrizes globais ............................................................................................ 112233
5.8 – Exemplos de aplicação5.8 – Exemplos de aplicação.................................................................................................................................................................. 112244
Rotor bi-apoiado – caso 1Rotor bi-apoiado – caso 1 .......................................................................................................................................................................... 112244
Rotor bi-apoiado – caso 2Rotor bi-apoiado – caso 2 .......................................................................................................................................................................... 112255
Rotor bi-apoiado – caso 3Rotor bi-apoiado – caso 3 .......................................................................................................................................................................... 112266
Rotor em balanço – caso 1Rotor em balanço – caso 1........................................................................................................................................................................ 112277
Rotor em balanço – caso 2Rotor em balanço – caso 2........................................................................................................................................................................ 112288
Rotor em balanço – caso 3Rotor em balanço – caso 3........................................................................................................................................................................ 112299
6 – ANEXOS6 – ANEXOS .............................................................................................................................................................................................................................. 113311
6.1 – Vibrações forçadas (Jeffcott rotor)6.1 – Vibrações forçadas (Jeffcott rotor) .......................................................................................................................... 113311
6.2 – Vibrações livres (Jeffcott rotor)6.2 – Vibrações livres (Jeffcott rotor) ...................................................................................................................................... 113399
REFERÊNCIASREFERÊNCIAS...................................................................................................................................................................................................................... 114433
4 Introdução à Dinâmica de Rotores
11 -- IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO
As mais comuns máquinas rotativas, também denominadas de rotores, podem
ser turbo-compressores, turbinas de aviões, turbinas à vapor para a produção de
energia elétrica, etc.
A grande capacidade dos rotores de gerar energia mecânica vem da alta
velocidade a qual seus eixos são submetidos. Associado à essa alta velocidade estão
altas cargas devido a inércia de seus componentes e potenciais problemas de vibração
e instabilidade dos rotores. A previsão do comportamento de rotores através de
modelos matemáticos é relativamente bem sucedida quando comparado com medições
experimentais. No entanto, a intuição humana pode muitas vezes levar à conclusões
incorretas, como por exemplo, a massa desbalanceadora permanecerá internamente à
órbita realizada pelo eixo do rotor em altas velocidades, assim como o aumento do
amortecimento pode causar instabilidade também em altas velocidades.
Em análises do comportamento dinâmico de rotores, os estudos mais
freqüentemente realizados são:
o Previsão das velocidades críticas: Velocidades nas quais a vibração devido ao
desbalanceamento do rotor é máxima;
o Modificações de projeto de forma a alterar as velocidades críticas: Quando é
necessário alterar a velocidade de operação do rotor, modificações no projeto do
rotor são necessárias para alterar as velocidades críticas;
o Prever as freqüências naturais das vibrações torsionais: Quando vários eixos
estão acoplados (por exemplo, caixa de engrenagens) e estes eixos são
excitados pelas pulsações do motor durante o start-up;
o Calcular as massas de correção e suas localizações a partir de dados de
vibração: Balanceamento de rotores;
o Prever as amplitudes de vibração causadas pelo desbalanceamento do rotor;
o Prever as freqüências de vibração nas instabilidades dinâmicas: Nem sempre
simples de ser alcançado, haja visto que nem todas as forças desestabilizadoras
são conhecidas;
o Modificações de projeto para eliminar instabilidades dinâmicas.
Introdução à Dinâmica de Rotores 5
MMooddeelloo mmaassssaa//mmoollaa
O modelo mais simples para análise de vibração de rotores é o modelo
massa/mola, com somente um grau de liberdade, no qual a massa é considerada
rígida, Figura 1.1c. A primeira velocidade crítica de um sistema rotor/mancais pode ser
aproximado por um modelo massa/mola, da forma:
160 kN r2 m
=π
pm (1.1)
E I Y
Z
mE I
t
F(t) = mω2u senωt
Z(t)
m
k = 2KB ou 48EI/ 3
Z
Y m
KB KB
(a)
(b)
(c)
Figura 1.1 – Modelo rígido e flexível de rotor modelados como massa/mola
6 Introdução à Dinâmica de Rotores
onde k é a rigidez efetiva do rotor para o primeiro modo e m é a massa efetiva.
Para um rotor que é relativamente rígido comparado à rigidez do mancal, a
massa efetiva é a massa do disco e do eixo, e a rigidez efetiva é a rigidez de todos os
mancais trabalhando em paralelo, Figura 1.1a. Para um rotor que é relativamente
flexível comparado à rigidez do mancal, a rigidez efetiva é determinada pela rigidez em
flexão do eixo. Neste caso somente uma porção da massa do eixo contribui para a
massa efetiva no modelo, já que a massa do rotor próxima dos mancais quase não
participa do movimento de vibração, Figura 1.1b.
Deve ser enfatizado que este modelo simples não pode ser utilizado em
análises mais complexas de dinâmica de rotores, já que neste modelo se executa um
movimento em uma única direção, enquanto que, um rotor executa movimentos em
duas direções ortogonais X e Z, formando uma órbita de diferentes forma. A forma da
órbita depende das amplitudes e das fases entre os movimentos em X e Z, Figura 1.2a.
.
(a) (b)
Z
X k
m
t
Z
t
X
(c) (d)
Z
X
α
Z
X
Figura 1.2 – Combinações dos movimentos em X e Z produzindo órbitas: (b) circular, (c)
eliptica e (d) translacional
Introdução à Dinâmica de Rotores 7
Um modelo mais elaborado para evidenciar o surgimento das velocidades
críticas em rotores consiste de um disco rígido desbalanceado montado sobre um eixo
flexível e mancais rígidos, Figura 1.3. Este modelo de rotor chamado de Jeffcott rotor,
explica como a amplitude se torna máxima na velocidade crítica e porque a massa
desbalanceadora se movimenta internamente à órbita do rotor.
Disco rígido
/2
Massa desbalanceadora
Mancal rígido
Eixo elástico
Figura 1.3 – Modelo Jeffcott rotor
MMoovviimmeennttoo ddee uumm ssiisstteemmaa rroottaattiivvoo
Um sistema rotativo, que ser pode composto basicamente de um eixo, um disco
e mancais, realiza dois movimentos rotativos superpostos: rotação em torno de si
próprio (rotação própria ou spin) e rotação do eixo defletido em torno de sua
configuração não defletida (precessão ou whirl). A órbita que realiza o centro
geométrico pode ter uma trajetória no mesmo sentido que a rotação própria do rotor,
movimento caracterizado como precessão direta (forward whirl), ou ter sentido oposto,
caracterizado como precessão retrógrada ou inversa (backward whirl), Figura 1.4. Os
problemas mais destrutivos em máquinas rotativas ocorrem quando as precessões são
inversas.
8 Introdução à Dinâmica de Rotores
(b) precessão inversa
sentido da órbita
Z
X
sentido da órbita
rotação do rotor
Z
X
a
Figur
do rot
desbala
qual é m
elemen
de varia
força de
constan
(preces
velocid
velocid
a veloc
(a) precessão diret
a 1.4 – Movimentos de precessão (a) direta (forward) e (b) inversa (backward)
Os movimentos de precessão podem também ser sincronizados com a rotação
or ou não. Normalmente, as precessões síncronas ocorrem devido ao
nceamento de um rotor, no entanto, nem todas as precessões são síncronas.
Para o entendimento deste comportamento do rotor, considere a Figura 1.5 na
ostrado a precessão do rotor a partir da vista de uma de suas extremidades. O
to hachurado representa uma massa desbalanceadora. Na Figura 1.5a, a taxa
ção do ângulo φ (φ ) é a velocidade de precessão. Se o ângulo β, entre o vetor
excitação (U) e o vetor velocidade de precessão (V) (ou resposta), permanecer
te, a velocidade de precessão e a rotação do eixo (Ω) são as mesmas
são síncrona). Na Figura 1.5b, a taxa de variação do ângulo β (
i
βi) é a
ade de rotação do rotor, relativa ao vetor velocidade de precessão V. Portanto, a
ade do rotor é a soma de Ω = β+ φi i
. Neste caso, a velocidade da precessão φi
e
idade do rotor Ω não são as mesmas (precessão não síncrona).
Introdução à Dinâmica de Rotores 9
O motivo pelo qual as precessões inversas são destrutivas vem do fato deste
movimento altenar as tensões normais na seção transversal do eixo, podendo levá-lo a
falha por fadiga. As Figuras 1.6 e 1.7 ilustram a evolução das tensões na seção
transversal ao longo de uma trajetória orbital em diferentes situações.
Ωφ =i
eixodisco
β
φ
Z
X
V
Ω = φ+ βi i
βi
φi
Z
X
V
U
(a) (b)
Figura 1.5 – (a) Precessão síncrona e (b) precessão não síncrona
ΩΩφ =
i
A
A'
A'
A
A'A
ΩΩφ = −
i
-
+
A'
A
A'
A
A'A
(b) precessão inversa (a) precessão direta
Figura 1.6 – (a) Precessão direta e (b) precessão inversa (ambos síncronos)
10 Introdução à Dinâmica de Rotores
Ω2
φ = −i
A
A'
A
A A' Ω
Ω
Ω2
φ =i
A' A A'
A
A'A
A'
(a) precessão direta a
Figura 1.7 – (a) Precessão direta e (b) precessã
AAnnáálliissee ddoo mmooddeelloo JJeeffffccootttt rroottoorr
A Figura 1.8 apresenta a vista de uma d
rotor realizando uma precessão. O centro de mas
centro geométrico do disco. O deslocamento estáti
a deflexão do eixo do rotor devido as cargas dinâm
é considerada desprezível comparada às forças din
O eixo do rotor é considerado ter rigi
amortecimento viscoso do conjunto é c e a veloc
equações diferenciais que fornecem o moviment
cartesianas X e Z são da forma :
2
2
mX c X kX mΩ d senΩt
mZ c Z kZ mΩ d cosΩt
+ + =
+ + =
ii i
ii i
(b) precessão invers
o inversa (ambos não síncronos)
as extremidades do modelo Jeffcott
sa está em M. O ponto C localiza o
co do desbalanceamento é d CM= e
icas é r . A força de gravidade
âmicas.
OC=
dez k, o disco tem massa m, o
idade de rotação do rotor é Ω. As
o do centro disco em coordenadas
(1.2)
Introdução à Dinâmica de Rotores 11
A solução da eq. (1.2) para a precessão síncrona é1:
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2 22
2
2 22
12
Ω dX s Ωt )k /m Ω cΩ /m
Ω dZ Ωtk /m Ω cΩ /m
cΩtanm k /m Ω
−
= −− +
=− +
β = −
en(
cos( )
β
−β (1.3)
Da Figura 1.8, conclue-se que a deflexão do eixo do rotor é:
( ) ( )
22 2
2 22
Ω dr X Zk /m Ω cΩ /m
= + =− +
(1.4)
β
r M d C
O
φ
Z
X
Figura 1.8 – Jeffcott rotor realizando uma precessão
1 A determinação das equações diferenciais de movimento se encontram em anexo
12 Introdução à Dinâmica de Rotores
SSiiggnniiffiiccaaddoo ffííssiiccoo ddaass ssoolluuççõõeess
A Figura 1.9a mostra como a amplitude da precessão síncrona aumenta com a
aproximação da velocidade crítica, e após a passagem pela velocidade crítica, diminui e
se aproxima assintoticamente do deslocamento estático d do desbalanceamento nas
velocidades supercríticas (acima das velocidades críticas). Desta forma, em altas
velocidades, a amplitude em precessão síncrona pode ser pequena com o
balanceamento do rotor.
(a)
pequeno amortecimento
grande amortecimento
km
Am
plitu
de d
o gi
ro s
íncr
ono
r
d
Velocidade do eixo Ω
(b)
km
180°
0°
90°
grande amortecimento
pequeno amortecimento
Âng
ulo
de fa
se β
Velocidade do eixo Ω
Figura 1.9 – Resposta à um desbalanceamento do Jeffcott rotor
Introdução à Dinâmica de Rotores 13
Em velocidades próximas da velocidade crítica, pode ser visto que o parâmetro
mais importante para a redução da amplitude é o amortecimento.
A Figura 1.9a também fornece a definição de velocidade crítica: velocidade na qual a resposta síncrona devido ao desbalanceamento é máxima. A Figura 1.9b
explica a razão pela qual a amplitude se aproxima assintoticamente do deslocamento
estático d do desbalanceamento. Quando a velocidade crítica é atravessada, o ângulo β
passa por 90° e se aproxima de 180° nas velocidades supercríticas. Assim, para altas
velocidades, o centro de massa M gira internamente à órbita realizada pelo disco, e o
centro do disco C gira em torno do centro de massa M com uma amplitude igual ao
deslocamento estático d do desbalanceamento. Este fenômeno é chamado de inversão
da velocidade crítica. Observa-se que o centro de massa M se mantém externamente a
órbita realizada pelo disco nas baixas velocidades kΩ m< , e o desbalanceamento
está defasado de 90° do vetor V na velocidade crítica não amortecida ( km ).
TTrrêêss ffoorrmmaass ddee rreedduuzziirr aa aammpplliittuuddee ddoo ggiirroo ssíínnccrroonnoo
Da observação da Figura 1.9, pode-se concluir que as três formas de reduzir a
amplitude do giro síncrono são: (1) balancear o rotor (minimizando a massa M), (2)
alterar a velocidade de rotação do rotor Ω (distante da velocidade crítica) e (3) adicionar
amortecimento no sistema rotor/mancais. Balancear o rotor é a forma mais direta de
resolver o problema, já que isto ataca o problema na sua fonte. A segunda opção pode
ser alterar a velocidade de operação do rotor ou alterar a velocidade crítica,
modificando a rigidez dos mancais. Se o rotor deve atravessar uma velocidade crítica e
isto não pode ser evitado, então a forma mais efetiva de reduzir a amplitude é
adicionando amortecimento em mancais flexíveis ou utilizando mancais com filme de
óleo.
14 Introdução à Dinâmica de Rotores
AAllgguummaass ddeeffiinniiççõõeess ssoobbrree aammoorrtteecciimmeennttoo
É muito comum quantificar o amortecimento presente em rotores em termos de
porcentagem do amortecimento crítico ccr. O coeficiente de amortecimento crítico é o
valor requerido de amortecimento para suprimir completamente qualquer vibração no
sistema. Assim a relação de amortecimento é crc / cξ = . Para o modelo Jeffcott rotor, o
coeficiente de amortecimento crítico é cr =c 2 e é assumido ser concentrado no
centro do disco.
km
Introduzindo o coeficiente de amortecimento crítico na eq. (1.3) e após na eq.
(1.4), a amplitude do giro síncrono em kmω = é d
2=r ξ e a velocidade crítica é
2(1 )ω − ξ2 . O fator 12ξ é as vezes referido como fator de amplificação ou Q factor
do sistema rotor/mancais.
Colocando a eq. (1.4) em uma forma adimensional temos:
( )( ) ( )
2
22 2
Ωrd
Ω Ω1 2
ω= − + ξ ω ω
(1.5)
EEffeeiittoo ddee mmaannccaaiiss fflleexxíívveeiiss
A forma dos modos como o rotor irá vibrar é determinada pela distribuição da
massa e da rigidez ao longo do mesmo, assim como da rigidez dos mancais. Os três
primeiros modos, associados com as três mais baixas freqüências naturais de um eixo
uniforme, muda com o aumento da rigidez dos mancais (ver Figura 1.10). Note que
para baixa rigidez do mancal (K ≈ 0), os dois primeiros modos causam uma flexão no
eixo do rotor quase desprezível. Nestes dois primeiros modos, o eixo do rotor
permanece rígido (modo de corpo rígido) e percorre uma trajetória cilíndrica no primeiro
modo e cônica no segundo.
Introdução à Dinâmica de Rotores 15
Se a velocidade do rotor é acrescida, o terceiro modo será atingido, causando
flexão no eixo do rotor, Figura 1.10. Se a rigidez dos mancais é muito baixa, este modo
é praticamente o modo livre-livre.
Para rotores com mancais hidrodinâmicos, o amortecimento pode ser suficiente
para fazer desaparecer um ou os dois modos de corpo rígido.
KK
K → ∞ Valor intermediário de K
K ≈ 0
1° modo
2° modo
3° modo
Figura 1.10 – Forma dos modos de vibração em função da rigidez dos mancais
É desejável em qualquer máquina rotativa que os mancais sejam mais flexíveis
que o eixo do rotor. Os motivos para isso são:
o A baixa rigidez dos mancais reduz a transmissão das cargas dinâmicas para a
sua fundação, prolongando a vida útil dos mancais e reduzindo as vibrações
estruturais;
o A baixa rigidez dos mancais permite que o amortecimento, em mancais
hidrodinâmicos ou com amortecedores ditos externos, opere com maior
eficiência, atenuando a amplitude do rotor nas velocidades críticas.
O primeiro motivo pode ser explicado utilizando um rotor curto de rigidez k = 2 KB
e amortecimento c = 2 CB. A deflexão r é a deflexão de todo o rotor e não mais OC=
16 Introdução à Dinâmica de Rotores
somente do disco.
CB
KB
CB KB KB CB
CB
m
KB
Figura 1.11 – Rotor curto amortecido por mancais flexíveis
Considerando que a força transmitida pelo mancal é a resultante da força
devido a rigidez (proporcional ao deslocamento) e a força devido ao amortecimento
(proporcional à velocidade tangencial), temos que:
( )( )
( )
k B
c B
22 2 2t k c B B
F K r força devido a rigidez
F C Ω r força devido ao amortecimento
F F F r K C Ω
=
=
= + = +
(1.6)
Utilizando a eq. (1.4), a expressão da força transmitida é:
( ) ( )( ) ( )
2 2B B2
t 2 22B B
2K 2C Ω1F mΩ d2 2K mΩ 2C Ω
+=
− + (1.7)
Considere que, se o mancal fosse rígido, a força no mancal fosse dada por :
21F mΩ d2∞ = (1.8)
Introdução à Dinâmica de Rotores 17
Pode ser demonstrado através de um exemplo simples que, para um rotor de
massa m = 10 kg, com um deslocamento estático d = 0,001 m e operando em uma alta
velocidade, como por exemplo 25000 rpm 5000 rad/ s60
Ω π= = , a força transmitida pode
ser intolerável, da ordem de 1370 N. Portanto, a relação entre a força transmitida Ft e a
força transmitida considerando o mancal rígido F∞ é:
( )( )( ) ( )
2t
22 2
1 2 Ω /FF 1 2 Ω / 2 Ω /∞
+ ξ ω=
+ ξ ω + ξ ω (1.9)
onde a velocidade crítica não amortecida é BKk 2mω = = m e a relação de
amortecimento é B Bcr
2C Cc / c m2 kmξ = = = ω .
Observa-se na Figura 1.12 que :
o A transmissibilidade tem o mesmo valor para qualquer amortecimento na
velocidade de rotação * 2= ωΩ ;
o O amortecimento nos mancais aumenta a força transmitida nas altas velocidades
, onde o efeito da flexibilidade dos mancais é favorável; ( *Ω Ω> )o O amortecimento nos mancais pode ser necessário para manter a força
transmitida dentro de limites aceitáveis na passagem pela velocidade crítica ;
o Baixa rigidez de mancal não é um fator incondicional, já que um valor
impropriamente escolhido pode produzir forças dinâmicas superiores quando
considerado o mancal rígido, eq. (1.8).
18 Introdução à Dinâmica de Rotores
2 Ωω
tF∞
*Ω Ω=
F
3
2
1
1
grande amortecimento
pequeno amortecimento
Figura 1.12 – Transmissibilidade vs. relação de velocidade do rotor
Através da comparação da Figura 1.12 com a Figura 1.9, pode-se concluir que
o efeito do amortecimento sobre a força transmitida é diferente do efeito do
amortecimento sobre a amplitude de vibração. Enquanto que, o efeito do
amortecimento sobre a amplitude de vibração é favorável ao longo de toda a faixa de
rotações, o efeito do amortecimento sobre a força transmitida é favorável somente para
Ω 2< ω .
IInnssttaabbiilliiddaaddee eemm rroottoorreess
A instabilidade em máquinas rotativas é normalmente produzida por forças que
são tangenciais à órbita de giro do rotor, chamadas de forças desestabilizadoras,
agindo no mesmo sentido do movimento instantâneo. Se a intensidade da força
desestabilizadora é proporcional a velocidade instantânea da órbita, esta força é
classificada como uma força de amortecimento negativa. Se a intensidade da força é
proporcional ao deslocamento do rotor (raio instantâneo da órbita), ela é classificada
como força de rigidez de acoplamento. O termo acoplamento vem do fato de um
deslocamento na direção X produzir uma força na direção Z, e vice-versa, Figura 1.13.
A força tangencial Fφ é a força resultante das componentes FX e FZ. A instabilidade
Introdução à Dinâmica de Rotores 19
pode também ser causada por forças axiais compressivas, menos freqüentes em
rotores.
Fφ
FZ = KZXX
FX = -KXZZ
φ
C
O
Z
X
KXZ > 0 KZX < 0
Figura 1.13 – Representação das forças de acoplamento (desestabilizadoras)
EEffeeiittoo ddaa aanniissoottrrooppiiaa ddooss mmaannccaaiiss nnoo aammoorrtteecciimmeennttoo
Um mancal é dito anisotrópico ou assimétrico quando os coeficientes de rigidez
nas direções X e Z são diferentes, KXX ≠ KZZ (ver Figura 1.14).
KXZ CXZ
KZX CZX
Z
XKXX CXX
KZZ CZZ
Figura 1.14 – Rotor com mancais anisotrópicos – KXX ≠ KZZ
20 Introdução à Dinâmica de Rotores
Vários estudos já comprovaram a relação entre o amortecimento interno2 do
material e a taxa de deformação a qual ele é submetido. Assim considerando, a tensão
normal à seção transversal do eixo do rotor pode ser colocada da forma (ver figura
1.15):
vEσ = ε + η εi
E (1.10)
onde E é o módulo de elasticidade do material do eixo, ηv é o fator de amortecimento
viscoso do material do eixo, e ε é a taxa de deformação normal à face. i
Tensão normal trativa
Tensão normal compressiva
M
Figura 1.15 – Distribuição da tensão normal à seção transversal do eixo do rotor
Em um desses estudos, foi observado que o amortecimento interno em um
sistema rotativo não afeta a resposta ao desbalanceamento em rotores com mancais
2 O amortecimento interno é inerente ao material do eixo do rotor, enquanto que, o amortecimento
externo é devido aos mancais.
Introdução à Dinâmica de Rotores 21
isotrópicos (KXX = KZZ), ao contrário do que acontece com mancais anisotrópicos (KXX ≠
KZZ). Se os mancais são isotrópicos, o eixo do rotor defletirá e girará em torno do eixo
neutro na velocidade de rotação Ω, seguindo uma órbita circular. Ou seja, a forma de
deflexão do eixo permanece inalterada durante o movimento. Portanto, em um eixo
movimento de precessão síncrona (Ω )= φi
e órbita circular, as deformações não variam
durante o movimento de precessão, Figura 1.16a. Conseqüentemente, o amortecimento
interno, inerente ao material, não afeta o estado de tensão na seção transversal do eixo
do rotor. Porém, se o rotor está apoiado sobre mancais anisotrópicos, a órbita do
movimento de precessão é elíptica, fazendo com que as deformações variem
proporcionamente à diferença entre os eixos da elipse, Figura 1.16b. Neste caso, o
amortecimento interno do eixo pode afetar consideravelmente o estado de tensão na
seção transversal do eixo do rotor.
Uma forma do amortecimento interno afetar a resposta de um rotor com
mancais isotrópicos é através de uma excitação assíncrona (Ω )≠ φi
. Neste caso, apesar
do rotor movimentar seguindo uma órbita circular, as deformações na seção transversal
do eixo irão variar na medida que este gira, pois a velocidade de precessão é diferente
da velocidade de rotação do rotor, Figura 1.16c.
22 Introdução à Dinâmica de Rotores
ΩΩφ =
i
Ωφ =i Ω
2φ =i
(c)
A' A A'
A
A' A
(b)
A'
A
A'
A
ΩA' A
(a)
A'
A A'
A
A'A
Ω
Figura 1.16 – Evolução da tensão normal na seção transversal do eixo de um rotor:
(a) precessão síncrona e mancais isotrópicos; (b) precessão síncrona e mancais
anisotrópicos; (c) precessão sub-síncrona ( Ω2
φ =i
) e mancais isotrópicos.
Introdução à Dinâmica de Rotores 23
22 -- EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE EENNEERRGGIIAA DDOOSS EELLEEMMEENNTTOOSS DDEE RROOTTOORR
Este capítulo tem por objetivo avaliar o comportamento dinâmico de rotores
partindo de um modelo mais complexo do que o modelo Jeffcott rotor (ou de Laval). De
forma a facilitar a compreensão e evitar um número excessivo de equações, será
considerado um rotor com um eixo e somente um disco e dois mancais.
Para a obtenção das equações de movimento de rotores, é considerado
somente a energia cinética do disco, sendo a energia cinética do eixo considerada
desprezível com relação a energia cinética do disco. O disco é considerado rígido, logo
a energia de deformação é devido somente ao eixo e o efeito das forças dos mancais é
introduzido através do conceito de trabalhos virtuais. A equação de movimento do rotor
é obtida aplicando-se a equação de Lagrange sobre as energias cinética do disco e de
deformação do eixo, Lalanne et al, 1998.
22..11 -- EEnneerrggiiaa cciinnééttiiccaa ddoo ddiissccoo
y
Da Figura 2.1, pode-se deduzir o vetor velocidade instantânea de rotação do
disco no sistema de coordenadas de referência (x, y, z) como sendo, Vance, 1988.
ω = ψ + θ + φi i i
Z x ' (2.1)
onde , e são vetores unitários. Os eixos (X, Y, Z) formam o sistema de
coordenadas fixo (ou inercial), os eixos (x’, y’, z’) formam um sistema de coordenadas
intermediário e os eixos (x, y, z) formam o sistema de coordenadas fixo no disco (ou de
referência).
Z x ' y
Observa-se que a ordem das rotações deve ser: (1) ψ em torno de Z, (2) θ em
torno de x’ e (3) φ em torno de y, já que a rotação do rotor Ω é em torno do eixo
instantâneo y. A velocidade angular do disco é φi
e as componentes do vetor
velocidade instantânea ω no sistema de coordenadas de referência é:
24 Introdução à Dinâmica de Rotores
x
y
z
cos sen cos
sen
cos cos sen
−ψ θ φ + θ φ ω ω = φ + ψ θ
ω ψ θ φ + θ φ
i i
i i
i i
(2.2)
Ωφ =i
ψi
θi
z’
y’
Ω
wu
φ
φ
ψ
ψ
θ
θ
Y
z
Z
x x’
X
y
Y
Z
X
Figura 2.1- Sistema de coordenadas de referência para um disco em um eixo flexível
A energia cinética do disco pode ser expressa por:
( )2 2
2 2D D Dz z Dy y Dz z
1 1T M u w I I I2 2
= + + ω + ω +
i i 2ω (2.3)
onde u e w são coordenadas nas direções x e z do centro de inércia do disco, MD é a
massa do disco de densidade volumétrica ρ e, IDx, IDy e IDz são momentos de inércia de
massa do disco com relação ao sistema de coordenadas de referência, Figura 2.2.
Introdução à Dinâmica de Rotores 25
dm
z
x
∆ x
z
y
Figura 2.2- Momentos de inércia de massa do disco no sistema de referência
2
DxV
I z= ρ∫ dV dV, I x , I2Dz
V
= ρ∫ = ρ∫ 2Dy
V
∆ dV
Considerando que os ângulos θ e ψ são pequenos, que a velocidade de rotação
é e a simetria do disco, IΩφ =i
Dx = IDz, segue que, a partir da eq. (2.3):
2 2 2 2
2D D Dx Dy Dy
1 1T M u w I I Ω I Ω2 2
= + + θ + ψ + ψ θ +
i i i i i 12
(2.4)
Os deslocamentos transversais u, w e as rotações θ e ψ são as coordenadas
ditas generalizadas.
22..11 -- EEnneerrggiiaa ddee ddeeffoorrmmaaççããoo ddoo eeiixxoo eemm fflleexxããoo
A expressão geral para a energia de deformação é:
V
1U d2
= σ ε∫ V (2.5)
26 Introdução à Dinâmica de Rotores
onde, dentro do regime elástico linear, a relação dada pela Lei de Hooke é, : Eσ = ε
O campo de deslocamento de um ponto qualquer sobre o eixo é definido como
sendo (ver Figuras 2.3 e 2.4):
o
o
o
u uw w
u wv v x zy y
=
=
∂ ∂= − −
∂ ∂
(2.6)
onde os deslocamentos uo, wo e vo são os deslocamentos de um ponto situado no eixo
neutro da seção transversal do eixo.
A partir do campo de deslocamento definido pela eq. (2.6), as deformações
lineares são tais que:
x x o
z z o
2 2
y y o 2 2
uxwzv ux zy y y
∂ε = = ε
∂∂
ε = = ε∂∂ ∂
ε = = ε − −∂ ∂ ∂
w∂
(2.7)
(a)
x
P Mx (positivo)
θ
θ = ∂w/∂y (positivo)
woconfiguração deformada
configuração nãodeformada
y, vo
z
Introdução à Dinâmica de Rotores 27
x
Mz (negativo) P
ψ
ψ =–∂u/∂y (negativo)
uo configuração deformada
configuração nãodeformada
y, vo
z
(b)
Figura 2.3 – Campo de deslocamentos de um ponto do eixo – (a) Plano zy (b) Plano xy
Desprezando as deformações normais à espessura do eixo, εx0 e εz0, e a
deformação de membrana εy0, somente as deformações de flexão
2 22
u wx , zy y
∂ ∂− − ∂ 2∂ são consideradas. Assim, a expressão de tensão normal na
direção y é da forma:
2 2
y y 2uE E x z
y y ∂ ∂
σ = ε = − −∂ ∂
2w (2.8)
Sabe-se que a relação entre curvatura e momento fletor é da forma:
∂ ∂θ= ⇒ =
∂∂
∂ ∂= − ⇒ =
∂∂
2x x
2x
2z z
2z z
M MwE I y E Iy
M MuE I y E Iy
ψx (2.9)
28 Introdução à Dinâmica de Rotores
Substituindo as eqs. (2.9) na eq. (2.8), tem-se uma nova expressão de tensão
normal:
zy
z x
M Mx zI I
σ = − x (2.10)
As deformações são medidas sobre o sistema de coordenadas de referência
colocado no centro do eixo que gira a uma velocidade de rotação de . Para efeito
de distinção, são denotados u* e w* como sendo componentes do deslocamento do
centro do eixo no sistema de coordenadas de referência, Figure 2.4. A passagem para
o sistema de coordenadas global (ou inercial), onde as componentes do deslocamento
são u e w, é feita pela relação:
Ωφ =i
u* w senΩ t u cosΩ tw* w cosΩ t u senΩ t
= − += +
(2.11)
onde Ωt é o ângulo entre o sistema de coordenadas de referência (x, y, z) e o sistema
de coordenadas global (X, Y, Z) medido num instante t.
z
x
Ωt
P
uu*
w*
w
x
z
x
z
X
Z
Figure 2.4 – Campo de deslocamento de um ponto P na seção transversal do eixo
Introdução à Dinâmica de Rotores 29
Assim, a deformação longitudinal medida na direção y pode ser escrita sob a
forma:
2 2
y 2u * w *x zy y
∂ ∂ε = − −
∂ ∂ 2 (2.12)
Substituindo a expressão de deformação, eq. (2.12), na expressão de energia
de deformação, eq. (2.1), obtém-se a expressão final de energia de deformação do eixo
em flexão:
22 2
2 2
V
1 u * w *U E x z d2 y y
∂ ∂= − −
∂ ∂ ∫ V (2.13)
Desenvolvendo a eq. (2.13), temos:
2 22 2 2 2
2 22 2 2 2
V
1 u * w * u * w *U E x z 2 x z d2 y y y y
∂ ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∫ V (2.14)
As integrais da eq. (2.14) podem ser separadas em um integral na seção
transversal A e outra ao longo do comprimento L do eixo:
L L2 22 2
2 22 2
A 0 A 0
L2 2
2 2
A 0
1 u * wU E x dx dz dy z dx dz dy2 y y
u * w *x z dx dz dyy y
∂ ∂= + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
*+
(2.15)
30 Introdução à Dinâmica de Rotores
As integrais e 2z
A
x dx dz I=∫ 2x
A
z dx dz I=∫ são os momentos inércia de seção
com relação aos eixos z e x, e a integral
A
x z dx dz 0=∫ , já que os eixos x e z são eixos
principais de inércia. Como Iz = Ix = I para o caso de um eixo simétrico, temos que a
energia de deformação do eixo em flexão é da forma:
L 2 22 * 2 *
2 2
0
1 u wU E I d2 y y
∂ ∂ = + ∂ ∂ ∫ y (2.16)
Substituindo a eq. (2.11) na eq. (2.16), pode-se determinar a equação de
energia de deformação no sistema de coordenadas global:
L 2 22 2
2 2
0
1 u wU E I d2 y y
∂ ∂= + ∂ ∂ ∫ y (2.17)
22..33 -- EEnneerrggiiaa ddee ddeeffoorrmmaaççããoo ddoo eeiixxoo ddeevviiddoo aa uummaa ffoorrççaa aaxxiiaall
Considere que o rotor está submetido à uma força axial Fo sobre a seção
transversal A do eixo. A energia de deformação devido a esta força é da forma:
o
V
FUA
= ε∫ dV (2.18)
As deformações são como aquelas obtidas na eq. (2.7), com exceção dos
termos não lineares, que são agora adicionados.
Introdução à Dinâmica de Rotores 31
x x o
z z o
2 22 2
y y o 2 2
uxwz
v u w 1 u 1x zy 2 yy y
∂ε = = ε
∂∂
ε = = ε∂
∂ ∂ ∂ ∂ε = = ε − − + + ∂ ∂∂ ∂
w2 y
∂∂
(2.19)
Desprezando novamente as deformações normais à espessura do eixo, εxo e
εzo, e a deformação de membrana εyo, e substituindo a eq. (2.19) na eq. (2.18), obtém-
se a expressão de energia de deformação devido a momentos fletores e à uma força
axial no eixo:
2 22 2
o2 2
V
F u w 1 u 1 wU x zA 2 y 2y y
∂ ∂ ∂ ∂= − − + + ∂ ∂∂ ∂ ∫ dVy
(2.20)
22..44 –– MMaannccaaiiss
i
A influência da rigidez e do amortecimento viscoso dos mancais no
comportamento do rotor é considerada a partir do trabalho virtual das forças atuando no
eixo (ver Figura 1.13).
xx xz zz zx
xx xz zz zx
W k u u k w u k w w k u w
c u u c w u c w w c u w
δ = − δ − δ − δ − δ
− δ − δ − δ − δi i i (2.21)
ou :
u wW F u F uδ = δ + δ (2.22)
onde, Fu e Fw são as componentes das forças generalizadas, colocadas da forma:
32 Introdução à Dinâmica de Rotores
u xx xz xx xz
w zx zz zx zz
F k k c cuF k k c cw
w
u = − −
i
i (2.23)
onde o sinal negativo significa que as forças nos mancais são no sentido contrário aos
deslocamentos u e w e às velocidades u e . i
wi
22..55 –– EEqquuaaççõõeess ddee mmoovviimmeennttoo ddoo rroottoorr
As eqs. (2.4), (2.17), (2.20) e (2.22) associadas à um método analítico do tipo
Rayleigh-Ritz ou à um método numérico, permitem determinar as equações de
movimento do rotor a partir da aplicação da equação de Lagrange, Lalanne et al.
(1998).
ii i i i
d T T U D Fpdt p p p p ∂ ∂ ∂ ∂
− + + = ∂ ∂ ∂ ∂ (2.24)
onde T é a energia cinética, U é a energia de deformação, D é uma energia dissipativa
e Fpi são forças generalizadas correspondentes as coordenadas generalizadas pi (u, w,
θ e ψ).
Introdução à Dinâmica de Rotores 33
33 –– MMÉÉTTOODDOO DDEE RRAAYYLLEEIIGGHH--RRIITTZZ
O método de Rayleigh-Ritz é utilizado para a determinação das n freqüências
naturais mais baixas de um sistema, a partir de uma hipótese razoável do
deslocamento dos pontos da estrutura. Logo:
1
1 n
n
pu ( , , )
p
= γ γ
(3.1)
onde u é o vetor deslocamento, γi são funções deslocamento que devem verificar as
condições cinemáticas ou as condições de contorno e pi são novas variáveis em função
do tempo.
33..11 –– RRoottoorr iissoottrróóppiiccoo bbii--aappooiiaaddoo
Como exemplo de utilização do método de Rayleigh-Ritz, determine a evolução
da primeira freqüência natural em função da velocidade de rotação Ω de um rotor
simplesmente apoiado como apresentado na Figure 3.1. O mancal é considerado
rígido, não tendo portanto influência nas equações de movimento do rotor.
2° modo
1° modo Ω x
z
y
2L/3L/3
Figura 3.1 – Rotor simplesmente apoiado3
3 Para fins de simplificação, o sistema de coordenadas inercial (X, Y, Z) será substituído por (x, y, z).
34 Introdução à Dinâmica de Rotores
Uma hipótese razoável do deslocamento em flexão do rotor para esta
configuração pode ser da forma:
1
2
m yu(y,t) sen p (t)L
m yw(y,t) sen p (t)L
π=
π=
(3.2)
Estas hipóteses de deslocamento verificam as condições de contorno do
problema para y = 0 e y = L onde u = w = 0. O parâmetro m representa o número do
modo em flexão a ser analisado. Neste caso, todas as análises serão realizadas
considerando somente o 1° modo em flexão, logo m = 1.
As rotações de seção são determinadas fazendo (ver Figura 2.3):
2
1
w y(y,t) cos py L L
u y(y,t) cos py L L
∂ π πθ = =
∂∂ π π
ψ = − = −∂
(3.3)
3.1.1 – Diagrama de Campbell para rotores isotrópicos
Introduzindo as eq. (3.2) e (3.3) na eq. (2.4), a energia cinética do disco é dada
por:
π π π π π = + + −
i i i2 22 22 2 2
D D Dx 1 2 Dy 1 21 y y yT M sin I cos p p I Ω cos p p2 L L L L L (3.4)
Substituindo a eq. (3.2) na eq. (2.17), a energia de deformação do eixo é dada
da forma:
Introdução à Dinâmica de Rotores 35
(L4
2 221 2
0
1 yU E I sen dy p p2 L L
π π = ∫ )+
=
(3.5)
Da aplicação da equação de Lagrange, eq. (2.24), nas eqs. (3.4) e (3.5), temos:
11 2
22 1
m p a Ω p k p 0
m p a Ω p k p 0
− + =
+ +
ii i
ii i (3.6)
com: 2
2 2D Dx
.y .yM sin I cosL L L
π π π = +
m , 2
2Dy
.ya I cosL Lπ π =
,
3
IL 2
k E π π =
.
As eqs. (3.6) representam as equações de movimento do rotor. Observa-se que
estas equações são acopladas pelos termos a e . Estes termos
representam o efeito Giroscópico (ou efeito Coriolis) do disco e são função sua inércia
rotacional I
2Ω pi
1a Ω p−i
DY e de sua posição y no eixo. Observa-se que, se o disco estiver
posicionado no centro do eixo, y = L/2, este efeito é nulo.
A solução para a eq. (3.6) pode ser da forma:
st
1 1st
2 2
p (t) P e
p (t) P e
=
= (3.7)
onde são as freqüências naturais em flexão para cada rotação Ω do rotor. s j (Ω)= ± ω
Substituindo as eqs. (3.7) nas eqs (3.6), obtém-se as expressões:
2 st st st
1 2 12 st st st
2 1 2
m s P e aΩ s P e k P e 0
m s P e aΩ s P e k P e 0
− +
+ +
=
= (3.8)
36 Introdução à Dinâmica de Rotores
que colocadas em forma matricial, e considerando que est ≠ 0, são:
( )( )
21
2 2
m s k aΩ s P0
PaΩ s m s k
+ − = +
(3.9)
A solução não trivial, P1 ≠ 0 e P2 ≠ 0, é determinada fazendo o determinante da
matriz igual a zero. Fazendo isto, obtêm-se a equação característica (ou polinômio
característico) do rotor onde as raízes são as freqüências naturais:
2 2
4 2 22
2k a ks Ω sm m m
+ + + =
2 0 (3.10)
A expressão para a primeira raiz, correspondente a primeira freqüência ω1 é :
22 22 2 21 2 2
k a k a ks Ω Ωm m2m 2m m
= − + − + −
2
2 (3.11)
onde s1 = ± jω1. E, a expressão para a segunda raiz, correspondente a segunda
freqüência ω2 é :
22 22 2 22 2 2
k a k a ks Ω Ωm m2m 2m m
= − + + + −
2
2 (3.12)
onde s2 = ± jω2.
Como exemplo de aplicação, considere a rotor com a configuração mostrada na
Figura 3.1, com os seguintes dados; disco rígido: IDx = 0,1225 kg.m2, IDy = 0,2450 kg.m2,
MD = 7,85 kg; eixo: L = 0,4 m, I = 0,49 10-9 m4, E = 2 10 11 N/m2. Como o disco situa-se
a y = L/3 da origem do sistema inercial, m = 7,7766 e a = 3,7782, e k = 74578,8.
A Figura 3.2 apresenta a curva de evolução das freqüências naturais em função
Introdução à Dinâmica de Rotores 37
da rotação do rotor Ω, eqs. (3.11) e (3.12), também chamada de Diagrama de
Campbell. A curva tracejada representa a evolução da freqüência ω1 associada ao
movimento de precessão inversa (backward) e a curva contínua representa a evolução
da freqüência ω2 associada ao movimento de precessão direta (forward).
0 20 40 60 80Velocidade de rotação (rps)
100
0
10
20
30
40
50
60
Freq
uenc
ia (H
z)
Backward
Forward
Figure 3.2 – Diagrama de Campbell para o rotor isotrópico
3.1.2 – Resposta do rotor a um desbalanceamento
A velocidade crítica do rotor é determinada em função da força de excitação.
Para isto, suponha uma massa md = 0,001 kg situada em uma posição M sobre o disco
a uma distância d = 0,05 m do centro, a qual provocará um desbalanceamento do rotor
(ver Figura 3.3). O vetor posição M da massa desbalanceadora md medido no sistema
de coordenadas inercial, conforme mostra a Figura 3.4, é:
38 Introdução à Dinâmica de Rotores
+
= +
Lu( ,t) d senΩt3
OM cons tanteLw( ,t) d cosΩt3
(3.13)
d
md
Ω x
z
y
2L/3L/3
Figura 3.3 – Massa desbalanceadora md no disco
u
w
M
d
C
O
Ω t Z
X
Figura 3.4 – Movimento de precessão do disco excitado por uma massa md
Considerando que a aproximação por Rayleigh-Ritz do deslocamento de um
ponto qualquer do rotor é da forma dada pela eq. (3.2), a eq. (3.13) se transforma em:
Introdução à Dinâmica de Rotores 39
π + + = = π + +
11
22
sen p d senΩt 0,866 p d senΩt3OM cons tante cons tante
0,866 p d cosΩtsen p d cosΩt3
(3.14)
A energia cinética da massa md é:
=
2
m d1 dOMT m2 dt
(3.15)
Substituindo a eq. (3.14) na eq. (3.15) temos:
= + +
− +
i i
i i
22 2 2d
m 1 1
22 2 2
2 2
mT 0,75 p 1,732 dΩcosΩt p d Ω cos Ωt
2
0,75 p 1,732 dΩsenΩt p d Ω sen Ωt
+
(3.16)
Aplicando as equações de Lagrange na eq. (3.16) tem-se :
∂ ∂ − = − ∂ ∂
∂ ∂ − = − ∂ ∂
ii
i
ii
i
2m md 1 d
11
2m md 2 d
22
T Td 0,75 m p 0,866 m dΩ senΩtdt pp
T Td 0,75 m p 0,866 m dΩ cosΩtdt pp
(3.17)
Introduzindo as eqs. (3.17) na eq. (3.6), e considerando que a massa
desbalanceadora md é muito inferior a massa do disco (0,001 << 7,85), os termos
e 0, podem ser desprezados. Logo: ii
d 10,75 m pii
d 275 m p
40 Introdução à Dinâmica de Rotores
21 2 1 d
22 1 2 d
m p aΩ p k p 0,866 m dΩ senΩt
m p aΩ p k p 0,866 m dΩ cosΩt
− + =
+ + =
ii i
ii i (3.18)
Em regime permanente, a solução para as equações diferenciais acima são:
1 1
2 2
p P senΩtp P cosΩt
==
(3.19)
Substituindo as eqs. (3.19) nas eqs. (3.18), e eliminado os termos em sen Ωt e
cos Ωt temos:
2 2
1 2 1 d2 2
2 1 2 d
m PΩ a P Ω k P 0,866 m dΩ
m P Ω a PΩ k P 0,866 m dΩ
− + + =
− + + =
2
2 (3.20)
Subtraindo uma equação da outra na eq. (3.20) chega-se a P1 = P2. Logo:
2
d1 2 2
0,866 m dΩP Pk (a m)Ω
= =+ −
(3.21)
Observa-se pela eq. (3.21) que a órbita percorrida pelo eixo do rotor é circular,
P1 = P2. Na velocidade crítica, as amplitudes P1 e P2 teoricamente se tornam infinitas, o
que corresponde a anular o denominador da eq. (3.21).
ckΩ
m a=
− (3.22)
A velocidade crítica, é o ponto onde a velocidade de rotação se iguala a
freqüência natural do rotor, Ωc = ω = 136,6 rad/s = 21,7 hz.
A resposta em freqüência (função da velocidade de rotação do rotor) de um
ponto qualquer ao longo do comprimento do rotor é determinada a partir da eq. (3.2),
onde p1 e p2 são dados pela eq. (3.8):
Introdução à Dinâmica de Rotores 41
2
d2
2d
2
0,866 m dΩyu(y,t) sen senΩtL k (a m)Ω
0,866 m dΩyw(y,t) sen cosΩtL k (a m)Ω
π=
+ − π
= + −
(3.23)
Como exemplo de aplicação, deseja-se determinar o deslocamento do centro
do disco, y = L/3. Na Figura 3.6 é traçado a resultante das componentes do
deslocamento, 2 2w= +R u .
0 20 40 60 80 100Velocidade de rotação (rps)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Freq
uenc
ia (H
z)
1.0E-9
1.0E-8
1.0E-7
1.0E-6
1.0E-5
1.0E-4
1.0E-3
Ampl
itude
(M)
Forward
Backward
Resposta em Freqüência
Freqüência = rotação
velocidade crítica
Figure 3.5 – Diagrama de Campbell e deslocamento do centro do disco
O sentido do movimento de precessão do rotor é de bastante interesse no
estudo do seu comportamento dinâmico, uma vez que os problemas de fadiga em eixos
de rotores ocorrem nos movimentos de precessão não síncronos. Para isso, considere
a Figura 3.6, onde C é o centro do eixo e V é a velocidade tangente à órbita do centro
do eixo. Assim podemos colocar os vetores, posição do centro do rotor ( ) e velocidade
tangencial ( ) da seguinte forma (lembrando que, em uma excitação síncrona, do tipo
r
V
42 Introdução à Dinâmica de Rotores
massa desbalanceadora, a freqüência do movimento de precessão é igual a velocidade
de rotação do eixo, ω = Ω):
1
2
1
2
P senΩt . i
r 0 . j
P cosΩt . k
P ΩcosΩt . id rV 0 . jdt
P ΩsenΩt . k
=
= = −
(3.24)
k
i
r
Ωω = Ω
P1 sen Ωt
P2 cos Ωt
V
C
OX
Z
Figura 3.6 – Sentido do movimento de precessão do rotor
O produto vetorial r V∧ fornece o sentido do movimento de precessão,
lembrando que: : ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆi j k, i j k∧ = ∧ ∧ =ˆ ˆk j,= − i
1 2
0 . i
r V P P Ω . j
0 . k
∧ =
(3.25)
Então, se o produto P1P2 > 0, a precessão é direta (forward), e se o produto
Introdução à Dinâmica de Rotores 43
P1P2 < 0, a precessão é inversa (backward). Como P1 = P2, eq. (3.35), conclui-se que,
um rotor isotrópico excitado por uma massa desbalanceadora precessiona sempre em
sentido forward.
3.1.3 – Diagrama de Campbell do rotor com uma força axial
Substituindo as hipóteses de deslocamento, eq. (2.7), na eq. (2.20) e separando
a integral de volume em uma integral na seção transversal A e outra ao longo do
comprimento L do eixo, temos:
( ) π π π π π π = + + + ∫∫
L2 2
o1 2 1 2
A 0
F y 1 y 1 yU sen x p z p cos p cos p dxdzdyA L L 2 L L 2 L L
2
(3.26)
A primeira integral ( )L
2
1 2
A 0
ysen x p z p dxdzdyL L
π π + ∫∫ é nula quando feita
sobre toda a seção transversal, Figura 3.7:
de = 2 re ϕ
∆
x
z
z
x
Figura 3.7 – Seção transversal do eixo do rotor
onde:
x = ∆ sen ϕ, y = ∆ cos ϕ, dxdz = dA = ∆ dϕ d∆
44 Introdução à Dinâmica de Rotores
Substituindo as expressões de x, y e dxdy na segunda integral, temos:
( )r 2 Le 2
21 2
0 0 0
ysen sen p cos p d d dyL L
π π π ϕ + ϕ δ δ ϕ ∫ ∫ ∫ (3.27)
Resolvendo a integral sobre a área, observa-se que os limites de integração em
ϕ se anulam, anulando assim a integral:
( )Lre2 32
1 2 00 0
ycos p sen p sen dyL 3
ππ δ − ϕ + ϕ ∫ L
π (3.28)
A expressão final de energia de deformação para uma força axial aplicada no
eixo é:
L
2 2o
1 2
A 0
F 1 y 1 yU cos p cos pA 2 L L 2 L L
π π π π = + ∫∫ dxdzdy (3.29)
Resolvendo esta integral, e sabendo que 22 y1 cosy Lcos
L 2
π+π= , tem-se:
(2
2 2o1 2
FU p4Lπ
= + )p (3.30)
Aplicando as equações de Lagrange, eq. (2.24), e introduzindo os termos
resultantes nas eqs. (3.6), temos:
Introdução à Dinâmica de Rotores 45
2o
11 2
2o
22 1
Fm p a Ω p k p2 L
Fm p a Ω p k p2 L
π− + +
π
+ + +
ii i
ii i
0
0
=
=
(3.31)
Supondo uma força axial de Fo = 1.000 N, o Diagrama de Campbell é da forma
como apresentado pela Figura 3.8.
Considerando que o rotor sujeito a força axial Fo é excitado por uma massa
desbalanceadora md como visto anteriormente, as equações de movimento do rotor
são:
2
2o1 d1 2
22o
2 d2 1
Fm p a Ω p k p 0,866 m dΩ senΩt2 L
Fm p a Ω p k p 0,866 m dΩ cosΩt2 L
π− + + =
π
+ + + =
ii i
ii i (3.32)
A solução das eqs. (3.32) em regime permanente, é da forma apresentada pela
eq. (3.19). Eliminado os termos em sen Ωt e cos Ωt temos:
2
2 2 o1 2 1 d
22 2 o
2 1 2 d
Fm PΩ a P Ω k P 0,866 m dΩ2 L
Fm P Ω a PΩ k P 0,866 m dΩ2 L
π− + + + =
π
− + + + =
2
2
(3.33)
Sabendo-se que P1 = P2, temos que:
2
d1 2 2
2o
0,866 m dΩP PF k (a m)Ω2 L
= = π
+ + −
(3.34)
46 Introdução à Dinâmica de Rotores
Novamente, a órbita realizada pelo eixo do rotor é circular, P1 = P2. Na
velocidade crítica, as amplitudes P1 e P2 se tornam infinitas, o que corresponde a anular
o denominador da eq. (3.34).
2o
c
F k2 L
Ωm a
π+
=−
(3.35)
Assim, a velocidade crítica para um rotor sujeito à uma força axial Fo = 1.000 N
é Ωr = 147,4 rad/s = 23,5 ciclos/s = 23,5 hz.
A resposta em freqüência (função da velocidade de rotação do rotor) de um
ponto qualquer ao longo do comprimento do rotor devido a uma força axial, é também
determinada a partir da eq. (3.2) e da eq. (3.34):
2
d2
2o
2d
22o
0,866 m dΩyu(y,t) sen senΩtL F k (a m)Ω
2 L
0,866 m dΩyw(y,t) sen cosΩtL F k (a m)Ω
2 L
π=
π+ + −
π=
π+ + −
(3.36)
Na Figura 3.8, é traçado a resultante do deslocamento do centro do disco
quando o rotor está sujeito à uma força axial Fo = 1.000 N. Comparando com a
amplitude do centro do disco na velocidade crítica sem força axial, Figura 3.5, a
amplitude neste caso é muito superior. Isto vem do fato da aplicação de uma força axial
de tração, que aumentou a rigidez do eixo, e conseqüentemente a amplitude de
vibração quando da passagem pela velocidade crítica.
Introdução à Dinâmica de Rotores 47
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Velocidade de rotação (rps)
1E-9
1E-8
1E-7
1E-6
1E-5
1E-4
1E-3
Ampl
itude
(m)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Freq
uenc
ia (H
z)
Forward
Backward
Resposta em freqüência
Freqüência = rotação
velocidade crítica
Figure 3.8 – Deslocamento do centro do disco, Fo = 1.000 N
Como P1 = P2, o sentido do movimento de precessão do rotor é forward.
3.1.4 – Resposta do rotor à uma força assíncrona
Considere agora, o rotor sendo excitado por forças assíncronas do tipo Fo sen
µΩt e Fo cos µΩt atuando no disco do rotor. Este caso pode ocorrer em rotores coaxiais
e as forças assíncronas podem surgir devido ao desbalanceamento de um rotor
secundário, Lalanne et al. (1998).
O trabalho virtual devido a força assíncrona é:
δ = µ δ + µ δo oW F sen Ωt u F cos Ωt w (3.37)
onde δu e δw são os deslocamentos virtuais devidos à uma força assíncrona e µ ≠ 1.
Substituindo os deslocamentos da eq. (3.2) na eq. (3.37), as forças
generalizadas Fp1 e Fp2 aplicadas em uma posição qualquer do rotor principal são:
48 Introdução à Dinâmica de Rotores
π= µ =
π= µ =
1 o
2 o
yFp sen F sen Ωt Fsen ΩtLyFp sen F cos Ωt Fcos Ωt
L
µ
µ (3.38)
Introduzindo a eq. (3.38) na eq. (3.6), obtém-se as equações de movimento do
rotor sujeito à uma força assíncrona:
− + = µ
+ + = µ
ii i
ii i1 2 1
2 1 2
m p aΩ p k p F sen Ωt
m p aΩ p k p F cos Ωt (3.39)
onde m = 7,7766; a = 3,7782 e k = 74578,8.
Em regime permanente, a solução das equações diferenciais acima são:
= µ
= µ1 1
2 2
p P sen Ωtp P cos Ωt
(3.40)
Substituindo a eq. (3.40) na eq. (3.39), temos:
( )= =
µ − µ +1 2 2 2
FP Pa m Ω k
(3.41)
Aqui novamente, a órbita do eixo do rotor é circular, P1 = P2. Na velocidade
crítica Ωc do rotor, as amplitudes P1 e P2 se tornam infinitas, logo da eq. (3.41):
c 2kΩ
m a=
η − η (3.42)
Observa-se que para µ = 1, a velocidade crítica é a mesma obtida no caso de
Introdução à Dinâmica de Rotores 49
um desbalanceamento, Ωc = 136,6 rad/s = 21,7 ciclos/s = 21,7 hz.
Como P1 = P2, o sentido a precessão é também forward.
3.1.5 – Resposta do rotor à uma força fixa no espaço
Considere agora, o rotor sendo excitado por uma força assíncrona do tipo F sen
ωt atuando no disco do rotor principal. Este caso pode acontecer quando o rotor é
acoplado a um rotor secundário que gira a uma velocidade ω e a força de excitação
surge devido a um desbalanceamento no rotor secundário, Figure 3.9, ou excitando o
rotor através de um mancal colocado numa posição y qualquer ao longo do eixo do
rotor.
Rotor secundário
Rotor principal
Ω
x
y 2L/3L/3
z
ω
Figura 3.9 – Rotor simplesmente apoiado acoplado
Supondo que há uma força de excitação atuando na direção x, o trabalho virtual
devido a esta força é:
oW F sen t uδ = ω δ (3.43)
onde δu é o deslocamento virtual devido a uma força assíncrona.
Substituindo os deslocamentos da eq. (3.2) na eq. (3.43), a força generalizada
Fp1 aplicada num ponto qualquer do rotor principal é:
50 Introdução à Dinâmica de Rotores
1 o
2
yFp sen F sen tL
Fp 0
π= ω
= (3.44)
Introduzindo a eq. (3.44) na eq. (3.6), obtém-se as equações de movimento do
rotor sujeito à uma força assíncrona:
11 2
22 1
m p a Ω p k p F sen
m p a Ω p k p 0
− + =
+ + =
ii i
ii i
tω
ttω
(3.45)
onde m = 7,7766, a = 3,7782 e k = 74578,8.
Em regime permanente, a solução para as equações diferenciais acima são:
1 1
2 2
p P senp P cos
= ω=
(3.46)
Substituindo a eq. (3.46) na eq. (3.45), e resolvendo o sistema temos:
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2
1 2 22
2 2 22
k mP F
k m aΩ
aΩP F
k m aΩ
− ω=
− ω − ω
− ω=
− ω − ω
(3.47)
Pela eq. (3.47), observa-se que a trajetória do eixo do rotor não é mais circular,
mas sim elíptica, P1 ≠ P2. Na velocidade crítica, as amplitudes P1 e P2 se tornam
infinitas, logo da eq. (3.47):
( ) ( )2 22k m aΩ 0− ω − ω = (3.48)
Introdução à Dinâmica de Rotores 51
ou : 2 2
4 2 22
2k a kΩ 0m m m
ω − + ω + =
2 (3.49)
A eq. (3.49) é semelhante a eq. (3.10), onde as raízes da equação são as
velocidades críticas, em função da velocidade do rotor, dadas por:
22 22 2 21 2 2
22 22 2 22 2 2
k a k a kΩ Ωm m2m 2m m
k a k a kΩ Ωm m2m 2m m
ω = + − + −
ω = + + + −
2
2
2
2
(3.50)
Diferentemente dos casos anteriores, desbalanceamento e força assíncrona, no
caso de uma força fixa no espaço, em um mesmo modo de vibração, podem ocorrer
duas velocidades críticas. Este comportamento é freqüentemente utilizado para
reproduzir experimentalmente o Diagrama de Campbell do rotor.
A resposta em freqüência de um ponto qualquer ao longo do comprimento do
rotor devido a uma força fixa no espaço, é também determinada a partir da eq. (3.2) e
da eq. (3.47):
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2
2 22
2 22
k myu(y,t) sen Fsen tL k m aΩ
aΩyw(y,t) sen Fcos tL k m aΩ
− ωπ= ω
− ω − ω
− ωπ= ω
− ω − ω
(3.51)
A Figura 3.10 apresenta as duas freqüências naturais na rotação do rotor em Ω
= 80 rps. Uma comparação com a Figura 3.5 mostra que estas freqüências são ω1 ≅ 6
Hz e ω2 ≅ 42 Hz.
52 Introdução à Dinâmica de Rotores
0 10 20 30 40 50 6Frequencia (Hz)
1E-7
1E-6
1E-5
1E-4
Am
plitu
de (m
)
Forward Backward
15,59
0
Figure 3.10 – Deslocamento do centro do disco, Ω = 80 rps
O sentido do movimento de precessão é determinado da seguinte forma: P1P2 >
0 (Forward) e P1P2 < 0 (Backward). Das eqs. (3.47), o produto P1P2 fornece:
( ) (21 2PP k m aΩ= − ω − ω ) (3.52)
ou:
2
1 2PP k m= − + ω (3.53)
Observa-se na eq. (3.53) que, como k é >> m, para pequenos valores de ω, a
equação é negativa, assim, a precessão é Backward, e para grandes valores de ω, a
equação é positiva, sendo a precessão portanto Forward. A mudança de sinal ocorre
quando a eq. (3.53) for nula, o que ocorre para ω = 15,59 hz, considerando que m =
7,7766 e k = 74578,8.
Introdução à Dinâmica de Rotores 53
33..22 –– RRoottoorr aanniissoottrróóppiiccoo bbii--aappooiiaaddoo
No estudo do comportamento de rotores anisotrópicos, serão considerados
mancais flexíveis, com Kxx = 10 104 N/m e Kzz = 20 104 N/m, Figura 3.11. Os termos de
amortecimento Cxx, Czz e os termos de acoplamento Kxz, Kzx, Cxz e Czx são considerados
nulos.
1 modoo
Kxx Kxxkzz kzz x
z
y 2L/3L/3
Figura 3.11 – Rotor com mancais flexíveis e anisotrópicos
Uma hipótese razoável do deslocamento em flexão do rotor para esta
configuração pode ser da forma:
1
2
1 m yu(y,t) 1 sen p (t)2 L1 m yw(y,t) 1 sen p (t)2 L
π = +
π = +
(3.54)
Estas hipóteses de deslocamento verificam as condições de contorno do
problema para y = 0 e y = L onde u ≠ 0 e w ≠ 0. Os deslocamentos uo e wo são função
das rigidezes kxx e kzz nos apoios e podem ser considerados unitários para a
determinação de freqüências e modos de vibração. O parâmetro m representa o
número do modo em flexão a ser analisado. Todas as análises serão realizadas
considerando somente o 1° modo em flexão, logo m = 1.
A partir da eq. (3.54), observa-se que as rotações de seção e a energia de
deformação do eixo têm as mesmas expressões que as dadas pela eq. (3.3) e (3.5)
respectivamente.
54 Introdução à Dinâmica de Rotores
Introduzindo as eq. (3.54) e (3.3) na eq. (2.4), a energia cinética do disco é
dada por:
π π π π π = + + + −
i i i2 2 22 22 2D
D Dx 1 2 DyM1 y y yT 1 sin I cos p p I Ω cos p p
2 4 L L L L L 1 2
(3.55)
Substituindo as eqs. (3.54) na eq. (2.22), a expressão que fornece o trabalho
virtual devido a flexibilidade dos mancais é:
xx 1 1 zz 2 2
xx 1 1 zz 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0W k 1 sen p 1 sen p k 1 sen p 1 sen p2 L 2 L 2 L 2 L
1 L 1 L 1 L 1 Lk 1 sen p 1 sen p k 1 sen p 1 sen p2 L 2 L 2 L 2 L
π π π δ = − + δ + − + δ + π π π − + δ + − + δ +
ππ
(3.56)
Logo, a eq. (3.56) se resume em:
xx 1 1 zz 2 21 1W k p p k p2 2
δ = − δ − δp
1
(3.57)
Assim, as forças generalizadas Fp1 e Fp2 são:
= −
= −
41
42 2
Fp 5 10 p
Fp 10 10 p (3.58)
Considerando a eq. (3.6), e a equação de Lagrange eq. (2.18), as equações de
movimento para o rotor anisotrópico são:
Introdução à Dinâmica de Rotores 55
− + = −
+ + = −
ii i
i i
41 2 1
42 1 2
m p aΩ p k p 5 10 p
m p aΩ p k p 10 10 p
1
2
=
(3.59)
ou:
1 11 2
2 22 1
m p a Ω p k p 0
m p a Ω p k p 0
− + =
+ +
ii i
ii i (3.60)
onde, 2 2
2DDx
M ym 1 sin I cos4 L L
π π = + +
yLπ
, k1 = k + 5 104 e k2 = k + 10 104. As
constantes a e k são as mesmas apresentadas na eq. (3.6).
A solução para a eq. (3.60) é também da forma apresentada pela eq. (3.7), que
quando substituída na eq. (3.58) fornece a seguinte equação matricial:
( )( )
21 1
2 22
m s k aΩ s P0
PaΩ s m s k
+ − = +
(3.61)
O polinômio característico obtido na procura da solução não trivial é:
2
4 2 21 2 1 22
k k k kas Ω sm m m mm
+ + + + =
0 (3.62)
A expressão para a primeira raiz, correspondente a primeira freqüência ω1 é :
22 22 2 21 2 1 2 1 21 2 2
k k k k k ka as Ω Ω2m 2m 2m 2m m m2m 2m
= − + + − + + −
(3.63)
56 Introdução à Dinâmica de Rotores
onde s1 = ± j ω1. E, a expressão para a segunda raiz, correspondente a segunda
freqüência ω2 é :
22 22 2 21 2 1 2 1 22 2 2
k k k k k ka as Ω Ω2m 2m 2m 2m m m2m 2m
= − + + + + + −
(3.64)
onde s2 = ± j ω2.
Considerando o eixo e o disco do rotor da Figura 3.11 tendo as mesmas
propriedades que o rotor da Figura 3.1, chega-se a m = 8,7226, a = 3,7782, k1 =
124578,8 e k2 = 174578,8, o Diagrama de Campbell para o rotor anisotrópico é como
apresentado pela Figura 3.12.
A resposta a um desbalanceamento em um rotor anisotrópico é analisada
considerando o deslocamento da massa desbalanceadora da forma:
o
o
uLu( ,t) r senΩt d senΩt (1 sen ) d senΩt3 2 3
wLw( ,t) r cosΩt dcosΩt (1 sen ) d cosΩt3 2 3
π = + = + +
π
= + = + +
(3.65)
Usando o mesmo procedimento usado nas eqs. (3.15), (3.16) e (3.17), as
equações de movimento em um rotor anisotrópico são da forma:
21 2 1 1 d
22 1 2 2 d
m p aΩ p k p 0,933 m dΩ senΩt
m p aΩ p k p 0,933 m dΩ cosΩt
− + =
+ + =
ii i
ii i (3.66)
A substituição da solução, eqs. (3.19), nas eqs. (3.66) resulta em:
Introdução à Dinâmica de Rotores 57
( )( )( )( )
( )( )( )( )
2 22 d
1 2 21 2
2 21 d
2 2 21 2
k m a Ω 0,933 m dΩP
k mΩ k mΩ a Ω
k m a Ω 0,933 m dΩP
k mΩ k mΩ a Ω
− +=
− − −
− +=
− − −
2 4
2 4
(3.67)
Observa-se pela eq. (3.67) que a órbita percorrida pelo eixo do rotor é elíptica,
P1 ≠ P2. Na velocidade crítica, as amplitudes P1 e P2 teoricamente se tornam infinitas, o
que corresponde a anular o denominador da eq. (3.67). Rearranjando a eq. (3.67), o
polinômio, cujas raízes são as velocidades críticas do rotor, é:
( ) ( )2 2 4 21 2 1 2m a Ω m k k Ω k k 0− − + + = (3.68)
A primeira velocidade crítica, onde a velocidade de rotação se iguala a
freqüência natural do rotor, é Ωc1 = ω = 106,8 rad/s = 17,0 hz e a segunda velocidade
crítica é Ωc2 = ω = 175,9 rad/s = 28,0 hz.
0 10 20 3Velo
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Freq
uenc
ia (H
z)
1.0E-8
1.0E-7
1.0E-6
1.0E-5
1.0E-4
1.0E-3
1.0E-2
1.0E-1
Ampl
itude
(m)
Backward
Forward
Resposta em frequencia
Frequencia = rotacao
velocidades críticas
8 7
2 10 40 50 60 70 80 90 100cidade de rotação (rps)
1.0E-9
58 Introdução à Dinâmica de Rotores
Figure 3.12 – Diagrama de Campbell e deslocamento do eixo de um rotor anisotrópico
Da observação da Figura 3.12, pelo fato da amplitude ser maior, conclui-se que
a segunda velocidade crítica, correspondente ao movimento de precessão forward, é a
que apresenta maior perigo. O sentido do movimento de precessão é determinado pelo
sinal do produto P1P2, logo:
( )( ) ( )(21 2 1 2PP k m a Ω k m a Ω= − + − + )2 (3.69)
Como k1 < k2:
11 2
11 2
11 1 2
21 1 2
21 2
21 2
kΩ P P Forwardm a
kΩ P 0 e P 0m a
k Ω P P Backwardm a
kΩ P P Backwardm a
kΩ P 0 e P 0m a
kΩ P P Forwardm a
< >+
= ≠ =+
< < ω >+
ω < < <+
= = ≠+
> <+
(3.70)
As eqs. (3.70) podem ser melhor interpretadas com as Figuras 3.13 e 3.14.
BackwardForward
P1 P2
Backward
-
P1
P2
Forward
+
P1
P2
P1
P2 -
P1
P2+
P1
P2
Ω
1km a+
2km a+
1ω 2ω0
Introdução à Dinâmica de Rotores 59
Figure 3.13 – Órbita do centro do eixo em um rotor anisotrópico
0 10 20 30 40 5Velocidade de rotação (rps)
0
1.0E-9
1.0E-8
1.0E-7
1.0E-6
1.0E-5
1.0E-4
1.0E-3
1.0E-2
1.0E-1
Ampl
itude
(m)
Bac
kwar
d
Forward Forward
18,8 15,9
Figure 3.14 – Sentido da precessão do centro do eixo de um rotor anisotrópico
33..33 –– EEffeeiittoo ddooss tteerrmmooss ddee aaccooppllaammeennttoo nnooss mmaannccaaiiss
No estudo do comportamento de rotores com termos de acoplamento nos
mancais, as propriedades consideradas são: Kxx = 2,5 104 N/m, Kzz = 5 104 N/m, Kxz = -
Kzx = 4 103 N/m. Os termos de amortecimento Cxx, Czz, Cxz e Czx são neste caso
considerados nulos.
60 Introdução à Dinâmica de Rotores
Considerando o procedimento utilizado no item 3.2 para a obtenção das
rigidezes nos mancais, as forças generalizadas Fp1 e Fp2 são:
= − −
= − +
4 31 1
42 2
Fp 5 10 p 8 10 p
Fp 10 10 p 8 10 p2
31
=
1p=
(3.71)
As equações de movimento para o rotor nesta configuração são então da
forma:
− + + =
+ + +
ii i
ii i1 2 1 1 12 2
2 1 2 2 21 1
m p aΩ p k p k p 0
m p aΩ p k p k p 0 (3.72)
onde k1 = k + 5 104, k2 = k + 10 104, k12 = 8 103 e k21 = - 8 103. Para fins de simplificação
de notação, será considerado k = k1.
A eq. (3.72) pode também ser colocada de uma forma matricial:
1 1 1 12
21 2 22 2
p p k km 0 0 aΩ0
k k p0 m aΩ 0p p
− + +
ii i
ii i (3.73)
A solução da eq. (3.73) é também a eq. (3.7), que pode ser também colocada
de uma forma vetorial:
1 1 st
2 2
p Pe
p P
=
(3.74)
ou de forma compacta:
= stp P e (3.75)
A eq. (3.75) pode também ser colocada de forma compacta:
Introdução à Dinâmica de Rotores 61
M p Cp K p 0+ + =ii i
(3.76)
onde M é a matriz de massa, C é a matriz giroscópica e de amortecimento e K é a
matriz de rigidez do sistema. Substituindo a eq. (3.75) na eq. (3.76), o sistema de
equações a ser resolvido pode ser colocado da forma:
0 M P M 0 Ps
K C sP 0 M sP
= − −
(3.77)
A eq. (3.77), colocada desta forma é um problema de autovalor-autovetor do
tipo [ ] [ ] A X s B X= , onde s representa os autovalores e X seus autovetores
correspondentes. Os autovalores são complexos do tipo s = λ ± jω, onde um valor
positivo de λ indica um aumento exponencial da amplitude do rotor, tornando-o instável,
logo para λ < 0: rotor estável e λ > 0: rotor instável. A variável ω representa as
freqüências naturais do rotor.
Vale ressaltar que o sistema de equações dado pela eq. (3.76) é de ordem 2,
enquanto o sistema de equações dado pela eq. (3.77) é de ordem 4.
As equações de movimento do rotor quando submetido à um
desbalanceamento, levando em consideração os termos de acoplamento são da forma:
− + + =
+ + + =
ii i
ii i
21 2 1 1 12 2 d
22 1 2 2 21 1 d
m p aΩ p k p k p 0,866 m dΩ senΩt
m p aΩ p k p k p 0,866 m dΩ cosΩt (3.78)
Em regime permanente, a solução das equações diferenciais acima são:
1 1 1
2 2 2
p P senΩt Q cosΩtp P senΩt Q cosΩt
= +
= + (3.79)
62 Introdução à Dinâmica de Rotores
Substituindo a eq. (3.79) na eq. (3.78), e isolando os termos em senΩt e cosΩt,
o sistema a ser resolvido se colocada da forma:
2 2 * 2
1 12 12 2
1 12 12 2
221 2* 22 2 221 2
k mΩ 0 k aΩ P m dΩ0 k mΩ aΩ k Q 0
P 0k aΩ k mΩ 0Q m dΩaΩ k 0 k mΩ
− − − = − −
−
(3.80)
Com a resolução do sistema, obtém-se P1, Q1, P2 e Q2, que quando
substituídos em (3.79) fornecem p1 e p2, e que conseqüentemente, quando substituídos
em (3.54) fornecem a resposta em freqüência de um ponto qualquer ao longo do
comprimento do rotor. Logo:
( )
( )
1 1
2 2
1 yu(y,t) 1 sen P senΩt Q cosΩt2 L1 yw(y,t) 1 sen P senΩt Q cosΩt2 L
π = + +
π = + +
(3.81)
Como exemplo de aplicação, deseja-se traçar o Diagrama de Campbell e
determinar o deslocamento do centro do disco, y = L/3, considerando m = 8,7226, a =
3,7782, k1 = 124578,8, k2 = 174578,8, k12 = 8 103 e k21 = - 8 103, conforme mostra a
Figura 3.15.
Da resolução da eq. (3.77) para cada velocidade Ω, observa-se que a parte real
dos autovalores λ é sempre positiva, o que faz com que o rotor esteja em uma situação
de instabilidade.
Introdução à Dinâmica de Rotores 63
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Velocidade de rotação (rps)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Freq
uenc
ia (H
z)
1.0E-9
1.0E-8
1.0E-7
1.0E-6
1.0E-5
1.0E-4
1.0E-3
1.0E-2
1.0E-1
Ampl
itude
(m)
instável
0,0
Figura 3.15 – Diagrama de Campbell e deslocamento do centro do disco
33..44 –– EEffeeiittoo ddoo aammoorrtteecciimmeennttoo ddooss mmaannccaaiiss
1
2
Considere um rotor com propriedades de mancais do tipo: Kxx = 2,5 104 N/m,
Kzz = 5 104 N/m, Kxz = Kzx = 0, Cxx = 0,5.102 N/m/s, Czz = 1.102 N/m/s e Cxz = 0 e Czx = 0
(ver Figura 1.13).
Substituindo as derivadas no tempo das eqs. (3.54) na eq. (2.22), obtém-se a
expressão que fornece o trabalho virtual. Logo, as forças generalizadas Fp1 e Fp2 são:
= − −
= − −
i
i
4 21 1
4 22 2
Fp 5.10 p 1.10 p
Fp 10.10 p 2.10 p (3.82)
64 Introdução à Dinâmica de Rotores
Considerando a eq. (3.6), e a equação de Lagrange eq. (2.18), as equações de
movimento para o rotor com amortecimento externo são:
4 21 2 1 1
5 22 1 2 1
m p aΩ p k p 5 10 p 2 10 p
m p aΩ p k p 5 10 p 4 10 p
− + = − −
+ + = − −
ii i i
ii i i1
2
=
1
2=
(3.83)
ou :
1 1 11 2 1
2 2 22 1 2
m p a Ω p c p k p 0
m p a Ω p c p k p 0
− + + =
+ + +
ii i i
ii i i (3.84)
onde c1 = 1.102 e c2 = 2.102.
A eq. (3.84) pode ser colocada de uma forma matricial:
1 11 1
2 22 2
p pc aΩ k 0 pm 00
aΩ c 0 k p0 m p p
− + +
ii i
ii i (3.85)
A eq. (3.85) pode também ser colocada na forma da eq. (3.74). A solução
representa os autovalores e seus autovetores associados.
As equações de movimento do rotor quando submetido à um
desbalanceamento, levando em consideração o amortecimento externo é do tipo:
21 2 1 1 1 1 d
22 1 2 2 2 2 d
m p aΩ p c p k p 0,933 m dΩ senΩt
m p aΩ p c p k p 0,933 m dΩ cosΩt
− + + =
+ + + =
ii i i
ii i i (3.86)
Introdução à Dinâmica de Rotores 65
Em regime permanente, a solução para as equações diferenciais acima é
também dada pela eq. (3.75), que quando substituída na eq. (3.86), e isolando os
termos em senΩt e cosΩt, o sistema a ser resolvido se coloca da forma:
2 2 * 2
1 1 12 2
1 1 12 2
22 2* 22 2 22 2
k mΩ c Ω 0 aΩ P m dΩc Ω k mΩ aΩ 0 Q 0
P 00 aΩ k mΩ c ΩQ m dΩaΩ 0 c Ω k mΩ
− − − − = − − −
−
(3.87)
Com a resolução do sistema, obtém-se P1, Q1, P2 e Q2, que quando
substituídos em (3.76) fornecem p1 e p2, e que conseqüentemente, quando substituídos
em (3.54) fornecem a resposta em freqüência de um ponto qualquer ao longo do
comprimento do rotor (ver eq. (3.81)).
Como exemplo de aplicação, deseja-se traçar o Diagrama de Campbell e
determinar o deslocamento do centro do disco, y = L/3, considerando m = 8,7226, a =
3,7782, k1 = 124578,8, k2 = 174578,8, c1 = 100 e c2 = 200, conforme mostra a Figura
3.16.
66 Introdução à Dinâmica de Rotores
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Velocidade de rotação (rps)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Freq
uenc
ia (H
z)
1.0E-9
1.0E-8
1.0E-7
1.0E-6
1.0E-5
1.0E-4
1.0E-3
1.0E-2
1.0E-1
Ampl
itude
(m)
Backward
Forward
Resposta em frequencia
Frequencia = rotacao
velocidades críticas
Figure 3.16 – Diagrama de Campbell e deslocamento do centro do disco
Comparando a Figura 3.16 com a Figura 3.12, verifica-se que houve uma leve
alteração no Diagrama de Campbell, no entanto, houve uma redução bastante sensível
na amplitude de vibração do eixo.
33..55 –– EEffeeiittoo ddoo aammoorrtteecciimmeennttoo iinntteerrnnoo
O efeito do amortecimento interno em uma estrutura, inerente ao seu material, é
considerado matematicamente da seguinte forma:
E Eσ = ε + η εi (3.88)
Introdução à Dinâmica de Rotores 67
onde η e são o fator de amortecimento interno viscoso e a taxa de deformação,
respectivamente.
ε
Substituindo a eq. (3.88) na eq. (2.5), tem-se:
2
V
EU2
= ε + η ε ε
∫
idV
(3.89)
A taxa de deformação calculada no sistema de coordenadas de referência,
segundo a eq. (2.7), pode ser colocada da forma:
2 * 2 *
2ux z
y y∂ ∂
ε = − −∂ ∂
i ii
2w (3.90)
onde e são as velocidades de um ponto arbitrário da seção transversal do eixo
nas direções x e z do sistema de referência, respectivamente. Considerando a eq.
(2.11), estas velocidade são:
*ui
*wi
u* u cosΩt w senΩt Ω u senΩt Ω wcosΩt
w * u senΩt w cosΩt Ω u cosΩt Ω wsenΩt
= − − −
= + + −
i i i
i i i (3.91)
Substituindo as eq. (3.90) na eq. (3.89), temos:
22 2
2 2
V
2 2 2 2
2 2 2 2
V
1 u * w *U E x z dV2 y y
1 u* w* u * wE x z x z d2 y y y y
∂ ∂= − − ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ + η − − − − ∂ ∂ ∂ ∂
∫
∫i i
* V
(3.92)
e, substituindo as eq. (2.11) e (3.91) na eq. (3.92), temos:
68 Introdução à Dinâmica de Rotores
L L2 22 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
0 0L
2 2 2 2
2 2 2 2
0
1 u w 1 u u w wU E I dy E I d2 2y y y y y y
1 u w w uE I Ω Ω dy2 y y y y
y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + η + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂+ η − +
∂ ∂ ∂ ∂
∫ ∫
∫
i i
(3.93)
Substituindo a eq. (3.2) na eq. (3.93), a energia de deformação do eixo
considerando o amortecimento interno é:
( )
( )
L4
2 221 2
0
L4
21 21 2
0
L4
21 2 2 1
0
1 yU E I sen dy p p2 L L
1 yE I sen dy p p p p2 L L
1 yE I sen dy Ω p p Ω p p2 L L
π π = +
π π + η +
π π + η − +
∫
∫
∫
i i
+
=
(3.94)
Aplicando as equação de Lagrange, (2.18), nas eq. (3.4) e, considerando agora
o amortecimento interno do eixo na expressão de energia de deformação, eq. (3.94), a
equação de movimento do rotor é da forma:
1 1 21 2 1
2 2 12 1 2
m p a Ω p k p k p k Ω p 0
m p a Ω p k p k p k Ω p 0
− + η + − η =
+ + η + + η
ii i i
ii i i (3.95)
A eq. (3.95) pode também ser colocada de uma forma matricial:
Introdução à Dinâmica de Rotores 69
1 11 1
2 22 2
p p k k Ω pm 0 k aΩ0
k Ω k p0 m aΩ kp p
−ηη − + + ηη
ii i
ii i= (3.96)
A eq. (3.96) pode também ser colocada na forma da eq. (3.74). A solução
representa os autovalores e seus autovetores associados.
Como exemplo de aplicação, deseja-se traçar o Diagrama de Campbell e
determinar o deslocamento do centro do disco, y = L/3, considerando m = 7,7766, a =
3,7782, k1 = 124578,8, k2 = 174578,7, k = 74578,8. As Figuras 3.17, 3.18 e 3.19
ilustram o efeito do amortecimento interno com os respectivos valores: η = 0,005, η =
0,05 e η = 0,5.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Velocidade de rotação (rps)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Freq
uenc
ia (H
z)
1.0E-9
1.0E-8
1.0E-7
1.0E-6
1.0E-5
1.0E-4
1.0E-3
1.0E-2
1.0E-1
Ampl
itude
(m)
Backward
Forward
Resposta em frequencia
instável
27,0
Figura 3.17 – Diagrama de Campbell e deslocamento do centro do disco (η = 0,005)
70 Introdução à Dinâmica de Rotores
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Velocidade de rotação (rps)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Freq
uenc
ia (H
z)
1.0E-9
1.0E-8
1.0E-7
1.0E-6
1.0E-5
1.0E-4
1.0E-3
1.0E-2
1.0E-1
Ampl
itude
(m)
Backward
Forward
Resposta em frequencia
instável
29,0
Figura 3.18 – Diagrama de Campbell e deslocamento do centro do disco (η = 0,05)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Velocidade de rotação (rps)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Freq
uenc
ia (H
z)
1.0E-9
1.0E-8
1.0E-7
1.0E-6
1.0E-5
1.0E-4
1.0E-3
1.0E-2
1.0E-1
Ampl
itude
(m)
Backward
Forward
Resposta em frequencia
instável
28,0
Figura 3.19 – Diagrama de Campbell e deslocamento do centro do disco (η = 0,5)
Introdução à Dinâmica de Rotores 71
Observa-se pelas Figuras 3.17, 3.18 e 3.19 que com o aumento do
amortecimento, o modo de vibração backward tender a desaparecer e que a
instabilidade inicia a partir da segunda velocidade crítica.
No exemplo a seguir, é considerado um rotor com as seguintes propriedades:
m = 7,7766, a = 3,7782, k1 = 124578,8, k2 = 174578,7, k = 74578,8 e η = 0,5. Além do
amortecimento interno, será introduzido amortecimento externo nos mancais com c1 =
25 e c2 = 50, conforme mostra a Figura 3.20.
A comparação entre as Figuras 3.20 e 3.19 mostra que a introdução de
amortecimento externo nos mancais faz com que a instabilidade do rotor se dê em
velocidades maiores que a segunda velocidade crítica (90,0 rps).
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Velocidade de rotação (rps)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Freq
uenc
ia (H
z)
1.0E-9
1.0E-8
1.0E-7
1.0E-6
1.0E-5
1.0E-4
1.0E-3
1.0E-2
1.0E-1
Ampl
itude
(m)
Backward
Forward
Resposta em frequencia
instável
90,0
Figura 3.20 – Diagrama de Campbell e deslocamento do centro do disco
33..33 –– RRoottoorr iissoottrróóppiiccoo eemm bbaallaannççoo
O método de Rayleigh-Ritz, permite também prever o comportamento de
72 Introdução à Dinâmica de Rotores
rotores em balanço como mostra a Figura 3.21 a partir de uma aproximação do campo
de deslocamento no primeiro modo de vibração da forma como apresentado pela eq.
(3.97). Os mancais são inicialmente considerados rígidos, não tendo influência nas
equações de movimento do rotor.
1° modo
Ω x
z
y L/2L/2
Figura 3.21 – Rotor isotrópico em balanço
2
1
2
2
y yu(y,t) 2 p (t)L L
y yw(y,t) 2 p (t)L L
= −
= −
(3.97)
Estas hipóteses de deslocamento verificam as condições de contorno do
problema para y = 0 e y = L/2 onde u = w = 0.
As rotações de seção são determinadas fazendo (ver Figura 2.3):
12
22
w 1 y(y,t) 4 py L L
u 1 y(y,t) 4 py L L
∂ θ = = − ∂ ∂ ψ = − = − − ∂
(3.98)
As equações de movimento do rotor são obtidas a partir das energia cinética do
disco energia de deformação do eixo. Assim, introduzindo as eq. (3.97) e (3.98) na eq.
(2.4), a energia cinética do disco é dada por:
Introdução à Dinâmica de Rotores 73
22 2 2 2
D D Dx 1 2 Dy 2 12 21 y y 1 y 1 yT M 2 I 4 p p I Ω 4 p2 L L L LL L
= − + − + − −
i i i2
p (3.99)
Como o disco está situado a y = L, a expressão de energia cinética do disco é
da forma:
2 2
D D Dx 1 2 Dy 2 121 9 9T M I p p I Ω p p2 L
= + + −
i i i
2L (3.100)
Substituindo a eq. (3.97) na eq. (2.17), a energia de deformação do eixo é dada
da forma:
(2L
2 21 22
0
1 4U E I dy p p2 L
=
∫ )+
=
(3.101)
Da aplicação da equação de Lagrange, eq. (2.24), nas eqs. (3.99) e (3.101),
temos:
11 2
22 1
m p a Ω p k p 0
m p a Ω p k p 0
− + =
+ +
ii i
ii i (3.102)
com: D Dx 29IL
= +m M , Dy 29a IL
= , 316 EI
L=k .
O procedimento de resolução da eq. (3.102) é o mesmo apresentado
anteriormente, não necessitando de maiores comentários.
74 Introdução à Dinâmica de Rotores
Como exemplo de aplicação, considere a rotor com a configuração mostrada na
Figura 3.21, com os seguintes dados; disco rígido: IDx = 0,1225 kg.m2, IDy = 0,2450
kg.m2, MD = 7,85 kg; eixo: L = 0,4 m, I = 0,49 10-9 m4, E = 2 10 11 N/m2. Substituindo
estes dados nas equações acima tem-se: m = 14,74 e a = 13,78 e k = 24500.
A Figura 3.22 apresenta o Diagrama de Campbell e a resposta em freqüência
considerando uma massa desbalanceadora, md = 0,001 kg, colocada sobre o disco a
uma distância de 0,05 m do centro.
Comparando o rotor na configuração bi-apoiado com a configuração em
balanço, verifica-se uma redução na freqüência com o rotor parado (ω(Ω=0) = 15,5 hz
contra ω(Ω=0) = 6,5 hz), enquanto que a velocidade crítica aumentou (Ωc = 21,7 hz
contra Ωc = 25,4 hz). Observa-se que o efeito giroscópico é neste caso muito mais
acentuado (a = 3,7782 contra a = 13,78).
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Velocidade de rotação (rps)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Freq
uenc
ia (H
z)
1.00E-8
1.00E-7
1.00E-6
1.00E-5
1.00E-4
1.00E-3
1.00E-2
1.00E-1
Ampl
itude
(m)
Backward
Forward
Resposta em frequencia
Frequencia = rotacao
velocidade crítica
Figure 3.22 – Diagrama de Campbell e resposta em freqüência para o rotor isotrópico
em balanço
Pelo método de Rayleigh-Ritz, é possível verificar a influência de uma massa
distribuída entre y = L/8 e y = 3L/8 como mostra a Figura 3.23. O efeito desta massa no
Introdução à Dinâmica de Rotores 75
comportamento do rotor pode ser considerado de duas formas: a) concentrando toda a
massa em y = L/4 e b) concentrando 1/3 da massa em y = L/8, y = L/4 e y = 3L/8.
Mc L/8 3L/8
Ω x
z
y L/2L/2
Figura 3.23 – Rotor isotrópico em balanço
a) Concentrando Mc em y = L/4:
A energia cinética da massa nesta situação é:
22 2 2
D c 11 1 1T M 2 p p2 4 4
= − +
i i
2 (3.103)
Logo a massa efetiva da massa distribuída é mc = 0,015625 Mc. E a massa
efetiva de todo o conjunto girante é D Dx 29M I 0,015625ML
= + + cm . A energia de
deformação da massa distribuída pode ser calculada da forma:
(23L / 8
2 21 22
L / 8
1 4U E I dy p p2 L
=
∫ )+ (3.104)
Logo a rigidez efetiva da massa distribuída é cc 3
4EIL
=k . E a rigidez efetiva de
todo o conjunto girante é c3
4EI16EIkL L
= + 3 . A Figura 3.24 mostra o comportamento do
76 Introdução à Dinâmica de Rotores
rotor para uma massa distribuída com: Mc = 6 kg, E = 2 10 11 N/m2 e Ic = 7,36 10-9 m4,
para esta situação, onde m = 14,83, a = 13,78 e k = 116538,84. A velocidade crítica
para esta situação é (ver eq. (3.22)) Ωc = 53,02 hz.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Velocidade de rotação (rps)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100Fr
eque
ncia
(Hz)
1.00E-8
1.00E-7
1.00E-6
1.00E-5
1.00E-4
1.00E-3
1.00E-2
1.00E-1
Ampl
itude
(m)
Backward
Forward
Resposta em frequencia
Frequencia = rotacao
velocidade crítica
Figure 3.24 – Diagrama de Campbell e resposta em freqüência para o rotor isotrópico
em balanço com massa distribuída
b) Concentrando 1/3 da massa em y = L/8, y = L/4 e y = 3L/8:
A energia cinética da massa nesta situação é:
2 2 22 2 2 2 2
c c cD 1 2
M M M1 1 1 1 1 3 3T 2 2 2 p2 3 8 8 3 4 4 3 8 8
= − + − + − +
i ip
(3.105)
Logo a massa efetiva da massa distribuída é mc = 0,0111075 Mc. E a massa
efetiva de todo o conjunto girante é D Dx 29m M I 0,011075ML
= + + c . Considerando a
Introdução à Dinâmica de Rotores 77
mesma massa acima têm-se que: m = 14,81, a = 13,78 e k = 116538,84. A velocidade
crítica para esta situação é (ver eq. (3.22)) Ωc = 53,53 hz.
78 Introdução à Dinâmica de Rotores
44 –– RREESSPPOOSSTTAA TTRRAANNSSIIEENNTTEE DDOO RROOTTOORR
O presente capítulo avalia o comportamento dinâmico de rotores em função do
tempo a partir da definição do campo de deslocamentos definido pelo método de
Rayleigh-Ritz.
44..11 –– EEqquuaaççõõeess ee ssoolluuççõõeess
A expressão de energia cinética de um disco, considerando agora a velocidade
de rotação do rotor como função do tempo φ = φi i
(t) é colocada da forma (ver eq. (2.4)):
= + + θ + ψ + ψ θ φ +
i i i i i i2 2 2 2
D D Dx Dy Dy1 1T M u w I I I2 2
φi 21
2 (4.1)
Introduzindo as eq. (3.2) e (3.3) na eq. (4.1), a energia cinética do disco é:
π π π π π = + + −
i i i i2 22 22 2 2
D D Dx 1 2 Dy 1 21 y y yT M sin I cos p p I cos p p2 L L L L L
φ (4.2)
A aplicação das equações de Lagrange, eq. (2.24) na eq. (4.2) fornece:
∂ ∂ π π π π π − = + − φ + φ ∂ ∂ ∂ ∂ π π π − = + ∂ ∂
ii i i ii
i
i
2 22 2 2D D
D Dx 1 Dy 21
1
22 2D D
D Dx2
2
T Td y y yM sin I cos p I cos p pdt p L L L L Lp
T Td y yM sin I cosdt p L L Lp
2
π π + φ
ii i i22
2 Dy 1yp I cos p
L L
(4.3)
A expressão de energia de deformação do eixo é (ver eq. (3.5)) :
Introdução à Dinâmica de Rotores 79
(L4
2 221 2
0
1 yU E I sen dy p p2 L L
π π = ∫ )+ (4.4)
A aplicação das equações de Lagrange, eq. (2.24) na eq. (4.2) fornece:
∂ π π = ∂ ∂ π π = ∂
∫
∫
4 L2
11 0
4 L2
22 0
U yE I sen dy pp L L
U yE I sen dy pp L L
(4.5)
A expressão de energia cinética de uma massa desbalanceadora, considerando
que é (ver eq. (3.15)) : φ =Ωt
= + φ φ + − φ φ
i i i i2 2d
m 1 2m
T 0,866 p d cos 0,866 p d sen2
(4.6)
Desenvolvendo a eq. (4.6), tem-se:
= + φ φ+ − φ φ+
i i i i i i2 22d
m 1 21
mT 0,75 p 1,732 d cos p 0,75 p 1,732 d sen p d
2φi 2
2 (4.7)
Aplicando as equações de Lagrange na eq. (4.7):
∂ ∂ − = + φ φ − φ φ ∂ ∂ ∂ ∂ − = − φ φ + φ φ ∂ ∂
ii ii i
i
ii ii i
i
2m m
d 1 d1
1
2m m
d 2 d2
2
T Td 0,75 m p 0,866 m d cos sendt pp
T Td 0,75 m p 0,866 m d sen cosdt pp
(4.8)
80 Introdução à Dinâmica de Rotores
Considerando que a massa desbalanceadora é muito inferior a massa do disco
(md << MD), os termos 0, e 0, podem ser desprezados. Logo as
equações de movimento do rotor considerando a velocidade do rotor função do tempo
são colocadas da forma:
ii
d 175 m pii
d 275 m p
− φ + φ + = φ φ − φ φ
+ φ + = − φ φ + φ φ
ii i i ii ii i
ii i i ii i
2
1 2 2 1 d
2
2 1 2 d
m p a p p k p 0,866 m d cos sen
m p a p k p 0,866 m d sen cos
(4.9)
A eq. (4.9) pode também ser colocada de uma forma matricial:
φ φ − φ φ
− φ − φ + + = φ
− φ φ + φ φ
ii iii ii ii
ii ii ii i
2
d1 1 11
2222 2 d
0,866 m d cos senp p pm 0 0 a k a
p0 m 0 kp pa 0 0,866 m d sen cos
(4.10)
Colocando a eq. (4.10) de forma compacta :
+ + =ii i
M p(t) C(t) p(t) K(t) p(t) F(t) (4.11)
A eq. (4.11) deve ser resolvida a cada instante t, ou seja:
+ + + + + + + = +ii i
M p(t ∆t) C(t ∆t) p(t ∆t) K(t ∆t) p(t ∆t) F(t ∆t) (4.12)
É comum usar o método de Newmark para resolver a eq. (4.11) onde considera-
se que as velocidades e os deslocamentos no instante (t+∆t) são da forma:
Introdução à Dinâmica de Rotores 81
+ = + + +
i i ii ii∆tp(t ∆t) p(t) p(t) p(t ∆t)
2 (4.13)
e:
+ = + + + +
i ii ii2∆tp(t ∆t) p(t) p(t) ∆t p(t) p(t ∆t)
4 (4.14)
A eq. (4.14) pode ser colocada como:
+ = + − − −
ii i ii
24p(t
∆t) p(t ∆t) p(t) p(t) ∆t p∆t
(t) (4.15)
Substituindo a eq. (4.15) na eq. (4.13) resulta em:
[+ = + − −i i2p(t ]∆t) p(t ∆t) p(t) p(t)
∆t (4.16)
Substituindo as eqs. (4.15) e (4.16) na eq. (4.12) e rearranjando os termos:
+ + + + + = +
+ + + + + + +
i ii
2
2
4M 2 C(t ∆t) K(t ∆t) p(t ∆t) F(t ∆t)∆t∆t
4M 2 4MC(t ∆t) p(t) C(t ∆t) p(t) Mp(t)∆t ∆t∆t
(4.17)
A solução da eq. (4.17) fornece +p(t ∆t) , e as eqs. (4.15) e (4.16) fornecem
respectivamente, +iip(t ∆t) e p( +
it ∆t)
p(0), p(0)
. O procedimento se inicia em t0 = 0 com as
condições iniciais p( conhecidas. A aceleração p( é facilmente obtida
introduzindo as quantidades na eq. (4.11). No primeiro passo ∆t, a eq.
(4.17) é colocada da forma:
i0) e p(0)
ii0)
i ie
ip(0)
+ + = +
ii
24M 2 C(∆t) K(∆t) p(∆t) F(∆t) Mp(t)
∆t∆t (4.18)
82 Introdução à Dinâmica de Rotores
Assim, p(∆t) é obtido e, p(i ii∆t) e p(∆t) são obtidos das eqs. (4.16) e (4.15)
respectivamente.
44..22 –– EExxeemmppllooss ddee aapplliiccaaççããoo
RRoottoorr iissoottrróóppiiccoo Considere um rotor isotrópico, onde por conveniência os eixos coordenados são
colocados conforme apresentado pela Figura 4.1. Desta forma, os dados são os
seguintes: disco rígido: IDy = IDz = 0,0081 kg.m2, IDx = 0,0162 kg.m2 e MD = 4 kg; eixo : L
= 0,36 m, I = 0,49 10-9 m4, E = 2 1011 N/m2. O produto massa desbalanceadora
colocada sobre o disco pela sua distância é md.d = 0,0001 kg.m. Vale ressaltar que o
vetor rotação do rotor é paralelo à direção x e evolui linearmente no tempo da forma:
Ω = C0.t, sendo C0 a aceleração do rotor.
Ω
Ω z
y
x
2L/3L/3
Figura 4.1 – Disco em y = L/3
O Diagrama de Campbell para o rotor em questão está apresentado na Figura
4.2.
Introdução à Dinâmica de Rotores 83
Figura 4.2 – Diagrama de Campbell – rotor isotrópico
A Figura 4.3 ilustra a resposta transiente medida na posição onde se encontra o
disco sendo a aceleração C0 = 40 rad/s2 e o número de passos 1000 (time steps).
Figura 4.3 – Resposta transiente com C0 = 40 rad/s2 – rotor isotrópico
84 Introdução à Dinâmica de Rotores
A Figura 4.4 ilustra a resposta transiente medida na posição onde se encontra o
disco com a aceleração C0 = 60 rad/s2 e o número de passos 1000 (time steps).
Observa-se que com a aceleração de 60 rad/s2, as amplitudes do rotor são menores
que com a aceleração de 40 rad/s2.
Figura 4.4 – Resposta transiente com C0 = 60 rad/s2 – rotor isotrópico
A Figura 4.5 apresenta a órbita do eixo do rotor no intervalo de tempo de 2,5 a 3
s. Pode-se observar que a órbita é circular e, de acordo com a direção do vetor rotação
do rotor apresentado na Figura 4.1, o movimento de precessão é direto.
Introdução à Dinâmica de Rotores 85
Figura 4.5 – Órbita circular de um rotor isotrópico
RRoottoorr aanniissoottrróóppiiccoo Considere um rotor anisotrópico, conforme apresentado pela Figura 4.6 com os
seguintes dados: disco rígido: IDy = IDz = 0,0225 kg.m2, IDx = 0,045 kg.m2 e MD = 4 kg;
eixo: L = 0,36 m, I = 0,49 10-9 m4, E = 2 1011 N/m2 e rigidez dos mancais: kyy = 1.106
N/m e kzz = 1.108 N/m. O produto massa desbalanceadora colocada sobre o disco pela
sua distância é md.d = 0,0001 kg.m. O vetor rotação do rotor Ω é também paralelo à
direção x e evolui linearmente no tempo da forma: Ω = C0.t, sendo C0 a aceleração do
rotor.
Kzz KzzKyy Kyy z
y
x 2L/3L/3
Ω
Figura 4.6 – Rotor com mancais flexíveis e anisotrópicos
O Diagrama de Campbell para o rotor em questão está apresentado na Figura
4.7.
86 Introdução à Dinâmica de Rotores
Figura 4.7 – Diagrama de Campbell – rotor anisotrópico
A Figura 4.8 ilustra a resposta transiente medida na posição onde se encontra o
disco com a aceleração C0 = 60 rad/s2 e o número de passos 1000 (time steps).
Figura 4.8 – Resposta transiente com C0 = 60 rad/s2 – rotor anisotrópico
Introdução à Dinâmica de Rotores 87
A Figura 4.9 apresenta a órbita do eixo do rotor no intervalo de tempo de 2 a 2,5
s. Pode-se observar que a órbita não é mais circular e, de acordo com a direção do
vetor rotação do rotor apresentado na Figura 4.6, o movimento de precessão é direto.
t = 2,5 s
Figura 4.9 – Órbita de um rotor anisotrópico (de 2 a 2,5 s) – precessão direta
A Figura 4.10 apresenta a órbita do eixo do rotor no intervalo de tempo de 3 a
3.2 s. Pode-se observar que a órbita é não circular e, de acordo com a direção do vetor
rotação do rotor apresentado na Figura 4.6, o movimento de precessão é inverso.
A Figura 4.11 apresenta a órbita do eixo do rotor no intervalo de tempo de 4 a
4,5 s. Pode-se também observar que a órbita é não e, de acordo com a direção do vetor
rotação do rotor apresentado na Figura 4.6, o movimento de precessão é direto.
88 Introdução à Dinâmica de Rotores
t = 3 s
Figura 4.10 – Órbita de um rotor anisotrópico (de 3 a 3,2 s) – precessão inversa
t = 4 s
Figura 4.11 – Órbita de um rotor anisotrópico (de 4 a 4,5 s) – precessão direta
Introdução à Dinâmica de Rotores 89
44..33 –– FFaaddiiggaa eemm eeiixxooss ddee rroottoorreess
No projeto de máquinas rotativas, devem ser considerados diferentes aspectos
técnicos para o seu perfeito funcionamento. Um dos aspectos que devem ser
considerados é a análise de tensões de seus componentes, mais particularmente de
seu eixo.
Em virtude das grandes amplitudes de vibração da máquina rotativa, e
conseqüentemente da grande intensidade das tensões que atuam na seção transversal
do eixo, é importante considerar neste contexto, a posição da velocidade de operação
da máquina rotativa com relação à suas velocidades críticas, o sentido do movimento
de precessão do eixo (direto ou inverso), o número de vezes que a máquina passa
pelas velocidades críticas (nas acelerações e nas desacelerações), etc. Em função das
características da máquina rotativa e da posição de sua velocidade de operação, as
tensões atuantes na seção transversal do eixo poderiam exceder a resistência do
material do eixo causando a sua falha. Em função do movimento de precessão do eixo
e do número de vezes que a máquina acelera e desacelera, a falha no eixo poderia
ocorrer por fadiga do material. Portanto, além dos aspectos dinâmicos que devem ser
analisados no comportamento de uma máquina rotativa, é interessante proceder-se a
uma análise de tensões, sobretudo ao que diz respeito à falha por fadiga.
A falha por fadiga começa na borda da seção transversal em um ponto do eixo
que apresenta descontinuidade de material (mudança de seção transversal, rasgo de
chaveta, etc.). A ruptura se propaga no sentido diametral de forma lenta em boa parte
da seção transversal até a ruptura rápida do eixo na sua última porção (ver Figuras 4.12
e 4.13).
90 Introdução à Dinâmica de Rotores
Origem da fratura
Zona de crescimento lento da fratura (marcas de praia)
Zona de fratura instantânea (aspecto de fratura frágil)
Figura 4.12 – Comportamento da fratura por fadiga na seção transversal do eixo
Figura 4.13 – Seção transversal de um eixo exibindo falha por fadiga
Contrariamente a resistência estática de um material obtida em ensaio de
tração simples, a qual apresenta baixa dispersão nos resultados medidos, a resistência
à fadiga de um material necessita de um número muito grande de ensaios e
posteriormente de processamento estatístico. Esse é um dos motivos pelo qual o
fenômeno de falha por fadiga não ser totalmente conhecido.
Introdução à Dinâmica de Rotores 91
A Figura 4.14 apresenta um exemplo de curva de resistência à fadiga para um
número finito de ciclos, também chamada de Diagrama S-N (Stress-Number of cyclos)
com corpos-de-prova de um mesmo material.
1E+3 1E+4 1E+5 1E+6 1E+7Ciclos, N
2
3
4
5
100
S (MPa)
Limite de resistência à fadigaSn
Figura 4.14 – Exemplo de Diagrama S-N
A experiência mostra que para um número de ciclos menor que 103, a
resistência à fadiga pode ser considerada como sendo a própria resistência estática do
material.
Uma pesquisa realizada usando uma grande quantidade de dados de testes de
tração simples e testes rotativos de fadiga, mostra que há uma relação entre a
resistência à fadiga e a resistência à tração, que para aços pode variar de 40 a 60%
para uma resistência de até 400 MPa. Para valores maiores que 400 Mpa, o limite de
resistência à fadiga fica em torno de 200 MPa. Por causa da dispersão nos valores do
limite de resistência à fadiga, adota-se um limite médio de resistência à fadiga:
92 Introdução à Dinâmica de Rotores
'n r r'n r
S 0,50 S para S 400 MPa
S 200 MPa para S 400 MPa
= ≤
= > (4.19)
O limite de resistência a fadiga pode ser modificado por uma série de fatores:
acabamento superficial (ka), dimensões da peça (kb), confiabilidade (kc), temperatura
(kd), concentração de tensões (ke), efeitos diversos (kf), etc. Assim
'
n a b c d e f nS k k k k k k S= (4.20)
A evolução das tensões na seção transversal do eixo do rotor em função do
tempo são determinadas da forma:4
∂ ∂σ = ε = − −
∂ ∂
2 2
y y 2u(t) w(t)(t) E (t) E x zy y
2 (4.21)
Considerando os deslocamentos dados pela eq. (3.2) e a solução da equação
diferencial de movimento do rotor quando submetido a uma força de excitação síncrona
dada pela eq. (3.19), a eq. (4.21) pode ser colocada da forma:
2
y y 1 2y y(t) E (t) E x sen p (t) z sen p (t)
L L Lπ π π σ = ε = +
(4.22)
Colocando a eq. (4.22) de forma mais compacta:
[2
y (t) E x u(y,t) z w(y,t)Lπ σ = +
]
(4.23)
4 Para manter a mesma simbologia usada no início do texto, a tensão normal à seção transversal do eixo
será mantida σy e não S como na análise de falha por faiga.
Introdução à Dinâmica de Rotores 93
onde y é a posição do ponto ao longo do comprimento do rotor, e x e z são as
coordenadas do ponto na seção transversal do eixo onde se deseja obter o valor de
tensão.
Como exemplo de aplicação, considere o rotor isotrópico visto no item 4.2
acelerando a 60 rad/s2. A distribuição das tensões no tempo de 3,1s é conforme mostra
a Figura 4.15 (ver Figura 4.4):
Figura 4.15 – Distribuição das tensões normais em t = 3,1s
Observa-se que a maior tensão situa-se no ponto ao longo do eixo onde está
posicionado o disco e é de 63,5 MPa. Sem considerar a redução da resistência à fadiga
por fatores diversos conforme apresentado pela eq. (4.20), o eixo desse rotor teria vida
infinita, conforme mostra a Figura (4.14).
94 Introdução à Dinâmica de Rotores
55 –– BBAALLAANNCCEEAAMMEENNTTOO EEMM RROOTTOORREESS
55..11 –– IInnttrroodduuççããoo Segundo a norma brasileira NBR8007/83, o desbalanceamento é aquela
condição que existe em um rotor, quando forças e movimentos vibratórios são
imprimidos em seus mancais, por forças centrífugas. Estas forças centrífugas surgem
quando o centro de massa do rotor não coincide com o seu centro geométrico. Em
função destas forças centrífugas, a amplitude de vibração em um rotor pode ultrapassar
valores admissíveis por norma, podendo levar a máquina rotativa ao colapso.
Para evitar ou diminuir as vibrações devido ás forças centrífugas, deve-se
realizar o balanceamento da máquina que, segundo a norma brasileira NBR8008/83, o
balanceamento é um procedimento que procura melhorar a distribuição de massa de
um corpo, de modo que este gire em seus mancais sem forças de desbalanceamento.
Antes de realizar o balanceamento em um rotor, é necessário inicialmente
identificar se as vibrações têm origem no desbalanceamento ou se têm uma outra
origem como por exemplo: o empenamento do eixo, desalinhamento entre seus
componentes, folga nos mancais, trinca no eixo, etc.
55..22 –– PPrriinnccííppiioo bbáássiiccoo ddoo bbaallaanncceeaammeennttoo Em todos os métodos de balanceamento, o princípio básico do balanceamento
é o de gerar esforços que compensem (anulem) o efeito das forças centrífugas
geradas. A Figura 5.1 apresenta uma situação de um rotor operando a uma velocidade
Ω, em uma órbita de raio r excitado por uma massa desbalanceadora, md, que gera
uma força centrífuga Fc = mdrΩ2. Se existe somente uma massa única massa
desbalanceadora, a compensação pode ser feita em um único plano, chamado de plano
de compensação.
Vale lembrar que, se a velocidade de operação do rotor Ω é menor que a
primeira velocidade crítica do rotor ω1, a amplitude da órbita r e a força centrífuga estão
em fase (β = 0°), e se a velocidade de operação do rotor Ω é maior que a primeira
velocidade crítica do rotor ω1, a amplitude da órbita r e a força centrífuga estão
Introdução à Dinâmica de Rotores 95
defasados (β = 180°) (ver Figura 1.8). Como normalmente o que se mede é a amplitude
r, isto significa que, se Ω < ω1, a força restauradora Fr deve estar defasada de r de 180°
e se Ω > ω1, a força restauradora Fr deve estar em fase com r.
Plano de compensação Fr
md Fc = mdrΩ2
r Ω
Figura 5.1 – Efeito da força restauradora em um plano de compensação.
Podem ocorrer situações onde a massa desbalanceadora gera um força
centrífuga Fc = mdrΩ2 e um momento Mc = mdrΩ2 yd, conforme mostra a Figura 5.2.
y2 y1
yd
Fr 1 Plano de compensação - 1
Y
Z Plano de compensação - 2
Fr 2
md
Fc
r Ω
Figura 5.2 – Efeito das forças restauradoras em dois planos de compensação.
Como nem sempre é possível identificar o plano onde atua a força centrífuga,
para balancear o rotor nestas situações são necessários no mínimo dois planos de
compensação de maneira que o equilíbrio de força e momento seja restabelecido:
96 Introdução à Dinâmica de Rotores
c r1 r2 2F F F y 0− − = (5.1)
c d r1 1 r2 2F y F y F y 0− + = (5.2)
Em função das características dos componentes dos rotores (eixo, disco,
mancais, etc.), estes podem ser considerados rígidos ou flexíveis. De maneira geral, um
rotor rígido é aquele que opera em uma velocidade em cujo modo de vibração o eixo se
comporta como se fosse rígido (deformação somente dos mancais). Enquanto que, um
rotor flexível é aquele que opera em uma velocidade em cujo modo de vibração o eixo
se comporta como se fosse flexível (ver Figura 1.10).
Existem vários métodos para o balanceamento de rotores, porém um dos mais
utilizados é o Método dos Coeficientes de Influência.
55..33 –– MMééttooddoo ddooss CCooeeffiicciieenntteess ddee IInnfflluuêênncciiaa O Método dos Coeficientes de Influência é um dos métodos mais utilizados para
o balanceamento de rotores rígidos e que pode também ser utilizado para o
balanceamento de rotores flexíveis, Vance, J. M., 1988 e Seve, F., 2002. O Método dos
Coeficientes de Influência é baseado nos seguintes conceitos: o campo de
balanceamento requer geralmente a quantificação da resposta do eixo do rotor, da
força aplicada e da relação entre elas expressa da forma:
ForçaRespostaRestrição
= (5.3)
No campo do balanceamento de rotores, a restrição na eq. (5.3) pode ser
considerada como um parâmetro do tipo rigidez do rotor associado a uma deflexão (ou
amplitude de vibração) devido a um desbalanceamento específico. Logo, a eq. (5.3)
pode ser reescrita da forma:
DesbalanceamentoVibraçãoSensibilidade
= (5.4)
Introdução à Dinâmica de Rotores 97
As variáveis da eq. (5.4) são quantidades vetoriais, contendo uma magnitude e
uma direção. Se uma vibração inicial do rotor é descrita por um vetor A e o
desbalanceamento é definido por um vetor U, então o vetor sensibilidade S do rotor a
este balanceamento específico é da forma:
UAS
→→
→= (5.5)
O vetor sensibilidade S pode ser experimentalmente determinado pela adição de
uma massa de calibração conhecida colocada em uma posição angular conhecida e
medindo-se a amplitude de vibração do rotor. Assumindo que o novo vetor
desbalanceamento devido a introdução da massa de calibração seja definido por W e o
vetor amplitude de vibração resultante definido por B medido nas mesmas condições de
operação quando medido o vetor vibração inicial A, a eq. (5.5) pode ser expandida
como:
U WBS
→ →→
→
+= (5.6)
Expandindo a eq. (5.6) e considerando a eq. (5.5) tem-se:
U W WB AS S S
→ → →→ →
→ → →= + = + (5.7)
ou:
WB AS
→→ →
→− = (5.8)
98 Introdução à Dinâmica de Rotores
Logo, o vetor sensibilidade pode ser obtido:
WSB A
→→
→ →
= −
(5.9)
Assim, o vetor desbalanceamento U, que em princípio é desconhecido, pode ser
determinado por:
U S x A→ → →= (5.10)
O procedimento para o balanceamento de um rotor considerando o Método dos
Coeficientes de Influência pode ser exemplificado da seguinte forma: considere um
rotor com dois mancais e um disco (plano de compensação). Dois sensores de vibração
instalados em cada uma das extremidades medem as amplitudes de vibração (ver
Figura 5.3). O centro geométrico do disco é C, o centro de massa é M e a origem do
sistema de coordenadas é O.
Z Z45°
X45° 45°
Z
X
X
M
C≈O
45°
Vista do plano de compensação
Figura 5.3 – Configuração de um rotor para o procedimento de balanceamento em um
plano de compensação
Introdução à Dinâmica de Rotores 99
A configuração deformada do rotor quando submetido a uma velocidade de
operação Ω é da seguinte forma:
U
θ=Ωt
X Z
β
Ω
A
O
M
C
Figura 5.4 – Configuração deformada do rotor submetido a um desbalanceamento U
A representação da evolução no tempo da vibração do rotor pode ser captada
pelos sensores instalados em X e Z pode ser como ilustrado na Figura 5.5.
t
OC
X
OC
Z
Figura 5.5 – Evolução da amplitude de vibração captada pelos sensores em X e Z.
100 Introdução à Dinâmica de Rotores
Após a introdução da massa de calibração M’ conhecida em uma posição
angular conhecida, o desbalanceamento gerada por esta massa será W e a amplitude
de vibração resultante será B, quando o rotor é submetido a mesma velocidade de
operação Ω (ver Figura 5.6):
U B
M’
M
θ=Ωt
Z
ΩO
C
X
W
Figura 5.6 – Configuração deformada do rotor devido a introdução da massa de
calibração M’
A medição dos ângulos é feita a partir de uma referência e deve seguir uma
convenção como, por exemplo, a apresentado na Figura 5.7:
90°
X
0°
Ω
315°
270°225°
180°
135°
45°
Z
Figura 5.7 – Convenção de sinais para a medição dos ângulos
Para fins de exemplificação do Método dos Coeficientes de Influência,
Introdução à Dinâmica de Rotores 101
considere um rotor bi-apoiado de comprimento de 4,4958 m, diâmetro de 380 mm e
massa total de 3158,08 kg (ver Figura 5.3). A primeira velocidade crítica deste rotor é
ω1 = 1500 rpm e o rotor será balanceado na velocidade de Ω = 1650 rpm.
A Figura 5.8 apresenta a seção transversal do eixo do rotor em uma posição
deformada devido ao seu desbalanceamento inicial U, o qual deseja-se medir. O vetor
A→
representa o deslocamento medido devido ao desbalanceamento inicial U e
é A 5,6 m 322= µ ∠→
.
Z
X
β
A
OU
M C
Ω
322°
Figura 5.8 – Vibração inicial devido ao desbalanceamento U
Introduzindo uma massa de calibração M’ = 567 gramas a 40° de X, o
desbalanceamento adicional gerado pela massa de calibração é ,
conforme mostra a Figura 5.9. O deslocamento resultante da adição da massa de
calibração é B 7 . Recomenda-se por norma que a massa de calibração
deve ser tal que a força centrífuga gerada por ela deve estar entre 5% e 15% do peso
do rotor.
W 567gramas 40→
= ∠
,54 m 226→= µ ∠
Assim, o vetor sensibilidade é obtido com a eq. (5.9) e é da forma:
567gramas 40S7,54 m 226 5,6 m 322
→ ∠= µ ∠ − µ ∠
(5.11)
102 Introdução à Dinâmica de Rotores
U
M’40° X
Z
O
M C
Ω
226°
W
B
Figura 5.9 – Vibração com massa de calibração M’
Usando as regras de subtração e divisão de vetores (ver anexo 6.3), tem-se:
( )567gramas 40 567gramasS 49,85 m9,85 m 192
→ ∠ = = ∠ µµ ∠ 0 192−
∠
(5.12)
Portanto, o vetor sensibilidade é da forma:
S 57,56gramas / m 208→= µ (5.13)
O vetor desbalanceamento pode ser determinado a partir da eq. (5.10): U→
U S x A 57,56gramas / m 208 x 5,6 m 322→ → →= = µ ∠ µ ∠ (5.14)
Usando as regras de multiplicação de vetores, tem-se que o desbalanceamento
inicial do rotor dado pelo vetor U é (ver Figura 5.10): →
( )U S x A 57,56x5,6gramas 208 322 322gramas 170→ → →= = ∠ + = ∠ (5.15)
Introdução à Dinâmica de Rotores 103
X
Z
β=180°
A
OMC
Ω
170°
U
Figura 5.10 – Identificação de debalanceamento inicial U
Conclusão: Como o rotor foi balanceado em uma velocidade Ω > ω1, a defasagem entre
a resposta e a excitação é 180°. Logo, a força restauradora deverá ser tal que
(ver Figura 5.11). Este efeito mode ser obtido adicionando uma
massa de correção M’ de 322 gramas a 350° de X, ou retirando uma massa de 322
gramas a 170° de X.
rU 322gramas 350→= ∠
3
r
Z
F
50°
C M O’
U
igura 5.11 – Localização d
Ω
a força restaurador
U
X
M
a Ur
104 Introdução à Dinâmica de Rotores
O Método dos Coeficientes de Influência pode ser aplicado em dois ou mais
planos de compensação (W1 e W2) (ver Figura 5.12).
2 1
W2W145°
X45°
Z45°
X45°
Z
Figura 5.12– Configuração de um rotor para o procedimento de balanceamento em dois
planos de compensação
No caso de dois planos de compensação a eq. (5.5) se torna:
1 21
11 12
1 22
21 22
U UAS S
U UAS S
→ →→
→ →
→ →→
→ →
= +
= +
(5.16)
onde:
1A→
= vetor vibração inicial medido no mancal 1,
2A→
= vetor vibração inicial medido no mancal 2,
1U→
= vetor desbalanceamento no plano 1,
2U→
= vetor desbalanceamento no plano 2,
11S→
= vetor sensibilidade no mancal 1 devido a W1,
Introdução à Dinâmica de Rotores 105
12S→
= vetor sensibilidade no mancal 1 devido a W2,
21S→
= vetor sensibilidade no mancal 2 devido a W1,
22S→
= vetor sensibilidade no mancal 2 devido a W2.
Devido a introdução de uma massa de calibração no plano 1 (W1), os novos
vetores vibração são:
11 211
11 12
11 221
21 22
U W UBS S
U W UBS S
→ → →→
→ →
→ → →→
→ →
+= +
+= +
(5.17)
onde:
1W→
= vetor desbalanceamento no plano 1,
11B→
= vetor vibração medido no mancal 1 devido a W1,
21B→
= vetor vibração medido no mancal 2 devido a W1,
e, retirando a massa de calibração do plano 1 (W1) e introduzindo a massa de
calibração do plano 2 (W2), os novos vetores vibração são:
21 212
11 12
21 222
21 22
U U WBS S
U U WBS S
→ → →→
→ →
→ → →→
→ →
+= +
+= +
(5.18)
onde:
106 Introdução à Dinâmica de Rotores
2W→
= vetor desbalanceamento no plano 2,
12B→
= vetor vibração medido no mancal 1 devido a W2,
22B→
= vetor vibração medido no mancal 2 devido a W2,
As eqs. (5.16), (5.17) e (5.18) podem ser arranjadas a obter as sensibilidades
, , e . Substituindo as sensibilidades nas eqs. (5.16), os
desbalanceamentos e U podem ser determinados:
11S→
12S→
21S→
22S→
1U→
2→
1 212 22
1
12 22
11 21
2 121 11
2
21 11
22 12
S x A S x AU
S S
S S
S x A S x AU
S S
S S
→ → → →
→
→ →
→ →
→ → → →
→
→ →
→ →
−
= −
−
= −
(5.19)
Em rotores flexíveis, o Método dos Coeficientes de Influência deve ser utilizado
em conjunto com uma avaliação modal. A Figura 5.13 apresenta o efeito das massas
de correção (balanceadoras) nos diferentes modos de vibração de um rotor flexível.
Considerando que as massas de correção devem ser tais que as forças
centrífugas por elas geradas devem anular a força centrífuga gerada pela massa
desbalanceadora, as forças centrífugas geradas pelas massas de correção podem ser
diferentes em função da velocidade de operação do rotor que excitará um ou outro
modo de vibração. Tem sido demonstrado experimentalmente que, se somente dois
planos de correção são usados, um rotor flexível pode ser balanceado em somente
uma única velocidade, Vance, J. M. 1988. Kellenberger, W. 1972, considera que, o
Introdução à Dinâmica de Rotores 107
número de planos de correção deveria ser igual ao número de velocidades críticas a
serem atravessadas
Massa desbalanceadora
plano de compensação
plano de compensação
2° Modo
1° Modo
Massas de correção
1/21/2
1
Figura 5.13 – Distribuição das massas de correção em rotores flexíveis
.
108 Introdução à Dinâmica de Rotores
66 –– MMÉÉTTOODDOO DDOOSS EELLEEMMEENNTTOOSS FFIINNIITTOOSS AAPPLLIICCAADDOO ÀÀ DDIINNÂÂMMIICCAA DDEE RROOTTOORREESS
O método dos elementos finitos aplicado à dinâmica de rotores é um método
numérico que discretiza o rotor em ne elementos de eixo (e conseqüentemente nn nós)
e nd elementos de disco. As equações de movimento de rotor discretizado, são obtidas
aplicando as equações de Lagrange (ver eq. (5.1) ) sobre: a) a energia cinética dos
discos (os discos são considerados rígidos), b) energia cinética e de energia de
deformação dos elementos de eixo e, c) sobre a energia cinética das massas
desbalanceadoras. As forças atuantes nos mancais são consideradas através do
cálculo do trabalho virtual.
A discretização do rotor faz com que a sua cinemática (deslocamentos,
velocidades e acelerações) seja transferida para os seus nós através de suas
coordenadas generalizadas, chamadas de graus de liberdade (gdl) (u, w, que são os
deslocamentos transversais e, θ e ψ que são as inclinações de seção transversal).
A Figura 5.1 apresenta um rotor genérico discretizado em ne elementos de eixo
de comprimento , nd elementos de disco e mancais flexíveis.
nn
ne
dy
nd
Kxx
Kxxkzz
kzz Ω x
z
y ...
Figura 6.1 – Rotor discretizado em elementos de eixo e de disco
A grande vantagem do método dos elementos finitos quando comparado ao
método de Rayleigh-Ritz é que a aproximação do campo de deslocamento é polinomial
ao longo de um elemento de eixo, o que faz com que a forma dos modos de vibração
do rotor seja melhor representada, independente de sua configuração.
Introdução à Dinâmica de Rotores 109
A equação de Lagrange aplicada sobre todas as formas de energia dos
componentes do rotor é colocada da forma:
∂ ∂ ∂− + = ∂ ∂ ∂
ii i i
d T T U Fpdt p p p
(5.1)
onde T representa a energia cinética dos elementos de disco e de eixo do rotor e a
energia cinética de uma massa desbalanceadora, U representa a energia de
deformação do eixo, Fpi são as forças generalizadas oriundas dos mancais e pi são as
coordenadas generalizadas.
55..11 –– MMaattrriizzeess ddee uumm eelleemmeennttoo ddee ddiissccoo
As matrizes de um elemento de disco são obtidas a partir da formulação de sua
energia cinética calculada da seguinte forma (ver eq. (2.3)):
2 2 2 2
2D D Dx Dy Dy
1 1T M u w I I Ω I Ω2 2
= + + θ + ψ + ψ θ +
i i i i i 12
(5.2)
Aplicando as equações de lagrange, eq. (5.1), sobre a eq. (5.2), obtêm-se as
matrizes de massa e giroscópica (ou Coriolis) de um disco:
∂ ∂ − = +
− ∂δ ∂δ θ θ
ψ ψ
ii i
ii i
ii i
ii i
D
DD D
DyDx
Dx Dy
matriz demassa matriz de Coriolis
u u0 0 0 0M 0 0 00 0 0 00 M 0 0 w wT Td Ω 0 0 0 I0 0 I 0dt
0 0 0 I 0 0 I 0
(5.3)
110 Introdução à Dinâmica de Rotores
onde é o vetor com as coordenadas generalizadas ou deslocamentos
nodais.
(δ = θ ψ tu,w, , )
55..22 –– MMaattrriizzeess ddee uumm eelleemmeennttoo ddee eeiixxoo
As matrizes de um elemento de eixo são obtidas a partir da formulação de sua
energia cinética e sua energia de deformação em flexão. A energia cinética de um
elemento de eixo de densidade volumétrica ρ, área de seção transversal A e
comprimento , a partir da aplicação da eq. (5.2) em um elemento de volume
infinitesimal dV e comprimento dy, tem a forma:
= + ρ + θ + ψ ρ + ψ θ ρ + ρ
∫ ∫ ∫
i i i i i2 2 2 2 22 2
EV V V
1 1 ΩT u w dV z dV Ω ∆ dV ∆ dV2 2 2 ∫ 2
V
(5.4)
Expandindo as integrais da eq. (5.4), temos:
ρ ρ ρ= + + θ + ψ + + ρ ψ θ +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
i i i i i2 2 2 2 22 2
EA 0 A 0 A 0 A 0
ΩT dA u w d z dA dy Ω ∆ dA dy ∆ dA dy2 2 2
2
(5.5)
o que resulta em:
ρ ρ= + + θ + ψ + ρ ψ θ + ρ
∫ ∫ ∫
i i i i i2 2 2 22
E0 0 0
A ΙT u w dy dy 2 IΩ dy I Ω2 2
(5.6)
A energia de deformação de um elemento de eixo de material E, momento de
inércia de área I, área de seção transversal A, comprimento e força axial Fo aplicada
sobre a seção transversal do elemento, tem a forma (ver (eq. 2.17) e eq. (2.20)):
Introdução à Dinâmica de Rotores 111
∂ ∂ ∂ ∂ = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∫ ∫
2 2 2 22 2o
2 2
0 0
F1 u w u wU E I dy d2 2 yy y
yy
(5.7)
Um elemento de eixo é modelado como uma viga com 2 nós, que flexiona em
dois planos ortogonais (x, y) e (z, y). Os eixos (x, y, z) formam o sistema de eixos local
do elemento. A cada nó estão associados 4 gls de forma que o vetor deslocamento
nodal do elemento é colocado da forma ( )δ = θ ψ θ ψ t1 1 1 1 2 2 2 2u ,w , , ,u ,w , , ou
e ( )δ = ψ ψ t1 1 2 2u u , ,u , ( )θ θ t
1 1 2 2w w , ,w ,δ = .
ψ2 ψ1
u2 u1 21
θ2
θ1
w2 w1
z
x
y
Figura 5.2 – Graus de liberdade de um elemento de eixo
O método dos elementos finitos define o campo de deslocamentos transversais
dentro do elemento como sendo um polinômio de grau 3 e tem a forma :
( )= δ
= δ1
2
u(y,t) N y u(t)w(y,t) N (y) w(t)
(5.8)
As inclinações de seção estão relacionadas com os deslocamentos transversais
por :
112 Introdução à Dinâmica de Rotores
∂∂θ = = δ
∂ ∂∂∂
ψ = − = − δ∂ ∂
2
1
N (y)w(y,t)(y,t) w(t)y y
N (y)u(y,t)(y,t) u(t)y y
(5.9)
onde N1(y) e N2(y) são funções de forma de um elemento de viga em flexão de Euller-
Bernoulli:
( )
( )
= − + − + − − −
= − + − + − − +
2 3 2 3 2 3 2 3
1 2 3 2 2 3
2 3 2 3 2 3 2 3
2 2 3 2 2 3
3y 2y 2y y 3y 2y y yN y 1 ; y ; ;L LL L L L L
3y 2y 2y y 3y 2y y yN y 1 ;y ; ;L LL L L L L
L
L
(5.10)
Substituindo as eqs. (5.8) e (5.9) na eq. (5.6), a expressão de energia cinética
de um elemento de eixo pode ser colocada da forma:
ρ ρ= δ δ + δ δ + δ δ + δ δ
+ ρ δ δ + ρ
∫ ∫
∫
i i i ii i i
i
t tt t t t t t1 1 2 2
E 1 1 2 20 0
tt 21 2
0
dN dN dN dNA ΙT u N N u w N N w dy u u w w dy2 2 dy dy dy dy
dN dN2 IΩ u w dy I Ωdy dy
i
(5.11)
Substituindo as funções de forma, eqs. (5.10) e suas derivadas, na eq. (5.11) e
integrando tem-se:
= δ δ + δ δ + δ δ + δ δ + δ δ + ρi i i i ii i i it t t t t
E 1 2 3 4 51 1 1 1 1T u M u w M w u M u w M w u M w I Ω2 2 2 2 2
2 (5.12)
As matrizes M1 e M2 são matrizes clássicas de massa, M3 e M4 fornecem a
influência da inércia rotacional de seção transversal, e M5 fornece o efeito giroscópico
(ou de Coriolis) de um elemento de eixo.
Introdução à Dinâmica de Rotores 113
Aplicando as equações de Lagrange na eq. (5.12), tem-se :
∂ ∂ − = + δ+ ∂δ ∂δ
ii iE E
sT Td (M M ) C
dtδ (5.13)
onde M e Mssão obtidas respectivamente de M1, M2 e M3, M4 e a matriz C é obtida de
M5.
θ ψ θ ψ
− − − θ
ψ −ρ= −
−
−
θ ψ
1 1 1 1 2 2 2 2
1
12 2
12
1
2
22
2
2 2
u w u w156 0 0 22L 54 0 0 13L u
156 22L 0 0 54 13L 0 w4L 0 0 13L 3L 0
4L 13L 0 0 3LSLMu420 156 0 0 22Lw156 22L 0
sim. 4L 0
4L
2 (5.14)
θ ψ θ ψ
− − − − − − θ
ψ −ρ=
−
θ ψ
1 1 1 1 2 2 2 2
1
12 2
12
1s
2
22
2
2 2
u w u w36 0 0 3 36 0 0 3 u
36 3 0 0 36 3 0 w4 0 0 3 0
4 3L 0 0IMu30 36 0 0 3w36 3 0
sim. 4 0
4
2 (5.15)
114 Introdução à Dinâmica de Rotores
θ ψ θ ψ
− − − − − − − − θ
ψ ρ − −= −
θ− − ψ
1 1 1 1 2 2 2 2
1
12 2
12
1
2
22 2
2
u w u w0 36 3 0 0 36 3 0 u
0 0 3 36 0 0 3 w0 4 3 0 0
IΩ 0 0 3 0Cu15 0 36 3 0w0 0 3
anti sim. 0 40
(5.16)
Substituindo as eqs. (5.8) e (5.9) na eq. (5.7), a expressão de energia de
deformação em flexão de um elemento de eixo pode ser colocada da forma:
= δ δ + δ δ
+ δ δ + δ δ
∫
∫
2 t 2 2 t 2t t1 2 2 2
2 2 2 20
t tt to 1 1 2 2
0
d N d N d N d NEIU u u w w2 dy dy dy dy
F dN dN dN dNu u w w d
2 dy dy dy dy
dy
y
(5.17)
Substituindo as funções de forma, eqs. (5.10) e suas derivadas, na eq. (5.17) e
integrando tem-se:
= δ δ + δ δ + δ δ + δ δt t t t1 2 3
1 1 1 1U u K u w K w u K u w K2 2 2 2 4 w (5.18)
As matrizes K1 e K2 são matrizes clássicas de rigidez, K3 e K4 são matrizes de
rigidez devido a força axial Fo. O efeito do cisalhamento transverso em eixos cujo
diâmetro têm a mesma ordem de grandeza que o comprimento é levado em conto
através do seguinte fator:
=12EIaGA
(5.19)
Introdução à Dinâmica de Rotores 115
onde G é o módulo de cisalhamento.
Aplicando as equações de Lagrange na eq. (5.18), tem-se :
(∂= +
∂δ c FoU K K )δ (5.20)
onde Kc e K Fo são obtidas respectivamente de K1, K2 e K3, K4..
θ ψ θ ψ
− − − − + − − θ
ψ + −=
+ −
θ+ ψ+
1 1 1 1 2 2 2 2
1
12 2
12 2
1c 3
2
22
2
2 2
u w u w12 0 0 6 12 0 0 6 u
12 6 0 0 12 6 0 w(4 a) 0 0 6 (2 a) 0
(4 a) 6 0 0 (2 a)EIKu12 0 0 6(1 a)w12 6 0
sim. (4 a) 0
(4 a)
(5.21)
θ ψ θ
− − − − − −
ψ
θ ψ −
= −
θ ψ
1 1 1 1 2 2 2 2
1
12 2
12
1oFo
2
22
2
2 2
u w u w36 0 0 3 36 0 0 3 u
36 3 0 0 36 3 0 w4 0 0 3 0
4 3 0 0FK
u30 36 0 0 3w36 3 0
sim. 4 0
4
2 (5.22)
55..33 –– MMaattrriizzeess ddee rriiggiiddeezz ee ddee aammoorrtteecciimmeennttoo ddooss mmaannccaaiiss
A influência da rigidez e do amortecimento viscoso dos mancais no
116 Introdução à Dinâmica de Rotores
comportamento em flexão do rotor é considerada a partir do trabalho virtual das forças
atuando no eixo. As forças generalizadas são então colocadas da forma :
= − − − −
= − − − −
i i
iu xx xz xx xz
w zz zx zz zx
F k u k w c u c
F k w k u c w ci
w
u
u
(5.23)
A eq. (5.23) pode ser colocada de uma forma matricial:
u xx xz xx xz
w zx zz zx zz
F k k c cuF k k c cw
w
= − −
i
i (5.24)
A eq. (5.24) pode ser expandida de forma à introduzir os graus de liberdade
relativos a inclinação de seção, θ e ψ.
θ
ψ
= − − θ
θ ψ ψ
i
i
i
i
u xx xz xx xz
w zx zz zx zz
uF k k 0 0 u c c 0 0F k k 0 0 w c c 0 0 wF 0 0 0 0 0 0 0 0F 0 0 0 0 0 0 0 0
(5.25)
55..44 –– EEffeeiittoo ddee uummaa mmaassssaa ddeessbbaallaanncceeaaddoorraa
O efeito de uma massa desbalanceadora é introduzido nas equações de
movimento do rotor através do cálculo de sua energia cinética. Considere então uma
massa desbalanceadora de massa md, situada no ponto M distante d do centro
geométrico do disco O, conforme mostra a Figura 4.3.
Introdução à Dinâmica de Rotores 117
u
w
M
d
C
O
Ω t Z
X
Figura 4.3 – Deslocamento de uma massa desbalanceadora md
A posição da massa desbalanceadora é data pelo vetor OM é então:
+ = +
u d senΩtOM cons tante
w d cosΩt
(5.26)
Logo, o vetor velocidade instantânea da massa desbalanceadora é:
+ = =
−
i
i
md
u dΩ cosΩtdOMV
dtw dΩsenΩt
0 (5.27)
A expressão de energia cinética de uma massa desbalanceadora pode então
ser colocada da forma:
= 2m dd d
1T m V2 m
(5.28)
118 Introdução à Dinâmica de Rotores
Substituindo a eq. (5.27) na eq. (5.28):
= + + −
i i2 2
m dd1T m u dΩ cosΩt w dΩsenΩt2
(5.29)
Desenvolvendo a eq. (5.29) tem-se :
= + + − +
i i i i2 22 2
m dd1T m u 2udΩ cosΩt w 2w dΩ senΩt Ω d2
(5.30)
Aplicando as equações de Lagrange na eq. (5.30), tem-se :
∂ = − ∂
∂ = − ∂
ii
i
ii
i
2Ed d
2Ed d
Td m u m dΩ senΩtdt u
Td m w m dΩ cosΩtdt w
(5.31)
Como uma massa desbalanceadora é desprezível quando comparada a massa
dos outros componentes do rotor, os termos m u podem ser desconsiderados. ii ii
d e m wd
55..55 –– EEqquuaaççõõeess ddee mmoovviimmeennttoo ddoo rroottoorr
)
Após determinar todas as matrizes elementares dos componentes do rotor, é
possível obter a equação diferencial de movimento do rotor da forma:
M C K F(tδ+ δ+ δ =ii i
(5.32)
Introdução à Dinâmica de Rotores 119
onde M é a matriz de massa global, C é a matriz de Coriolis global (mais a matriz de
amortecimento), K a matriz de rigidez global e F(t) são as forças generalizadas
deduzidas do trabalho virtual. A ordem das matrizes e dos vetores é função do número
total de gdls do rotor (N).
As freqüências naturais e os modos de vibração do rotor são determinados a
partir do sistema de equações homogêneas obtidas do sistema não amortecido ou não
giroscópico do tipo:
M Kδ+ δ =ii
0 (5.33)
A solução da eq. (5.33) é do tipo:
j te ωδ = φ (5.34)
onde φ é a amplitude e ω é a freqüência natural.
Substituindo a eq. (5.34) na eq. (5.33), temos:
( )2 M K 0−ω + φ = (5.35)
A eq. (5.35) consiste de um problema típico de autovalores-autovetores onde os
autovalores são as freqüências naturais do rotor, ωi, e os autovetores são os modos de
vibração associados às freqüências, φi.
Como a solução trivial, φ = 0, não nos interessa, o determinante da matriz deve
ser nulo.
( 2det M K 0−ω + =) (5.36)
A partir da eq. (5.36) determina-se o polinômio característico do problema no
qual as freqüências ωi são as raízes. Uma vez determinadas as freqüências ωi, os
120 Introdução à Dinâmica de Rotores
modos de vibração φ i são determinados substituindo cada ωi na eq. (5.35).
A resposta em regime permanente (resposta em freqüência) do rotor é obtida a
partir da eq. (5.32). Como visto anteriormente no método de Rayleigh-Ritz, a resposta
de um ponto pode ser obtida a partir de uma hipótese razoável do deslocamento do
rotor. Fazendo uso do método dos elementos finitos, nesta hipótese é freqüentemente
utilizado os modos de vibração φi, o qual é chamado de método Modal. Normalmente, o
número total de gdls do rotor N é muito elevado, sendo considerados somente os n
primeiros autovetores (n <<N).
pδ = φ (5.37)
Substituindo a eq. (5.37) na eq. (5.32) e pré-multiplicando por φt, temos:
t t t tM p C p K p F(t)φ φ + φ φ + φ φ = φ (5.38)
As freqüências naturais em função da rotação do rotor, ω = ω(Ω), são obtidas
resolvendo a equação homogênea:
t t tM p C p K p 0φ φ + φ φ + φ φ = (5.39)
A resposta em regime permanente, devido a um desbalanceamento é uma
solução do tipo:
= +1 2p P senΩ t P cosΩ t (5.40)
e a resposta devido a uma força assíncrona é uma solução do tipo:
= µ + µ1 2p P sen Ω t P cos Ω t (5.41)
Introdução à Dinâmica de Rotores 121
55..66 –– PPrroopprriieeddaaddeess ddooss mmooddooss
φ
Considere a eq. (5.35) após a determinação da freqüência ωi e do modo de
vibração φi.
2i iM Kω φ = i (5.42)
A freqüência ωj e modo de vibração φj é uma outra solução do problema:
2j jM Kω φ = j (5.43) φ
i
Pré-multiplicando a eq. (5.42) por φjt e a eq. (5.43) por φi
t, tem-se:
2 t ti j i j
2 t tj i j i
M K
M K
ω φ φ = φ φ
ω φ φ = φ φ j
i
i
φ
(5.44)
Como as matrizes M e K são simétricas, a igualdade existe:
t ti j j
t ti j j
M M
K K
φ φ = φ
φ φ = φ φ (5.45)
Substituindo as eq. (5.45a) e (5.45b) na eq. (5.44b), tem-se:
2 t tj j i jM Kω φ φ = φ φi (5.46)
Subtraindo a eq. (5.46) da eq. (5.44a), temos:
( )2 2 ti j j iMω −ω φ φ = 0 (5.47)
122 Introdução à Dinâmica de Rotores
Como as freqüências naturais são diferentes, ωi ≠ ωj, com exceção dos modos
de corpo rígido, ωi = ωj = 0:
tj iMφ φ = 0
0
(5.48)
e levando em consideração a eq. (5.44a):
tj iKφ φ = (5.49)
Considere a eq. (5.42), pré-multiplicada desta vez por φit:
2 t ti i i iM Kω φ φ = φ φi (5.50)
ou:
t
2 i ii t
ii i
KmM
φ φω = =
φ φik
1(t)
(5.51)
onde ki e mi são a rigidez modal e a massa modal associadas ao modo ωi e φi.
Da eq. (5.31), observa-se que a matriz Coriolis é anti-simétrica. Assim, da eq.
(5.39), conclui-se que a matriz φtCφ não é diagonal como as matrizes φtMφ e φtKφ, o que
corresponde ao não desacoplamento entre as n equações do sistema.
Para a resposta em regime permanente, solução da eq. (5.38), deve então ser
utilizado o método “pseudo-modal”.
1 1 1 1t
n n n n n
m 0 p k 0 p f0 C p 0
0 0 m p 0 0 k p f (t)
+ φ φ + =
(5.52)
Introdução à Dinâmica de Rotores 123
55..77 –– TTééccnniiccaa ddee mmoonnttaaggeemm ddaass mmaattrriizzeess gglloobbaaiiss
Considere o rotor visto anteriormente discretizado em três elementos de eixo
(ou viga) de igual comprimento = L/3 (1, 2, e 3) e um elemento de disco (4), com
quatro nós, Figura 4.4:
4
321
11 2
221
4321
Figura 4.4 – Malha do rotor simplesmente apoiado
No modelo acima, os nós de cada elemento de eixo ou de disco, estão
relacionados aos nós do rotor segundo a tabela abaixo:
N° do elemento Tipo de elemento Nós do rotor Vetor deslocamento δ
1 Viga 1 – 2 u1, w1, θ1, ψ1, u2, w2, θ2, ψ2
2 Viga 2 – 3 u2, w2, θ2, ψ2, u3, w3, θ3, ψ3
3 Viga 3 – 4 u3, w3, θ3, ψ3, u4, w4, θ4, ψ4
4 Disco 2 u2, w2, θ2, ψ2
As matrizes globais de massa, rigidez e de Coriolis são obtidas superpondo as
matrizes elementares de acordo com a tabela acima. A seguir é mostrado a matriz de
rigidez global após a superposição das matrizes de rigidez elementares dos elementos
1 e 2:
124 Introdução à Dinâmica de Rotores
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4
3
u w u w u w u ...
EIKL
θ ψ θ ψ θ ψ
=
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
4
4
4
4
uw
uw
u3w
uw
θ
ψ θψ
θψ
θ ψ
(5.55)
2 2
2 2
2 2
2 2
12 0 0 6L 12 0 0 6L12 6L 0 0 12 6L 0
4L 0 0 6L 2L 0
4L 6L 0 0 2L12 12 0 0 6L 6L
12 12 6L 6L 0
4L 4L 0
4L 4L
− − − −
+ − + − + +
2
2
2
2
12 0 0 6L0 12 6L 0
0 6L 2L 0
6L 0 0 2L12 0 0 6L
12 6L 0
sim. 4L 0
4L
−−
+ −
−
55..88 –– EExxeemmppllooss ddee aapplliiccaaççããoo
Serão apresentados a seguir resultados obtidos pelo método dos elementos
finitos de rotores com mancais isotrópicos em configurações diferentes: bi-apoiado e
em balanço, conforme ilustram as figuras abaixo. As propriedades do eixo e do disco
são as mesmas apresentadas nos exemplos anteriores.
RRoottoorr bbii--aappooiiaaddoo –– ccaassoo 11
Ω x
z
y
5L/6L/6
Figura 4.5 – Disco em y = L/6
Introdução à Dinâmica de Rotores 125
Figura 4.6 – Diagrama de Campbell e modos 1 e 2 para o disco em y = L/6
RRoottoorr bbii--aappooiiaaddoo –– ccaassoo 22
Ω x
z
y
2L/3L/3
Figura 4.7 – Disco em y = L/3
126 Introdução à Dinâmica de Rotores
Figura 4.8 – Diagrama de Campbell e modos 1 e 2 para o disco em y = L/3
RRoottoorr bbii--aappooiiaaddoo –– ccaassoo 33
Ω x
z
y L/2L/2
Figura 4.9 – Disco em y = L/2
Introdução à Dinâmica de Rotores 127
Figura 4.10 – Diagrama de Campbell e modos 1 e 2 para o disco em y = L/2
RRoottoorr eemm bbaallaannççoo –– ccaassoo 11
Ω x
z
y L/65L/6
Figura 4.11 – Segundo apoio em y = L/6
128 Introdução à Dinâmica de Rotores
Figura 4.12 – Diagrama de Campbell e modo 1 para o segundo apoio em y = L/6
RRoottoorr eemm bbaallaannççoo –– ccaassoo 22
Ω x
z
y L/32L/3
Figura 4.13 – Segundo apoio em y = L/3
Introdução à Dinâmica de Rotores 129
Figura 4.14 – Diagrama de Campbell e modo 1 para o segundo apoio em y = L/3
RRoottoorr eemm bbaallaannççoo –– ccaassoo 33
Ω x
z
y L/2 L/2
Figura 4.15 – Segundo apoio em y = L/2
130 Introdução à Dinâmica de Rotores
Figura 4.16 – Diagrama de Campbell e modo 1 para o segundo apoio em y = L/2
Introdução à Dinâmica de Rotores 131
66 –– AANNEEXXOOSS
66..11 –– VViibbrraaççõõeess ffoorrççaaddaass ((JJeeffffccootttt rroottoorr))
As equações diferenciais que descrevem o movimento do centro geométrico de
um disco de massa m, acoplado a um eixo de rigidez k e o conjunto tendo um
amortecimento viscoso c e velocidade de rotação Ω, são obtidas a partir da
determinação da energia cinética do disco, energia de dissipação do conjunto e energia
de deformação do eixo:
A energia cinética do disco é da forma:
2 2x z
1T m V V2
= +
i i
(5.1)
onde e são as velocidades transversais nas direções X e Z do centro de massa
M do disco e são da forma (ver Figura 5.1):
xVi
zVi
( )
( )
xx
zz
dV dV r sen d sendt dt
dV dV r cos d cosdt dt
= = φ + φ + β
= = φ + φ + β
i
i (5.2)
Considerando as coordenadas do centro geométrico do disco como sendo X e
Z e sabendo que para uma precessão genérica (não síncrona), ( )d Ωdt
φ + β = φ+ β =i i
, as
velocidades transversais são :
( )
( )
x
z
V X dΩ cos
V Z dΩ sen
= + φ + β
= − φ + β
i i
i i (5.3)
132 Introdução à Dinâmica de Rotores
d cos (φ+β)
r cos φ
d se
n(φ+
β)
r sen
φ
β
r M d C
O
φ
Z
X
Figura 5.1 – Jeffcott rotor realizando um movimento de precessão
Logo, a expressão para a energia cinética do centro de massa do disco é:
( ) ( ) = + φ + β + − φ + β
i i2 21T m X dΩ cos Z dΩ sen2
(5.4)
A energia de dissipação do conjunto é da forma:
2 21D c X Z2
= +
i i
(5.5)
E, a energia de deformação do eixo é da forma:
( 2 21U k X Z2
= + ) (5.6)
As equações de movimento são determinadas aplicando as equações de
Lagrange sobre todas as formas de energia ou trabalho encontradas no sistema
Introdução à Dinâmica de Rotores 133
rotativo:
ii i i
i
d T T U D Fpdt p p pp
∂ ∂ ∂ ∂ − + + =
∂ ∂ ∂ ∂ i (5.7)
onde pi são as coordenadas generalizadas, X e Z, e Fpi são forças generalizadas.
Desta forma:
(2d T mX m dΩ sendt X
∂ = − φ + β ∂
ii
i ) (5.8)
(2d T mZ m dΩ cosdt Z
∂ = − φ + β ∂
ii
i ) (5.9)
T 0X∂
=∂
(5.10)
T 0Z∂
=∂
(5.11)
U k XX∂
=∂
(5.12)
U k ZZ∂
=∂
(5.13)
D c XX
∂=
∂
i
i (5.14)
D c ZZ
∂=
∂
i
i (5.15)
As forças generalizadas são nulas pois os mancais não são flexíveis. Somando
as eqs. (5.8), (5.10), (5.12) e (5.14) e somando as eqs. (5.9), (5.11), (5.13) e (5.15), as
equações diferencias que descrevem o movimento do centro geométrico do disco são:
134 Introdução à Dinâmica de Rotores
2
2
mX c X kX mΩ d senΩt
mZ c Z kZ mΩ d cosΩt
+ + =
+ + =
ii i
ii i (5.16)
onde ( )Ωt = φ + β
As soluções das eqs. (5.16) podem ser colocadas da forma:
( )( )
X r sen Ωt
Z r cos Ωt
= −
= −
β
β
β
β
(5.17)
onde r é a amplitude da órbita do centro geométrico do disco. Observa-se que, na
presença de amortecimento, os deslocamentos estão defasados (atrasados) de β com
relação à força de excitação devido ao desbalanceamento.
Desenvolvendo as eqs. (5.17), tem-se :
( )( )
X r senΩt cos cosΩt sen
Z r cosΩt cos senΩt sen
= β −
= β + (5.18)
Substituindo as eqs. (5.18) nas equações de movimento, (5.16), tem-se :
[ ][ ]
[ ][ ]
2 2
2
2 2
2
mΩ senΩt cos mΩ cosΩt sen
r cΩ cosΩt cos cΩ senΩt sen mΩ d senΩt
k senΩt cos k cosΩt sen
mΩ cosΩt cos mΩ senΩt sen
r cΩ senΩt cos cΩ cosΩt sen mΩ d co
kcosΩt cos k senΩt sen
− β + β + β + β + = β − β − β − β + − β + β + = β + β
sΩt
(5.19)
Igualando os termos em cosΩt e senΩt, as eqs. (5.19) se subdividem em :
Introdução à Dinâmica de Rotores 135
2 2
2
2 2
2
r mΩ cos cΩ sen k cos senΩt mΩ d senΩt
r mΩ sen cΩ cos k sen cosΩt 0
r mΩ cos cΩ sen kcos cosΩt mΩ d cosΩt
r mΩ sen cΩ cos k sen senΩt 0
− β + β + β =
β + β − β =
− β + β + β =
− β − β + β =
(5.20)
Observa-se que as eqs. (5.20a) e (5.20c) são iguais, assim como as eqs.
(5.20b) e (5.20d) são também iguais. Como: r ≠ 0, senΩt ≠ 0 e cosΩt ≠ 0, da eq. (5.20b)
ou (5.20d) tem-se que :
( )2cΩsen cos
mΩ kβ = β
− + (5.21)
ou :
( )2sen cΩtancos mΩ k
β= β =
β − + (5.22)
Substituindo a eq. (5.21) na eq. (5.20a) ou (5.20c) tem-se :
( ) ( )2
2cΩr k mΩ cos cΩ cos mΩ d
k mΩ
− β + β =−
2 (5.23)
Rearranjando a eq. (5.23) :
( )( )
22
22 2
k mΩmΩ dcosr k mΩ c Ω
−β =
− + 2 (5.24)
Substituindo a eq. (5.24) na eq. (5.21) :
136 Introdução à Dinâmica de Rotores
( )2
22 2
mΩ d cΩsenr k mΩ c Ω
β =− + 2
(5.25)
Sabe-se que se , logo, das eqs. (5.24) e (5.25): 2 2n cos 1β + β =
( )
( )( )
2 222 2
22 2 2 2 2 2
k mΩmΩ d cΩ mΩ d 1r rk mΩ c Ω k mΩ c Ω
− + − + − +
2 = (5.26)
Rearranjando a eq. (5.26) :
( )2
22 2
mΩ drk mΩ c Ω
=− + 2
(5.27)
ou:
( ) ( )
2
2 22
Ω drk /m Ω cΩ /m
=− +
(5.28)
Substituindo a eq. (5.28) nas eqs. (5.17) e considerando a eq. (5.22) tem-se:
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2 22
2
2 22
12
Ω dX s Ωt )k /m Ω cΩ /m
Ω dZ Ωtk /m Ω cΩ /m
cΩtanm k /m Ω
−
= −− +
=− +
β = −
en(
cos( )
β
−β (5.29)
Introdução à Dinâmica de Rotores 137
As eqs. (5.29) fornecem o movimento do centro geométrico do disco, chamado
de precessão. Observa-se que, como as amplitudes de X e Z são iguais, a órbita é
circular. Da Figura 5.1, conclue-se que a deflexão do eixo do rotor é:
( ) ( )
22 2
2 22
Ω dr X Zk /m Ω cΩ /m
= + =− +
(5.30)
Como a massa do disco m > 0, a rigidez do eixo k > 0, o amorteimento do
conjunto c > 0 e a distância do centro de massa ao centro geométrico d > 0, pode
concluir das eqs. (5.24) e (5.25) que:
π/2
0
β
sen β
cos β
Para km
<Ω
sen 00
2cos 0β > π
⇒ < β <β >
π
π
π/2
0
β
sen β
cos β
Para km
>Ω
sen 02cos 0
β > π⇒ < β <β <
π
Uma forma alternativa de descrever o movimento do rotor é utilizando uma
formação complexa que fornece duas informações no mesmo instante: a posição do
dentro geométrico C e o sentido da órbita. Assim:
R(t) Z(t) j X(t)= + (5.31)
Desta forma, as eqs. (5.16) se reduzem em uma única equação :
138 Introdução à Dinâmica de Rotores
( ) (2m (Z jX) c (Z jX) k Z j X mΩ d cosΩt j d senΩt+ + + + + = +ii ii i i
) (5.32)
Substituindo a eq. (5.31) na eq. (5.32), tem-se :
2 jΩtm R c R k R mΩ d e+ + =ii i
(5.33)
As soluções dadas pelas eq. (5.17), podem também ser colocadas da forma:
( )j ΩtR r e −β= (5.34)
Substituindo a eq. (5.34) na eq. (5.33), a equação resultante é :
( ) ( )−β− + + =j Ωt2 ΩtmΩ jΩc k r e mΩ d e2 j (5.35)
Logo :
( )2
2mΩ dr
mΩ k jΩc=
− + + (5.36)
Como apresentado pela eq. (5.34), a solução é complexa, portanto ela pode ser
apresentada em termos de sua amplitude r e de sua fase β (ver Figura 5.2).
Considerando o complexo conjugado da eq. (5.36), a amplitude e a fase são :
( )2
22 2
12
mΩ drk mΩ Ω c
Ωctank mΩ
−
=− +
β = −
2 (5.37)
Introdução à Dinâmica de Rotores 139
Observa-se que as eqs. (5.29) e (5.37) são equivalentes.
imaginário
( )φ
− +
2
22 2 2
mΩ d cosk mΩ Ω cr
φ
( )φ
− +
2
22 2 2
mΩ d senk mΩ Ω c
real
Figura 5.2 – Representação da amplitude e da órbita no movimento de precessão
66..22 –– VViibbrraaççõõeess lliivvrreess ((JJeeffffccootttt rroottoorr))
)
Quando o sistema está vibrando livremente sem ser excitado por uma força, as
eqs. (5.16), quando colocadas de uma forma complexa, são:
mR cR kR 0+ + =ii i
(5.38)
onde a solução da eq. (5.38) para vibrações livres (sem força excitadora) é :
(stR r e r cos st j sen st= = + (5.39)
Substituindo a solução dada pela eq. (5.39) na eq. (5.38) para o problema de
vibração livre tem-se:
140 Introdução à Dinâmica de Rotores
2m s c s k 0+ + = (5.40)
As raízes do polinômio dado pela eq. (5.40) fornecem a solução do problema e
são:
2
1,21 c c 4ks2 m m m
= − ± −
(5.41)
O amortecimento crítico ccr, é definido como sendo o valor requerido para
suprimir completamente qualquer vibração no sistema, é obtido quando:
2
crc 4k 0m m
− =
(5.42)
Logo :
crc 2 k= m (5.43)
A relação entre o amortecimento do sistema pelo amortecimento crítico é:
cr
cc
ξ = (5.44)
Introduzindo a eq. (5.44) na eq. (5.30), temos :
( ) ( )
2
2 22cr
Ω drk /m Ω c Ω /m
=− + ξ
(5.45)
Introdução à Dinâmica de Rotores 141
Quando a rotação do rotor for igual a freqüência natural do mesmo,
kΩm
= = ω , a amplitude será:
( )( )2 2 2
k /m d dr2k /m k /m 4kmk /m
= =ξ− + ξ
(5.46)
Introduzindo a eq. (5.44) na eq. (5.41), as raízes do polinômio podem ser
colocadas da forma:
2
1,21 2 km 2 km 4k2 m m m
ξ ξ= − ± −
s (5.47)
)
( 21,2s = −ξω± ω − − ξ1 (5.48)
21,2s j 1= −ξω± ω − ξ (5.49)
A eq. (5.49) pode ser colocada de uma forma compacta :
1,2 as = λ ± ωj (5.50)
onde o fator λ determina a estabilidade do sistema rotativo (λ < 0, estável e λ > 0,
instável) e ωa é a freqüência amortecida do sistema rotativo (ver Figura 5.3).
142 Introdução à Dinâmica de Rotores
estável
r
t
T=2π/ωa eλt
instável
r
t
T=2π/ωa
eλt
Figura 5.3 – Composição da resposta do rotor à uma excitação
Substituindo as raízes do polinômio (5.49) na solução dada pela eq. (5.39),
temos:
2j 1 tR r e
−ξω± ω −ξ=
(5.51)
Da eq. (5.51), observa-se que λ = – ξω, ou seja, nesta configuração, o rotor
será sempre estável.
Introdução à Dinâmica de Rotores 143
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Masson, 1986.
Meirovith, L., Methods of Analytical Dynamics, McGraw-Hill.
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