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FACULDADES CURSO DE ADMINISTRAO E CINCIAS CONTBEIS MTODOS QUANTITATIVOS- Prof.EDUARDO Apostila-LIMITES

ALUNO(A): __________________________________________________________________ Noo intuitiva de limite Sejaafunof(x)=2x+1.Vamosdarvaloresaxqueseaproximemde1,pelasuadireita(valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y: xy = 2x + 1 1,54 1,33,6 1,13,2 1,053,1 1,023,04 1,013,02 xy = 2x + 1 0,52 0,72,4 0,92,8 0,952,9 0,982,96 0,992,98 Notamos que medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1(x1), y tende para 3 (y3), ou seja: Observamosquequandoxtendepara1,ytendepara3eolimitedafuno3. Esse o estudo do comportamento de f(x) quandox tende para 1 (x1). Nem preciso que x assumaovalor1.Sef(x)tendepara3(f(x)3),dizemosqueolimitede f(x)quandox13, emborapossamocorrercasosemqueparax=1ovalordef(x)noseja3. De forma geral, escrevemos: se, quando x se aproxima de a (xa), f(x) se aproxima de b (f(x) b).

Como x + x - 2 = (x - 1)(x + 2), temos:

Podemosnotarquequandoxseaproximade1(x 1), f(x)seaproximade3,emboraparax=1 tenhamos f(x) = 2. o que ocorre que procuramos o comportamento de y quando x 1. E, nocaso, y3. Logo, o limite de f(x) 3.Escrevemos:

Seg:IRIReg(x)=x+2,g(x)=(x+2)=1+2=3,emborag(x) f(x)emx=1.No entanto, ambas tm o mesmo limite. Propriedades dos Limites 1) Exemplo: 2) Exemplo: 3) Exemplo: 4) Exemplo: 5) Exemplo: 6)Exemplo: 7) Exemplo: 8) Exemplo: Limites Laterais Se x se aproxima de a atravs de valores maiores que a ou pela sua direita, escrevemos: Esse limite chamado de limite lateral direita de a. Se x se aproxima de a atravs de valores menores que a ou pela sua esquerda, escrevemos: Esse limite chamado de limite lateral esquerda de a. O limite de f(x) para x a existe se, e somente se, os limites laterais direita a esquerda so iguais, ou sejas: Se Se

Continuidade Dizemos que uma funo f(x) contnua num ponto a do seu domnio se as seguintes condies so satisfeitas: Exemplo: Vamos determinar se a funo ==2 , 32 ,24) (2x sex sexxx f contnua no ponto onde x=2. Seguindo os passos da definio, teremos que analisar as condies de continuidade no ponto x = 2. Veja que: 22221) (2) 342) lim 4 ( )243) 4 3 lim (2)2xxfxfaa averificao atravs do grficoxxComo temos fx==

Observe quea funo est definida para x=2 e existe o limite da funo quando2 x . Entretanto, aterceiracondionoverdadeiraeassimpodemosafirmarqueafunof descontinuano ponto x = 2. Observe isto graficamente:

Propriedade das Funes contnuas Se f(x) e g(x)so contnuas em x = a, ento: f(x) g(x) contnua em a;f(x) . g(x) contnua em a; contnua em a. Limites envolvendo infinito Exemplo : Vamos observar o comportamento da funo xx f2) ( = quando x tende valores muito grandes ( )e para valores muito pequenos ( ). x-1-10-100-10000010000100101 f(x)-2-0,2-0,02-0,00020,00020,020,22 Veja,tantonogrficocomonatabelaque,quantomaiorovalordexouseja,quandox tende para infinito, a imagem da funo tende para0. Assim podemos escrever que0 ) (lim= x fx. Da mesma forma possvel perceber que,quanto menor o valor de x, ou seja, quando x tende para menosinfinito,aimagemdafunotambmtendepara0.Ento,podemosescreverque 0 ) (lim= x fx Exemplo:Encontre se existir oxx1lim0 Para uma melhor observao,vamos construiruma tabela com valores prximos a 0eo grfico da funo xx f1) ( = . x-1-0,1-0,01-0,000100,00010,010,11 f(x)-1-10-100-1000010000100101 Vejaque,namedidaquexficaprximode0pelaesquerda,osvaloresde) (x f sonegativose decrescemindefinidamente.Quandoxficaprximode0peladireita,osvaloresde) (x f so positivos e crescem indefinidamente. Veja que 01limxx = e que o 01limxx += + , logo o 01limxx no existe. Exemplo:Considere a funoIR IR f *:definida por 21) (xx f = Observeque,quandoxtendea0peladireitaoupelaesquerda,afunoassumevaloresarbitrariamente grandes, e neste caso escrevemos que =) (lim0x fx. Resumindo limites envolvendo infinito a) , ou seja, medida que x aumenta,y tende para zero e o limite zero. b) , ou seja, medida que x diminui,y tende para zero e o limite zero.c) , ou seja, quandox se aproxima de zero pela direita de zeroou por valores maiores que zero, y tende para o infinito e o limite infinito. d) , ou seja, quando xtende para zero pela esquerda ou por valores menores que zero, y tende para menos infinito Limite de uma funo polinomial para Seja a funo polinomial. Ento: Demonstrao: Mas:

Logo:

De forma anloga, para, temos: Exemplos:

Limites exponenciais Neste caso, e representa a base dos logaritmos naturais ou neperianos. Trata-se do nmero irracional e cujo valor aproximado 2,7182818. Veja a tabela com valores de x e de.x123101001 00010 000100 000 22,252,37032,59372,70482,71692,71812,7182 Notamos que medida que. De forma anloga, efetuando a substituio, temos: A forma acima da a soluo imediata a exerccios deste tipo e evitam substituies algbricas. Dicas para resoluo - Exerccios resolvidos de exemplo:1121limxxx

Veja que, se voc passar o limite na funo, voc ter como resposta 001121lim=xxx. Logo,estafuno,no ponto 1apresentaum problema.Sabemosinclusive queestafuno descontinuanoponto1,poisovalordafunonoponto1noexiste.Seudomnioo conjuntosdosreaisexceto1.Estepois,umpontoproblema.Comoestudamos anteriormenteolimitenoentantobuscaanalisaroqueocorrenonoponto1,masnas proximidades ou ainda na vizinhana do 1. Assim se usarmos artifcios algbricos esse limite poder ser calculado da seguinte forma: 1121limxxx=2 1 1 ) 1 (1) 1 )( 1 (lim lim1 1= + = + =+ xxx xx x Logo esta funo no definida no ponto 1 mas na vizinhana do mesmo ela se aproxima, outende a 2, sendo o seu limite neste ponto 2. Quando encontramos ao calcular o limite acima a forma 00, a mesma recebe o nome de forma de indeterminao. Esta no a nica forma de expresso indeterminada. Vejamos outras: Existem pois, situaes que parasecalcular um determinado limite ser necessrio o uso de artifciosalgbricoscomonasfunesracionaisemqueolimitedonumeradoredo denominador se aproximam dezero num determinado ponto. Neste caso teremos uma expresso indeterminada00. 1 , , 0 , 0 , , ,000 0 EXERCCIOS 1 Questo: Determine o limite da funo abaixo caso exista e se no existir justifique. ( sugesto: faa um grfico para observar o que acontece ) a))` =1 xse x- 41 xse 1) (2xx f b) )` =1 xse 1 - 6x1 xse 4) (2x xx f 2 Questo: Determine o limite das funes abaixo caso exista e se no existir justifique. 1) = ) ( lim1 x 2) =) ( lim4 xx 3) = ) 1 3 ( lim2 xx 4) = +) 4 3 2 ( lim22 xx x

5)= + + x x 6 lim6 x 6) =3127 x) ( lim x 7) = ||

\|++ 1 24lim1 xxx 8) = 50 21 ) 1 4 ( limxx 9) =|||

\|+ + 3 412lim223 xx xx x 10) =|||

\|+ 14 5lim21 xxx x 11) =|||

\|++ + + 13 3lim2 31 xxx x x 12) =|||

\|+ 12 3lim231 xxx x 13) =|||

\|255lim25 xxx 14) ( )=21 x11limx 15)( )=11lim1 xx 16) =||

\|2lim21 12 xxx 17)=44lim4 xxx 18) = + ) 5 2 ( lim2xx x 19) = + + ) 1 2 5 3 ( lim2 4xx x x 20) = 85limxx 21) =|||

\| + 2 33 5x85 4 2limx xx x x 22)=|||

\|+ 2 73 5x86 5limx xx x 23) =|||

\|+ 2 33x23 7limx xx x 24) =|||

\|+ x xx x84 6lim22 3x 3 Questo: O custo(em u.m.)de remover x% dos poluentes da gua em um determinado riacho dadopelafunoC(x)abaixo.Calculeocustopararemover100%dospoluenteseinterpreteseu resultado. 100 0 para10075000) ( = xxxx C 4 Questo: Como os avanos na tecnologia resultam na produo de calculadoras cada vez mais potentes e compactas, o preo das calculadoras atualmente no mercado diminui. Suponha que x meses a partir de agora, o preo ( em u.m.) de um certo modelo seja dado pela funo P(x) abaixo. Determine o que acontecer com o preo a longo prazo. 40130) ( ++=xx pDivirtam-se...