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UNIVERSIDADE DE SANTA CRUZ DO SUL DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA, ARQUITETURA E CINCIAS AGRRIAS
CURSO DE ENGENHARIA MECNICA
TRANSFERNCIA DE CALOR E MASSA
Atualizado por: Prof. Anderson Fvero Porte
Santa Cruz do Sul, agosto 2007.
Apostila de Transferncia de Calor e Massa
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1) GENERALIDADES
1.1) INTRODUO
Sempre que um corpo est a uma temperatura maior que a de outro ou, inclusive, no mesmo corpo existam temperaturas diferentes, ocorre uma cesso de energia da regio de temperatura mais elevada para a mais baixa, e a esse fenmeno d-se o nome de transmisso de calor.
O objetivo de presente curso estudar as leis e os princpios que regem a transmisso de calor, bem como suas aplicaes, visto que de fundamental importncia, para diferentes ramos de Engenharia, o domnio dessa rea de conhecimento. Assim como o Engenheiro Mecnico enfrente problemas de refrigerao de motores, de ventilao, ar condicionado etc., o Engenheiro Metalrgico no pode dispensar a transmisso de calor nos problemas relacionados a processos pirometalrgicos ou hidrometalrgicos, ou nos projetos de fornos ou de regeneradores.
Em nvel idntico, o Engenheiro Qumico ou Nuclear necessita da mesma cincia em estudos sobre evaporao, condensao ou em trabalhos de refinaria e reatores, enquanto o Eletricista a utiliza no clculo de transformadores e geradores e o Engenheiro Naval aplica em profundidade a transmisso de calor em caldeiras, mquinas trmicas, etc. At mesmo o Engenheiro Civil e o arquiteto, especialmente em pases frios, sentem a importncia de, em seus projetos, preverem tubulaes interiores nas alvenarias das edificaes, objetivando o escoamento de fluidos quentes, capazes de permitirem conforto maior mediante aquecimento ambiental.
Esses so, apenas, alguns exemplos, entre as mais diversas aplicaes que a Transmisso de Calor propicia no desempenho profissional da Engenharia.
Conforme se ver no desenvolvimento da matria, indispensvel aplicar recursos de Matemtica e de Mecnica dos Fluidos em muitas ocasies, bem como se perceber a ligao e a diferena entre Transmisso de calor e Termodinmica..
A Termodinmica relaciona o calor com outras formas de energia e trabalha com sistemas em equilbrio, enquanto a Transmisso de calor preocupa-se com o mecanismo, a durao e as condies necessrias para que o citado sistema atinja o equilbrio.
evidente que os processos de Transmisso de Calor respeitem a primeira e a segunda Lei da Termodinmica, mas, nem por isto, pode-se esperar que os conceitos bsicos da Transmisso de calor possam simplesmente originar-se das leis fundamentais da Termodinmica.
Evidente tambm , sem dvida, que o calor se transmite sempre no sentido da maior para a menor temperatura, e s haver transmisso de calor se houver diferena de temperatura, da mesma forma que a corrente eltrica transita do maior para o menor potencial e s haver passagem de corrente eltrica se houver uma diferena de potencial; percebe-se, de incio, sensvel analogia entre os fenmenos trmico e eltrico, o que absolutamente correto, pois que, de fato, o fenmeno de transporte e pode ser, inclusive, estudado de forma global, como calor, eletricidade, massa, quantidade de movimento, etc., resultando da a absoluta identidade entre as diferentes leis que comandam deferentes setores do conhecimento humano.
Apostila de Transferncia de Calor e Massa
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1.2) REGIMES DE TRANSMISSO DE CALOR
Seja uma parede em forma de paraleleppedo, com todas as faces suficientemente isoladas, exceto duas opostas e paralelas; de incio estas faces esto mesma temperatura Ti, logo no h transmisso de calor atravs da parede. Em determinado instante, eleva-se subitamente uma das faces temperatura Tf e haver transporte de calor na direo x (Fig. 1.4)
Fig. 1.4
Imaginando-se que Ti e Tf sejam temperaturas mantidas inalteradas, haver, para cada instante t que se considere, uma curva representativa de T = f(x), isto , um mesmo ponto de uma mesma seo reta ter temperaturas diferentes no decorrer do tempo, da as curvas para os tempos t1, t2, t3, etc. Desde que se conservem Ti e Tf, ocorrer um determinado momento, a partir do qual os pontos de uma mesma seo reta no mais variaro sua temperatura com o tempo.
Com esse exemplo possvel caracterizar os dois regimes em que podem suceder as formas de transmisso de calor.
Durante o perodo em que um mesmo ponto da parede alterou sua temperatura com o tempo, diz-se que a parede estava em regime transitrio, e, quando a temperatura do mesmo ponto conservou-se constante, diz-se que na parede reinava regime estacionrio ou permanente; so esses os dois regimes de transmisso de calor.
O regime transitrio pode ser particularmente um caso de periodicidade, no qual as temperaturas de um mesmo ponto variem ciclicamente segundo uma determinada lei, como, por exemplo, uma variao senoidal ou a variao da temperatura na cobertura de um edifcio, exposta dia e noite s condies atmosfricas. A esse regime costuma-se denominar regime peridico.
possvel, e inclusive muito til, definir regime estacionrio e regime transitrio em termos de fluxo de calor. Assim, regime estacionrio aquele em que o fluxo de calor constante no interior da parede, pois os pontos interiores j apresentam saturao trmica e
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no alteraro mais suas temperaturas, logo o fluxo de calor que entra igual ao fluxo de calor que sai; e regime transitrio aquele em que o fluxo de calor varivel nas diferentes sees da parede ou, em outras palavras, o fluxo que entra diferente do fluxo de calor que sai.
1.3) FORMAS DE TRANSMISSO DE CALOR
Existem trs formas de transmisso de calor: conduo, conveco e radiao. Tais formas so fundamentalmente diferentes, regidas por leis prprias, mas que, na
realidade, podem ocorrer em simultaneidade, o que torna, por vezes, muito complexa a soluo absolutamente exata de um problema de transmisso de calor. O bom senso do engenheiro, sua experincia e o adequado conhecimento da matria ensejar-lhe-o a oportunidade de desprezar uma ou at duas formas de transmisso de calor, no projeto ou num problema de Engenharia, desde que as formas no consideradas tenham presena insignificante, no ocasionando falhas nos resultados finais e oferecendo, autenticamente, uma soluo de Engenharia no deixando um problema sem soluo, dada a preocupao com a exatido, que, conforme se poder perceber no desenvolvimento de assunto, em vrias ocasies, absolutamente dispensvel. Em captulos seguintes ser estudada, em detalhe, cada uma das formas de transmisso de calor, mas cabe aqui definir corretamente as diferenas entre as trs citadas, para que o acompanhamento do assunto possa ser feito com maior segurana e categoria.
1.3.1) Transferncia de Calor por Conduo
Quando existe um gradiente de temperatura num corpo, a experincia mostra que ocorre uma transferncia de energia de alta temperatura para a regio de baixa temperatura. Diz-se que a energia transferida por conduo e a taxa de transferncia de calor por unidade de rea proporcional ao gradiente normal de temperatura
Aq
x
T
Quando a constante de proporcionalidade inserida
x
TkAq
= 1-1
onde q a taxa de transferncia de calor e T/x o gradiente de temperatura na direo do fluxo de calor. A constante positiva k chamada condutividade trmica do material, sendo o sinal de menos inserido para satisfazer o segundo princpio da termodinmica, ou seja, o calor deve fluir no sentido da temperatura decrescente, como indicado no sistema de coordenadas da Fig. 1-1
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Fig. 1-1 Esquema mostrando a direo do fluxo de calor
A equao 1-1 chamada de lei de Fourier da conduo de calor, em homenagem ao fsico matemtico francs Joseph Fourier que trouxe contribuies significativas ao tratamento analtico da transferncia de calor por conduo. importante observar que a Eq. 1-1 a equao de definio de condutividade trmica e que k tem unidade de watt por metro por grau Celsius [W/(m.oC)] no Sistema Internacional de Unidades (SI). O problema a ser tratado agora o da determinao da equao bsica que governa a transferncia de calor atravs de um slido utilizando a Eq. 1-1 como ponto de partida. Considere o sistema unidimensional mostrado na Fig. 1-2. Se o sistema est em regime permanente, isto , se a temperatura no varia com o tempo, ento o problema simples devendo-se somente integrar a Eq. 1-1 e substituir os valores apropriados para a soluo nas quantidades desejadas. Entretanto, se a temperatura do slido varia com o tempo, ou se existem fontes ou sumidouros de calor no interior do slido, a situao mais complicada. Consideremos o caso geral onde a temperatura pode variar com o tempo e fontes de calor podem ocorrer no interior do corpo. Para o elemento de espessura dx, o seguinte balano de energia pode ser feito:
Fig. 1-2 Volume elementar para a anlise da conduo de calor unidimensional
Energia conduzida para dentro pela face esquerda + calor gerado no interior do elemento = variao de energia interna + energia conduzida para fora pela face direita. Estas quantidades de energia so dadas pelas seguintes expresses: Energia conduzida para dentro pela face esquerda:
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x
TkAq x
=
Calor gerado no interior do elemento: qx = q& Adx
Variao da energia interna: dxTcAE
= Energia conduzida para fora pela face direita:
+
=
= ++ dxx
Tkxx
TkA]x
TkAq dxxdxx
onde q& = energia gerada por unidade de volume c = calor especfico do material = densidade A combinao das relaes acima fornece:
+
=+
dxx
Tkxx
TkAdxTcAAdxqx
TkA &
ou
=+
T
cqx
Tkx
& 1-2
Esta equao da conduo de calor unidimensional. Para tratar do fluxo de calor em mais de uma dimenso deve-se considerar o calor conduzido para dentro e para fora do volume elementar em todas as trs direes coordenadas, como mostrado na Fig. 1-3. O balano de energia conduz a:
Fig.1.3
+++=+++ +++ d
dEqqqqqqq dzzdyydxxgerzyx
sendo as quantidades de energia dadas por
x
Tkdydzq x
=
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dydzdxx
Tkxx
Tkq dxx
+
=+
yTkdxdzq y
=
dxdzdyyTk
yyTkq dyy
+
=+
z
Tkdxdyq z
=
dxdydzz
Tkzz
Tkq dzz
+
=+
dxdydzqqger &=
=
Tcdxdydz
ddE
Assim a equao geral tridimensional da conduo fica:
=+
+
+
T
cqz
Tkzy
Tkyx
Tkx
& 1.3
Para condutividade constante a Eq. 1.3 pode ser escrita
=+
+
+ T
kq
z
TyT
x
T 12
2
2
2
2
2&
1.4
onde a quantidade = k/c chamada de difusividade trmica do material. Quanto maior o valor de , mais rapidamente o calor ir se difundir atravs do material. Isto pode ser visto observando-se as quantidades que compem . Um valor elevado de pode resultar tanto de um valor elevado da condutividade trmica quanto de um valor baixo da capacidade trmica c. Um valor baixo da capacidade trmica significa que menor quantidade de energia em trnsito atravs do material absorvida e utilizada para elevar a temperatura do material; assim, mais energia encontra-se disponvel para ser transferida. Nas dedues acima, a expresso da derivada x + dx foi escrita na forma de uma expanso de Taylor onde somente os dois primeiros termos da srie foram considerados no desenvolvimento. Muitos problemas prticos envolvem somente casos especiais das equaes gerais apresentadas acima. Como uma orientao pata desenvolvimento em captulos futuros, conveniente mostrar a forma reduzida da equao geral para alguns casos de interesse prtico.
- Fluxo de calor unidimensional em regime permanente (sem gerao de calor)
022
=
dxTd
1.5
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- Fluxo de calor unidimensional em regime permanente com fontes de calor
022
=+
kq
x
T & 1.6
- Conduo bidimensional em regime permanente sem fontes de calor
022
2
2
=
+
yT
x
T 1.7
1.3.1.1) Condutividade Trmica
A Eq. 1-1 a equao de definio para a condutividade trmica. Com base nesta definio, podem ser feitas medidas experimentais para a determinao da condutividade trmica de diferentes materiais. Tratamentos analticos da teoria cintica podem ser usados para gases em temperaturas moderadamente baixas para antecipar com preciso os valores observados experimentalmente. Em alguns casos existem teorias para o clculo da condutividade trmica em lquidos e slidos, mas em geral nestas situaes os conceitos no so muito claros, permanecendo vrias questes em aberto. O mecanismo da conduo trmica num gs simples. A energia cintica de uma molcula identificada com sua temperatura; assim, numa regio de alta temperatura as molculas tm velocidades maiores do que numa regio de baixa temperatura. As molculas esto em movimento contnuo ao acaso, colidindo umas com as outras e trocando energia e quantidade de movimento.Esta movimentao ao acaso das molculas independe da existncia de um gradiente de temperatura no gs. Se uma molcula se movimenta de uma regio de alta temperatura para uma de baixa temperatura, ela transporta energia cintica para esta regio de baixa temperatura do sistema perdendo esta energia atravs de colises com molculas de energia mais baixa. Foi dito que a unidade da condutividade trmica watts por metro por grau Celsius [W/(m.oC)] no SI. Note que existe uma taxa de calor envolvida, e o valor numrico da condutividade trmica indica a rapidez com que o calor ser transferido num dado material. Qual a taxa de transferncia de energia levando-se em considerao o modelo molecular discutido acima? Quanto mais veloz o movimento das molculas, mais rapidamente a energia ser transportada. Portanto, a condutividade trmica de um gs deve ser dependente da temperatura. Um tratamento analtico simplificado mostra que a condutividade trmica de um gs varia com a raiz quadrada da temperatura absoluta. (Convm lembrar que a velocidade do som em um gs varia com a raiz quadrada da temperatura absoluta
kRTv = ; esta velocidade aproximadamente a velociade mdia das molculas.) O mecanismo fsico da conduo de energia trmica em lquidos qualitativamente o mesmo dos gases; entretanto, a situao consideravelmente mais complexa, uma vez que o espaamento das molculas menor e os campos de fora molecular exercem uma forte influncia na troca de energia no processo de coliso. A energia trmica pode ser conduzida em slidos de duas maneiras: vibrao da grade e transporte por eltrons livres. Em bons condutores eltricos um grande nmero de eltrons move-se sobre a estrutura do material. Como estes eltrons podem transportar carga eltrica, podem tambm conduzir energia de uma regio de alta temperatura para uma
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regio de baixa temperatura, como nos gases. A energia tambm pode ser transmitida como energia de vibrao na estrutura do material. Entretanto, este ltimo modo de transferncia de energia no to efetivo quanto o transporte por eltrons, sendo esta a razo pela qual bons condutores eltricos so quase sempre bons condutores de calor, como por exemplo o cobre, o alumnio e a prata, e isolantes eltricos geralmente so bons isolantes trmicos. Um problema tcnico importante o armazenamento e o transporte, por longos perodos, de lquidos criognicos como o hidrognio lquido. Tais aplicaes causaram o desenvolvimento de superisolantes para serem usados em temperaturas mais baixas (at aproximadamente 250oC). O superisolamento mais efetivo constitudo de mltiplas camadas de materiais altamente refletivos separados por espaadores isolantes. O sistema evacuado para minimizar as perdas pela conduo no ar, sendo possvel atingir condutividades trmicas to baixas quanto 0,3 mW/(m.oC).
1.3.2) Transferncia de Calor por Conveco
sabido que uma placa de metal aquecida ir se resfriar mais rapidamente quando colocada em frente ao ventilador do que exposta ao ar parado. Este processo chamado de transferncia de calor por conveco. O termo conveco fornece ao leitor uma noo intuitiva em relao ao processo de transferncia de calor; entretanto, esta noo intuitiva deve ser ampliada para que se possa conseguir um tratamento analtico adequado do problema. Por exemplo, sabemos que a velocidade do ar sobre a placa aquecida influencia a taxa de transferncia de calor. Mas esta influncia sobre o resfriamento ser linear, ou seja, dobrando-se a velocidade do ar estaremos dobrando a taxa de calor transferido? Devemos supor que a taxa de transferncia de calor ser diferente se a placa for resfriada com gua em vez de ar. Porm de quanto ser essa diferena? Estas questes podem ser respondidas com o auxlio de algumas anlises bsicas a serem apresentadas nos prximos captulos. Agora, o mecanismo fsico da transferncia de calor por conveco ser esquematizado e mostrada a sua relao com o processo de conduo.
Considere a placa aquecida mostrada na fig 1.5. A temperatura da placa Tp, e a temperatura do fluido T. Nesta est representado o comportamento da velocidade do escoamento, que se reduz a zero na superfcie da placa como resultado da ao viscosa. Como a velocidade da camada de fluido junto parede zero, o calor deve ser transferido somente por conduo neste ponto. Assim devemos calcular o calor transferido, usando a Eq. 1-1, com a condutividade trmica do fluido e o gradiente de temperatura junto parede. Por que, ento, se o calor transferido por conduo nesta camada, falamos em transferncia de calor por conveco e precisamos considerar a velocidade do fluido? A resposta que o gradiente de temperatura depende da razo na qual o calor removido; uma velocidade alta produz um gradiente elevado de temperatura, e assim por diante. Portanto, o gradiente de temperatura junto parede depende do campo de velocidade; conseqentemente, em anlises posteriores, desenvolveremos uma expresso que relaciona essas duas quantidades. Deve ser lembrado, entretanto, que o mecanismo de transferncia de calor na parede um processo de conduo.
O efeito global da conveco expresso atravs da lei de Newton do resfriamento
q = hA(Tp - T) 1.8
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Fig. 1-5 transferncia de calor por conveco
Aqui a taxa de transferncia de calor relacionada diferena de temperatura entre a parede e o fluido e rea superficial A. A quantidade h chamada de coeficiente de transferncia de calor por conveco, e a Eq. 1.8 a equao de definio deste parmetro. Para alguns sistemas possvel o clculo analtico de h. Para situaes complexas e determinao experimental o coeficiente de transferncia algumas vezes chamado de condutncia de pelcula devido sua relao com o processo da conduo na fina camada de fluido estacionrio junto superfcie da parede. Pela Eq. 1.8 a unidade de h watt por metro quadrado por grau Celsius [W/(m2.oC)] no SI. Em vista desta discusso, pode-se antecipar que a transferncia de calor por conveco ir exibir uma dependncia da viscosidade do fluido alm da sua dependncia das propriedades trmicas do fluido (condutividade trmica, calor especfico, densidade). Isto esperado porque a viscosidade influncia o perfil de velocidade e, portanto, a taxa de transferncia de energia na regio junto parede. Se uma placa aquecida estiver exposta ao ar ambiente sem uma fonte externa de movimentao de fluido, o movimento do ar ser devido aos gradientes de densidade nas proximidades da placa. Esta conveco chamada natural ou livre em oposio conveco forada, que ocorre no caso de se ter um ventilador movimentando o ar sobre a placa. Os fenmenos de ebulio e condensao so tambm agrupados dentro desse assunto de transferncia de calor por conveco
1.3.3) Transferncia de Calor por Radiao
Em contraste com os mecanismos de conduo e conveco, onde a energia transferida atravs de um meio natural, o calor pode tambm ser transferido em regies onde existe o vcuo perfeito. O mecanismo neste caso a radiao eletromagntica que propagada como resultado de uma diferena de temperatura; trata-se da radiao trmica.
Consideraes termodinmicas mostram que um radiador ideal, ou corpo negro, emite energia numa taxa proporcional quarta potncia da temperatura absoluta do corpo. Quando dois corpos trocam calor por radiao, a troca lquida de calor proporcional diferena T4. Assim
q = A(T14 T24) 1-9
Onde a constante de proporcionalidade chamada de constante de Stefan-Boltzmann que vale = 5,669 x 10-8 W/(m2.K4). A Eq. 1-9 chamada de lei de Stefan-Boltzmann da
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radiao trmica e vale somente para corpos negros. importante observar que esta equao vlida somente para radiao trmica; outros tipos de radiao eletromagntica podem no ser tratados com esta simplicidade. Foi mencionado que um corpo negro um corpo que emite energia de acordo com a lei T4. Tal corpo denominado negro porque superfcies negras, como um pedao de metal coberto por negro de fumo, se aproxima desse tipo de comportamento. Outros tipos de superfcies, como uma superfcie pintada ou uma placa metlica polida, no emitem tanta energia quanto o corpo negro; entretanto, a radiao total emita por estes corpos ainda proporcional a T4. Para levar em considerao a natureza cinzenta destas superfcies introduzido um outro fator na Eq. 1-9, a emissividade , que relaciona a radiao de uma superfcie cinzenta com a de uma superfcie negra ideal. Alm disso devemos levar em conta que nem toda a radiao que deixa uma superfcie atinge a outra superfcie, uma vez que a radiao eletromagntica se propaga segundo linhas retas havendo perdas para o ambiente. Portanto, para considerar estas duas situaes, so introduzidos dois novos fatores na Eq. 1-9
Q = F FG A(T14 T24) 1.10
onde F a funo emissividade e FG a funo fator de forma geomtrico. A determinao da forma destas funes para configuraes especficas objeto de um captulo subseqente. Entretanto, importante alertar para o fato destas funes em geral no serem independentes uma da outra como indicado na Eq. 1-10. O fenmeno da transferncia de calor por radiao pode ser muito complexo e os clculos raramente so simples como indicado pela Eq. 1-10. No momento, interessa-nos somente enfatizar as diferenas entre o mecanismo fsico da transferncia de calor pela radiao e os sistemas conduo e conveco.
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2. CONDUO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE
2.1) INTRODUO
Agora sero examinadas as aplicaes da lei de Fourier da conduo de calor para o clculo da transferncia de calor em sistemas unidimensionais. Muitos formatos fsicos diferentes podem ser includos na categoria de sistemas unidimensionais. Sistemas cilndricos e esfricos so unidimensionais quando a temperatura no corpo funo somente da distncia radial e independe do ngulo azimutal ou da distncia axial. Em alguns problemas bidimensionais os efeitos da segunda coordenada espacial podem ser to pequenos a ponto de serem desprezados, e o problema de fluxo de calor multidimensional pode ser aproximado por uma anlise unidimensional. Nestes casos as equaes diferenciais so simplificadas e as solues so obtidas mais facilmente como resultados destas simplificaes.
2.2) A PAREDE PLANA
Inicialmente considere a parede plana onde pode ser feita uma aplicao direta da lei de Fourier (Eq. 1-1). Da integrao resulta
( )12 TTx
kAq
= 2-1
para condutividade constante. A espessura da parede x, e as temperaturas das faces da parede so T1 e T2. Se a condutividade trmica varia com a temperatura de acordo com alguma relao linear k = ko(1 + T), a equao resultante para o fluxo de calor
( ) ( ) += 212212 2 TTTTxAk
q o 2.2
Se mais de um material estiver presente, como o caso da parede composta mostrada na Fig. 2-1, o fluxo de calor poder ser escrito
c
34c
B
23B
A
12A
x
TTAkx
TTAkx
TTAkq
=
=
=
Observe que o fluxo de calor deve ser o mesmo atravs de todas as sees. Resolvendo estas equaes simultaneamente, o fluxo de calor dado por
Ak/xAk/xAk/xTTq
cCBBAA
41
++
= 2-3
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Aqui conveniente introduzir um ponto de vista conceitual diferente para a lei de Fourier. A taxa de transferncia de calor pode ser considerada como um fluxo, a combinao da condutividade trmica, espessura do material, e a rea como uma resistncia a este fluxo. A temperatura, e a funo potencial, ou motora, para este fluxo de calor, e a equao de Fourier pode ser escrita
eltricaa Resistncipotencial deDiferena
calor de Fluxo = 2-4
que uma relao semelhante lei de Ohm na teoria de circuitos eltricos.
Fig. 2-1 Transferncia de calor unidimensional atravs de uma parede composta e analogia eltrica
Fig. 2-2 Transferncia de calor em srie e em paralelo atravs de uma parede composta e a analogia eltrica.
Na Eq. 2-1 a resistncia a resistncia trmica x/kA, e na Eq. 2.3 soma dos trs termos do denominador. Esta situao esperada na Eq. 2.3 porque as trs paredes lado a lado agem como trs resistncias trmicas em srie.
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A analogia eltrica pode ser empregada para resolver problemas mais complexos envolvendo resistncias trmicas em srie e em paralelo. Um problema tpico e o seu circuito anlogo esto mostrados na Fig. 2-2. A equao do fluxo de calor unidimensional para este tipo de problema pode ser escrita
=
t
total
RTq 2-5
onde Rt so as resistncias trmicas dos vrios materiais. interessante mencionar que em alguns sistemas como o da Fig. 2-2 pode resultar um fluxo de calor bidimensional se as condutividades trmicas dos materiais B, C e D forem muito diferentes. Nesses casos outras tcnicas devem ser empregadas para a obteno de uma soluo.
2.4) SISTEMAS RADIAIS CILINDROS
Considere um cilindro longo de raio interno ri, raio externo re, e comprimento L, tal como mostrado na Fig. 2-3. Este cilindro submetido a um diferencial de temperatura(Ti Te) e deseja-se saber qual ser o fluxo de calor. Pode-se considerar que o fluxo transmitido na direo radial e assim a nica coordenada espacial que deve ser especificada r.
Fig. 2-3 Fluxo de calor unidimensional atravs de uma parede cilndrica e a analogia eltrica
Fig. 2.4 Fluxo de calor unidimensional atravs de sees cilndricas mltiplas e a analogia eltrica
Mais uma vez usada a lei de Fourier, inserindo-se a relao de reas apropriadas. A rea para o fluxo de calor em sistemas cilndricos
Ar = 2pirL E, portanto a lei de Fourier fica
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drdTkAq rr =
ou
drdTkrL2q r pi= 2-7
com as condies de contorno T =Ti em r = ri T = Te em r = re
A soluo da Eq. 2-7 ( )( )ie
ei
rr
TTkLq
ln2
=
pi 2-8
e a resistncia trmica pode ser usado para paredes cilndricas compostas, da mesma maneira que para paredes planas. Para o sistema de trs camadas mostrado na Fig. 2-4 a soluo
( )( ) ( ) ( ) CBA krrkrrkrr
TTLq
342312
41
lnlnln2
++
=
pi 2-9
O circuito trmico mostrado na Fig. 2-4b. Sistemas esfricos tambm podem ser tratados como udimensionais quando a temperatura somente funo do raio. O fluxo de calor ento
ei
ei
r1r1)TT(k4q
pi= 2-10
2.5) O COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERNCIA DE CALOR
Considere a parede plana mostrada na Fig. 2-5, exposta a um fluido quente A em um dos lados. O calor transferido dado por
( ) ( ) ( )B22211A1 TTAhTTx
kATTAhq =
==
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Fig. 2-5 Fluxo de calor atravs de uma parede plana
O processo de transferncia de calor pode ser representado pelo circuito da resistncia da Fig. 2-5, e o calor total transferido calculado como razo entre a diferena total de temperatura e a soma das resistncias trmicas
AhkAxAhTT
q BA21 11 ++
= 2.11
Observe que o valor 1/ha usado para representar a resistncia de conveco. O calor total transferido pelos mecanismos combinados de conduo e conveco freqentemente expresso em termos de um coeficiente global de transferncia de calor U, definido pela relao
totalTUAq = 2.12
onde A uma rea adequada para a transferncia de calor. De acorda com a Eq. 2.11, o coeficiente global de transferncia de calor
21 111
hkxhU
++=
A analogia eltrica para um cilindro oco, que troca calor por conveco interna e externamente, est representada na Fig. 2-6, onde TA e TB so as temperaturas dos fluidos.
Fig. 2-6 Analogia eltrica para um cilindro oco com troca de calor por conveco nas superfcies interna e externa
Observe que a rea para conveco no a mesma para os dois fluidos neste caso. Estas reas dependem do dimetro interno do tubo e da espessura da parede. Neste caso, o fluxo total de calor dado por
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( )ee
ie
ii
BA
AhkLrr
Ah
TTq
12
ln1++
=
pi
2.13
de acorda com o circuito trmico da Fig. 2-6. Os termos Ai e Ae reapresentam as reas das superfcies interna e externa do tubo. O coeficiente global de transferncia de calor pode ser baseado tanto na rea interna como na externa.
( )ee
iiei
i
i
hAA
kLrrA
h
U1
2ln1
1
++
=
pi
2-14
( )e
iee
ii
e
e
hkLrrA
hAA
U1
2ln11
++
=
pi
2-15
2.6) ESPESSURA CRTICA DE ISOLAMENTO
Considere uma camada de isolamento que pode ser instalada ao redor de um tubo circular, como mostrado na Fig. 2-7. A temperatura interna do isolamento fixada em Ti, e a superfcie externa troca calor com o ambiente a T. Do circuito trmico, o calor transferido vale
Fig 2-7 Espessura crtica de isolamento
( )( )
hrkrr
TTLq
e
ie
i
1ln2
+
=
pi 2-16
Vamos agora manipular esta expresso para determinar o raio externo de isolamento re que ir maximizar a transferncia de calor. A condio de mximo
( )( ) 2
2
1ln
1120
+
==
hrkrr
hrkrTTL
drdq
e
ie
ee
ipi
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que fornece como resultado
hk
re = 2.17
A equao 2.17 expressa o conceito de raio crtico de isolamento. Se o raio externo for menor que o valor dado por esta equao, ento a transferncia de calor ser aumentada com a colocao de mais isolante. Para raios externos maiores que o valor crtico, um aumento de espessura de isolamento causar um decrscimo da transferncia de calor. O conceito central que para valores de h suficientemente pequenos as perdas de calor por conveco podem aumentar com o aumento da espessura do isolamento, porque isto aumenta a superfcie externa do isolamento.
2.7) SISTEMAS COM GERAO DE CALOR
Algumas aplicaes interessantes dos princpios da transferncia de calor esto relacionadas com sistemas onde o calor pode ser gerado internamente. Os reatores nucleares so um exemplo, assim como condutores eltricos e sistemas quimicamente reagentes. Nossa discusso aqui ficar limitada aos sistemas unidimensionais ou, mais especificamente, sistemas onde a temperatura funo nica de uma varivel espacial.
2.7.1) Parede plana com gerao de calor
Considere a parede plana com fontes de calor uniformemente distribudas como mostrado na Fig. 2-8. A espessura da parede na direo x 2L, e admitido que as dimenses nas outras direes so suficientemente grandes para que o fluxo de calor seja considerado unidimensional. O calor gerado por unidade de volume q& e a condutividade trmica considerada constante, no variando coma temperatura. Esta situao pode ser produzida na prtica passando-se uma corrente eltrica atravs de um condutor. Do Captulo 1, a equao diferencial para esta situao
022
=+kq
dxTd &
2-18
Para as condies de contorno, especificamos as temperaturas dos dois lados da placa, isto ,
T = Tp em x = L 2-19
A soluo geral da Eq.2-18
212
2CxCx
kqT ++=&
2-20
Como a temperatura deve ser a mesma nos dois lados da parede, C1 deve ser zero. A temperatura do plano mdio denotado por To; da Eq 2-20
To = C2
Apostila de Transferncia de Calor e Massa
19
Portanto, a distribuio de temperatura
2
2x
kqTT o&
= 2-21a 2
=
Lx
TTTT
op
o 2-21b
que uma distribuio parablica. Uma expresso para a temperatura do plano mdio To pode ser obtida atravs de um balano de energia. Em regime permanente, o calor total gerado deve ser igual ao calor perdido pelas duas faces. Assim,
LAqdxdTkA
Lx
22 &=
=
onde A a rea de seo transversal da placa. O gradiente de temperatura na parede obtido diferenciando-se a Eq. 2-21b:
( ) ( )L
TTL
xTTdxdT
opLx
opLx
222 =
=
==
Ento ( ) LqL
TTk op &=2
e po TkLqT +=
2
2&
2-22
Fig 2-8 Esquema ilustrativo do problema da conduo unidimensional com gerao de calor
2.7.2) CILINDRO COM GERAO DE CALOR
Considere um cilindro de raio R com fontes de calor uniformemente distribudas e condutividade trmica constante. Se o cilindro for suficientemente longo para que a
Apostila de Transferncia de Calor e Massa
20
temperatura possa ser considerada somente uma funo do raio, a equao diferencial apropriada pode ser obtida da equao
0122
=++kq
drdT
rdrTd &
2-23
As condies de contorno so T = Tp em r = R
e o calor gerado pode ser igual ao calor perdido na superfcie
RrdrdTRLkLRq
=
= pipi 22&
Como a funo temperatura pode ser contnua no centro do cilindro, pode-se especificar que
0=drdT
em r = 0
Entretanto, no ser necessrio usar esta condio, pois isto ser verificado automaticamente quando as duas condies de contorno forem satisfeitas. A Eq. 2-23 pode ser escrita
krq
drdT
drTd
r&
=+2
2
sendo que
=+
drdT
rdrd
drdT
drTd
r 2
2
Portanto a integrao fornece
1
2
2C
krq
drdT
r +
=
& e
21
2
ln4
CrCkrqT ++=&
Da segunda condio de contorno acima,
RC
kRq
kRq
drdT
Rr
1
22+
=
=
=
&&
e, portanto C1 = 0
A soluo final para a distribuio de temperatura
( )224
rRk
qTT p =&
2-24
ou, na forma adimensional 2
1
=
Rr
TTTT
po
p
onde To a temperatura em r = 0 dada por
po TkRqT +=4
2&
Apostila de Transferncia de Calor e Massa
21
3. CONDUO TRANSIENTE E USO DE CARTAS DE TEMPERATURA
Se a temperatura da face de um corpo slido for alterada repentinamente, a temperatura no interior do slido principia a variar com o tempo. Passa-se algum tempo antes que seja atingida a distribuio de temperatura estacionria. A determinao da distribuio de temperatura assunto complicado, pois a temperatura varia tanto com a posio como com o tempo. Em muitas aplicaes prticas, a variao da temperatura com a posio desprezvel durante o estado transiente e, por isso, considera-se a temperatura funo exclusiva do tempo. A anlise da transferncia de calor com esta hiptese a anlise global do sistema; por ser a temperatura funo exclusiva do tempo, a anlise muito simples. Por isso, neste captulo, principiamos com a anlise global de conduo transiente de calor. O emprego de cartas de temperatura ilustrado para resolver a conduo de calor transiente, simples, numa placa, num cilindro ou numa esfera, nas quais a temperatura varia com o tempo e com a posio.
3.1) ANLISE GLOBAL DO SISTEMA
Considere um slido de forma arbitrria, volume V, rea superficial total A, condutividade trmica k, densidade , calor especfico cp, a uma temperatura uniforme To, que repentinamente imerso, no instante t = 0, em um fluido agitado e mantido a uma temperatura uniforme T. A fig. 3-1 ilustra o sistema da transferncia de calor considerado. A transferncia de calor entre o slido e o lquido se realiza por conveco, com um coeficiente de transferncia de calor h. Admite-se que a distribuio de temperatura dentro do slido, em qualquer instante seja suficientemente uniforme, de tal modo que a temperatura de slido pode ser considerada funo exclusiva do tempo, isto , T(t). A equao de energia na transferncia de calor no slido pode ser escrita como
Fig.3.1 Nomenclatura da anlise global do sistema durante o fluxo transiente de calor
Taxa de fluxo de calor afluente ao slido de volume V = Taxa de aumento da energia interna do slido de volume V.
Apostila de Transferncia de Calor e Massa
22
Escrevendo-se as expresses matemticas apropriadas a cada um destes termos, obtm-se:
[ ]dt
tdTVctTTAh p)()( =
3.1
ou
0])([)( =+
TtTVc
AhdT
tdTp
em t > 0 3.2
sujeito condio inicial T(t) = To em t = 0
Para convenincia da anlise, define-se uma nova temperatura (t) (t) T(t) - T
Ento a equao 3-2 torna-se
0)()( =+ tmdt
td em t > 0 3-3
e (t) = To - T o em t = 0 onde definimos
VcAh
mp
3.4
A Eq. 3-3 uma equao diferencial ordinria na temperatura (t), cuja soluo geral dada por
(t) = C e-mt 3.5
A aplicao da condio inicial d a constante de integrao C = o. Ento, a temperatura do slido em funo do tempo
mt
oo
eTTTtTt
=
=
)()(
3.6
A fig. 3-2 mostra um grfico da temperatura adimensional da Eq 3.6 em funo do tempo. A temperatura decai exponencialmente com o tempo, e a forma da curva determinada pelo valor do expoente m. Aqui, m tem a dimenso de (tempo)-1. claro que as curvas na fig. 3-2 se tornam cada vez mais inclinadas medida que o valor de m cresce. Isto , qualquer acrscimo de m far com que o slido responda mais rapidamente a uma variao de temperatura ambiente. O exame dos parmetros na definio de m revela que o aumento da rea superficial, para um dado volume, e o coeficiente de transferncia de calor provocam o aumento de m. Aumentando-se a densidade, o calor especfico, ou o volume, haver diminuio de m.
Apostila de Transferncia de Calor e Massa
23
Fig. 3.2 A temperatura adimensional (t)/o em funo do tempo.
Para estabelecer alguns critrios com que a distribuio de temperatura possa ser considerada uniforme no interior do slido, e com que a anlise global do sistema seja aplicvel, vamos definir um comprimento caracterstico Ls como
AVLs = 3.7
e o nmero de Biot, Bi, como
khLBi s= 3.8
onde k a condutividade trmica do slido. Em slidos que tenham a forma de placa, ou cilindro longo ou esfera, a distribuio de temperatura dentro do slido, no estado transiente, em qualquer instante, uniforme, com um erro menor do que cerca de 5%, se
1,0=s
s
khL
Bi 3.9
Discutiremos mais adiante este assunto, que se tornar ento mais claro. Aqui, admitiremos que a anlise global do sistema aplicvel nas situaes em que Bi < 0,1. O significado fsico do nmero de Biot visualiza-se melhor se for escrito na forma
ss LkhBi =
que a razo entre o coeficiente de transferncia de convectiva calor na superfcie do slido e a condutncia especfica do slido. Portanto, a hiptese de temperatura uniforme no interior do slido vlida se a condutncia especfica do slido for muito maior do que o coeficiente de transferncia convectiva de calor.
3.2) CONDIO DE CONTORNO MISTA
Na discusso precedente, consideramos uma situao em que todas as fronteiras da regio estavam sujeitas a conveco. Este mtodo tambm se aplica quando parte da fronteira est sujeita a conveco e o restante est sujeito a um certo fluxo de calor, como vamos ilustrar agora. Considere uma placa de espessura L, inicialmente a uma temperatura uniforme To. Em qualquer instante t > 0, fornece-se calor placa atravs de uma de suas superfcies com uma constante de q (W/m2), enquanto se dissipa calor por conveco pela outra superfcie,
Apostila de Transferncia de Calor e Massa
24
para um ambiente com temperatura uniforme T com um coeficiente de transferncia de calor h. A fig. 3.3 mostra a geometria e as condies de contorno do problema.
Fig. 3.3 Nomenclatura para anlise global do fluxo transiente de calor em uma placa.
Vamos admitir reas iguais A na transferncia de calor em ambas as faces da placa. O balano de energia, neste caso particular d
dttdTALctTTAhAq p)()]([ =+
dttdTLctTThq p)()]([ =+
em t > 0 3-10a
com a condio inicial T(t) = To em t = 0 3-10b
Para convenincia na anlise, definimos uma nova temperatura (t) (t) = T(t) - T
Dessa forma, as Eqs. = 3.10 so escritas
Qtmdt
td=+ )()( em t > 0 3-11a
(t) = To - T o em t = 0 3-11b
onde definimos
Lch
mp
e Lc
qQp
A soluo da Eq. 3-11a a soma da soluo da parte homognea da 3-11a com a soluo particular na forma
(t) = Ce-mt + p 3-12
onde C a constante de integrao. A soluo particular p dada por
m
Qp = 3-13
Combinando as Eqs. 3-12 e 3-13, obtemos
Apostila de Transferncia de Calor e Massa
25
m
QCet mt += )( 3-14
A constante de integrao C determinada pela aplicao da condio inicial 3-11b como
m
QCo += 3-15 Substituindo a Eq. 3-15 na 3-14, obtemos a soluo deste problema da transferncia de calor:
( )m
Qeet mtmto
+= 1)( ou
( )hq
eet mtmto
+= 1)( 3-16 Para t , esta soluo simplifica-se em
( )hq
m
Q== 3-17
que a temperatura estacionria da placa.
3.3) PLACA EMPREGO DAS CARTAS DE TEMPERATURA TRANSIENTE
Em muitas situaes, os gradientes de temperatura no interior dos slidos no so desprezveis, e no aplicvel a anlise global do sistema. Neste caso, a anlise dos problemas da conduo de calor envolve a determinao da distribuio de temperaturas no interior do slido em funo do tempo e da posio, e um tema bastante complicado. Vrios mtodos de anlise para resolver estes problemas so discutidos em diversos textos, com tratamento avanado da conduo de calor. Problemas simples, como a conduo de calor, unidimensional, dependente do tempo, em uma placa sem gerao interna de energia, podem ser resolvidos facilmente pelo mtodo da separao de variveis, como ser descrito mais adiante neste captulo. Alm disso, a distribuio de temperatura em tais situaes foi calculada, e os resultados, apresentados na forma de cartas de temperaturas transientes em vrias obras. Apresentaremos as cartas de temperaturas transientes e de fluxo de calor e discutiremos seu significado fsico e seu emprego. Considere uma placa (por exemplo, uma parede plana) de espessura 2L confinada na regio L x L. Inicialmente, a placa est a uma temperatura uniforme Ti. De repente, a t = 0, ambas as superfcies de contorno da placa so sujeitas a conveco com um coeficiente de transferncia de calor h para o ambiente temperatura T e assim mantida nos instantes t > 0. A fig 3.4a mostra a geometria, coordenadas e condies de contorno deste problema particular. Porm, neste problema, h simetria geomtrica e trmica em torno do plano x = 0, de forma que podemos considerar o problema de conduo do calor numa metade da regio, digamos 0 x L. Com essa considerao, o problema da conduo do calor numa placa de espessura 2L confinada regio L x L, como est ilustrado na fig 3.4a, equivalente ao problema de uma placa de espessura L confinada na regio 0 x L, como est ilustrado 3.4b. Ento, a formao matemtica deste problema da conduo do calor dependente do tempo, com a geometria e as condies de contorno de fig. 3.4b, dada por
Apostila de Transferncia de Calor e Massa
26
(a) (b) Fig. 3.4 Geometria, coordenadas e condies de contorno da conduo de calor transiente em uma placa.
t
Tx
T
=
12
2
em 0 < x < L, e t > 0 3.18a
0=
x
T em x = 0, e t > 0 3.18b
=+
hThT
x
Tk em x = L, e t > 0 3.18c
T = Ti em t = 0, e 0 x L 3.18d
3.3.1) Equaes Adimensionais
O problema da conduo transiente de calor, dado pelas Eqs. 3.18, pode ser expresso em forma adimensional introduzindo-se as seguintes variveis adimensionais:
aladimensiona temperatur),( =
=
TTTtxT
i
3.19a
aladimension coordenada==LxX 3.19b
Biotde nmero==k
hLBi 3.19c
Fourierde nmero ou al,adimension tempo2 == Lt
3.19d
Desta forma, o problema da conduo de calor dado pelas Eqs 3.19 se transforma em
=
2
2
X em 0 < X < 1, e > 0 3.20a
0=X
em X = 0, e > 0 3.20b
0=+ BiX
em X = 1, e > 0 3.20c
= 1 em 0 X 1, e = 0 3.20d O significado fsico do tempo adimensional , ou nmero de Fourier, visualiza-se melhor se a equao 3.19d for reordenada na forma
Apostila de Transferncia de Calor e Massa
27
C W/,L volumeno L de longo ao
calor de reteno de taxaC W/,L
volumeno L de longo aocalor de conduo de taxa
/)/1(
o3
o3
3
2
2 === tLcLLk
Lt
p
3.21a
Portanto, o nmero de Fourier uma medida da razo entre a taxa de conduo e a taxa de reteno de calor, num elemento de volume. Por isso, quanto maior o nmero de Fourier, mais profunda a penetrao do calor num slido durante um certo intervalo de tempo. O significado fsico do nmero de Biot compreende-se melhor se a Eq. 3.19c for escrita na forma
L ocomprimentno slido do acondutnci
slidodo superfcie nacalor de
ncia transferde ecoeficient
/===
Lkh
khLBi 3.21b
Assim, o nmero de Biot a razo entre o coeficiente de transferncia de calor e a condutncia do slido sobre o comprimento caracterstico. Comparando os problemas de conduo de calor expressos pelas Eq. 3.18 e 3.20, conclumos que o nmero de parmetros independentes que afetam a distribuio de temperatura no slido reduz-se significativamente quando se exprime o problema na sua forma adimensional. No problema dado pelas Eqs. 3.18, a temperatura depende dos oito seguintes parmetros fsicos:
x, t, L, k, , h, Ti, T Porm, no problema adimensional expresso pelas Eqs. 3.20, a temperatura depende dos trs seguintes parmetros adimensionais:
X, Bi, e Fica evidente que, se exprimirmos o problema na forma adimensional, o nmero de parmetros que afetam a distribuio de temperatura reduz-se significativamente. Por isso, prtico resolver o problema de uma vez por todas e expor os resultados na forma de cartas para referncia rpida.
3.3.2) Carta de Temperatura Transiente numa Placa
O problema definido pelas Eqs. 3.20 j foi resolvido e os resultados para a temperatura adimensional esto nas Figs 3.5a e 3.5b. A Fig.35a d a temperatura no plano central To ou (0, ) em X = 0, em funo do tempo adimensional com diferentes valores do parmetro 1/Bi. A curva com 1/Bi = 0 corresponde ou a h , ou ento as faces da placa esto mantidas na temperatura ambiente T. Nos grandes valores de 1/Bi, o nmero de Biot pequeno, ou a condutncia interna do slido grande em relao ao coeficiente de transferncia de calor na superfcie. Isto, por sua vez, implica que a distribuio de temperatura dentro do slido suficientemente uniforme, e, portanto, pode-se adotar a
Apostila de Transferncia de Calor e Massa
28
anlise global do sistema. A Fig. 3.5b relaciona as temperaturas em diferentes posies dentro da placa com a temperatura do plano central, To. Se soubermos a temperatura To, saberemos as temperaturas nas diferentes posies dentro da placa. Um exame da Fig 3.5b revela que, nos valores de 1/Bi maiores do que 10, ou Bi < 0,1, a distribuio de temperaturas na placa pode ser considerada uniforme, com um erro menor do que cerca de 5%. Devemos recordar que o critrio Bi < 0,1, foi utilizado para que a anlise global do sistema fosse aplicvel.
Fig. 3.5 Carta de temperaturas transientes numa placa de espessura 2L sujeita a conveco em ambas as faces. (a) Temperatura To no plano central x=0; (b) correo de posio para utilizar com a parte (a).
Apostila de Transferncia de Calor e Massa
29
A Fig.3.6 Mostra o calor adimensional transferido Q/Qo em funo do tempo adimensional, em vrios valores do nmero de Biot, numa placa de espessura 2L. Aqui, Q representa a quantidade total de energia perdida pela placa at certo tempo t, durante a transferncia de calor. A quantidade Qo, definida como
Qo = cpV(Ti - T) 3.22
representa a energia interna inicial da placa na temperatura ambiente.
Fig. 3.6 Calor adimensional transferido Q/Qo numa placa de espessura 2L.
3.4) CILINDRO LONGO E ESFERA EMPREGO DAS CARTAS DE TEMPERATURAS TRANSIENTES
A distribuio das temperaturas adimensionais transientes e os resultados da transferncia de calor, semelhantes aos que esto nas Figs 3.5 e 3.6, tambm podem ser calculados nos casos de um cilindro longo e no de uma esfera. 3.4.1) Carta de temperaturas transientes num cilindro longo
Considere a conduo de calor, unidimensional, transiente, num cilindro longo de raio b, inicialmente a uma temperatura uniforme Ti. Repentinamente, no tempo t = 0, a superfcie em r = b sujeita a conveco, com um coeficiente de transferncia de calor h para um ambiente temperatura T e mantida assim em t > 0. A formulao matemtica deste problema de conduo de calor dada em forma adimensional como
=
RR
RR1
em 0 < R < 1, e > 0 3.23a
Apostila de Transferncia de Calor e Massa
30
0=
R
em R = 0, e > 1 3.23b
0=+ Bi
R em R = 1, e > 0 3.23c
= 1 em 0 R 1, e = 0 3.23d
onde as vrias grandezas adimensionais so definidas da forma seguinte
==
khbBi nmero de Biot 3.24a
== 2bt
tempo adimensional, ou nmero de Fourier 3.24b
( )=
=
TTTtrT
i
, temperatura adimensional 3.24c
==
brR coordenada radial adimensional 3.24d
O problema da Eq. 3.22 j foi resolvido, e os resultados para temperatura no centro To ou (0,) esto na Fig. 3.7a, em funo do tempo adimensional, com vrios valores do parmetro 1/Bi. A fig.3.7b relaciona as temperaturas em diferentes posies dentro do cilindro com a temperatura no plano mdio To. Por isso, dada To, as temperaturas nas diferentes posies internas do cilindro podem ser determinadas a partir da Fig. 3.7b.
Apostila de Transferncia de Calor e Massa
31
Fig. 3.7 Carta de temperaturas transientes num cilindro macio longo, de raio r=b sujeito a conveco na superfcie r=b. (a) Temperatura To no eixo do cilindro; (b) correo de posio para utilizar com a parte (a).
A Fig. 3.8 mostra o calor adimensional transferido Q/Qo em funo do tempo adimensional com diversos valores do nmero de Biot, no problema do cilindro dado pelas Eqs. 3.22. Aqui Qo, tem o significado definido pela equao 3.22, e Q representa a quantidade total de energia perdida pelo cilindro at certo tempo t, durante a transferncia transiente de calor.
Apostila de Transferncia de Calor e Massa
32
Fig. 3.8 Calor adimensional transferido Q/Qo num cilindro longo de raio b
3.4.2) Carta de temperaturas transientes numa esfera
Numa esfera de raio b, inicialmente a uma temperatura uniforme Ti e em t > 0, sujeita a conveco na superfcie r = b, com um coeficiente de transferncia de calor h, para um ambiente temperatura T, o problema da conduo transiente de calor dado na forma adimensional como
=
RR
RR2
21
em 0 < R < 1, e > 0 3.24a
0=
R
em R = 0, e > 0 3.24b
0=+ Bi
R em R = 1, e > 0 3.24c
= 1 em 0 R 1, se for = 0 3.25c Aqui, os parmetros adimensionais Bi, e R so definidos como as Eqs. 3.24. A Fig. 3.9a mostra a temperatura no centro To, ou (0,), da esfera em funo do tempo adimensional com diferentes valores do parmetro 1/Bi.
A Fig. 3.9b apresenta a relao entre as temperaturas em diferentes posies dentro da esfera e a temperatura no centro To.
Apostila de Transferncia de Calor e Massa
33
Fig. 3.9 Carta de temperaturas transientes numa esfera macia, de raio r=b sujeito a conveco na superfcie r=b. (a) Temperatura To no centro da esfera; (b) correo de posio para empregar com a parte (a).
A Fig. 3.10 mostra o calor adimensional Q/Qo em funo do tempo adimensional com diferentes valores do nmero de Biot. Aqui, Q e Qo so definidos como previamente.
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34
Fig. 3.10 Calor adimensional transferido Q/Qo numa esfera de raio b
Apostila de Transferncia de Calor e Massa
35
4) CONVECO CONCEITOS E RELAES BSICAS
At aqui consideramos a transferncia condutiva de calor nos slidos, nos quais no h movimento do meio. Nos problemas de conduo, a conveco participou na anlise, simplesmente como condio de contorno, na forma de um coeficiente de transferncia de calor. Nosso objetivo, neste e nos captulos seguintes a respeito da conveco, estabelecer as bases fsicas e matemticas para a compreenso do transporte convectivo de calor e revelar as vrias correlaes na transferncia de calor. Nas aplicaes de engenharia, h interesse na perda de carga e na fora de arraste associadas ao escoamento dentro de dutos ou sobre corpos. Por isso, so apresentadas as correlaes apropriadas para prever a queda de presso e fora de arraste num escoamento. A anlise da conveco complicada, pois o movimento do fluido afeta a perda de carga, a fora de arraste e a transferncia de calor. Para determinar a fora de arraste, ou a perda de carga, deve ser conhecido o campo de velocidades nas vizinhanas imediatas da superfcie. Para determinar a transferncia convectiva de calor tambm se precisa da distribuio de velocidades no escoamento do fluido, porque a velocidade participa da equao da energia; a soluo da equao da energia determina a distribuio de temperaturas no campo do escoamento. A literatura a respeito da transferncia convectiva de calor superabundante e est sempre crescendo. Nestes ltimos anos, com a disponibilidade de computadores digitais rpidos e de elevada capacidade, tm-se feito notveis progressos na anlise, com grandes detalhes, de problemas muito complicados de transferncia de calor. No obstante, um grande nmero de problemas de engenharia mais simples pode ser resolvido com o emprego de correlaes padres de transferncia de calor. Por isso, vamos focalizar nossa ateno sobre esses casos. Para atingir este objetivo, apresentaremos neste captulo uma viso coerente da conveco, a fim de propiciar uma base firme para aplicaes. Sero discutidos os conceitos bsicos associados ao escoamento sobre um corpo, ao escoamento dentro de um duto e turbulncia. Ilustraremos tambm o papel da distribuio de temperaturas e o da distribuio de velocidades, num escoamento, sobre a transferncia de calor e a fora de arraste. As distribuies de velocidades e de temperaturas no escoamento so determinadas a partir da soluo das equaes do movimento e da energia. Por isso, estas equaes so apresentadas no caso de um escoamento bidimensional, de um fluido com propriedades constantes, incompressvel, nos sistemas de coordenadas cartesianas e cilndricas. A simplificao destas equaes ilustrada a fim de se obterem as equaes que governam a anlise dos problemas mais simples de transferncia de calor. Finalmente, discute-se o significado fsico dos parmetros adimensionais e apresentam-se as equaes das camadas limites.
4.1) ESCOAMENTO SOBRE UM CORPO
Quando um fluido escoa sobre um corpo slido, a distribuio de velocidades e de temperaturas na vizinhana imediata da superfcie influencia fortemente a transferncia convectiva de calor. O conceito de camada limite freqentemente introduzido para
Apostila de Transferncia de Calor e Massa
36
modelar os campos de velocidade e de temperatura prximos da superfcie slida, a fim de simplificar a anlise da transferncia convectiva de calor. Assim, estaremos envolvidos com dois tipos de camadas limites: a camada limite cintica e a camada limite trmica.
4.1.1) Camada limite cintica
Para ilustrar o conceito de camada limite cintica, consideremos o escoamento de um fluido sobre uma placa, como est ilustrado na fig. 4.1. O fluido na borda frontal da placa (isto , em x = 0) tem uma velocidade u que paralela superfcie da placa. medida que o fluido se move na direo x ao longo da placa, as partculas do fluido em contato com a face da placa assumem velocidade zero (isto , no h deslizamento sobre a face da placa). Portanto, a partir da superfcie da placa haver um retardamento da componente x da velocidade u(x,y) = u. Isto , na superfcie da placa, em y = 0, a componente axial da velocidade zero, ou u = 0. O efeito do retardamento reduzido quando o fluido se move em uma regio afastada da face da placa; a distncias suficientemente grandes da placa, o efeito de retardamento nulo, isto , u = u para grandes y. Portanto, a cada posio x ao longo da placa, h uma distncia y = (x), medida a partir da superfcie da placa, onde a componente axial da velocidade u igual a 99% da velocidade da corrente livre u, isto , u = 0,99 u. O lugar geomtrico destes pontos, onde u = 0,99 u, a camada limite cintica (x). Com o conceito de camada limite cintica assim introduzido no escoamento sobre uma placa plana, o campo do escoamento pode ser dividido em duas regies distintas: (1) Na regio da camada limite, a componente axial da velocidade u(x,y) varia rapidamente com a distancia y face da placa; portanto, os gradientes de temperatura e as tenses de cisalhamento so grandes. (2) Na regio fora da camada limite, na regio de escoamento potencial, os gradientes de velocidade e as tenses de cisalhamento so desprezveis.
Fig. 4.1 Conceito de camada limite no escoamento sobre uma placa plana
Referindo-nos ilustrao na Fig. 4.1, vamos examinar o comportamento do escoamento na camada limite em funo da distncia x medida a partir da borda frontal da placa. A caracterstica do escoamento governada pelo valor da grandeza nmero de Reynolds. No escoamento sobre uma placa plana, como est na Fig. 4.1, este nmero definido por
Apostila de Transferncia de Calor e Massa
37
xux
Re (4.1)
onde u = velocidade da corrente livre x = distncia borda frontal = viscosidade cinemtica do fluido
A camada limite comea na borda frontal (isto , em x =0) da placa como uma camada limite laminar, na qual o escoamento permanece ordenado e as partculas do fludo se movem ao longo das linhas de corrente. Este movimento ordenado continua ao longo da placa at que se atinge uma distncia crtica, ou o nmero de Reynolds alcance um valor crtico. Depois de este nmero de Reynolds crtico ser atingido, os pequenos distrbios no escoamento comeam a ser amplificados, e flutuaes no fludo comeam a se desenvolver, o que caracteriza o final da camada limite laminar e o incio da transio para a camada limite turbulenta. No escoamento sobre uma placa plana, o nmero de Reynolds crtico, no qual acontece a transio do escoamento laminar para o turbulento, geralmente tomado, na maior parte das finalidades analticas, como
5105Re xv
xux
(4.2)
Entretanto este valor crtico fortemente dependente da rugosidade da superfcie e do nvel de turbulncia da corrente livre. Por exemplo, com distrbios muito grandes na corrente livre, a transio pode comear em um nmero de Reynolds to baixo como 105, e, nos escoamentos livres de perturbaes, pode no comear at que o nmero de Reynolds atinja um valor de 106 ou mais. Mas num escoamento sobre uma placa plana, a camada limite sempre turbulenta para Rex 4x106. Na camada limite turbulenta prxima da parede, h uma camada muito delgada, chamada subcamada laminar, onde o escoamento retm seu carter laminar. Adjacente a subcamada laminar existe uma regio chamada camada amortecedora, na qual h turbulncia muito fina e a velocidade mdia axial aumenta rapidamente com a distncia superfcie slida. A camada amortecedora seguida pela camada turbulenta, na qual h turbulncia em alta escala e a velocidade muda relativamente pouco com a distncia parede. A fig 4.2 mostra o conceito de camada limite no escoamento sobre um corpo curvo. Neste caso, a coordenada x medida ao longo da superfcie curva do corpo; principiando pelo ponto de estagnao, e em cada posio x segundo a normal superfcie do corpo. A velocidade da corrente livre )(xu
no constante, mas varia com a distncia ao longo da
superfcie curva. O conceito de camada limite, discutido acima, tambm se aplica a esta situao particular. A espessura da camada limite )(x cresce com a distncia x ao longo da superfcie. Entretanto, devido a curvatura da superfcie, depois de uma certa distncia x, o perfil de velocidade ),( yxu mostra um ponto de inflexo, isto , yu / se anula na superfcie do slido. Alm do ponto de inflexo, h uma inverso do escoamento, e diz-se que a camada limite est descolada da superfcie do slido. Alm do ponto de inverso do fluxo, os padres do fluxo so muito complicados e o conceito da camada limite no mais aplicvel.
Apostila de Transferncia de Calor e Massa
38
Fig. 4.2 Conceito de camada limite no escoamento sobre um corpo curvo
4.1.2) Coeficiente de arraste e fora de arraste
Suponha que o perfil de velocidade ),( yxu na camada limite seja conhecido. A tenso de cisalhamento x que atua ao longo da superfcie em qualquer posio x determinada a partir de sua definio por
0
),(=
=
yx y
yxu (4.3)
A constante de proporcionalidade a viscosidade do fluido. Logo, conhecendo-se a distribuio de velocidades na camada limite, pode-se determinar a fora de cisalhamento, devida ao escoamento que est atuando sobre a superfcie slida. A definio de tenso de cisalhamento, dada pela Eq. (4.3), entretanto, no prtica para aplicaes de engenharia. Na prtica, a tenso de cisalhamento ou fora de arraste local x por unidade de rea est relacionada com o coeficiente local de arraste cx pela relao
2
2
=
ucxx
(4.4)
onde a densidade do fluido e
u a velocidade da corrente livre. Portanto, conhecendo o coeficiente de arraste, podemos calcular a fora de arraste exercida pelo fluido que est escoando sobre a placa plana. Igualando as Eqs. (4.3) e (4.4), obtemos:
oyx y
yxuu
c=
=
),(22
(4.5)
Portanto, o coeficiente local de arraste pode ser determinado pela Eq. (4.5), se o perfil de velocidade ),( yxu , na camada limite for conhecido. O valor mdio do coeficiente de arraste Cm, de x=0 at x=L, definido como
=
=
L
oxx dxcL
1Cm
Apostila de Transferncia de Calor e Massa
39
(4.6)
Sabendo o coeficiente mdio de arraste Cm, podemos calcular a fora de arraste F, que est atuando sobre a placa de x=0 at x=L e numa largura w, com a frmula
2
2
=
uwLCF m (N) (4.7)
4.1.3) Camada limite trmica
Anlogo ao conceito de camada limite cintica, pode-se imaginar o desenvolvimento de uma camada limite trmica ao longo da placa, associada ao perfil de temperatura no fluido. Para ilustrar o conceito, consideremos um fluido a uma temperatura uniforme
T que escoa
sobre uma placa plana mantida a uma temperatura constante WT . Sejam x e y os eixos coordenados paralelo e perpendicular superfcie da placa, respectivamente, como est na figura 4.3.
Fig. 4.3 Conceito de camada limite trmica no escoamento de um fluido quente sobre uma placa fria
Definimos a temperatura adimensional (x,y) como
W
W
TTTyxT
yx
=
),(),( (4.8)
onde T(x,y) a temperatura local no fluido. Na superfcie da placa, a temperatura do fluido igual temperatura da parede; portanto
(x,y) = 0 em y = 0(superfcie da placa) (4.9 a)
A distncias suficientemente grandes da placa, a temperatura do fluido a mesma
T ; ento
1),( yx a medida que y (4.9 b)
Apostila de Transferncia de Calor e Massa
40
Por isso em cada posio x ao longo da placa, pode-se imaginar uma posio )(xy = no fluido onde ),( yx seja igual a 0,99. O lugar geomtrico destes pontos onde ),( yx =0,99 chamado a camada limite trmica )(x . A espessura relativa da camada limite trmica )(xt frente a camada limite cintica )(x depende da grandeza do nmero de Prandtl do fluido. Nos fluidos que tem um nmero de Prandtl igual a unidade, como os gases, ).()( xxt = A camada limite trmica muito mais espessa do que a camada limite cintica nos fluidos que tem Pr 1.
4.1.4) Coeficiente de transferncia de calor
Suponha que a distribuio de temperatura T(x,y) na camada limite trmica seja conhecida. Ento o fluxo de calor q(x) do fluido para a placa determinado por
0
),()(=
=
yyyxT
xq (4.10 a)
onde k a condutividade trmica do fluido. Entretanto, nas aplicaes de engenharia, no prtico empregar a Eq. (4.10 a) para calcular a taxa de transferncia de calor entre o fluido e a placa. Na prtica define-se um coeficiente de transferncia de calor local h(x) para calcular o fluxo de calor entre o fluido e a placa:
))(()( WTTxhxq = (4.10 b)
Igualando (4.10 a) e (4.10 b), obtemos
[ ]W
y
TTyT
kxh
=
=0)( (4.11 a)
Esta expresso agora escrita em termos da temperatura adimensional ),( yx como
0
),()(=
=
yyyxkxh (4.11 b)
Logo as Eqs. (4.11) fornecem a relao para determinar o coeficiente de transferncia de calor local h(x) a partir do conhecimento da distribuio da temperatura adimensional
),( yx na camada limite trmica. O coeficiente de transferncia de calor mdio hm sobre a distncia x=0 at x=L, ao longo da superfcie da placa, determinado a partir de
=L
m dxxhLh
0)(1 (4.12)
Apostila de Transferncia de Calor e Massa
41
Sabendo o coeficiente de transferncia de calor mdio hm, podemos determinar a taxa de transferncia de calor Q do fluido para a placa de x=0 at x=L e para a espessura w.
)( Wm TTwLhQ = (4.13)
4.1.5) Relao entre cx e h(x)
Considerando as expresses exatas de coeficiente de local de arraste e do nmero de Nusselt local, no escoamento laminar sobre uma placa plana,
21Re332,02
= x
Cx (4.14 a)
2131 RePr332,0 xxNu = (4.14 b)
Definimos o nmero de Stanton local, Stx, como
=
uc
xhStp
x )(
que pode ser reordenado na forma
x
xx
Nuvxuv
kxxhStRePr)/)(/(
/)(==
Ento, a expresso (4.14 b) do nmero de Nusselt local pode ser reescrita como
2132 RePr332,0 = xxSt (4.14 c)
Das Eqs. (4.14 a) e (4.14 c), pode-se obter a seguinte relao entre o nmero de Stanton e o coeficiente de arraste:
2Pr 3/2 CxSt x = (4.15 a)
Esta expresso recebe o nome de analogia de Reynolds-Colburn e relaciona o coeficiente local de arraste cx ao nmero de Stanton local Stx num escoamento laminar sobre uma placa plana. Portanto, fazendo-se as medidas do arraste atrativo no escoamento laminar sobre uma placa plana, quando no h transferncia de calor, pode-se determinar o coeficiente de transferncia de calor correspondente pela Eq. (4.15 a). muito mais fcil fazer medidas de arraste do que medidas de transferncia de calor. Pode-se tambm aplicar a Eq. (4.15 a) ao escoamento turbulento sobre uma placa plana, porm no se aplica ao escoamento laminar dentro de um tubo. No caso de valores mdios, a Eq. (4.15 a) escrita como
2Pr 3/2 mm
CSt = (4.15 b)
Apostila de Transferncia de Calor e Massa
42
onde Stm e Cm so, respectivamente, o nmero de Stanton mdio e o coeficiente mdio de arraste.
4.2) ESCOAMENTO NO INTERIOR DE UM DUTO
Os conceitos bsicos discutidos na ltima seo sobre o desenvolvimento das camadas limites cintica e trmica no escoamento sobre uma placa plana tambm se aplicam ao escoamento na regio da entrada de dutos. Ilustramos este assunto considerando o escoamento no interior de um tubo circular.
4.2.1) Camada limite cintica
Considere o escoamento dentro de um tubo circular, como est ilustrado na fig. 4.4.
Fig.4.4 Conceito de desenvolvimento da camada limite cintica na regio de entrada de um tubo circular
O fluido tem uma velocidade de entrada uniforme 0u . Quando o fluido entra no tubo, comea a se desenvolver uma camada limite cintica sobre a superfcie da parede. A velocidade das partculas do fluido, na superfcie da parede, anula-se, e a velocidade nas vizinhanas da parede diminui; como resultado, a velocidade na parte axial do tubo aumenta para ser cumprida a exigncia da continuidade do fluxo. A espessura da camada limite cintica )( z cresce continuamente ao longo da superfcie do tubo at que ocupa todo o tubo. A regio que se estende desde a entrada do tubo at um pouco alm da posio hipottica em que a camada limite atinge o eixo do tubo a regio hidrodinmica de entrada. Nesta regio, a forma do perfil de velocidade varia tanto na direo axial como na radial. A regio alm da distncia hidrodinmica de entrada chamada regio hidrodinamicamente desenvolvida, pois nesta regio o perfil de velocidade invariante com a distncia ao longo do tubo. Se a camada limite permanece laminar at encher todo o tubo, o perfil parablico de velocidade no escoamento laminar completamente desenvolvido prevalece na regio hidrodinamicamente desenvolvida. Entretanto, se a camada limite transforma-se em turbulenta antes de a sua espessura atingir o eixo do tubo, h um escoamento turbulento completamente desenvolvido na regio hidrodinamicamente desenvolvida. Quando o escoamento turbulento, o perfil de velocidade mais achatado do que o perfil parablico de velocidade no escoamento laminar. No escoamento no interior de um tubo circular, o nmero de Reynolds, definido por
Apostila de Transferncia de Calor e Massa
43
v
DumRe (4.16)
utilizado como critrio para a passagem do escoamento laminar a turbulento. Nesta definio mu a velocidade mdia do escoamento, D o dimetro interno do tubo, e v a viscosidade cinemtica do fluido. No escoamento no interior de um tubo circular, observa-se ordinariamente escoamento turbulento para
2300Re >=v
Dum (4.17)
Entretanto, este valor crtico depende fortemente da rugosidade da superfcie, das condies de entrada e das flutuaes no escoamento. Em geral, a transio pode ocorrer no domnio 2000
Apostila de Transferncia de Calor e Massa
44
paredeparedew
r
u
yu
=
= (4.18 b)
uma vez que r= D/2 y. Ento, das Eqs. (4.18 a) e (4.18 b), temos
pareder
u
DdzdP
=
4 (4.18 c)
Nas aplicaes de engenharia, a Eq. (4.18 c) no prtica para determinao de dP/dz, pois exige o clculo do gradiente de velocidade na parede. Para calcular a perda de carga (queda de presso) nas aplicaes de engenharia, define-se um fator de atrito f.
Duf
dzdP m
2
2= (4.18 d)
onde um a velocidade mdia do escoamento dentro do tubo e a densidade do fluido. Igualando as Eqs. (4.18 c) e (4.18 d) obtm-se a seguinte expresso para o fator de atrito:
paredem r
u
uf
= 28
(4.18 e)
Portanto, dada a distribuio de velocidades u do escoamento no interior do tubo, o fator de atrito f pode ser determinado pela Eq. (4.18 e). Dado o fator de atrito, a perda de carga P1 - P2 P sobre a distncia z2 z1 L no tubo determinada pela integrao da Eq. (4.18 d):
=2
1
2
12
2P
P
Z
Z
m dzDufdP
ou a perda de carga P fica
2
2mu
DLfP = 2
m
N (4.19 a)
Se M for a vazo, em metros cbicos por segundo, atravs do tubo, a potncia da bomba exigida para movimentar o fluido no tubo contra a perda de carga P se torna
Potncia da bomba = ))(( 23
m
NPs
mM
Potncia da bomba = M P ouWs
mN. (4.19 b)
4.2.3) Camada limite trmica
No caso da distribuio de temperaturas no escoamento no interior de um tubo circular, mais difcil visualizar o desenvolvimento da camada limite trmica e a exigncia de uma
Apostila de Transferncia de Calor e Massa
45
regio termicamente desenvolvida. Entretanto, sob certas condies de aquecimento, ou de resfriamento, como fluxo de calor constante ou temperatura uniforme na parede do tubo, o conceito possvel. Considere um escoamento laminar no interior de um tubo circular sujeito a um fluxo de calor uniforme nas paredes. Sejam r e z as coordenadas, respectivamente, radial e axial. Define-se uma temperatura adimensional ),( zr como
)()()(),(),(
zTzTzTzrT
zrwm
w
= (4.20a)
onde Tw(z) = temperatura na parede do tubo Tm(z) = Temperatura mdia de todo o fluido na rea transversal do tubo em z T(r,z) = temperatura local do fluido Evidentemente, ),( zr zero na superfcie da parede do tubo e atinge um valor finito no eixo do tubo. Ento visualiza-se o desenvolvimento de uma camada limite trmica paralelamente a superfcie da parede. A espessura da camada limite trmica )(zt cresce continuamente ao longo da superfcie do tubo at que preenche todo o tubo. A regio da entrada do tubo at a posio hipottica onde a espessura da camada limite trmica atinge o eixo do tubo a regio de entrada trmica. Nesta regio, a forma do perfil da temperatura adimensional ),( zr muda tanto na direo axial quanto na radial. A regio alm da distncia de entrada trmica chamada regio termicamente desenvolvida, porque nesta regio o perfil da temperatura adimensional permanece invariante com a distncia ao longo do tubo, isto ,
)()()(),()(
zTzTzTzrT
rwm
w
= (4.20 b)
difcil explicar qualitativamente por que )(r deve ser independente da varivel z, pois as temperaturas no segundo membro da Eq. (4.20 b) dependem tanto de r como de z. Entretanto, pode-se demonstrar matematicamente que, no s com uma temperatura constante mas tambm com um fluxo de calor constante na parede, a temperatura adimensional )(r depende somente de r para valores suficientemente grandes de z.
4.2.4) Coeficiente de transferncia de calor
Nas aplicaes de engenharia envolvendo o escoamento de um fluido num tubo, a taxa de transferncia de calor entre o fluido e o tubo uma informao de muito interesse. Discutiremos o conceito de coeficiente de transferncia de calor que utilizado com mais freqncia nas aplicaes de engenharia para determinar a transferncia de calor entre o fluido e a superfcie da parede. Considere um fluido escoando dentro de um tubo circular de raio interno R. Seja T(r,z) a distribuio de temperaturas no fluido, onde r e z so as coordenadas radial e axial, respectivamente. O fluxo de calor do fluido para a parede do tubo determinado por
Apostila de Transferncia de Calor e Massa
46
pareder
zrTKzq
=
),()( (4.21 a)
onde k a condutividade trmica do fluido. Nas aplicaes de engenharia no prtico utilizar a Eq. (6.21 a) para determinar a transferncia de calor entre o fluido e a parede do tubo, pois essa equao envolve o clculo da derivada da temperatura na parede. Para evitar esta dificuldade, define-se um coeficiente de transferncia de calor local h (z)
[ ])()()()( zTzTzhzq wm = (4.21 b)
onde Tm(z) = temperatura mdia global calculada sobre a rea da seo transversal do tubo na posio z Tw(z) = temperatura na parede do tubo em z Evidentemente se o coeficiente de transferncia de calor for conhecido, questo muito simples determinar o fluxo de calor na parede para uma dada diferena entre a temperatura mdia do fluido e a da parede do tubo. Por isso o uso do coeficiente de transferncia de calor muito conveniente nas aplicaes de engenharia e sua determinao, em vrias condies de escoamento, foi objeto de numerosas investigaes experimentais e analticas. Trataremos da relao entre o coeficiente de transferncia de calor h(z) a partir de T(r,z). Igualando (4.21 a) e (4.21 b), obtemos:
RparederrzTwzTmzrTk
zh=
= )()(),()( (4.22 a)
onde Tm(z) e Tw(z), num tubo circular de raio R, so determinadas por
20
0
02),()(
2)(2),()(
)(Ru
rdrzrTru
rdrru
rdrzrTruzTm
m
R
R
R
pi
pi
pi
pi
== (4.22 b)
Rparederw zrTzT == ),()( (4.22 c) A temperatura mdia do fluido Tm(z) uma definio baseada no transporte de energia trmica com o movimento global do fluido medida que ele passa atravs da seo transversal, pois a grandeza "" utc p representa o fluxo de energia por unidade de rea. Num fluido incompressvel, de propriedades constantes, o termo cp cancela-se no numerador e no denominador de (4.22 b). A Eq. (4.22 a) pode ser escrita em termos da temperatura adimensional
),( zr definida pela Eq. (4.20 a) como
Rparederr
zrkzh=
=
),()( (4.23 a)
Na regio termicamente desenvolvida, a temperatura adimensional )(r independente de z. Ento, a equao (4.23 a) se reduz a
Apostila de Transferncia de Calor e Massa
47
Rparederdrrdkh
=
=
)( (4.23 b)
onde )(r definida pela Eq. (4.20 b). Este resultado implica que, na regio termicamente desenvolvida,o coeficiente de transferncia de calor no varia com a distncia ao longo do tubo; e vale para a transferncia de calor sob condies de fluxo de calor constante na parede, ou temperatura constante na parede. As definies dadas pela Eq. (4.23) podem ser empregadas para desenvolver expresses do coeficiente de transferncia de calor se a distribuio da temperatura adimensional no fluido, definida pela equao (4.20 b), for conhecida.
4.3) PARMETROS ADIMENSIONAIS
Neste captulo foram introduzidos parmetros adimensionais, como os nmeros de Reynolds, de Prandtl, de Nusselt e de Stanton, e vamos discutir o significado fsico destes parmetros adimensionais na interpretao das condies associadas com o escoamento do fluido, ou com a transferncia de calor. Consideremos o nmero de Reynolds baseado em um comprimento caracterstico L, reordenado na forma
===
2
2
//Re
LvuLu
v
Lu fora de inrcia/fora viscosa (4.24 a)
Ento, o nmero de Reynolds representa a razo entre a fora de inrcia e a fora viscosa. Este resultado implica que as foras viscosas so dominantes nos nmeros de Reynolds pequenos, e as foras de inrcia so dominantes nos nmeros de Reynolds grandes. Lembremo-nos de que o nmero de Reynolds foi utilizado como critrio para determinar a transformao do escoamento laminar em turbulento. O nmero de Prandtl pode ser escrito na forma
====
x
v
ckkc
p
p
)/(Pr difusividade molecular do momento/difusividade molecular do
calor (4.24 b) Representa, portanto, a importncia relativa do transporte de momento e energia no processo de difuso. Nos gases com Pr 1, a transferncia de momento e energia pelo processo de difuso equilibrada. Nos leos, Pr > 1 , e da se v que a difuso de momento muito maior do que a difuso de energia; mas, nos metais lquidos, Pr
Apostila de Transferncia de Calor e Massa
48
LTkTh
khLNu
/
== (4.25 a)
onde T a diferena de temperatura de referncia entre a superfcie da parede e a temperatura dos fluidos. Ento o nmero de Nusselt pode ser interpretado como a razo entre a transferncia de calor por conveco e por conduo atravs de uma camada do fluido de espessura L. Com base nesta interpretao, o valor do nmero de Nusselt igual a zero implica que no h conveco A transferncia de calor se efetua por pura conduo. Um valor maior do nmero de Nusselt implica um aumento de transferncia convectiva de calor. O nmero de Stanton pode ser reordenado como
TucTh
uc
hStmpmp
== (4.25 b)
onde T uma diferena de temperatura de referncia entre a superfcie da parede e o fluido. O numerador representa o fluxo de calor para o fluido, e o denominador representa a capacidade de transferncia de calor do escoamento do fluido. O parmetro adimensional, o nmero de Eckert, definido como
),/(2 TCpuE surgem freqentemente em problemas de transferncia de calor em alta velocidade. O nmero de Eckert pode ser reordenado como
TCpu
TCpu
E
=
=
/22
(4.26)
Temperatura dinmica devido ao movimento do fluido pela diferena de temperatura
Aqui, )2/(2 pCu
representa uma elevao ideal de temperatura, se um gs ideal com a velocidade
u fosse reduzido adiabaticamente velocidade zero. Esta definio implica
que, se o nmero de Eckert for pequeno, os efeitos da gerao viscosa da energia devido ao movimento do fluido podem ser desprezados em comparao com as diferenas de temperaturas envolvidas no processo de transferncia de calor. Lembramos que o termo da dissipao viscosa de energia, que apareceu na equao da energia, e a grandeza do nmero de Eckert tornam-se o critrio para decidir se os efeitos de dissipao viscosa de energia devem ser considerados na anlise da transferncia de calor.
Apostila de Transferncia de Calor e Massa
49
5) CONVECAO FORADA NO ESCOAMENTO NO INTERIOR DE DUTOS
5.1) ESCOAMENTO NO INTERIOR DE UM TUBO CIRCULAR
Os problemas de transferncia de calor estacionria e de perda de carga na conveco laminar forada dentro de um tubo circular, em regies afastadas da entrada, onde os perfis de velocidades e de temperaturas esto plenamente desenvolvidos, tm grande interesse em numerosas aplicaes de engenharia. O fator de atrito e o coeficiente de transferncia de calor no escoamento so determinados, respectivamente, a partir do conhecimento da distribuio da velocidade e da distribuio de temperaturas no fluido.
5.1.1) Fator de atrito
Considere um fluido incompressvel, de propriedades constantes, em uma conveco laminar forada dentro de um tubo de raio R, na regio onde o escoamento est hidrodinamicamente desenvolvido. O fator de atrito no escoamento, no interior de um tubo circular, est relacionado com o gradiente de presso nas paredes pela Eq. (4.18e)
Rrm drdu
uf
=
= 28
(5.1)
A distribuio de velocidades u(r) pode ser determinada a partir da soluo das equaes do movimento. Foi demonstrado que no escoamento hidrodinamicamente desenvolvido, dentro de um tubo circular, as equaes do movimento se reduzem simples equao escrita na forma:
dzdP
drdu
rdrd
r 1)(1 = em 0 < r < R (5.2)
sujeita s condies de contorno
du/dr = 0 em r = 0 (5.3a) u = 0 em r = R (5.3b)
A primeira condio de contorno a simetria do perfil de velocidades em torno do eixo do tubo, e a segunda a nulidade da velocidade nas paredes.
No escoamento laminar estacionrio, plenamente desenvolvido, dentro de um tubo circular, o gradiente de presso dP/dz constante. Ento, a soluo da Eq. (5.3) d o perfil das velocidades plenamente desenvolvido u(r).
])(1[)41()( 22
RrR
dzdP
ru =
(5.4)
Apostila de Transferncia de Calor e Massa
50
Aqui, a velocidade u(r) sempre uma grandeza positiva no escoamento na direo positiva dos z, mas o gradiente de presso dP/dz uma grandeza negativa. A velocidade mdia do escoamento um, sobre a seo reta do tubo, determinada a partir da definio, e fica
dzdPRdrrru
Ru
R
m == 02
2 8)(21
pi
pi (5.5)
uma vez que u(r) dada pela Eq. (5.4). O significado fsico da velocidade mdia um , implica que a vazo atravs do tubo determinada por
vazo = (rea da seo reta) um = muR 2pi Agora, das Eqs. (5.4) e (5.5), obtemos
])(1[2)( 2Rr
u
ru
m
= (5.6)
Esta relao mostra que o perfil de velocidades u(r)um na regio hidrodinamicamente desenvolvida parablico. A velocidade uo no eixo do tubo obtida da Eq. (5.4) quando se faz r = 0;
dzdPR
u42
0 = (5.7)
Uma comparao entre os resultados dados pelas Eqs. (5.5) e (5.7) mostra que a velocidade no eixo do tubo igual ao dobro da velocidade mdia do escoamento:
muu 20 = (5.8)
O fator de atrito f no escoamento laminar, no interior de um tubo circular, na regio hidrodinamicamente desenvolvida, determinado quando se obtm o gradiente da velocidade a partir da Eq. (5.6)
Du
Ru
drrdu mm
Rr
84)(==
=
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